第一篇：數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法專題

數(shù)

列

專

題

復(fù)

習(xí)

選題人：董越

【考點(diǎn)梳理】

一、考試內(nèi)容

1.數(shù)列，等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。2.等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式。3.數(shù)列的極限及其四則運(yùn)算。4.數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用。

二、考試要求

1.理解數(shù)列的有關(guān)概念，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前n項(xiàng)和。

2.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能夠應(yīng)用這些知識(shí)解決一些問題。

3.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能夠運(yùn)用這些知識(shí)解決一些問題。

4.了解數(shù)列極限的定義，掌握極限的四則運(yùn)算法則，會(huì)求公比的絕對(duì)值小于1的無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)和的極限。

5.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的問題。

三、考點(diǎn)簡析

1.數(shù)列及相關(guān)知識(shí)關(guān)系表

2.作用地位

（1）數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，是定義在自然集或它的子集{1,2,…,n}上的函數(shù)。對(duì)于等差數(shù)列而言，可以把它看作自然數(shù)n的“一次函數(shù)”，前n項(xiàng)和是自然數(shù)n的“二次函數(shù)”。等比數(shù)列可看作自然數(shù)n的“指數(shù)函數(shù)”。因此，學(xué)過數(shù)列后，一方面對(duì)函數(shù)概念加深了了解，拓寬了知識(shí)范圍；另一方面也為今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的有關(guān)級(jí)數(shù)的知識(shí)和解決現(xiàn)實(shí)生活中的一些實(shí)際問題打下了基礎(chǔ)。

（2）數(shù)列的極限這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)，教給了學(xué)生“求極限”這一數(shù)學(xué)思路，為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)作好準(zhǔn)備。

（3）數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)論證方法，學(xué)習(xí)了這部分知識(shí)后，又掌握了一種新的數(shù)學(xué)論證方法，開拓了知識(shí)領(lǐng)域，學(xué)會(huì)了新的技能；同時(shí)通過這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)又學(xué)到一種數(shù)學(xué)思想，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的能力，計(jì)算能力，熟悉歸納、演繹的論證方法，提高分析、綜

合、抽象、概括等思維能力，都有很好的效果。

（4）數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法這部分知識(shí)，在高考中占有相當(dāng)?shù)谋戎?。這部分知識(shí)是必考的內(nèi)容，而且?guī)缀趺磕暧幸坏谰C合題。

3.等差數(shù)列

（1）定義：an+1－an=d(常數(shù)d為公差)

（2）通項(xiàng)公式：an=a1+(n－1)d（3）前n項(xiàng)和公式：Sn=

n(a1?an)n(n?1)=na1+d（4）通項(xiàng)公式推廣：an=am+(n－m)d

224.等差數(shù)列{an}的一些性質(zhì)

（1）對(duì)于任意正整數(shù)n，都有an+1－an=a2－a1（2）{an}的通項(xiàng)公式：an=（a2－a1）n+(2a1－a2)（3）對(duì)于任意正整數(shù)p,q,r,s,如果p+q=r+s，則有ap+aq=ar+as（4）對(duì)于任意正整數(shù)p,q,r,如果p+r=2q,則有ap+ar=2aq（5）對(duì)于任意正整數(shù)n>1，有2an=an－1+an+1

（6）對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)b，若數(shù)列{ban}是等差數(shù)列，則數(shù)列{an}也是等差數(shù)列（7）已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，則{an±bn}也是等差數(shù)列（8）{a2n}，{a2n－1}，{a3n}，{a3n－1}，{a3n－2}等都是等差數(shù)列

（9）S3m=3（S2m－Sm）

（10）若Sn=Sm(m≠n)，則Sm+n=0（11）若Sp=q,Sq=p，則Sp+q=－(p+q)(p≠q)

（12）Sn=an2+bn，反之亦成立 5.等比數(shù)列（1）定義：an?1－=q(常數(shù)q為公比)

（2）通項(xiàng)公式：an=a1qn1 anq?1q?

1特別注意q=1時(shí)，Sn=na1這一特殊情況。

－m（3）前n項(xiàng)和公式

?na1?Sn=?a1(1?qn)?1?q?（4）通項(xiàng)公式推廣：an=am·qn6.等比數(shù)列{an}的一些性質(zhì)（1）對(duì)于任意正整數(shù)n，均有

an?1a2= ana1（2）對(duì)于任意正整數(shù)p、q、r、s，只要滿足p+q=r+s，則ap·aq=ar·as（3）對(duì)于任意正整數(shù)p、q、r，如果p+r=2q，則ap·ar=aq2（4）對(duì)任意正整數(shù)n>1，有an2=an－1·an+1（5）對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)b,{ban}也是等比數(shù)列

（6）已知{an}、{bn}是等比數(shù)列，則{anbn}也是等比數(shù)列（7）如果an>0，則{logaan}是等差數(shù)列

（8）數(shù)列{logaan}成等差數(shù)列，則an成等比數(shù)列

（9）{a2n}，{a2n－1}，{a3n－1}，{a3n－2}，{a3n}等都是等比數(shù)列 7.數(shù)列極限

（1）極限的定義“ε—N”

（2）極限的四則運(yùn)算

若liman=A，lim bn=B，則

n??n?? 2

lim(an±bn)= liman±limbn=A±B

lim（an·bn）=liman·limbn=A·B n??n??n??n??n??n??lim（an/bn）=liman/limbn=n??n??n??A(B≠0)B（3）兩個(gè)重要極限

c?0|r|?1?0?01??①limc=?c?0

②limrn=?1

r?1 n??nn???不存在?不存在c?0|r|?1或r??1??中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)列求極限最終都化成這兩類的極限問題。由①我們可以得到多項(xiàng)式除多項(xiàng)式的極限。

?a0?b p?q0a0np?a1np?1???ap??lim=?0 p?q

其中p,q∈N,a0≠0，b0≠0。n??bnq?bnq?1???a01q?不存在 p?q???（4）無窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式

S=limSn=

n??a1（|q|<1）1?q應(yīng)用：化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)。8.遞歸數(shù)列

數(shù)列的連續(xù)若干項(xiàng)滿足的等量關(guān)系an+k=f(an+k－1,an+k－2,…,an)稱為數(shù)列的遞歸關(guān)系。由遞歸關(guān)系及k個(gè)初始值可以確定的一個(gè)數(shù)列叫做遞歸數(shù)列。如由an+1=2an+1，及a1=1，確定的數(shù)列{2?1}即為遞歸數(shù)列。

遞歸數(shù)列的通項(xiàng)的求法一般說來有以下幾種：（1）歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明。（2）迭代法。

（3）代換法。包括代數(shù)代換，對(duì)數(shù)代換，三角代換。

（4）作新數(shù)列法。最常見的是作成等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題。9.數(shù)列求通項(xiàng)與和 n?sn?sn?1n?2（1）數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an=?

sn?1?1（2）求通項(xiàng)常用方法

①作新數(shù)列法。作等差數(shù)列與等比數(shù)列。

②累差疊加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1 ③歸納、猜想法。（3）數(shù)列前n項(xiàng)和 ①重要公式

1+2+…+n=13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=

11n(n+1)

12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)261

2n(n+1)2 4 3

②等差數(shù)列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd ③等比數(shù)列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn ④裂項(xiàng)求和

將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中間的許多項(xiàng)，這種先裂后消的求和法叫裂項(xiàng)求和法。用裂項(xiàng)法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)，如：

1111=－

n·n！=(n+1)!－n!

=cotα－cot2α

sin2αn(n?1)nn?1Cn－1r1=Cnr－Cn－1r

－

1n1=－等。n!(n?1)!(n?1)!⑤錯(cuò)項(xiàng)相消法

對(duì)一個(gè)由等差數(shù)列及等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前n項(xiàng)和，常用錯(cuò)項(xiàng)相消法。⑥并項(xiàng)求和

把數(shù)列的某些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn。

數(shù)列求通項(xiàng)及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法。10.數(shù)學(xué)歸納法

（1）數(shù)學(xué)歸納法的基本形式

設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若 1°p(n0)成立（奠基）；

2°假設(shè)P(k)成立(k≥n0)，若可以推出P（k+1）成立（歸納），則P(n)對(duì)一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立。

（2）數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法適用于有關(guān)自然數(shù)n的命題。具體來講，數(shù)學(xué)歸納法常用來證明恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾可中計(jì)數(shù)問題，數(shù)列的通項(xiàng)與和等。

四、思想方法

數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法中，主要注意如下的基本思想方法：

1.分類討論思想。如等比數(shù)列的求和分公比等于1和不等于1兩種情形；已知數(shù)列前n項(xiàng)和求通項(xiàng)分n=1和n≥2兩種情形；求極限時(shí)對(duì)兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行大小比較的討論等。

2.函數(shù)思想。將數(shù)列視為定義域?yàn)樽匀粩?shù)或其子集的函數(shù)。

3.數(shù)形結(jié)合思想。如等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式分別視為直線、二次曲線的方程。

4.轉(zhuǎn)化思想。如將非等差數(shù)列、非等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列。5.基本量思想。如把首項(xiàng)及公差、公比視為等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量。6.構(gòu)造思想。如由舊數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列。

7.特殊化思想。為研究一般問題可先退化到特殊問題的研究。在這部分內(nèi)容中，處處充滿了由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證法，這就要求我們?cè)谒伎紗栴}時(shí)要用辯證的觀點(diǎn)，由具體認(rèn)識(shí)抽象，由特殊窺見一般，由有限逼近無限。其中，我們常用的“歸納——猜想——證明”法就體現(xiàn)了這一點(diǎn)。

8.一般化思想。為研究一個(gè)特殊問題，我們先研究一般的情形。我們采用的數(shù)學(xué)歸納法，就主要體現(xiàn)一般化思想，先證命題對(duì)一般值成立，然后再證對(duì)每一個(gè)特殊的n值也成立。

第二篇：數(shù)列極限例題

三、數(shù)列的極限

(?1)n?1}當(dāng)n??時(shí)的變化趨勢(shì).觀察數(shù)列{1?n問題:

當(dāng)n無限增大時(shí), xn是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是, 如何確定? 通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:

(?1)n?1當(dāng)n無限增大時(shí), xn?1?無限接近于1.n問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.?xn?1?(?1)n?1給定

11? nn1111, 由?, 只要n?100時(shí), 有xn?1?, 100n10010011,只要n?1000時(shí), 有xn?1?, 給定1000100011,只要n?10000時(shí), 有xn?1?, 給定10000100001給定??0,只要n?N(?[])時(shí), 有xn?1??成立.?定義

如果對(duì)于任意給定的正數(shù)?(不論它多么小), 總存在正整數(shù)N, 使得對(duì)于n?N時(shí)的一切xn, 不等式xn?a??都成立, 那末就稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限, 或者稱數(shù)列xn收斂于a, 記為

limxn?a,或xn?a(n??).n??如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：

??N定義:limxn?a????0,?N?0, 使n?N時(shí), 恒有xn?a??.n??其中記號(hào)?:每一個(gè)或任給的;?:至少有一個(gè)或存在.數(shù)列收斂的幾何解釋:

a??2?a??xN?2x2x1xN?1ax3x

當(dāng)n?N時(shí), 所有的點(diǎn)xn都落在(a??,a??)內(nèi), 只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))落在其外.注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.n?(?1)n?1?1.例1 證明limn??nn?(?1)n?11?1 ?.證

注意到xn?1 ?nn任給??0, 若要xn?1??, 只要

11??,或 n?, n?所以, 取 N?[], 則當(dāng)n?N時(shí), 就有 1?n?(?1)n?1?1??.nn?(?1)n?1?1.即limn??n

重要說明：（1）為了保證正整數(shù)N，常常對(duì)任給的??0,給出限制0???1；

n?(?1)n?1?1??”的詳細(xì)推理

（2）邏輯“取 N?[], 則當(dāng)n?N時(shí), 就有

n?1見下，以后不再重復(fù)說明或解釋，對(duì)函數(shù)極限同樣處理邏輯推理.由于N?????立.嚴(yán)格寫法應(yīng)該是：任給??0, 不妨取0???1，若要?1???1??N?1，所以當(dāng)n?N時(shí)一定成立n?N?1?1?，即得

1??成nn?(?1)n?1111?1?

?n????是成立

n?(?1)n?11?1???.xn?1=

nnn?(?1)n?1?1.即limn??n小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時(shí), 關(guān)鍵是任意給定??0,尋找N, 但不必要求最小的N.例3證明limq?0, 其中q?1.n??n證

任給??0(要求ε<1)若q?0, 則limq?lim0?0;

n??n??n若0?q?1, xn?0?q??, nlnq?ln?，n?n?ln?ln?, 取N?[](?1), 則當(dāng)n?N時(shí), 就有qn?0??, lnqlnq?limqn?0.n???0, q?1,?q?1,??, n

說明：當(dāng)作公式利用：limq??

n??1, q?1,??不存在，q??1.?

第三篇：數(shù)列極限教案

數(shù)列的極限教案

授課人：###

一、教材分析

極限思想是高等數(shù)學(xué)的重要思想。極限概念是從初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過渡所必須牢固掌握的內(nèi)容。

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列極限概念的理解及數(shù)列極限??N語言的刻畫。

教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限概念的理解及數(shù)列極限??N語言的刻畫，簡單數(shù)列的極限進(jìn)行證明。

三、教學(xué)目標(biāo)

1、通過學(xué)習(xí)數(shù)列以及數(shù)列極限的概念，明白極限的思想。

2、通過學(xué)習(xí)概念，發(fā)現(xiàn)不同學(xué)科知識(shí)的融會(huì)貫通，從哲學(xué)的量變到質(zhì)變的思想的角度來看待數(shù)列極限概念。

四、授課過程

1、概念引入

例子一：(割圓術(shù))劉徽的割圓術(shù)來計(jì)算圓的面積。

.........內(nèi)接正六邊形的面積為A1，內(nèi)接正十二邊形的面積為A2......內(nèi)接正6?2n?1形的面積為An.A1,A2,A3......An......?圓的面積S.用圓的內(nèi)接正六n邊形來趨近，隨著n的不斷增加，內(nèi)接正六n邊形的面積不斷

1接近圓的面積。

例子二：莊子曰“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”。

第一天的長度1第二天的剩余長度 第二天的剩余長度

第四天的剩余長度 8

.....第n天的剩余長度n?1.......2

隨著天數(shù)的增加，木桿剩余的長度越來越短，越來越接近0。

這里蘊(yùn)含的就是極限的概念。

總結(jié)：極限是變量變化趨勢(shì)結(jié)果的預(yù)測(cè)。例一中，內(nèi)接正六n邊形的邊數(shù)不斷增加，多邊形的面積無限接近圓面積；例二中，隨著天數(shù)的不斷增加，木桿的剩余長度無限接近0.在介紹概念之前看幾個(gè)具體的數(shù)列：

111?1?（1）??: 1，,......； 23n?n?

???1?n?1111:?1，?，?,......；（2）??n2345??

（3）n2:1,4,9,16,......；

（4）??1?:?1,1,?1,1,......,??1?,......； nn????

我們接下來討論一種數(shù)列?xn?，在它的變化過程中，當(dāng)n趨近于??時(shí)，xn不斷接近于某一個(gè)常數(shù)a。如隨著n的增大，（1），（2）中的數(shù)列越來越接近0；（3）

（4）中的數(shù)列卻沒有這樣的特征。

此處“n趨近于??時(shí)”，“xn無限接近于數(shù)a”主要強(qiáng)調(diào)的是“一個(gè)過程”和一種“接近”程度。

可是只憑定性的描述和觀察很難做到準(zhǔn)確無誤，所以需要精確的，定量的數(shù)學(xué)語言來刻畫數(shù)列的概念。本節(jié)課的重點(diǎn)就是將數(shù)列的這樣一個(gè)特征用數(shù)學(xué)語言刻畫出來，并引入數(shù)列極限的概念。

2、內(nèi)容講授

（定義板書）設(shè)?xn?是一個(gè)數(shù)列，a是實(shí)數(shù)。如果對(duì)于任意給定的數(shù)??0，總存在一個(gè)正整數(shù)N，當(dāng)n?N時(shí)，都有xn?a??，我們稱a是數(shù)列?x

n?的極限，或者說數(shù)列?xn?收斂且收斂于數(shù)a。

寫作：limxn?a或xn?a?n????。

n???

如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的。

注意：（1）理解定義中的“任意給定”?：?是代表某一個(gè)正數(shù)，但是這個(gè)數(shù)在選取時(shí)是任意的，選定以后就是固定的。不等式xn?a??是表示xn與a的接近程度，所以?可以任意的小。

（2）N的選取是與任意給定的?有關(guān)的。1?1?以數(shù)列??為例，欲若取??，則存在N?100，當(dāng)n?Nxn?a??； 100n??

若取??1，則存在N?1000，當(dāng)n?N時(shí)，xn?a??。1000

數(shù)列極限的??N語言：

limx

n???n?a????0,?N,n?Nxn?a??.數(shù)列極限的幾何解釋：

3、例題講解

n?2??1??1。例題1用數(shù)列極限的定義證明limn??nn

n?2??1?證明：設(shè)xn?，因?yàn)?nn

n?2??1?2??1?2???xn?1?nnnnn

???0，欲使xn???，只要22??即n?，n?

?2?我們?nèi)????1，當(dāng)n?N時(shí)，???

n?2??1?22?????.nnNn

n?2??1?所以lim?1.n??nn

?2?注：N的取法不是唯一的，在此題中，也可取N????10等。???

例題2 設(shè)xn?C（C為常數(shù)），證明limxn?C。n??

證明：任給的??0，對(duì)于一切正整數(shù)n，xn?C?C?C?0??，所以limxn?C。n??

小結(jié)：用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定?尋找N,但不必要求最小的N.五、課后作業(yè)

第四篇：數(shù)列極限復(fù)習(xí)

數(shù)列極限復(fù)習(xí)題

姓名

2?4???2n1、lim=； n??1?3?9??(?3)n

an2?2n?1a2、若lim(2n?)?1，則=； n??bn?2b

1?an3、如果lim()?0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是；n??2a

n4、設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an?(1?4x)，若liman存在，則x的取值范圍是n??

___；

?a?5．已知無窮等比數(shù)列n的前n項(xiàng)和

窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和是；

6、數(shù)列?an?滿足a1?Sn?1?a(n?N*)n3，且a是常數(shù)，則此無1，且對(duì)任意的正整數(shù)m,n都有am?n?am?an，則數(shù)列?an?的3所有項(xiàng)的和為；

7、無窮等比數(shù)列?an?的首項(xiàng)是某個(gè)自然數(shù)，公比為單位分?jǐn)?shù)（即形如：數(shù)，m為正整數(shù)），若該數(shù)列的各項(xiàng)和為3，則a1?a2；

8、無窮等比數(shù)列?an?的各項(xiàng)和為2，則a1的取值范圍是

1的分m

??

9、無窮等比數(shù)列an中，為；

lim(a2?a3?...?an)

n??

=1，則a1的取值范圍

cosn??sinn??

10、計(jì)算： lim,??[0,]?

n??cosn??sinn?

222n?a2n111、若lim2n?1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是； ?2n?

12?a

23?n?2?n?(?1)n(3?n?2?n)

12、若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=,n=1,2,?,則

lim(a1?a2???an)__________；

n??

1?

1?n?2012?n(n?1)?

13、若an??,Sn為數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和,求limSn?____;

n??

?3?1n?2013n?1??

214、等差數(shù)列?an?，?bn?的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn且

an

? n??bn

Sn2n

?，則Tn3n?

1lim15、設(shè)數(shù)列?an?、?bn?都是公差不為0的等差數(shù)列，且lim

lim

b1?b2???b3n

na4n

an

?3，則bn16、已知數(shù)

列為等差數(shù)列，且，則

a117、設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，且lim1?qn）?，則a1的取值范圍是

n??1?q

2__________；

18、已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1?1，公比為q(q?0)，前n項(xiàng)和為Sn，若

lim

Sn?

1?1，則公比q的取值范圍是.；

n??Sn19、已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足：對(duì)于所有n?N*，有4Sn?(an?1)2，n

?（）其中Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．則limn??an

A．0B．1C．D．

220、下列命題正確的是 ?????????????????????????()

（A）liman?A, limbn?B則lim

n??

n??

anA

?(bn?0,n?N)

n??bBn

（B）若數(shù)列{an}、{bn}的極限都不存在，則{an?bn}的極限也不存在（C）若數(shù)列{an}、{an?bn}的極限都存在,則{bn}的極限也存在（D）設(shè)Sn?a1?a2???an，若數(shù)列{an}的極限存在,則數(shù)列{Sn}的極限也存在21、用記號(hào)“○+”表示求兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的算術(shù)平均數(shù)的運(yùn)算, 即a○+b=已知數(shù)列{xn}滿足x1=0,x2=1,xn=xn－1○+xn－2(n≥3),則limxn等于（）

n???

a?b

.2A.2

3B.12

C.0D.122、連結(jié)?ABC的各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的?A1B1C1，又?A1B1C1的各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的?A2B2C2，如此無限繼續(xù)下去，得到一系列三角形，?A1B1C1，?A2B2C2，?A3B3C3，?, 這一系列三角形趨向于一個(gè)點(diǎn)M。已知

A?0,0?,B?3,0?,C?2,2?，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）

52522Ａ、(,)Ｂ、(,1)Ｃ、(,1)Ｄ、(1,)

3333323、已知數(shù)列

lim

{an},{bn}

都是無窮等差數(shù)列，其中

a1?3,b1?2,b2是a2和a

3的等差中

an1111?lim(??...?)n??bn??2，求極限a1b1a2b2anbn的值； n項(xiàng)，且

24、設(shè)正數(shù)數(shù)列

lga?

lin?

1n??

?an?

為一等比數(shù)列，且a2?4,a4?16，求

lag????n2n

2al2ng；

bn?lgan，25、數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的數(shù)列，其中c為正常數(shù)，數(shù)列?bn?a1?c，成等差數(shù)列且公差為lgc（1）求證?an?是等比數(shù)列；（2）?an?的前n項(xiàng)和為Sn，求lim26、已知f(x)?logax(a?o且a?1)，an

n??Sn

且2,f(a1),f(a2),f(a3),?,f(an),2n?1,?(n?N?)成等差數(shù)列，（1）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)a?1時(shí)，求lim

Sn

n??an

第五篇：數(shù)列極限的證明

例1 設(shè)數(shù)列?xn?滿足0?x1??,xn?1?sinxn?n?1,2,??。（Ⅰ）證明limxn存在，并求該極限；

n??

?xn?1?xn（Ⅱ）計(jì)算lim??。n??

?xn?

解（Ⅰ）用歸納法證明?xn?單調(diào)下降且有下界，由0?x1??，得

0?x2?sinx1?x1??，設(shè)0?xn??，則

0?xn?1?sinxn?xn??，所以?xn?單調(diào)下降且有下界，故limxn存在。

n??

記a?limxn，由xn?1?sinxn得

x??

a?sina，所以a?0，即limxn?0。

n??

（Ⅱ）解法1 因?yàn)?/p>

?sinx?lim??x?0

?x?

1x?lime

x?0

1sinxlnx2x

?lime

x?0

1?cosx1?

???

2x?sinxx?

?xsinx6x2

xcosx?sinx

?lime

x?0

2x3

?lime

x?0

?e

?

又由（Ⅰ）limxn?0，所以

n??

1xn

?xn?1??sinxn?xn2

lim???lim??n??n??xx?n??n?

?sinx?

?lim??x?0x??

解法2 因?yàn)?/p>

1xx?e

?

sinx?x

?sinx????x?

?

?sinx?x????1????x??

xsinx?x

????

x3，又因?yàn)?/p>

limsinx?x1?sinx?x???,lim?1??x?0x36x?0?x?

xnxsinx?x?e，??sinx?6所以lim?，?e?x?0?x?1

故

11?x?lim?n?1?n???xn?xn?sinxn??lim??n??x?n?

?sinx??lim??x?0?x?xn1x ?e?1

6.