第一篇：數(shù)學(xué) -排列、組合、二項(xiàng)式定理-基本原理 -數(shù)學(xué)教案

教學(xué)目標(biāo)

（1）正確理解加法原理與乘法原理的意義，分清它們的條件和結(jié)論；

（2）能結(jié)合樹形圖來(lái)幫助理解加法原理與乘法原理；

（3）正確區(qū)分加法原理與乘法原理，哪一個(gè)原理與分類有關(guān)，哪一個(gè)原理與分步有關(guān)；

（4）能應(yīng)用加法原理與乘法原理解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題，提高學(xué)生理解和運(yùn)用兩個(gè)原理的能力；

（5）通過(guò)對(duì)加法原理與乘法原理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生周密思考、細(xì)心分析的良好習(xí)慣。

教學(xué)建議

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析

本節(jié)的重點(diǎn)是加法原理與乘法原理，難點(diǎn)是準(zhǔn)確區(qū)分加法原理與乘法原理。

加法原理、乘法原理本身是容易理解的，甚至是不言自明的。這兩個(gè)原理是學(xué)習(xí)排列組合內(nèi)容的基礎(chǔ)，貫穿整個(gè)內(nèi)容之中，一方面它是推導(dǎo)排列數(shù)與組合數(shù)的基礎(chǔ)；另一方面它的結(jié)論與其思想在方法本身又在解題時(shí)有許多直接應(yīng)用。

兩個(gè)原理回答的，都是完成一件事的所有不同方法種數(shù)是多少的問(wèn)題，其區(qū)別在于：運(yùn)用加法原理的前提條件是，做一件事有n類方案，選擇任何一類方案中的任何一種方法都可以完成此事，就是說(shuō)，完成這件事的各種方法是相互獨(dú)立的；運(yùn)用乘法原理的前提條件是，做一件事有n個(gè)驟，只要在每個(gè)步驟中任取一種方法，并依次完成每一步驟就能完成此事，就是說(shuō)，完成這件事的各個(gè)步驟是相互依存的。簡(jiǎn)單的說(shuō)，如果完成一件事情的所有方法是屬于分類的問(wèn)題，每次得到的是最后結(jié)果，要用加法原理；如果完成一件事情的方法是屬于分步的問(wèn)題，每次得到的該步結(jié)果，就要用乘法原理。

三、教法建議

關(guān)于兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的教學(xué)要分三個(gè)層次：

第一是對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的認(rèn)識(shí)與理解．這里要求學(xué)生理解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的意義，并弄清兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別．知道什么情況下使用加法計(jì)數(shù)原理，什么情況下使用乘法計(jì)數(shù)原理．（建議利用一課時(shí)）．

第二是對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的使用．可以讓學(xué)生做一下習(xí)題（建議利用兩課時(shí)）：

①用0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)8位號(hào)碼；

②用0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)8位整數(shù)；

③用0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)； ④用0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)有重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)； ⑤用0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的4位奇數(shù)；

⑥用0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)有兩個(gè)重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)等等．

第三是使學(xué)生掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用，這個(gè)過(guò)程應(yīng)該貫徹整個(gè)教學(xué)中，每個(gè)排列數(shù)、組合數(shù)公式及性質(zhì)的推導(dǎo)都要用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，每一道排列、組合問(wèn)題都可以直接利用兩個(gè)原理求解，另外直接計(jì)算法、間接計(jì)算法都是兩個(gè)原理的一種體現(xiàn)．教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真地分析題意，恰當(dāng)?shù)姆诸?、分步，用好、用活兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理． 教學(xué)設(shè)計(jì)示例

加法原理和乘法原理

教學(xué)目標(biāo)

正確理解和掌握加法原理和乘法原理，并能準(zhǔn)確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：加法原理和乘法原理．

難點(diǎn)：加法原理和乘法原理的準(zhǔn)確應(yīng)用． 教學(xué)用具

投影儀． 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）引入新課

從本節(jié)課開始，我們將要學(xué)習(xí)中學(xué)代數(shù)內(nèi)容中一個(gè)獨(dú)特的部分——排列、組合、二項(xiàng)式定理．它們研究對(duì)象獨(dú)特，研究問(wèn)題的方法不同一般．雖然份量不多，但是與舊知識(shí)的聯(lián)系很少，而且它還是我們今后學(xué)習(xí)概率論的基礎(chǔ)，統(tǒng)計(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及生物的選種等都與它直接有關(guān)．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排調(diào)配的問(wèn)題，就離不開它．

今天我們先學(xué)習(xí)兩個(gè)基本原理．

（二）講授新課

1．介紹兩個(gè)基本原理

先考慮下面的問(wèn)題：

問(wèn)題1：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船．一天中，火車有4個(gè)班次，汽車有2個(gè)班次，輪船有3個(gè)班次．那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？

因?yàn)橐惶熘谐嘶疖囉?種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法，每種走法都可以完成由甲地到乙地這件事情．所以，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有4+2+3=9種不同的走法．

這個(gè)問(wèn)題可以http://jiaoan.cnkjz.com/Article/Index.html>總結(jié)為下面的一個(gè)基本原理（打出片子——加法原理）：

加法原理：做一件事，完成它可以有幾類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法．

請(qǐng)大家再來(lái)考慮下面的問(wèn)題（打出片子——問(wèn)題2）：

問(wèn)題2：由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條（見(jiàn)下圖），從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？

這里，從A村到B村，有3種不同的走法，按這3種走法中的每一種走法到達(dá)B村后，再?gòu)腂村到C村又各有2種不同的走法，因此，從A村經(jīng)B村去C村共有3×2=6種不同的走法．

一般地，有如下基本原理（找出片子——乘法原理）：

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法． 2．淺釋兩個(gè)基本原理

兩個(gè)基本原理的用途是計(jì)算做一件事完成它的所有不同的方法種數(shù)．

比較兩個(gè)基本原理，想一想，它們有什么區(qū)別？

兩個(gè)基本原理的區(qū)別在于：一個(gè)與分類有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)．

看下面的分析是否正確（打出片子——題1，題2）：

題1：找1～10這10個(gè)數(shù)中的所有合數(shù)．第一類辦法是找含因數(shù)2的合數(shù)，共有4個(gè)；第二類辦法是找含因數(shù)3的合數(shù)，共有2個(gè)；第三類辦法是找含因數(shù)5的合數(shù)，共有1個(gè)． 1～10中一共有N=4＋2＋1=7個(gè)合數(shù)．

題2：在前面的問(wèn)題2中，步行從A村到B村的北路需要8時(shí)，中路需要4時(shí)，南路需要6時(shí)，B村到C村的北路需要5時(shí)，南路需要3時(shí)，要求步行從A村到C村的總時(shí)數(shù)不超過(guò)12時(shí)，共有多少種不同的走法？

第一步從A村到B村有3種走法，第二步從B村到C村有2種走法，共有N=3×2=6種不同走法．

題2中的合數(shù)是4，6，8，9，10這五個(gè)，其中6既含有因數(shù)2，也含有因數(shù)3；10既含有因數(shù)2，也含有因數(shù)5．題中的分析是錯(cuò)誤的．

從A村到C村總時(shí)數(shù)不超過(guò)12時(shí)的走法共有5種．題2中從A村走北路到B村后再到C村，只有南路這一種走法．

（此時(shí)給出題1和題2的目的是為了引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用兩個(gè)基本原理的注意事項(xiàng)，這樣安排，不但可以使學(xué)生對(duì)兩個(gè)基本原理的理解更深刻，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力）

進(jìn)行分類時(shí)，要求各類辦法彼此之間是相互排斥的，不論哪一類辦法中的哪一種方法，都能單獨(dú)完成這件事．只有滿足這個(gè)條件，才能直接用加法原理，否則不可以．

如果完成一件事需要分成幾個(gè)步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨(dú)立，即相對(duì)于前一步的每一種方法，下一步都有m種不同的方法，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，就可以直接應(yīng)用乘法原理．

也就是說(shuō)：類類互斥，步步獨(dú)立．

（在學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析不是很清楚時(shí)，教師及時(shí)地歸納小結(jié)，能使學(xué)生在應(yīng)用兩個(gè)基本原理時(shí)，思路進(jìn)一步清晰和明確，不再簡(jiǎn)單地認(rèn)為什么樣的分類都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互聯(lián)系就用乘法．從而深入理解兩個(gè)基本原理中分類、分步的真正含義和實(shí)質(zhì)）

（三）應(yīng)用舉例

現(xiàn)在我們已經(jīng)有了兩個(gè)基本原理，我們可以用它們來(lái)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了．

例1 書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語(yǔ)文書，6本不同的英語(yǔ)書．

（1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

（2）若從這些書中，取數(shù)學(xué)書、語(yǔ)文書、英語(yǔ)書各一本，有多少種不同的取法？

（3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？

（讓學(xué)生思考，要求依據(jù)兩個(gè)基本原理寫出這3個(gè)問(wèn)題的答案及理由，教師巡視指導(dǎo)，并適時(shí)口述解法）

（1）從書架上任取一本書，可以有3類辦法：第一類辦法是從3本不同數(shù)學(xué)書中任取1本，有3種方法；第二類辦法是從5本不同的語(yǔ)文書中任取1本，有5種方法；第三類辦法是從6本不同的英語(yǔ)書中任取一本，有6種方法．根據(jù)加法原理，得到的取法種數(shù)是 N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．故從書架上任取一本書的不同取法有14種．

（2）從書架上任取數(shù)學(xué)書、語(yǔ)文書、英語(yǔ)書各1本，需要分成三個(gè)步驟完成，第一步取1本數(shù)學(xué)書，有3種方法；第二步取1本語(yǔ)文書，有5種方法；第三步取1本英語(yǔ)書，有6種方法．根據(jù)乘法原

第二篇：高二數(shù)學(xué)教案：二項(xiàng)式定理

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http://004km.cn與第r?1項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念。

三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用。

四、教學(xué)過(guò)程：

（一）復(fù)習(xí)：

1．二項(xiàng)式定理及其特例：

0n1nrn?rrnn

（1）(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)，1rr

（2）(1?x)n?1?Cnx???Cnx???xn.rn?rr2．二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：Tr?1?Cnab.（二）新課講解：

例1（1）求(1?2x)7的展開式的第四項(xiàng)的系數(shù)；（2）求(x?)的展開式中x的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)。19x3解：(1?2x)7的展開式的第四項(xiàng)是T3?1?C7(2x)3?280x3，∴(1?2x)的展開式的第四項(xiàng)的系數(shù)是280． 7

（2）∵(x?)的展開式的通項(xiàng)是Tr?1?C9x191r9?r(?)r?(?1)rC9rx9?2r，xx∴9?2r?3，r?3，333∴x的系數(shù)(?1)3C9??84，x3的二項(xiàng)式系數(shù)C9?84．

4例2 求(x?3x?4)的展開式中x的系數(shù)。

分析：要把上式展開，必須先把三項(xiàng)中的某兩項(xiàng)結(jié)合起來(lái)，看成一項(xiàng)，才可以用二項(xiàng)式定理展開，然后再用一次二項(xiàng)式定理，也可以先把三項(xiàng)式分解成兩個(gè)二項(xiàng)式的積，再用二項(xiàng)式定理展開。

解：（法一）(x?3x?4)?[(x?3x)?4]

01?C4(x2?3x)4?C4(x2?3x)3?4

234?C4(x2?3x)2?42?C4(x2?3x)?43?C4?44，顯然，上式中只有第四項(xiàng)中含x的項(xiàng)，33∴展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)是?C4?3?4??768

24444（法二）：(x?3x?4)?[(x?1)(x?4)]?(x?1)(x?4)

04132234?(C4x?C4x?C4x?C4x?C4)04132234(C4x?C4x?4?C4x?42?C4x?43?C4?44)

3433∴展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)是?C44?C44??768． 22424

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http://004km.cn?4x?(2Cm?4Cn)x mn2211∴(2Cm?4Cn)?36，即m?2n?18，?1?2x?m??1?4x?展開式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為 n22222?Cn4?2m2?2m?8n2?8n，t?Cm∵m?2n?18，∴m?18?2n，∴t?2(18?2n)?2(18?2n)?8n?8n?16n?148n?612

3715337時(shí)，t取最小值，?16(n2?n?)，∴當(dāng)n?448*2但n?N，∴ n?5時(shí)，t即x項(xiàng)的系數(shù)最小，最小值為272，此時(shí)n?5,m?8．

例4 已知(x?1)n的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列，24x

（1）證明展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；（2）求展開式中所有的有理項(xiàng)。

解：由題意：2Cn?r82221112?1?Cn?()2，即n2?9n?8?0，∴n?8(n?1舍去）221r16?3rrrr?1rr8?rC8?0?r?8? 24 ∴Tr?1?Cx?(?4)?(?)?C8x?x???1?r?x4??222x?r?Z?①若Tr?1是常數(shù)項(xiàng)，則16?3r?0，即16?3r?0，∵r?Z，這不可能，∴展開

4式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)； ??8?r②若Tr?1是有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)16?3r為整數(shù)，∴0?r?8,r?Z，∴ r?0,4,8，4即展開式中有三項(xiàng)有理項(xiàng)，分別是：T1?x4，T5?35x，T9?1x?2.8256

五、課堂練習(xí)：課本第107頁(yè)練習(xí)第5，6題。

六、課堂小結(jié)：1．三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的展開問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)式子的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式來(lái)解決，轉(zhuǎn)化的方法通常為集項(xiàng)、配方、因式分解，集項(xiàng)時(shí)要注意結(jié)合的合理性和簡(jiǎn)捷性；

2．求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí)，要根據(jù)通項(xiàng)公式討論對(duì)r的限制；求有理項(xiàng)時(shí)要注意到指數(shù)及項(xiàng)數(shù)的整數(shù)性。

七、作業(yè)：課本第143頁(yè) 復(fù)習(xí)參考題十第12題，補(bǔ)充： 1．已知?x?3a?8的展開式中x的系數(shù)是?ax?1?9展開式中倒數(shù)第四項(xiàng)的系數(shù)的2倍，求

a,a,a,?a,?前n項(xiàng)的和；

12．(xx?4)n的展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)大44，則展開式中

x

常數(shù)項(xiàng)。

-23n3

第三篇：排列 、組合、二項(xiàng)式定理 加法原理和乘法原理 教案

排列、組合、二項(xiàng)式定理·加法原理和乘法原理·教案

教學(xué)目標(biāo)

正確理解和掌握加法原理和乘法原理，并能準(zhǔn)確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：加法原理和乘法原理．

難點(diǎn)：加法原理和乘法原理的準(zhǔn)確應(yīng)用．

教學(xué)用具 投影儀． 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）引入新課

師：從本節(jié)課開始，我們將要學(xué)習(xí)中學(xué)代數(shù)內(nèi)容中一個(gè)獨(dú)特的部分——排列、組合、二項(xiàng)式定理．它們研究對(duì)象獨(dú)特，研究問(wèn)題的方法不同一般．雖然份量不多，但是與舊知識(shí)的聯(lián)系很少，而且它還是我們今后學(xué)習(xí)概率論的基礎(chǔ)，統(tǒng)計(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及生物的選種等都與它直接有關(guān)．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排調(diào)配的問(wèn)題，就離不開它．

今天我們先學(xué)習(xí)兩個(gè)基本原理．

（這是排列、組合、二項(xiàng)式定理的第一節(jié)課，是起始課．講起始課時(shí)，把這一學(xué)科的內(nèi)容作一個(gè)大概的介紹，能使學(xué)生從一開始就對(duì)將要學(xué)習(xí)的知識(shí)有一個(gè)初步的了解，并為下面的學(xué)習(xí)研究打下思想基礎(chǔ)）

師：（板書課題）

（二）講授新課

1．介紹兩個(gè)基本原理

師：請(qǐng)大家先考慮下面的問(wèn)題（找出片子——問(wèn)題1）．

問(wèn)題1：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船．一天中，火車有4個(gè)班次，汽車有2個(gè)班次，輪船有3個(gè)班次．那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？

師：（啟發(fā)學(xué)生回答后，作補(bǔ)充說(shuō)明）

因?yàn)橐惶熘谐嘶疖囉?種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法，每種走法都可以完成由甲地到乙地這件事情．所以，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有

4+2+3=9 種不同的走法．

這個(gè)問(wèn)題可以總結(jié)為下面的一個(gè)基本原理．（打出片子——加法原理）

加法原理：做一件事，完成它可以有幾類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法．

（教師放慢速度讀一遍加法原理）

師：請(qǐng)大家再來(lái)考慮下面的問(wèn)題（打出片子——問(wèn)題2）．

問(wèn)題2：由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條（見(jiàn)圖9－1），從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？

師：（啟發(fā)學(xué)生回答后加以說(shuō)明）

這里，從A村到B村，有3種不同的走法，按這3種走法中的每一種走法到達(dá)B村后，再?gòu)腂村到C村又各有2種不同的走法，因此，從A村經(jīng)B村去C村共有3×2=6種不同的走法．

一般地，有如下基本原理：

（找出片子——乘法原理）

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有

N＝m1×m2×…×mn 種不同的方法．

（教師要讀一遍乘法原理）

2．淺釋兩個(gè)基本原理

師：兩個(gè)基本原理是干什么用的呢？

生：計(jì)算做一件事完成它的所有不同的方法種數(shù)．（如果學(xué)生不能較準(zhǔn)確地回答，教師可以加以提示）師：比較兩個(gè)基本原理，想一想，它們有什么區(qū)別呢？

（學(xué)生經(jīng)過(guò)思考后可以得出：各類的方法數(shù)相加，各步的方法數(shù)相乘．）兩個(gè)基本原理的區(qū)別在于：一個(gè)與分類有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)． 師：請(qǐng)看下面的分析是否正確．（打出片子——題1，題2）

題1：找1～10這10個(gè)數(shù)中的所有合數(shù)．第一類辦法是找含因數(shù)2的合數(shù)，共有4個(gè)；第二類辦法是找含因數(shù)3的合數(shù)，共有2個(gè)；第三類辦法是找含因數(shù)5的合數(shù)，共有1個(gè)．

1～10中一共有N=4＋2＋1=7個(gè)合數(shù)．

題2：在前面的問(wèn)題2中，步行從A村到B村的北路需要8時(shí)，中路需要4時(shí)，南路需要6時(shí)，B村到C村的北路需要5時(shí)，南路需要3時(shí)，要求步行從A村到C村的總時(shí)數(shù)不超過(guò)12時(shí)，共有多少種不同的走法？

第一步從A村到B村有3種走法，第二步從B村到C村有2種走法，共有N=3×2=6種不同走法． 生甲：9-2中的合數(shù)是4，6，8，9，10這五個(gè)，其中6既含有因數(shù)2，也含有因數(shù)3；10既含有因數(shù)2，也含有因數(shù)5．題中的分析是錯(cuò)誤的．

生乙：從A村到C村總時(shí)數(shù)不超過(guò)12時(shí)的走法共有5種．題2中從A村走北路到B村后再到C村，只有南路這一種走法．

（此時(shí)給出題1和題2的目的是為了引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用兩個(gè)基本原理的注意事項(xiàng)，這樣安排，不但可以使學(xué)生對(duì)兩個(gè)基本原理的理解更深刻，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力）

師：為什么會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤呢？

生：題1的分類可能有問(wèn)題吧，題2都走北路不符合要求．

師：（教師歸納）

進(jìn)行分類時(shí)，要求各類辦法彼此之間是相互排斥的，不論哪一類辦法中的哪一種方法，都能單獨(dú)完成這件事．只有滿足這個(gè)條件，才能直接用加法原理，否則不可以．

如果完成一件事需要分成幾個(gè)步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨(dú)立，即相對(duì)于前一步的每一種方法，下一步都有m種不同的方法，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，就可以直接應(yīng)用乘法原理．

也就是說(shuō)：類類互斥，步步獨(dú)立．

（在學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析不是很清楚時(shí)，教師及時(shí)地歸納小結(jié)，能使學(xué)生在應(yīng)用兩個(gè)基本原理時(shí)，思路進(jìn)一步清晰和明確，不再簡(jiǎn)單地認(rèn)為什么樣的分類都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互聯(lián)系就用乘法．從而深入理解兩個(gè)基本原理中分類、分步的真正含義和實(shí)質(zhì)）

（三）應(yīng)用舉例

師：現(xiàn)在我們已經(jīng)有了兩個(gè)基本原理，我們可以用它們來(lái)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了．請(qǐng)看例題1．（板書）

例1 書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語(yǔ)文書，6本不同的英語(yǔ)書．（1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

（2）若從這些書中，取數(shù)學(xué)書、語(yǔ)文書、英語(yǔ)書各一本，有多少種不同的取法？（3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？

（讓學(xué)生思考，要求依據(jù)兩個(gè)基本原理寫出這3個(gè)問(wèn)題的答案及理由，教師巡視指導(dǎo)，并適時(shí)口述解法）

師：（1）從書架上任取一本書，可以有3類辦法：第一類辦法是從3本不同數(shù)學(xué)書中任取1本，有3種方法；第二類辦法是從5本不同的語(yǔ)文書中任取1本，有5種方法；第三類辦法是從6本不同的英語(yǔ)書中任取一本，有6種方法．根據(jù)加法原理，得到的取法種數(shù)是

N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．

故從書架上任取一本書的不同取法有14種．

師：（2）從書架上任取數(shù)學(xué)書、語(yǔ)文書、英語(yǔ)書各1本，需要分成三個(gè)步驟完成，第一步取1本數(shù)學(xué)書，有3種方法；第二步取1本語(yǔ)文書，有5種方法；第三步取1本英語(yǔ)書，有6種方法．根據(jù)乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是

N=m1×m2×m3=3×5×6=90．

故，從書架上取數(shù)學(xué)書、語(yǔ)文書、英語(yǔ)書各1本，有90種不同的方法．

師：（3）從書架上任取不同科目的書兩本，可以有3類辦法：第一類辦法是數(shù)學(xué)書、語(yǔ)文書各取1本，需要分兩個(gè)步驟，有3×5種方法；第二類辦法是數(shù)學(xué)書、英語(yǔ)書各取1本，需要分兩個(gè)步驟，有3×6種方法；第三類辦法是語(yǔ)文書、英語(yǔ)書各取1本，有5×6種方法．一共得到不同的取法種數(shù)是

N=3×5＋3×6＋5×6=63．

即，從書架任取不同科目的書兩本的不同取法有63種．

師：請(qǐng)大家再來(lái)分析和解決例題2．（板書）

例2 由數(shù)字0，1，2，3，4可以組成多少個(gè)三位整數(shù)（各位上的數(shù)字允許重復(fù)）？ 師：每一個(gè)三位整數(shù)是由什么構(gòu)成的呢？ 生：三個(gè)整數(shù)字．

師：023是一個(gè)三位整數(shù)嗎？

生：不是，百位上不能是0．

師：對(duì)！百位的數(shù)字不能是0，也就是說(shuō)，一個(gè)三位整數(shù)是由百位、十位、個(gè)位三位數(shù)字組成的，其中最高位不能是0．那么要組成一個(gè)三位數(shù)需要怎么做呢？

生：分成三個(gè)步驟來(lái)完成：第一步確定百位上的數(shù)字；第二步確定十位上的數(shù)字；第三步確定個(gè)位上的數(shù)字．

師：很好！怎樣表述呢？（教師巡視指導(dǎo)、并歸納）

解：要組成一個(gè)三位數(shù)，需要分成三個(gè)步驟：第一步確定百位上的數(shù)字，從1～4這4個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)數(shù)字，有4種選法；第二步確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復(fù)，共有5種選法；第三步確定個(gè)位上的數(shù)字，仍有5種選法．根據(jù)乘法原理，得到可以組成的三位整數(shù)的個(gè)數(shù)是 N=4×5×5=100．

答：可以組成100個(gè)三位整數(shù)．（教師的連續(xù)發(fā)問(wèn)、啟發(fā)、引導(dǎo)，幫助學(xué)生找到正確的解題思路和計(jì)算方法，使學(xué)生的分析問(wèn)題能力有所提高．

教師在第二個(gè)例題中給出板書示范，能幫助學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)兩個(gè)基本原理實(shí)質(zhì)的理解，周密的考慮，準(zhǔn)確的表達(dá)、規(guī)范的書寫，對(duì)于學(xué)生周密思考、準(zhǔn)確表達(dá)、規(guī)范書寫良好習(xí)慣的形成有著積極的促進(jìn)作用，也可以為學(xué)生后面應(yīng)用兩個(gè)基本原理解排列、組合綜合題打下基礎(chǔ)）

（四）歸納小結(jié)

師：什么時(shí)候用加法原理、什么時(shí)候用乘法原理呢？ 生：分類時(shí)用加法原理，分步時(shí)用乘法原理．

師：應(yīng)用兩個(gè)基本原理時(shí)需要注意什么呢？

生：分類時(shí)要求各類辦法彼此之間相互排斥；分步時(shí)要求各步是相互獨(dú)立的．

（五）課堂練習(xí)P222：練習(xí)1～4．

（對(duì)于題4，教師有必要對(duì)三個(gè)多項(xiàng)式乘積展開后各項(xiàng)的構(gòu)成給以提示）

（六）布置作業(yè)

P222：練習(xí)5，6，7．

補(bǔ)充題：

1．在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有多少個(gè)？

（提示：按十位上數(shù)字的大小可以分為9類，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45個(gè)個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)）

2．某學(xué)生填報(bào)高考志愿，有m個(gè)不同的志愿可供選擇，若只能按第一、二、三志愿依次填寫3個(gè)不同的志愿，求該生填寫志愿的方式的種數(shù)．

（提示：需要按三個(gè)志愿分成三步，共有m（m-1）（m-2）種填寫方式）

3．在所有的三位數(shù)中，有且只有兩個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)共有多少個(gè)？（提示：可以用下面方法來(lái)求解：（1）△△□，（2）△□△，（3）□△□，（1），（2），（3）類中每類都是9×9種，共有9×9+9×9+9×9=3×9×9=243個(gè)只有兩個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)）

4．某小組有10人，每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門，其中8人會(huì)英語(yǔ)，5人會(huì)日語(yǔ)，（1）從中任選一個(gè)會(huì)外語(yǔ)的人，有多少種選法？（2）從中選出會(huì)英語(yǔ)與會(huì)日語(yǔ)的各1人，有多少種不同的選法？

（提示：由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)．（1）N=5＋2＋3；（2）N=5×2＋5×3＋2×3）

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

兩個(gè)基本原理一課是排列、組合、二項(xiàng)式定理的開頭課，學(xué)習(xí)它所需的先行知識(shí)跟學(xué)生已熟知的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系很少，通常教師們或者感覺(jué)很簡(jiǎn)單，一帶而過(guò)；或者感覺(jué)難以開頭．中學(xué)數(shù)學(xué)課程中引進(jìn)的關(guān)于排列、組合的計(jì)算公式都是以乘法原理為基礎(chǔ)的，而一些較復(fù)雜的排列、組合應(yīng)用題的求解，更是離不開兩個(gè)基本原理，因此必須使學(xué)生學(xué)會(huì)正確地使用兩個(gè)基本原理，學(xué)會(huì)正確地使用這兩個(gè)基本原理是這一章教學(xué)中必須抓住的一個(gè)關(guān)鍵．所以在教學(xué)目標(biāo)中特別提出要使學(xué)生學(xué)會(huì)準(zhǔn)備地應(yīng)用兩個(gè)基本原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題．對(duì)于學(xué)生陌生的知識(shí)，在開頭課中首先作一個(gè)大概的介紹，使學(xué)生有一個(gè)大致的了解是十分必要的．基于這一想法，在引入新課時(shí)，首先是把這一章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，以及與其它科目的關(guān)系做了介紹，同時(shí)也引入了課題．

正確使用兩個(gè)基本原理的前提是要學(xué)生清楚兩個(gè)基本原理使用的條件．而原理中提到的分步和分類，學(xué)生不是一下子就能理解深刻的，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生，幫助他們分析，找到分類和分步的具體要求——類類互斥，步步獨(dú)立．教學(xué)過(guò)程中的題1和題2，就是為了解決這一問(wèn)題而提出的．

分類用加法原理，分步用乘法原理，單純這點(diǎn)學(xué)生是容易理解的，問(wèn)題在于怎樣合理地進(jìn)行分類、分步，特別是在分類時(shí)必須做到既不重復(fù)，又不遺漏，找到分步的方法有時(shí)是比較困難的，這就要著重進(jìn)行訓(xùn)練．教學(xué)中給出了例題

1、例題2．這兩個(gè)題目都是在課本例題的基礎(chǔ)上稍加改動(dòng)過(guò)的，目的就是要幫助學(xué)生發(fā)展思維能力，培養(yǎng)學(xué)生周密思考、細(xì)心分析的良好習(xí)慣．為了幫助學(xué)生在今后能正確運(yùn)用兩個(gè)基本原理解決其它排列組合問(wèn)題，特別給出了4個(gè)補(bǔ)充習(xí)題，為下面將要進(jìn)行的課打下一個(gè)基礎(chǔ)． 考慮到這節(jié)課無(wú)論是兩個(gè)基本原理，還是例題都是文字較多的，因此特別設(shè)計(jì)了使用教具——投影儀．要是有實(shí)物投影儀那就更方便了．

第四篇：2014年高考文科數(shù)學(xué)試題分類10：排列、組合及二項(xiàng)式定理

2014年全國(guó)各地高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編10：排列、組合及二項(xiàng)式定理

一、選擇題

錯(cuò)誤！未指定書簽。．（2013年高考大綱卷（文））?x?2?的展開式中x的系數(shù)是 68（）

A．28

【答案】C

二、填空題 B．56 C．112 D．224

?2a?7錯(cuò)誤！未指定書簽。．（2013年上海高考數(shù)學(xué)試題（文科））設(shè)常數(shù)a?R.若?x??的二項(xiàng)展開式中x項(xiàng)x??的系數(shù)為-10,則a?_______.【答案】?2

錯(cuò)誤！未指定書簽。．（2013年高考大綱卷（文））從進(jìn)入決賽的6名選手中決出1名一等獎(jiǎng),2名二等獎(jiǎng),35

名三等獎(jiǎng),則可能的決賽結(jié)果共有____種.(用數(shù)字作答)

【答案】60

第五篇：高二地方新教材期末練習(xí)卷(三角函數(shù)、解析幾何、排列、組合、二項(xiàng)式定理)

高一地方新教材期末練習(xí)卷一

一、選擇題（每題3分，共36分）

1.?5?4，a?b??10，則a與b的夾角為（）

A.90B.120C.135D.150

2.cos83cos38?sin83sin38的值為（）????????

A.123B.C.D.1 22

2??3.在?ABC中，已知a?8，?B?60，?A?45，則b為（）

A.4B.42C.43D.46

4.下列方程的曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)的是（）

A.y?x?2B.y?122C.x?y?4D.y?2x x

5.點(diǎn)P(1,?1)到直線3x?4y?6?0的距離為（）A.24B.C.1D.2 5

56.直線2x?3y?1?0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為（）

A.2x?3y?1?0B.2x?3y?1?0C.2x?3y?1?0D.3x?2y?1?0

7.過(guò)圓x2?y2?4上一點(diǎn)M(1,?)的切線方程是（）A.x?3y?4?0 B.x?3y?4?0C.x?3y?4?0D.x?3y?4?0

x2y2

??1的漸近線為（）8.雙曲線 49

A.y??9432xB.y??xC.y??xD.y??x 492

329.拋物線y??4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A．(1,0)B．(?1,0)C．(0,1)D．(?1,0)

10.若C12?C12x3x?4，則x為（）

A．?2B．?2C．2D．4 11.(x?24)中的常數(shù)項(xiàng)為（）x

A．6B．?6C．24D．?2

412.酸、甜、苦、辣、咸、澀六味，假設(shè)任何兩種或多種混合調(diào)出的味道都不同，則六味可以調(diào)出多少種不同的味道（）

A．6種B．21種C．63種D．720種

二、填空題（每題4分，共24分）

13.sin75cos75? _______

14.過(guò)點(diǎn)(3,2)且傾斜角為45的直線方程為___________

15.直線y?x?52與圓x2?y2?25的位置關(guān)系為_________ ???

x2y

2??1上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為6，則該點(diǎn)到另外一個(gè)焦點(diǎn)的距離為____ 16.橢圓1006

42526269817.C100?C50?C51?______ ?_____，C50

18.從5名男同學(xué)和4名女同學(xué)中選出3名參加某種技能比賽，則選到的3名同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)的選法有______種

三、解答題（共40分）

19.（本題6分）已知??（?2,?)，且sin??3，求tan?，tan2?

520.（本題6分）第29屆北京奧運(yùn)會(huì)表彰會(huì)上，中國(guó)乒乓球隊(duì)男女主力隊(duì)員各3名，與主教練劉國(guó)梁合影留念。

（1）教練站著中間有多少種排法？

（2）女的站在前排，男的站在后排，有多少種排法？

21.（本題8分）求滿足下列條件的直線方程：

（1）經(jīng)過(guò)(2,3)且與直線3x?2y?7?0平行的直線

（2）經(jīng)過(guò)(2,3)且與直線3x?2y?7?0垂直的直線

22.（本題6分）已知點(diǎn)A(1,7),B(?1,1)，求以線段AB為直徑的圓的方程

x2y

2??1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率 23.（本題8分）求橢圓2516

24.（本題6分）(x?1)7?a0?a1x?a2x2???a7x7

（1）求a0

（2）求a1?a2???a7