第一篇：《簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題》第三課時(shí)參考教案

課題: §3.3.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題

第3課時(shí)

【教學(xué)目標(biāo)】

1．知識(shí)與技能：掌握線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；

2．過程與方法：經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題的過程，提高數(shù)學(xué)建模能力；

3．情態(tài)與價(jià)值：引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】

利用圖解法求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解； 【教學(xué)難點(diǎn)】

把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題，并給出解答，解決難點(diǎn)的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題中的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用圖解法求得最優(yōu)解。【教學(xué)過程】 1.課題導(dǎo)入 [復(fù)習(xí)引入]：

1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）

2、目標(biāo)函數(shù), 線性目標(biāo)函數(shù)，線性規(guī)劃問題,可行解，可行域, 最優(yōu)解:

3、用圖解法解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題的基本步驟： 2.講授新課

1．線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用：

例5 在上一節(jié)例4中，若生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為10 000元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為5 000元，那么分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn)？

2． “閱讀與思考”——錯(cuò)在哪里？

若實(shí)數(shù)x，y滿足

/ 3

?1?x?y?求4x+2y的取值范圍． ???1?x?y?1錯(cuò)解：由①、②同向相加可求得：

0≤2x≤4 即

0≤4x≤8 ③ 由②得

—1≤y—x≤1

將上式與①同向相加得0≤2y≤4

④ ③十④得

0≤4x十2y≤12 以上解法正確嗎?為什么?(1)[質(zhì)疑]引導(dǎo)學(xué)生閱讀、討論、分析．

(2)[辨析]通過討論，上述解法中，確定的0≤4x≤8及0≤2y≤4是對(duì)的，但用x的最大(小)值及y的最大(小)值來確定4x十2y的最大(小)值卻是不合理的．X取得最大（?。┲禃r(shí)，y并不能同時(shí)取得最大（?。┲?。由于忽略了x和 y 的相互制約關(guān)系，故這種解法不正確．

(3)[激勵(lì)]產(chǎn)生上述解法錯(cuò)誤的原因是什么?此例有沒有更好的解法?怎樣求解? 正解：

因?yàn)?/p>

4x+2y=3(x+y)+(x-y)且由已有條件有：

3?3x

（5）(?y?)9

?1?x?y?

1（6）將（5）（6）兩式相加得

2?4 1x?2y?3x(?y)?x(?y)?所以

2?4x?2y?1 03.隨堂練習(xí)1

?x?y?2?

1、求z?x?y的最大值、最小值，使x、y滿足條件?x?0

?y?0??x?4y??3?

2、設(shè)z?2x?y，式中變量x、y滿足

?3x?5y?25

?x?1? 2 / 3

4.課時(shí)小結(jié)

[結(jié)論一]線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得.[結(jié)論二]線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值也可能在可行域的邊界上取得，即滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè)． 5.評(píng)價(jià)設(shè)計(jì) 【板書設(shè)計(jì)】

/ 3

第二篇：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃教案

簡(jiǎn)單線性規(guī)劃教案

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教學(xué)設(shè)計(jì)

3．5.2 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

本節(jié)內(nèi)容在教材中有著重要的地位與作用．線性規(guī)劃是利用數(shù)學(xué)為工具，來研究一定的人、財(cái)、物等資源在一定條件下，如何精打細(xì)算巧安排，用最少的資源，取得最大的經(jīng)濟(jì)效益．它是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的一個(gè)分支，并能解決科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理等許多方面的實(shí)際問題．中學(xué)所學(xué)的線性規(guī)劃只是規(guī)劃論中的極小一部分，但這部分內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具性、應(yīng)用性，同時(shí)也滲透了化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，為學(xué)生今后解決實(shí)際問題提供了一種重要的解題方法——數(shù)學(xué)建模法．通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和解決實(shí)際問題的能力．

把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答是本節(jié)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)．對(duì)許多學(xué)生來說，解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的最常見的困難是不會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即不會(huì)建模，所以把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題作為本節(jié)的難點(diǎn)．對(duì)學(xué)生而言，解決應(yīng)用問題的障礙主要有三類：①不能正確理解題意，弄清各元素之間的關(guān)系；②不能分清問題的主次關(guān)系，因而抓不住問題的本質(zhì)，無法建立數(shù)學(xué)模型；③孤立地考慮單個(gè)的問題情境，不能多方面聯(lián)想，形成正遷移．針對(duì)這些障礙以及題目本身文字過長(zhǎng)等因素，將本節(jié)設(shè)計(jì)為計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，充分利用現(xiàn)代化教學(xué)工具，從而將實(shí)際問題鮮活直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前，以利于理解．

實(shí)際教學(xué)中注意以下幾個(gè)問題：①用圖解法解決線性規(guī)劃問題時(shí)，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵．可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組尋求約束條件，并就題目所述找到目標(biāo)函數(shù)．②可行域就是二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)開放的無限大的平面區(qū)域．③如果可行域是一個(gè)凸多邊形，那么一般在其頂點(diǎn)處使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值，最優(yōu)解一般就是多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)．到底哪個(gè)頂點(diǎn)為最優(yōu)解，可有兩種確定方法：一是將目標(biāo)函數(shù)的直線平行移動(dòng)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)便是；另一種方法可利用圍成可行域的直線的斜率來判斷．④若實(shí)際問題要求的最優(yōu)解是整數(shù)解，而我們利用圖解法得到的解為非整數(shù)解，應(yīng)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整．其方法應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù)，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點(diǎn)，不要在用圖解法所得到的近似解附近尋找．如果可行域中的整點(diǎn)數(shù)目很少，采用逐個(gè)試驗(yàn)法也是很有效的辦法．⑤在線性規(guī)劃的實(shí)際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運(yùn)用這些資源能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；二是給定一項(xiàng)任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成的這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源最小．

如果條件允許，可將本節(jié)的思考與討論融入課堂．

三維目標(biāo)

．使學(xué)生了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念；了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．

2．通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生“建?！焙徒鉀Q實(shí)際問題的能力．

3．通過本節(jié)學(xué)習(xí)，理解線性規(guī)劃求最優(yōu)解的原理，明確線性規(guī)劃在現(xiàn)實(shí)生活中的意義．

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，理解線性規(guī)劃最優(yōu)解的原理．

教學(xué)難點(diǎn)：把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答．

課時(shí)安排

2課時(shí)

教學(xué)過程

第1課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路1.由身邊的線性規(guī)劃問題導(dǎo)入課題，同時(shí)闡明其重要意義．如6枝玫瑰花與3枝康乃馨的價(jià)格之和大于24元．而4枝玫瑰與5枝康乃馨的價(jià)格之和小于22元．如果想買2枝玫瑰與3枝康乃馨，那么價(jià)格比較結(jié)果是怎樣的呢？可由學(xué)生列出不等關(guān)系，并畫出平面區(qū)域．由此導(dǎo)入新課．

思路2.在生產(chǎn)與營銷活動(dòng)中，我們常常需要考慮：怎樣利用現(xiàn)在的資源取得最大的收益，或者怎樣以最少的資源投入去完成一項(xiàng)給定的任務(wù)．我們把這一類問題稱為“最優(yōu)化”問題．線性規(guī)劃知識(shí)恰是解決這類問題的得力工具．由此展開新課．

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

?1?回憶二元一次不等式Ax＋By＋c＞0在平面直角坐標(biāo)系中的平面區(qū)域的確定方法.?2?怎樣從實(shí)際問題中抽象出不等式組，并畫出所確定的平面區(qū)域？

?3?閱讀教材，明確什么是目標(biāo)函數(shù)，線性目標(biāo)函數(shù)，約束條件，線性約束條件，線性規(guī)劃問題，最優(yōu)解，可行域.,?4?你能給出解決線性規(guī)劃問題的一般步驟嗎？

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧二元一次不等式表示平面區(qū)域常用的方法是：直線定界、原點(diǎn)定域，即先畫出對(duì)應(yīng)直線，再將原點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程中，看其值比零大還是比零小；不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，是它們平面區(qū)域的公共部分．

教師引導(dǎo)學(xué)生探究教材本節(jié)開頭的問題．根據(jù)上節(jié)所學(xué)，學(xué)生很容易設(shè)出計(jì)劃生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x工時(shí)，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品y工時(shí)，且很容易地列出獲得利潤(rùn)總額為f＝30x＋40y，①

及x，y滿足的條件

3x＋2y≤1200，x＋2y≤800，x≥0，y≥0.②

教師引導(dǎo)學(xué)生畫出上述不等式組表示的區(qū)域，如下圖．

結(jié)合圖形，教師與學(xué)生一起探究，原問題就是在x，y滿足②的情況下，求f的最大值．也就是在圖中陰影部分內(nèi)找一點(diǎn)，把它的坐標(biāo)代入式子30x＋40y時(shí)，使該式值最大．若令30x＋40y＝0，則此方程表示通過原點(diǎn)的一條直線，記為l0，則在區(qū)域oABc內(nèi)有30x＋40y≥0.設(shè)這個(gè)區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)P到l0的距離為d，則d＝|30x＋40y|302＋402＝30x＋40y302＋402，即30x＋40y＝302＋402?d.由此可發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P到直線l0的距離d越大，式子30x＋40y的值就越大．這樣問題又轉(zhuǎn)化為：在區(qū)域oABc內(nèi)，找與直線l0距離最大的點(diǎn)．觀察圖象易發(fā)現(xiàn)，平移直線l0，最后經(jīng)過的點(diǎn)為B，易知區(qū)域oABc內(nèi)的點(diǎn)B即為所求．

解方程組3x＋2y＝1200，x＋2y＝800，得B，代入式子①，得fmax＝30×200＋40×300＝18000.即問題中，用200工時(shí)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品，用300工時(shí)生產(chǎn)乙種產(chǎn)品，能獲得最大利潤(rùn)18000元．

進(jìn)一步探究上述問題，不等式組是一組對(duì)變量x、y的約束條件，由于這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件．z＝2x＋y是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，我們把它稱為目標(biāo)函數(shù)．由于z＝2x＋y又是關(guān)于x、y的一次解析式，所以又可叫做線性目標(biāo)函數(shù)．線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．[

一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題．例如：我們剛才研究的就是求線性目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y在線性約束條件下的最大值和最小值的問題，即為線性規(guī)劃問題．滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域．其中，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解，接著讓學(xué)生說出上述問題中的目標(biāo)函數(shù)，約束條件，可行域，最優(yōu)解分別是什么．

根據(jù)以上探究，我們可以得出用圖解法解決線性規(guī)劃問題的一般步驟：

分析并將已知數(shù)據(jù)列出表格；

確定線性約束條件；

確定線性目標(biāo)函數(shù)；

畫出可行域；

利用線性目標(biāo)函數(shù)求出最優(yōu)解．在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)，從圖中能判定問題有唯一最優(yōu)解，或者是無窮最優(yōu)解，或是無最優(yōu)解；

實(shí)際問題需要整數(shù)解時(shí)，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整確定最優(yōu)解．

討論結(jié)果：

～略．

應(yīng)用示例

例1已知x、y滿足不等式x＋2y≥2，2x＋y≥1，x≥0，y≥0，求z＝3x＋y的最小值．

活動(dòng)：可先找出可行域，平行移動(dòng)直線l0：3x＋y＝0找出可行解，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最小值．

解：不等式x＋2y≥2表示直線x＋2y＝2上及其右上方的點(diǎn)的集合；

不等式2x＋y≥1表示直線2x＋y＝1上及其右上方的點(diǎn)的集合．

可行域如圖所示．

作直線l0：3x＋y＝0，作一組與直線l0平行的直線l：3x＋y＝t．

∵x、y是上面不等式組表示的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，由圖可知，當(dāng)直線l：3x＋y＝z通過點(diǎn)P時(shí)，z取到最小值1，即zmin＝1.點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實(shí)際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的．

尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；

由二元一次不等式表示的平面區(qū)域作出可行域；

在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.變式訓(xùn)練

若變量x，y滿足2x＋y≤40，x＋2y≤50，x≥0，y≥0，則z＝3x＋2y的最大值是________．

答案：70

解析：由不等式組2x＋y≤40y≥0畫出可行域如下圖．

結(jié)合圖形，由2x＋y＝40，x＋2y＝50x＝10，y＝20，于是zmax＝3×10＋2×20＝70.例2

活動(dòng)：教材此例的數(shù)據(jù)以表格的形式給出．這樣可使量

x＋2y≤50

x≥0，與量之間的關(guān)系一目了然，非常有助于我們順利地找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，特別是對(duì)于那些量比較多的問題．本例難度不大，可由學(xué)生自己完成，教師給予適當(dāng)點(diǎn)撥．

點(diǎn)評(píng)：完成此例后，可讓學(xué)生對(duì)應(yīng)用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題作一簡(jiǎn)單歸納．對(duì)較好的學(xué)生，教師可結(jié)合思考與討論進(jìn)行歸納.變式訓(xùn)練

某家具廠有方木料90m3，五合板600m2，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售．已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生產(chǎn)每個(gè)書櫥需要方木料0.2m3、五合板1m2.出售一張書桌可獲利潤(rùn)80元，出售一個(gè)書櫥可獲利潤(rùn)120元，如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤(rùn)多少？如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤(rùn)多少？怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤(rùn)最大？

解：設(shè)只生產(chǎn)書桌x張，可獲得利潤(rùn)z元，則0.1x≤90，2x≤600x≤900，x≤300x≤300.z＝80x，∴當(dāng)x＝300時(shí)，zmax＝80×300＝24000，即如果只安排生產(chǎn)書桌，最多可生產(chǎn)300張書桌，獲得利潤(rùn)24000元．

設(shè)只生產(chǎn)書櫥y張，可獲利潤(rùn)z元，則0.2y≤90，y≤600y≤450，y≤600y≤450.z＝120y，∴當(dāng)y＝450時(shí)，zmax＝120×450＝54000，即如果只安排生產(chǎn)書櫥，最多可生產(chǎn)450個(gè)，獲得利潤(rùn)54000元．

設(shè)生產(chǎn)書桌x張，書櫥y個(gè)，利潤(rùn)總額為z元．

則0.1x＋0.2y≤90，2x＋y≤600，x≥0，y≥0x＋2y≤900，2x＋y≤600，x≥0，y≥0，z＝80x＋120y，可行域如圖．

由圖可知：當(dāng)直線y＝－23x＋z120經(jīng)過可行域上的點(diǎn)m時(shí)，截距z120最大，即z最大，解方程組x＋2y＝9002x＋y＝600，得m的坐標(biāo)為．

∴zmax＝80x＋120y＝80×100＋120×400＝56000．

因此，生產(chǎn)書桌100張、書櫥400個(gè)，可使所得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為56000元.例3某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t需耗A種礦石10t、B種礦石5t、煤4t；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品需耗A種礦石4t、B種礦石4t、煤9t．每1t甲種產(chǎn)品的利潤(rùn)是600元，每1t乙種產(chǎn)品的利潤(rùn)是1000元．工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中要求消耗A種礦石不超過300t、B種礦石不超過200t、煤不超過360t，甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少，能使利潤(rùn)總額達(dá)到最大？

活動(dòng)：將已知數(shù)據(jù)列成下表，然后按線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的步驟完成，本例可由學(xué)生自己完成．

解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為xt、yt，利潤(rùn)總額為z元，那么10x＋4y≤300，5x＋4y≤200，4x＋9y≤360，x≥0，y≥0；

目標(biāo)函數(shù)為z＝600x＋1000y.作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域如圖．

作直線l：600x＋1000y＝0，即直線l：3x＋5y＝0.把直線l向右上方平移至l1的位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)m，且與原點(diǎn)距離最大，此時(shí)z＝600x＋1000y取最大值．

解方程組5x＋4y＝200，4x＋9y＝360，得x＝36029≈12.4，y＝100029≈34.4.∴m的坐標(biāo)為．

答：應(yīng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品約12.4t，乙產(chǎn)品34.4t，能使利潤(rùn)總額達(dá)到最大．

知能訓(xùn)練

．設(shè)變量x，y滿足約束條件：y≥x，x＋2y≤2，x≥－2，則z＝x－3y的最小值為

A．－2

B．－4

c．－6

D．－8

2．醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配營養(yǎng)餐．甲種原料每10g含5單位蛋白質(zhì)和10單位鐵質(zhì)，售價(jià)3元；乙種原料每10g含7單位蛋白質(zhì)和4單位鐵質(zhì)，售價(jià)2元．若病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì)．試問：應(yīng)如何使用甲、乙原料，才能既滿足營養(yǎng)，又使費(fèi)用最?。?/p>

答案：

．D 解析：在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組y≥x，x＋2y≤2，x≥－2所表示的平面區(qū)域，作出直線x－3y＝0，平移該直線，并結(jié)合圖形知點(diǎn)為最優(yōu)解．所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為zmin＝－2－3×2＝－8，故選D.2．活動(dòng)：將已知數(shù)據(jù)列成下表：

原料/10g

蛋白質(zhì)/單位

鐵質(zhì)/單位

甲

0

乙

費(fèi)用

設(shè)甲、乙兩種原料分別用10xg和10yg，則需要的費(fèi)用為z＝3x＋2y；病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)，可表示為5x＋7y≥35；同理，對(duì)鐵質(zhì)的要求可以表示為10x＋4y≥40，這樣，問題成為在約束條件5x＋7y≥35，10x＋4y≥40，x≥0，y≥0下，求目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋2y的最小值．

解：設(shè)甲、乙兩種原料分別用10xg和10yg，總費(fèi)用為z，那么5x＋7y≥35，10x＋4y≥40，x≥0，y≥0；

目標(biāo)函數(shù)為z＝3x＋2y，作出可行域如圖．

把z＝3x＋2y變形為y＝－32x＋z2，得到斜率為－32，在y軸上的截距為z2，隨z變化的一組平行直線．

由圖可知，當(dāng)直線y＝－32x＋z2經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A時(shí)，截距z2最小，即z最?。?/p>

由10x＋4y＝40，5x＋7y＝35，得A，∴zmin＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲種原料使用145×10＝28，乙種原料使用3×10＝30時(shí)，費(fèi)用最省．

課堂小結(jié)

．讓學(xué)生自己歸納整合本節(jié)所學(xué)的知識(shí)方法及用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的方法步驟，自己在本節(jié)中的最大收獲有哪些？

2．教師強(qiáng)調(diào)，通過本節(jié)學(xué)習(xí)，需掌握如何用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的解題思路：首先，應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出約束條件，確定線性目標(biāo)函數(shù)．然后，用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解，即畫出可行域，在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解．最后，還要根據(jù)實(shí)際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解，即結(jié)合實(shí)際情況求得最優(yōu)解．

作業(yè)

習(xí)題3—5A組3、4、5；習(xí)題3—5B組3.設(shè)計(jì)感想

．本節(jié)內(nèi)容與實(shí)際問題聯(lián)系緊密，有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)以及解決實(shí)際問題的能力．本節(jié)內(nèi)容滲透了多種數(shù)學(xué)思想，是向?qū)W生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的典型教材，也是培養(yǎng)學(xué)生觀察、作圖能力的典型教材．

2．通過實(shí)例給出解題步驟，讓其更深入了解并掌握新知．這里強(qiáng)調(diào)的還有作圖的規(guī)范問題，這是學(xué)生容易忽視的，但這又是本節(jié)課很重要的一部分．

3．關(guān)于難度把握問題，依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》及教材分析，二元一次不等式表示平面區(qū)域以及線性規(guī)劃的有關(guān)概念比較抽象，按高二學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)和認(rèn)知水平難以透徹理解，再加上學(xué)生對(duì)代數(shù)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為幾何問題，以及數(shù)學(xué)建模方法解決實(shí)際問題有一個(gè)學(xué)習(xí)消化的過程，故本節(jié)知識(shí)內(nèi)容定為了解層次．但這個(gè)了解不同于其他的了解，應(yīng)注意讓學(xué)生切實(shí)學(xué)會(huì)從實(shí)際問題抽象出約束條件及目標(biāo)函數(shù)，并注意規(guī)范書寫解答步驟．

第2課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路1.上一節(jié)課我們探究了用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的一種類型，這節(jié)課我們進(jìn)一步探究有關(guān)線性規(guī)劃的一些問題，看看用線性規(guī)劃還能解決哪些實(shí)際問題．教師出示多媒體，提出問題，由此引入新課．

思路2.關(guān)于線性規(guī)劃的整點(diǎn)問題是個(gè)難點(diǎn)，我們是用平移直線的辦法來解決的，需要畫圖精確，令學(xué)生很頭痛．下面我們探究調(diào)整最優(yōu)值法來確定最優(yōu)整數(shù)解的方法．教師用多媒體出示以下問題：

某人有樓房一座，室內(nèi)面積共有180平方米，擬分隔成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為18平方米，可住游客5名，每名游客每天住宿費(fèi)40元，小房間每間面積15平方米，可住游客3名，每名游客每天住宿費(fèi)50元；裝修大房間每間需1000元，裝修小房間每間需600元．如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間，能獲得最大收益？

學(xué)生很容易設(shè)隔出大房間x間，小房間y間時(shí)收益為z元，則x，y滿足

8x＋15y≤180，1000x＋600y≤8000，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.作出可行域，作直線l：200x＋150y＝0，即l：4x＋3y＝0，把直線l向右上方平移，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)B時(shí)，與原點(diǎn)距離最大，此時(shí)z＝200x＋150y取得最大值，解方程組6x＋5y＝60，5x＋3y＝40，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為，由于B的坐標(biāo)不是整數(shù)，而最優(yōu)解中，x、y必須都是整數(shù)，所以可行域內(nèi)的點(diǎn)B不是最優(yōu)解．

以下教師與學(xué)生共同探究調(diào)整最優(yōu)值法來確定最優(yōu)整點(diǎn)的方法：

將B點(diǎn)坐標(biāo)代入4x＋3y＝z，得z＝3717，所以令4x＋3y＝37.所以y＝37－4x3，x＝37－3y4，代入約束條件得y＝9，x無解；

再令4x＋3y＝36，所以y＝36－4x3，x＝36－3y4，代入約束條件得7≤y≤12,0≤x≤4.又因?yàn)?x＋3y＝36，所以得最優(yōu)解為和，此時(shí)z的最大值是36，最大利潤(rùn)是1800元．

用圖解法解決時(shí)，容易丟一組解，而選擇調(diào)整最優(yōu)值法，即可避免丟解問題，只是需要一定的不等式及不定方程的知識(shí)．鼓勵(lì)學(xué)生課外進(jìn)一步探究其他方法．

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

??1?回憶上節(jié)課我們利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的方法、步驟、格式，解題時(shí)應(yīng)注意哪些問題？

?2?前面我們解決了可行域中整點(diǎn)問題，明確了求可行域中最優(yōu)解問題，請(qǐng)思考最優(yōu)解的個(gè)數(shù)有可能為無數(shù)個(gè)嗎？

活動(dòng)：教師與學(xué)生一起回憶上節(jié)課利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題時(shí)應(yīng)注意：①在尋求約束條件時(shí)，要注意挖掘隱含條件；②在確定最優(yōu)解時(shí)，首先要賦予因變量的幾何意義，然后利用圖形的直觀來確定最優(yōu)解；③在確定最優(yōu)解時(shí)，用直線的斜率來定位．

關(guān)于可行域中的整點(diǎn)求法，是以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù)，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點(diǎn)．如果可行域中的整點(diǎn)數(shù)目很少，采用逐個(gè)試驗(yàn)法也是很有效的辦法．下面我們進(jìn)一步探究最優(yōu)解問題以及用線性規(guī)劃解決的另一類實(shí)際問題．

討論結(jié)果：略．

求最優(yōu)解，若沒有特殊要求，一般為邊界交點(diǎn)．但取得最值的最優(yōu)解可能有無窮多個(gè)．若通過圖形觀察不易分辨時(shí)，可把邊界交點(diǎn)代入驗(yàn)證．

應(yīng)用示例

例1某公司計(jì)劃XX年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元．甲、乙電視臺(tái)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘．假定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大？最大收益是多少萬元？

活動(dòng)：這是高考中繼江蘇卷線性規(guī)劃大題后第二個(gè)線性規(guī)劃大題，教師引導(dǎo)學(xué)生按前面的方法列出表格，則各量之間的關(guān)系即一目了然．本題難度不大，可由學(xué)生自己解決．列表如下：

甲

乙

合計(jì)

時(shí)間

x分鐘

y分鐘

300

收費(fèi)

500元/分鐘

200元/分鐘

9萬元

解：設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元．

由題意得x＋y≤300，500x＋200y≤90000，x≥0，y≥0.目標(biāo)函數(shù)為z＝3000x＋XXy.二元一次不等式組等價(jià)于x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0.作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖．

作直線l：3000x＋XXy＝0，即3x＋2y＝0.平移直線l，從圖中可知，當(dāng)直線l過m點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．

聯(lián)立x＋y＝300，5x＋2y＝900，解得x＝100，y＝200.∴點(diǎn)m的坐標(biāo)為．

∴zmax＝3000x＋XXy＝700000．

答：該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元．

例2

活動(dòng)：本例是整數(shù)線性規(guī)劃問題．整數(shù)線性規(guī)劃問題的可行域是由滿足不等式的整點(diǎn)組成的集合，所求的最優(yōu)解必須是整數(shù)解．我們知道，最優(yōu)解一般都為邊界的交點(diǎn)，若這個(gè)交點(diǎn)不是整數(shù)，則需要平移直線找到附近的最優(yōu)解．本例可由教師與學(xué)生共同完成．

點(diǎn)評(píng)：找整數(shù)最優(yōu)解是個(gè)難點(diǎn)，要求畫圖精確，要使學(xué)生明白如何找整數(shù)最優(yōu)解的原理.變式訓(xùn)練

某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y必須滿足約束條件5x－11y≥－22，2x＋3y≥9，2x≤11，則z＝10x＋10y的最大值是

A．80

B．85

c．90

D．95

答案：c

解析：畫出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖所示．

由x＝112，5x－11y＝－22，解得A．

而由題意知x和y必須是正整數(shù)，直線y＝－x＋z10平移經(jīng)過的整點(diǎn)為時(shí)，z＝10x＋10y取得最大值90.例3某人承攬一項(xiàng)業(yè)務(wù)，需做文字標(biāo)牌2個(gè)，繪畫標(biāo)牌3個(gè)，現(xiàn)有兩種規(guī)格的原料，甲種規(guī)格每張3m2，可做文字標(biāo)牌1個(gè)，繪畫標(biāo)牌2個(gè)，乙種規(guī)格每張2m2，可做文字標(biāo)牌2個(gè)，繪畫標(biāo)牌1個(gè)，求兩種規(guī)格的原料各用多少張，才能使總的用料面積最小？

解：設(shè)用甲種規(guī)格原料x張，乙種規(guī)格原料y張，則可做文字標(biāo)牌x＋2y個(gè)，繪畫標(biāo)牌2x＋y個(gè)，由題意可得x＋2y≥2，2x＋y≥3，x≥0，y≥0.所用原料的總面積為z＝3x＋2y，作出可行域，如圖陰影所示．作直線l0：3x＋2y＝0，作一組與直線l0平行的直線l：3x＋2y＝t，當(dāng)直線l通過2x＋y＝3與直線x＋2y＝2的交點(diǎn)A時(shí)，t取得最小值為133.因?yàn)?3，13都不是整數(shù)，而最優(yōu)解中，x、y必須都是整數(shù)，所以可行域內(nèi)點(diǎn)不是最優(yōu)解．經(jīng)過可行域內(nèi)整點(diǎn)，點(diǎn)B滿足3x＋2y＝5，使t最小．

所以最優(yōu)解為B，即用甲種規(guī)格原料1張，乙種規(guī)格原料1張，可使所用原料總面積最小為5m2.知能訓(xùn)練

．設(shè)變量x，y滿足約束條件x－y≥0，x＋y≤1，x＋2y≥1，則目標(biāo)函數(shù)z＝5x＋y的最大值為

A．2

B．3

c．4

D．5

2．設(shè)x、y滿足約束條件x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，分別求下列各式的最大值、最小值：

z＝6x＋10y；

z＝2x－y；

z＝2x－y．

答案：

．D 解析：如圖，由可行域知目標(biāo)函數(shù)z＝5x＋y過點(diǎn)A時(shí)z取得最大值，zmax＝5.2．解：先作出可行域，如下圖所示的△ABc的區(qū)域，且求得A、B、c．

作出直線l0：6x＋10y＝0，再將直線l0平移，當(dāng)l0的平行線l1過B點(diǎn)時(shí)，可使z＝6x＋10y達(dá)到最小值；

當(dāng)l0的平行線l2過A點(diǎn)時(shí)，可使z＝6x＋10y達(dá)到最大值．

∴zmin＝6×1＋10×1＝16；zmax＝6×5＋10×2＝50.同上，作出直線l0：2x－y＝0，再將直線l0平移，當(dāng)l0的平行線l1過c點(diǎn)時(shí)，可使z＝2x－y達(dá)到最小值；

當(dāng)l0的平行線l2過A點(diǎn)時(shí)，可使z＝2x－y達(dá)到最大值．∴zmax＝8，zmin＝－125.同上，作出直線l0：2x－y＝0，再將直線l0平移，當(dāng)l0的平行線l2過A點(diǎn)時(shí)，可使z＝2x－y達(dá)到最大值，∴zmax＝8.當(dāng)l0的平行線l1過c點(diǎn)時(shí)，可使z＝2x－y達(dá)到最小值，但由于225不是整數(shù)，而最優(yōu)解中，x、y必須都是整數(shù)，∴可行域內(nèi)的點(diǎn)c不是最優(yōu)解．

當(dāng)l0的平行線經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)時(shí)，可使z＝2x－y達(dá)到最小值．

∴zmin＝2×1－4＝－2.課堂小結(jié)

．我們用線性規(guī)劃解決了哪些實(shí)際問題？

2．教師點(diǎn)撥學(xué)生：你能用精練的幾個(gè)字來說明利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的方法與步驟嗎？

找：找出實(shí)際問題中的約束條件及目標(biāo)函數(shù)；畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線；求：通過解方程組求出最優(yōu)解；答：作出答案．即可用5個(gè)字來概括：找、畫、移、求、答．

作業(yè)

一、習(xí)題3—5A組6；習(xí)題3—5B組4、5.二、閱讀本章小結(jié)

設(shè)計(jì)感想

．本課時(shí)設(shè)計(jì)注重學(xué)生的操作練習(xí)．通過學(xué)生積極參與，動(dòng)手操作，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維、增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)，使認(rèn)知在練習(xí)中加深，興趣在練習(xí)中勃發(fā)，情感在練習(xí)中陶冶，質(zhì)量在練習(xí)中提高，目標(biāo)在練習(xí)中實(shí)現(xiàn)．

2．本課時(shí)注重了學(xué)生的能力訓(xùn)練．通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想，深化對(duì)知識(shí)的理解和掌握，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)．

3．本課時(shí)設(shè)計(jì)強(qiáng)化使用現(xiàn)代化教學(xué)手段．充分發(fā)揮多媒體教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，利用計(jì)算機(jī)作為輔助工具，更清楚地展示區(qū)域問題，有利于發(fā)現(xiàn)區(qū)域問題的異同點(diǎn)，將信息技術(shù)和數(shù)學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來，有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，有利于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)．

備課資料

一、備選例題

【例1】某糖果廠生產(chǎn)A、B兩種糖果，A種糖果每箱獲利潤(rùn)40元，B種糖果每箱獲利潤(rùn)50元，其生產(chǎn)過程分為混合、烹調(diào)、包裝三道工序，下表為每箱糖果生產(chǎn)過程中所需平均時(shí)間：

混合 烹調(diào)

包裝

A

B

每種糖果的生產(chǎn)過程中，混合的設(shè)備至多能用12小時(shí)，烹調(diào)的設(shè)備至多能用30小時(shí)，包裝的設(shè)備至多能用15小時(shí)，試求每種糖果各生產(chǎn)多少箱可獲得最大利潤(rùn)？

活動(dòng)：找約束條件，建立目標(biāo)函數(shù)．

解：設(shè)生產(chǎn)A種糖果x箱，B種糖果y箱，可獲得利潤(rùn)z元，則此問題的約束條件x＋2y≤720，5x＋4y≤1800，3x＋y≤900，x≥0，y≥0下，求目標(biāo)函數(shù)z＝40x＋50y的最大值，作出可行域如圖，其邊界oA：y＝0，AB：3x＋y－900＝0，Bc：5x＋4y－1800＝0，cD：x＋2y－720＝0，Do：x＝0.由z＝40x＋50y，得y＝－45x＋z50，它表示斜率為－45，截距為z50的平行直線系，z50越大，z越大，從而可知過c點(diǎn)時(shí)截距最大，z取得了最大值．

解方程組x＋2y＝7205x＋4y＝1800c．

∴zmax＝40×120＋50×300＝19800，即生產(chǎn)A種糖果120箱，生產(chǎn)B種糖果300箱，可得最大利潤(rùn)19800元．

點(diǎn)評(píng)：由于生產(chǎn)A種糖果120箱，生產(chǎn)B種糖果300箱，就使得兩種糖果共計(jì)使用的混合時(shí)間為120＋2×300＝720，烹調(diào)時(shí)間5×120＋4×300＝1800，包裝時(shí)間3×120＋300＝660，這說明該計(jì)劃已完全利用了混合設(shè)備與烹調(diào)設(shè)備的可用時(shí)間，但對(duì)包裝設(shè)備卻有240分鐘的包裝時(shí)間未加利用，這種“過?！眴栴}構(gòu)成了該問題的“松弛”部分，有待于改進(jìn)研究．

【例2】要將甲、乙兩種大小不同的鋼板截成A、B兩種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得A、B兩種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：

已知庫房中現(xiàn)有甲、乙兩種鋼板的數(shù)量分別為5張和10張，市場(chǎng)急需A、B兩種規(guī)格的成品數(shù)分別為15塊和27塊．

問各截這兩種鋼板多少張可得到所需的成品數(shù)，且使所用的鋼板張數(shù)最少？

若某人對(duì)線性規(guī)劃知識(shí)了解不多，而在可行域的整點(diǎn)中隨意取出一解，求其恰好取到最優(yōu)解的概率．

解：設(shè)需截甲、乙兩種鋼板的張數(shù)分別為x、y，則2x＋y≥15，x＋3y≥27，0≤x≤5，0≤y≤10，作出可行域如圖．

因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)為z＝x＋y，所以在一組平行直線x＋y＝t中，經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最近的直線是x＋y＝12，其經(jīng)過的整點(diǎn)是和，它們都是最優(yōu)解．

因?yàn)榭尚杏騼?nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為8，而最優(yōu)解有兩個(gè)，所以所求的概率為p＝28＝0.25.答：兩種鋼板的張數(shù)分別為3、9或4、8，概率為0.25.二、利潤(rùn)的線性預(yù)測(cè)

問題：某企業(yè)1999年的利潤(rùn)為5萬元，XX年的利潤(rùn)為7萬元，XX年的利潤(rùn)為8萬元．請(qǐng)你根據(jù)以上信息擬定兩個(gè)不同的利潤(rùn)增長(zhǎng)直線方程，從而預(yù)測(cè)XX年企業(yè)的利潤(rùn)，請(qǐng)問你幫該企業(yè)預(yù)測(cè)的利潤(rùn)是多少萬元？

解：建立平面直角坐標(biāo)系，1999年的利潤(rùn)為5萬元，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A，XX年的利潤(rùn)為7萬元，XX年的利潤(rùn)為8萬元分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)B和c，那么

過A、B兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線l1，其方程為y＝2x＋5，這樣預(yù)測(cè)XX年的利潤(rùn)為13萬元．

過A、c兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線l2，其方程為y＝32x＋5，這樣預(yù)測(cè)XX年的利潤(rùn)為11萬元．

過B、c兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線l3，其方程為y＝x＋6，這樣預(yù)測(cè)XX年的利潤(rùn)為10萬元．

過A及線段Bc的中點(diǎn)E的直線作為預(yù)測(cè)直線l4，其方程為y＝53x＋5，這樣預(yù)測(cè)XX年的利潤(rùn)約為11.667萬元．

過A及△ABc的重心F的直線作為預(yù)測(cè)直線l5，其方程為y＝53x＋5，這樣預(yù)測(cè)XX年的利潤(rùn)為11.667萬元．

過c及△ABc的重心F的直線作為預(yù)測(cè)直線l6，其方程為y＝43x＋163，這樣預(yù)測(cè)XX年的利潤(rùn)為10.667萬元．

過A及以線段Bc的斜率kBc＝1作為預(yù)測(cè)直線斜率，則預(yù)測(cè)直線l7的方程為y＝x＋5，這樣預(yù)測(cè)XX年的利潤(rùn)為9萬元．

過B及以線段Ac的斜率kAc＝32作為預(yù)測(cè)直線斜率，則預(yù)測(cè)直線l8的方程為y＝32x＋112，這樣預(yù)測(cè)XX年的利潤(rùn)為11.5萬元．

過c及以線段AB的斜率kAB＝2作為預(yù)測(cè)直線斜率，則預(yù)測(cè)直線l9的方程為y＝2x＋4，這樣預(yù)測(cè)XX年的利潤(rùn)為12萬元．

過A及以線段AB的斜率kAB與線段Ac的斜率kAc的平均數(shù)作為預(yù)測(cè)直線斜率，則預(yù)測(cè)直線l10的方程為y＝74x＋5，這樣預(yù)測(cè)XX年的利潤(rùn)為12萬元．

還有其他方案，在此不一一列舉．

點(diǎn)評(píng)：讀完以上的各種預(yù)測(cè)方案后，請(qǐng)你先思考兩個(gè)問題：

①第種方案與第種方案的結(jié)果完全一致，這是為什么？

②第種方案中，kBc的現(xiàn)實(shí)意義是什么？

本題可從以下兩個(gè)方面進(jìn)一步拓展，其一是根據(jù)以上的基本解題思路，提出新的方案，如方案過△ABc的重心F，找出以m為斜率的直線中與A、c兩點(diǎn)距離的平方和最小的直線作為預(yù)測(cè)直線；其二是根據(jù)以上結(jié)論及你自己的答案估計(jì)利潤(rùn)的范圍，你預(yù)測(cè)的利潤(rùn)頻率出現(xiàn)最多的是哪一個(gè)值？你認(rèn)為將你預(yù)測(cè)的結(jié)論作怎樣的處理，使之得到的利潤(rùn)預(yù)測(cè)更有效？如果不要求用線性預(yù)測(cè)，你能得出什么結(jié)果？

第三篇：均值不等式及線性規(guī)劃問題

均值不等式及線性規(guī)劃問題

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．理解均值不等式，能用均值不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題；

2．能運(yùn)用不等式的性質(zhì)和均值不等式證明簡(jiǎn)單的不等式．

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：

均值不等式的理解．

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：

均值不等式的應(yīng)用．

內(nèi)容解析：

一、均值不等式

如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）．

我們稱的算術(shù)平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值．

注：[1] 定理適用的范圍：；

[2]“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：等價(jià)條件．

推廣：1．如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．

均值不等式的應(yīng)用：不等式的證明、求最值．

注：[1] 可以使用均值不等式的條件：正，定，等；

[2] 積為定值時(shí)，和有最小值；和為定值時(shí)，積有最大值．

二、不等式證明

1． 證明不等式的方法

(1)比較法：作差法和作商法兩種．

作商法應(yīng)在兩個(gè)數(shù)的符號(hào)相同時(shí)使用．

(2)綜合法．

從題目的條件出發(fā)，尋找證明的中間結(jié)論．

(3)分析法．

從要證的結(jié)論出發(fā)，尋找可以推得此結(jié)論的條件．

2． 幾個(gè)常用的重要不等式

①．

②，．

③，．

例1.下列函數(shù)中，最小值是2的是（）

A.y?x?1

xB.y?3x?3?x

lgx(1?x?10)D.y?sinx?1

sinxC.y?lgx?(0?x??

2)

例2.設(shè)x,y?R，且x?y?5，則3?3的最小值是（）xy

A

.B

.C

.D

.?x?2y?4

?例3.在約束條件?x?y?1下，目標(biāo)函數(shù)z?3x?y（）

?x?2?0?

A.有最大值3，最小值?3B.有最大值5，最小值?3

C.有最大值5，最小值?9D.有最大值3，最小值?9

?x?y?4,?例4.已知點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足條件?y?x,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么z?x2?y2的最小

?x?1,?

值等于____________,最大值等于_____________

例5.已知，求證：．

例6.已知，求證：．

例7.已知，且，求的最小值．

例8.求證：．

例9.求證：

例10.求下列函數(shù)的最值． ．

(1)；

(2)；

(3)

練習(xí)

1.如果a?0,b?0，那么，下列不等式中正確的是（）

A.1

a?1

2.不等式bx?1B

?C.a2?b2D.|a|?|b|

2?x?0的解集為（）

A.{x|?1?x?2}B.{x|?1?x?2}

C.{x|x??1或x?2}D.{x|x??1或x?2}

3.當(dāng)x>1時(shí)，不等式x+

A．(－∞,2]

1x?1≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 C．[3,+∞)D．(－∞,3]B．[2,+∞)

4.已知點(diǎn)（3，1）和（?4，6）在直線3x?2y?a?0的兩側(cè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.a??7或a?24B.a?7或a?24 C.?7?a?24D.?24?a?7

325.如果a?0且a?1，M?loga(a?1),N?loga(a?1)，則（）

A.M?NB.M?N C.M?ND.M,N的大小與a值有關(guān)

6.已知不等式x2?2x?k2?1?0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A

.(B

.(??,???)C

.??)D.(?2,2)

7.正數(shù)a,b滿足ab?a?b?3，則ab的取值范圍是__________.8.已知正整數(shù)a,b滿足4a＋b＝30，使得

2231a?1b取最小值時(shí)，則a=_______,b=_______ 9.解關(guān)于x的不等式x?(m?m)x?m?0.10.建造一個(gè)容積為4800m,深為3m的長(zhǎng)方體無蓋水池,如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為150元和120元,那么怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造最低，最低總造價(jià)為多少元？3

第四篇：水粉畫第三課時(shí)教案

水粉畫導(dǎo)學(xué)案 第二課時(shí)

時(shí)間：10月27日

教學(xué)目標(biāo)：合理分配圖片里風(fēng)景大小，以及顏色的搭配 教學(xué)過程：

一、組織教學(xué)

1、點(diǎn)名

2、常規(guī)教育

（1）紀(jì)律：良好的課堂秩序是實(shí)施課堂教育的保障、不僅在課堂，排隊(duì)前往，離開畫室是都應(yīng)該保持安靜。

（2）安全：安全是所有工作的前提，畫畫室也應(yīng)注意用筆安全，及保護(hù)桌椅安全。

（3）衛(wèi)生：保持畫室的清潔可以讓我們有一個(gè)舒適的環(huán)境，而且每次畫完水粉畫，離開時(shí)教室也應(yīng)該是干凈的。

二、課前準(zhǔn)備

1.學(xué)生拿到水粉紙固定在畫板上

2、有秩序的去提水

3、把本節(jié)課需要的水粉顏料放在桌面上，筆，抹布，勺子

三、知識(shí)學(xué)習(xí)

（一）、出示范畫

（二）、講解范畫

過渡語：本節(jié)課的風(fēng)景畫，在內(nèi)容與顏色上都比第一節(jié)課的要多，下面我們就一起來看一下這幅畫。

1、先打底色，我們的這幅畫底色分成好幾種顏色，那我們?cè)诋嫷臅r(shí)候先選顏色淡的顏色勾邊，勾邊是用筆要輕，線條要細(xì)。

2、固定好天空與草地以后，就先選擇橘黃色畫天空，畫的時(shí)候上面顏色深，下面顏色要淺些。

三、認(rèn)識(shí)水粉工具

1、水粉筆——使用的時(shí)候要注意筆的運(yùn)行方向、不可逆向使用。（如掃地時(shí)順著掃一樣，這樣不損傷筆）背景一般用大號(hào)筆畫，勾線用小號(hào)筆，其他可以根據(jù)畫的大小正確使用筆的大小。

2、顏料——水粉顏料的覆蓋性很強(qiáng)，可以用水加以稀釋，各種色彩調(diào)配起來也很容易。

3、調(diào)色盤——顏料不能弄到調(diào)色盤的外面與底盤上，尤其不能弄到桌子上，如果弄到桌子上就立即用抹布擦掉。

4、水粉紙——由于紙張有限，每個(gè)同學(xué)每次只有一張紙。因此，請(qǐng)同學(xué)畫畫時(shí)用認(rèn)真畫。

二、輔助工具

1、抹布——可擦去水粉筆上的水分及弄臟的地方

2、勺子—取水粉時(shí)用

3、膠帶——便于將紙固定在畫板上

4、畫板——用于固定紙的，應(yīng)輕拿輕放

三、畫水粉畫的步驟

1、取一張水粉紙，有明顯圓點(diǎn)為正面，用膠帶將其固定在畫板上。

2、小桶盛約一半的清水，取水粉筆將筆弄濕潤(rùn)。

3、取少量顏料，在調(diào)色盤中調(diào)勻。

4、即可在畫紙上進(jìn)行畫畫。

五、練習(xí)

老生幫助新生練習(xí)如何把紙貼在畫板上。

四、整理教室

1、學(xué)生用品收拾

2、學(xué)生打掃一下教室衛(wèi)生。

時(shí)間：10月8日 指導(dǎo)老師：卜馨媛 教學(xué)內(nèi)容：

1.表現(xiàn)高大、挺拔的樹的造型。

2.棕色（青蓮）的樹干、綠（黃）色的樹葉形成鮮明的對(duì)比。3.背景要明暗對(duì)比大的，體現(xiàn)色彩的穿透力。教學(xué)過程：

一、組織教學(xué)

1、點(diǎn)名

2、分發(fā)新水粉紙及畫板，并認(rèn)清正反面。（老生幫助新生）

3、布板

（1）準(zhǔn)備透明膠帶

（2）把水粉紙放在畫板上，用膠帶將紙固定在畫板上。（紙上的膠帶距離要寬一點(diǎn)）

二、新授課 通過一年的學(xué)習(xí)，我們?cè)S多的同學(xué)對(duì)于水粉有了一定的認(rèn)識(shí)，在座的同學(xué)有新生，雖然你們現(xiàn)在才學(xué)，不過，我希望你們能堅(jiān)持學(xué)下去，我相信你們的收獲會(huì)很大的?，F(xiàn)在，老師簡(jiǎn)單的說一下水粉知識(shí)，同學(xué)們要仔細(xì)聽哦！

1、色彩搭配原理與技巧

原色 色盤上延伸最長(zhǎng)的幾段表示出了三種原色----紅綠藍(lán)。它們之所以稱為原色。是因?yàn)槠渌念伾伎梢酝ㄟ^這三種顏色的組合而成。

色彩搭配原理與技巧 祺馨色彩

第二色（間色）將任何倆種原色混合起來，你就可以得到間 色：橙（紅加黃）紫（紅加藍(lán)）綠（藍(lán)加黃）

第三色（混合色）色盤上另外6種顏色稱為混合色。它們是原色和一種臨近的間接色混合而成的：桔黃（黃加橙）青（黃加綠）深綠（綠加藍(lán)）絳（紅加橙）。

顏色三要素：色相，以區(qū)別各種顏色，如紅綠藍(lán)等；純度，以示色彩深淺；明度，以示彩色明暗。

1、色相配色

以色相為基礎(chǔ)的配色是以色相環(huán)為基礎(chǔ)進(jìn)行思考的，用色相環(huán)上類似的顏色進(jìn)行配色，可以得到穩(wěn)定而統(tǒng)一的感覺。用距離遠(yuǎn)的顏色進(jìn)行配色，可以達(dá)到一定的對(duì)比效果。

類似色相的配色，能表現(xiàn)共同的配色印象。這種配色在色相上既有共性又有變化，是很容易取得配色平衡的手法。例如：黃色、橙黃色、橙色的組合；群青色、青紫色、紫羅蘭色的組合都是類似色相配色。與同一色相的配色一樣，類似色相的配色容易產(chǎn)生單調(diào)的感覺，所以可使用對(duì)比色調(diào)的配色手法。中差配色的對(duì)比效果既明快又不沖突，是深受人們喜愛的配色。

對(duì)比色相配色，是指在色相環(huán)中，位于色相環(huán)圓心直徑兩端的色彩或較遠(yuǎn)位置的色彩組合。它包含了中差色相配色、對(duì)照色相配色、補(bǔ)色色相配色。對(duì)比色相的色彩性質(zhì)比較青，所以經(jīng)常在色調(diào)上或面積上用以取得色彩的平衡。

2、色調(diào)配色 a.同一色調(diào)配色

同一色調(diào)配色是將相同色調(diào)的不同顏色搭配在一起形成的一種配色關(guān)系。同一色調(diào)的顏色、色彩的純度和明度具有共同性、明度按照色相略有所變化。不同色調(diào)會(huì)產(chǎn)生不同的色彩印象，將純色調(diào)全部放在一起，或產(chǎn)生活潑感；而嬰兒服飾和玩具都以淡色調(diào)為主。在對(duì)比色相和中差色相配色中，一般采用同一色調(diào)的配色手法，更容易進(jìn)行色彩調(diào)和。

b、類似色調(diào)配色

類似色調(diào)配色即將色調(diào)圖中相鄰或接近的兩個(gè)或兩個(gè)以上色調(diào)搭配在一起的配色。類似色調(diào)配色的特征在于色調(diào)與色調(diào)之間有微妙的差異，較同一色調(diào)有變化，不會(huì)產(chǎn)生呆滯感。將深色調(diào)和暗色調(diào)搭配在一起，能產(chǎn)生一種既深又暗的昏暗之感，鮮艷色調(diào)和強(qiáng)烈色調(diào)再加明亮色調(diào)，便能產(chǎn)生鮮艷活潑的色彩印象。

c、對(duì)照色配色

對(duì)照色調(diào)配色是相隔較遠(yuǎn)的兩個(gè)或兩個(gè)以上的色調(diào)搭配在一起的配色。對(duì)比色調(diào)因色彩的特征差異，能造成鮮明的視覺對(duì)比，有一種“相映”或“相拒”的力量使之平衡，因而能產(chǎn)生對(duì)比調(diào)和感。對(duì)比色調(diào)配色在配色選擇時(shí)，會(huì)因橫向或縱向而有明度和純度上的差異。例如：淺色調(diào)與深色調(diào)配色，即為深與淺的明暗對(duì)比；而鮮艷色調(diào)與灰濁色調(diào)搭配，會(huì)形成純度上的差異配色。

采用同一色調(diào)的配色手法，更容易進(jìn)行色彩調(diào)和。3.明度配色

明度是配色的重要因素，明度的變化可以表現(xiàn)事物的立體感和遠(yuǎn)近感。有彩色的物體也會(huì)收到光影的影響產(chǎn)生明暗效果。像紫色和黃色就有著明顯的明度差。

將明度分為高明度、中明度和低明度三類。

2、選用背景與樹干對(duì)比大的顏色，因此，本節(jié)課背景為藍(lán)色，從深到淺，上深下淺。先畫背景。背景選擇大號(hào)筆，而水粉多弄一些在調(diào)色盤內(nèi)，在畫的過程中加白，使顏色有明暗度。

3、指導(dǎo)學(xué)生畫背景。

4、

第五篇：數(shù)列教案第三課時(shí)

第三教時(shí)

教材：等差數(shù)列

（一）目的：要求學(xué)生掌握等差數(shù)列的意義，通項(xiàng)公式及等差中項(xiàng)的有關(guān)概念、計(jì)算公式，并能用來解決有關(guān)問題。過程：

一、引導(dǎo)觀察數(shù)列：4，5，6，7，8，9，10，??

3，0，?3，?6，??

12，23410，10，10，??

an?12?3(n?1)12，9，6，3，??

特點(diǎn)：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是常數(shù) — “等差”

二、得出等差數(shù)列的定義：（見P115）

注意：從．第二項(xiàng)．．．起．，后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)．．．．．

。1．名稱：AP 首項(xiàng)(a1)公差(d)2．若d?0 則該數(shù)列為常數(shù)列 3．尋求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

a2?a1?d

a3?a2?d?(a1?d)?d?a1?2dad?(a

4?a3?1?2d)?d?a1?3d???? 由此歸納為 an?a1?(n?1)d 當(dāng)n?1時(shí) a1?a1（成立）

注意: 1? 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)

2? 如果通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，則該數(shù)列成AP 證明：若an?An?B?A(n?1)?A?B?(A?B)?(n?1)A

它是以A?B為首項(xiàng)，A為公差的AP。

3? 公式中若 d?0 則數(shù)列遞增，d?0 則數(shù)列遞減

4? 圖象： 一條直線上的一群孤立點(diǎn)

三、例題： 注意在an?a1?(n?1)d中n，an，a1，d四數(shù)中已知三個(gè)可以求

出另一個(gè)。

例一（P115例一）

例二（P116例二）注意：該題用方程組求參數(shù) 例三（P116例三）此題可以看成應(yīng)用題

四、關(guān)于等差中項(xiàng)： 如果a,A,b成AP 則A?a?b證明：設(shè)公差為d，則A?a?d b?a?2d

∴

a?b2?a?a?2d2?a?d?A

例四 《教學(xué)與測(cè)試》P77 例一：在?1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a,b,c使這五個(gè)數(shù)成AP，求此數(shù)列。

解一：∵?1,a,b,c,7成AP ∴b是-1與7 的等差中項(xiàng)

∴ b??1?72?3 a又是-1與3的等差中項(xiàng) ∴a??1?32?

1c又是1與7的等差中項(xiàng) ∴c?3?72?

5解二：設(shè)a1??1 a5?7 ∴7??1?(5?1)d ?d?2

∴所求的數(shù)列為-1，1，3，5，7

五、小結(jié)：等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、等差中項(xiàng)

六、作業(yè)： P118習(xí)題3．2 1-9