第一篇：高等數(shù)學(xué)電子教案12

高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

第十二章

無窮級數(shù)

教學(xué)目的：

1、理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念。

2、了解無窮級數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

3、掌握幾何級數(shù)和p-級數(shù)的收斂性。

4、掌握正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法、比值審斂法和根值審斂法。

5、掌握交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茨定理，會估計(jì)交錯(cuò)級數(shù)的截?cái)嗾`差。

6、了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與條件收斂的關(guān)系。

7、理解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂性、收斂域及和函數(shù)的概念，了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性概念，了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)。

8、掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法，了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。

9、會利用冪級數(shù)的性質(zhì)求和

10、了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。

11、會利用基本初等函數(shù)的麥克勞林展開式將一些簡單的函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。

12、理解函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的狄利克雷條件。

13、掌握將定義在區(qū)間(－π，π)上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的方法。

14、會將定義在區(qū)間[0，π]上的函數(shù)展開為正弦或余弦級數(shù)。

15、會將定義在區(qū)間(－l，l)上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)。教學(xué)重點(diǎn) ：

1、級數(shù)收斂的定義及條件

2、判定正項(xiàng)級數(shù)的收斂與發(fā)散

3、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；

4、泰勒級數(shù)

5、函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：

1、級數(shù)收斂的定義及條件

2、判定正項(xiàng)級數(shù)的收斂與發(fā)散

3、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；

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4、泰勒級數(shù)；

5、函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)

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§12? 1 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)

一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念

常數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)? 一般地，給定一個(gè)數(shù)列

u1? u2? u3? ? ? ?? un? ? ? ??

則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式

u1 ? u2 ? u3 ? ? ? ?? un ? ? ? ?

?叫做（常數(shù)項(xiàng))無窮級數(shù)? 簡稱（常數(shù)項(xiàng))級數(shù)? 記為?un? 即

n?1?

?un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ?

n?1其中第n項(xiàng)u n 叫做級數(shù)的一般項(xiàng)?

?

級數(shù)的部分和? 作級數(shù)?un的前n項(xiàng)和

n?1n

sn??ui?u1?u2?u3? ? ? ? ?un

i?1?稱為級數(shù)?un的部分和?

n?1?級數(shù)斂散性定義? 如果級數(shù)?un的部分和數(shù)列{sn}有極限s?

n?1即

limsn?s?

n???則稱無窮級數(shù)?un收斂? 這時(shí)極限s叫做這級數(shù)的和?

n?1并寫成

?

s??un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ?

n?1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

?如果{sn}沒有極限? 則稱無窮級數(shù)?un發(fā)散?

n?1?n?1?n?

1余項(xiàng)? 當(dāng)級數(shù)?un收斂時(shí)? 其部分和s n是級數(shù)?un的和s的近似值? 它們之間的差值

rn?s?sn?un?1?un?2? ? ? ?

?叫做級數(shù)?un的余項(xiàng)?

n?1

例1 討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))

?aqn?a?aq?aq2? ? ? ? ?aqn? ? ? ?

n?0?的斂散性? 其中a?0? q叫做級數(shù)的公比?

解： 如果q?1? 則部分和

sn?a?aq?aq? ? ? ? ?aq2n?1a?aqnaqna????

1?q1?q1?q?aa

當(dāng)|q|?1時(shí)? 因?yàn)閘imsn?? 所以此時(shí)級數(shù)?aqn收斂? 其和為?

1?q1?qn??n?0

當(dāng)|q|>1時(shí)? 因?yàn)閘imsn??? 所以此時(shí)級數(shù)?aqn發(fā)散?

n??n?0?

如果|q|?1? 則當(dāng)q?1時(shí)? sn ?na??? 因此級數(shù)?aqn發(fā)散?

n?0?

當(dāng)q??1時(shí)? 級數(shù)?aqn成為

n?0?

a?a?a?a? ? ? ??

時(shí)|q|?1時(shí)? 因?yàn)閟n 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零?

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所以sn的極限不存在? 從而這時(shí)級數(shù)?aqn也發(fā)散?

n?0??a

綜上所述? 如果|q|?1? 則級數(shù)?aq收斂? 其和為? 如果|q|?1? 則級數(shù)?aqn發(fā)散?

1?qn?0n?0n?

僅當(dāng)|q|?1時(shí)? 幾何級數(shù)?aqna?0)收斂? 其和為n?0?a?

1?q

例2 證明級數(shù)

1?3?5?? ? ??（2n-1）?? ? ? 是發(fā)散的?

證 此級數(shù)的前n項(xiàng)部分和為

n(2?1n)?n

sn?1?3?5? ? ? ? ?(? ?

顯然? limsn??? 因此所給級數(shù)是發(fā)散的?

n??

例3 判別無窮級數(shù)

1111??? ? ? ? ?? ? ? ?

1?22?33?4n(n?1)的收斂性?

解 由于

un?因此

sn?1111??? ? ? ? ? 1?22?33?4n(n?1)111???

n(n?1)nn?1

?(1?)?(?)? ? ? ? ?(?從而

limsn?lim(1?n??n??1212131n11)?1?n?1n?11)?1?

n?1所以這級數(shù)收斂? 它的和是1?

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提示? un? 111???

n(n?1)nn?1

二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)

?n?1?n?

1性質(zhì)1 如果級數(shù)?un收斂于和s? 則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)k所得的級數(shù)?kun也收斂?

且其和為ks?

證明： 設(shè)?un與?kun的部分和分別為sn與?n? 則

n?1n?1??

lim?n?lim(ku1?ku2? ? ? ? kun)?klim(u1?u2? ? ? ? un)?klimsn?ks?

n??n??n??n???這表明級數(shù)?kun收斂? 且和為ks?

n?1表明：級數(shù)的每一項(xiàng)同乘以一個(gè)不為零常數(shù)后，它的收斂性不會改變。

性質(zhì)2 如果級數(shù)?un、?vn分別收斂于和s、?? 則級數(shù)?(un?vn)也收斂? 且其和為s???

n?1n?1n?1???

證明： 如果?un、?vn、?(un?vn)的部分和分別為sn、?n、?n? 則

n?1n?1n?1???

lim?n?lim[(u1?v1)?(u2?v2)? ? ? ? ?(un?vn)]

n??n??

?lim[(u1?u2? ? ? ? ?un)?(v1?v2? ? ? ? ?vn)]

n??

?lim(sn??n)?s???

n??表明：兩個(gè)收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減。

性質(zhì)3在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)? 不會改變級數(shù)的收斂性?

比如? 級數(shù)1111??? ? ? ? ?? ? ? ? 是收斂的?

1?22?33?4n(n?1)青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

加一項(xiàng)后級數(shù)9895?11?2?12?3?13?4? ? ? ? ?1n(n?1)? ? ? ? 也是收斂的?

減一項(xiàng)后級數(shù)111?? ? ? ? ?? ? ? ? 也是收斂的?

3?44?5n(n?1)?

性質(zhì)4 如果級數(shù)?un收斂? 則對這級數(shù)的項(xiàng)任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂? 且其和不變?

n?1注意? 如果加括號后所成的級數(shù)收斂? 則不能斷定去括號后原來的級數(shù)也收斂?

例如? 級數(shù)

（1?1)+（1?1)+? ? ?收斂于零? 但級數(shù)1?1?1?1?? ? ?卻是發(fā)散的?

推論? 如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散? 則原來級數(shù)也發(fā)散?

級數(shù)收斂的必要條件?

?

性質(zhì)5 如果?un收斂? 則它的一般項(xiàng)un 趨于零? 即limun?0?

n?1n?0?

證 ： 設(shè)級數(shù)?un的部分和為sn? 且limsn?s? 則

n?1n??

limun?lim(sn?sn?1)?limsn?limsn?1?s?s?0?

n?0n??n??n??

注意? 級數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件?

例如

調(diào)和級數(shù)

?1111?1??? ? ? ? ?? ? ? ?

23nn?1n1n??盡管它的一般項(xiàng)limn???0，但它是發(fā)散的?

因?yàn)?/p>

假若級數(shù)?1收斂且其和為s? sn是它的部分和?

nn?1顯然有l(wèi)imsn?s及l(fā)ims2n?s? 于是lim(s2n?sn)?0?

n??n??n??

但另一方面?

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s2n?sn?1?n?1111111? ? ? ? ???? ? ? ? ???

n?22n2n2n2n2?故lim(s2n?sn)?0? 矛盾? 這矛盾說明級數(shù)?1必定發(fā)散?

n??n?1n§12? 2 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法

一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法

定義：各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù)，稱為正項(xiàng)級數(shù)。正項(xiàng)級數(shù)是一類非常重要的級數(shù)，關(guān)于正項(xiàng)級數(shù)有列重要結(jié)論：

?定理1 正項(xiàng)級數(shù)?un收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列{sn}有界?

n?1證

設(shè)級數(shù)

u1? u2? ? ? ? ? un ? ? ? ?

是一個(gè)正項(xiàng)級數(shù)。其部分和為sn

顯然sn是一個(gè)單調(diào)增加數(shù)列，若部分和數(shù)列sn有界? 則根據(jù)單調(diào)有界數(shù)列必有 極限的準(zhǔn)則，可知級數(shù)?un收斂；反之? 若級數(shù)?un收斂，則部分和數(shù)列sn有極限，根據(jù)有極限的數(shù)列是有界數(shù)列的性質(zhì)可知{sn}有界??

?n?1?n?1?n?1定理2(比較審斂法)設(shè)?un和?vn都是正項(xiàng)級數(shù)? 且un?vn(n?1? 2? ? ? ?)? 若級數(shù)?vn收?n?1?n?1?n?1斂? 則級數(shù)?un收斂? 反之? 若級數(shù)?un發(fā)散? 則級數(shù)?vn發(fā)散?

證

設(shè)級數(shù)?vn收斂于和?? 則級數(shù)?un的部分和

n?1n?1??

sn?u1?u2? ? ? ? ?un?v1? v2? ? ? ? ?vn??(n?1, 2, ? ? ?)?

?即部分和數(shù)列{sn}有界? 由定理1知級數(shù)?un收斂?

n?1?n?1?n?反之? 設(shè)級數(shù)?un發(fā)散? 則級數(shù)?vn必發(fā)散?

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?n?1?n?1因?yàn)槿艏墧?shù)?vn收斂? 由上已證明的結(jié)論? 將有級數(shù)?un也收斂? 與假設(shè)矛盾?

?n?1?n?1?n?1

推論

設(shè)?un和?vn都是正項(xiàng)級數(shù)? 如果級數(shù)?vn收斂? 且存在自然數(shù)N? 使當(dāng)n?N時(shí)有?n?1?n?1un?kvn(k?0)成立? 則級數(shù)?un收斂? 如果級數(shù)?vn發(fā)散? 且當(dāng)n?N時(shí)有un?kvn(k?0)成立?

?則級數(shù)?un發(fā)散?

n?1

例1 討論p?級數(shù)

?

?n?111111?1???? ? ? ? ?? ? ? ?

np2p3p4pnp的收斂性? 其中常數(shù)p?0?

111解 設(shè)p?1? 這時(shí)p?? 而調(diào)和級數(shù)?發(fā)散? 由比較審斂法知?

nnn?1n??當(dāng)p?1時(shí)級數(shù)?n?11發(fā)散?

pn

設(shè)p?1? 此時(shí)有

nn111111?dx?dx?[?p?1](n?2, 3, ? ? ?)?

??pppp?1n?1nn?1xp?1(n?1)nn?對于級數(shù)?[n?211?p?1]? 其部分和 p?1(n?1)n1]?[p?112p?1?]? ? ? ? ?[p?111np?1?11]?1??

p?1p?1(n?1)(n?1)

sn?[1?23因?yàn)閘imsn?lim[1?n??n??1]?1?

(n?1)p?1?111所以級數(shù)?[收斂? 從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知? 級數(shù)當(dāng)?]?pp?1p?1nn?2(n?1)n?1n青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 ?高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

p?1時(shí)收斂?

綜上所述? p?級數(shù)?1p當(dāng)p?1時(shí)收斂? 當(dāng)p?1時(shí)發(fā)散?

n?1?n?提示? 級數(shù)?[n?211?]的部分和為

(n?1)p?1np?112p?1

sn?[1?12p?1]?[?13p?1]? ? ? ? ?[1np?1?11?

]?1?p?1(n?1)(n?1)p?1因?yàn)閘imsn?lim[1?n??n??1]?1?

(n?1)p?1?所以級數(shù)?[n?211?]收斂?

(n?1)p?1np?1?

p?級數(shù)的收斂性?

p?級數(shù)?n?11當(dāng)p?1時(shí)收斂? 當(dāng)p?1時(shí)發(fā)散?

pn?

例2 證明級數(shù)?n?11n(n?1)是發(fā)散的?

證 因?yàn)?n(n?1)?1(n?1)2?1?

n?1?而級數(shù)?n?11111??? ? ? ? ?? ? ? ? 是發(fā)散的?

n?123n?1根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)散的?

定理3(比較審斂法的極限形式)?n?1?n?1

設(shè)?un和?vn都是正項(xiàng)級數(shù)?

(1)如果limn??unvn?n?1?n?1?l(0?l???)? 且級數(shù)?vn收斂? 則級數(shù)?un收斂?

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(2)如果limn??unvn?l?0或limn??unvn?n?1?n?1???? 且級數(shù)?vn發(fā)散? 則級數(shù)?un發(fā)散?

證明 由極限的定義可知? 對??1l? 存在自然數(shù)N? 當(dāng)n?N時(shí)? 有不等式 l?u1113l?n?l?l?

即lvn?un?lvn?

222vn2再根據(jù)比較審斂法的推論1? 即得所要證的結(jié)論?

?

例3 判別級數(shù)?tann?11n的收斂性?

tan1?

解 因?yàn)?limn??n?1? 而級數(shù)1發(fā)散?

?1n?1nn?根據(jù)比較審斂法的極限形式? 級數(shù)?tann?1?1n發(fā)散?

例4 判別級數(shù)?n?11(2n?1)(2n?1)的收斂性?

1?1(2n?1)(2n?1)1?? 而級數(shù)?2收斂?

解 因?yàn)?limn??14n?1n2n?根據(jù)比較審斂法的極限形式? 級數(shù)?n?11(2n?1)(2n?1)收斂?

定理4(比值審斂法? 達(dá)朗貝爾判別法)?

若正項(xiàng)級數(shù)?un的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于??

n?1

limn??un?1un???

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則

當(dāng)??1時(shí)級數(shù)收斂?

當(dāng)??1(或limn??un?1un??)時(shí)級數(shù)發(fā)散?

當(dāng)? ?1時(shí)級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散?

例5 證明級數(shù)1??是收斂的?

解 因?yàn)?limn??1111?? ? ? ? ?? ? ? ? 11?21?2?31?2?3 ? ? ?(n?1)un?1un? limn??1?2?3 ? ? ?(n?1)1?2?3 ? ? ? n? limn??1?0?1?

n根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)收斂?

例6 判別級數(shù)11?21?2?3n!?2?? ? ? ? ?? ? ? ? 的收斂性?

3n10101010

解 因?yàn)?limn??un?1un(n?1)!10nn?1? lim?? lim???

n?1n!n??10n??10根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)發(fā)散?

?

例7 判別級數(shù)?n?112n?(2n?1)的收斂性?

解 limn??un?1un? limn??2n?(2n?1)(2n?1)?(2n?2)?1?

這時(shí)??1? 比值審斂法失效? 必須用其它方法來判別級數(shù)的收斂性?

因?yàn)?/p>

定理5(根值審斂法? 柯西判別法)?1(2n?1)?2n?1n2?? 而級數(shù)?n?11收斂? 因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂?

n

2設(shè)?un是正項(xiàng)級數(shù)? 如果它的一般項(xiàng)un的n次根的極限等于??

n?1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

limn??nun???

n則當(dāng)??1時(shí)級數(shù)收斂? 當(dāng)??1(或limn??un???)時(shí)級數(shù)發(fā)散?

當(dāng)??1時(shí)級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散?

例8 證明級數(shù)1?12?13? ? ? ? ?1n? ? ? ? 是收斂的?

23n并估計(jì)以級數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差?

解 因?yàn)?limn??nun? limnn??11? lim?0?

nn??nn所以根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂?

以這級數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為

|rn|?

?

?111??? ? ? ?

(n?1)n?1(n?2)n?2(n?3)n?3111??? ? ? ? ?

n?1n?2n?3(n?1)(n?1)(n?1)1?

nn(n?1)?

例9 判定級數(shù)?n?12?(?1)n2n的收斂性?

解 因?yàn)? limn??nun?lim1n12?(?1)n??

2n??2所以? 根據(jù)根值審斂法知所給級數(shù)收斂?

定理6(極限審斂法)

設(shè)?un為正項(xiàng)級數(shù)?

n?1?

(1)如果limnun?l?0(或limnun???)? 則級數(shù)?un發(fā)散?

n??n???n?1?

(2)如果p?1? 而limnpun?l(0?l???)? 則級數(shù)?un收斂?

n??n?1?

例7 判定級數(shù)?ln(1?n?11)的收斂性?

n2青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

解 因?yàn)閘n(1?12)~12(n??)? 故

nn

limn2un?limn2ln(1?12)?limn2?12?1?

n??n??nn??n根據(jù)極限審斂法? 知所給級數(shù)收斂?

例8 判定級數(shù)?n?1(1?cos?)的收斂性?

n?1?n

解 因?yàn)?limn??3n2un?limn??3n2n?1(1?cos?n)?limn2n??n?11?212?()???

n2n2根據(jù)極限審斂法? 知所給級數(shù)收斂?

二、交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法

交錯(cuò)級數(shù)? 交錯(cuò)級數(shù)是這樣的級數(shù)? 它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的?

??

交錯(cuò)級數(shù)的一般形式為 ?(?1)n?1n?1nun? 或?(?1)un 其中un?0?

n?1?

例如? ?(?1)n?1n?111?cosn? 不是交錯(cuò)級數(shù)?

是交錯(cuò)級數(shù)? 但?(?1)n?1nnn?1?

定理7（萊布尼茨定理）

如果交錯(cuò)級數(shù)?(?1)n?1un滿足條件?

n?1?

(1)un?un?1(n?1? 2? 3? ? ? ?)?

(2)limun?0?

n??則級數(shù)收斂? 且其和s?u1? 其余項(xiàng)rn的絕對值|rn|?un?1?

證明? 設(shè)前2n項(xiàng)部分和為s2n?

由s2n?(u1?u2)?(u3?u4)? ? ? ? ?(u2n 1?u2n)?

及

s2n?u1?(u2?u3)?(u4?u5)? ? ? ? ?(u2n?2?u2n?1)?u2n

看出數(shù)列{s2n}單調(diào)增加且有界(s2n?u1)? 所以收斂?

設(shè)s2n?s(n??)? 則也有s2n?1?s2n?u2n?1?s(n??)? 所以sn?s(n??)? 從而級數(shù)是收斂的? 且sn?u1?

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

因?yàn)?|rn|?un?1?un?2?? ? ?也是收斂的交錯(cuò)級數(shù)? 所以|rn|?un?1?

例9 證明級數(shù)?(?1)n?11 收斂? 并估計(jì)和及余項(xiàng)?

n?1?n

證

這是一個(gè)交錯(cuò)級數(shù)? 因?yàn)榇思墧?shù)滿足

(1)un?1?1?un?1(n?1, 2,? ? ?)?

(2)limun?lim1?0?

nn?1n??n??n由萊布尼茨定理? 級數(shù)是收斂的? 且其和s?u1?1? 余項(xiàng)|rn|?un?1?

1三、絕對收斂與條件收斂?

?n?1?n?1n?1?

絕對收斂與條件收斂? 若級數(shù)?|un|收斂? 則稱級數(shù)?un絕對收斂?

?n?1?n?1?n?1若級數(shù)?un收斂? 而級數(shù)?|un|發(fā)散? 則稱級?un條件收斂?

例如 級數(shù)?(?1)n?1?n?11n?11是絕對收斂的? 而級數(shù)是條件收斂的?

(?1)?nn2n?1?n?1??n?1定理8 如果級數(shù)?un絕對收斂? 則級數(shù)?un必定收斂?

證明略

?n?1?n?

1注意? 如果級數(shù)?|un|發(fā)散? 我們不能斷定級數(shù)?un也發(fā)散?

?

但是? 如果我們用比值法或根值法判定級數(shù)?|un|發(fā)散?

n?1?則我們可以斷定級數(shù)?un必定發(fā)散?

n?1?這是因?yàn)? 此時(shí)|un|不趨向于零? 從而un也不趨向于零? 因此級數(shù)?un也是發(fā)散的?

n?1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

?

例11 判別級數(shù)?n?1sinnan1n44的收斂性?

解 因?yàn)閨sinnan4?|?? 而級數(shù)?n?11n4是收斂的?

?所以級數(shù)?|n?1sinnan?4?|也收斂? 從而級數(shù)?n?1sinnan4絕對收斂?

2例12 判別級數(shù)?(?1)n1n(1?1)n的收斂性?

n?12n

解? 由|un|?11n2n|u|?1lim(1?1)n?1e?1?

? 有(1?)limnn2n??n2n??2n?可知limun?0? 因此級數(shù)?(?1)nn??n?111n2(1?)發(fā)散?

n2n

§ 12? 3 冪級數(shù)

一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)? 給定一個(gè)定義在區(qū)間I 上的函數(shù)列：

u1(x)，u2(x)，u3(x)，? ? ?? ? ? un(x)? ?? ? ? 由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式

u1(x)?u2(x)?u3(x)? ? ? ? ?un(x)? ? ? ?

稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項(xiàng))級數(shù)?

記為?un(x)?

n?1?

對于區(qū)間I內(nèi)的一定點(diǎn)x0? 若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)?un(x0)收斂? 則稱

n?1?點(diǎn)x0是級數(shù)?un(x)的收斂點(diǎn)?

若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)?un(x0)發(fā)散? 則稱

n?1n?1??青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

點(diǎn)x0是級數(shù)?un(x)的發(fā)散點(diǎn)?。

n?1?函數(shù)項(xiàng)級數(shù)?un(x)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域?

n?1?

所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域?

在收斂域上? 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)?un(x)的和是x的函數(shù)s(x)?

n?1?s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)?un(x)的和函數(shù)? 并寫成s(x)??un(x)?

n?1n?1??

∑un(x)是?un(x)的簡便記法? 以下不再重述?

n?1?

在收斂域上? 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)的和是x的函數(shù)s(x)?

s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)的和函數(shù)? 并寫成s(x)?∑un(x)?

這函數(shù)的定義就是級數(shù)的收斂域。

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x)? 即

sn(x)? u1(x)?u2(x)?u3(x)? ? ? ? ?un(x)?

在收斂域上有l(wèi)imsn(x)?s(x)或sn(x)?s(x)(n??)?

n??

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)?un(x)的和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差

rn(x)?s(x)?sn(x)n?1?叫做函數(shù)項(xiàng)級數(shù)?un(x)的余項(xiàng)?

n?1?

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)的余項(xiàng)記為rn(x)? 它是和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn(x)?s(x)?sn(x)?

在收斂域上有l(wèi)imrn(x)?0?

n??

二、冪級數(shù)及其收斂性

冪級數(shù)?

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項(xiàng)都冪函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)?

這種形式的級數(shù)稱為冪級數(shù)? 它的形式是

a0?a1x?a2x? ? ? ? ?anx? ? ? ? ?

其中常數(shù)a0? a1? a2? ? ? ? ? an ? ? ? ?叫做冪級數(shù)的系數(shù)?

例如一下級數(shù)?

1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn ? ? ? ? ?

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

2n高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

1?x?121x? ? ? ? ?xn? ? ? ? ?

2!n!2

n

注? 冪級數(shù)的一般形式是

a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)? ? ? ? ?an(x?x0)? ? ? ? ?

經(jīng)變換t?x?x0就得a0?a1t?a2t2? ? ? ? ?antn? ? ? ? ?

冪級數(shù)

1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn ? ? ? ?

可以看成是公比為x的幾何級數(shù)? 當(dāng)|x|?1時(shí)它是收斂的? 當(dāng)|x|?1時(shí)? 它是發(fā)散的?

因此它的收斂域?yàn)??1? 1)? 在收斂域內(nèi)有

1?1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn? ? ? ? ?

1?x由此例可得：

定理1(阿貝爾定理)如果級數(shù)?anxn當(dāng)x?x0(x0?0)時(shí)收斂? 則適合不等式

n?0?|x|?|x0|的一切x使這冪級數(shù)絕對收斂? 反之? 如果級數(shù)?anxn當(dāng)x?x0時(shí)發(fā)散?

n?0?則適合不等式|x|?|x0|的一切x使這冪級數(shù)發(fā)散?

證

先設(shè)x0是冪級數(shù)?anx的收斂點(diǎn)? 即級數(shù)?anxn收斂? 根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件?

n?0n?0n有l(wèi)imanx0?0? 于是存在一個(gè)常數(shù)M? 使 n???n?| anx0n |?M(n?0, 1, 2, ? ? ?)?

這樣級數(shù)n?0?anxn的的一般項(xiàng)的絕對值

xnxxn?n|?|anx0|?||n?M?||n?

x0x0x0??|anxnn|?|anx0?xn因?yàn)楫?dāng)|x|?|x0|時(shí)? 等比級數(shù)?M?||收斂? 所以級數(shù)?|anxn|收斂?

x0n?0n?0?也就是級數(shù)n?0?anxn絕對收斂?

定理的第二部分可用反證法證明? 倘若冪級數(shù)當(dāng)x?x0時(shí)發(fā)散而有一點(diǎn)x1適合|x1|>|x0|使級青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

數(shù)收斂? 則根據(jù)本定理的第一部分? 級數(shù)當(dāng)x?x0時(shí)應(yīng)收斂? 這與所設(shè)矛盾? 定理得證?

推論

如果級數(shù)?anxn不是僅在點(diǎn)x?0一點(diǎn)收斂? 也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂? 則必有一個(gè)n?0?完全確定的正數(shù)R存在? 使得

當(dāng)|x|?R時(shí)? 冪級數(shù)絕對收斂?

當(dāng)|x|?R時(shí)? 冪級數(shù)發(fā)散?

當(dāng)x?R與x??R時(shí)? 冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散?

收斂半徑與收斂區(qū)間? 正數(shù)R通常叫做冪級數(shù)數(shù)??n?0?anxn的收斂半徑? 開區(qū)間(?R? R)叫做冪級

?n?0?anxn的收斂區(qū)間? 再由冪級數(shù)在x??R處的收斂性就可以決定它的收斂域? 冪級數(shù)n?0?anxn的收斂域是(?R, R)(或[?R, R)、(?R, R]、[?R, R]之一?

?n?

規(guī)定? 若冪級數(shù)?anx只在x?0收斂? 則規(guī)定收斂半徑R?0 ? 若冪級數(shù)?anxn對一切x都n?0n?0收斂? 則規(guī)定收斂半徑R???? 這時(shí)收斂域?yàn)???, ??)?

關(guān)于冪級數(shù)的收斂半徑求法，有下列定理：

定理2 如果lim|n??an?1an|??? 其中an、an?1是冪級數(shù)?anxn的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)?

n?0?則這冪級數(shù)的收斂半徑

? ?? ??0??1 ??0?

R??????0 ????

簡要證明? lim|n??an?1xn?1anxn|?lim|n??an?1an|?|x| ??|x|?

(1)如果0?????? 則只當(dāng)?|x|?1時(shí)冪級數(shù)收斂? 故R?

(2)如果??0? 則冪級數(shù)總是收斂的? 故R????

1??

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(3)如果????? 則只當(dāng)x?0時(shí)冪級數(shù)收斂? 故R?0?

例1 求冪級數(shù)?(?1)n?1?n?1xn的收斂半徑與收斂域?

n1a

解

因?yàn)?? lim|n?1|? limn?1?1?

n??an??1nn所以收斂半徑為R?1??1?

?

當(dāng)x?1時(shí)? 冪級數(shù)成為?(?1)n?1n?1?1? 是收斂的?

n

1當(dāng)x??1時(shí)? 冪級數(shù)成為?(?)? 是發(fā)散的? 因此? 收斂域?yàn)??1, 1]?

nn?1

例2 求冪級數(shù)?1?x?1nx n!n?0?12131的收斂域?

x?x? ? ? ? ?xn? ? ? ? 2!3!n!

1a(n?1)!n!? lim?0?

解

因?yàn)?? lim|n?1| ? limn??an??n??(n?1)!1nn!所以收斂半徑為R???? 從而收斂域?yàn)???, ??)?

例3 求冪級數(shù)?n!xn的收斂半徑?

n?0?

解 因?yàn)?/p>

?? lim|n??an?1an| ? lim(n?1)!n!n??????

所以收斂半徑為R?0? 即級數(shù)僅在x?0處收斂?

例4 求冪級數(shù)??(2n)!2n?0(n!)x2n的收斂半徑?

解 級數(shù)缺少奇次冪的項(xiàng)? 定理2不能應(yīng)用? 可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑?

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冪級數(shù)的一般項(xiàng)記為un(x)?(2n)!(n!)2x2n?

因?yàn)?lim|n??un?1(x)un(x)| ?4|x|2?

當(dāng)4|x|?1即|x|?21112時(shí)級數(shù)收斂? 當(dāng)4|x|?1即|x|?時(shí)級數(shù)發(fā)散? 所以收斂半徑為R?? 222[2(n?1)]!(n!)22提示?

un?1(x)un(x)x2(n?1)??(2n?2)(2n?1)(n?1)2x2?

x2n

例5 求冪級數(shù)??(x?1)n2nn的收斂域?

?n?1tn

解 令t?x?1? 上述級數(shù)變?yōu)?n?

n?12n

因?yàn)??? lim|n??an?1an2n?n1| ?n?1??

2?(n?1)2所以收斂半徑R?2?

?(?1)1

當(dāng)t?2時(shí)? 級數(shù)成為?? 此級數(shù)發(fā)散? 當(dāng)t??2時(shí)? 級數(shù)成為?? 此級數(shù)收斂?

nnn?1n?1?因此級數(shù)?tn的收斂域?yàn)?2?t?2? 因?yàn)?2?x?1?2? 即?1?x?3?

nn?12n?所以原級數(shù)的收斂域?yàn)閇?1, 3)?

三、冪級數(shù)的運(yùn)算

設(shè)冪級數(shù)∑anxn及∑bnxn分別在區(qū)間(?R, R)及(?R?, R?)內(nèi)收斂? 則在(?R, R)與(?R?, R?)中較小的區(qū)間內(nèi)有

加法? ∑anx?∑bnx ?∑(an?bn)x ?

減法? ∑anxn?∑bnxn ?∑(an?bn)xn ?

乘法?(?anx)?(?bnxn)?a0b0?(a0b1?a1b0)x?(a0b2?a1b1?a2b0)x2? ? ? ?

nn?0n?0??nn

n?(a0bn?a1bn?1? ? ? ? ?anb0)x? ? ? ?

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?? 除法：n?0?n?0anxxn??nn?b?cn?0nx n??nnx與?cnx相乘，然后比較

n?0n

這里假定b0?0。為了決定系數(shù)cn，可以將

?bn?0?與?anxn的同次冪項(xiàng)系數(shù)得出。

n?0關(guān)于冪級數(shù)，有以下的重要性質(zhì)

性質(zhì)1 冪級數(shù)?anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù)?

n?0?

如果冪級數(shù)在x?R(或x??R)也收斂? 則和函數(shù)s(x)在(?R, R](或[?R, R))連續(xù)?

性質(zhì)2 冪級數(shù)?anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積? 并且有逐項(xiàng)積分公式

n?0?

?0xs(x)dx??(?anx)dx?0n?0x?nn?0??0?xanxdx?nn?0n?1??anxn?1(x?I)?

逐項(xiàng)積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑?

性質(zhì)3 冪級數(shù)?anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(?R? R)內(nèi)可導(dǎo)? 并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式

n?0?

s?(x)?(?anx)??n?0?nn?0?(anx)???nanxn?1(|x|?R)?

n?1?n?逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑?

例6 求冪級數(shù)?1xn的和函數(shù)?

n?0n?1??

解 求得冪級數(shù)的收斂域?yàn)閇?1? 1)?

設(shè)和函數(shù)為s(x)? 即s(x)?

在xs(x)?1xn? x?[?1? 1)? 顯然s(0)?1?

n?0n?1?1n?1x的兩邊求導(dǎo)得 n?1n?0??

[xs(x)]??n?0?(??11xn?1)???xn??

n?11?xn?0對上式從0到x積分? 得

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

xs(x)??1dx??ln1(?x)?

01?xx1???ln(1?x)0?|x|?11于是? 當(dāng)x ?0時(shí)? 有s(x)??ln(1?x)? 從而s(x)??x?

x? 1 x?0?x?11n?

1因?yàn)閤s(x)??x??[?xn?1]?dx

0n?0n?1n?0n?1?

??x?0n?0?xndx??1dx??ln1(?x)?

01?xx所以? 當(dāng)x?0時(shí)? 有s(x)??1ln(1?x)?

x1???ln(1?x)0?|x|?1從而 s(x)??x?

? 1 x?0?提示? 應(yīng)用公式?F?(x)dx?F(x)?F(0)? 即F(x)?F(0)??F?(x)dx?

001?1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn? ? ? ? ? 1?xxx

例7 求級數(shù)??(?1)nn?1的和?

n?0

解

考慮冪級數(shù)?1xn? 此級數(shù)在[?1, 1)上收斂? 設(shè)其和

n?0n?1??函數(shù)為s(x)? 則s(?1)??(?1)nn?1?

n?0?(?1)11?ln?

在例6中已得到xs(x)?ln(1?x)? 于是?s(?1)?ln2? s(?1)?ln? 即?22n?0n?1n

§12? 4 函數(shù)展開成冪級數(shù)

一、泰勒級數(shù)

問題? 給定函數(shù)f(x)? 要考慮它是否能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)“展開成冪級數(shù)”? 就是說? 是否能找到這樣一個(gè)冪級數(shù)? 它在某區(qū)間內(nèi)收斂? 且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x)?

如果能找到這樣青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù) 的冪級數(shù)? 我們就說? 函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù)? 或簡單地說函數(shù)f(x)能展開成冪級數(shù)? 而該級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(x)?

以前學(xué)過泰勒多項(xiàng)式? 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)? 則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?

?f(n?1)f??(x0)2!(x?x0)2? ? ? ?

f(n)(x0)n!(x?x0)n?Rn(x)?

其中Rn(x)?(?)(n?1)!(x?x0)n?1(?介于x與x0之間)?

泰勒級數(shù)? 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f?(x)? f??(x)? ? ? ? ?

f(n)(x)? ? ? ? ? 則當(dāng)n??時(shí)? f(x)在點(diǎn)x0的泰勒多項(xiàng)式

pn(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?成為冪級數(shù)

f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)?2f??(x0)2!(x?x0)? ? ? ? ?2f(n)(x0)n!(x?x0)n

f???(x0)3!(x?x0)? ? ? ? ?3f(n)(x0)n!(x?x0)n? ? ? ?

這一冪級數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù)?

顯然? 當(dāng)x?x0時(shí)? f(x)的泰勒級數(shù)收斂于f(x0)?

但是 除了x?x0外? f(x)的泰勒級數(shù)是否收斂? 如果收斂? 它是否一定收斂于f(x)? 對此，有以下定理：

定理

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)? 則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)n?0時(shí)的極限為零? 即

n??limRn(x)?0(x?U(x0))?

證明

先證必要性? 設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展開為泰勒級數(shù)? 即

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)? ? ? ? ?2f(n)(x0)n!(x?x0)n? ? ? ? ?

又設(shè)sn?1(x)是f(x)的泰勒級數(shù)的前n?1項(xiàng)的和? 則在U(x0)內(nèi)sn?1(x)? f(x)(n??)?

而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)?sn?1(x)?Rn(x)? 于是R n(x)?f(x)?sn?1(x)?0(n??)?

再證充分性? 設(shè)Rn(x)?0(n??)對一切x?U(x0)成立?

因?yàn)閒(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)?sn?1(x)?R n(x)? 于是sn?1(x)?f(x)?R n(x)?f(x)?

即f(x)的泰勒級數(shù)在U(x0)內(nèi)收斂? 并且收斂于f(x)?

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

在泰勒級數(shù)中取x0?0? 得

f(0)?f?(0)x?f??(0)2!x? ? ? ? ?2f(n)(0)n!xn? ? ? ??

此級數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級數(shù)?

展開式的唯一性? 如果f(x)能展開成x的冪級數(shù)? 那么這種展式是唯一的? 它一定與f(x)的麥克勞林級數(shù)一致?

這是因?yàn)? 如果f(x)在點(diǎn)x0?0的某鄰域(?R? R)內(nèi)能展開成x的冪級數(shù)? 即

f(x)?a0?a1x?a2x? ? ? ? ?anx? ? ? ? ?

那么根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)? 有 f ?(x)?a1?2a2x?3a3x? ? ? ??nanx? ? ? ? ?

f ??(x)?2!a2?3?2a3x? ? ? ? ? n?(n?1)anxn?2 ? ? ? ? ?

f ???(x)?3!a3? ? ? ??n?(n?1)(n?2)anxn?3 ? ? ? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

f(n)(x)?n!an?(n?1)n(n?1)? ? ? 2an?1x ? ? ? ? ?

于是得

a0?f(0)? a1?f ?(0)? a2?f??(0)2!2n?12n

? ? ? ?? an?f(n)(0)n!? ? ? ??

注意? 如果f(x)能展開成x的冪級數(shù)? 那么這個(gè)冪級數(shù)就是f(x)的麥克勞林級數(shù)? 但是? 反過來如果f(x)的麥克勞林級數(shù)在點(diǎn)x0?0的某鄰域內(nèi)收斂? 它卻不一定收斂于f(x)? 因此? 如果f(x)在點(diǎn)x0?0處具有各階導(dǎo)數(shù)? 則f(x)的麥克勞林級數(shù)雖然能作出來? 但這個(gè)級數(shù)是否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂? 以及是否收斂于f(x)卻需要進(jìn)一步考察?

二、函數(shù)展開成冪級數(shù)

展開步驟?

第一步

求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù)? f ?(x)? f ??(x)? ? ? ? ? f(n)(x)? ? ? ? ?

第二步

求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x?0 處的值?

f(0)? f ?(0)? f ??(0)? ? ? ? ? f(0)? ? ? ? ?

第三步

寫出冪級數(shù)

f(0)?f?(0)x?并求出收斂半徑R?

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組(n)f??(0)2!x? ? ? ? ?2f(n)(0)n!xn? ? ? ? ? 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

第四步

考察在區(qū)間(?R? R)內(nèi)時(shí)是否Rn(x)?0(n??)?

limRn(x)?limn??f(n?1)(?)n??(n?1)!xn?

1是否為零? 如果Rn(x)?0(n??)? 則f(x)在(?R? R)內(nèi)有展開式

f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(0)2!x? ? ? ? ?2f(n)(0)n!xn? ? ? ?(?R?x?R)?

例1 將函數(shù)f(x)?ex展開成x的冪級數(shù)?

解 所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為f(x)?e(n?1? 2? ? ? ?)? 因此f

1?x?1x2? ? ? ? 1xn? ? ? ??

2!n!(n)

x

(n)

(0)?1(n?1? 2? ? ? ?)? 于是得級數(shù)

它的收斂半徑R????

對于任何有限的數(shù)x、?(?介于0與x之間)? 有

n?1e?n?1|x||x|x| ?e?

|Rn(x)| ?|?

(n?1)!(n?1)!|x|n?1?0? 所以 lim|Rn(x)|?0? 從而有展開式 而 limn??(n?1)!n??

ex?1?x?121x? ? ? ? xn? ? ? ?(???x???)?

2!n!

例2 將函數(shù)f(x)?sin x 展開成x的冪級數(shù)?

解 因?yàn)閒(n)(n)(x)?sin(x?n? ?)(n?1? 2?

? ? ?)?

2所以f(0)順序循環(huán)地取0? 1? 0? ?1? ? ? ?((n?0? 1? 2? 3? ? ? ?)? 于是得級數(shù)

2n?1x3x5n?1x?? ? ? ? ?(?1)? ? ? ??

x?3!5!(2n?1)!它的收斂半徑為R????

對于任何有限的數(shù)x、?(?介于0與x之間)? 有

sin[??(n?1)?2(n?1)!]xn?1 |Rn(x)| ?||x|n?1| ??0(n ??)?

(n?1)!因此得展開式

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

sinx?x?x3x5x2n?1?? ? ? ? ?(?1)n?1? ? ? ?(???x???)?

3!5!(2n?1)!2!n!

ex?1?x?1x2? ? ? ? 1xn? ? ? ?(???x???)?

例3 將函數(shù)f(x)?(1? x)展開成x的冪級數(shù)? 其中m為任意常數(shù)?

解? f(x)的各階導(dǎo)數(shù)為

f ?(x)?m(1?x)m?1?

f ??(x)?m(m?1)(1?x)

? ? ? ? ? ? ? ? ??

f(n)(x)?m(m?1)(m?2)? ? ?(m?n?1)(1?x)m?n?

? ? ? ? ? ? ? ? ??

所以

f(0)?1? f ?(0)?m? f ??(0)?m(m?1)? ? ? ?? f(n)(0)?m(m?1)(m?2)? ? ?(m?n?1)? ? ? ? 于是得冪級數(shù)

1?mx?可以證明

(1?x)m?1?mx?

間接展開法?

例4 將函數(shù)f(x)?cos x展開成x的冪級數(shù)?

解

已知

2n?1x3x5n?1x?? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)?

sinx?x?3!5!(2n?1)!m?2m?

m(m?1)2!x2? ? ? ? ?m(m?1)? ? ?(m?n?1)n!xn? ? ? ? ?

m(m?1)2!x2? ? ? ? ?m(m?1)? ? ?(m?n?1)n!xn? ? ? ?(?1?x?1)?

對上式兩邊求導(dǎo)得

2nx2x4nx?? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)?

cosx?1?2!4!(2n)!

例5 將函數(shù)f(x)?

解 因?yàn)?展開成x的冪級數(shù)?

21?x1?1?x?x2? ? ? ? ?xn? ? ? ?(?1?x?1)?

1?x2把x換成?x? 得

1?1?x2?x4? ? ? ? ?(?1)nx2n? ? ? ?(?1?x?1)? 21?x青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

注? 收斂半徑的確定? 由?1??x?1得?1?x?1?

例6 將函數(shù)f(x)?ln(1?x)展開成x的冪級數(shù)?

分析 因?yàn)閒?(x)?1?

1?x2而1是收斂的等比級數(shù)?(?1)nxn(?1?x?1)的和函數(shù)?

1?xn?0

1?1?x?x2?x3? ? ? ? ?(?1)nxn? ? ? ? ?

1?x?所以將上式從0到x逐項(xiàng)積分? 得

n?1x2x3x4nx

ln1(?x)?x???? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(?1?x?1)?

234n?

1解?

f(x)?ln(1?x)??[ln(1?x)]?dx??0xx01dx 1?xxn?1

??[?(?1)x]dx??(?1)(?1?x?1)?

0n?1n?0n?0xnnn??

上述展開式對x?1也成立? 這是因?yàn)樯鲜接叶说膬缂墧?shù)當(dāng)x?1時(shí)收斂? 而ln(1?x)在x?1處有定義且連續(xù)?

例7 將函數(shù)f(x)?sin x展開成(x?

解

因?yàn)?/p>

sinx?sin[并且有

cosx(?

sinx(??4?(x??4)的冪級數(shù)?

?4)]?2??[cos(x?)?sin(x?)]?

244?44)?1?1?1?(x?)2?(x?)4? ? ? ?(???x???)?

2!44!4?)?(x??4)?1?1?(x?)3?(x?)5? ? ? ?(???x???)?

3!45!4所以

sinx?

例8 將函數(shù)f(x)?

解 因?yàn)? 2?1?1?[1?(x?)?(x?)2?(x?)3? ? ? ?](???x???)?

242!43!41展開成(x?1)的冪級數(shù)?

x2?4x?3青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

f(x)?111111

?????x2?4x?3(x?1)(x?3)2(1?x)2(3?x)4(1?x?1)8(1?x?1)24 nn1?1?n(x?1)n(x?1)

??(?1)??(?1)4n?08n?02n4n

?n?0?(?1)n(?12n?2?2n)(x?1)(?1?x?3)?

2n?31提示?

1?x?2?(x?1)?2(1?x?1)?3?x?4?(x?1)?4(1?x?1)?

24n?1x?1n(x?1)

??(?1)(?1??1)?

nx?1n?0221?2n?1x?1n(x?1)

??(?1)(?1??1)?

nx?1n?0441?4收斂域? 由?1?

x?1x?1?1和?1??1得?1?x?3?

24小結(jié)：常用的展開式

1?1?x?x2? ? ? ? ?xn? ? ? ?(?1?x?1)? 1?xex?1?x?121x? ? ? ? xn? ? ? ?(???x???)?

2!n!2n?1x3x5n?1xsinx?x??? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)? 3!5!(2n?1)!2nx2x4nxcosx?1??? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)? 2!4!(2n)!n?1x2x3x4nxln(1?x)?x???? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(?1?x?1)? 234n?1(1?x)m?1?mx?m(m?1)2!x2? ? ? ? ?m(m?1)? ? ?(m?n?1)n!xn? ? ? ?(?1?x?1)?

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

§12? 5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用

一、近似計(jì)算

例1 計(jì)算5240的近似值? 要求誤差不超過0?0001?

解

因?yàn)?240?5243?3?3(1?14)1/5?

3所以在二項(xiàng)展開式中取m?1? x??14? 即得

5111?411?4?91240?3(1??4?2?8?3?12? ? ? ?)?

535?2!35?3!3這個(gè)級數(shù)收斂很快? 取前兩項(xiàng)的和作為5240的近似值? 其誤差(也叫做截?cái)嗾`差)為

|r2|?3（?3?

?1?411?4?911?4?9?141?????? ? ? ?)52?2!3853?3!31254?4!3161?41112?[1??()? ? ? ? ] 2881815?2!361111?8????

125325?27?40200001?8111)?

534?4于是取近似式為5240?3(1??為了使“四舍五入”引起的誤差(叫做舍入誤差)與截?cái)嗾`差之和不超過10? 計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù)? 然后四舍五入? 因此最后得：

5240?2.9926?

例2 計(jì)算ln 2的近似值? 要求誤差不超過0?0001?

解

在上節(jié)例5中? 令 x?1可得

ln2?1?111?? ? ? ? ?(?1)n?1? ? ? ?.23n

如果取這級數(shù)前n項(xiàng)和作為ln2的近似值? 其誤差為

|rn|?1.n?1為了保證誤差不超過10?4? 就需要取級數(shù)的前10000項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算.這樣做計(jì)算量太大了? 我們必需用收斂較快的級數(shù)來代替它.青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

把展開式

ln1(?x)?x?中的x換成?x ? 得

x2x3x ln(1?x)??x???? ? ? ?(1?x?1)?

234x2x3x4xn?1??? ? ? ? ?(?1)n? ? ? ?(?1?x?1)234n?1兩式相減? 得到不含有偶次冪的展開式?

ln1?x?ln1(?x)?ln1(?x)?2(x?x3?x5? ? ? ?)(?1?x?1)?

1?x35令1?x?2? 解出x?1? 以x?1代入最后一個(gè)展開式? 得

1?x33

ln2?2(??13111111????? ? ? ?)? 333535737如果取前四項(xiàng)作為ln2的近似值? 則誤差為

|r4|?2(?

?111111????? ? ? ?)9391***12[1??()? ? ? ? ]

99311

?2111???.11970000031?14?3913111111????)? 333535737于是取 ln2?2(??同樣地? 考慮到舍入誤差? 計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù)?

1111111? ?3?0.01235? ?5?0.00082? ?7?0.00007? ?0.333333335373因此得

ln 2?0?6931?

例3 利用sinx?x?13 x求sin9?的近似值? 并估計(jì)誤差?

3!解

首先把角度化成弧度?

9??從而

?180??9(弧度)???203(弧度)?

1?sin??20203!20?? ?

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

其次? 估計(jì)這個(gè)近似值的精確度? 在sin x 的冪級數(shù)展開式中令x??? 得

201??1???1??????

sin????????? ? ? ? ? 20203!?20?5!?20?7!?20???357等式右端是一個(gè)收斂的交錯(cuò)級數(shù)? 且各項(xiàng)的絕對值單調(diào)減少? 取它的前兩項(xiàng)之和作為sin?的20近似值? 起誤差為

1??11

|r2|??? ?(0.2)5????5!?20?120300000????0.003876 因此取 ?0.157080? ??20?20?5?3于是得

sin9??0?15643? 這時(shí)誤差不超過10?5? 例4 計(jì)算定積分

2??120e?xdx 的近似值? 要求誤差不超過0?0001（取x

2??0.56419）?

解： 將e的冪級數(shù)展開式中的x換成?x? 得到被積函數(shù)的冪級數(shù)展開式

e?x2?1??(?x2)1!n?(?x2)22!?(?x2)33!? ? ? ?

x2n

??(?1)(???x???).n!n?0于是? 根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)可積? 得

2?1??122e?xdx0?2???1?2[(?1)n0n?0x2n2]dx?n!?(?1)n22n?n!?0xdx n?0?1

?(1?111?4?6? ? ? ?).2?32?5?2!2?7?3!2前四項(xiàng)的和作為近似值? 其誤差為

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|r4|?所以

2111??

?28?9?4!90000??122e?xdx0?1?(1?111??)?0.5295?

22?324?5?2!26?7?3!

例5 計(jì)算積分

?01sinxxdx 的近似值? 要求誤差不超過0?0001?

解 由于limsinx?1? 因此所給積分不是反常積分? 如果定義被積函數(shù)在x?0處的值為1?

x?0x則它在積分區(qū)間[0? 1]上連續(xù)，展開被積函數(shù)? 有

sinxx2x4x6

?1???? ? ? ?(???x???)?

x3!5!7!在區(qū)間[0? 1]上逐項(xiàng)積分? 得

?01sinx111dx?1???? ? ? ? ?

x3?3!5?5!7?7!因?yàn)榈谒捻?xiàng)

11?

?7?7!30000所以取前三項(xiàng)的和作為積分的近似值?

?01sinxxdx?1?11??0.9461?

3?3!5?5!

二、歐拉公式

復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)? 設(shè)有復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)

(u1?iv1)?(u2?iv2)? ? ? ??(un?ivn)? ? ? ?

其中un ? vn(n?1? 2? 3? ? ? ?)為實(shí)常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù)? 如果實(shí)部所成的級數(shù)

u1?u2 ? ? ? ? ?un? ? ? ?

收斂于和u? 并且虛部所成的級數(shù)?

v1?v2? ? ? ? ?vn? ? ? ?

收斂于和v? 就說復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂且和為u?iv?

絕對收斂?

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

2如果級?(un?ivn)的各項(xiàng)的模所構(gòu)成的級數(shù)?un收斂?

?vnn?1n?1??則稱級數(shù)?(un?ivn)絕對收斂?

n?1?復(fù)變量指數(shù)函數(shù)? 考察復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)

1?z?1z2? ? ? ? ?1zn? ? ? ? ?

2!n!可以證明此級數(shù)在復(fù)平面上是絕對收斂的? 在x軸上它表示指數(shù)函數(shù)e? 在復(fù)平面上我們用它來定義復(fù)變量指數(shù)函數(shù)? 記為ez ? 即

ez?1?z?121z? ? ? ? ?zn? ? ? ? ?

2!n!x

歐拉公式? 當(dāng)x?0時(shí)? z?iy ? 于是

eiy?1?iy?

?1?iy?

?(1?11(iy)2? ? ? ? ?(iy)n? ? ? ? 2!n!12111y?iy3?y4?iy5? ? ? ? 2!3!4!5!121411y?y? ? ? ?)?i(y?y3?y5? ? ? ?)2!4!3!5!

?cos y?isin y?

把y定成x得

eix?cos x?i sin x?

這就是歐拉公式?

復(fù)數(shù)的指數(shù)形式? 復(fù)數(shù)z可以表示為

z?r(cos? ?isin?)?re??

其中r?|z|是z的模? ? ?arg z是z的輻角?

三角函數(shù)與復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系?

因?yàn)閑ix?cos x?i sin x? e?ix?cos x?i sin x? 所以

e+e?2cos x?

e?e?2isin x?

cosx?11ix(e?e?ix)? sinx?(eix?e?ix)?

22i青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 ix?ixx?ixi

這兩個(gè)式子也叫做歐拉公式? 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)?

ez1?z2?ez1?ez2?

特殊地? 有ex?iy ?ex ei y ?ex(cos y? isin y)?

也就是說，復(fù)變量指數(shù)函數(shù)ez在z?x?yi處的值的模為ex，輻角為y的復(fù)數(shù)。

§12.7 傅里葉級數(shù) 一、三角級數(shù)

三角函數(shù)系的正交性

三角級數(shù)? 級數(shù) a0??(ancosnx?bnsinnx)

2n?1?稱為三角級數(shù)? 其中a0? an? bn(n ? 1? 2? ? ? ?)都是常數(shù)?

三角函數(shù)系?

1? cos x? sin x? cos 2x? sin 2x? ? ? ?? cos nx? sin nx? ? ? ?

三角函數(shù)系的正交性? 三角函數(shù)系中任何兩個(gè)不同的函數(shù)的乘積在區(qū)間[??? ?]上的積分等于零? 即

???cosnxdx?0(n?1? 2? ? ? ?)?

???sinnxdx?0(n?1? 2? ? ? ?)?

???sinkxcosnxdx?0(k? n?1? 2? ? ? ?)?

???sinkxsinnxdx?0(k? n?1? 2? ? ? ?? k?n)?

???coskxcosnxdx?0(k? n?1? 2? ? ? ?? k?n)? ?????三角函數(shù)系中任何兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在區(qū)間[????]上的積分不等于零? 即

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

?????12dx?2??

2???cosnxdx??(n ?1? 2? ? ? ?)?

???sinnxdx???2(n ?1? 2? ? ? ?)?

二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)

問題? 設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)? 且能展開成三角級數(shù)?

f(x)?a02??(akcoskx?bksinkx)?

k?1?那么系數(shù)a0? a1? b1? ? ? ? 與函數(shù)f(x)之間存在著怎樣的關(guān)系? 假定三角級數(shù)可逐項(xiàng)積分? 則

????f(x)cosnxdx????a02??cosnxdx??[ak?coskxcosnxdx?bk?sinkxcosnxdx]?

k?1???????類似地???f(x)sinnxdx?bn??

傅里葉系數(shù)?

a0?

an?

bn?1?1???????????f(x)dx?

??1?(n ?1? 2? ? ? ?)?

f(x)cosnxdxf(x)sinnxdx?(n ?1? 2? ? ? ?)?

?系數(shù)a0? a1? b1? ? ? ? 叫做函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)?

傅里葉級數(shù)? 三角級數(shù)

a02??(ancosnx?bnsinnx)

n?1?稱為傅里葉級數(shù)? 其中a0? a1? b1? ? ? ?是傅里葉系數(shù)?

問題? 一個(gè)定義在(??? ??)上周期為2?的函數(shù)f(x)? 如果它在一個(gè)周期上可積? 則一定可以作出f(x)的傅里葉級數(shù)? 然而? 函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù)是否一定收斂? 如果它收斂? 它是否一定收斂于函數(shù)f(x)? 一般來說? 這兩個(gè)問題的答案都不是肯定的?

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

定理(收斂定理? 狄利克雷充分條件)設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)? 如果它滿足? 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)? 在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)? 則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂? 并且

當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)? 級數(shù)收斂于f(x)?

當(dāng)x是f(x)的間斷點(diǎn)時(shí)? 級數(shù)收斂于1[f(x?0)?f(x?0)]?

2例1 設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)? 它在[??? ?)上的表達(dá)式為

f(x)????1 ???x?0

0 ?x???將f(x)展開成傅里葉級數(shù)?

解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件? 它在點(diǎn)x?k?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)處不連續(xù)? 在其它點(diǎn)處連續(xù)? 從而由收斂定理知道f(x)的傅里葉級數(shù)收斂? 并且當(dāng)x?k?時(shí)收斂于

11[f(x?0)?f(x?0)]?(?1?1)?0?

22當(dāng)x?k?時(shí)級數(shù)收斂于f(x)?

傅里葉系數(shù)計(jì)算如下?

an?1?1????????f(x)cosnxdx?f(x)sinnxdx?1?1???00(?1)cosnxdx?1?1?01?cosnxdx?0(n ?0? 1? 2? ? ? ?)?

??

bn?

??????(?1)sinnxdx???01?sinnxdx

1cosnx01cosnx?1[]???[?]0?[1?cosn??cosn??1] ?n?nn?4?? n?1, 3, 5, ? ? ?2n

?[1?(?1)]??n?

n???0 n?2, 4, 6, ? ? ?于是f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為

f(x)?4?[sinx?11sin3x? ? ? ? ?sin2(k?1)x? ? ? ? ]

32k?

1(???x???? x ?0? ??? ?2?? ? ? ?)?

例2 設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)? 它在[????)上的表達(dá)式為

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

f(x)???x ???x?0

0 0?x???將f(x)展開成傅里葉級數(shù).解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件? 它在點(diǎn)x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)處不連續(xù)? 因此? f(x)的傅里葉級數(shù)在x?(2k?1)?處收斂于

1[f(x?0)?f(x?0)]?1(0??)????

222在連續(xù)點(diǎn)x(x?(2k?1)?)處級數(shù)收斂于f(x)?

傅里葉系數(shù)計(jì)算如下?

a0?an?1?1????????f(x)dx?1????0xdx??1 ?? 21xsinnxcosnx01[?]?(1?cosn?)???nn2n2??f(x)cosnxdx?????0xcosnxdx??2 n?1, 3, 5, ? ? ? ?

??n2?

??0 n?2, 4, 6, ? ? ?

bn?

?1????n?f(x)sinnxdx?1????xsinnxdx0?1?[?xcosnxsinnx0cosn? ?]????nnn2(?1)n?1(n ?1? 2? ? ? ?)?

f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為

f(x)??

??4?(2?cosx?sinx)?121sin2x?(2cos3x?sin3x)233?121sin4x?(2cos5x?sin5x)? ? ? ?(???x??? ? x ???? ?3?? ? ? ?)? 455?

周期延拓? 設(shè)f(x)只在[????]上有定義? 我們可以在[??? ?)或(??? ?]外補(bǔ)充函數(shù)f(x)的定義?

使它拓廣成周期為2?的周期函數(shù)F(x)? 在(??? ?)內(nèi)? F(x)?f(x).例3 將函數(shù)

f(x)????x ? ??x?0

x 0 ? x???展開成傅里葉級數(shù)?

解 所給函數(shù)在區(qū)間[??? ?]上滿足收斂定理的條件? 并且拓廣為周期函數(shù)時(shí)? 它在每一點(diǎn)x處青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

都連續(xù)? 因此拓廣的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)在[??? ?]上收斂于f(x)?

傅里葉系數(shù)為?

a0?

an?1?1????????f(x)dx?1????(?x)dx???01001?xdx???

1??2f(x)cosnxdx?????(?x)cosnxdx???0

xcosnxdx??4 n?1, 3, 5, ? ? ??

?2(cosn??1)??n2?

n??0 n?2, 4, 6, ? ? ??

bn?1?????f(x)sinnxdx?1????0(?x)sinnxdx?1??0?xsinnxdx?0(n ?1? 2? ? ? ?)?

于是f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為

f(x)? ?411?(cosx?2cos3x?2cos5x? ? ? ?)(???x??)?

2?3

5三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)

當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)? f(x)cos nx是奇函數(shù)? f(x)sin nx是偶函數(shù)? 故傅里葉系數(shù)為

an?0(n?0? 1? 2? ? ? ?)?

bn?2??0?f(x)sinnxdx(n?1? 2? 3? ? ? ?)?

因此奇數(shù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)是只含有正弦項(xiàng)的正弦級數(shù)

?bnsinnx?

n?1?

當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)? f(x)cos nx是偶函數(shù)? f(x)sin nx是奇函數(shù)? 故傅里葉系數(shù)為

an?2??0?f(x)cosnxdx(n?0? 1? 2? 3? ? ? ?)?

bn?0(n?1? 2? ? ? ?)?

因此偶數(shù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)是只含有余弦項(xiàng)的余弦級數(shù)

a02??ancosnx?

n?1?

例4 設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)? 它在[??? ?)上的表達(dá)式為f(x)?x? 將f(x)展開成

傅里葉級數(shù)?

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解 首先? 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件? 它在點(diǎn)x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)不連續(xù)?

因此f(x)的傅里葉級數(shù)在函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)x?(2k?1)?收斂于f(x)? 在點(diǎn) x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)收斂于

1[f(??0)?f(???0)]?1[??(??)]?0?

2其次? 若不計(jì)x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)? 則f(x)是周期為2?的奇函數(shù)? 于是

an?0(n?0? 1? 2? ? ? ?)? 而

bn?2??0?f(x)sinnxdx?2??0?xsinnxdx

nx?22

?2[?xcosnx?sin]0??cosnx?(?1)n?1(n?1? 2? 3? ? ? ?)?

2nn?nnf(x)的傅里葉級數(shù)展開式為

f(x)?2(sinx?111sin2x?sin3x? ? ? ? ?(?1)n?1sinnx? ? ? ? 23n

(???x??? ? x???? ?3? ? ? ? ?)?

例5 將周期函數(shù)u(t)?E|sin1t|展開成傅里葉級數(shù)? 其中E是正的常數(shù)?

2解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件? 它在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù)? 因此u(t)的傅里葉級數(shù)處處收斂于u(t)?

因?yàn)閡(t)是周期為2?的偶函數(shù)? 所以bn?0(n?1? 2? ? ? ?)? 而

an?2??0?u(t)cosntd?t?2??0?tEsincosntdt

?E??011[sinn(?)t?sinn(?)t]dt

2211cosn(?)tcosn(?)tE2?2]?

?[?011?n?n?22

??4E(n?0? 1? 2? ? ? ?)?

(4n2?1)?所以u(t)的傅里葉級數(shù)展開式為

4E1 u(t)?(??cosnt)(???t???)?

2?2n?14n?1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 ?高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

奇延拓與偶延拓? 設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間[0? ?]上并且滿足收斂定理的條件? 我們在開區(qū)間(??? 0)內(nèi)補(bǔ)充函數(shù)f(x)的定義? 得到定義在(??? ?]上的函數(shù)F(x)? 使它在(??? ?)上成為奇函數(shù)(偶函數(shù))? 按這種方式拓廣函數(shù)定義域的過程稱為奇延拓(偶延拓)? 限制在(0? ?]上? 有F(x)?f(x)?

例6 將函數(shù)f(x)?x?1(0?x??)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)?

解

先求正弦級數(shù)? 為此對函數(shù)f(x)進(jìn)行奇延拓?

bn?2??0?f(x)sinnxdx?2??0?(x?1)sinnxdx?2?[?xcosnxsinnxcosnx???]0 2nnn?2???2 n?1, 3, 5, ? ? ? ?2n(1??cosn??cosn?)???

??

2n??? n?2, 4, 6, ? ? ?n?函數(shù)的正弦級數(shù)展開式為

x?1?2?[(??2)sinx??2sin2x?1?(??2)sin3x?sin4x? ? ? ? ](0?x??)?

34在端點(diǎn)x?0及x??處? 級數(shù)的和顯然為零? 它不代表原來函數(shù)f(x)的值?

再求余弦級數(shù)? 為此對f(x)進(jìn)行偶延拓?

an?2??0?f(x)cosnxdx?2??0?(x?1)cosnxdx?2?[?xsinnxcosnxsinnx???]0 nnn20 n?2, 4, 6, ? ? ? ??

?2(cosn??1)??4?

?2 n?1, 3, 5, ? ? ? n???n?2

a0?2??0?2x2?(x?1)dx?[?x]0???2

?2函數(shù)的余弦級數(shù)展開式為

x?1? ?411?1?(cosx?2cos3x?2cos5x? ? ? ?)(0?x??)?

2?35§12? 8 周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)

一、周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)

到目前為止，我們討論的周期函數(shù)都是以2?為周期的? 但是實(shí)際問題中所遇到的周期函數(shù)? 它的周期不一定是2?? 怎樣把周期為2l的周期函數(shù)f(x)展開成三角級數(shù)呢？

問題? 我們希望能把周期為2l的周期函數(shù)f(x)展開成三角級數(shù)? 為此我們先把周期為2l的周青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

期函數(shù)f(x)變換為周期為2?的周期函數(shù)?

令x?lt及f(x)?f(lt)?F(t)? 則F(t)是以2?為周期的函數(shù)?

??這是因?yàn)镕(t?2?)?f[l(t?2?)]?f(lt?2l)?f(lt)?F(t)?

???于是當(dāng)F(t)滿足收斂定理的條件時(shí)? F(t)可展開成傅里葉級數(shù)?

F(t)?其中

an?a02??(ancosnt?bnsinnt)?

n?1?????1?F(t)cosntdt?(n?0? 1? 2? ? ? ?)? bn?F(t)sinntdt(n?1? 2? ? ? ?)?

????1?從而有如下定理?

定理 設(shè)周期為2l的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理的條件? 則它的傅里葉級數(shù)展開式為

f(x)?a0n?xn?x??(ancos?bnsin)?

2n?1ll?其中系數(shù)an ? bn 為

an??f(x)cosl?l

bn??f(x)sinl?l

當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)?

n?x

f(x)??bnsin?

ln?1?1ln?xdx(n?0? 1? 2? ? ? ?)?

ln?xdx(n?1? 2? ? ? ?)?

l1l其中bn?2ln?xf(x)sindx(n ? 1? 2? ? ? ?)?

?l0l

當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)?

f(x)?其中an?2la0n?x??ancos?

2n?1lf(x)cosn?xdx(n ? 0? 1? 2? ? ? ?)?

l??0l

例1 設(shè)f(x)是周期為4的周期函數(shù)? 它在[?2? 2)上的表達(dá)式為

f(x)???0 ?2?x?0(常數(shù)k?0)?

k 0?x?2?青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)

將f(x)展開成傅里葉級數(shù)?

解

這里l?2?，按公式得

an?1?kcosn?xdx?[ksinn?x]0?0(n?0)?

022n?2

a0?1?0dx?1?kdx?k?

2?220021

bn?22k?? n?1, 3, 5, ? ? ? n?xkn?x2kksindx?[?cos]?(1?cosn?)? ?n?0?02n?2n???0 n?2, 4, 6, ? ? ?2于是

?x13?x15?x

f(x)?k?2k(sin?sin?sin? ? ? ?)

2?23252(???x???? x?0? ?2? ?4?

? ? ?? 在x?0? ?2? ?4? ? ? ? 收斂于k)?

2?pxl 0?x??2展開成正弦級數(shù)?

例2 將函數(shù)M(x)??2p(l?x)l? ?x?l22?

解

對M(x)進(jìn)行奇延拓? 則

an?0(n?0? 1? 2? 3? ? ? ?)?

bn?lllp(l?x)n?x22pxn?xn?xM(x)sindx?[sindx?sindx]?

l?0??ll02l2l2l對上式右邊的第二項(xiàng)? 令t?l?x? 則

l0ptn?(l?t)22pxn?x

bn?[?sindx??lsin(?dt)]

l02l2l2ll22pxn?xn?tn?12ptsindx?(?1)?sindt]?

?[?002l2ll當(dāng)n?2? 4? 6? ? ? ?時(shí)? bn?0? 當(dāng)n?1? 3? 5? ? ? ?時(shí)?

bn?4p2l?l202pln?xn?xsindx?22sin?

l2n?于是得

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M(x)? 2pl?2(sin?xl?13?x15?xsin?2sin? ? ? ?)(0?x?l)?

2ll35青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

第二篇：高等數(shù)學(xué)電子教案4

高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

教學(xué)目的：

第四章

不定積分

1、理解原函數(shù)概念、不定積分的概念。

2、掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質(zhì)，掌握換元積分法（第一，第二）與分部積分法。

3、會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分。教學(xué)重點(diǎn)：

1、不定積分的概念；

2、不定積分的性質(zhì)及基本公式；

3、換元積分法與分部積分法。教學(xué)難點(diǎn)：

1、換元積分法；

2、分部積分法；

3、三角函數(shù)有理式的積分。

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第四章

不定積分

§4? 1 不定積分的概念與性質(zhì)

一、教學(xué)目的與要求：

1． 2． 理解原函數(shù)與不定積分的概念及性質(zhì)。掌握不定積分的基本公式。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：原函數(shù)與不定積分的概念

三、主要外語詞匯：At first function，Be accumulate function，Indefinite integral，F(xiàn)ormulas integrals elementary forms.四、輔助教學(xué)情況：多媒體課件第四版和第五版（修改）

五、參考教材（資料）：同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》第五版

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第四章

不定積分

一、原函數(shù)與不定積分的概念

定義

1如果在區(qū)間I上? 可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)? 即對任一x?I? 都有

F?(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx?

那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù)?

例如 因?yàn)?sin x)??cos x ? 所以sin x 是cos x 的原函數(shù)?

又如當(dāng)x ?(1? ??)時(shí)?

因?yàn)?x)??1? 所以x是1的原函數(shù)?

2x2x

提問:

cos x和1還有其它原函數(shù)嗎？

2x

原函數(shù)存在定理

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)? 那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)? 使對任一x ?I 都有

F ?(x)?f(x)?

簡單地說就是? 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)?

兩點(diǎn)說明?

第一? 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)F(x)? 那么f(x)就有無限多個(gè)原函數(shù)? F(x)?C都是f(x)的原函數(shù)? 其中C是任意常數(shù)?

第二? f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間只差一個(gè)常數(shù)? 即如果?(x)和F(x)都是f(x)的原函數(shù)? 則 ?(x)?F(x)?C

(C為某個(gè)常數(shù))?

定義2 在區(qū)間I上? 函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的不定積分? 記作

?f(x)dx?

其中記號?稱為積分號? f(x)稱為被積函數(shù)? f(x)dx稱為被積表達(dá)式? x 稱為積分變量?

根據(jù)定義? 如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)? 那么F(x)?C就是f(x)的不定積分? 即

?f(x)dx?F(x)?C?

因而不定積分?f(x)dx可以表示f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)?

例1??因?yàn)閟in x 是cos x 的原函數(shù)???所以

?cosxdx?sinx?C?

因?yàn)閤是1的原函數(shù)???所以

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第四章

不定積分

?1dx?x?C?

2x

例2.求函數(shù)f(x)?1的不定積分?

x 解：當(dāng)x>0時(shí)???(ln x)??1??

x

?1 dx?lnx?C(x>0)??

x

當(dāng)x<0時(shí)???[ln(?x)]??1?(?1)?1??

?xx

?1 dx?ln(?x)?C(x<0)??

x 合并上面兩式???得到

?1 dx?ln|x|?C(x?0)??

x

例3 設(shè)曲線通過點(diǎn)(1? 2)? 且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍? 求此曲線的方程?

解 設(shè)所求的曲線方程為y?f(x)? 按題設(shè)? 曲線上任一點(diǎn)(x? y)處的切線斜率為y??f ?(x)?2x, ，即f(x)是2x 的一個(gè)原函數(shù)?

因?yàn)?/p>

?2xdx?x2?C?

故必有某個(gè)常數(shù)C使f(x)?x 2?C? 即曲線方程為y?x 2?C?

因所求曲線通過點(diǎn)(1? 2)? 故

2?1?C?

C?1?

于是所求曲線方程為y?x?1?

積分曲線? 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線?

從不定積分的定義? 即可知下述關(guān)系?

d[f(x)dx]?f(x)?

dx?2或

d[?f(x)dx]?f(x)dx?

又由于F(x)是F?(x)的原函數(shù)? 所以

?F?(x)dx?F(x)?C?

或記作

?dF(x)?F(x)?C?

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高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

由此可見? 微分運(yùn)算（以記號d表示）與求不定積分的運(yùn)算（簡稱積分運(yùn)算? 以記號?表示）是互逆的? 當(dāng)記號?與d 連在一起時(shí)? 或者抵消? 或者抵消后差一個(gè)常數(shù)?

二、基本積分表(1)?kdx?kx?C(k是常數(shù))?

(2)?x?dx?1x??1?C?

??1(3)?1dx?ln|x|?C?

x(4)?exdx?ex?C?

x(5)?axdx?a?C?

lna(6)?cosxdx?sinx?C?

(7)?sinxdx??cosx?C?

(8)?(9)?1dx??sec2xdx?tanx?C?

2cosx1dx??csc2xdx??cotx?C?

2sinx1dx?arctanx?C?

1?x211?x2(10)?(11)?dx?arcsinx?C?

(12)?secxtanxdx?secx?C?

(13)?cscxcotdx??cscx?C?

(14)?sh x dx?ch x?C?

(15)?ch x dx?sh x?C?

111x?3?1?C??2?C?

例4 ?3dx??x?3dx??3?12xx青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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第四章

不定積分

例5 ?x2xdx??x52dx?15?125?1x2?C22?x2?C?x3x?C777?

例6 ?dx??x3xx?43dx?4??1x34??13?C??3x?13?C??33x?C?

三、不定積分的性質(zhì)

性質(zhì)1 函數(shù)的和的不定積分等各個(gè)函數(shù)的不定積分的和? 即

?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx?

這是因?yàn)? [?f(x)dx??g(x)dx]??[?f(x)dx]??[?g(x)dx]??f(x)?g(x).性質(zhì)2 求不定積分時(shí)? 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來? 即

?kf(x)dx?k?f(x)dx(k是常數(shù)? k ?0)?

例7.?x(x?5)dx??(x2521?5x2)dx

1x2dx ?? ? 例8 ?5x2dx7??15x2dx3??5x2dx?5?

27x2?5?23x2?C?

(x?1)3x2x3?3x2?3x?131dx??dx??(x?3??2)dx2xxx1111 ??xdx?3?dx?3?dx??2dx?x2?3x?3ln|x|??C?

x2xx 例9 ?(ex?3cosx)dx??exdx?3?cosxdx?ex?3sinx?C?

例10 xxx?2edx??(2e)dx?2(2e)xln(2e)?C?2xex?C1?ln2?

1?x?x11dx?dx?(?)dx

例11 ???x(1?x2)x(1?x2)1?x2xx?(1?x2)?? 例12 11dx??dx?arctanx?ln|x|?C?

2x1?x(x2?1)(x2?1)?1x4x4?1?1dx?1?x2dx??1?x2dx??1?x2

??(x2?1?11)dx??x2dx??dx??dx 21?x1?x2青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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第四章

不定積分

?1x3?x?arctanx?C? 例13 ?tan2xdx??(sec2x?1)dx??sec2xdx??dx

? tan x ? x ? C ?

例14 ?sin2x dx??1?cosxdx?1?(1?cosx)dx

222 ? 例15 ?

12(x?sinx)?C?

1dx??4cotx?C?

sin2x1sin2xxcos222dx?4?青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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第四章

不定積分

§4? 2 換元積分法

一、教學(xué)目的與要求：

1． 2． 掌握不定積分的第一類換元法（湊微分法），熟悉常見的湊微分的類型，會靈活應(yīng)用湊微分法求不定積分。

掌握不定積分的第二類換元法，并會靈活運(yùn)用常用的代換方法。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：換元法

三、主要外語詞匯：Change a dollar

四、輔助教學(xué)情況:多媒體課件第四版和第五版（修改）

五、參考教材（資料）：同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》第五版

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第四章

不定積分

一、第一類換元法

設(shè)f(u)有原函數(shù)F(u)?

u??(x)? 且?(x)可微? 那么? 根據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法? 有 d F[?(x)]?d F(u)?F ?(u)d u? F? [?(x)] d?(x)? F ?[?(x)]??(x)d x ?

所以

F ?[?(x)]??(x)dx? F ?[?(x)] d?(x)? F ?(u)d u? d F(u)?d F[?(x)]?

因此

?F?[?(x)]??(x)dx??F?[?(x)]d?(x)

??F?(u)du??dF(u)??dF[?(x)]?F[?(x)]?C? 即

?f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d?(x)?[?f(u)du]u??(x)

?[F(u)?C] u ? ?(x)? F[?(x)]?C?

定理

1設(shè)f(u)具有原函數(shù)? u??(x)可導(dǎo)? 則有換元公式

f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d?(x)??f(u)du?F(u)?C?F[?(x)]?C? ?

被積表達(dá)式中的dx 可當(dāng)作變量x的微分來對待? 從而微分等式??(x)dx ?du可以應(yīng)用到被積表達(dá)式中?

在求積分?g(x)dx時(shí)? 如果函數(shù)g(x)可以化為g(x)? f[?(x)]??(x)的形式? 那么

?g(x)dx??f[?(x)]??(x)dx?[?f(u)du]u??(x)?

例1.?2cos2xdx??cos2x?(2x)?dx??cos2xd(2x)

u?C?sin 2x?C ?

??cosudu?sin11111dx??(3?2x)?dx??d(3?2x)

例2.?3?2x23?2x23?2x1111

??dx?ln|u|?C?ln|3?2x|?C?

2u22 例3.?2xexdx??ex(x2)?dx??exd(x2)??eudu

?eu?C?ex?C? 例4.?x1?x2dx??1?x2(x2)?dx??1?x2dx2

22222 111???1?x2d(1?x2)???u2du??u2?C223??1(1?x2)2?C? 3313

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第四章

不定積分

例5.?tanxdx??sinxdx???1dcosx

cosxcosx

???1du??ln|u|?C

u

??????ln|cos x|?C ?

即

?tanxdx??ln|cosx|?C?

類似地可得?cotxdx?ln|sinx|?C?

熟練之后? 變量代換就不必再寫出了?

例6.?212dx?12?1dx

a?xa1?(x)2a

?1?a1x1xd?arctan?C?

xa1?()2aaa1x 即 ?212dx?arctan?C?

aaa?xxxxx 例7.?chdx?a?chd?a sh?C?

aaaa 例8.當(dāng)a?0時(shí)，?1a2?x2dx?1a?1x1?()2adx??1x1?()2adxx?arcsin?C? aa

即 ?xdx?arcsin?C?

aa2?x211111111?)dx?[?dx??dx]

例9.?22dx??(2ax?ax?a2ax?ax?ax?a111d(x?a)??d(x?a)]

?[?2ax?ax?a11x?a|?C?

?[ln|x?a|?ln|x?a|]?C?ln|2a2ax?a11x?a|?C?

即 ?22dx?ln|2ax?ax?adxdlnx1???? 例10.?

x(1?2lnx)1?2lnx21?2lnxd(1?2lnx)1

?ln|1?2lnx|?C?

2青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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第四章

不定積分

例11.?e3xxdx?2?e3xdx?23e3?xd3x

?2e33x?C?

含三角函數(shù)的積分?

例12.?sin3xdx??sin2x?sinxdx???(1?cos2x)dcosx ???dcosx??cos2xdcosx??cosx?co3sx?C? 例13.?sin2xcos5xdx??sin2xcos4xdsinx

22x(1?sinx)2dsinx

??sin46nx?2sinx?sinx)dsinx

??(si221357x?sinx?sinx?C???

?1sin357 例14.?cos2xdx??1?cos2xdx?1(?dx??cos2xdx)

2211112x?C?

??dx??cos2xd2x?x?sin24241 例15.?cos4xdx??(cos2x)2dx??[(1?cos2x)]2dx

??(1?2cos2x?cos22x)dx

4131

??(?2cos2x?cos4x)dx

4221312x?sin4x)?C

?(x?sin4283114x?C?

?x?sin2x?sin84321 例16.?cos3xcos2xdx??(cosx?cos5x)dx

2115x?C?

?sinx?sin2101dx?? 例17.?cscxdx??sinx1dx xx2sincos22青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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第四章

不定積分

dx22

??dtanx2??xtancos2x2?ln|tanx|?C?ln |csc x ?cot x |?C ?

x2tan2 即

?cscxdx?ln |csc x ?cot x |?C ?

例18.?secxdx??csc(x??)dx?ln|csc(x? ?)?cot(x? ?)|?C

222

?ln |sec x ? tan x | ? C?

即

?secxdx?ln |sec x ? tan x | ? C?

二、第二類換元法

定理2 設(shè)x ??(t)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)? 并且??(t)?0? 又設(shè)f [?(t)]??(t)具有原函數(shù)F(t)? 則有換元公式

???f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt?F(t)?F[??1(x)]?C?

其中t??(x)是x??(t)的反函數(shù)?

這是因?yàn)?/p>

{F[??1(x)]}??F?(t)dt?f[?(t)]??(t)1?f[?(t)]?f(x)?

dxdxdt 例19.求?a2?x2dx(a>0)?

解: 設(shè)x?a sin t ? ? ??t? ?? 那么a2?x2?a2?a2sin2t?acost?

22dx ?a cos t d t ? 于是

?a2?x2dx??acost?acostdt

11stdt?a2(t?sin2t)?C?

?a2?co224因?yàn)閠?arcsinxaxa2?x2, sin2t?2sintcost?2?? 所以

aa?a2x111arcsin?xa2?x2?C? a?xdx?a(t?sin2t)?C?2a224222

解: 設(shè)x?a sin t ? ? ??t? ?? 那么

22青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

?a2?x2dx??acost?acostdt

a2x11 ?a2?co2arcsin?xa2?x2?C?

stdt?a(t?sin2t)?C?242a2提示:a2?x2?a2?a2sin2t?acost? dx?acos tdt ?

xa2?x2提示: t?arcsinx, sin2t?2sintcost?2??

aaa

例20.求?dxx2?a2(a>0)?

解法一? 設(shè)x?a tan t? ? ??t? ?? 那么

22x2?a2?a2?a2tan2t?a1?tan2t?a sec t ? dx?a sec

t d t ? 于是

?因?yàn)閟ect?dxx2?a2??asec2tdt??sectdt? ln |sec t ? tan t |?C ?

asectx2?a2x? tant?? 所以 aa?dxx?a22x? ln |sec t ? tan t |?C?ln(?ax2?a2)?C?ln(x?ax2?a2)?C1?

其中C 1?C?ln a ?

解法一? 設(shè)x?a tan t? ? ??t? ?? 那么

?dxx?a22??asec2tdt??sectdt?ln|sect?tant|?C asect

x

?ln(?ax2?a2)?C?ln(x?ax2?a2)?C1?

其中C 1?C?ln a ?

提示:x2?a2?a2?a2tan2t?asect ? dx?a sec 2t dt ?

提示:sect?

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x2?a2x? tant?? aa高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

解法二: 設(shè)x?a sh t ? 那么

?dxx2?a2??ach txdt??dt?t?C?arsh?C ach ta???

?ln?x?(x)2?1??C?ln(x?x2?a2)?C1?

?aa其中C 1?C?ln a ?

提示: x2?a2?a2sh2t?a2?a ch t ? dx ?a ch t d t ?

例23.求?dxx2?a2(a>0)?

解: 當(dāng)x>a 時(shí)? 設(shè)x?a sec t(0?t? ?)? 那么

2x2?a2?a2sec2t?a2?asec2t?1?a tan t ?

于是

dxx2?a2?因?yàn)閠ant???asecttantdt??sectdt? ln |sec t ? tan t |?C ?

atantx2?a2x? sect?? 所以 aa?dxx?a22? ln |sec t ? tan t |?C ?ln|?xax2?a2|?C?ln(x?ax2?a2)?C1?

其中C 1?C?ln a ?

當(dāng)xa? 于是

?dxx2?a2???duu2?a2??ln(u?u2?a2)?C

(x?x2?a2)?C?ln?(x?x2?a2)?C1?

??ln??ln?x?x2?a2?C?ln(?x?x2?a2)?C1?

2a其中C 1?C?2ln a ?

綜合起來有

?

dxx?a22?ln|x?x2?a2|?C?

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第四章

不定積分

解: 當(dāng)x>a 時(shí)? 設(shè)x?a sec t(0?t? ?)? 那么 ?dxx2?a2??asecttant

dt??sectdtatantx2?a2)?C axt?tant|?C?ln(?

?ln|seca

?ln(x?x2?a2)?C?

其中C 1?C?ln a ?

當(dāng)xa? 于是

?dxx2?a2???duu2?a2??ln(u?u2?a2)?C

?x?x2?a2?C

??ln(?x?x2?a2)?C?ln2a

?ln?(x?x2?a2)?C1?

其中C 1?C?2ln a ?

提示:x2?a2?a2sec2t?a2?asec2t?1?atant ? 提示:tant?x2?a2x? sect?? aadxx2?a2

綜合起來有

??ln|x?x2?a2|?C?

補(bǔ)充公式?

(16)?tanxdx??ln|cosx|?C? ?????cotxdx?ln|sinx|?C?(18)?secxdx?ln|secx?tanx|?C?(19)?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C?(20)?(21)?11xdx?arctan?C? 2aaa?x211x?adx?ln||?C?22ax?ax?a2

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第四章

不定積分

(22)?(23)?(24)?

1a2?x2dxx2?a2dxx2?a2dx?arcsin?ln(x?x?C? ax2?a2)?C?

x2?a2|?C? ?ln|x?青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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第四章

不定積分

§4? 3 分部積分法

一、教學(xué)目的與要求：

掌握分部積分公式，并會靈活運(yùn)用。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn): 用分部積分公式時(shí)的u和dv的選取

三、主要外語詞匯:Divide a department integral

四、輔助教學(xué)情況：多媒體課件第四版和第五版（修改）

五、參考教材（資料）：同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》第五版

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第四章

不定積分

設(shè)函數(shù)u?u(x)及v?v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 那么? 兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為(uv)??u?v?uv??

移項(xiàng)得

uv??(uv)??u?v?

對這個(gè)等式兩邊求不定積分? 得

?uv?dx?uv??u?vdx??或?udv?uv??vdu? 這個(gè)公式稱為分部積分公式?

分部積分過程: ?uv?dx??udv?uv??vdu?uv??u?vdx? ? ? ??

例1 ?xcosxdx??xdsinx?xsinx??sinxdx?x sin x?cos x?C ?

例2 ?xexdx??xdex?xex??exdx?xex?ex?C?

例3 ?x2exdx??x2dex?x2ex??exdx2

?x2ex?2?xexdx?x2ex?2?xdex?x2ex?2xex?2?exdx

?x2ex?2xex?2ex?C ?ex(x2?2x?2)?C?

例4 ?xlnxdx?1?lnxdx2?1x2lnx?1?x2?1dx

222x??????????????????????????1x2lnx?1?xdx?1x2lnx?1x2?C?

2224 例5 ?arccosxdx?xarccosx??xdarccosx

?xarccosx??x

11?x2dx

1?1?xarccoxs??(1?x2)2d(1?x2)?xarccoxs?1?x2?C?

111dx

例6 ?xarctanxdx?1?arctanxdx2?x2arctanx??x2?22221?x111)dx

?x2arctanx??(1?2221?x11?x?arctaxn?C?

?1x2arctaxn222 例7 求?exsinxdx?

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第四章

不定積分

解 因?yàn)?exsinxdx??sinxdex?exsinx??exdsinx

?exsinx??excosxdx?exsinx??cosxdex

?exsinx?excosx??exdcosx

?exsinx?excosx??exdcosx

?exsinx?excosx??exsinxdx?

1所以

?exsinxdx?ex(sinx?cosx)?C?

例8 求?sec3xdx?

解 因?yàn)?/p>

?sec3xdx??secx?sec2xdx??secxdtanx

2xdx

?secxtanx??secxtan

?secxtanx??secx(sec2x?1)dx

3xdx??secxdx

?secxtanx??sec3xdx?

?secxtanx?ln|secx?tanx|??sec13xdx?(secxtanx?ln|secx?tanx|)?C?

所以

?sec2 例9 求In?? 解 I1??dx?

(x?a2)n2其中n為正整數(shù)?

dx1x?arctan?C?

ax2?a2a

當(dāng)n?1時(shí)，用分部積分法? 有

dxxx2??2(n?1)

?22n?1?(x2?a2)ndx(x?a)(x2?a2)n? ?x1a2?2(n?1)[??(x2?a2)n?1(x2?a2)n]dx?(x2?a2)n?1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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第四章

不定積分

即 In?1?x(x2?a)22n?12?2(n?1)(In?1?aIn)?

于是?? In?1x[2?(2n?3)In?1]?

2a(n?1)(x?a2)n?11aarctanxa?C以此作為遞推公式? 并由I1? 例10 求?exdx?

即可得In?

解 令x ?t 2 ? 則 ? dx?2tdt? 于

?exdx?2?tetdt?2et(t?1)?C?2ex(x?1)?C?

?exdx??exd(x)2?2?xexdx

?2?xde

?2xexx?2xexx?2?exxdx

?2e?C?2e(x?1)?C??

第一換元法與分部積分法的比較: 共同點(diǎn)是第一步都是湊微分

令?(x)?u

?f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d?(x)?f(u)du?

?u(x)v?(x)dx??u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x)? 哪些積分可以用分部積分法？

?xcosxdx???xexdx???x2exdx?

?xlnxdx? ?arccos?exxdx?

3?xarctanxdx?

sinxdx?

x2?sec2xdx?

?2xe?x

2dx??exdx2??eudu? ? ? ? ??

exdx??x2dex?x2ex??exdx2? ? ? ? ?

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第四章

不定積分

§4? 4 有理函數(shù)的積分

一、教學(xué)目的與要求：

會求有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式及簡單的無理函數(shù)的積分。

二、重點(diǎn)（難點(diǎn)）：有理函數(shù)的積分。

三、主要外語詞匯：Have the reason function integral

四、輔助教學(xué)情況：多媒體課件第四版和第五版（修改）

五、參考教材（資料）：同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》第五版

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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第四章

不定積分

一、有理函數(shù)的積分

有理函數(shù)的形式?

有理函數(shù)是指由兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù)? 即具有如下形式的函數(shù):

P(x)Q(x)?a0xn?a1xn?1?????an?1x?anb0xm?b1xm?1?????bm?1x?bm?

其中m和n都是非負(fù)整數(shù)??a0? a1? a2? ? ? ? ? an及b0? b1? b2? ? ? ? ? bm都是實(shí)數(shù)?

并且a0?0? b0?0? 當(dāng)n?m時(shí)? 稱這有理函數(shù)是真分式? 而當(dāng)n?m時(shí)? 稱這有理函數(shù)是假分式?

假分式總可以化成一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和的形式? 例如

2x3?x?1x(x?1)?11? ??x?222x?1x?1x?

1真分式的不定積分?

求真分式的不定積分時(shí)? 如果分母可因式分解? 則先因式分解? 然后化成部分分式再積分?

dx?

例1 求?2x?5x?6x?365x?3dx???)dx

解 ?2dx??(x?3x?2(x?2)(x?3)x?5x?665dx??dx?6ln|x?3|?5ln|x?2|?C?

??x?3x?2x?3提示?(A?B)x?(?2A?3B)x?3AB????

(x?2)(x?3)x?3x?2(x?2)(x?3)A?B?1? ?3A?2B?3? A?6? B??5?

分母是二次質(zhì)因式的真分式的不定積分?

dx?

例2 求?2x?2x?3x?212x?21dx??(?32)dx

解 ?222x?2x?3x?2x?3x?2x?312x?21dx?3?2dx

??22x?2x?3x?2x?3x?1?2?d(x2?2x?3)x?2x?32?3?d(x?1)(x?1)2?(2)2

3x?1x2?2x?3)?arctan?C?

?1ln(2221(2x?2)?3x?21x?212???2?3?2提示? 2?

22x?2x?3x?2x?3x?2x?3x?2x?31dx?

例3 求?x(x?1)2青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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第四章

不定積分 1111 解 ?dx?[??]dx ?xx?1(x?1)2x(x?1)2

??1dx??1dx??12dx?ln|x|?ln|x?1|?1?C?

x?1xx?1(x?1)

提示?

??11?x?x11????22x(x?1)(x?1)2x(x?1)x(x?1)

1?x?x1111? ????2x(x?1)(x?1)xx?1(x?1)2

二、可化為有理函數(shù)的積分舉例 1。三角函數(shù)有理式的積分

三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)? 其特點(diǎn)是分子分母都包含三角函數(shù)的和差和乘積運(yùn)算? 由于各種三角函數(shù)都可以用sin x 及cos x 的有理式表示?

故三角函數(shù)有理式也就是sin x、cos x 的有理式?

用于三角函數(shù)有理式積分的變換:

把sin x、cos x表成tanxx的函數(shù)? 然后作變換u?tan?

xx2tan2tanxx2?2?2u? sinx?2sincos?221?u22x2xsec1?tan22x22?1?u? 2x2xcosx?cos?sin?221?u22xsec221?tan

變換后原積分變成了有理函數(shù)的積分?

例4 求?1?sinxdx?

sinx(1?cosx)x2u21?u2du?

解 令u?tan? 則sinx?? cosx?? x?2arctan u ? dx?2221?u1?u1?u22u)22111?sinx1?udu?(u?2?)du dx??于是 ??2usinx(1?cosx)2u1?u21?u2(1?)1?u21?u2(1?1xx1x1u2

?(?2u?ln|u|)?C?tan2?tan?ln|tan|?C?

2242222青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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第四章

不定積分

解 令u?tanx? 則

22u)21?sinx21?u

?dx???du 2sinx(1?cosx)2u1?u1?u2(1?)1?u21?u2(1?

?1(u?2u?ln|u|)?C?1?(u?2?1)du

222u2

?1tan2x?tanx?1ln|tanx|?C?

42222

說明: 并非所有的三角函數(shù)有理式的積分都要通過變換化為有理函數(shù)的積分???例如?

?cosxdx??1d(1?sinx)?ln(1?sinx)?C?

1?sinx1?sinx

2、簡單無理函數(shù)的積分

無理函數(shù)的積分一般要采用第二換元法把根號消去?

例5 求?x?1dx?

x 解 設(shè)x?1?u? 即x?u2?1? 則

2du

?x?1dx??2u?2udu?2?uxu?1u2?11)du?2(u?arctanu)?C

?2?(1?1?u ?2(x?1?arctanx?1)?C?

例6 求?dx1?3x?2?

解 設(shè)3x?2?u? 即x?u3?2? 則

?dx1?31u2?1?12???3udu?3?du 1?u1?ux?221u)du?3(?u?ln|1?u|)?C

?3?(u?1?1?u2 ?3(x?2)2?33x?2?ln|1?3x?2|?C?例7 求?dx(1?3x)x?

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第四章

不定積分

解 設(shè)x?t 6? 于是dx ?6t 5d t ?

從而

?dx(1?3x)x??6t5t21dt?6dt?6?(1?)dt?6(t?arctant)?C?232(1?t)t1?t1?t2

?6(6x?arcta6nx)?C?

例8 求?11?xdx? xx 解 設(shè)1?x?t? 即x?21xt?1? 于是

?2t

?11?xdx??(t2?1)t?2dt

xx(t?1)22

??2?2tdt??2?(1?21)dt

t?1t? ??2t?ln|t?1|?C

t?1

??21?x?ln1?x?x?C?

x1?x?x

練習(xí)

1?

求?dx2?cosx?

x2

解?

作變換t?tan?

則有dx?21?t2dt? cosx?1?t21?t2?

2dt

?2?cosarctantdxx??211?t2?2?dt?1?t23?t232?1?t223arctan(13tanx2)?C?

?11?(t3)2dt3

?23?C?543

2?

求?

解? sincos5xxdx?

sin4xcos4xdcosx???2cos2x2cosx?1cos4x13cos3x?cos4sinxxdx???(1?cos2x)2cos4x)dcosx ?C?

dcosx

???(1?

??cosx??

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第四章

不定積分

3?

求?

解? 3x?1x2?3x?2dx?

?3x?1x2?3x?2dx??(x?2)(x?1)dx1x?2dx?4?3x?1?1?(7x?2?4x?1)dx

?7?x?1dx

?7ln|x?2|?4ln|x?1|?C?

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第四章

不定積分

§4.5積分表的使用

一、教學(xué)目的與要求：

會根據(jù)函數(shù)類型在積分表中查得所需結(jié)果。

二、重點(diǎn)（難點(diǎn)）：對要查函數(shù)的變形和類型的判定。

三、主要外語詞匯：Integral calculus form

四、輔助教學(xué)情況：多媒體課件第四版和第五版（修改）

參考教材（資料）：同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》第五版

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第四章

不定積分

積分的計(jì)算要比導(dǎo)數(shù)的計(jì)算來得靈活、復(fù)雜??為了實(shí)用的方便??往往把常用的積分公式匯集成表??這種表叫做積分表??求積分時(shí)??可根據(jù)被積函數(shù)的類型直接地或經(jīng)過簡單變形后??在表內(nèi)查得所需的結(jié)果??

積分表

一、含有ax?b的積分 1．?dx?1ln|ax?b|?C

ax?ba2．?(ax?b)?dx?3．?1(ax?b)??1?C(???1)a(??1)x1dx?(ax?b?bln|ax?b|)?C ax?ba2ax?ba224．?xdx?13?1(ax?b)2?2b(ax?b)?b2ln|ax?b|??C

5．?6．?7．?8．?9．?dx1ax?b??ln?Cx(ax?b)bx

dx1aax?b???ln?Cx2(ax?b)bxb2xx1?ln|ax?b|?bdx?22(ax?b)aax?b??C

??C x21b2?dx?ax?b?2bln|ax?b|?(ax?b)2a3ax?bdx11ax?b??ln?Cx(ax?b)2b(ax?b)b2xxdx(3x?4)2

例1求???

解??這是含有3x?4的積分??在積分表中查得公式

x1b???C??

?dx?ln|ax?b|?(ax?b)2a2ax?b現(xiàn)在a?

3、b?4??于是

x14?(3x?4)2dx?9?ln|3x?4|?3x?4??C?

二、含有ax?b的積分

21．?ax?bdx?(ax?b)3?C

3a2(3ax?2b)(ax?b)3?C 2．?xax?bdx?215a青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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第四章

不定積分

3．?x2ax?bdx?4．?5．?xax?bx2ax?bdx?dx?2(15a2x2?12abx?8b2)(ax?b)3?C 105a32(ax?2b)ax?b?C 3a22(3a2x2?4abx?8b2)ax?b?C 315a1?C(b?0)ax?b?bax?barctan?C(b?0)?b?blnax?b?b6．???dx??xax?b??b2

7．?dxx2ax?bx??ax?ba?bx2b?xdxdxax?b

8．?ax?bdx?2ax?b?b?xx2xax?bdx 9．?ax2?bdx??ax?b?a?

三、含x?a的積分 1．?2．?3．?dx1x?arctan?C x2?a2aa22xax?bdxx2n?3??(x2?a2)n2(n?1)a2(x2?a2)n?12(n?1)a2?(x2?a2)n?1

dxdx1x?a?ln?C x2?a22ax?a

四、含有ax2?b(a?0)的積分

?1arctan?abdx??ax2?b1?ln?2?abax?C(b?0)bax??bax??b?C(b?0)1．?

2．?3．?4．?5．?6．?x1dx?ln|ax2?b|?C 2ax?b2ax2xbdx??ax2?baadx?ax2?b

dx1x2?ln?Cx(ax2?b)2b|ax2?b|dx1a???x2(ax2?b)bxb

1?ax2?bdx

|ax2?b|dxa1?ln??C3222x(ax?b)2bx2bx2

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第四章

不定積分

7．?dxx1??(ax2?b)22b(ax2?b)2b1?ax2?bdx

五、含有ax2?bx?c(a?0)的積分

六、含有x2?a2(a?0)的積分 1．?2．?3．?4．?5．?6．?7．?8．?dxx2?a2dx?arshx?C1?ln(x?ax?C x2?a2)?C

(x2?a2)3a2x2?a2xx2?a2xdx?x2?a2?C

1x2?a2?C

(x2?a2)3dx??x2x2?a2x2(x2?dx?x2x2?a2?xx2?a2a2ln(x?2?ln(x?x2?a2)?C x2?a2)?C

a2)3dx??1lnadxxx2?a2?x2?a2?a?C|x|

dxx2x2?a2??x2?a2?C a2x2xax2?a2?ln(x?x2?a2)?C 9．?x2?a2dx?22例3求?dxx4x2?9dxx4x2??

?12解??因?yàn)??9?dx3xx2?()22???所以這是含有x2?a2的積分??這里a?

?dxxx2?a2?1lna3??在積分表中查得公式 2x2?a2?a?C|x|??

于是 ?dxx4x2?9?12?ln2333x2?()2?22?C?1ln|x|34x2?9?3?C??

2|x|

七、含有x2?a2(a?0)的積分

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第四章

不定積分

1．?2．?3．?4．?5．?6．?7．?8．?dxx2?a2?|x|xarch?C1?ln|x?|x|ax2?a2|?C

dx(x2?a2)3??xa2x2?a2?C

xx2?a2xdx?x2?a2?C

1x2?a2?C

(x2?a2)3dx??x2x2?a2x2(x2?dx?x2x2?a2?xx2?a2a2ln|x?2?ln|x?x2?a2|?C x2?a2|?C

a2)3?dx??dxxx2?a21aarccos?Ca|x|

dxx2x2?a2?x2?a2?C a2xxa2x2?a2?ln|x?x2?a2|?C 9．?x2?a2dx?2

2八、含有a2?x2(a?0)的積分 1．?2．?3．?4．?5．?6．?7．?8．?dxa2?x2dx(a2?x2)3?arcsin??x?C ax?C

a2a2?x2xa2?xx2dx??a2?x2?C dx?1a2?x2?C

(a2?x2)3x2a2?x2x2dx??x2a2?x2?xa2?x2a2xarcsin?C 2ax?C a(a2?x2)3dxxa2?x2?dx??arcsin1a?a2?x2ln?Ca|x|

dxx2a2?x2??a2?x2?C a2xxa2xa2?x2?arcsin?C 9．?a2?x2dx?22a青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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第四章

不定積分

九、含有?ax2?bx?c(a?0)的積分

十、含有?x?a或(x?a)(x?b)的積分

x?b

十一、含有三角函數(shù)的積分 1．?secxdx?ln|secx?tanx|?C 2．?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C 3．?secxtanxdx?secx?C 4．?cscxcotxdx??cscx?C 5．?sin2xdx?x?1sin2x?C

24x16．?cos2xdx??sin2x?C

241n?17．?sinnxdx??sinn?1xcosx??sinn?2xdx

nn1n?18．?cosnxdx?cosn?1xsinx??cosn?2xdx

nn9．?sinaxcosbxdx??11cos(a?b)x?cos(a?b)x?C2(a?b)2(a?b)11sin(a?b)x?sin(a?b)x?C2(a?b)2(a?b)10．?sinaxsinbxdx??11．?cosaxcosbxdx?11sin(a?b)x?sin(a?b)x?C2(a?b)2(a?b)

12．?dx?a?bsinx2a2?b2atanarctanx?b2?C(a2?b2)a2?b213．?dx?a?bsinxx?b?b2?a222ln22xb?aatan?b?b2?a22atan?C(a2?b2)

14．?dx2?a?bcosxa?ba?barctana?b?a?bxtana?b2??C(a2?b2)

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第四章

不定積分

x?a?b2lnb?axtan?2tana?bb?aa?bb?a14．?dx2?a?bcosxa?b?C(a2?b2)

例2求?dx??

5?4cosx解??這是含三角函數(shù)的積分?? 在積分表中查得公式

dx2a?ba?bx

??arcta?ntan??C(a2?b2)??

a?bcosxa?ba?ba?b2這里a?

5、b??4??a 2?b2??于是

dx2x

??arcta?ntan??C

5?4cosx5?(?4)5?(?4)5?(?4)25?(?4)5?(?4)x?3ntan??C??

?2arcta32例??求?sin4xdx??

解??這是含三角函數(shù)的積分?? 在積分表中查得公式

1n?1x1nxdxn?1xcosn?2xdx??sinx?

?sin???sin2xdx??sin2x?C?

?sinnn24這里n?4??于是

1313x14xdx3xcos2xdx3xcos??sinx??sin??sinx?(?sin2x)?C??

?sin444424

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第三篇：基礎(chǔ)和聲電子教案12

第十二章 兩個(gè)六和弦連接

教學(xué)課時(shí)：2課時(shí) 教學(xué)對象：二年級

教學(xué)要求：本章要求掌握四、五度關(guān)系的兩個(gè)六和弦的平穩(wěn)連接和跳進(jìn)連接，以及二度關(guān)系的兩個(gè)六和弦的連接。

教學(xué)重點(diǎn)：

四、五度關(guān)系的兩個(gè)六和弦的平穩(wěn)連接和跳進(jìn)連接，二度關(guān)系的兩個(gè)六和弦的連接。

教學(xué)難點(diǎn)：二度關(guān)系的兩個(gè)六和弦的連接。教學(xué)內(nèi)容：

1、兩個(gè)四、五度關(guān)系六和弦的連接：

兩個(gè)四、五度關(guān)系六和弦連接時(shí)，聲部進(jìn)行通常是這樣的：低音作三音到三音的四、五度跳進(jìn)進(jìn)行，其中小調(diào)的t與D連接時(shí)，低音只作減四度進(jìn)行；上方三聲部常平穩(wěn)進(jìn)行，當(dāng)然也可跳進(jìn)進(jìn)行。

2、兩個(gè)二度關(guān)系六和弦的連接：

二度關(guān)系的S6—D6連接時(shí)，尤其要注意避免平行五、八度進(jìn)行。通常的處理方法為：S6重復(fù)根音且為根音旋律，D6重復(fù)五音；上方三聲部中的兩個(gè)聲部須與低音部構(gòu)成平行六和弦進(jìn)行，另一聲部則作反向進(jìn)行。

另外，小調(diào)的s6—D6連接時(shí)，要避免低音部形成增二度進(jìn)行。避免的方法有：或用減七度進(jìn)行，或用旋律小調(diào)，或用半音進(jìn)行從而形成s6—S6—D6這樣的進(jìn)行。習(xí)題及習(xí)題說明：

1、為包含有兩個(gè)四五度關(guān)系六和弦連接，以及兩個(gè)二度關(guān)系六和弦連接的旋律和低音配寫四部和聲。長度為8—12小節(jié)。

2、分析包含有兩個(gè)四五度關(guān)系六和弦連接，以及兩個(gè)二度關(guān)系六和弦連接的作品片斷。

第四篇：10011023《高等數(shù)學(xué)12》(經(jīng)管)大綱

高等數(shù)學(xué)12考綱

第七章向量代數(shù)與空間解析幾何（10分）

1、向量的概念，空間直角坐標(biāo)系的概念，利用坐標(biāo)進(jìn)行向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積。

2、向量、單位向量和方向余弦的坐標(biāo)表示。

3、平面方程和直線方程及其求法。

第八章多元函數(shù)微分學(xué)（30分）

1、多元函數(shù)的概念。

2、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

3、偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的條件。

4、復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法，全微分的不變性。

5、由一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)求導(dǎo)方法，6、曲線的切線和法平面方程的求法，曲面的切平面和法線方程的求法。

7、多元函數(shù)極值和條件極值的概念，多元函數(shù)極值存在的必要條件，二元函數(shù)極值存在的充分條件。

第九章 二重積分（20分）

1、二重積分的概念，了解二重積分的性質(zhì)。

2、二重積分（直角坐標(biāo)系下、極坐標(biāo)系下）的計(jì)算。

第十章無窮級數(shù)（25分）

1、無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，收斂級數(shù)的性質(zhì)，收斂的必要條件。

2、幾何級數(shù)和p-級數(shù)的收斂性。

3、正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法、比值審斂法和根值審斂法。

4、用Leibniz定理判斷交錯(cuò)級數(shù)的斂散性。

5、無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，并能判別級數(shù)的絕對收斂和條件收斂。

6、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、收斂域的概念。

7、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域的求法。

8、ex,sinx,cosx,ln(1?x),(1?x)m的麥克勞林展開式，并能利用它們將一些簡單的函數(shù)展開成冪級數(shù)。

第十一章微分方程、差分方程（15分）

1、微分方程、通解、階、初始條件和特解等概念。

2、可分離變量的方程、齊次方程、一階線性方程的解法。

3、線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。

4、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，高階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。

第五篇：12電子班主任工作總結(jié)

本學(xué)期工作已經(jīng)結(jié)束了，回顧這一學(xué)期來的班主任工作，感慨萬千，有取得成績的喜悅，也有失誤帶來的遺憾；有令人難忘的美好時(shí)刻，也有讓人苦惱的短暫瞬間；有在工作中付出的艱辛和努力 , 也有取得成績后得到的回報(bào)和快樂。一學(xué)期來的工作使我學(xué)到了很多?，F(xiàn)將本學(xué)期的工作做以下總結(jié)：

一班主任要用道德自省打造和諧班級

“讓人們因?yàn)槲业拇嬖诙械叫腋！钡谝淮巫x到這句話時(shí)，我就把這句話跟我的學(xué)生們分享，并且一直作為我們班級的班訓(xùn)。我認(rèn)為，在實(shí)際工作中我們不是靠自己代替學(xué)生做事來解決問題，我們更多的是靠思想來影響教育學(xué)生，更多的是靠一種文化來引領(lǐng)。只有文化治班，才能達(dá)到潛移默化的效果。所以，在每學(xué)期的開學(xué)時(shí)，我都要這樣對孩子們說：“讓人們因?yàn)槲业拇嬖诙械叫腋０桑@樣我們也會感到溫暖和幸福！”這既是一種偉大超高的價(jià)值觀念，同時(shí)也是一種平凡樸實(shí)的實(shí)踐行為?！白鲆粋€(gè)‘讓人們因我的存在而感到幸?！娜?，往往只需舉手之勞：公共汽車上，你為一位老人讓座，這位老人就會因?yàn)槟愣械缴钤谶@樣一個(gè)文明的社會環(huán)境里是一種幸福；在街頭，你熱情耐心地回答一個(gè)外地人的問路，他就會因?yàn)槟愣械侥軌虻玫揭粋€(gè)素不相識的人的真誠幫助是一種幸福；在教室的樓道，你主動(dòng)上前幫老師抱作業(yè)本，老師就會因?yàn)橛心氵@樣的學(xué)生感到幸福；有同學(xué)病了，你哪怕是送上一句親切的問候，他也會感到有你這樣的同學(xué)是一種幸福......”在潛移默化中我們班的孩子慢慢的學(xué)會了團(tuán)結(jié)，學(xué)會了分享，學(xué)會了“讓人們因?yàn)樗麄兊拇嬖诙械叫腋！薄?/p>

我們班有個(gè)問題學(xué)生某同學(xué)，他性格非常自我，而且有的時(shí)候還破罐子破摔，不分場合，不分情況，亂發(fā)脾氣。同學(xué)們都很討厭他。慢慢的他沒有了朋友，變得更加暴躁。經(jīng)過我和他交談我知道了他可憐的身世。他父母在他很小的時(shí)候就相繼去世，留下年幼的他和比她大3歲的姐姐。年幼失去父母的他，無論在生活還是學(xué)習(xí)上都沒有得到足夠的關(guān)懷。在他年幼的心里充滿仇恨，充滿敵對。我想用班級溫暖來要消除某同學(xué)的敵對情緒，同時(shí)也讓孩子們學(xué)互幫互愛，團(tuán)結(jié)的神奇魔力。私下里我把某同學(xué)的情況跟大家介紹了下，使我沒有想到的是有幾個(gè)孩子竟然流下了眼淚。從他們的表情中，我看到了善良和純真。我跟大家呼吁：“在班級，當(dāng)自己遇到困難時(shí)，希不希望別人的幫助？當(dāng)?shù)玫綆椭鷷r(shí)，心情會怎么樣呢？當(dāng)幫助過你的人遇到困難時(shí)，我想你一定會想法設(shè)法的去幫助他?？吹剿麊栴}解決后的喜悅后，我想你和他一定都會很幸福吧。我希望在我們的集體中，大家有共同的追求，共同的榮辱、共同的精神支柱、共同的心里依托。你們說生活在這樣的班級你能不幸福嗎？慢慢的在日常生活中，同學(xué)們都主動(dòng)的和某同學(xué)接觸，班級活動(dòng)總是看到同學(xué)們拉著某同學(xué)參加，私下里，幾個(gè)男孩子還為某同學(xué)慶祝生日。慢慢地某同學(xué)變了，在他的臉上看到了更多的是笑容，現(xiàn)在的他，還主動(dòng)為辦公室老師換水。有時(shí)還主動(dòng)的幫助老師管理班級解決問題。在學(xué)校組織的為家庭貧困有病同學(xué)募捐活動(dòng)中，他還捐出了他自己存下的積蓄。雖然不多，但是這份感動(dòng)卻一直深深的觸動(dòng)著我。因?yàn)樗跒槲覀兊陌嘤?xùn)而努力著，并且享受這種幸福！

二班主任要讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)是一種義務(wù)和責(zé)任

學(xué)習(xí)問題是我們中職學(xué)校的老大難問題，肯定也是在座所有班主任最頭痛的事情。實(shí)話實(shí)說，在抓學(xué)生學(xué)習(xí)問題的問題上，我個(gè)人認(rèn)為，要對學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)教育。明白的告訴學(xué)生學(xué)習(xí)是我們的義務(wù)也是責(zé)任。學(xué)習(xí)是改變我們命運(yùn)的重要途徑

學(xué)習(xí)永遠(yuǎn)很重要，無論歷史上還是現(xiàn)實(shí)生活中，那些依靠學(xué)習(xí)改變命運(yùn)的人，可以說是數(shù)不勝數(shù)。在過去，讀書是許多寒門人家出人頭地的唯一途徑。所以，過去有“書中自有黃金屋，書中自有顏如玉”的說法。我給孩子們舉了很多很實(shí)在的例子。盡管讀書不能夠使他們富裕，但是至少可以讓他們活得比較輕松一點(diǎn)。我常常對學(xué)生說：“你可以舉出一千個(gè)、一萬個(gè)不讀書就可以賺大錢的例子，但是我要告訴他們的是，更多的人，是靠不斷地學(xué)習(xí)養(yǎng)活了自己。學(xué)習(xí)可以豐富我們的精神生活

經(jīng)常學(xué)習(xí)的人，他不覺得生活乏味，他無論走到哪里，都是一個(gè)精神生活豐富的人。他永遠(yuǎn)都有自己的精神寄托，有事情的時(shí)候，可以在工作中消遣時(shí)間，沒有事情的時(shí)候，可以隨便翻開一本書，一本雜志，或者點(diǎn)擊一個(gè)網(wǎng)站，看一些休閑娛樂的文章。而我們現(xiàn)在的好多學(xué)生為什么這么依賴手機(jī)，我感覺多數(shù)是因?yàn)樗麄兊木裆钐毞Γ刻熳谀抢锊宦犝n，不寫作業(yè)，無所事事，不玩手機(jī)你說他能干什么，所以我們就要引導(dǎo)孩子們用學(xué)習(xí)知識，豐富他們貧瘠的精

神生活。

我常常跟學(xué)生們說：“學(xué)習(xí)是你們能夠做到的，最基本的義務(wù)?！睂W(xué)習(xí)是主業(yè)，在校學(xué)生必須把學(xué)習(xí)當(dāng)成自己首要任務(wù)。既然是任務(wù)，不論喜不喜歡，不論感覺有沒有趣味，學(xué)生都要做，是帶有強(qiáng)制性的。父母工作是一種義務(wù)，老師上課是一種義務(wù)，學(xué)生學(xué)習(xí)也是他們必須接受的成長義務(wù)，是義務(wù)，那就沒有什么人情可言，只要是學(xué)生，都得接受學(xué)習(xí)。明白了學(xué)習(xí)是義務(wù)，那么每天該完成的作業(yè)，該達(dá)到的效果，就是他們自己的事情了。

經(jīng)過一段時(shí)間的潛移默化的引導(dǎo)，我們班學(xué)生在學(xué)習(xí)上有了很大的進(jìn)步，尤其是在專業(yè)課上，得到了專業(yè)課老師很高的評價(jià)。尤其是在這次定級考試中，我們班同學(xué)以100%的通過率順利的通過了理論題的考試。

三班主任要用“三心”引導(dǎo)學(xué)生愛心

作為一名教師，一名班主任，首先是應(yīng)該愛孩子。對全班學(xué)生，無論是出自干部家庭或平民家庭，無論他是品學(xué)兼優(yōu)的好孩子或是令人頭痛的搗蛋鬼，均應(yīng)一視同仁，愛的公正，愛的讓學(xué)生信服。學(xué)生在愛的沐浴下輕松快樂的學(xué)習(xí)生活。即使他們違反了紀(jì)律，我嚴(yán)厲批評時(shí)，也要?jiǎng)又郧?，曉之以理，更要讓他們明白：老師是關(guān)心你們，愛護(hù)你們的，是為了你們著想才如此嚴(yán)格要求。這樣在我面前就不會產(chǎn)生逆反心理，而是理解老師的苦心。正是這愛心才使這良藥不苦口，忠言不膩耳。細(xì)心

有人說班主任是世界上“最小的主任”，可這最小的主任管的事卻特別的多，特別的細(xì)。大至教育教學(xué)工作，小至掃把粉筆，樣樣少不了班主任的操心。班主任要有顆纖細(xì)如發(fā)的心——細(xì)心。

平日，細(xì)心的觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)，情緒，身體；多與學(xué)生交流溝通，了解他們的家庭狀況，分析孩子思想動(dòng)態(tài)；關(guān)注學(xué)生的點(diǎn)滴進(jìn)步，及時(shí)鼓勵(lì)，表揚(yáng)；多記錄，多總結(jié)積累經(jīng)驗(yàn)。這樣對學(xué)生各方面情況均了然于心，才能因材施教。耐心

班主任對學(xué)生不僅應(yīng)施以愛心，施以細(xì)心，更應(yīng)施以耐心。我們班有個(gè)大號搗蛋鬼，我想我說出來肯定在座的大多數(shù)老師都聽過他的大名，教過我班的老師更是對他影響頗深。他就是某同學(xué)，不但個(gè)頭大而且自身問題也大。屬于自控能力特別低，散漫的孩子，每次犯的錯(cuò)不大，但頻率特別高。就拿吸煙來說，開始的時(shí)候我能感覺到他是在敷衍我，每次批評教育時(shí)，他都很快的向我認(rèn)錯(cuò)，但又很快再偷偷的跑去吸煙。我知道這種批評的教育方式已經(jīng)不能解決他這個(gè)問題，回到家里，我下載了網(wǎng)上吸煙危害的教育片。這觸目驚心的圖片，視頻震撼著他，讓他從心里有了些畏懼。然后我又教給他一些心里暗示的方法，讓他每天在QQ個(gè)性簽名上寫上戒煙的天數(shù)，時(shí)時(shí)刻刻鼓勵(lì)自己堅(jiān)持到底，讓周圍的人也幫助監(jiān)督。我還給他買了棒棒糖，每到下課，上自習(xí)他犯煙癮的時(shí)候，都給他一個(gè)讓他轉(zhuǎn)移下注意力，慢慢的某同學(xué)的吸煙情況有所改善。連他父母都打來電話說他的改變了。

總之，只要我們心中是真誠地為孩子，為孩子的健康成長而付出，端正自己的工作態(tài)度，我相信，我的班主任工作能在不斷的磨練中得到提升。通過這個(gè)學(xué)期，我的班主任工作在校領(lǐng)導(dǎo)的關(guān)心與指導(dǎo)下，有了進(jìn)步，也提高了些！我會再接再厲，吸取經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，把班主任的教育教學(xué)工作做得更好。