第一篇：人教版數(shù)學(xué)高二年級(jí)《橢圓第一定義的教學(xué)》教學(xué)設(shè)計(jì)

橢圓第一定義的教學(xué)

概念教學(xué)是課堂教學(xué)的一個(gè)重要組成部分.心理學(xué)實(shí)踐研究表明：學(xué)生可以通過概念的形成和概念的同化兩種方式來掌握概念.概念的形成是從大量例證出發(fā)，在實(shí)際經(jīng)驗(yàn)過的概念例證當(dāng)中，通過歸納的方法概括抽象出一類事物的共同特征，故概念的形成屬發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí).美國(guó)哈佛大學(xué)認(rèn)知研究中心主任布魯納贊同發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)法，強(qiáng)調(diào)學(xué)生應(yīng)用歸納的方式進(jìn)行探索，應(yīng)從具體事實(shí)中去發(fā)現(xiàn)概括結(jié)論、發(fā)現(xiàn)總結(jié)規(guī)律，并在這一過程中掌握學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)智力和能力.本人是從概念的形成這種發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)方式來向?qū)W生傳授橢圓第一定義的.一、通過復(fù)習(xí)舊知識(shí)，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生類比探索引入新知識(shí)，歸納總結(jié)出橢圓第一定義.1.首先復(fù)習(xí)圓的定義（用提問的形式），并用一段無彈性的繩子在黑板上作幾個(gè)圓心位置不同、半徑不同的圓，強(qiáng)調(diào)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的軌跡叫圓.為下一步的類比作鋪墊.2．設(shè)想定點(diǎn)由一個(gè)變?yōu)閮蓚€(gè)，且更換命題：到兩定點(diǎn)的距離和為定值，結(jié)果又怎樣？能否借肋手中的繩子和圓規(guī)把命題敘述的這一過程表達(dá)出來.3．實(shí)例操作：引導(dǎo)學(xué)生將一根無彈性的繩子系在圓規(guī)兩腳下端，用粉筆套住繩子，在黑板上移動(dòng)粉筆，可畫出一個(gè)封閉的幾何曲線，改變圓規(guī)相對(duì)位置，再畫出幾個(gè)這樣的封閉曲線.點(diǎn)題：這就是我們要學(xué)習(xí)的一類新曲線——橢圓.4．引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)例操作中總結(jié)抽象出橢圓的定義.提問1：在作同一曲線圖的過程中，圓規(guī)兩腳末端相對(duì)位置變沒變？ 結(jié)論1：圓規(guī)兩腳末端F1、F2為定點(diǎn).提問2：在作圖過程中繩子長(zhǎng)度變沒變？

結(jié)論2：動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為定值.提問3：要使粉筆套上繩子時(shí)能移動(dòng)，繩子長(zhǎng)度與兩定點(diǎn)距離大小關(guān)系怎樣？ 結(jié)論3：定值大于兩定點(diǎn)之間的距離.提問4：繩子的長(zhǎng)度和兩定點(diǎn)之間的距離還有哪些情況？ 引導(dǎo)學(xué)生思索后，得

結(jié)論4：當(dāng)定值等于兩定點(diǎn)的距離時(shí)，軌跡為以兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段；當(dāng)定值小于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)，軌跡不存在.歸納總結(jié)出橢圓的第一定義：

在平面上到定點(diǎn)F1、F2的距離和為定值2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓.像這樣在橢圓第一定義的引入及歸納總結(jié)過程中，強(qiáng)調(diào)了學(xué)生在學(xué)習(xí)中的理解作用，提倡學(xué)生積極思維，主動(dòng)探索，發(fā)現(xiàn)問題并逐步小結(jié)，在師生思維活動(dòng)的同頻共振過程中逐步把橢圓的第一定義抽象出來.二、分層分析橢圓的第一定義，加深記憶理解 把以上探索分析過程中的結(jié)論分層板書于黑板上.層次1：橢圓為平面幾何圖形.層次2：F1、F2為兩個(gè)定點(diǎn)（相對(duì)位置）.層次3：動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離之和2a是定值.層次4：定值2a大于兩定點(diǎn)的距離|F1F2|.層次5：當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，軌跡為線段F1F2；當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，軌跡不存在.三、突出新舊知識(shí)的聯(lián)系，注重知識(shí)的綜合貫通，寫出橢圓第一定義的各種表達(dá)形式，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

橢圓除可用方程形式表示外，還有其他表達(dá)形式：

1.幾何形式.F1、F2為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，|PF1|+|PF2|=2a(定值)> |F1F2|.2.復(fù)數(shù)形式.z1、z2已知，z未知，|z－z1|+|z－z2|=定值（2a）>|z1－z2|.3.三角形式.△ABC中，sinA+sinC=λsinB(λ>1,邊長(zhǎng)b為定值或sinB為定值).4.數(shù)列形式.在“3”中，取λ=2，則

—1—（1）△ABC中，a,b,c成等差數(shù)列；

（2）△ABC中，sinA,sinB,sinC成等差數(shù)列.四、引進(jìn)參變量，正確靈活地運(yùn)用含參數(shù)的變式來揭示定義的本質(zhì)屬性.F1、F2是平面上兩定點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，|PF1|+|PF2|=λ|F1F2|，當(dāng)0 <λ<1時(shí)，軌跡不存在；λ=1時(shí)，軌跡為線段F1F2；λ>1時(shí)軌跡為橢圓.其他形式似引進(jìn)參變量，課后自己討論.五、比較

比較圓與橢圓這兩類不同的曲線，找出其共性和差別，使學(xué)生確切地了解圓與橢圓的聯(lián)系和區(qū)別，使其本質(zhì)特征更清晰.共同點(diǎn)：都為封閉幾何曲線.不同點(diǎn)：圓只有一個(gè)定點(diǎn)即圓心，橢圓有兩個(gè)定點(diǎn)即焦點(diǎn)F1、F2.提問：在什么情況下，橢圓變?yōu)閳A？

啟發(fā)學(xué)生借助圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從中尋找理論依據(jù).橢圓中三個(gè)基本量a、b、c滿足a2=b2+c2,當(dāng)c=0時(shí)，即兩焦點(diǎn)重合時(shí)，a2=b2，即橢圓的長(zhǎng)半軸與短半軸相等，從而轉(zhuǎn)化為圓.由此可見，當(dāng)橢圓的兩焦點(diǎn)逐漸靠攏直至重合時(shí)，橢圓逐漸向圓變化，體現(xiàn)了幾何曲線圖象中的極限思想.—2—

第二篇：人教版數(shù)學(xué)高二年級(jí)《橢圓第二定義的教學(xué)》教學(xué)設(shè)計(jì)

橢圓第二定義的教學(xué)

江蘇省如皋中學(xué)

郝 茹

郝勁赴

現(xiàn)行高中《平面解析幾何》課本對(duì)橢圓第二定義采用了從具體事例入手，引出一個(gè)新概念的定義的方法，這是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的從具體到抽象、從特殊到一般地講授新概念的方法，符合人們從感性到理性的認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律．但是，在這里我們要注意，從認(rèn)識(shí)事物的原型到認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)，這是對(duì)事物認(rèn)識(shí)的質(zhì)的飛躍，妥善處理好這個(gè)過程，是教學(xué)成功的關(guān)鍵．為此，我們?cè)诮虒W(xué)橢圓第二定義時(shí)，作了如下安排：

１．自讀推敲，引導(dǎo)剖析 首先讓學(xué)生自讀課本Ｐ．７６例３及由此引出的橢圓第二定義，自己推敲這一定義的內(nèi)涵及外延，并提出以下問題供學(xué)生思考：

（１）定義中有哪些已知條件？

（２）定點(diǎn)、定直線、定比在橢圓定義中的名稱各是什么？

（３）定比是哪兩個(gè)量的比？這兩個(gè)量本身是變量還是常量？定比是什么范圍的值？（４）定點(diǎn)、定直線、定比一定是例３給出的數(shù)量關(guān)系（Ｆ（c,0),x?定直線方程是否可為其他的形式？

對(duì)第（１）、（２）、（３）三個(gè)問題學(xué)生容易從課本中找出答案，但第（４）個(gè)問題則一石激起千層浪，學(xué)生們議論紛紛．這時(shí)，教師啟而不答．

２．通過變式，提示內(nèi)涵 讓學(xué)生研究課本Ｐ．７９第１０題“點(diǎn)Ｐ與一定點(diǎn)Ｆ（２，０）的距離和它到一定直線x＝８的距離的比是１：２，求點(diǎn)Ｐ的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．”

學(xué)生很快根據(jù)例３求出c＝２，又由e?ca?12a2c,e?ca?1)嗎？定點(diǎn)坐標(biāo)、，得a＝４，而由x?a2c?422可知滿足題意．從?8，而得點(diǎn)Ｐ的軌跡方程為x216?y212?1，所以點(diǎn)Ｐ的軌跡是橢圓．

接著，我將上題稍加改動(dòng)，讓學(xué)生研究：“點(diǎn)Ｐ與一定點(diǎn)Ｆ（２，０）的距離和它到一定直線x＝８的距離的比是13，求點(diǎn)Ｐ的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．”學(xué)生沿用上題的解法，得c?2，由

x2ca?13，得a?6,b?6?2?32，得軌跡方程為22236?y232?1，有的學(xué)生由

a2c?362?18?8而提出該題題設(shè)

?c?2?c?2,11??e??，而認(rèn)為此題無解． 矛盾，所以無解，也有的學(xué)生列出方程組?a2，解得?23?8?a?4,??c這時(shí)，教師不評(píng)價(jià)學(xué)生的解法，而是提示他們比較該題題意與課本給出的橢圓第二定義是否一致，由他們自己發(fā)現(xiàn)滿足題意的動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓，進(jìn)而重新尋求解題的途徑．不少學(xué)生建立方程(x?2)?yx?822?13(x?5，化簡(jiǎn)得

481)2?y292?1，由此可見，這是中心在點(diǎn)（54,0)，對(duì)稱軸為直線x?5416及y?0的橢圓．

—1— 從該例讓學(xué)生看到橢圓第二定義中的定點(diǎn)、定直線、定比的數(shù)量關(guān)系不一定是課本Ｐ．７６例３給出的定點(diǎn)Ｆ（c，０）、定直線x?a2c、定比e?ca，當(dāng)不滿足這個(gè)數(shù)量關(guān)系時(shí)，建立橢圓方程不能套用例３的結(jié)果去解．當(dāng)給出定點(diǎn)Ｆ（n，０）、定直線x＝m（m≠n）、定比為e（０＜e＜１)時(shí)，可建立方程

me2(x?n)?yx?m22(x??e，解得

?n21?e22e(m?n)(1?e)22)2?y222e(m?n)1?e2?1．

顯然，只要m≠n，即點(diǎn)Ｆ（n，０）不在直線x＝m上時(shí)，都是橢圓方程．

這樣，就讓學(xué)生自己在解決問題的過程中，求得思考題（４）的第一個(gè)問題的答案．進(jìn)而指導(dǎo)學(xué)生深入推敲橢圓第二定義，讓他們深切地理解定義中的定點(diǎn)一般為(x0,y0)，定直線一般為ax+by+c＝０，并告訴學(xué)生在學(xué)過坐標(biāo)變換之后，可通過坐標(biāo)變換，將所求的軌跡方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

通過以上研究，讓學(xué)生明確：課本Ｐ．７６例３題設(shè)中給出的數(shù)量關(guān)系是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的條件，而不是所有橢圓方程所要求的條件，即不是橢圓方程的本質(zhì)特征，這樣，學(xué)生對(duì)橢圓第二定義的內(nèi)涵和外延的理解就深刻多了．

３．列舉反例，防患未然 要使學(xué)生深刻理解新概念，除了要正面剖析概念，運(yùn)用變式比較，揭示概念本質(zhì)以外，我們還經(jīng)常列舉一些反例讓學(xué)生判別，防止常見錯(cuò)誤的發(fā)生．為此，給出以下兩例，讓學(xué)生判別命題是否正確．

例１ 點(diǎn)Ｐ到點(diǎn)Ｆ（２，０）的距離比它到定直線x=7的距離?。?，點(diǎn)Ｐ的軌跡是什么圖形？ 給出如下解法讓學(xué)生判別：

解：設(shè)Ｐ點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y），則(x?2)?y22?1?x?7?(x?2)?yx?722?1?1.而(x?2)?yx?722?(x?2)?yx?722?1＝１，所以點(diǎn)Ｐ到定點(diǎn)Ｆ（２，０）的距離與它到定直線x=7的距離的比小于１，故點(diǎn)Ｐ的軌跡是橢 圓．

例２ 點(diǎn)Ｐ到定直線x=8的距離與它到點(diǎn)Ｆ（２，０）的距離的比為

12，則點(diǎn)Ｐ的軌跡是橢圓．

22對(duì)上述兩個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生逐一分析，讓學(xué)生明確：例１中，比值

(x?2)?yx?7?1，但不是一個(gè)常數(shù)，故不可斷定點(diǎn)Ｐ的軌跡是橢圓．例２中要注意橢圓第二定義中的定比是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)直線的距離，其比的前后項(xiàng)順序不可倒置，故不可斷定此題中的點(diǎn)Ｐ的軌跡是橢圓．經(jīng)過對(duì)上述兩例中典型錯(cuò)誤的剖析，學(xué)生對(duì)橢圓第二定義的本質(zhì)屬性有了更深刻的認(rèn)識(shí)．

４．設(shè)置新題，檢測(cè)運(yùn)用

經(jīng)過前面的教學(xué)過程，應(yīng)該說基礎(chǔ)知識(shí)已經(jīng)講清了．但是，要讓學(xué)生深刻理解教學(xué)的內(nèi)容，并且能夠正確運(yùn)用，這需要讓學(xué)生有一個(gè)獨(dú)立運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的過程．于是，我們讓學(xué)生獨(dú)立解以下題目：一動(dòng)點(diǎn)Ｐ到直線2x+y－８=0的距離與它到點(diǎn)（１，２）的距離的比值為5，求動(dòng)點(diǎn)Ｐ的軌跡方程，并判 —2— 斷點(diǎn)Ｐ的軌跡是何種曲線．

2x?y?8解：設(shè)Ｐ點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y），則

25(x?1)?(y?2)2?5

?5(x?1)?(y?2)2222?2x?y?8

22?25(x?2x?1?y?4y?4)?4x?y?64?4xy?32x?16y ?21x?4xy?24y?18x?84y?61?0． 22從方程看，現(xiàn)在我們還不能判定此方程的曲線是何種曲線，但仔細(xì)分析題意，可將已知條件改述為動(dòng)點(diǎn)Ｐ到點(diǎn)（１，２）的距離與它到直線２x＋y－８＝０的距離之比為１：5，這顯然符合橢圓第二定義，可知Ｐ點(diǎn)的軌跡為橢圓．

通過這一例的教學(xué)讓學(xué)生更深切地理解了橢圓的第二定義，也讓學(xué)生看到橢圓的非標(biāo)準(zhǔn)方程所具有的形式．

５．拓展課本，活化知識(shí)

xa22課本對(duì)于橢圓的準(zhǔn)線方程作了如下敘述：“對(duì)于橢圓?yb22?1，相應(yīng)于焦點(diǎn)Ｆ（c，０）的準(zhǔn)線方程為x?a2c，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，相應(yīng)于焦點(diǎn)Ｆ′（－c，０）的準(zhǔn)線方程為x??a2c；所以，橢圓有兩條準(zhǔn)線．”由此啟發(fā)學(xué)生看到命題（稱做Ａ）：點(diǎn)Ｍ（x,y）與定點(diǎn)Ｆ′（－c，０）的距離與它到直線l′：x??a2c的距離之比是常數(shù)ca（a＞c＞０），則點(diǎn)Ｍ（x，y）的軌跡方程也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．于是我們引導(dǎo)學(xué)生明確結(jié)論：課本Ｐ．７６例３給出的數(shù)量關(guān)系：定點(diǎn)Ｆ（c，０）、定直線l：x?a2c、常數(shù)

ca（a＞c＞０），以及命題Ａ給出的數(shù)量關(guān)系：定點(diǎn)Ｆ′（－c，０）、定直線l′：x??a2c、常數(shù)

ca（a＞c＞０）均分別是動(dòng)點(diǎn)Ｍ的軌跡方程為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的充要條件，并且，二者是等價(jià)的．接著，我們又引導(dǎo)學(xué)生再次分析本文第２部分所講到的命題（稱為Ｂ）：定點(diǎn)為Ｆ（n，０），定直線為x＝m（m≠n），定比為e

(x?me2?n2（０＜e＜１)，得出的橢圓方程

1?e22e(m?n)(1?e)22)2?y222e(m?n)1?e2?me2?n?0,?讓他們看到當(dāng)且僅當(dāng)?1?e2?1．

?1?e2?0?2即e?2nm?1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Ｍ的軌跡方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．即條件“e?nm?1”是動(dòng)點(diǎn)Ｍ的軌跡方程為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的充要條件．

—3— 在此基礎(chǔ)上，要求學(xué)生自行命題，設(shè)計(jì)出動(dòng)點(diǎn)的條件，使其軌跡方程分別符合下列要求： ①軌跡方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

②軌跡方程為中心在x軸上且短軸平行于y軸的橢圓方程．

從而，讓學(xué)生不但能正確地解命題Ｂ型的問題，而且能自行設(shè)計(jì)命題Ｂ型的問題，使學(xué)生對(duì)橢圓第二定義的理解、掌握和運(yùn)用達(dá)到新的境界．

—4—

第三篇：人教版數(shù)學(xué)高二年級(jí)《橢圓的一些有趣性質(zhì)及其應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)

橢圓的一些有趣性質(zhì)及其應(yīng)用

□

山西臨汾三中

李峰泰

教材中只介紹了橢圓的一些基本性質(zhì)．在實(shí)際中，橢圓還有一些有趣的性質(zhì)．探討這些性質(zhì)，不僅可以豐富解題思路，而且還可以培養(yǎng)我們的創(chuàng)新意識(shí)，在學(xué)習(xí)過程中會(huì)有所發(fā)現(xiàn)．本文介紹幾個(gè)性質(zhì)以示拋磚引玉．

一、橢圓上點(diǎn)對(duì)兩焦點(diǎn)張直角的性質(zhì)

Ｐ是橢圓b2x2?a2y2?a2b2(a?b?0)上的一點(diǎn)，Ｆ１、Ｆ２是左、右焦點(diǎn)，Ｏ是橢圓中心，e是離心率，ＯＰ的傾斜角為α，則∠Ｆ１ＰＦ２＝

９０°的充要條件是sin??1?ee22．

證明 如圖，在△Ｆ１ＰＦ２中，∠Ｆ１ＰＦ２為直角的充要條件是OP?∵F1F2?2c,?OP?c.F1F22（平面幾何定理）

設(shè)Ｐ點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y），則x?OP?cos?,y?OP?sin?,即x?c?cos?,y?c?sin?，代入橢圓方程得：

bccos??a?c?sin??ab,?cos??1?sin? 2222222222∴整理得c2(a2?b2)sin2??b2(a2?c2)

bc2444即sin??2,???[0,?)

∴sin??bc?a?ccx2222?1?ee22．

例１ Ｐ是橢圓△ＰＦ１Ｆ２的面積． 4?y2?1上的一點(diǎn)，Ｆ１、Ｆ２為兩焦點(diǎn)，若∠Ｆ１ＰＦ２＝９０°，試求

解 設(shè)ＯＰ的傾斜角為α，又知e?F1F2?OP?sin?2234，代入可得sin??13．

13∴S?PFF?12?2c?csin?2?c?sin??3?2?1

二、橢圓準(zhǔn)線上點(diǎn)對(duì)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)視角的性質(zhì)

橢圓bx?ay?ab(a?b?0)準(zhǔn)線上的點(diǎn)對(duì)其長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)的視角為α，若橢圓的離心率為e，則α是銳角且sin?≤e． 222222 —1— 證明 如圖，設(shè)Ｐ在x軸上方，坐標(biāo)為(ya2a2c,y)

kPA1?,kPA2?ya2c?a,ctg???a?

222kPA2?kPA11?kPA2?kPA12acyab?cy22∵y?0,tg??0,??為銳角．

整理為y的方程c2y2?2ac2ctga?y?a2b2?0 ∵此方程有實(shí)根，∴Δ?4a2c4ctg2??4a2b2c2?0

ca22∴cctg??c?a?0,?c?csc??a,sin??∵α為銳角，∴sin??e． 例２ Ｐ是橢圓的最大值．

解 ∵a?2,b?3,c?1,e?121222222222?e，2x24?y23?1右準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)Ｐ對(duì)此橢圓左右兩頂點(diǎn)Ａ１、Ａ２的視角為α，求α

?6由題設(shè)及性質(zhì)得sin??e??sin

又知α為銳角，∴α的最大值為

三、橢圓中心點(diǎn)張直角的性質(zhì)

?6．

若橢圓bx?ay?ab(a?b?0)上有兩點(diǎn)Ａ、Ｂ，且ＯＡ⊥ＯＢ，則原點(diǎn)到弦ＡＢ的距離d?aba?b22222222．

?2證明 如圖，設(shè)∠ＢＯＸ＝α，則∠ＡＯＸ＝0,A點(diǎn)為

＋α，設(shè)ＯＢ＝m＞0,OA=n＞（－nsin?,ncos?)，Ｂ點(diǎn)為（msin?,mcos?），代入橢圓方程整理得

1m2?acos??bsin?ab222222,1n2?bcos??asin?ab222222，—2— ?1m2?1n2?a?bab2222,AB?OA2?OB2?22m?n

由等面積法得d?OC?mnm?n22?11m2?1n2?aba?b22

例３ 直線y?kx?1與橢圓坐標(biāo)原點(diǎn)．

解 a＝２，b?22x24?2y2?1交于Ａ、Ｂ兩點(diǎn)，當(dāng)k為何值時(shí)，以ＡＢ為直徑的圓通過，∵ＡＢ為直徑的圓過原點(diǎn)，∴ＯＡ⊥ＯＢ，由性質(zhì)及原點(diǎn)到直線距離公式得

d?k122???12212,解之得k??52．

4?

—3—

第四篇：高二數(shù)學(xué)橢圓人教版教學(xué)教案

高二數(shù)學(xué)橢圓

【同步教育信息】

一.本周教學(xué)內(nèi)容：

橢圓

教學(xué)目標(biāo)：

1.掌握橢圓的定義。（第一定義和第二定義）。2.能根據(jù)條件熟練求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

3.掌握橢圓的幾何性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程中的a、b、c、e的幾何意義，及a、b、c、e間的相互關(guān)系；

4.能綜合應(yīng)用橢圓的有關(guān)知識(shí)解決最值問題及參數(shù)的取值范圍；

5.理解直線與橢圓的位置關(guān)系，會(huì)求橢圓截直線所得的弦長(zhǎng)，會(huì)應(yīng)用弦中點(diǎn)的性質(zhì)求解問題。

能力訓(xùn)練：進(jìn)一步鞏固求曲線方程的方法，提高運(yùn)用坐標(biāo)法的自覺性及解決幾何問題的能力；進(jìn)一步培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力；同時(shí)提高代數(shù)運(yùn)算能力、綜合分析問題解決問題的能力。

二.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)的應(yīng)用。

難點(diǎn)：橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)在解題過程中的靈活運(yùn)用。

【典型例題】

一.知識(shí)提要：

1.橢圓的第一定義：平面內(nèi)，與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫橢圓的焦距。2.橢圓的第二定義：

a2的距離的平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)F（c，0）的距離和它到定直線l：x?cc比是常數(shù)(a?c?0)的點(diǎn)M的軌跡是橢圓。定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫做橢

ac圓的準(zhǔn)線，常數(shù)叫橢圓的離心率。

a 3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)： 標(biāo)準(zhǔn)方程 x2y2?2?1(a?b?0)2aby2x2?2?1(a?b?0)2ab圖形 范圍 對(duì)稱性 頂點(diǎn) ?a?x?a，?b?y?b ?b?x?b，?a?y?a 關(guān)于x軸、y軸、坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱 A1（－a，0），A2（a，0）B1（0，－b），B2（0，b）A1（0，－a），A2（0，a）B1（－b，0），B2（b，0）離心率 ce?，(0?e?1)ae? c，(0?e?1)a

例1.求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(3，?2)和B(?23，1)兩點(diǎn)的橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程。

分析：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，就是求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓方程。但焦點(diǎn)

22在坐標(biāo)軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，可設(shè)方程為mx+ny=1(m>0，n>0)不必考慮焦點(diǎn)位置，求出方程即知。解：設(shè)所求橢圓的方程為mx+ny=1，（m>0，n>0）

∵點(diǎn)A(3，?2)和點(diǎn)B(?23，1)在橢圓上，22??3m?4n?1?m(3)?n(?2)?1即? ∴?

22??12m?n?1?m(?23)?n21?11?m???15 ∴?

?n?1?5?x2y2??1。

故所求橢圓的方程為155 例2.x2y2已知橢圓2?2?1(a?b?0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的焦點(diǎn)。AB是過F1的直線

ab與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的周長(zhǎng)。

解析：數(shù)形結(jié)合，由橢圓定義即可求得答案。

解：∵|AF1|?|AF2|?2a

|BF1|?|BF2|?2a

又∵△ABF2的周長(zhǎng)=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a ∴△ABF2的周長(zhǎng)為4a。

x2y2??1上一點(diǎn)，P到左準(zhǔn)線的距離為10，則P到右準(zhǔn)

例3.設(shè)P為橢圓10036線的距離為（）A.6

B.8

C.10

D.15 解析：法一：應(yīng)用橢圓的第二定義即可求出結(jié)果為15。

2a2，又知P到

法二：應(yīng)用橢圓的幾何意義，點(diǎn)P到兩準(zhǔn)線的距離之和為c左準(zhǔn)線距離，作差即可求出點(diǎn)P到右準(zhǔn)線距離。

例4.點(diǎn)P與定點(diǎn)F（2，0）的距離和它到定直線x=8的距離的比是1∶2，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形。

分析：根據(jù)橢圓的第二定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且知焦點(diǎn)為F1（－2，0）、F2（2，0），準(zhǔn)線方程x=±8，離心率e?1。2a2?8，∴a2?16，解：依橢圓第二定義知：c?2，c ∴b2?a2?c2?16?4?12。

x2y2??1。∴所求橢圓的方程為1612x2y2??1，軌跡為橢圓。

即點(diǎn)P的軌跡方程為：1612 例

5.22x2已知點(diǎn)P在圓C：x?(y?4)?1上移動(dòng)，點(diǎn)Q在橢圓?y2?1上移動(dòng)，4求|PQ|的最大值。

分析：做此題要數(shù)形結(jié)合，從圖中可見，要求|PQ|的最大值，只要考慮圓心到橢圓上的點(diǎn)的距離即可，而橢圓上的點(diǎn)是有范圍的，于是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題。

設(shè)：橢圓上的一點(diǎn)Q（x，y），又C（0，4）。

222 則|QC|=x+(y－4)

?4(1?y2)?(y?4)

2??3y2?8y?20

4276)? 33 又∵?1?y?1∴當(dāng)y??1時(shí)，|QC|大?5 ??3(y? ∴|PQ|的最大值為5+1=6。

x2y2??1內(nèi)有一點(diǎn)P(1，?1)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，在橢圓

例6.已知橢圓43上求一點(diǎn)M，使|MP|+2|MF|的值最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。

分析：|MF|是橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，根據(jù)橢圓的第二定義，有

|MF|1?∴|MM?|?2|MF|

|MM?|2 ∴|MP|?2|MF|?|MP|?|MM?|

顯然，P、M、M'三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|+|MM'|有最小值。

解：過P作PM'⊥l交橢圓于M，由橢圓方程知 a?2，b?3，c?1，e??y??1 ?223x?4y?12? ∴所求M點(diǎn)坐標(biāo)為M(例7.2?26?x?解得?3

?y??1?26，?1)。3x2y2過橢圓??1內(nèi)一點(diǎn)M(2，1)引一條弦，使弦被M點(diǎn)平分，求這條弦所

164在的直線方程。

分析：所求直線過定點(diǎn)M（2，1），因此，設(shè)為y－1=k(x－2)，再利用弦中點(diǎn)條件求出直線的斜率k。

解法一：設(shè)所求直線方程為y－1=k(x－2)，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)??y?kx?1?2k22①?x?4y?16?0②(4k2?1)x2?8(2k2?k)x?4(2k?1)2?16?0

消去y

8(2k2?k)，又∵M(jìn)為弦AB的中點(diǎn)，x1?x2?24k?1x1?x24(2k2?k)1??2∴k?? ∴ 2224k?1 ∴所求直線方程為：x?2y?4?0。

解法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2）

∵M(jìn)（2，1）為AB的中點(diǎn)，∴x1+x2=4，y1+y2=2。

又∵A、B兩點(diǎn)在橢圓上，則x1?4y1?16①，x2?4y2?16②

①?②x1?x2?4(y1?y2)?0

(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0 2?222222y1?y2x?x241??1????

x1?x24(y1?y2)43221 即kAB??。故所求直線的方程為：x?2y?4?0 ∴ 解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A（x，y），由于中點(diǎn)為M（2，1），則另一個(gè)交點(diǎn)B（4－x，2－y）。

∵點(diǎn)A、B都在橢圓上。

22??x?4y?16 ∴?22??(4?x)?4(2?y)?16 ①?②得x?2y?4?0。

①②

由于過A、B的直線只有一條，∴所求直線的方程為x?2y?4?0。

【模擬試題】

x2y2??1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是焦點(diǎn)，∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面積。1.已知P是橢圓 2516

2.已知橢圓的焦點(diǎn)F1（0，－1），F(xiàn)2（0，1），直線y=4是它的一條準(zhǔn)線，P是橢圓上一點(diǎn)，且|PF2|－|PF1|=1，求△F1PF2的面積。

3.橢圓xy??1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為其上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫9422坐標(biāo)的取值范圍。

4.求與橢圓xy??1相交于A、B兩點(diǎn)，并且線段AB的中點(diǎn)M（1，1）的直線方程。94 22試題答案

1.解：設(shè)|PF1|?m，|PF2|?n

11mnsin30°?mn。24 在△F1PF2中，62?m2?n2?2mncos30° ∴S△F1PF2? 36?(m?n)2?2mn?3mn(2?3)mn?64

64。

2?3164?16(2?3)

∴S△F1PF2?242?3 mn? 即△F1PF2的面積為16(2?3)。

2.分析：可以由橢圓定義及已知條件求出|PF1|和|PF2|的長(zhǎng)，再計(jì)算面積。

a2?4∴a?2 解：∵c?1c3?|PF|???|PF1|?|PF2|?4?12?? ?

|PF|?|PF|?151?2?|PF2|??2?259??43444 又∵|F1F2|?2，∴cosP??，∴sinP?

53552222213513543 ∴S△F1PF2?222sinP?222?

22222252 3.分析：先求出使∠F1PF2=90°的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)觀察出P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍。

∵a?3，b?2，∴c?5 ∴S△F1PF2? S△F1PF2?1|F1F2|2|yP|2設(shè)|PF1|?m|PF2|?n

11|F1F2|2|y|?5|y|S△F1PF2?mn 22222 又∵m?n?20，(m?n)?2mn?20∴mn?8

4x2y2 ∴5y?4y?，代入??1

94533即當(dāng)x?±時(shí)，∠F1PF2?90° 得x?±5533?x?時(shí)，∠F1PF2為鈍角。

∴當(dāng)?55 5.解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）

∵A、B都在橢圓上，?x12y12??1①??94 ∴? 22?x2?y2?1②?4?9(x?x2)(y?y2)(x1?x2)?1(y1?y2)?0

①－② 194 ∵AB的中點(diǎn)M（1，1），∴x1?x2?2，y1?y2?2

y1?y244?，即為直線AB的斜率為?。

9x1?x294 ∴y?1??(x?1)，即4x?9y?13?0 ∴所求直線方程為：4x?9y?13?0?！?/p>

第五篇：人教 版二年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)反思

2017－2018學(xué)第二學(xué)期一年級(jí)3班數(shù)學(xué)科

《100以內(nèi)的數(shù)的認(rèn)識(shí)》教學(xué)反思

本單元的教學(xué)內(nèi)容是100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)，包括數(shù)數(shù)、數(shù)的組成、數(shù)位的含義、數(shù)的順序和比較大小以及整十?dāng)?shù)加一位數(shù)和相應(yīng)的減法。通過本單元的教學(xué)，要求學(xué)生能夠正確數(shù)出100以內(nèi)數(shù)的個(gè)數(shù)，知道這些數(shù)是由幾個(gè)十和幾個(gè)一組成，知道100以內(nèi)數(shù)的順序，會(huì)比較100以內(nèi)數(shù)的大小，同時(shí)在理解數(shù)位的意義的基礎(chǔ)上，能夠正確讀寫100以內(nèi)的數(shù)，會(huì)計(jì)算整十?dāng)?shù)加一位數(shù)和相應(yīng)的減法。

在教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)數(shù)數(shù)、理解數(shù)的組成、比較數(shù)的大小以及計(jì)算整十?dāng)?shù)加一位數(shù)和相應(yīng)的減法學(xué)生掌握比較好，尤其是數(shù)數(shù)，大部分學(xué)生不僅會(huì)一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)、兩個(gè)兩個(gè)地?cái)?shù)、五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)、十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù)，還會(huì)三個(gè)三個(gè)地?cái)?shù)，順著數(shù)倒著數(shù)基本沒問題。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生數(shù)到幾十九，接下去就不知道該數(shù)幾十，三個(gè)三個(gè)的倒著數(shù)基本不會(huì)。在比較大小方面，學(xué)生不僅會(huì)比較，更重要的的他們能說出比較的方法，而且這些方法都是在老師的引導(dǎo)下由學(xué)生歸納總結(jié)出來的。關(guān)于整十?dāng)?shù)加一位數(shù)和相應(yīng)的減法，百分之九十的學(xué)生計(jì)算的正確率和速度達(dá)到了要求，而且不僅能會(huì)算，還能與老師、同學(xué)和家長(zhǎng)交流算法。

不足之處：學(xué)生的估測(cè)意識(shí)和估測(cè)能力與標(biāo)準(zhǔn)還有一段距離，另外，在具體的情景中用“多得多”、“少得多”、“多一些”、“少一些”描述數(shù)之間的大小關(guān)系也讓一部分學(xué)生感到很困難。