第一篇：2.2橢圓 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

1.知識目標：

(1).使學生掌握橢圓的性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)正確地作出橢圓草圖；掌握橢圓中a、b、c的幾何意義及相互關系；

(2)通過對橢圓標準方程的討論，使學生知道在解析幾何中是怎樣用代數(shù)方法研究曲線性質(zhì)的，逐步領會解析法（坐標法）的思想。

(3)能利用橢圓的性質(zhì)解決實際問題。2.能力目標：

培養(yǎng)學生觀察、分析、抽象、概括的邏輯思維能力和運用數(shù)形結合思想解決 實際問題的能力。3.德育目標：

(1)通過對問題的探究活動，親歷知識的建構過程，使學生領悟其中所蘊涵 的數(shù)學思想和數(shù)學方法，體驗探索中的成功和快樂，使學生在探索中喜歡數(shù)學、欣賞數(shù)學。

(2)通過“神舟7號”飛天圓夢，激發(fā)學生愛國之情。

(3)培養(yǎng)學生既能獨立思考，又能積極與他人合作交流的意識和勇于探索創(chuàng)新的精神。

2.教學重點/難點

重點：從知識上來講，要掌握如何利用橢圓標準方程的結構特征研究橢圓的幾何性質(zhì)；從學生的體驗來說，需要關注學生在探究橢圓性質(zhì)的過程中思維的過程展現(xiàn)，如思維角度和思維方法。

難點：橢圓幾何性質(zhì)的形成過程，即如何從橢圓標準方程的結構特征中抽象出橢圓的幾何性質(zhì)。通過本節(jié)課的教學力求使一個平淡的性質(zhì)陳述過程成為一個生動而有價值的學生主動交流合作、大膽探究的過程應是教學的難點。

3.教學用具

多媒體課件、實物投影儀。

4.標簽

教學過程

教學過程設計

（一）復習回顧

1.橢圓的定義：到兩定點F1、F2的距離和為常數(shù)（大于|F1F2 |）的點的軌跡叫做橢圓。

2.若|MF1|+ |MF2|=2a（2a是常數(shù)）

當2a>|F1F2|時，點M的軌跡是________；（橢圓）當2a=|F1F2|時，點M的軌跡是________；（線段FF）當2a<|F1F2|時，點M的軌跡是________.（不存在）3.標準方程 焦點在x軸上時：

焦點在y軸上時：

求橢圓標準方程的方法：----------待定系數(shù)法.求橢圓標準方程的步驟：

(1)確定焦點位置，設橢圓的標準方程

(2)求a,b（常建立方程組）

(3)下結論

4.方程中a,b,c之間的關系：a2=b2+c2 思考回答下面問題

1.判斷下列方程是否表示橢圓,若是, 求出 a, b, c.（5）若_______

表示焦點在x軸上的橢圓，則k的取值范圍是回答：（1）不是；（2）是，a=2，b=c=c=（5）(-16,4)∪(4,24)

；（3）不是；（4）是，a=3，b=2，2.若動點M到F1(-1,0),F2(1,0)的距離之和為2,則M的軌跡是__（線段F1F2）復習檢測 1.已知橢圓=_________;2.已知橢圓，它上點P到F1的距離為6，則|PF2|=________;，則a=_____,c=______,焦點___________,焦距3.橢圓的焦距2，則m=_____________.4.求適合下列條件的橢圓的標準方程：

（1）與橢圓

（2）經(jīng)過點P1（共焦點，且過點M（0，-2）； ,1), P2(,).解答：（1）10,8，（0,8），（0，-8）,16；（2）14；（3）5或3；

（4）

（二）創(chuàng)設情境

我們知道，飛船繞地運行了十四圈，在變軌前的四圈中，是沿著以地球中心為一個焦點的橢圓軌道運行的。如果告訴你飛船飛離地球表面最近和最遠的距離，即近地點距地面的距離和遠地點距地面的距離，如何確定飛船運行的軌道方程？要想解決這一實際問題，就有必要對橢圓做深入的研究，這節(jié)課我們就一起探求橢圓的性質(zhì)。（引出課題）

（三）探索研究 1.范圍

教師：同學們繼續(xù)觀察橢圓，如果分別過A1、A2作y軸的平行線，過B1、B2作x軸的平行線（課件展示），同學們能發(fā)現(xiàn)什么？ 學生能答出：橢圓圍在一個矩形內(nèi)。

教師補充完整：橢圓位于四條直線x=±a, y=±b所圍成的矩形里，說明橢圓是有范圍的。

教師：下面我們想辦法再用方程

來證明這一結論的正確性。啟發(fā)學生，用方程討論圖形的范圍就是確定方程中x、y的取值范圍。從方程的結構特點出發(fā)，師生共同分析，給出證明過程。由，利用兩個實數(shù)的平方和為1，結合不等式知識得，x2≤a2且y2≤b2,則有｜x｜≤a,｜y｜≤b, 所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。

設計意圖：從“直觀圖形”與“方程思想”兩個不同的角度研究橢圓范圍 2．對稱性的發(fā)現(xiàn)與證明

教師：橢圓的圖形給人們以視覺上的美感（課件展示橢圓），如果我們沿焦點所在的直線上下對折，沿兩焦點連線的垂直平分線左右對折，大家猜想橢圓可能有什么性質(zhì)？（學生動手折紙，課前教師要求學生把上節(jié)學習橢圓定義時畫的橢圓拿來。）學生們基本上能發(fā)現(xiàn)橢圓的軸對稱性。

教師：除了軸對稱性外，還可能有什么對稱性呢？ 稍作提示容易發(fā)現(xiàn)中心對稱性。

教師：這僅僅是由觀察、猜想得到的結果，怎樣用方程證明它的對稱性？ 設計意圖：讓學生先從直觀上認識橢圓的對稱性，然后再用方程證明其對稱性。提出問題

①把x換成-x，方程變嗎？說明圖象關于什么對稱？

②把y換成-y，方程變嗎？說明圖象關于什么對稱？

③把x換成-x，y換成-y，方程變嗎？說明圖象關于什么對稱？ 得出重要結論：

（1）用方程f(x,y)=0判定圖像對稱性的方法：①把x換成-x；或用（-x,y）代f(x,y)=0,方程不變，圖象關于y軸對稱；②把y換成-y；或用（x,-y）代f(x,y)=0,方程不變，圖象關于x軸對稱；③把x換成-x，y換成-y，或用（-x,-y）代f(x,y)=0,方程不變,？圖象關于關于原點成中心對稱

（2）橢圓圖象的對稱性：橢圓圖象關于x軸、y軸成軸對稱；關于原點成中心對稱

投影顯示下圖及問題

問題：橢圓的對稱軸一定時x軸、y軸嗎，對稱中心一定是原點嗎？圖中的橢圓有對稱軸和中心嗎？

指導學生思考討論后獲取共識：坐標系是用來研究曲線的重要工具，而橢圓的對稱性是橢圓本身固有的性質(zhì)，無論橢圓在坐標系的什么位置，它都有兩條互相垂直的對稱軸，有一個中心，與坐標系的選取無關。（此問題也為后面研究平移變換埋下伏筆）。小試身手1 已知點P(3,6)在橢圓(A)點(-3,-6)不在橢圓上；

(B)點(-3,6)不在橢圓上；(C)點(3,-6)在橢圓上；

(D)無法判斷點(-3,-6),(3,-6),(-3,6)是否在橢圓上 3.頂點的發(fā)現(xiàn)與確定

教師：我們研究曲線，常常需要根據(jù)曲線上特殊點的位置來確定曲線的位置。教師提問：你認為橢圓上哪幾個點比較特殊？

由學生觀察容易發(fā)現(xiàn)，橢圓上存在著四個特殊點，這四個點就是橢圓與坐標軸的交點，同時也是橢圓與它的對稱軸的交點。

教師啟發(fā)學生與一元二次函數(shù)的圖像（拋物線）的頂點作類比，并給出橢圓的頂點定義。

教師：能根據(jù)方程確定這四個頂點的坐標嗎？

由學生自主探究,求出四個頂點坐標。即令x=0,得 y=±b，因此B1(0,-b), B2(0,b)，令y=0，得x=±a，因此A1(-a,0), A2(a,0)。

結合圖形指出長軸、短軸、長軸長、短軸長、長半軸長、短半軸長，半焦距，點明方程中a、b和c的幾何意義和數(shù)量關系。

由學生探究得出橢圓的一個焦點F2到長軸兩端點A1 , A2的距離分別為a+c和a-c。教師指出，這在解決天體運行中的有關實際問題時經(jīng)常用到。小試身手2 說出橢圓范圍：4．離心率

教師：我們在學習橢圓定義時，用同樣長的一條細繩畫出的橢圓形狀一樣嗎？ 的范圍,長軸長,短軸長,焦點坐標,頂點坐標:

上，則（C）同學們能回答出：不一樣，有的圓一些，有的扁一些。請同學們思考：橢圓的圓扁程度究竟與哪些量有關呢？

此時學生展開討論，可能有的說與a、c有關，也可能說與a、b有關等等。通過觀察演示實驗，化抽象為具體，引導學生思考。

教師引導學生從演示實驗觀察到由于橢圓位于直線x=±a,y=±b圍成的矩形里，矩形的變化對橢圓形狀的影響。

矩形越狹長，橢圓越扁；矩形越接近于正方形，橢圓越接近于圓；當矩形變?yōu)檎叫螘r，即a=b時,橢圓變?yōu)閳A。即當比值越小，橢圓越扁；比值

越大，橢圓越接近于圓。

由于扁；當越小時，所以當越大時，越小，橢圓越

越大，橢圓越接近于圓。把比值e=叫橢圓的離心率，分析出離心率的范圍：0＜e＜1。

結論：橢圓在-a＜x＜a，-b＜x＜b內(nèi)，離心率e越大，它就越扁；離心率e越接近于0，它就越接近于圓。所以說離心率是描述橢圓圓扁程度的量。小試身手3 3.比較下列每組中兩個橢圓的形狀,哪一個更扁?

思考：焦點在y軸上的幾何性質(zhì)如何呢？ 總結橢圓的幾何性質(zhì)，填寫下表

（四）鞏固與創(chuàng)新應用

為了加深對橢圓的幾何性質(zhì)的認識，掌握用描點法畫圖的基本方法，給出如下例1 例1

.已知橢圓16x2+25y2=400，它的長軸長是：

，短軸長是：

，焦距是：，離心率等于：

，焦點坐標是：，頂點坐標是：

，外切矩形的面積等于：。

解析：先把方程化為標準方程，a=5,b=4,c=3

長軸長：10，短軸長：8，焦距：6離心率：3/5焦點坐標：（-3,0）（3,0）

頂點坐標：（-5,0）（5,0）（0，-4）（0,4）面積是：80 練習1.已知橢圓方程為6x2+y2=6 它的長軸長是：

。短軸長是：

。焦距是：

。離心率等于：

。焦點坐標是：

。頂點坐標是：

。外切矩形的面積等于：

。解析：先把方程化為標準方程，a=,b=1,c=

長軸長：2點坐標：（0，-）（0，,短軸長：2，焦距：2）

離心率：，焦

頂點坐標：（-1,0）（1,0）（0，-4）（0,）面積是：例2 橢圓的一個頂點為A（2,0）,其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程．

解析：橢圓的標準方程為

或

.練習2.已知橢圓的離心率，求k的值。

解答：當橢圓的焦點在x軸上時，k=4

當橢圓的焦點在y軸上時，例3.已知橢圓中心在原點，對稱軸為坐標軸，焦點在y軸,長軸是短軸的2倍,焦距為2,離心率為，求橢圓的方程。

解析：由題可得：設橢圓方程為，因為2a=4b,2c=2,e=,b= ,又因為a2=b2+c2,所以c=1,a=

所以橢圓方程為：

1)練習3.已知橢圓的方程為x2+m2y2=m2，m>0且m

0

m>1 時 它的長軸長是： 2m

;

它的長軸長是：

;

短軸長是：

;

短軸長是： 2m

;

例4.我國發(fā)射的“神舟七號”飛船在變軌前是沿以地球的中心F2為一個焦點的橢圓軌道運行的。已知它的近地點A（離地面最近的點）距地面約為200km,遠地點B（離地面最遠的點）距地面約為350km，地球半徑為6371km并且F2、A、B在同一直線上，求飛船運行的軌道方程。（結果精確到0.01km）設置本題的主要意圖是:第一,為增強學生的數(shù)學應用意識和運用數(shù)學知識解決實際問題的能力；第二，為滿足中等及中等以上層次學生的學習需求。

師生共同分析：先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。（求神舟五號飛船的軌道方程，就是求橢圓的方程）。

教師：求橢圓的方程又需要先做什么呢？（建立坐標系）。

怎樣建系？（以過A、B的直線為x軸，F(xiàn)2為橢圓的右焦點，記F1為左焦點建立如圖所示的直角坐標系（課件上作圖、建系）則它的標準方程為

下面確定a、b的值，題中提供的信息是近地點、遠地點到地面的距離以及地球的半徑，由這些條件我們可以知道些什么呢？

學生對照圖形認真思考，相互討論由學生得出解法。｜F2A｜=6371+200，｜F2B｜=6371+350 又∵｜F2A｜=｜oA｜-｜oF2｜=a-c 因此,有 a-c=｜oA｜-｜oF2｜=｜F2A｜=6371+200=6571 同理,得 a+c=｜o B｜+｜oF2｜=｜F2B｜=6371+350=6721 解得

a=6646，c=75 b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=44163691≈6645.582 因此，飛船的軌道方程為計算過程由學生用計算器求得。

教師最后課件展示：用計算機畫出飛船運行的軌跡。

課堂小結

本節(jié)課我們學習了橢圓的幾個簡單幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點坐標、離心率等概念及其幾何意義。了解了研究橢圓的幾個基本量a，b，c，e及頂點、焦點、對稱中心及其相互之間的關系，這對我們解決橢圓中的相關問題有很大的幫助，給我們以后學習圓錐曲線其他的兩種曲線扎實了基礎。在解析幾何的學習中，我們更多的是從方程的形式這個角度來挖掘題目中的隱含條件，需要我們認識并熟練掌握數(shù)與形的聯(lián)系。在本節(jié)課中，我們運用了幾何性質(zhì)，待定系數(shù)法來求解橢圓方程，在解題過程中，準確體現(xiàn)了函數(shù)與方程以及分類討論的數(shù)學思想。

布置學生最后小結下列表格：

課后習題

1.在下列方程所表示的曲線中，關于x軸，y軸都對稱的是（D）A.x2=4y

B.x2+2xy+y=0

C.x2-4y2=5x D.9x2+y2=4 2.橢圓以坐標軸為對稱軸，離心率，長軸長為6,則橢圓的方程為（C）

3.若橢圓的一個焦點與短軸的兩端點構成一個正三角形，則橢圓的離心率為（）

4.求符合下列條件的橢圓的標準方程:

(1)經(jīng)過點(-3,0)、(0,-2);

(2)長軸的長等于20,離心率等于0.6 解答：

板書

第二篇：2．1 橢圓 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

知識與技能

掌握橢圓的定義，掌握橢圓的四種標準方程形式及其對應的焦點、準線． 過程與方法

掌握對橢圓標準方程的推導，進一步理解求曲線方程的方法——坐標法．通過本節(jié)課的學習，提高學生觀察、類比、分析和概括的能力

情感、態(tài)度與價值觀

通過本節(jié)的學習，體驗研究解析幾何的基本思想，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實和解決實際問題中的作用，進一步體會數(shù)形結合的思想．

2.教學重點/難點

教學重點：

橢圓的定義及焦點及橢圓標準方程． 教學難點：

在推導橢圓標準方程的過程中，如何選擇適當?shù)淖鴺讼?/p>

3.教學用具

多媒體

4.標簽

教學過程

教學過程設計

新知探究

探究點一

橢圓的定義 【問題導思】 1.取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時能在圖板上畫出一個圓．

如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點處(如圖)套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出什么樣的一個圖形？

【提示】 橢圓．

2.命題甲：動點P到兩定點A、B的距離之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a為常數(shù))；命題乙：點P的軌跡是橢圓，且A、B是橢圓的焦點，則命題甲是命題乙的（）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

解析 若P點的軌跡是橢圓，則一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，且a為常數(shù))，所以命題甲是命題乙的必要條件．

若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，且a為常數(shù))，不能推出P點的軌跡是橢圓． 這是因為：僅當2a>|AB|時，P點的軌跡是橢圓； 而當2a＝|AB|時，P點的軌跡是線段AB； 當2a<|AB|時，P點無軌跡． 所以命題甲不是命題乙的充分條件．

綜上可知，命題甲是命題乙的必要不充分條件．

探究點二 橢圓的標準方程

問題1 觀察橢圓的形狀，你認為怎樣選擇坐標系才能使橢圓的方程較簡單？并寫出求解過程．

答案:

(1)如圖所示，以經(jīng)過橢圓兩焦點F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系xOy(2)設點：設點M(x，y)是橢圓上任意一點，且橢圓的焦點坐標為F1(－c,0)、F2(c,0)．

(3)列式：依據(jù)橢圓的定義式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并將其坐標化為

問題2建系時如果焦點在y軸上會得到何種形式的橢圓方程？怎樣判定給定的橢圓焦點在哪個坐標軸上？

答案:焦點在y軸上，橢圓方程為

在橢圓的兩種標準方程中，總有a>b>0.橢圓的兩種標準方程中，如果x2項的分母大，焦點就在x軸上，如果y2項的分母大，則焦點就在y軸上． 問題3橢圓方程中的a、b以及參數(shù)c有什么意義，它們滿足什么關系？

答案:橢圓方程中，a表示橢圓上的點M到兩焦點間距離的和的一半，可借助圖形幫助記憶，a、b、c(都是正數(shù))恰構成一個直角三角形的三條邊，a是斜邊，c是焦距的一半，叫半焦距．a(chǎn)、b、c始終滿足關系式a2＝b2＋c2.【典例精講】

題型一

橢圓定義的理解及簡單應用

(1)已知F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，則到F1，F(xiàn)2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是________；

(2)已知F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，橢圓的弦DE過焦點F1，若直線DE的傾斜角為α(α≠0)，則△DEF2的周長為()A．64

B．20 C．16

D．隨α變化而變化

【解析】(1)由于動點到F1，F(xiàn)2的距離之和恰巧等于F1F2的長度，故此動點的軌跡是線段F1F2.(2)由橢圓的定義可得：|DF1|＋|DF2|＝2a＝8，|EF1|＋|EF2|＝2a＝8，∴△DEF2的周長為|DF1|＋|DF2|＋|EF1|＋|EF2|＝16，故選C.【答案】(1)線段F1F2(2)C 【小結】1．定義是判斷點的軌跡是否為橢圓的重要依據(jù)，根據(jù)橢圓的定義可知，集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)． 當a＞c時，集合P為橢圓上點的集合； 當a＝c時，集合P為線段上點的集合； 當a＜c時，集合P為空集．

因此，只有|F1F2|＜2a時，動點M的軌跡才是橢圓．

2．注意定義的雙向運用，即若|PF1|＋|PF2|＝2a(a＞|F1F2|)，則點P的軌跡為橢圓；反之，橢圓上任意點到兩焦點的距離之和必為2a.【變式訓練】設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：的左、右焦點，過F1的直線與E相交于A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，則|AB|的長為________．

【解析】 因為|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，所以2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，又由橢圓的定義知：|AF2|＋|AF1|＋|BF2|＋|BF1|＝4，即|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4，所以3|AB|＝4，即|AB|＝

【答案】

題型二

求橢圓的標準方程

例2(1)已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(－2,0)，(2,0)，并且經(jīng)過點求它的標準方程；

(2)若橢圓經(jīng)過兩點(2,0)和(0,1)，求橢圓的標準方程，并寫出焦點坐標 解

(1)方法一 因為橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為

當橢圓的焦點在y軸上時，方法二 設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． ∵橢圓過(2,0)和(0,1)兩點，【小結】1．求橢圓的標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，即先由條件確定焦點位置，設出方程，再設法求出a2，b2代入所設方程，也可以簡記為：先定位，再定量．

2．當焦點位置不確定時，可設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因為它包括焦點在x軸上(m＜n)和焦點在y軸上(m＞n)兩類情況，所以可以避免分類討論，從而達到了簡化運算的目的． [變式訓練]

(1)已知中心在原點，以坐標軸為對稱軸，橢圓過點Q(2,1)且與橢圓有公共的焦點，求橢圓的標準方程；

(2)已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過

兩點，求橢圓的標準方程．

解析：

(1)由已知的橢圓方程知：所求的橢圓的焦點在x軸上，設方程為

(2)由已知，設橢圓的方程是Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，故

即所求的橢圓標準方程是

題型三

求與橢圓有關的軌跡方程

例3.求過點P(3,0)且與圓x2＋6x＋y2－91＝0相內(nèi)切的動圓圓心的軌跡方程． 【解析】將點(3,0)代入x2＋6x＋y2－91＝－64＜0，所以點P在圓內(nèi)，圓方程配方整理得(x＋3)2＋y2＝102，圓心為C1(－3,0)，半徑為R＝10.設所求動圓圓心為C(x，y)，半徑為r，依題意有＝|CC1|?|PC|＋|CC1|＝R，即|PC|＋|CC1|＝10.又P(3,0)，C1(－3,0)，且|PC1|＝6＜10.可見動圓圓心C的軌跡是以P，C1為兩焦點的橢圓，且c＝3,2a＝10，所以a＝5，從而b＝4，故所求的動圓圓心的軌跡方程為

消去r得R－|PC|【小結】利用橢圓定義求動點軌跡方程的三個步驟

【變式訓練】已知(F為圓心)上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于P點，則動點P的軌跡方程為________．

【解析】 如圖，依題意知|PA|＝|PB|，所以|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝2，所以點P的

當堂檢測

1．設P是橢圓|PF2|等于()的點，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|＋A．4

B．8

C．6

D．18 【解析】 依定義知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.【答案】 C 2．一橢圓的兩個焦點坐標分別為F1(0，－8)，F(xiàn)2(0,8)，且橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為20，則此橢圓的標準方程()【解析】 由題意c＝8，a＝10且焦點在y軸上，∴b2＝a2－c2＝100－64＝36，∴方程為

【答案】 C

3.已知方程范圍為__________．

表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值4．已知一橢圓標準方程中b＝3，c＝4，求此橢圓的標準方程． 【解】 ∵b2＝9，c2＝16，∴a2＝b2＋c2＝25.∵此橢圓的焦點不確定，∴標準方程為

課堂小結

1．平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)，即|MF1|＋|MF2|＝2a，當2a>|F1F2|時，軌跡是橢圓；

當2a＝|F1F2|時，軌跡是一條線段F1F2； 當2a<|F1F2|時，軌跡不存在．

2．求解橢圓的標準方程一般有兩種方法：可以通過待定系數(shù)法求解，也可以通過橢圓的定義進行求解．

3．用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程時，若已知焦點的位置，可直接設出標準方程；若焦點位置不確定，可分兩種情況求解；也可設Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分類討論，達到了簡化運算的目的.板書

第三篇：橢圓及其標準方程教案2(精)

橢圓及其標準方程教案2

教學目的

(1)使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程；

(2)通過橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養(yǎng)學生分析探索能力，增強運用坐標法解決幾何問題的能力．

教學過程

一、橢圓概念的引入

第一組問題——復習提問：

1．什么叫做曲線的方程？

2．直線方程的一般形式是什么？簡述直線與二元一次方程的關系．

3．圓的一般方程是什么？主要特征是什么？

對上述問題學生的回答基本正確，如一般同學均能初步了解曲線方程的意義，理解直線與二元一次方程Ax＋By＋C＝0是一一對應關系，掌握圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，它是關于x、y的二元二次方

22程，且具有以下重要特征：(1)x與y的系數(shù)都是1；(2)缺xy這樣的項；(3)D2＋E2－4F＞0．

[溫故而知新，以舊帶新，便于引導學生在已有的知識基礎上去探求新知識．]

第二組問題——引導學生聯(lián)想、歸納、分析、發(fā)現(xiàn)新問題：

1．如前所述，每一個二元一次方程都表示一條直線，那么每一個二元二次方程是否都表示圓，若不是，具備什么條件下它所表示的曲線就不是圓？

對此問題學生一般能回答：“當x2與y2系數(shù)不相等時或xy項的系數(shù)不為零[有的同學指出不滿足上述條件(3)時]，這樣的方程所表示的曲線都不是圓．”

2．圓的幾何特征是什么？

一般學生能回答：“圓上任意一點到圓心(定點)的距離等于半徑(定長)”．這時要進一步提問：“除上述特征外，你還能說出具有哪些特征的點的軌跡也是圓？”啟發(fā)學生回憶所學的例題、習題中有關的軌跡命題．學生翻閱課本后能回答：

“到兩定點距離平方和為常量的動點軌跡是圓．”

“到兩定點距離之比為一常量的動點軌跡也是圓．”

(對此，經(jīng)提示，有學生補充這一常量應不等于1，否則為線段的垂直平分線．)

“到兩定點連線斜率乘積等于－1的動點軌跡也是圓．”(當然還應除去兩定點．)

[啟發(fā)學生對已有的知識進行歸納、提煉，以便為新概念的引入作好自然的鋪墊．]

第三組問題——深入思考與探索：

1．一般二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0既然不完全表示圓，那么它還可能表示什么樣的曲線呢？當系數(shù)A、B、C、D、E取各種不同數(shù)值時，相應的方程代表的曲線將有什么差別呢？能否找到一般性規(guī)律，得出這些曲線的大致形象？

這些問題并不一定要求學生回答，旨在引起學生積極思考，激發(fā)學生強烈的探索欲望．

2．如上，我們已經(jīng)知道“到兩定點距離平方和為常量”或“到兩定點距離之比為常量”的點的軌跡，你是否可類似地提出一些軌跡命題作更廣泛的探索？

類比的能力大部分學生是具備的(盡管程度有差別)，經(jīng)過教師啟發(fā)引導，學生們會提出下列軌跡命題，如：

“到兩定點距離之和等于常量的動點軌跡．”

“到兩定點距離平方差等于常量的動點軌跡．”

“到兩定點距離之差等于常量的動點軌跡．”

“到定點與定直線距離相等的動點軌跡．”

以上是學生受到已做習題的啟發(fā)而提出的．

還有學生通過類比提出：

“到兩定點距離的立方和(差)等于常量的動點軌跡”；“到定點與定直線距離的比為常量的動點軌跡”；“到定點與定直線的距離和(差)等于常量的動點軌跡”；等等．

對同學們這種大膽設想，勇于探索的精神教師予以大力肯定，表示贊賞，并指出同學們所提出的這些問題正是我們后一段學習中要逐步解決的問題，而同學們自己也可運用坐標法探求它們的方程，根據(jù)方程描點畫圖，也可設法用實驗方法描繪具有這些特征的幾何圖形．

[以上從方程與曲線兩方面，也就是從數(shù)與形兩條“線路”引導學生聯(lián)想、分析、探索，這樣，引出新曲線的概念已是水到渠成了．]

譬如說，同學們提出的“若動點到兩定點距離之和等于常量，則此動點軌跡是什么？請同學們不妨嘗試一下，看看能否設計一種 繪圖方法，畫出符合這種幾何條件的軌跡．

(課前要求學生準備圖釘若干，細線一根．)

學生紛紛動手，相互磋商，觀摩，不一會大部分同學已畫出；再讓一個學生在黑板上用準備好的工具演示，同學們都高興地叫起來，軌跡是橢圓！

教師問：“橢圓，在哪些地方見過？”

有的學生說：“立體幾何中圓的直觀圖．”

(立體幾何中采取的也是近似畫法，但教材中已提出橢圓名稱．)

有的學生說：“人造衛(wèi)星運行軌道．”

(這是學生從物理課本中了解的．)

有的學生說：“餅干罐頭盒，灑水車，裝油車等．”

教師指出：確切地說，應是它們的橫截面的輪廓線．

[按學生認識規(guī)律與心理特征引導學生自己分析、探索、啟發(fā)學生認識新的概念，至于新概念在實際中的形象也放手讓學生自己對照、回顧，增強實踐感受，這樣更有利于學生學習能力的培養(yǎng)．]

在上述基礎上，引導學生概括橢圓定義．學生開始只強調(diào)主要幾何特征——到兩定點距離之和等于常量．這時教師通過演示(將穿有粉筆的細線拉到黑板平面外)啟發(fā)學生思考．學生認識到需加上限制條件：“在平面內(nèi)．”教師則追問：“否則會形成什么幾何圖形？”學生想象到是橢球形．教師邊演示邊提示學生注意：這里的常量有什么限制嗎？若這個常量等于兩定點距離？小于呢？學生認識到，這時都不可能形成橢圓，前者變成了線段，后者軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常量大于兩定點之間的距離．”

這樣，學生得出了完整的橢圓定義：平面內(nèi)到兩定點的距離之和等于常數(shù)(大于兩定點距離)的點的軌跡叫做橢圓．

教師順便指出：我們規(guī)定其中兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點之間的距離叫做焦距．

二、推導橢圓的標準方程

給出橢圓的定義后，教師即可提出：由橢圓定義，可以知道它的基本幾何特征，但對于這種新曲線還具有哪些性質(zhì)，我們幾乎一無所知，因此需要利用坐標法先建立橢圓的方程．

[讓學生明確思維的目的，才能調(diào)動學生思維的積極性．]

如何建立曲線方程？首先應建立適當?shù)淖鴺讼担⒆鴺讼禃r，一般應符合簡單和諧化的原則．如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性．

[讓學生在思考議論中加強對這種優(yōu)化原則的認識．]

這樣，大多數(shù)學生認識到下列選取方法是適宜的：

以兩定點F1．F2的連線為x軸；以線段F1F2的垂直平分線為y軸，設|F1F2|＝2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任一點，則有F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)．

下面讓學生利用兩點間距離公式，根據(jù)橢圓定義即可寫出橢圓的方程

[正確選取坐標系是解析幾何解題的基本技巧之一，教學中應著重培養(yǎng)學生這方面的能力．]

教師指出：上面所得方程直接反映了橢圓定義所確定的橢圓本質(zhì)屬性，但為了更進一步利用方程探討橢圓其他性質(zhì)，需要盡量簡化方程形式，使數(shù)量關系更加明朗化．

(化簡方程可讓學生完成．)

多數(shù)學生利用初中簡化無理方程的一般方法進行，移項后兩邊平方逐步化去根號，與教材中化簡過程類似，教師在巡回觀察指導中，啟發(fā)幾個反映較快的學生仔細觀察兩個根號下代數(shù)式的特征，設法先化去其中一個根號．即將等式

[(x＋c)2＋y2]－[(x－c)2＋y2]＝4cx，兩邊分別除以方程兩邊，即得

與原方程聯(lián)立易得

注意a＞c，則可得

為使方程更為對稱和諧起見，由a2－c2＞0，令a2－c2＝b2，則得方程

[坐標法即用代數(shù)方法研究幾何問題，因此熟練運用代數(shù)變形技巧是十分重要的，學生常因運算能力不強而功虧一簣．缺乏一定的運算能力在解析幾何中幾乎是寸步難行，因此教學中必須注意不失時機加強運算技能的訓練！]

關于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，教師可簡要作些提示：

若點(x′，y′)適合方程

則此點應在橢圓上，事實上由

由上述變形逆推即可得

注意到a＞c，且|x′|≤a，則可知

即點(x′，y′)到兩定點F1和F2距離之和為2a．

故點(x′，y′)必在橢圓上．

教師指出：由于我們恰當?shù)剡x取了坐標系，充分運用了圖形的對稱特征，因此得到的方程簡單、對稱，具有和諧美，特別便于根據(jù)方程分析研究橢圓許多有趣的性質(zhì)．這一簡化的方程稱為橢圓的標準方程(焦點在x軸上)．

三、供課后思考的參考題

1．推導橢圓方程時，若使焦點在y軸上[即為F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)]，你能知道此時方程形式嗎？它與焦點在x軸上的方程有何聯(lián)系？

(1)橢圓的對稱性；(2)橢圓的范圍及常數(shù)a、b具有什么幾何特征；(3)這一方程與圓x2＋y2＝a2作一比較，兩者有何聯(lián)系？由兩方程分別得出

回顧三角函數(shù)圖像y＝Asinx與y＝sinx的關系你能提出什么設想？

等式中發(fā)現(xiàn)橢圓的又一重要特征嗎？

教案說明

(1)這份教案是針對重點中學班級設計的，也在筆者所在學校不止一次實施過．教案設計的基本指導思想是著眼于提高學生學習數(shù)學的自覺性與基本學習能力，增強課堂教學的啟發(fā)性與培養(yǎng)性，因此教學安排與一般設想不同．目前教學中常受考試干擾，比較注重實用性與所謂“硬指標”．如本節(jié)課常常直接給出定義，盡快得出兩種標準方程，舉例示范，使學生課外能學會使用方程解答課本習題．而這份教案卻花一定氣力引導學生回顧、探索、分析，然后引出橢圓的概念，隨后只建立了焦點在x軸上的標準方程，并沒有要求學生會使用；另外關于由方程研究橢圓性質(zhì)常常安排在后面的課內(nèi)，這里卻又提前讓學生思考，似乎都是“軟指標”，在考試中也不一定用得上．不同的設想反映出不同的著眼點與數(shù)學教學目的的認識差別，把知識與方法作為結果給予學生，還是著重引導學生領悟獲得這些結果的思想與方法，是把學生作為接受教師傳授知識的客體，還是增強學生的內(nèi)在活力，使學生成為自覺主動學習的主體．本教案如前所述，重點放在概念引入與方程建立的思維過程上，從圓錐曲線整體結構考慮，讓學生獲得比較完整的認識過程，初步建立起總體思維框架，至于結果的熟練與運用在以后的逐步強化訓練中是不難達到的．教學的實踐也證明，這樣是有利于學生基本數(shù)學素質(zhì)的提高，在以后的雙曲線、拋物線的教學中可見其成效．

(2)這份教案設計的另一思想是探索在基礎知識教學過程中如何加強學生能力的培養(yǎng)．數(shù)學上每一個重要概念的引入與定義，每一個重要定理(法則、公式)的發(fā)現(xiàn)與推證，幾乎都歷經(jīng)前人長期觀察、比較、分析、抽象、概括、創(chuàng)造的漫長過程．這樣長期的探索過程中往往蘊含著數(shù)學中一些重要的思想方法，對思維有著重要的啟迪作用，教學中若不充分認識甚至放棄這些絕好的培養(yǎng)機會，將是教學上的重大失策．當然，作為教學不必要(也不可能)完全重復前人漫長的探索過程，但若細心體會、抓住方法的精神實質(zhì)，精心組織設計，創(chuàng)造良好情景，就可使多數(shù)學生處于亢奮狀態(tài)，增強探索者的自信心理，學習前人的探究精神，逐步領會其中的主要思想方法．在教學中長期堅持這樣做，必可大大提高學生的思維素質(zhì)與學習能力，使教學獲得良好的效果．

第四篇：橢圓標準方程教學設計

橢圓標準方程推導教學設計

類比的思想學：新舊知識的類比。

引入：自然界處處存在著橢圓，我們?nèi)绾斡米约旱碾p手精確的畫出橢圓呢？

回憶圓的畫法：一個釘子，一根繩子，釘子固定，繩子的一端系于釘子上，抓住繩子的另一端，固定繩子的長度，繞釘子旋轉(zhuǎn)一圈就得到圓。

下面我們介紹橢圓的畫法：找兩個釘子和一根繩子，把兩個釘子固定，兩個釘子的距離小于繩子的長度，把繩子的兩端分別系在兩個釘子上，繃緊繩子旋轉(zhuǎn)一周就得到橢圓。（以上是畫法上的對比）

回憶圓的定義：平面上到頂點的距離等于定長的點的集合。

（根據(jù)剛才橢圓的畫法及類比圓的定義，歸納得出橢圓的定義。）橢圓的定義：平面上到兩個定點F1,F2的距離之和為定值（大于F1F2）的點的集合。

（以上是定義上的對比）

怎樣推導橢圓的標準方程呢？（類比圓的標準方程的推導步驟）求動點方程的一般步驟：坐標法

（1）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担糜行驅(qū)崝?shù)對(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標；（2）寫出適合條件P(M)；（3）用坐標表示P(M)，列數(shù)方程；（4）化方程為最簡形式。

y?探討建立平面直角坐標系的方案yyyF1OOO設P(x, y)是橢圓上任意一點，yF2Ｐ(x , y)xF10F2yMMOF2橢圓的焦距|F1F2|=2c(c>0)，則F1、F2的坐標分別是(?c,0)、(c,0).xF1xxxOP與F1和F2的距離的和為固定值2a(2a>2c)由橢圓的定義得，限制條件：|PF1|?|PF2|?2a由于得方程|PF1|?(x?c)2?y2,|PF2|?(x?c)2?y2x方案一方案二原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；(一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸.)(對稱、“簡潔”)(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?2a（問題：下面怎樣化簡？）移項，再平方(x?c)2?y2?4a2?4a(x?c)2?y2?(x?c)2?y2a2?cx?a兩邊再平方，得剛才我們得到了焦點在x軸上的橢圓方程，如何推導焦點在y軸上的橢圓的標準方程呢？由橢圓的定義得，限制條件：|PF1|?|PF2|?2a由于得方程|PF1|?x2?(y?c)2,|PF2|?x2?(y?c)2(x?c)2?y2a4?2a2cx?c2x2?a2x2?2a2cx?a2c2?a2y2整理得(a2?c2)x2?a2y2?a2(a2?c2)由橢圓定義可知2a?2c,即a?c,所以x2?(y?c)2?x2?(y?c)2?2aa2?c2?0,設a2?c2?b2(b?0),（問題：下面怎樣化簡？）b2x2?a2y2?a2b2兩邊除以a2b2得x2y2??1(a?b?0).a2b2橢圓的標準方程x2y2??1(a?b?0).a2b2焦點在x軸(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?2a?再認識！?橢圓的標準方程的特點：YMMF1(-c,0)OF2(c,0)XOF1(0,-c)XYF2(0 , c)標準方程x2y2+=1 ?a>b>0?a2b2yPx2y2+=1 ?a>b>0?b2a2yF2Pxx2y2??1(a?b?0)a2b2y2x2??1(a?b?0)a2b2不同點圖形F1OF2xOF1焦點坐標F1?-c , 0?，F(xiàn)2?c , 0?F1?0?,?-c?，F(xiàn)2?0?,?c?（1）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標準方程中三個參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標準方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。（4）橢圓的標準方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。相同點定義a、b、c 的關系焦點位置的判斷平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡a2=b2+c2分母哪個大，焦點就在哪個軸上

第五篇：《橢圓及其標準方程》教學設計

《橢圓及其標準方程》教學設計

山西省太原師范學院附屬中學 薛翠萍

一、教學內(nèi)容解析

橢圓的定義是一種發(fā)生性定義，教學內(nèi)容屬概念性知識，是通過描述橢圓形成過程進行定義的作為橢圓本質(zhì)屬性的揭示和橢圓方程建立的基石，理應作為本堂課的教學重點 同時，橢圓的標準方程作為今后研究橢圓性質(zhì)的根本依據(jù)，自然成為本節(jié)課的另一教學重點

學生對“曲線與方程”的內(nèi)在聯(lián)系(數(shù)形結合思想的具體表現(xiàn))僅在“圓的方程”一節(jié)中有過一次感性認識

但由于學生比較了解圓的性質(zhì)，從“曲線與方程”的內(nèi)在聯(lián)系角度來看，學生并未真正有所感受

所以，橢圓定義和橢圓標準方程的聯(lián)系成為了本堂課的教學難點

圓錐曲線是平面解析幾何研究的主要對象

圓錐曲線的有關知識不僅在生產(chǎn)、日常生活和科學技術中有著廣泛的應用，而且是今后進一步數(shù)學的基礎 教科書以橢圓為學習圓錐曲線的開始和重點，并以之來介紹求圓錐曲線方程和利用方程討論幾何性質(zhì)的一般方法，可見本節(jié)內(nèi)容所處的重要地位

通過本節(jié)學習，學生一方面認識到一般橢圓與圓的區(qū)別與聯(lián)系，另一方面也為后面利用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)以及為學生類比橢圓的研究過程和方法，學習雙曲線、拋物線奠定了基礎

學習過程啟發(fā)學生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于思考，學會分析問題和創(chuàng)造地解決問題；培養(yǎng)學生抽象概括能力和邏輯思維能力

二、教學目標設置：

1．知識與技能目標

(1)學生能掌握橢圓的定義 明確焦點、焦距的概念．

(2)學生能推導并掌握橢圓的標準方程．

(3)學生在學習過程中進一步感受曲線方程的概念，體會建立曲線方程的基本方法，運用數(shù)形結合的數(shù)學思想方法解決問題．

2．過程與方法目標：

(1)學生通過經(jīng)歷橢圓形成的情境感知橢圓的定義并親自參與歸納．培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認識規(guī)律的能力．

(2)學生類比圓的方程的推導過程嘗試推導橢圓標準方程，培養(yǎng)學生利用已知方法解決實際問題的能力．

(3)在橢圓定義的獲得和其標準方程的推導過程中進一步滲透數(shù)形結合等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法．

3．情感態(tài)度與價值觀目標：

（1）通過橢圓定義的獲得讓學生感知數(shù)學知識與實際生活的密切聯(lián)系培養(yǎng)學生探索數(shù)學知識的興趣并感受數(shù)學美的熏陶．

（2）通過標準方程的推導培養(yǎng)學生觀察,運算能力和求簡意識并能懂得欣賞數(shù)學的“簡潔美”．

（3）通過師生、生生的合作學習，增強學生團隊協(xié)作能力的培養(yǎng)，增強主動與他人合作交流的意識．

三、學生學情分析

1．能力分析

①學生已初步掌握用坐標法研究直線和圓的方程，②對含有兩個根式方程的化簡能力薄弱．

2．認知分析

①學生已初步熟悉求曲線方程的基本步驟，②學生已經(jīng)掌握直線和圓的方程,對曲線的方程的概念有一定的了解，③學生已經(jīng)初步掌握研究直線和圓的基本方法．

3．情感分析

學生具有積極的學習態(tài)度，強烈的探究欲望，能主動參與研究．

四、教學策略分析

教學中通過創(chuàng)設情境，充分調(diào)動學生已有的學習經(jīng)驗，讓學生經(jīng)歷 “創(chuàng)設情境——總結概括——啟發(fā)引導——探究完善——實際應用” 的過程，發(fā)現(xiàn)新的知識，又通過實際操作，使剛產(chǎn)生的數(shù)學知識得到完善，提高了學生動手動腦的能力和增強了研究探索的綜合素質(zhì)．

課堂教學中創(chuàng)設問題的情境，激發(fā)學生主動的發(fā)現(xiàn)問題解決問題，充分調(diào)動學生學習的主動性、積極性；有效地滲透數(shù)學思想方法，發(fā)展學生思維品質(zhì)，這是本節(jié)課的教學原則．根據(jù)這樣的原則及所要完成的教學目標，我采用如下的教學方法和手段：

1．引導發(fā)現(xiàn)法：用課件演示動點的軌跡，啟發(fā)學生歸納、概括橢圓定義．

2．探索討論法：由學生通過聯(lián)想、歸納把原有的求軌跡方法遷移到新情況中，有利于學生對知識進行主動建構；有利于突出重點，突破難點，發(fā)揮其創(chuàng)造性．

這兩種方法是適應新課程體系的一種全新教學模式，它能更好地體現(xiàn)學生的主體性，實現(xiàn)師生、生生交流，體現(xiàn)課堂的開放性與公平性．

在教學中適當利用多媒體課件輔助教學，增強動感及直觀感，增大教學容量，提高教學質(zhì)量．

五、教學過程：

（一）復習引入

1．說一說你對生活中橢圓的認識．伴隨圖片展示使同學們感到橢圓就在我們身邊．

意圖：（1）、從學生所關心的實際問題引入，使學生了解數(shù)學來源于實際．

（2）、使學生更直觀、形象地了解后面要學的內(nèi)容；

2． 手工操作演示橢圓的形成：取一條定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上同一定點，套上筆拉緊繩子，移動筆尖畫出的軌跡是圓．再將這一條定長的細繩的兩端固定在畫圖板上的兩定點，當繩長大于兩點間的距離時，用鉛筆把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓隨后動畫呈現(xiàn)．

意圖：

(1)通過畫圖給學生提供一個動手操作、合作學習的機會；調(diào)動學生學習的積極性

(2)多媒體演示向?qū)W生說明橢圓的具體畫法，更直觀形象．

（二）講解新課 由學生畫圖及教師演示橢圓的形成過程，引導學生歸納定義．橢圓定義：

平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)2a的點的軌跡叫作橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距

練習1：已知兩個定點坐標分別是(-4,0)、（4，0），動點P到兩定點的距離

之和等于8，則P點的軌跡是

練習2：已知兩個定點坐標分別是(-4,0)、（4，0），動點P到兩定點的距離

之和等于6，則P點的軌跡是

通過兩個練習思考：橢圓定義需要注意什么（2a大于

意圖：讓學生通過練習反思畫圖，歸納定義，理解定義，突破了重點．

（1）、當2a>|F1F2|時，是橢圓；（2）、當2a=|F1F2|時，是線段；（3）、當2a<|F1F2|軌跡不存在．）

2．根據(jù)定義推導橢圓標準方程：

要求

（1）學生在畫板上建立適當?shù)淖鴺讼?，?）根據(jù)定義推導橢圓的標準方程．

同時引導學生類比圓回顧解析幾何研究問題的特點及求軌跡方程步驟

意圖：讓學生自己去建系推導橢圓的標準方程，給學生較多的思考問題的時間和空間，變“被動”為“主動”，變“灌輸簡潔美”為“發(fā)現(xiàn)簡潔美”．教師結合猜想加以引導．化簡無理方程為難點通過發(fā)現(xiàn)問題解決問題突破難點．

正確推導過程如下：

解：取過焦點

設

則，又設M與

距離之和等于

（）（常數(shù)）為橢圓上的任意一點，橢圓的焦距是

（）． 的直線為軸，線段的垂直平分線為

軸，化簡，得

由定義義）

令 代入，得，,（學生通過自己畫圖建系的過程找到的幾何意，兩邊同除得

此即為橢圓的一個標準方程

它所表示的橢圓的焦點在軸上，焦點是程

學生思考：若坐標系的選取不同，可得到橢圓的不同的方程

如果橢圓的焦點在軸上（選取方式不同，調(diào)換

軸）焦點則變成，中心在坐標原點的橢圓方,只要將方程

中的調(diào)換，即可得，也是橢圓的標準方程

請學生觀察歸納兩個方程的特征，從而區(qū)別焦點在不同坐標軸上的橢圓標方程；過程中要滲透數(shù)學對稱美教學．

理解：所謂橢圓標準方程，一定指的是焦點在坐標軸上，且兩焦點的中點為坐標原點；在個軸上即看 與這兩個標準方程中，都有分母的大小 的要求，因而焦點在哪3．精心設計課堂練習使學生在實際應用中進一步鞏固知識，運用知識突破重難點：

（1）判斷下列方程是否表上橢圓，若是，求出 的值 ① ；②；③；④

意圖：學生感悟橢圓標準方程的結構特點．

（2）橢圓上一點P到一個焦點的距離為5，則P到另一個焦點的距離為）

A．5

B．6 C．4

D．10

意圖：學生理解橢圓定義與標準方程關系．

（3）橢圓的焦點坐標是（）

A．(±5，0)

B．(0，±5)C．(0，±12)

意圖：學生感悟橢圓標準方程中焦點位置以及a，b，c的關系．

（4）化簡方程：

意圖：培養(yǎng)學生運用知識解決問題的能力．



．(±12，0)（D