第一篇：熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理復(fù)習(xí)總結(jié)及相關(guān)試題

《熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理》考試大綱

第一章 熱力學(xué)的基本定律

基本概念：平衡態(tài)、熱力學(xué)參量、熱平衡定律

溫度，三個實(shí)驗(yàn)系數(shù)（α，β，?T）轉(zhuǎn)換關(guān)系，物態(tài)方程、功及其計(jì)算，熱力學(xué)第一定律（數(shù)學(xué)表述式）熱容量（C，CV，Cp的概念及定義），理想氣體的內(nèi)能，焦耳定律，絕熱過程及特性，熱力學(xué)第二定律（文字表述、數(shù)學(xué)表述），可逆過程克勞修斯不等式，熱力學(xué)基本微分方程表述式，理想氣體的熵、熵增加原理及應(yīng)用。綜合計(jì)算：利用實(shí)驗(yàn)系數(shù)的任意二個求物態(tài)方程，熵增（ΔS）的計(jì)算。

第二章

均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)

基本概念：焓（H），自由能F，吉布斯函數(shù)G的定義，全微公式，麥克斯韋關(guān)系（四個）及應(yīng)用、能態(tài)公式、焓態(tài)公式，節(jié)流過程的物理性質(zhì)，焦湯系數(shù)定義及熱容量（Cp）的關(guān)系，絕熱膨脹過程及性質(zhì)，特性函數(shù)F、G，空窖輻射場的物態(tài)方程，內(nèi)能、熵，吉布函數(shù)的性質(zhì)。

綜合運(yùn)用：重要熱力學(xué)關(guān)系式的證明，由特性函數(shù)F、G求其它熱力學(xué)函數(shù)（如S、U、物態(tài)方程）

第三章、第四章 單元及多元系的相變理論

該兩章主要是掌握物理基本概念：

熱動平衡判據(jù)（S、F、G判據(jù)），單元復(fù)相系的平衡條件，多元復(fù)相系的平衡條件，多元系的熱力學(xué)函數(shù)及熱力學(xué)方程，一級相變的特點(diǎn)，吉布斯相律，單相化學(xué)反應(yīng)的化學(xué)平衡條件，熱力學(xué)第三定律標(biāo)準(zhǔn)表述，絕對熵的概念。

統(tǒng)計(jì)物理部分

第六章

近獨(dú)立粒子的最概然分布

基本概念：能級的簡并度，?空間，運(yùn)動狀態(tài)，代表點(diǎn)，三維自由粒子的?空

??間，德布羅意關(guān)系（?＝??，P??k），相格，量子態(tài)數(shù)。

等概率原理，對應(yīng)于某種分布的玻爾茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)的計(jì)算公式，最概然分布，玻爾茲曼分布律（al??le（Z1??????l）配分函數(shù)

NZ1??lel???l??se???s），用配分函數(shù)表示的玻爾茲曼分布（Z1?1hr0al??el???l），fs，Pl，Ps的概念，經(jīng)典配分函數(shù)（）麥態(tài)斯韋速度分布律。

綜合運(yùn)用：

能計(jì)算在體積V內(nèi)，在動量范圍P→P+dP內(nèi)，或能量范圍ε→ε+dε內(nèi)，粒子的量子態(tài)數(shù)；了解運(yùn)用最可幾方法推導(dǎo)三種分布。

第七章

玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)

基本概念：熟悉U、廣義力、物態(tài)方程、熵S的統(tǒng)計(jì)公式，乘子α、β的意義，玻爾茲曼關(guān)系（S＝KlnΩ），最可幾率Vm，平均速度V，方均根速度Vs，能量均分定理。

綜合運(yùn)用：

能運(yùn)用玻爾茲曼經(jīng)典分布計(jì)算理想氣體的配分函數(shù)內(nèi)能、物態(tài)方程和熵；能運(yùn)

1???e???ldu用玻爾茲曼分布計(jì)算諧振子系統(tǒng)（已知能量ε＝（n+2）??）的配分函數(shù)內(nèi)能和熱容量。

第八章

玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì)

基本概念：

光子氣體的玻色分布，分布在能量為εfs?1??s的量子態(tài)s的平均光子數(shù)eKT?1）（，T＝0k時，自由電子的費(fèi)米分布性質(zhì)（fs=1），費(fèi)米能量?(0)，費(fèi)米動量PF，T＝0k時電子的平均能量，維恩位移定律。

綜合運(yùn)用：掌握普朗克公式的推導(dǎo)；T＝0k時，電子氣體的費(fèi)米能量?(0)計(jì)算，T=0k時，電子的平均速率V的計(jì)算，電子的平均能量?的計(jì)算。

第九章

系綜理論

基本概念：

?空間的概念，微正則分布的經(jīng)典表達(dá)式、量子表達(dá)式，正則分布的表達(dá)式，正則配分函數(shù)的表達(dá)式。

經(jīng)典正則配分函數(shù)。

不作綜合運(yùn)用要求。

四、考試題型與分值分配

1、題型采用判斷題、單選題、填空題、名詞解釋、證明題及計(jì)算題等六種形式。

2、判斷題、單選題占24％，名詞解釋及填空題占24％，證明題占10％，計(jì)算題占42％。

《熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理》復(fù)習(xí)資料

一、單選題

1、彼此處于熱平衡的兩個物體必存在一個共同的物理量，這個物理量就是（）

①態(tài)函數(shù) ②內(nèi)能 ③溫度 ④熵

2、熱力學(xué)第一定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫為（）

①UB?UA?Q?W

②UA?UB?Q?W ③UB?UA?Q?W

④UA?UB?Q?W

VT，則氣體經(jīng)

3、在氣體的節(jié)流過程中，焦湯系數(shù)?=CP，若體賬系數(shù)節(jié)流過程后將（）

①溫度升高 ②溫度下降 ③溫度不變 ④壓強(qiáng)降低

4、空窖輻射的能量密度u與溫度T的關(guān)系是（）

（T??1）??

1①u?aT

②u?aVT

③u?aVT

④u?aT

5、熵增加原理只適用于（）

①閉合系統(tǒng) ②孤立系統(tǒng) ③均勻系統(tǒng) ④開放系統(tǒng)

6、在等溫等容的條件下，系統(tǒng)中發(fā)生的不可逆過程，包括趨向平衡的過程，總是朝著（）

①G減少的方向進(jìn)行 ②F減少的方向進(jìn)行 ③G增加的方向進(jìn)行 ④F增加的方向進(jìn)行

7、從微觀的角度看，氣體的內(nèi)能是（）

①氣體中分子無規(guī)運(yùn)動能量的總和

②氣體中分子動能和分子間相互作用勢能的總和 ③氣體中分子內(nèi)部運(yùn)動的能量總和

④氣體中分子無規(guī)運(yùn)動能量總和的統(tǒng)計(jì)平均值

8、若三元Ф相系的自由度為2，則由吉布斯相律可知，該系統(tǒng)的相數(shù)Ф是（）334

4①3

②2

③1

④0

9、根據(jù)熱力學(xué)第二定律可以證明，對任意循環(huán)過程L，均有

?

①??TL?0?

②

??TL?0

③???TL＝0?

④

??TL＝?S

10、理想氣體的某過程服從PVr＝常數(shù)，此過程必定是（）

①等溫過程

②等壓過程

③絕熱過程

④多方過程

11、卡諾循環(huán)過程是由（）

①兩個等溫過程和兩個絕熱過程組成

②兩個等壓過程和兩個絕熱過程組成 ③兩個等容過程和兩個絕熱過程組成 ④兩個等溫過程和兩個絕熱過程組成

12、下列過程中為可逆過程的是（）

①準(zhǔn)靜態(tài)過程

②氣體絕熱自由膨脹過程

③無摩擦的準(zhǔn)靜態(tài)過程

④熱傳導(dǎo)過程

13、理想氣體在節(jié)流過程前后將（）

①壓強(qiáng)不變

②壓強(qiáng)降低

③溫度不變

④溫度降低

14、氣體在經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程后將（）

①保持溫度不變

②保持壓強(qiáng)不變

③保持焓不變

④保持熵不變

15、熵判據(jù)是基本的平衡判據(jù)，它只適用于（）

①孤立系統(tǒng)

②閉合系統(tǒng)

③絕熱系統(tǒng)

④均勻系統(tǒng)

16、描述N個三維自由粒子的力學(xué)運(yùn)動狀態(tài)的μ空間是（）

①6維空間

②3維空間

③6N維空間

④3N維空間

17、服從玻爾茲曼分布的系統(tǒng)的一個粒子處于能量為εl的概率是（）

Z1Z1Z1N

①

②

③

④

18、T＝0k時電子的動量PF稱為費(fèi)米動量，它是T＝0K時電子的（）

①平均動量

②最大動量

③最小動量

④總動量

19、光子氣體處于平衡態(tài)時，分布在能量為εs的量子態(tài)s的平均光子數(shù)為（）

1????sPl＝1e???lPl＝?le???lPl＝1e???lPl＝1e?????l1??1????s1???②eKT?1

③e?1

④eKT?1

①e20、由N個單原子分子構(gòu)成的理想氣體，系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)在?空間占據(jù)的相體積是（）

①h

②h

③h

④h

21、服從玻耳茲曼分布的系統(tǒng)的一個粒子處于能量為εs的量子態(tài)S的概率是（）

①Ps?Ps?3N6N361N1Nee?????s

②Ps?e???s?????s

③

④

22、在T＝0K時，由于泡利不相容原理限制，金屬中自由電子從能量ε＝0狀態(tài)起依次填充之?(0)為止，?(0)稱為費(fèi)米能量，它是0K時電子的（）

①最小能量

②最大能量

③平均能量

④內(nèi)能

23、平衡態(tài)下，溫度為T時，分布在能量為εs的量子態(tài)s的平均電子數(shù)是（）

Ps?e???sfs?1??ufs??②

1?①fs?eKTeKT?1 1?1?ufs???ueKT?1

④eKT?1 ③

24、描述N個自由度為1的一維線性諧振子運(yùn)動狀態(tài)的μ空間是（）

①1維空間

②2維空間

③N維空間

④2N維空間

25、玻色分布和費(fèi)米分布都過渡到玻耳茲曼分布的條件（非簡并性條件）是（）

①e?②e?1

③e??1

④e??1

26、由N個自由度為1的一維線性諧振子構(gòu)成的系統(tǒng)，諧振子的一個運(yùn)動狀態(tài)在μ空間占據(jù)的相體積是（）

2N2N①h ②h ③h ④h

27、由N個自由度為1的一維線性諧振子構(gòu)成的系統(tǒng)，其系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)在?空間占據(jù)的相體積是（）

2N2N①h ②h ③h ④h

28、由兩個粒子構(gòu)成的費(fèi)米系統(tǒng)，單粒子狀態(tài)數(shù)為3個，則系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為（）

①3個 ②6個 ③9個 ④12個

29、由兩個玻色子構(gòu)成的系統(tǒng)，粒子的個體量子態(tài)有3個，則玻色系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為（）

①3個 ②6個 ③9個 ④12個 30、微正則分布的量子表達(dá)式可寫為（）

? ①?s?e ②?s?e

③?s??

④

二、判斷題

1、無摩擦的準(zhǔn)靜態(tài)過程有一個重要的性質(zhì)，即外界在準(zhǔn)靜態(tài)過程中對系統(tǒng)的作用力，可以用描寫系統(tǒng)平衡狀態(tài)的參量表達(dá)出來。（）

CP?????????s?

12、在P-V圖上，絕熱線比等溫線陡些，是因?yàn)閞=CV。（）

3、理想氣體放熱并對外作功而壓強(qiáng)增加的過程是不可能的。（）

4、功變熱的過程是不可逆過程，這說明熱要全部變?yōu)楣κ遣豢赡艿?。（?/p>

5、絕熱過程方程對準(zhǔn)靜態(tài)過程和非準(zhǔn)表態(tài)過程都適用。（）

6、在等溫等容過程中，若系統(tǒng)只有體積變化功，則系統(tǒng)的自由能永不增加。（）

7、多元復(fù)相系的總焓等于各相的焓之和。（）

8、當(dāng)孤立系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)時，其熵必定達(dá)到極大值。（）

9、固相、液相、氣相之間發(fā)生一級相變時，有相變潛熱產(chǎn)生，有比容突變。

10、膜平衡時，兩相的壓強(qiáng)必定相等。（）

11、粒子和波動二象性的一個重要結(jié)果是微觀粒子不可能同時具有確定的動量和坐標(biāo)。（）

12、構(gòu)成玻耳茲曼系統(tǒng)的粒子是可分辨的全同近獨(dú)立粒子。（）

13、具有完全相同屬性的同類粒子是近獨(dú)立粒子。（）

14、玻色系統(tǒng)的粒子是不可分辨的，且每一個體量子態(tài)最多能容納一個粒子。（）

15、定域系統(tǒng)的粒子可以分辨，且遵從玻耳茲曼分布。（）

16、熱量是熱現(xiàn)象中特有的宏觀量，它沒有相應(yīng)的微觀量。（）

?117、玻爾茲曼關(guān)系S=KlnΩ只適用于平衡態(tài)。（）

18、T=0k時，金屬中電子氣體將產(chǎn)生巨大的簡并壓，它是泡利不相容原理及電子氣的高密度所致。（）

三、填空題

1、孤立系統(tǒng)的熵增加原理可用公式表示為（）。

2、一孤立的單元兩相系，若用指標(biāo)α、β表示兩相，則系統(tǒng)平衡時，其相變平衡條件可表示為（）。

3、吉布斯相律可表示為f=k+z-Ф，則對于二元系來說，最多有（）相平衡。

4、熱力學(xué)系統(tǒng) 由初始狀態(tài)過渡到平衡態(tài)所需的時間稱為（）。

5、熱力學(xué)第二定律告訴我們，自然界中與現(xiàn)象有關(guān)的實(shí)際過程都是（）。

6、熱力學(xué)第二定律的普遍數(shù)學(xué)表達(dá)式為（）。

dP7、克拉珀瓏方程dT?LT?v中，L的意義表示1mol物質(zhì)在溫度不變時由?相轉(zhuǎn)變到?相時所吸收的（）。

8、在一般情況下，整個多元復(fù)相系不存在總的焓，僅當(dāng)各相的（）相同時，總的焓才有意義。

9、如果某一熱力學(xué)系統(tǒng)與外界有物質(zhì)和能量的交換，則該系統(tǒng)稱為（）。

10、熱力學(xué)基本微分方程dU=（）。

11、單元系開系的熱力學(xué)微分方程dU=（）。

12、單相化學(xué)反應(yīng)的化學(xué)平衡條件可表示為（）。

13、在s、v不變的情形下，平衡態(tài)的（）最小。

14、在T、V不變的情形下，可以利用（）作為平衡判據(jù)。

15、設(shè)氣體的物態(tài)方程為PV=RT，則它的體脹系數(shù)?＝（）。

16、當(dāng)T→0時，物質(zhì)的體脹系數(shù)?（）。

17、當(dāng)T→0時，物質(zhì)的CV（）。

18、單元系相圖中的曲線稱為（），其中汽化曲線的終點(diǎn)稱為（）。

19、能量均分定理告訴我們，對處在溫度為T的平衡態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，粒子能量中每一個平方項(xiàng)的平均值都等于（）。

20、平衡態(tài)下，光子氣體的化學(xué)勢μ為零，這是與系統(tǒng)中的光子數(shù)（）相聯(lián)系的。

21、平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的一個基本假設(shè)是（）。

22、空窖內(nèi)的輻射場可看作光子氣體，則光子氣體的能量ε和圓頻率ω遵循的德布羅意關(guān)系為（）。

23、若系統(tǒng)由N個獨(dú)立線性諧振子構(gòu)成，則系統(tǒng)配分函數(shù)Z與粒子配分函數(shù)Z1的關(guān)系為（）。

24、用正則分布求熱力學(xué)量實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于選取（）作為特性函數(shù)。

25、由N個單原子分子構(gòu)成的理想氣體，粒子配分函數(shù)Z1與系統(tǒng)正則配分?jǐn)?shù)Z的關(guān)系為（）。

326、T＝0k時，電子氣體的總能量U＝5，式中N為電子數(shù)，?(0)為費(fèi)米能，則一個電子的平均能量為（）。

2mV27、已知T＝0k時，自由電子氣體的化學(xué)勢，則電子的費(fèi)米功量P（0）＝（）。

28、等概率原理的量子表達(dá)式為（）。

29、用微正則分布求熱力學(xué)量實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于選取（）作為特性函數(shù)。

30、由麥克斯韋速度分布律可知，如果把分子速率分為相等的間隔，則（）速率所在的間隔分子數(shù)最多。

四、名詞解釋

1、熱力學(xué)平衡態(tài)

2、馳豫時間

3、廣延量

4、強(qiáng)度量

5、準(zhǔn)靜態(tài)過程

6、可逆過程

7、絕熱過程

8、節(jié)流過程

9、特性函數(shù)

10、熵增加原理

11、等概率原理

12、μ空間

13、態(tài)密度

14、粒子全同性原理

15、最概然速率

16、能量均分定理

17、玻耳茲曼分布

18、玻色分布

19、費(fèi)米分布

20、?空間

五、證明題

1、證明熱力學(xué)關(guān)系式

1??T???P?[P?T?????]?VC?T?U??V V

?CP??S?(式中?為體脹系數(shù)???

2、??V?PTV?N?(0)?(0)??2(3?2N)23)

TP???T?（式中?為壓力系數(shù)）????CV3、證明熱力學(xué)關(guān)系式??V?S

?T??T????（式中?T為壓縮系數(shù)，?

4、證明熱力學(xué)關(guān)系式??P?V??U???V?????T???P?T????S V5、證明熱力學(xué)關(guān)系式

?為體脹系數(shù)）

R2aRT??P???P???????3?2?TV?6?VV(V?b)????VT6、對某種氣體測量得到，式中R，a，b為常數(shù)，試證該氣體的物態(tài)，方程為范德瓦斯方程。

CP??P???P??????

7、證明熱力學(xué)關(guān)系??V?SCV??V?T。

T??V???T???????PC?T????P，并說明其物理意義。SP8、證明

??P?Tds?CVdT?T??dV?T??V9、證明 ??T???T???P????P???T???V?U?U?U??V??V

10、證明?

六、計(jì)算題：

1、已知某氣體的體脹系數(shù)

??1T，等溫壓縮系數(shù)

?13avT4KT?1P，試求該氣體的物態(tài)方程。

2、已知某熱力學(xué)系統(tǒng)的特性函數(shù)F＝和物態(tài)方程。，式中?為常數(shù)。試求該系統(tǒng)的熵s

??R,??1PVT，試求該氣體

3、實(shí)驗(yàn)測得1mol氣體的體脹系數(shù)和壓強(qiáng)系數(shù)分別為的物態(tài)方程。

4、一體積為2V的容器，被密閉的隔為等大的兩部分A和B，開始時，A中裝有單原子理想氣體，其溫度為T，而B為真空。若突然抽掉隔板，讓氣體迅速膨脹充滿整個容器，求系統(tǒng)的熵變。

5、對某固體進(jìn)行測量，共體脹系數(shù)及等溫壓縮系數(shù)分別為式中a,b為常數(shù)，試求該固體的物態(tài)方程。

6、實(shí)驗(yàn)測得某氣體的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)分別為R，a均為常數(shù)。試求該氣體的物態(tài)方程。

????2aT?bPV1P,?T?bTV，nRPV,?T??aV，式中n，7、已知某表面系統(tǒng)的特性函數(shù)F＝?A，式中?為表面張力系數(shù)，且?＝?(T)，A為表面積。試用特性函數(shù)法求該系統(tǒng)的熵。

v?bv，試求氣體從體積v1等

8、已知1mol范德瓦耳斯氣體的物態(tài)方程為溫膨脹到v2時的熵變Δs。

9、有兩個體積相同的容器，分別裝有1mol同種理想氣體，令其進(jìn)行熱接觸。若氣體的初溫分別為300k和400k，在接觸時保持各自的體積不變，且已知摩爾熱容量CV=R，試求最后的溫度和總熵的變化。

P?RT?a23，其中b為常數(shù)。設(shè)

10、已知某系統(tǒng)的內(nèi)能和物態(tài)方程分別為0K時的熵S0=0，試求系統(tǒng)的熵。

11、設(shè)壓強(qiáng)不太高時，1mol真實(shí)氣體的物態(tài)方程可表示為PV=RT(1+BP)，其中R

U?bVT4,PV?1U為常數(shù)，B為溫度的函數(shù)，求氣體的體脹系數(shù)α和等溫壓縮系數(shù)?T。

Ra??V?????2?TPT??P12、對某氣體測量得到如下結(jié)果：

??V?，????Tf(P)??P?T，式中α,R為常數(shù)，f(P)只是P的函數(shù)。試求（1）f(P)的表達(dá)式。（2）氣體的物態(tài)方程。

13、已知水的比熱為4.18J/g.c，有1kg 0℃的水與100℃的恒溫?zé)嵩唇佑|，當(dāng)水溫達(dá)到100℃時，水的熵改變了多少？熱源的熵改變了多少？水與熱源的總熵改變了多少？

14、設(shè)高溫?zé)嵩碩1與低溫?zé)嵩碩2與外界絕熱。若熱量Q從高溫?zé)嵩碩1傳到低溫?zé)嵩碩2，試求其熵度。并判斷過程的可遞性。15、1mol范德瓦斯氣體從V1等溫膨脹至V2，試求氣體內(nèi)能的改變ΔU。

16、已知理想氣體的摩爾自由能f=(CV－S0)T－CVTlnT－RTlnV+f0,試求該氣體的摩爾熵。

17、試由玻耳茲曼分布求單原子理想氣體的物態(tài)方程和內(nèi)能。（積分公式：????e?ax2??a）

18、試求T＝0k時，金屬中自由電子氣體的費(fèi)米能量μ（0）。

19、若固體中原子的熱運(yùn)動可看作是3N個獨(dú)立的線性諧振子的振動，振子的能量?＝（n?12）hv,n?0,1,2,?。試用玻耳茲曼分布求振子的配分函數(shù)Z1和固體的內(nèi)能

u??N?lnZ1??12bq2U。

20、試由玻耳茲曼分布推導(dǎo)熱力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)能U的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式

21、由N個經(jīng)典線性諧振子組成的系統(tǒng)，其振子的能量b為常數(shù)，試求振子的振動配函數(shù)Z1（積分式????。，式中a，?＝12ap2?e?x2dx??）

p???c，22、空窖輻射看作由光子氣體構(gòu)成。已知光子氣體的動量與能量的關(guān)系為式中?為圓頻率，c為光速。試求在體積V的空窖內(nèi)，在?到?+d?的圓頻率范圍內(nèi)，光子的量子態(tài)數(shù)為多少？

23、設(shè)空窖輻射場光子氣體的能量?＝cp???，試求溫度為T，體積為V的空窖內(nèi)，圓頻率在?到??d?范圍內(nèi)的平均光子數(shù)。

24、對于金屬中的自由電子氣體，已知電子的能量在?到??d?范圍內(nèi)電子的量子態(tài)數(shù)。

2Isin?，試求雙原

25、設(shè)雙原子分子的轉(zhuǎn)動慣量為I，轉(zhuǎn)動動能表達(dá)式子分子的轉(zhuǎn)動配分函數(shù)。

26、假充電子在二維平面上運(yùn)動，密度為n，試求T=0K時二維電子氣體的費(fèi)米能量μ（0）。

27、氣柱的高度為H，截面積為S，處于重力場中，并設(shè)氣柱分子能量

p2?＝2m，試求在體積V內(nèi)，能量

2?＝1(P??2PQ2)?＝12m(Px?Py?Pz)?mgz??ax2222，試由玻耳茲曼分布求氣柱分子的配分函數(shù)Z1和內(nèi)能

?a）U（積分公式：??

28、服從玻耳茲曼分布的某理想氣體，粒子的能量與動量關(guān)系為?＝cp，式中c為光速。氣體占據(jù)的體積設(shè)為V，試求粒子的配分函數(shù)。?edx?

29、試求溫度為T，體積為V的空窖內(nèi)，圓頻率在?到??d?范圍內(nèi)的平均光子數(shù)及輻射場內(nèi)能按頻率分布的規(guī)律。30、對于金屬中自由電子氣體，電子的能量

?＝p22m，試求在體積V內(nèi)，T=0K時系統(tǒng)的總電子數(shù)。

部分參考答案

一、單選題

17、②

19、②

21、①

23、④

28、①

29、②

二、證明題

1、利用T、V、U構(gòu)成的鏈?zhǔn)疥P(guān)系

??T???V???U???V???P???1＝T?????P????????T?V

??V?U??U?T??T?V及能態(tài)公式??U?T即可證明。??U???S???＝T???P?V?V?T??T10、選取U=U(T，V)以?代入下式

??T???＝???V?U??S???T???U???T?[T???????P]????U?V ??V?T??U?=－??V?T??S???P???????V?T?T??V代入即得

且?

六、計(jì)算題

4??F?S?－??＝aVT3??T?V2、31??F?4P????＝aT??T?T

3dT?dPp??dVV?將α、β代入再改寫為

3、選取T＝T（P，V）可求微分得dV?RPdT?RTP2dP湊成全微分后積分可得

dV??dT??TdP2V?RTP

1ap26、選取V=V(T,P)微分得V1以α，?T代入積分：PV=nRT-2?C

確定C=0 ∴PV=nRT-

28、?S＝?Tap

CVTTdT??V2V1V2??P???P???dV??dV?V1?T?T??V?V＝?以范氏氣體方程代入求偏導(dǎo)數(shù)再積?S＝Rlnv2?bv1?b

dS＝dU?PdVT分即得

10、由題中已知條件代入熱力學(xué)基本微分方程S＝43bTV3然后積分可得

?R?dT?Tf(P)dPf(P)?2?P 由全微分條件可得

a?R??

212、（1）選取V=V(T，P)得dV=?PTTdP?adT?dTR?－??22P?T積分并由物理邊界條件確定積分

(2)將f(P)代入dV式dV=?P常數(shù) RT

∴V=P?U??aT

15、?U?????P?CdT?[P?T??]dV?V??T?V以范氏氣體方程代入

V1adVVV1?11???a???V?V2? ?1??f?'S?????CVlnT?RlnV?S0??T?V16、17、配分函數(shù)Z1?1h3???e3??2m(Px?Py?Pz)222dxdydzdpxdpydpz

?2?m??Z1?V??h2????

20、U?N?Pl?l?l?lal?l??lN?lz1e???l.?l??N?Z1??(??lel???l)

?N?Z1Z1????N12ap?2?lnZ1??

2＝Z

2?1hab??2?khabT21、v1?1h????e??(12bq)dqdp?

23、光的為 ???KT?0在體積V的空窖內(nèi)，在動量P至P+dP范圍內(nèi)光子的量子態(tài)數(shù)2?4?VPdPh32（考慮自旋）

將??cP???代入得

體積V內(nèi)，在圓頻率????d?范圍內(nèi)光子的量子態(tài)數(shù)

V?C23?d?2fs?1??以V2eKT?1代入 得體積V的空窖內(nèi)，圓頻率在????d?范圍內(nèi)

?d?32的平均光子數(shù)為?C24、25、見教材P275

26、動量在D(P)d?p?e23??KT?1

p28?Vpdph以??2m代入得D（?）d???4?Vh3(2m)312?2d?

Px至Px?dPx,Py至Py?dPy范圍內(nèi)電子的量子態(tài)數(shù)

hD（Px,Py）dPxdPy?2dPxdPy??(Px,Py)?(P,?)SdPxdPy

（1）

（2）

?2?PdP

又P?2m?

（3）

∴D(?)d??4?sh2md?

（4）

???(0)???(0)

4?smh2?1fs???0

T＝0K時，∴

∴27Z1?1h3N??fsD(?)d????(0)0d??4?smh2?(0)

?(0)?hn4?m12(式中n?NS)、sh33??dxdy?H?0dz???e???2mKT(Px?Py?Pz)222dPxdPydPz?(2?mKT)2KTmg(1?e?mgHKT)

U??NlnZ12??U0?NKT?NmgHmgH

28、Z1?1h3???e13?c?pdxdydzdpxd33?1 Vpydpz?3heKT??0e?c?p4?pdp?24?Vh3??0pe2?c?pdp

8?V3＝hc??8?KVhc2233T 30、D(P)d?p?8?VPdPh2??P2m代入

???(0)???(0)D(?)d??N?1?134?V22f??s?（2m）?d?3?0h

∴ ??(0)0fsD(?)d???8?V3(2mh2)332?(0)

2《熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理》二00四年七月全真試題（僅供參考）

一、判斷題（下列各題，你認(rèn)為正確的，請?jiān)陬}干的括號內(nèi)打“√”，錯的打“×”。每題2分，共20分）

1、在等溫等壓條件下，若系統(tǒng)只有體積變化功，則系統(tǒng)的吉布期函數(shù)永不增加。（）

2、氣體的節(jié)流過程是等焓過程。（）

3、系統(tǒng)的體積是強(qiáng)度量，系統(tǒng)的壓強(qiáng)是廣延量。（）

4、根據(jù)吉布斯相律，二元四相系的自由度f＝4。（）

5、單元復(fù)相系達(dá)到平衡時，各相的溫度、壓強(qiáng)和化學(xué)勢必須分別相等。（）

6、所有工作于兩個一定溫度之間的可逆熱機(jī)，其效率不相等。（）

7、兩條絕熱線不能相交。（）

8、對于處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布出現(xiàn)的概率最大。（）

9、具有完全相同屬性的同類粒子是近獨(dú)立粒子。（）

10、順磁性固體是由定域、近獨(dú)立的磁性離子組成的系統(tǒng)，遵從玻耳茲曼分布。（）

二、填空題（每題2分，共20分）

1、如果某一熱力學(xué)系統(tǒng)與外界有物質(zhì)和能量的交換，則該系統(tǒng)稱為（）。

2、熱力學(xué)第二定律的開爾文表述是：（）。

3、熱力學(xué)基本方程du=（）。

??S???＝

4、對熱力學(xué)系統(tǒng)而言，麥?zhǔn)详P(guān)系??P?T（）。

dp5、克拉珀龍方程dT＝LT(v??v)?中L表示（）。

6、系統(tǒng)的熵S與微觀狀態(tài)數(shù)Ω之間的玻耳茲曼關(guān)系式是（）。

7、玻色（費(fèi)米）分布可以過渡到玻耳茲曼分布的經(jīng)典極限（非簡并條件）為（）。

8、根據(jù)麥克斯韋速度分布律，理想氣體的方均根速率Vs=（）。

9、對于處在溫度為T的平衡狀態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，粒子能量中每一個平方項(xiàng)的平均值等于（）。

10、設(shè)有兩個全同的玻色子，占據(jù)三個不同的個體量子態(tài)，則該系統(tǒng)最多有（）個不同的微觀狀態(tài)。

三、名詞解釋題（每題5分，共20分）

1、熵增加原理

2、不可逆過程

3、等概率原理

4、玻色分布

四、計(jì)算題（每題10分，共40分）

1、某一熱力學(xué)系統(tǒng)的體脹系數(shù)的物態(tài)方程。

2、理想氣體初態(tài)溫度為T，體積為VA，經(jīng)絕熱自由膨脹過程體積膨脹為VB，求氣體的熵變。

3、求由N個原子構(gòu)成的愛因斯坦固體的內(nèi)能。（可能用到的公式：1+x+x2+…11T，等溫壓縮系數(shù)

1p，求此熱力學(xué)系統(tǒng)

?＝KT＝+xn=1?x，(x?1)）

4、某種樣品中的電子服從費(fèi)米分布，其態(tài)密度有如下特征：ε<0時，D（ε）＝0；ε≥0時，D（ε）＝D0，電子總數(shù)為N，試求T＝0k時的化學(xué)勢μ0，總能量U0。

第二篇：熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理

熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理（目錄）

第一章 熱力學(xué)的基本規(guī)律

第二章 均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)

第三章 單元系的相變

第四章 多元系的復(fù)相變平衡和化學(xué)平衡 熱力學(xué)平衡

第五章 不可逆過程熱力學(xué)簡介

第六章近獨(dú)立粒子的最概然分布

第七章 波爾茨曼統(tǒng)計(jì)

第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì)

第九章 系宗理論

第十章 漲落理論

第十一章 非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)理論初步

第三篇：《熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理》教學(xué)大綱[范文]

《熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理》教學(xué)大綱

學(xué)分：學(xué)時：審 核 人：執(zhí) 筆 人：面向?qū)I(yè)：物理學(xué)

一、課程定位

教學(xué)對象：物理專業(yè)本科生

課程類型：理論物理方向必修課

二、教學(xué)目標(biāo)

通過本課程的學(xué)習(xí)要求學(xué)生初步掌握與熱現(xiàn)象有關(guān)的、物質(zhì)的宏觀物理性質(zhì)的唯象理論與統(tǒng)計(jì)理論，并對二者的特點(diǎn)與聯(lián)系有一較全面的認(rèn)識。為學(xué)習(xí)后續(xù)課程和獨(dú)立解決實(shí)際問題打下必要的基礎(chǔ)。

三、教學(xué)內(nèi)容及要求

大綱基本內(nèi)容(不帶*號部分)可在規(guī)定的72學(xué)時內(nèi)完成。各章所注學(xué)時前一個數(shù)字為講授課時數(shù)后者為習(xí)題課、討論課等學(xué)時數(shù)。各節(jié)所附數(shù)字為講授時數(shù)。

第一章 熱力學(xué)的基本規(guī)律(10+0)

1．熱力學(xué)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)及其描述

2．熱平衡定律和溫度

3．物態(tài)方程

4．功l

5．熱力學(xué)第一定律

6．熱容量和焓

7．理想氣體的內(nèi)能

8．理想氣體的絕熱過程

9．理想氣體的卡諾循環(huán)

10．熱力學(xué)第二定律l

11．卡諾定理

12．熱力學(xué)溫標(biāo)(*)

13．克勞修斯等式和不等式l

14．熵的熱力學(xué)基本方程1

15．理想氣體的熵1

16．熱力學(xué)第二定律的普遍表述1

17．熵增加原理的簡單應(yīng)用1

18．自由能和吉布斯函數(shù)1

說明：在克勞修斯等式和不等式之前的內(nèi)容與《熱學(xué)》課重復(fù)較多，除基本概念外可做復(fù)習(xí)性簡述，可避免重復(fù)。同時又能保證熱力學(xué)基本概念與規(guī)律的嚴(yán)格性與系統(tǒng)性．重點(diǎn)應(yīng)放在熵的性質(zhì)，熵增加原理的應(yīng)用上。

第二章 均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)(6+2)

1．能、焓、自由能和吉布斯函數(shù)的全微分

2．麥?zhǔn)详P(guān)系的簡單應(yīng)用

3．氣體的節(jié)流過程和絕熱彭脹過程

14．基本熱力學(xué)函數(shù)的確定1

5．特性函數(shù)l

6．平衡輻射的熱力學(xué)1

7．磁介質(zhì)的熱力學(xué)1

說明：本章是熱力學(xué)部分的重點(diǎn)，要求在講清輔助函數(shù)的性質(zhì)及麥?zhǔn)详P(guān)系的基礎(chǔ)上．通過對各類體系的應(yīng)用體現(xiàn)熱力學(xué)函數(shù)的應(yīng)用方法和熱力學(xué)函數(shù)應(yīng)用的普遍性；本章習(xí)題較多，安排2學(xué)時的習(xí)題課。

第三章 單元系的相變(8+0)

1．熱動平衡判據(jù)1

2．開系的基本熱力學(xué)方程1

3．單元系的復(fù)相平衡條件1

4．單元復(fù)相系的平衡性質(zhì)1

5．臨界點(diǎn)和氣液兩相的轉(zhuǎn)變1

6．液滴的形成2

7．相變的分類1

8．臨界現(xiàn)象和I臨界指數(shù)(*)

9．朗道連續(xù)相變理論(*)

第四章 多元系的復(fù)相平衡和化學(xué)平衡(4+0)

1．多元系的熱力學(xué)函數(shù)和熱力學(xué)方程l

2．多元系的復(fù)相平衡條件1

3．吉布斯相律1

4．熱力學(xué)第三定律1

第五章 不可逆熱力學(xué)簡介(*)

第六章近獨(dú)立粒子的最概然分布

1．系統(tǒng)微觀運(yùn)動狀態(tài)的描述1

2．等概率原理

3．分布和微觀狀態(tài)2

4．玻爾茲曼分布2

5．粒子運(yùn)動狀態(tài)的經(jīng)典描述

6．粒子運(yùn)動狀態(tài)的量子描述

7．玻色分布和費(fèi)米分布l

8．三種分布的關(guān)系1

第七章 玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)(14+2)

1．熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式2

2．理想氣體的物態(tài)方程2

3．麥克斯韋速度分布律2

4．能量均分定理2(10+0)

5．理想氣體的內(nèi)能和熱容量(*)

6．理想氣體的熵2

7．固體熱容量的愛因斯坦理論2

8．順磁性固體(*)

9．負(fù)溫度狀態(tài)2

說明：這一部分是經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的重點(diǎn)，內(nèi)容較多，安排2學(xué)時的習(xí)題課。

第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì)(8+0)

1．熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式1

2．弱簡并玻色氣體和費(fèi)米氣體(*)

3．光子氣體2

4．玻色一愛因斯坦凝聚2

5．金屬中的自由電子氣體2

6．簡并理想費(fèi)米氣體簡例l

7．二維電子氣體與量子霍爾效應(yīng)(*)

說明：這部分是量子統(tǒng)計(jì)的重點(diǎn)，在實(shí)際中應(yīng)用廣泛而重要，對深化人們對量子世界的認(rèn)識非常有意義，可對學(xué)生提高要求。

第九章 系綜理論(8+0)

1．相空間劉維爾定理1

2．微正則分布l

3．微正則分布的熱力學(xué)公式1

4．正則分布l

5．正則分布的熱力學(xué)公式1

6．實(shí)際氣體的物態(tài)方程1

7．巨正則分布1

8．巨正則分布的熱力學(xué)公式1

9．巨正則分布的簡單應(yīng)用(*)

說明：微正則系綜可以作為基本假設(shè)而省去劉維爾定理，巨正則分布的分布函數(shù)及熱力學(xué)公式也可以不做推導(dǎo)只給出結(jié)果，闡明意義。

第十章 漲落理論(*)

第十一章 非平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)理論(*)

四、考核方式、方法

閉卷考試，平時成績30%，卷面成績70%。

五、主要參考書

(1)龔昌德《熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)》高等教育出版社，1982年

(2)蘇汝鏗《統(tǒng)計(jì)物理學(xué)》復(fù)旦大學(xué)出版社，1990年

(3)鐘云霄《熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理》科學(xué)出版杜，1988年

(4)陳光旨《熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理基礎(chǔ)》廣西師范大學(xué)出版社，1989年

第四篇：熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理第三章知識總結(jié)

§3.1 熱動平衡判據(jù)

當(dāng)均勻系統(tǒng)與外界達(dá)到平衡時，系統(tǒng)的熱力學(xué)參量必須滿足一定的條件，稱為系統(tǒng)的平衡條件。這些條件可以利用一些熱力學(xué)函數(shù)作為平衡判據(jù)而求出。下面先介紹幾種常用的平衡判據(jù)。oisd

一、平衡判據(jù)

1、熵判據(jù) 熵增加原理，表示當(dāng)孤立系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)時，它的熵增加到極大值，也就是說，如果一個孤立系統(tǒng)達(dá)到了熵極大的狀態(tài)，系統(tǒng)就達(dá)到了平衡態(tài)。于是，我們就能利用熵函數(shù)的這一性質(zhì)來判定孤立系統(tǒng)是否處于平衡態(tài)，這稱為熵判據(jù)。孤立系統(tǒng)是完全隔絕的，與其他物體既沒有熱量的交換，也沒有功的交換。如果只有體積變化功，孤立系條件相當(dāng)與體積不變和內(nèi)能不變。

因此熵判據(jù)可以表述如下：一個系統(tǒng)在體積和內(nèi)能不變的情形下，對于各種可能的虛變動，平衡態(tài)的熵最大。在數(shù)學(xué)上這相當(dāng)于在保持體積和內(nèi)能不變的條件下通過對熵函數(shù)求微分而求熵的極大值。如果將熵函數(shù)作泰勒展開，準(zhǔn)確到二級有

d因此孤立系統(tǒng)處在穩(wěn)定平衡態(tài)的充分必要條件為既圍繞某一狀態(tài)發(fā)生的各種可能的虛變動引起的熵變穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。

如果熵函數(shù)有幾個可能的極大值，則其中最大的極大相應(yīng)于穩(wěn)定平衡，其它較小的極大相應(yīng)于亞穩(wěn)平衡。亞穩(wěn)平衡是這樣一種平衡，對于無窮小的變動是穩(wěn)定是，對于有限大的變動是不穩(wěn)定的。如果對于某些變動，熵函數(shù)的數(shù)值不變，這相當(dāng)于中性平衡了。，該狀態(tài)的熵就具有極大值，是熵判據(jù)是基本的平衡判據(jù)，它雖然只適用于孤立系統(tǒng)，但是要把參與變化的全部物體都包括在系統(tǒng)之內(nèi)，原則上可以對各種熱動平衡問題作出回答。不過在實(shí)際應(yīng)用上，對于某些經(jīng)常遇到的物理?xiàng)l件，引入其它判據(jù)是方便的，以下將討論其它判據(jù)。

2、自由能判據(jù) 表示在等溫等容條件下，系統(tǒng)的自由能永不增加。這就是說，處在等溫等容條件下的系統(tǒng)，如果達(dá)到了自由能為極小的狀態(tài)，系統(tǒng)就達(dá)到了平衡態(tài)。我們可以利用函數(shù)的這一性質(zhì)來判定等溫等容系統(tǒng)是否處于平衡態(tài)，其判據(jù)是：系統(tǒng)在等溫等容條件下，對于各種可能的變動，平衡態(tài)的自由能最小。這一判據(jù)稱為自由能判據(jù)。

按照數(shù)學(xué)上的極大值條件，自由能判據(jù)可以表示為： 由此可以確定平衡條件和平衡的穩(wěn)定性條件。

所以等溫等容系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的必要和充分條件為： 3吉布斯函數(shù)判據(jù)

在等溫等壓過程中，系統(tǒng)的吉布斯函數(shù)永不增加。

可以得到吉布斯函數(shù)判據(jù)：系統(tǒng)

;

在等溫等壓條件下，對于各種可能的變動，平衡態(tài)的吉布斯函數(shù)最小。

數(shù)學(xué)表達(dá)式為

，等溫等壓系統(tǒng)處在穩(wěn)定平衡狀態(tài)的必要和充分條件為除了熵，自由能和吉布斯函數(shù)判據(jù)以外，還可以根據(jù)其它的熱力學(xué)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行判斷。例如，內(nèi)能判據(jù)，焓判據(jù)等。

二、平衡條件

做為熱動平衡判據(jù)的初步應(yīng)用，我們考慮一個均勻的物質(zhì)系統(tǒng)與具有恒定溫度和恒定壓強(qiáng)的熱源相互接觸，在接觸中二者可以通過功和熱量的方式交換能量。我們推求在達(dá)到平衡時所要滿足的平衡條件和平衡穩(wěn)定條件。

1．平衡條件

現(xiàn)在利用熵判據(jù)求系統(tǒng)的平衡條件。我們將系統(tǒng)和熱源合起來構(gòu)成一個孤立系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)的熵為S，熱源的熵為

因?yàn)殪厥且粋€廣延量，具有可加性，則孤立系統(tǒng)的總熵（用）為：(1)當(dāng)達(dá)到平衡態(tài)時，根據(jù)極值條件可得：(2)由熱力學(xué)基本方程

得

注意到組合系統(tǒng)是孤立的，必須滿足

(3)

(4)將（3）代入（2）得

將（4）代入上式得

（5）

因?yàn)槭街蠻，V為獨(dú)立參量，可任意變化，所以為使上式成立，各系數(shù)必須恒等于零。由此可得：

(6)

表明系統(tǒng)和外界的溫度相等，是系

表明系統(tǒng)和外界壓 此式即為系統(tǒng)于外界保持平衡時應(yīng)滿足的條件。統(tǒng)和外界在熱接觸的情況下應(yīng)滿足的平衡條件，稱為熱平衡條件。強(qiáng)相等，稱為力學(xué)平衡條件。

為了保證平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)除了滿足平衡條件外，還要滿足平衡穩(wěn)定條件。

2、平衡穩(wěn)定條件

由熵判據(jù)可知系統(tǒng)穩(wěn)定平衡時需滿足即

因?yàn)橄到y(tǒng)與熱源發(fā)生相互作用而破壞平衡時，熱源的狀態(tài)改變很小，也就是對平衡態(tài)的偏離很小，所以可忽略。此時系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定條件簡化為

（8）

（法一）由（3）式將上式再微分一次，略去

和

利用線性代數(shù)求得

（法二）根據(jù)泰勒展式。將（8）式展為

2

通過導(dǎo)數(shù)變換，根據(jù)線性代數(shù)關(guān)系求得，(9)是平衡的穩(wěn)定性條件。其中系統(tǒng)的力學(xué)穩(wěn)定性的要求。

反映了系統(tǒng)的熱動穩(wěn)定性的要求，反映了

§3.2 開系的熱力學(xué)基本方程

一、幾個概念k

1、元：把熱力學(xué)系統(tǒng)的每一種化學(xué)組分稱為一個組元，簡稱為元。

2、單元系：僅由一種化學(xué)組分組成的系統(tǒng)。例如純水。

3、多元系：由若干種化學(xué)組分組成的系統(tǒng)。例如空氣。

4、相：系統(tǒng)中物理和化學(xué)性質(zhì)完全相同且成份相同的均勻部分稱為一個相。

5、單相系（均勻系）：僅有單一的相構(gòu)成的系統(tǒng)稱為單相系

6、復(fù)相系（多相系）：有若干個相共存的系統(tǒng)稱為復(fù)相系

又根據(jù)組成系統(tǒng)的組元數(shù)目，把復(fù)相系分為單元復(fù)相系和多元復(fù)相系。例如，水和水蒸氣共存是單元二相系；鹽是水溶液與水蒸氣共存是二元二相系；

7、相變：在復(fù)相系中發(fā)生的相轉(zhuǎn)變過程。

8、開系：在相變過程中，物質(zhì)可以由一相變到另一相，因此一個相的質(zhì)量或mol數(shù)是可以變的，這時系統(tǒng)為開系。

二、開系的熱力學(xué)方程

1、G的全微分dG 從上一章我們知道，一個封閉的均勻系，在簡單情況下，只需兩個獨(dú)立參量即可確定系統(tǒng)的狀態(tài)，比如用T，P即可確定系統(tǒng)的吉布斯函數(shù)。但對均勻開放系統(tǒng)來說，為了確定其狀態(tài)，還必須把組成系統(tǒng)的物質(zhì)摩爾數(shù)n或者質(zhì)量m考慮在內(nèi)，通常選摩爾數(shù)，則此時吉布斯函數(shù)是T，P，n為獨(dú)立參量，則吉布斯函數(shù)的全微分可擴(kuò)展表示為

⑴

G是以 V，P，n為獨(dú)立變量的特征函數(shù)

其中

⑵

稱為化學(xué)勢，它表示在溫度、壓強(qiáng)不變的情況下，增加一摩爾的物質(zhì)時，系統(tǒng)吉布斯函數(shù)的增量。

μdn表示由于摩爾數(shù)改變了dn所引起的吉布斯函數(shù)的改變。

由于吉布斯函數(shù)是廣延量，我們定義一個摩爾吉布斯函數(shù)（即1摩爾物質(zhì)的吉布斯函數(shù)），則系統(tǒng)的吉布斯函數(shù)G(T,P,n)=ng(T,P)⑶

因此將⑶代入⑵式得 ⑷

這就是說，化學(xué)勢μ等于摩爾吉布斯函數(shù)g，這個結(jié)果適用于單元相系。

2、dU 由

得內(nèi)能的全微分

⑸

U是以S，V，n為獨(dú)立變量的特征函數(shù) ⑸式就是開系的熱力學(xué)基本方程。它是的推廣，可知，開系的內(nèi)能U是以S,V,n為獨(dú)立變量的特性函數(shù)。μ也可以表示為 ⑹

即化學(xué)勢μ也等于在S,V不變的條件下，增加1mol物質(zhì)時系統(tǒng)內(nèi)能的改變。

3、dH 由焓的定義

得焓的全微分為

⑺

H是以S，P，n為獨(dú)立變量的特性函數(shù)。

因此化學(xué)勢也可表示為

4、dF

⑻

因自由能定義F=U-TS?？傻米杂赡艿娜⒎? —>dU)⑼

F是以T，V，n為獨(dú)立變量的特性函數(shù)

(注：dV—因此 ⑽

（5）、（7）、（9）稱為開系的熱力學(xué)函數(shù) 如果定義一個熱力學(xué)函數(shù) 巨熱力勢它的全微分為

⑿

J是以T，V，μ為獨(dú)立變量的特性函數(shù)。如果已知巨熱力勢J(T，V，μ)，其它熱力學(xué)函數(shù)可用下面的偏導(dǎo)數(shù)求得：

⑾

⒀

由以上討論可見，單元開系的熱力學(xué)特性函數(shù)與閉系相比，僅增加了一個變數(shù)n,并由此引進(jìn)了化學(xué)勢的概念。

§3.3 單元系的復(fù)相平衡條件

一、平衡條件

1、推導(dǎo)：為簡單起見，考慮一個孤立的單元兩相系，我們用上角標(biāo)α和β表示兩個相，用，和，分別表示α和β相的內(nèi)能，體積和摩爾數(shù)。因?yàn)槭枪铝⑾?，所以總的?nèi)能，體積和摩爾數(shù)是恒定的，有 ⑴

若系統(tǒng)發(fā)生一個虛變動，則α相和β相的內(nèi)能，體積和摩爾數(shù)分別改變：，和。孤立系統(tǒng)的條件式（1）要求： ⑵

由知,兩相的熵變?yōu)?/p>

根據(jù)熵的廣延性知，整個系統(tǒng)的熵變

⑷

根據(jù)熵判據(jù)知，當(dāng)整個系統(tǒng)達(dá)到平衡時，總熵有極大值

因?yàn)棰仁街笑腢,δV,δn是獨(dú)立變量,δS=0要求

，即： 熱平衡條件

力學(xué)平衡條件 ⑸

相變平衡條件，⑶

2、討論

如果平衡條件未被滿足，復(fù)相系統(tǒng)將發(fā)生變化，變化將朝著熵增加的方向進(jìn)行。

1）如果熱平衡條件未能滿足，變化將朝著 的方向進(jìn)行。例如當(dāng) 的α相傳遞到低溫的β相去。

時，變化朝著的方向進(jìn)行，即能量將從高溫2）在熱平衡滿足的情況下，若力學(xué)平衡未能滿足，變化將朝著的方向進(jìn)行。例，當(dāng)方向進(jìn)行，即壓強(qiáng)大的相α膨脹，壓強(qiáng)小的相β收縮。

時，變化將朝著的3）在熱平衡條件已滿足，相變平衡條件未被滿足時，變化將朝著的方向進(jìn)行。例如當(dāng)時，變化將朝著的方向進(jìn)行，即物質(zhì)將由化學(xué)勢高的β相相變到化學(xué)勢低的α相去，這是μ被稱為化學(xué)勢的原因。

二、單元復(fù)相系的穩(wěn)定性條件仍可表示為

一、P—T圖： ，§3.4 單元復(fù)相系的平衡性質(zhì)

1、P—T圖：實(shí)驗(yàn)指出：系統(tǒng)的相變與其溫度和壓強(qiáng)有關(guān)，在不同的溫度和壓強(qiáng)下系統(tǒng)可以有不同的相，氣相、液相或固相。有些物質(zhì)的固相還可以具有不同的晶格結(jié)構(gòu)，不同的晶格結(jié)構(gòu)也是不同的相。如水（H2O）構(gòu)成的系統(tǒng)有三態(tài)：水蒸氣（氣）、水（液）、冰（固）。在不同的條件下，其相有：氣態(tài)有一相；液態(tài)有一相；固態(tài)有六種不同的穩(wěn)定態(tài)，它們分屬于六相。在直角坐標(biāo)中，單元系相同可以用P—T圖表示。

由單元系相平衡條件，知

⑴

由式（1）決定的曲線 P=P(T)⑵ 稱為相平衡曲線。畫出P—T關(guān)系圖即為相圖。如圖為單元系相圖。

三條曲線將圖分為三個區(qū)域，它們分別表示固相、液相和氣相單相存在的溫度和壓強(qiáng)范圍?；瘜W(xué)勢用，表示，在各自的區(qū)域內(nèi)，溫度和壓強(qiáng)可以單獨(dú)變化。如圖中分開氣、液兩相的曲線AC，為汽化線，為氣液兩相的平衡線，在氣化線上氣液兩相可以平衡共存。氣化線上有一點(diǎn)C，溫度等于C點(diǎn)時，液相不存在，因而汽化線也不存在，C點(diǎn)稱為臨界點(diǎn)，相應(yīng)的溫度和壓強(qiáng)稱為臨界溫度和臨界壓強(qiáng)。例如，水的臨界溫度是647.05K，臨界壓強(qiáng)是.分開液相和固相區(qū)域的曲線AB稱為熔解線（或凝固線）。

⑶

分開氣相和固相區(qū)域的曲線稱為升華線。

⑷

由于固相在結(jié)構(gòu)上與氣液相差別很大，所以溶解曲線和升華曲線不存在端點(diǎn)，它們只能與其他相平衡曲線相交而中斷。氣化線、熔解線和升華線交于一點(diǎn)A，此點(diǎn)三相共存稱為三相點(diǎn)，是三條相平衡曲線的交點(diǎn)。在三相點(diǎn)，物質(zhì)的氣、液、固相共存。對于某一物質(zhì)三相點(diǎn)的溫度和壓強(qiáng)是確定的。例如，水的三相點(diǎn)溫度為273.16K，壓強(qiáng)為

.舉例：以液—?dú)鈨上嗟霓D(zhuǎn)變?yōu)槔f明由一相到另一相的轉(zhuǎn)變過程。

如圖所示：系統(tǒng)開始處在由點(diǎn)1所代表的氣相，如果維持溫度不變，緩慢地增加外界的壓強(qiáng)，則為了維持平衡態(tài)，系統(tǒng)的壓強(qiáng)將相應(yīng)地增大。這樣系統(tǒng)的狀態(tài)將沿直線1—2變化，直到與汽化線相交于2點(diǎn)，這時開始有液體凝結(jié)，并放出熱量（相變潛熱）。在點(diǎn)2，氣、液兩相平衡共存。如果系統(tǒng)放出的熱量不斷被外界吸收，物質(zhì)將不斷地由氣相轉(zhuǎn)變?yōu)橐合?，而保持其溫度和壓?qiáng)不變，直到系統(tǒng)全部轉(zhuǎn)變?yōu)橐合嗪?，如果仍保持溫度不變而增加外界的壓?qiáng)，系統(tǒng)的壓強(qiáng)將相應(yīng)地增大，其狀態(tài)將沿著直線2—3變化。

2、P—T圖的熱力學(xué)理論解釋：

由吉布斯函數(shù)判據(jù)我們知道，在一定溫度和壓強(qiáng)下，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是吉布斯函數(shù)最小的狀態(tài)。各相的化學(xué)勢是溫度和壓強(qiáng)確定的函數(shù)化學(xué)勢，如果在某一溫度和壓強(qiáng)范圍內(nèi)，α相的較其它相的化學(xué)勢低，系統(tǒng)將以α相單獨(dú)存在。這個溫度和壓強(qiáng)范圍就是α相的單相區(qū)域。在這個區(qū)域內(nèi)溫度和壓強(qiáng)是獨(dú)立的狀態(tài)參量。

在氣化線AC上，氣液兩相平衡共存。根據(jù)熱平衡條件，力學(xué)平衡條件和相變平衡條件，可知，⑸

在三相點(diǎn)，三個相的溫度、壓強(qiáng)和化學(xué)勢都相等，即

⑹

三相點(diǎn)的溫度和壓強(qiáng)由⑹式?jīng)Q確定。

（5）式給出兩相平衡共存時壓強(qiáng)和溫度的關(guān)系，是兩相平衡曲線的方程式。在平衡曲線上，溫度和壓強(qiáng)兩個參量中只有一個可以獨(dú)立改變P=P(T)。由于在平衡曲線上兩相的化學(xué)勢相等，兩相的任意比例共存，整個系統(tǒng)的吉布斯函數(shù)都是相等的。即，這就是中性平衡。當(dāng)系統(tǒng)緩慢地從外界吸收或放出熱量時，物質(zhì)將由一相轉(zhuǎn)變到另一相而始終保持在平衡態(tài)，稱為平衡相變。

二、克拉珀龍（Clapeyron）方程

1、Clapeyron方程 式子（5）為兩相平衡曲線，由于對物質(zhì)化學(xué)勢缺乏足夠的知識，我們并不知道每一相的化學(xué)勢，所以相圖上的曲線多是由實(shí)驗(yàn)直接測定的。但是由熱力學(xué)理論可以求出相平衡曲線的斜率的表達(dá)式稱為Clapeyron方程。

如圖，在P—T圖上畫出兩相平衡曲線。在相平衡曲線上取鄰近的兩點(diǎn)A(T，P)和B(T+dT，P+dP)在相平衡曲線上兩相的化學(xué)勢相等，即

⑺

兩式相減得:

⑻

這個結(jié)果表明，當(dāng)沿著平衡曲線由A(T，P)變到B(T+dT，P+dP)時，兩相化學(xué)勢的變化必然相等?；瘜W(xué)勢的全微分為

(9)其中和分別表示摩爾熵和摩爾體積。

所以有

則由（8）式得

整理變形得 ⑽

定義相變潛熱：以L表示1摩爾物質(zhì)由α相變到β相時吸收的熱量，稱為，摩爾相變潛熱。因?yàn)橄嘧儠r物質(zhì)的溫度不變，由熵的定義得

⑾

代入（10）式得 ⑿

此式稱為（Clapeyron）方程，它給出兩相平衡的斜率。

分析Clapeyron方程:當(dāng)物質(zhì)發(fā)生熔解、蒸發(fā)或升華時，混亂程度增加，因而熵也增加，相變潛熱點(diǎn)是正的。由固相或液相轉(zhuǎn)變到氣相體積也增加，因此氣化線和升華線的斜率dP∕dT是恒正的。由固相轉(zhuǎn)到液相時，體積也發(fā)生膨脹，這時熔解線的斜率也是正的。但有些物質(zhì)，如冰，在熔解時體積縮小，熔解線的斜率是負(fù)的。

2、蒸汽壓方程

應(yīng)用克拉珀龍方程，可以得出蒸汽壓方程的近似表達(dá)式。與凝聚相（液相或固相）達(dá)到平衡的蒸汽稱為飽和蒸汽。由于兩相平衡時壓強(qiáng)與溫度間存在一定的關(guān)系，飽和蒸汽的壓強(qiáng)是溫度的函數(shù)。描述飽和蒸汽的方程稱為蒸汽方程。

若α相為凝聚相，β相為氣相，凝聚相的摩爾體積（每摩爾凝聚物的體積）遠(yuǎn)小于氣相的摩爾體積，我們可以略去克拉珀龍方程（10）中的V，并把氣相看作理想氣體，滿足，則克拉珀龍方程可簡化為

分離變量: ⒀

如果更進(jìn)一步近似地認(rèn)為相變潛熱與溫度無關(guān),積分上式，得

⒁

即蒸汽壓方程的近似表達(dá)式?？梢詫⑹舰覍懗?/p>

⒂

由式（15）可知，飽和蒸汽壓隨溫度的增加而迅速的增加。由蒸汽壓方程，可以確定出在一定溫度下的飽和蒸汽壓；反過來測定飽和蒸汽壓，也可確定出該狀態(tài)的溫度。根據(jù)這個原理，可以制造蒸汽壓溫度計(jì)。蒸汽壓溫度計(jì)主要用與低溫范圍的測量。

§3.5液滴的形成

前面討論兩相平衡時沒有考慮表面相的影響，因而得出的結(jié)果只適用于分界面為平面，或液面的曲率半徑足夠大時的情況。當(dāng)分界面為曲面時，表面張力會對力學(xué)平衡條件和相平衡條件產(chǎn)生影響。

一、平衡條件：

我們首先討論在考慮表面相以后系統(tǒng)在達(dá)到平衡時所要滿足的平衡條件。將液滴與其蒸汽看作一個復(fù)合系統(tǒng)。設(shè)液滴為α相，蒸汽為β相，表面為γ相，三相的熱力學(xué)基本方程分別為

⑴

設(shè)液滴與其蒸汽構(gòu)成的復(fù)合系統(tǒng)已達(dá)到熱平衡，則滿足

⑵

且設(shè)溫度和體積保持不變，因而我們可應(yīng)用自由能判據(jù)推導(dǎo)系統(tǒng)的力學(xué)平衡條件和相變平衡條件。

設(shè)想在溫度和總體積保持不變的條件下，系統(tǒng)發(fā)生一個虛變動，則三相的n，V和A分別發(fā)生,;,;δA的變化。由于在虛變動中的系統(tǒng)的總摩爾數(shù)和總體積保持不變，應(yīng)用

⑶

則

⑷

滿足

在三相溫度相等的條件下，整個系統(tǒng)的自由能

即

⑸

為簡單起見，假設(shè)液滴是球形的則，所以有，代入⑸式有 ⑹

由于和是任意的獨(dú)立參量,上式中的系數(shù)必為零,所以得

(力學(xué)平衡條件)

(相平衡條件)⑺

力學(xué)平衡條件表明由于表面張力的存在，平衡時球形液滴內(nèi)部的壓強(qiáng)比蒸汽的壓強(qiáng)大件。當(dāng)r→時，過渡到，這正是分界面為平面時的力學(xué)平衡條相變平衡條件表明平衡時兩相的化學(xué)勢仍然相等，但化學(xué)勢中的壓強(qiáng)不相等，其關(guān)系由力學(xué)平衡條件確定。

二、液滴的形成（中肯半徑或臨界半徑）

首先討論氣液兩相平衡時分界面為曲面的蒸汽壓強(qiáng)P′與分界面為平面的飽和蒸汽壓的關(guān)系。已知在分界面（液面）為平面時，力學(xué)平衡條件是，相變平衡條件為

⑻

上式確定飽和蒸汽壓與溫度的關(guān)系。

對分界面為曲面的情況，設(shè)兩相（氣、液）平衡時的蒸汽壓強(qiáng)為P′。由分界面為曲面的平衡條件 ⑼

給出曲面上的蒸汽壓強(qiáng)P′與曲面半徑r的關(guān)系。

現(xiàn)在利用（8）、（9）兩式推導(dǎo)曲面上的蒸汽壓強(qiáng)P′與平液面上的蒸汽壓強(qiáng)P的關(guān)系。由于液體有不易壓縮的性質(zhì)，壓強(qiáng)改變時液體的性質(zhì)變化很小，所以可將液體的化學(xué)勢在P的鄰域展成泰勒（Taylor）級數(shù)，只取一級近似，得

⑽

由,得

⑾

將蒸汽看作理想氣體，根據(jù)（2.4.15）和，可得蒸汽的化學(xué)勢

⑿

其中 是溫度的函數(shù)由上式得

⒀

由⑿ ⒀式得 ⒁

下面由⑻ ⑼ ⑾ ⒁四式得 ⒂

在實(shí)際問題中，通常，所以⒂式可近似寫為

⒃

根據(jù)（16）式可以求出與壓強(qiáng)為P′的蒸汽處于平衡的液滴半徑為

⒄

稱為中肯半徑（或臨界半徑）。當(dāng)因此氣相將發(fā)生凝結(jié)，液滴連續(xù)增大；

時，,液相的化學(xué)勢降低，當(dāng)時，就有，因而液滴就要蒸發(fā)。

只有當(dāng)時，蒸汽與液滴互相平衡。

由以上的討論可以看出，在給定的溫度T 壓強(qiáng)P′下，要想在系統(tǒng)中出現(xiàn)凝結(jié)現(xiàn)象，就必須在系統(tǒng)中存在有半徑大于相應(yīng)于T, P′時的臨界半徑的液滴。這種液滴起著凝結(jié)核心的作用，如果系統(tǒng)非常純凈，或其中的小顆粒半徑非常小，那么就會出現(xiàn)系統(tǒng)中的蒸汽壓強(qiáng)已超過P，但并沒有發(fā)生凝結(jié)，而形成過飽和蒸汽（過冷現(xiàn)象）?？梢姡^飽和蒸汽的出現(xiàn)，是由于蒸汽中缺少凝結(jié)核的緣故。

三、沸騰現(xiàn)象

對于沸騰現(xiàn)象的討論，可以完全仿照液滴形成的討論進(jìn)行。但是應(yīng)把液滴的半徑r換成氣泡的半徑-r。所以可以得到兩相共存的力學(xué)平衡條件為

⒅

表明氣泡內(nèi)的蒸汽壓強(qiáng)衡。

將r變?yōu)?r后，又可得到

比液體的壓強(qiáng)大才能維持氣泡在液體中的力學(xué)平

⒆

表明為滿足相平衡條件，氣泡內(nèi)的壓強(qiáng)P′必須小于同溫度下平液面上的飽和蒸汽壓P 由（18）（19）式可以說明液體的沸騰現(xiàn)象及沸騰前的過熱現(xiàn)象。液體沸騰時，內(nèi)部有大量的蒸汽泡不斷形成和擴(kuò)大。在一班情況下，液體內(nèi)部和器壁上都有很多小空氣泡，它們作為汽化的核心，半徑已足夠大而接近于分界面為平面時，泡內(nèi)的蒸汽壓P′近似等于P，只有溫度再上升一點(diǎn)使P′等于或大于液體的壓強(qiáng)P時，氣泡就會不斷長大，出現(xiàn)沸騰現(xiàn)象。但是，如果液體中沒有現(xiàn)成的空氣泡做核，或由漲落而引起的氣泡非常小，即使達(dá)到正常沸點(diǎn)時，也不會出現(xiàn)沸騰現(xiàn)象。這是由于相變平衡條件（19）式要求氣泡中的壓強(qiáng)P′必須小于分界面為平面的飽和蒸汽壓P，不能滿足力學(xué)平衡條件（18）式，氣泡反而被液體壓縮，所以不會產(chǎn)生沸騰現(xiàn)象。

在這種情況下，只有當(dāng)溫度較正常沸點(diǎn)更高，使P′增大到滿足時，才能沸騰。液體的溫度等于正常沸點(diǎn)而不沸騰的現(xiàn)象稱為液體的過熱現(xiàn)象?？梢娨后w的過熱現(xiàn)象的出現(xiàn)，是由于液體內(nèi)缺少汽化核的緣故。

§3.6相變的分類

以前討論的氣、液、固之間的相變，兩相的體積不相等，熵也不相等（有相變潛熱），即相變時，有熵和體積的突變，而是另外一些量，如，等壓膨脹函數(shù)α，等溫壓縮系數(shù)等發(fā)生突變，1933年，愛倫費(fèi)斯特（Ehrenfest）提出一個理論，把相變分為許多級（類）一、一級相變

特征：相變時兩相的化學(xué)勢連續(xù)，但一級偏導(dǎo)數(shù)（熵和體積）有突變。

由，得

, 一級相變的數(shù)學(xué)表達(dá)式即，得

, ⑴ 可見通常的氣、液、固之間的相變是一級相變。二、二級相變

特征：相變時兩相的化學(xué)勢及一級偏導(dǎo)數(shù)（熵和體積）連續(xù)，但二級偏導(dǎo)數(shù)（發(fā)生突變,，α，）即：

()()

所以 則可得，α，發(fā)生突變。但沒有相變潛熱和比容突變。

三、n級相變 類推到n級相變，特征：相變時兩相的化學(xué)勢及一級，二級……直到（n-1）級偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，但n級偏導(dǎo)數(shù)發(fā)生突變。

一級相變的相平衡曲線的斜率由Clapeyron方程給出，對于二級相變，由于，Clapeyron方程變?yōu)椴欢ㄊ剑荒軕?yīng)用。但是愛倫費(fèi)斯特根據(jù)二級相變在臨近的兩個點(diǎn)兩相的比熵和比容變化相等, 的條件導(dǎo)出了二級相變點(diǎn)壓強(qiáng)隨溫度變的斜率公式.證明：當(dāng)兩相系統(tǒng)在壓強(qiáng)為P，溫度為T的情況下達(dá)到平衡時，比容為,而在P+dP

和

T+dT的情況下平衡時，應(yīng)有

即參量，則

但取T,P為獨(dú)立

由此得到而

同樣，對于兩相平衡系統(tǒng)，有，由此得到稱為愛倫費(fèi)斯特方程。

人們習(xí)慣上把二級以上的相變通稱為連續(xù)相變。由上可知，連續(xù)相變在相變點(diǎn)兩相的化學(xué)勢以及化學(xué)勢的一級偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。連續(xù)相變的相變點(diǎn)稱為臨界點(diǎn)。通過實(shí)驗(yàn)和理論都可以分析連續(xù)相變，

第五篇：熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理(A參考答案)

寶雞文理學(xué)院試題

課程名稱 中學(xué)物理教育理論 適用時間與實(shí)踐研究

試卷類別A適用專業(yè)、年級、班專升本

一.填空題（本題共 7 題，每空 3 分，總共 21 分）

1.假設(shè)一物質(zhì)的體漲系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)經(jīng)過實(shí)驗(yàn)測得為：，則該物質(zhì)的物態(tài)方程為：。

2.1 mol 理想氣體，保持在室溫下（K）等溫壓縮，其壓強(qiáng)從1 準(zhǔn)靜態(tài)變?yōu)?0，則氣體在該過程所放出的熱量為：焦耳。

3.計(jì)算機(jī)的最底層結(jié)構(gòu)是由一些數(shù)字邏輯門構(gòu)成的，比如說邏輯與門，有兩個輸入，一個輸出，請從統(tǒng)計(jì)物理的角度估算，這樣的一個邏輯與門，室溫下（K）在完成一次計(jì)算后，產(chǎn)生的熱量是：焦耳。

4.已知巨熱力學(xué)勢的定義為，這里是系統(tǒng)的自由能，是系統(tǒng)的粒子數(shù)，是一個粒子的化學(xué)勢，則巨熱力學(xué)勢的全微分為：。

5.已知粒子遵從經(jīng)典玻耳茲曼分布，其能量表達(dá)式為子的平均能量為：。

6.溫度 時，粒子熱運(yùn)動的熱波長可以估算為：。

7.正則分布給出了具有確定的粒子數(shù)、體積、溫度 的系統(tǒng)的分布函數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)的配分函數(shù)為，微觀狀態(tài) 的能量為，則處在微觀狀態(tài) 上的概率為：。

二.簡答題(本題共 3 題，總共 30 分)

1.請從微觀和統(tǒng)計(jì)物理的角度解釋：熱平衡輻射的吉布斯函數(shù)為零的原因。(10分)

2.請說說你對玻耳茲曼分布的理解。(10分)

3.等概率原理以及在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的地位。(10分)

三.計(jì)算題(本題共 4 題，總共 49 分)

1.一均勻桿的長度為 L，單位長度的定壓熱容量為，在初態(tài)時左端溫度為 T1，右端溫度為 T2，T1 < T2，從左到右端溫度成比例逐漸升高，考慮桿為封閉系統(tǒng)，請計(jì)算桿達(dá)到均勻溫度分布后桿的熵增。（你可能要用到的積分公式為）(10分)

2.設(shè)一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式：，試證明其內(nèi)能和體積無關(guān)。(10分)

3.表面活性物質(zhì)的分子在液面上作二維自由運(yùn)動，可以看作是二維氣體。請用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論計(jì)算：

（1）二維氣體分子的速度分布和速率分布。(9分)

（2）二維氣體分子的最概然速率。(4分)

4.（1）證明，在二維情況下，對于非相對論粒子，壓強(qiáng)和內(nèi)能的關(guān)系為：

這里，是面積。這個結(jié)論對于玻爾茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都是成立的。（8分）

（2）假設(shè)自由電子在二維平面上運(yùn)動，電子運(yùn)動為非相對論性的，面密度為，試求: 0 K 時電子氣體的費(fèi)米能量、內(nèi)能和簡并壓強(qiáng)。(8分)

熱力學(xué).統(tǒng)計(jì)物理（A卷）答案

一.填空題（本題共 7 題，每空 3 分，總共 21 分）

1.pVT

?const

2.RT ln 10?5.74?103 3.kT ln 2?2.87?10-21

4.dJ??SdT?pdV?Nd? 5.2kT 6.??

h2m?kT

ES

或者??

h2mkT

7.?s?

e

?

kT

Z

二.簡答題(本題共 3 題，總共 30 分)

1.請從微觀和統(tǒng)計(jì)物理的角度解釋：熱平衡輻射的吉布斯函數(shù)為零的原因。(10分)

答：（1）熱力學(xué)中研究的熱平衡輻射系統(tǒng)，是一個和腔壁達(dá)到熱力學(xué)平衡的系統(tǒng)，熱力學(xué)理論可以證明，它的吉布斯函數(shù)為零?！?分）

（2）從微觀角度看，平衡輻射場可以認(rèn)為是光子氣體，每一個單色平面波對應(yīng)于一個能量和動量確定的光子，腔壁中的輻射場對應(yīng)于能量和動量從零到無窮大連續(xù)取值的光子氣體。輻射場和腔壁不斷發(fā)生熱交換，從微觀角度來看，相當(dāng)于交換光子，因此，腔壁中的光子數(shù)不守恒。（2分）

（3）光子是玻色子，滿足玻色分布。在確定玻色分布公式的時候，由于光子數(shù)不守恒，因此確定第一個拉氏乘子?的條件不存在，從物理上理解，這個拉氏乘子?就應(yīng)該為零，因?yàn)???勢為零?！?分）

（4）化學(xué)勢即為摩爾吉布斯函數(shù)（或者單個光子的吉布斯函數(shù)），光子氣體的吉布斯函數(shù)等于摩爾數(shù)（或者平均分子數(shù)）乘上化學(xué)勢，因此光子氣體的吉布斯函數(shù)為零。…………………（2分）2.請說說你對玻耳茲曼分布的理解。(10分)

答：（1）系統(tǒng)各個能級中的粒子數(shù)，構(gòu)成一個數(shù)列，稱為分布。物理上，需要在給定的分布下，確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)?！?分）

（2）玻耳茲曼系統(tǒng)是這樣的一個系統(tǒng)，它的各個粒子是可以分辨的，因此，要確定玻耳茲曼的微觀狀態(tài)，就需要確定每一個粒子的微觀狀態(tài)，給出玻耳茲曼系統(tǒng)的一個分布，只是確定了每一個能級的粒子數(shù)，但是這些粒子是哪一些粒子并沒有確定?！?分）

（3）由于等概率原理，在給定的宏觀狀態(tài)下，任何一種微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是一樣的。不同的分布對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)是不一樣的，因此，對應(yīng)微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的概率最大，這就是最概然分布。玻耳茲曼系統(tǒng)的最概然分布就是玻耳茲曼分布?！?分）3.等概率原理以及在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的地位。(10分)

答：（1）作為熱運(yùn)動的宏觀理論，熱力學(xué)討論的狀態(tài)是宏觀狀態(tài)，由幾個宏觀參量表征，例如對于一

?

kT，故化學(xué)

個孤立系統(tǒng)，可以用粒子數(shù)N、體積V 和能量E 來表征系統(tǒng)的平衡態(tài)，狀態(tài)參量給定之后，處于平衡態(tài)的系統(tǒng)的所有宏觀物理量都具有確定值。…………………………………………（2分）

（2）系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是指構(gòu)成系統(tǒng)的每一個粒子的力學(xué)運(yùn)動狀態(tài)，顯然，在確定的宏觀狀態(tài)之下，系統(tǒng)可能的微觀狀態(tài)是大量的，而且微觀狀態(tài)不斷地發(fā)生及其復(fù)雜的變化，例如，對于一個沒有相互作用的系統(tǒng)中，總能量是由N 個單粒子能量的簡單求和得到的，因此，將會有大量不同的方式選擇個別粒子的能量使其總和等于總能量?！?分）

（3）等概率原理認(rèn)為：在任意時刻，該系統(tǒng)處于各個微觀態(tài)中的任意一個狀態(tài)都是同等可能的，也就是概率是一樣的。對于一個孤立系統(tǒng)，數(shù)學(xué)表述就是：設(shè)所有可能的微觀狀態(tài)的數(shù)目?是粒子數(shù)N、體積V 和能量E的函數(shù)：???(N,V,E)，則每一個微觀狀態(tài)的概率為?

?！?分）

（4）統(tǒng)計(jì)物理認(rèn)為，宏觀物理量是相應(yīng)的微觀物理量的系綜平均值，要求系綜平均值，就必須知道系統(tǒng)在各個微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率。等概率原理給出了孤立系統(tǒng)的各個微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率，因此，只要知道總的微觀狀態(tài)數(shù)，就可以計(jì)算各種宏觀物理量。這樣，等概率原理在連接宏觀物理量和相對應(yīng)的微觀物理量之間建立了一個可以計(jì)算的橋梁。當(dāng)然，實(shí)際上，對給定的孤立系統(tǒng)，計(jì)算總的微觀狀態(tài)數(shù)一般是很困難的，但是它是分析其他問題（如分析正則分布和巨正則分布）的基礎(chǔ)，等概率原理也稱為微正則分。……………………………………（3分）

三.計(jì)算題(本題共 4 題，總共 49 分)

1.一均勻桿的長度為L，單位長度的定壓熱容量為cp，在初態(tài)時左端溫度為 T1，右端溫度為T2，T1?T2，從左到右端溫度成比例逐漸升高，考慮桿為封閉系統(tǒng)，請計(jì)算桿達(dá)到均勻溫度分布后桿的熵

增。（你可能要用到的積分公式為?ln x?dx?

T2?T1

L）(10分)?d?x?ln x?x?。T2?T

1答：設(shè)桿的初始狀態(tài)是左端l?0 溫度為 T1，右端l?L 為T2，從左到右端，位于l 到l?dl的初始溫度為T?T1?

l，達(dá)到平衡后溫度為

T1?T

2，這一小段的熵增加值為：

T1?T2

dTT

l

dS?cpdl

T1?

T2?T1

L

?

?cpdl?ln

T1?

T2?T1

L

………………………………（4分）

l

根據(jù)熵的可加性，整個均勻桿的熵增加值為

T1?T2?S?

?dS??

L0

cpdl?ln

T1?

T2?T1

L1

?l

?

L

L0

cpdl?ln

T1?T2

LT?T1?

??cpdl?ln?T1?2

0L??

l? ?

?cpL?ln

T1?T2

T1?T2

?cp?

T2?T1

L1

T2?T1

L

?

d（T2?T1

L

T?T1??

l)?ln?T1?2l?

L??

?cpL?ln?cp?

?

T2

T1

dx?ln x

?cpL?ln

T1?T2

?cpL?

1T2?T1

?T2ln T2?T1ln T1?T2?T1?……………（6分）

2.設(shè)一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式：p?f(V)T，試證明其內(nèi)能和體積無關(guān)。(10分)

證明：以(V,T)作為自變量，則熵的全微分為：

??S???S?dS???dT???dV………………………………（3分）

??T?V??V?T

利用熱力學(xué)基本微分方程，有：

dU?TdS?pdV

???S????S??T??dT?TdV?????pdV

??V?T???T?V????S????S?

?T??dT??T???p?dV

??T?V???V?T?

因此有： ?

??U???S?

??T???p………………………………（3分）??V?T??V?T

??U???p?

??T???p ?V?T??T??V

由麥?zhǔn)详P(guān)系代入上式，可以得到： ?利用物態(tài)方程可以知：?故有：

??p?

??f(V)?T??V

??U???p?

???T???p?Tf(V)?p?0…………………………（4分）得證。?V?T??T??V

3.表面活性物質(zhì)的分子在液面上作二維自由運(yùn)動，可以看作是二維氣體。請用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論計(jì)算：

（1）二維氣體分子的速度分布和速率分布。(9分)（2）二維氣體分子的最概然速率。(4分)

答：玻耳茲曼分布的經(jīng)典表達(dá)式是

al?e

?????1

??lh0

r

…………………………………………（2分）

在沒有外場時，二維情況下的分子質(zhì)心運(yùn)動能量的經(jīng)典表達(dá)式為 2m2m

在面積A內(nèi)，分子質(zhì)心平動動量在dpxdpy范圍內(nèi)的狀態(tài)數(shù)為

Ah

??

p

?

(px?py)

dpxdpy

因此，在面積A內(nèi)，分子質(zhì)心平動動量在dpxdpy范圍內(nèi)的分子數(shù)為

Ah

e

???

12mkT

(px?py)

dpxdpy

參數(shù)由總分子數(shù)為N的條件定出

??

積分出，得

Ah

e

???

12mkT

(px?py)

dpxdp

y

?N

e

??

?

12?mkT

12mkT

NA

h0

因此，質(zhì)心動量在dpxdpy范圍內(nèi)的分子數(shù)為

N

12?mkT

e

?

(px?py)

dpxdpy

用速度作為變量，px?mvx;py?mvy，上式化為：

N

m2?kT

e

?m2kT

(vx?vy)

dvxdvy

這就是在面積A內(nèi)，分子在dvxdvy范圍內(nèi)的分子數(shù)。用n?N面積內(nèi)，速度在dvxdvy范圍內(nèi)的分子數(shù)為

f(vx,vy)dvxdvy?n

m2?kT

e

?m2kT

(vx?vy)

A

表示單位面積內(nèi)的分子數(shù)，則在單位

dvxdvy…………………………（5分）

這就是二維情況下的速度分布律。歸一化條件為：

??

f(vx,vy)dvxdvy?

??n2?kT

m

e

?

m2kT

(vx?vy)

dvxdvy?n

m2kT

化為極坐標(biāo)，并對角度進(jìn)行積分，可得二維情況下的速率分布律

f(v)dv?n

最概然速率vm滿足條件：

df(v)dv

?n

mdkTdv

(e

?m2kT

v

mkT

e

?v

vdv…………………………………（2分）

v)?0

由此得到：

vm?

kTm

……………………………………………（4分）

在這個速率附近，分子數(shù)最多。

4.（1）證明，在二維情況下，對于非相對論粒子，壓強(qiáng)和內(nèi)能的關(guān)系為：

p?

UA

這里，A是面積。這個結(jié)論對于玻爾茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都是成立的。（8分）（2）假設(shè)自由電子在二維平面上運(yùn)動，電子運(yùn)動為非相對論性的，面密度為n?N子氣體的費(fèi)米能量、內(nèi)能和簡并壓強(qiáng)。(8分)

A，試求 0 K 時電

答：（1）不妨假設(shè)二維空間為正方形，邊長為L，根據(jù)周期性邊界條件，二維自由粒子在x和y方向的動量分量的可能取值為：

px?py?

hLhL

nx;nx?0,?1,?2,? ny;ny?0,?1,?2,?

1h

因此對于非相對論的自由粒子，能量為：

?n

xny

?

p

2m

?

2mL

（h)(nx?ny)?

222

2mA

(nx?ny)?aA

22?1

以單一指標(biāo)l代替(nx,ny)，上式可以記為： ?l?aA?1 因此當(dāng)有N個粒子存在時，產(chǎn)生的壓強(qiáng)為：

p???

l

??l?A

al??

?

l

(?1)aA

?2

al?A

?1

??lal?

l

UA

…………………（8分）

（2）在面積A?L2內(nèi)，在p?p?dp內(nèi)，自由粒子的量子態(tài)的數(shù)目為：

(Lh)2?pdp

由于電子自旋為

Ah，因此利用自由粒子的非相對論能量動量關(guān)系??

p

2m，得到在????d?內(nèi)，自由電子的量子態(tài)的數(shù)目為：

2?md??

4?Amh

d?

根據(jù)費(fèi)米分布，一個量子態(tài)上的平均電子數(shù)為：

f?

1e

????

?1

在面積A內(nèi)，在????d?內(nèi)，自由電子的數(shù)目為：

he?1he?1

在T?0K時，對上式積分，可以確定費(fèi)米能量（零溫時的化學(xué)勢）：

?(0)

dN?

4?Am

????

d??

4?Am

(???)

kT

d?

N?

?

4?Amh

d???F??(0)?

h

4?m

n……………（4分）

面積A內(nèi)，在????d?內(nèi)，自由電子的能量為：

h

在T?0KdU?

4?Am

1e

(???)

kT

?1

?d?

時，對上式積分，得到自由電子的內(nèi)能為：

U(0)?

4?Amh

?(0)

??d??

N?(0)………………………………（2分）

在T?0K時的簡并壓強(qiáng)為：

p?

U(0)A

?12

n?(0)………………………………………（2分）