第一篇：數(shù)學(xué)史解析幾何部分教案

教案

教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課主要內(nèi)容是研究函數(shù)與曲線關(guān)聯(lián)、解析幾何的起源以及笛卡爾的生平和笛卡爾方法論．

教學(xué)目標(biāo) 1．知識(shí)與技能

通過(guò)查閱資料，了解函數(shù)與曲線的關(guān)聯(lián)、解析幾何的起源以及笛卡爾的生平和笛卡爾方法論，并結(jié)合初高中數(shù)學(xué)教材發(fā)現(xiàn)笛卡爾的方法論與當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的聯(lián)系。2．過(guò)程與方法

經(jīng)歷資料查閱的過(guò)程，探索函數(shù)與曲線之間的關(guān)聯(lián)，了解解析幾何的起源和笛卡爾的生平，掌握笛卡爾方法論與目前數(shù)學(xué)教學(xué)中有聯(lián)系的部分，提高資料收集、整理、合情推理的能力． 3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀

培養(yǎng)資料的查詢(xún)與組織的意識(shí)，激發(fā)學(xué)生求知欲，感悟解析幾何博大精深的內(nèi)容．

重、難點(diǎn)與關(guān)鍵

1．重點(diǎn)：函數(shù)與曲線之間的關(guān)聯(lián)、笛卡爾方法論以及笛卡爾方法論與當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)的聯(lián)系． 2．難點(diǎn)：各種資料的查閱組織，對(duì)函數(shù)與圖像的認(rèn)識(shí)以及對(duì)笛卡爾方法論的理解．

3．關(guān)鍵：笛卡爾把運(yùn)動(dòng)和辯證法引進(jìn)了數(shù)學(xué)，把對(duì)立著的兩個(gè)對(duì)象“數(shù)” 和“形” 統(tǒng)一起來(lái)，建立了曲線和函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．

教具準(zhǔn)備

投影儀、幻燈片、黑板．

教學(xué)方法

采用“問(wèn)題探究”的教學(xué)方法，讓學(xué)生在互動(dòng)交流中領(lǐng)會(huì)知識(shí)．

教學(xué)過(guò)程

一、回顧交流，遷移拓展

【問(wèn)題探究】

1： 2：

他們分別是什么？有什么聯(lián)系？

【教師活動(dòng)】操作投影儀，提出“問(wèn)題探究”，組織學(xué)生討論．

【學(xué)生活動(dòng)】小組討論，發(fā)表意見(jiàn)：“1為函數(shù)式，2為曲線，他們之間可以相互表示．”

【媒體使用】投影顯示“問(wèn)題探究”．

【教學(xué)形式】分四人小組，合作、討論．

第二篇：《解析幾何》教案

《解析幾何》教案

第一章 向量與坐標(biāo)

本章教學(xué)目的：通過(guò)本章學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握向量及其運(yùn)算的概念，熟練掌握線性運(yùn)算和非線性運(yùn)算的基本性質(zhì)、運(yùn)算規(guī)律和分量表示，會(huì)利用向量及其運(yùn)算建立空間坐標(biāo)系和解決某些幾何問(wèn)題，為以下各章利用代數(shù)方法研究空間圖形的性質(zhì)打下基礎(chǔ).本章教學(xué)重點(diǎn)：（1）向量的基本概念和向量間關(guān)系的各種刻劃。（2）向量的線性運(yùn)算、積運(yùn)算的定義、運(yùn)算規(guī)律及分量表示.本章教學(xué)難點(diǎn)：（1）向量及其運(yùn)算與空間坐標(biāo)系的聯(lián)系；（2）向量的數(shù)量積與向量積的區(qū)別與聯(lián)系；（3）向量及其運(yùn)算在平面、立體幾何中的應(yīng)用.本章教學(xué)內(nèi)容：

§1.1 向量的基本概念

一、定義：既有大小又有方向的量稱(chēng)為向量，如力、速度、位移等.二、表示：在幾何上，用帶箭頭的線段表示向量，箭頭表示向量的方向，線段長(zhǎng)度代表向量的大小；向量的大小又叫向量的模（長(zhǎng)度）.始點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B的向量，記作，其模記做.注：為方便起見(jiàn)，今后除少數(shù)情形用向量的始、終點(diǎn)字母標(biāo)記向量外，我們一般用小寫(xiě)黑體字母a、b、c??標(biāo)記向量，而用希臘字母λ、μ、ν??標(biāo)記數(shù)量.三、兩種特殊向量：

1、零向量：模等于0的向量為零向量，簡(jiǎn)稱(chēng)零向量，以0記之.注：零向量是唯一方向不定的向量.2、單位向量：模等于1的向量稱(chēng)為單位向量.特別地，與非0向量同向的單位向量稱(chēng)為的單位向量，記作.四、向量間的幾種特殊關(guān)系：

1、平行（共線）：向量a平行于向量b，意即a所在直線平行于b所在直線，記作a∥b，規(guī)定：零向量平行于任何向量.2、相等：向量a等于向量b，意即a與b同向且模相等，記作a=b.注：二向量相等與否，僅取決于它們的模與方向，而與其位置無(wú)關(guān)，這種與位置無(wú)關(guān)的向量稱(chēng)為自由向量，我們以后提到的向量都是指自由向量.3、反向量：與向量a模相等但方向相反的向量稱(chēng)為a的反向量，記作-a，顯然，零向量的反向量還是其自身.4、共面向量：平行于同一平面的一組向量稱(chēng)為共面向量.易見(jiàn)，任兩個(gè)向量總是共面的，三向量中若有兩向量共線，則三向量一定共面，零向量與任何共面向量組共面.注意：應(yīng)把向量與數(shù)量嚴(yán)格區(qū)別開(kāi)來(lái)：

①向量不能比較大小，如

沒(méi)有意義； ②向量沒(méi)有運(yùn)算，如類(lèi)似的式子沒(méi)有意義.§1.2 向量的加法

一 向量的加法： 定義1 設(shè)、為，以與

與

為鄰邊作一平行四邊形，取對(duì)角線向量，記，如圖1-1，稱(chēng)之和，并記作（圖1-1）

這種用平行四邊形的對(duì)角線向量來(lái)規(guī)定兩個(gè)向量之和的方法稱(chēng)作向量加法的平行四邊形法則.如果向量若與與向量在同一直線上，那么，規(guī)定它們的和是這樣一個(gè)向量： 的指向相同時(shí)，和向量的方向與原來(lái)兩向量相同，其模等于兩向量的模之和.若與的指向相反時(shí)，和向量的模等于兩向量的模之差的絕對(duì)值，其方向與模值大的向量方向一致.由于平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，可以這樣來(lái)作出兩向量的和向量： 定義2 作，以的終點(diǎn)為起點(diǎn)作，聯(lián)接

（圖1-2）得

（1-2）

該方法稱(chēng)作向量加法的三角形法則.（圖1-2）向量加法的三角形法則的實(shí)質(zhì)是：

將兩向量的首尾相聯(lián)，則一向量的首與另一向量的尾的連線就是兩向量的和向量.據(jù)向量的加法的定義，可以證明向量加法具有下列運(yùn)算規(guī)律： 定理1 向量的加法滿(mǎn)足下面的運(yùn)算律：

1、交換律 ,（1.2-2）

2、結(jié)合律.（1.2-3）證 交換律的證明從向量的加法定義即可得證.下證結(jié)合律.自空間任一點(diǎn)O開(kāi)始依次作

所以

由定理1知，對(duì)三向量.二 向量的減法 定義3 若，則我們把叫做與的差，記為，.，只要把與、長(zhǎng)度相同而方向相反的向量，以

與

加到向量上去.由平行，則

.相加，不論其先后順序和結(jié)合順序如何，結(jié)果總是相同的，可以簡(jiǎn)單的寫(xiě)作

，則有

顯然，特別地，由三角形法則可看出：要從減去四邊形法可如下作出向量對(duì)角線向量..設(shè)

為鄰邊作一平行四邊形例1 設(shè)互不共線的三向量、與，試證明順次將它們的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連而成一個(gè)三角形的充要條件是它們的和是零向量.證 必要性 設(shè)三向量、、可以構(gòu)成三角形

（圖1-3），（圖1-3），那么, 即 充分性 設(shè)

.，作

那么，所以，從而，所以、、可以構(gòu)成三角形.例2 用向量法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.證 設(shè)四邊形因此從圖可看出：所以，∥，且，即四邊形的對(duì)角線、交于

點(diǎn)且互相平分（圖1-4），為平行四邊形.（圖1-4）

定義1.3.1 設(shè)是一個(gè)數(shù)量，向量與

§1.3 數(shù)量乘向量 的乘積是一向量，記作時(shí)，向量的方向與，其模等于的方向相同；當(dāng)?shù)谋?，即時(shí)，向量

是.；且方向規(guī)定如下：當(dāng)零向量，當(dāng)時(shí)，向量的方向與的方向相反.特別地，取，則向量的模與的模相等，而方向相反，由負(fù)向量的定義知： 據(jù)向量與數(shù)量乘積的定義，可導(dǎo)出數(shù)乘向量運(yùn)算符合下列運(yùn)算規(guī)律： 定理1.3.1.數(shù)量與向量的乘法滿(mǎn)足下面的運(yùn)算律： 1)122)結(jié)合律 3)分配律 =,(1.3-1),(1.3-2)

4)證 1)據(jù)定義顯然成立.2)顯然，向量且 = 或、=、=

.(1.3-3)的方向是一致，.3）分配律 如果反之 ⅰ)若 ,中至少有一個(gè)為0，等式顯然成立；

顯然同向，且

所以ⅱ）若若所以不妨設(shè)則有

由ⅰ)可得，對(duì)的情形可類(lèi)似證明.一個(gè)常用的結(jié)論： 定理3.若行且設(shè)由于即，則是非零向量，用與(為數(shù)量)，則向量(是數(shù)量).同方向的單位向量.與

亦同方向，而且，與向量

平行，記作

；反之，若向量

與向量

平表示與同方向，從而.我們規(guī)定：若，.于是.這表明：一個(gè)非零向量除以它的模是一個(gè)與原向量同方向的單位向量.請(qǐng)注意：向量之間并沒(méi)有定義除法運(yùn)算，因此決不能將式子十分顯然，這種錯(cuò)誤是受實(shí)數(shù)運(yùn)算法則的“慣性作用”所造成.例1 設(shè)AM是三角形ABC的中線，求證

.改寫(xiě)成形式.（圖1-5）

證 如圖1-5，因?yàn)?，所?/p>

但 因而，即.例2 用向量法證明：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半.證 設(shè)△ABC兩邊AB,AC中點(diǎn)分別為M，N，則所以，且.§1.4 向量的線性關(guān)系與向量的分解

定義1.4.1 由向量

與數(shù)量

所組成的向量

線性表示,或稱(chēng)可以分解成向量

叫做向量的的線性組合,或稱(chēng)可以用向量線性組合.定理1.4.1 如果向量使得 并且系數(shù)證 若存在實(shí)數(shù)再證，那么向量與向量共線的充要條件是可用向量線性表示，即存在實(shí)數(shù)，(1.4-1)被，唯一確定.成立，那么由定義1.3.1知向量與向量共線.反之，如果向量與向量共線，那么一定使得（見(jiàn)1.3節(jié)中1.3.5的證明）.，那么不共線，那么向量與，而，所以，.線性表示，即 的唯一性：如果定理1.4.2 如果向量 并且系數(shù)證： 被

共面的充要條件是可用向量，(1.4-2)，唯一確定.（圖1-6）因與不共線，由定義1.1.4知，其中，并設(shè)

.設(shè)與都不共線，中之一共線，那么由定理1.4.1有中有一個(gè)為零；如果與，于，把它們歸結(jié)共同的始點(diǎn)別作設(shè)反之，設(shè)如果共面.最后證，那么，那么經(jīng)過(guò)的終點(diǎn)分，由定理 1.4.1，可.的平行線依次交直線（圖1-6），因，即，那么

與，所以由平行四邊形法則得，如果

中有一個(gè)為零，如

共線，因此與共面.，從向量加法的平行四邊形法則知與

=，，將有，這與假設(shè)矛盾，所以

都共面，因此與的唯一性.因?yàn)槟敲?如果，那么，這就證明了唯一性.定理1.4.3 如果向量數(shù)

.同理

不共面，那么空間任意向量可以由向量線性表示，即存在一組實(shí)使得，(1.4-3)

并且系數(shù)x,y,z被，唯一確定.證明方法與定理1.4.2類(lèi)似.定義1.4.2 對(duì)于個(gè)向量，若存在不全為零的實(shí)數(shù)，(1.4-4)

則稱(chēng)向量線性相關(guān).線性無(wú)關(guān)：.定理1.4.4 在組合.證 設(shè)向量時(shí)，向量

線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個(gè)向量是其余向量的線性，使得

不是線性相關(guān)的向量叫做線性無(wú)關(guān)，即向量線性相關(guān)，則存在不全為零的實(shí)數(shù)，且

使得，中至少有一個(gè)不等于0，不妨設(shè)則 反過(guò)來(lái)，設(shè)向量 即 中有一個(gè)向量，不妨設(shè)為

；，它是其余向量的線性組合，即，.因?yàn)閿?shù)，-1不全為0，所以向量線性相關(guān).定理1.4.5 如果一組向量中的部分向量線性相關(guān)，那么這一組向量就線性相關(guān).證 設(shè)使得中有一部分，不妨設(shè)前r個(gè)向量線性相關(guān)，即存在不全為零的實(shí)數(shù)

.則有，因?yàn)椋蝗珵榱?，所以線性相關(guān).推論 如果一組向量中含有零向量，那么這一組向量就線性相關(guān) 類(lèi)似地可證明下面的定理： 定理1.4.6 兩向量與共線

線性相關(guān).定理1.4.7 三向量與共面線性相關(guān).定理1.4.8 空間任意四個(gè)或四個(gè)以上的向量總是線性相關(guān)的.例1 試證明：點(diǎn)，其中在線段

上的充要條件是：存在非負(fù)實(shí)數(shù)，使得，且是任意取定的一點(diǎn).在線段.，證（先證必要性）設(shè)所以 任取一點(diǎn)所以，取，所以，上，則與同向，且，.，則，，使得

.，且，（充分性）若對(duì)任一點(diǎn)則 所以 有非負(fù)實(shí)數(shù)

與共線，即在直線上.又，所以在線段上.例2設(shè)證 為兩不共線向量，證明共線,線性相關(guān)，使，共線的充要條件是.即存在不全為0的實(shí)數(shù)即，(1.4-5)

.又因?yàn)椴还簿€ 即線性無(wú)關(guān)，故方程有非零解

.§1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)

一 空間點(diǎn)的直角坐標(biāo):

平面直角坐標(biāo)系使我們建立了平面上的點(diǎn)與一對(duì)有序數(shù)組之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，溝通了平面圖形與數(shù)的研究.為了溝通空間圖形與數(shù)的研究，我們用類(lèi)似于平面解析幾何的方法，通過(guò)引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系來(lái)實(shí)現(xiàn).1、空間直角坐標(biāo)系

過(guò)空間一定點(diǎn)，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們以為原點(diǎn)，且一般具有相同的長(zhǎng)度單位，這三條軸分別叫軸(橫軸)、軸(縱軸)、軸(豎軸)，且統(tǒng)稱(chēng)為坐標(biāo)軸.通常把軸，軸配置在水平面上，而

軸則是鉛垂線，它們的正方向要符合右手規(guī)則：

(圖1-7)右手握住軸，當(dāng)右手的四個(gè)指頭從三條坐標(biāo)軸就組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)

角度轉(zhuǎn)向軸與

軸正向時(shí)，大拇指的指向就是軸正向.左右.當(dāng)然，它們的實(shí)

軸的正向以

叫做坐標(biāo)原點(diǎn).軸間的夾角畫(huà)成注：為使空間直角坐標(biāo)系畫(huà)得更富于立體感，通常把際夾角還是.2、坐標(biāo)面與卦限

三條坐標(biāo)軸中的任意兩條可以確定一個(gè)平面，這樣定出的三個(gè)平面統(tǒng)稱(chēng)為坐標(biāo)面.由軸與軸所決定的坐標(biāo)面稱(chēng)為面，另外還有面與三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成了八個(gè)部分，這八個(gè)部分稱(chēng)為卦限.面.(圖1-8)

3、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)

取定空間直角坐標(biāo)系之后，我們就可以建立起空間點(diǎn)與有序數(shù)組之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.7 設(shè)為空間的一已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作垂直于

點(diǎn)的坐標(biāo).軸、軸、軸的三個(gè)平面，它們與軸、軸、軸的交點(diǎn)依次為了一個(gè)有序數(shù)組依次稱(chēng)，，這三點(diǎn)在軸、，這組數(shù)叫為點(diǎn)

軸、軸的坐標(biāo)依次為

.的點(diǎn)，于是：空間點(diǎn)就唯一地確定的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)，記為，我們可以在、、軸上取坐標(biāo)為

軸、反過(guò)來(lái)，若已知一有序數(shù)組在軸取坐標(biāo)為的點(diǎn)，在軸上取坐標(biāo)為的點(diǎn)，然后過(guò)分別作軸、軸的垂直平面，這三個(gè)平面的交點(diǎn)就是以有序數(shù)組為坐標(biāo)的空間點(diǎn).和有序數(shù)組

之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系..這樣，通過(guò)空間直角坐標(biāo)系，我們建立了空間點(diǎn)定義1 我們把上面有序數(shù)組

二 空間兩點(diǎn)間的距離公式 定理1 設(shè)、叫點(diǎn)

在此坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，記為

為空間的兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離為

(1.5-1)

證 過(guò)、體，如圖所示 各作三個(gè)分別垂直于三坐標(biāo)軸的平面，這六個(gè)平面圍成一個(gè)以為對(duì)角線的長(zhǎng)方

(圖1-9)

是直角三角形，故因?yàn)槭侵苯侨切?，?/p>

；，，故 特別地，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為.三 空間向量的坐標(biāo)

.，從而 而

定義2 設(shè)使得標(biāo)，記為定理

2設(shè)向量是與坐標(biāo)軸，同向的單位向量，對(duì)空間任意向量都存在唯一的一組實(shí)數(shù)，，那么我們把這組有序的實(shí)數(shù)或

.、叫做向量在此坐標(biāo)系下的坐的始終點(diǎn)坐標(biāo)分別為，那么向量

.(1.5-2)的坐標(biāo)為

證 由點(diǎn)及向量坐標(biāo)的定義知所以

=由定義知

定理3 兩向量和的分量等于兩向量對(duì)應(yīng)的分量的和.證 設(shè)，==所以

類(lèi)似地可證下面的兩定理： 定理

4設(shè)定理5 設(shè)，則，則+，.(1.5-3)，那么

..，.共線的充要條件是

定理6

三非零向量，.(1.5-4)，共面的充要條件是 證 因?yàn)?(1.5-5)

不共面，所以存在不全為0的實(shí)數(shù)

使得，由此可得

因?yàn)椴蝗珵?，所以.§1.6 向量在軸上的射影

一、空間點(diǎn)在軸上的投影：

設(shè)已知點(diǎn)及軸，過(guò)點(diǎn)作軸的垂直平面，則平面

與軸的交點(diǎn)叫做點(diǎn)

在軸

上的投影.(圖1-10)

二、向量在軸上的投影： 定義1 設(shè)向量叫做向量的始點(diǎn)在軸與終點(diǎn)

在軸的投影分別為、，那么軸稱(chēng)為投影軸.上的有向線段的值上的投影，記作，軸(圖1-11)這里，(1)的值是這樣的一個(gè)數(shù)： 即，數(shù)的絕對(duì)值等于向量

；當(dāng)?shù)哪?的方向與

(2)當(dāng)?shù)姆较蚺c軸的正向一致時(shí)，三、空間兩向量的夾角：

軸的正向相反時(shí)，.設(shè)有兩向量、交于點(diǎn)(若、不相交，可將其中一個(gè)向量平移使之相交)，將其中一向量繞點(diǎn)在兩向量所決定的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，使它的正方向與另一向量的正方向重合，這樣得到的旋轉(zhuǎn)角度(限定)稱(chēng)為、間的夾角，記作

.(圖1-12)

若、平行，當(dāng)它們指向相同時(shí)，規(guī)定它們之間的夾角為；當(dāng)它們的指向相反時(shí)，規(guī)定它們的夾角為.類(lèi)似地，可規(guī)定向量與數(shù)軸間的夾角.將向量平行移動(dòng)到與數(shù)軸相交，然后將向量繞交點(diǎn)在向量與數(shù)軸所決定的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，使向量的正方向與數(shù)軸的正方向重合，這樣得到的旋轉(zhuǎn)角度四 投影定理： 定理1.6.1 向量在軸上的投影等于向量的模

稱(chēng)為向量與數(shù)軸的夾角.乘以軸與向量的夾角的余弦.即 ,(1.6-1)

(圖1-13)證 過(guò)向量等于軸的始點(diǎn)引軸，且軸

與軸

平行且具有相同的正方向，那未軸

與向量的夾角與向量的夾角，而且有

故 由上式可知：向量當(dāng)非零向量在軸

上的投影是一個(gè)數(shù)值，而不是向量.成銳角時(shí)，向量

都有，設(shè)，.分別是的投影為正..(1.6-2)

在軸上的投影，那么顯然與投影軸定理1.6.2 對(duì)于任何向量證 取有 因?yàn)?所以 即 類(lèi)似地可證下面的定理：，那么定理1.6.3 對(duì)于任何向量與任何實(shí)數(shù)

有.(1.6-3)

§1.7 兩向量的數(shù)性積

定義1.7.1 對(duì)于兩個(gè)向量a和b?把它們的模|a|,|b|及它們的夾角 的余弦的乘積稱(chēng)為向量和的數(shù)量積?記作ab,即 ab=|a||b|cos.由此定義和投影的關(guān)系可得?ab|b|Prjb a=|a|Prjab?.數(shù)量積的性質(zhì)?

2(1)a2a=|a|,記a2aa，則a|a|.(2)對(duì)于兩個(gè)非零向量 a、b?如果 a2?b=0?則 ab? 反之?如果ab?則a2?b?0.定理1.7.1 如果認(rèn)為零向量與任何向量都垂直?則a?b?a2?b?0.定理1.7.2 數(shù)量積滿(mǎn)足下面運(yùn)算律：?(1)交換律? a2?b= b2a?(2)分配律(??ab)cacbc

(?(3)a)2?b a2(b?)(a2b)?(a)2(b?)(a2b)??

證（1）由定義知顯然.(2)的證明

因?yàn)楫?dāng)c0時(shí) 上式顯然成立

當(dāng)c0時(shí) 有

(ab)c|c|Prjc(ab)|c|(PrjcaPrjcb)|c|Prjca|c|Prjcb acbc

（3）可類(lèi)似地證明.例1 試用向量證明三角形的余弦定理

證 設(shè)在ΔABC中?∠BCA c 記2|c| 2

2||=a ||=b |?

|=c 要證

a 2+b 22 a b cos a?b?=c??則有 cc

c(ab)(ab)a2-2 2 2

ab 從而???

2ab+b|a|2+|b|22|a||b|cos(a^b)

即 ca+b2 a b cos ?

數(shù)量積的坐標(biāo)表示?:

定理1.7.3 設(shè)a{ax ay az }?b{bx by bz } 則

a2baxbxaybyazbz

證 a2?b(ax ?i ay j az k)2(bx i by j bz k)ax bx i2i ax by i2j ax bz i2k

ay bx j 2i ay by j 2j ay bz j2k

az bx k2i az by k2j az bz k2k ax bx ay by az bz ?

定理1.7.4 設(shè)a={ |a|=證 由定理1.7.2知

|a|=a=2

},則向量a的模

.，所以 |a|=.向量的方向角和方向余弦：向量與坐標(biāo)軸所成的角叫做向量的方向角，方向角的余弦叫向量的方向余弦.定理1.7.5 設(shè)a={

}，則a的方向余弦為

cos =, cos，cos且 其中

；，分別是向量a與x軸，y軸,z軸的夾角.證 因?yàn)? ai=|a|cos

且ai==，所以 |a|cos從而 cos=.同理可證 cos

cos且顯然

兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示?

定理1.7.6

設(shè)(a ^ b)則當(dāng)a

0、b0時(shí)?有

.證 ?因?yàn)?a2b|a||b|cos

，所以

.例2 已知三點(diǎn)M(11?1)?、A(22?1)?和B(21?2)??求AMB ?

解 從M到A的向量記為a 從M到B的向量記為b 則AMB 就是向量a與b的夾角?.a{11?0}??b{10?1}??

因?yàn)?/p>

ab1110011?

所以 從而.? ?

?

§1.8 兩向量的向量積

定義1.8.1 兩個(gè)向量a與b的向量積(也稱(chēng)外積)是一個(gè)向量,記做ab或,它的模|ab||a||b|sin,它的方向與a和b垂直并且按a,b, ab確定這個(gè)順序構(gòu)成右手標(biāo)架｛O;a,b,ab｝.從定義知向量積有下列性質(zhì)：(1)aa0

(2)對(duì)于兩個(gè)非零向量a，b如果ab0則a//b；反之如果a//b則ab 0.定理1.8.1 兩不共線向量a與b 的向量積的模,等于以a與b為邊所構(gòu)成的平行四邊形的面積.定理1.8.2 兩向量a與b共線的充要條件是ab0.證 當(dāng)a與b共線時(shí)，由于sin(a、b)=0，所以|ab|=|a||b| sin(a、b)=0，從而ab0；反之，當(dāng)ab0時(shí)，由定義知，a =0，或b =0，或a//b，因零向可看成與任向量都共線，所以總有a//b，即a與b共線.定理1.8.3 向量積滿(mǎn)足下面的運(yùn)算律

(1)反交換律 abba，(2)分配律(ab)cacbc，(3)數(shù)因子的結(jié)合律(a)ba(b)(ab)().證（略）.推論: c(ab)c a c b

定理1.8.4 設(shè)a ax i ay j az kb bx i by j bz k，則 ab(aybz azby)i(azbx axbz)j（axby aybx）k

證 由向量積的運(yùn)算律可得

ab(ax iay jaz k)(bx iby j bz k)axbx iiaxby ij axbz ik

aybx jiayby jjaybz jkazbx kiazby k azbz kk

由于 iijjkk0ijkjkikij 所以 ab(aybz azby)i(azbx axbz)j（axby aybx）k.為了幫助記憶利用三階行列式符號(hào)上式可寫(xiě)成

aybzi+azbxj+axbykaybxkaxbzjazbyi

(ay bz az by)i(az bx ax bz)j(ax by ay bx)k

例1 設(shè)a(2 1 1)b(11 2)計(jì)算ab

解 =2ij2kk4ji i5j 3k

例2 已知三角形ABC的頂點(diǎn)分別是A(123)、B(345)、C(247)求三角形ABC的面積

解 根據(jù)向量積的定義可知三角形ABC的面積

由于(222)(124)因此

4i6j2k

于是

例3 設(shè)剛體以等角速度 繞l 軸旋轉(zhuǎn)計(jì)算剛體上一點(diǎn)M的線速度

解 剛體繞l 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)我們可以用在l 軸上的一個(gè)向量n表示角速度它的大小等于角速度的大小它即以右手握住l 軸當(dāng)右手的四個(gè)手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時(shí)大姆指的指向就是n的方向

設(shè)點(diǎn)M到旋轉(zhuǎn)軸l的距離為a 再在l軸上任取一點(diǎn)O作向量r并以 表示n與r的夾角那么

a|r| sin

設(shè)線速度為v那么由物理學(xué)上線速度與角速度間的關(guān)系可知v的大小為

|v||n|a |n||r| sin

v的方向垂直于通過(guò)M點(diǎn)與l軸的平面即v垂直于n與r又v的指向是使n、r、v符合右手規(guī)則因此有

vnr

§1.9 三向量的混合積

定義1.9.1 給定空間的三個(gè)向量或.定理1.9.1 三個(gè)不共面向量且當(dāng)右手系時(shí)構(gòu)成右手系時(shí)混合積為正；當(dāng),當(dāng)構(gòu)成左手系時(shí)的混合積的絕對(duì)值等于以

為棱的平行六面體的體積

=

當(dāng)，并構(gòu)成，我們把

叫做三向量的混合積，記做

構(gòu)成左手系時(shí)混合積為負(fù),也就是.可構(gòu)成以證 由于向量的底面是以不共面，所以把它們歸結(jié)到共同的試始點(diǎn)，它的高為，為棱的平行六面體，它

.為邊的平行四邊形，面積為，體積是根據(jù)數(shù)性積的定義其中是當(dāng)與的夾角.構(gòu)成右手系時(shí)，.，.共面的充要條件是共面，由定理1.9.1知，因而可得

當(dāng)構(gòu)成左手系時(shí)，因而可得

定理1.9.2 三向量證 若三向量.反過(guò)來(lái)，如果，即

.，所以，從而，那么根據(jù)定理1.7.1有，另一方面，有向性積的定義知，所以共面.定理1.9.3輪換混合積的三個(gè)因子，并不改變它的值；對(duì)調(diào)任何倆因子要改變混合積符號(hào)，即

.證 當(dāng)共面時(shí)，定理顯然成立；當(dāng)

不共面時(shí)，混合積的絕對(duì)值等于以

為棱的平行六面體的體積，又因輪換的順序時(shí)，不改變左右手系，因而混合積不變，而對(duì)調(diào)任意兩個(gè)之間的順序時(shí)，將右手系變?yōu)樽?，而左變右，所以混合積變號(hào).推論: 定理1.9.4設(shè)

.，，那么

證 由向量的向性積的計(jì)算知

.再根據(jù)向量的數(shù)性積得，==

=推論: 三向量

.共面的充要條件是

例1 設(shè)三向量證明：由

且所以例2 已知四面體，求它的體積。，即

滿(mǎn)足

.，證明：

兩邊與做數(shù)量積，得：，共面。

共面。，，的頂點(diǎn)坐標(biāo)解：

，，所以，§1.10三向量的雙重外積

定義1.10.1 給定空間三向量，先做其中兩個(gè)的向量積，再把所得的向量與第三個(gè)向量做向量積，那么，最后的結(jié)果仍然是一個(gè)向量，叫做三個(gè)向量的雙重向量積。

就是三向量也垂直，所以定理1.10.1 證 若中有一個(gè)是零向量，或定理顯然成立。

現(xiàn)設(shè)都為非零向量，且的一個(gè)雙重向量積。且和

共面。

（1.10.1）

共線，或與

都垂直，則（1.10.1）兩邊都是零向量，與

都垂直，與

不共線，為了證明（1.10.1）成立，先證

（1）

由于（2）式兩邊分別與，解得，即（1）式成立。共面，而

不共線，故可設(shè)，（2）

作數(shù)量積可得

下證（1.10.1）成立。由于則有利用（1）式可得例1.試證: 證明：

三式相加得例2． 證明： 證明：設(shè)，則

不共面，對(duì)任意，可設(shè)。

。，小 結(jié)

知識(shí)點(diǎn)回顧：

解析幾何的基本思想就是用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，為了把代數(shù)運(yùn)算引到幾何中來(lái)，最根本的做法就是把空間的幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)地代數(shù)化，數(shù)量化。因此在本章中主要引入了向量及它的運(yùn)算，并通過(guò)向量了坐標(biāo)系，從而使得空間中的點(diǎn)都和三元有序數(shù)組建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，為空間的幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化打好了基礎(chǔ)。

通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)掌握向量及其各種運(yùn)算的概念，熟練掌握線性運(yùn)算和非線性運(yùn)算的基本性質(zhì)、運(yùn)算規(guī)律和分量表示，會(huì)利用向量及其運(yùn)算建立空間坐標(biāo)系和解決某些幾何問(wèn)題，如利用兩向量的數(shù)量積為零來(lái)判斷各種垂直關(guān)系，兩向量的向量積為零向量來(lái)判斷各種平行問(wèn)題，三向量的混合積為零來(lái)判斷共面問(wèn)題，以及在空間直角坐標(biāo)系下，利用向量積的模求面積，混合積來(lái)求體積等問(wèn)題。

1.向量加法的運(yùn)算規(guī)律：

（1）

（2）（3）

（4）

2.數(shù)乘的運(yùn)算規(guī)律：

（1）12（2）

（3）（4），.=，.3.兩向量的數(shù)量積

（1）ab=|a||b|cos.（2）a?b?a2?b?0.（3）在空間直角坐標(biāo)系下，設(shè)a a2b 4．兩向量的向量積

{ax ay az }?baxbxaybyazbz

{bx by bz } 則

（1）兩個(gè)向量a與b的向量積(也稱(chēng)外積)是一個(gè)向量,記做ab或,它的模|ab||a||b|sin,它的方向與a和b垂直并且按a,b, ab確定這個(gè)順序構(gòu)成右手標(biāo)架｛O;a,b,ab｝

（2）兩向量a與b共線的充要條件是ab0..（3）在空間直角坐標(biāo)系下設(shè)a ax i ay j az kb bx i by j bz k，則 ab(aybz azby)i(azbx axbz)j（axby aybx）k

（4）兩不共線向量a與b 的向量積的模,等于以a與b為邊所構(gòu)成的平行四邊形的面積

5.三向量的混合積

（1）三個(gè)不共面向量并且當(dāng)也就是

.（2）三向量

共面的充要條件是，.，的混合積的絕對(duì)值等于以構(gòu)成右手系時(shí)混合積為正；當(dāng)=

當(dāng)

構(gòu)成右手系時(shí)

為棱的平行六面體的體積，構(gòu)成左手系時(shí)混合積為負(fù)，當(dāng)

構(gòu)成左手系時(shí)（3）在空間直角坐標(biāo)系下設(shè)那么

.典型習(xí)題

1.已知四面體ＡＢＣＤ的頂點(diǎn)坐標(biāo)Ａ（４，３，０），Ｂ（６，０，６），Ｃ（０，０，０），Ｄ。

求（１）△ＢＣＤ的面積。

（２）四面體ＡＢＣＤ的體積。（３）Ｃ到△ＢＣＤ的距離。解：（1）

所以 △BCD的面積，-------2分

（2）四面體ABCD的體積為

（3）設(shè)C到BCD平面的距離為h,則

從而有。

．，即

2.用向量法證明：P是ΔABC重心的充要條件為證明：設(shè)P為△ABC的重心，D為BC邊中點(diǎn)，則 又因?yàn)镻D為△PBC的中線，所以 所以有 設(shè)D為BC邊中點(diǎn)，則，即。

又因?yàn)椋c共線，即P在BC邊的中線上，同理可得P也在AB，AC邊的中線上，從而有P為△ABC的重心。

3.證明：四面體每一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)面重心所連的線段共點(diǎn)，且這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)面重心距離的三倍.用四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)把交點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái).[證明]：設(shè)四面體A1A2A3A4,Ai對(duì)面重心為Gi, 欲證AiGi交于一點(diǎn)(i＝1, 2, 3, 4).在AiGi上取一點(diǎn)Pi，使＝3, 從而設(shè)Ai(xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，則

＝，G1G2G3G4所以 , ， ，P1(P1(同理得P24.在四面體，,)

P3P

4,).P1，所以AiGi交于一點(diǎn)P，且這點(diǎn)到頂點(diǎn)距離等于這點(diǎn)到對(duì)面重心距離的三倍.是的重心（三中線之交點(diǎn)），求矢量

對(duì)于矢量 中，設(shè)點(diǎn)的分解式。

解：是的重心。連接并延長(zhǎng)與BC交于P 同理

（1）

由（1）（2）（3）得

（2）

（3）

即

第二章 軌跡與方程

本章教學(xué)目的：通過(guò)本章學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解空間坐標(biāo)系下曲面與空間曲線方程之定義及表示，熟悉空間中一些特殊曲面、曲線的方程.本章教學(xué)重點(diǎn)：空間坐標(biāo)系下曲面與空間曲線方程的定義.本章教學(xué)難點(diǎn)：（1）空間坐標(biāo)系下母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程與平面坐標(biāo)系下有關(guān)平面曲線方程的區(qū)別；（2）空間坐標(biāo)系下，空間曲線一般方程的規(guī)范表示.本章教學(xué)內(nèi)容：

§2.1平面曲線的方程

在平面上或空間取定了坐標(biāo)系之后，平面上或空間的點(diǎn)就與有序數(shù)組(坐標(biāo)):或建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.曲線、曲面(軌跡)就與 方程

或建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.1.平面上的曲線: 具有某種特征性質(zhì)的點(diǎn)的集合(軌跡).曲線的方程:1 曲線上的點(diǎn)都具有這些性質(zhì).2具有這些性質(zhì)的點(diǎn)都在曲線上.2.曲線的方程, 方程的圖形

定義2.1.1 當(dāng)平面上取定了坐標(biāo)系之后,如果一個(gè)方程與一條曲線有著關(guān)系:1滿(mǎn)足方程的線上某一點(diǎn)的坐標(biāo);2曲線上任何一點(diǎn)的坐標(biāo)這條曲線叫做這個(gè)方程的圖形.例1.求圓心在原點(diǎn),半徑為R的圓的方程.必是曲

滿(mǎn)足這個(gè)方程,那么這個(gè)方程叫做這條曲線的方程,而解: 任意點(diǎn)類(lèi)似地, 圓心在 例2.已知兩點(diǎn)解: 動(dòng)點(diǎn)在圓上,半徑為R的圓的方程為和在軌跡上,求滿(mǎn)足條件

..的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.即

平方整理得

再平方整理得

.為所求軌跡方程.注: 在求曲線的方程時(shí),化簡(jiǎn)過(guò)程中可能造成范圍 的變化,得到的方程所代表曲線上的點(diǎn)與條件并不

完全相符,必須補(bǔ)上或除去.3.曲線的參數(shù)方程 變向量: 隨的變化而變化的向量.:對(duì)每一個(gè)

都唯一確定的一個(gè).（）叫做曲線的向量式 向量函數(shù)= 定義2.1.2 在坐標(biāo)系上,向量函數(shù)==參數(shù)方程.曲線的坐標(biāo)式參數(shù)方程: 曲線的普通方程:.21

例3.一個(gè)圓在一直線上無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng),求圓周上一點(diǎn)的軌跡.(圖2-3)

解:取直角坐標(biāo)系,設(shè)半徑為的圓在軸上滾動(dòng),開(kāi)始時(shí)點(diǎn)P恰好在原點(diǎn)O(圖2-3),經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的滾動(dòng),圓與直線軸的切點(diǎn)移到A點(diǎn),圓心移到C點(diǎn),這時(shí)有

.設(shè)為到的有向角,則到的角為,則

.又

, ,這即是P點(diǎn)軌跡的向量式參數(shù)方程.其坐標(biāo)式參數(shù)方程為:取時(shí),消去參數(shù),得其在的一段的普通方程: 這種曲線叫做旋輪線或稱(chēng)為擺線.例4.已知大圓半徑為,小圓半徑為,設(shè)大圓不動(dòng),而小圓在大圓內(nèi)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng),動(dòng)圓周上某一點(diǎn)P的軌跡叫做內(nèi)旋輪線(或稱(chēng)內(nèi)擺線),求內(nèi)旋輪線的方程.解:

設(shè)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)動(dòng)點(diǎn)P與大圓周上的A點(diǎn)重合，并取大圓中心O為原點(diǎn)，OA為x軸，過(guò)O與OA垂直的直線為y軸建立坐標(biāo)系，經(jīng)過(guò)某一過(guò)程后，小圓與大圓的接觸點(diǎn)為B，小圓中心為C，則C一定在OB上，且有，設(shè)為到則有又由弧AB等于弧BP可得所以

.的有向角，為

到的有向角，從而有到的有向角為，23 即為P點(diǎn)的向量式參數(shù)方程，其坐標(biāo)式參數(shù)方程為

（-∞﹤<+∞）

例5 把線繞在一個(gè)固定的圓周上，將線頭拉緊后向反方向旋轉(zhuǎn)，以把線從圓周上解放出來(lái)，使放出來(lái)的部分成為圓的切線，求線頭的軌跡.解 設(shè)圓的半徑為是圓周上的點(diǎn)，如右圖，建立坐標(biāo)系，那么 設(shè) 且矢量 所以 =從而得，，那么，對(duì)軸所成的有向角為，線頭的最初位置

，這就是所求點(diǎn)軌跡的矢量式參數(shù)方程.由上式可得該軌跡的坐標(biāo)式參數(shù)方程為

該曲線叫漸伸線或切展線.一、曲面的方程：

§2.2 曲面的方程

定義2.2.1 設(shè)Σ為一曲面，F(xiàn)（x，y，z）=0或以后，若Σ上任一點(diǎn)P（x,y,z）的坐標(biāo)都滿(mǎn)足F（x，y，z）=0或都在曲面Σ上，則稱(chēng)F（x，y，z）=0或

為一三元方程，空間中建立了坐標(biāo)系，而且凡坐標(biāo)滿(mǎn)足方程的點(diǎn)

為曲面Σ的方程，而曲面Σ叫做方程F（x，y，z）=0或的圖形.不難看出，一點(diǎn)在曲面Σ上〈═〉該點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足Σ的方程，即曲面上的點(diǎn)與其方程的解之間是一一對(duì)應(yīng)的 ∴Σ的方程的代數(shù)性質(zhì)必能反映出Σ的幾何性質(zhì).三元方程的表示的幾種特殊圖形：

空間中任一曲面的方程都是一三元方程，反之，是否任一三元方程也表示空間中的一個(gè)曲面呢？一般而言這是成立的，但也有如下特殊情況

1° 若F（x，y，z）=0的左端可分解成兩個(gè)（或多個(gè)）因式F1（x，y，z）與F2（x，y，z）的乘積，即F（x，y，z）≡F1（x，y，z）F2（x，y，z），則

F（x，y，z）=0〈═〉F1（x，y，z）=0或F2（x，y，z）=0，此時(shí) F（x，y，z）=0表示兩葉曲面與，它們分別以F1（x，y，z）=0，F(xiàn)2（x，y，z）=0為其方程，此時(shí)稱(chēng)F（x，y，z）=0表示的圖形為變態(tài)曲面.如

即為三坐標(biāo)面.2方程 僅表示坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)（1，2，3）3°方程可能表示若干條曲線，如

0

即表示z軸和x軸 4°方程 不表示任何實(shí)圖形，如，此時(shí)，稱(chēng)所表示的圖形為虛曲面 3 求法：

例1：求平行于坐標(biāo)面的平面的方程.解：設(shè)平行于 面的平面為π，π與z軸的交點(diǎn)為∈π〈═〉

共面，則

=0 即

同理，平行于其他兩坐標(biāo)面的平面的方程為

例2：求作兩定點(diǎn)A（1，-2，1），B（0，1，3）等距離的點(diǎn)的軌跡.解：

（圖2.1）

設(shè)所求軌跡為Σ，則

=

〈═〉-2x+4y-2z+6=-2y-6z+10

〈═〉2x-6y-4z+4=0〈═〉x-3y-2z+2=0

即所求軌跡為x-3y-2z+2=0

例3：求半徑為R的球面的方程

解：建立直角坐標(biāo)系{O；i,j,k}，并設(shè)球心 P（x,y,z）球面Σ〈═〉∣

（a,b,c），則

∣=R〈═〉

特別地，若M.（a,b,c）為坐標(biāo)原點(diǎn)，則球面Σ的方程為 x2+y2+z2=R2

綜合上述條例，可歸納出求曲面方程的一般步驟如下： 1°建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；（方程易求且求出的方程簡(jiǎn)單）

2°設(shè)動(dòng)點(diǎn)Σ坐標(biāo)為P（x,y,z），并根據(jù)已知條件，推出曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿(mǎn)足的方程； 3°對(duì)方程作同解化簡(jiǎn).二、曲面的參數(shù)方程：

定義2.2.2 設(shè)DR2為有序數(shù)對(duì)集，若對(duì)任意（u，v）∈D，按照某對(duì)應(yīng)規(guī)則，有唯一確定的向量r與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系為D上的一個(gè)二元向量函數(shù)，記作

r=r（u，v），（u，v）∈D

定義2.2.3 設(shè)Σ為一曲面，r=r（u，v），（u，v）∈D為一二元向量函數(shù)，在空間坐標(biāo)系下，若對(duì)任意（u，v）∈D，徑向

=r（u，v）的終點(diǎn)P總在曲面Σ上，而且對(duì)任意P∈Σ，也必能找到（u，v）∈D，使=r

（u，v），則 稱(chēng)r=r（u，v）為Σ的向量式參數(shù)方程，記作Σ：r=r（u，v），（u，v）∈D.若令 r（u，v）={x（u，v），y（u，v），z（u，v）}，則 稱(chēng)

（u，v）∈D

為Σ的坐標(biāo)式參數(shù)方程，記作Σ：（u，v）∈D

(圖2.2)(圖2.3)例：建立球面的參數(shù)方程：

解：為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)位于球心，球面半徑為R，如圖

對(duì)任意M（x,y,z）∈球面Σ；令P為M 在x.y面上投影，并令=∠（r= =，），則

∣cos

i+∣

∣sin

j+∣∣sin sinj +Rcos

∣cos

j+∣

∣cos =∣ =∣∣sin cos i+ ∣ =Rsin cos i+Rsin sin ∴球面的參數(shù)方程 為： 0π 0<2π

三、球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系

定義2.2.4 空間中建立了直角坐標(biāo)系之后，對(duì)空間中任一點(diǎn)M（x,y,z），設(shè)∣OM∣=ρ 則M在以O(shè)為中心，以ρ為半徑的球面上，從而存在φ，θ，使

（*）

反之，對(duì)任意ρ（ρ?0），φ（0π），θ（0<2π），通過(guò)（*）也能確定空間中一點(diǎn)M（x,y,z），我們稱(chēng)有序三數(shù)組ρ，φ，θ為M點(diǎn) 的球坐標(biāo)（空間極坐標(biāo)），記作M（ρ，φ，θ）

注：1°空間中的點(diǎn)與其球坐標(biāo)間并非一一對(duì)應(yīng).2°已知M點(diǎn)的球坐標(biāo)，通過(guò)（*）可求其直角坐標(biāo)，而若已知M的直角坐 標(biāo)，則

（**）

便可求其球坐標(biāo).定義2.2.5 空間中建立了直角坐標(biāo)系之后，對(duì)

M（x,y,z），設(shè)其到z軸的距離為ρ，則 M落在以z軸為中心軸，以ρ為半徑的圓柱面上，從而θ，u，使

（*）

反之，對(duì)給的ρ（ρ?0），θ（0≦θ<2π），u（∣u∣<）,依據(jù)（*）式

也可確定空間中一點(diǎn)M（x,y,z），稱(chēng)有序三數(shù)組ρ，θ，u為M點(diǎn)的柱坐標(biāo)，記作M（ρ，θ，u）.注：1°空間中的點(diǎn)與其柱坐標(biāo)并非一一對(duì)應(yīng).2°由柱面坐標(biāo)求直角坐標(biāo),利用(*)即可,而由直角坐標(biāo)求柱坐標(biāo),則需按下式進(jìn)行.例：在直角坐標(biāo)系下，圓柱面的圖形如下：，雙曲柱面，平面

和拋物柱面 27

(圖2.4)

(圖2.5)

(圖2.6)(圖2.7)

§2.3 空間曲線的方程

一、空間曲線的一般方程

1.定義2.3.1 設(shè)L為空間曲線,為一三元方程組,空間中建立了坐標(biāo)系之后,若L上任一點(diǎn)M(x,y,z)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程組,而且凡坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組的點(diǎn)都在曲線L上,則稱(chēng)

為曲線L的一般方程,又稱(chēng)普通方程,記作L:

28(圖2.8)

注: 1°在空間坐標(biāo)系下,任一曲線的方程定是兩方程聯(lián)立而成的方程組;

2°用方程組去表達(dá)曲線,其幾何意義是將曲線看成了二曲面的交線（如圖2.8）;3°空間曲線的方程不唯一(但它們同解),如

與 均表示z軸

2.用曲線的射影柱面的方程來(lái)表達(dá)曲線

以曲線L為準(zhǔn)線,母線平行于坐標(biāo)軸的柱面稱(chēng)為L(zhǎng)的射影柱面,若記L的三射影柱面的方程為

(x,y)=0，(y,z)=0，(z,x)=0,則

，便是L的用射影柱面表達(dá)的方程

若已知曲線L:的方程(y,z)=0, ,只需從L的方程中,分別消去x,y,z便三射影柱面(z,x)=0，(x,y)=0

例:設(shè)有曲線L: ,試求L的射影柱面,并用射影柱面方程表達(dá)曲線.解:從L的方程中分別消去x,y,z得到 z2-4y=4z,x2+z2=4z,x2+4z=0 它們即為L(zhǎng)的射影柱面,而

(1),便均是L的用射影柱面表達(dá)的方程

注:利用方程(2)即可作出L的草圖 二、空間曲線的參數(shù)方程:

(2),(3)

1.定義2.3.2 設(shè)L為一空間曲線，r=r(t),t∈A為一元向函數(shù),在空間坐標(biāo)系下，若對(duì)P∈L，t∈A，使 =r（t），而且對(duì)t∈A，必有P∈L，使r（t）=，則稱(chēng)r=r（t），t∈A為曲線L的向量式參數(shù)方程，記作L=r=r（t），t∈A，t ——參數(shù)

若點(diǎn)r（t）={x（t），y（t），z（t）}

則稱(chēng) t∈A

為L(zhǎng)的坐標(biāo)式參數(shù)方程

注：空間曲線的參數(shù)方程中，僅有一個(gè)參數(shù)，而曲面的參數(shù)方程中，有兩個(gè)參數(shù)，所以習(xí)慣上，稱(chēng)曲線是單參數(shù)的，而曲面是雙參數(shù)的。

2.求法： 例：一質(zhì)點(diǎn)，在半徑=a的圓柱面上，一方面繞圓柱面的軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，一方面沿圓柱面的母線方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

解：以圓柱面的軸作為z軸，建立直角坐標(biāo)系{O；i，j，k}，如圖，不妨設(shè)質(zhì)點(diǎn)的起始點(diǎn)在x軸上，質(zhì)點(diǎn)的角速率與線速率分別為ω。，ν。，質(zhì)點(diǎn)的軌跡為L(zhǎng)，則對(duì)∈L，在x。y面上的投影為′，(圖2.9)r= = +，=acos=b，則

i+asin

j+

k

若令 r=acos i+asin j+b k ————L的向量式參數(shù)方程

而

小結(jié)

知識(shí)點(diǎn)回顧：

在平面上或空間取定了坐標(biāo)系后，平面上或空間的點(diǎn)就與有序?qū)崝?shù)組（x,y）或(x,y,z)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，把平面上的曲線或空間的曲面都看成具有某種特征性質(zhì)的點(diǎn)的集合，而其特征性質(zhì)在坐標(biāo)系中反映為它的坐標(biāo)之間的某種特定關(guān)系，把這種關(guān)系找出來(lái)，就是它的方程，而圖形的方程和圖形間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這樣就把研究曲線與曲面的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了代數(shù)問(wèn)題。如曲面的方程為F（x，y，z）=0，要研究空間中三曲面是否有公共點(diǎn)的問(wèn)題就可歸結(jié)為求三曲面方程的公共解，也就是解三元聯(lián)立方程組的問(wèn)題。例如方程組

如果有實(shí)數(shù)解，則三曲面點(diǎn)的坐標(biāo)。若方程組無(wú)實(shí)數(shù)解，三曲面就沒(méi)有公共點(diǎn)。

平面曲線的普通方程為

就有公共點(diǎn)，方程組的解就是公共，參數(shù)，參數(shù)方程為單參數(shù)的；曲面的普通方程為方程為雙參數(shù)的；空間曲線的普通方程為，參數(shù)方程為單參數(shù)的。

參數(shù)方程若能消去參數(shù)可得到普通方程，普通方程化為參數(shù)方程時(shí)形式卻是不唯一的，但一定要保證與原方程等價(jià)。典型習(xí)題：

1.有一長(zhǎng)度為段中點(diǎn)的軌跡。解：設(shè) ＞0）的線段，它的兩端點(diǎn)分別在軸正半軸與，為兩端點(diǎn)，為此線段的中點(diǎn)。

.在中有

軸的正半軸上移動(dòng)，是求此線

:.則即.∴此線段中點(diǎn)的軌跡為.2.有一質(zhì)點(diǎn)，沿著已知圓錐面的一條直母線自圓錐的頂點(diǎn)起，作等速直線運(yùn)動(dòng)，另一方面這一條母線在圓錐面上，過(guò)圓錐的頂點(diǎn)繞圓錐的軸（旋轉(zhuǎn)軸）作等速的運(yùn)動(dòng)，這時(shí)質(zhì)點(diǎn)在圓錐面上的軌跡叫做圓錐螺線，試建立圓錐螺線的方程.解：取圓錐面的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓錐的軸為z軸建立直角坐標(biāo)系，并設(shè)圓錐頂角為，旋轉(zhuǎn)角速度為，直線運(yùn)動(dòng)速度為V，動(dòng)點(diǎn)的初始位置在原點(diǎn)，而且動(dòng)點(diǎn)所在直母線的初始位置在xoz面上，t秒后質(zhì)點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)，P點(diǎn)在xoy面上的射影為N，N在x軸上的射影為M，則有

而

所以，圓錐螺旋線的向量式參數(shù)方程為

坐標(biāo)式參數(shù)方程為

（﹣∞

本章教學(xué)目的： 通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握空間坐標(biāo)系下平面、直線方程的各種形式，掌握確定平面與直線的條件，熟練掌握點(diǎn)、平面與空間直線間各種位置關(guān)系的解析條件及其幾何直觀概念.本章教學(xué)重點(diǎn)：（1）空間坐標(biāo)系下平面方程的點(diǎn)位式和點(diǎn)法式、直線方程點(diǎn)向式與標(biāo)準(zhǔn)式；（2）點(diǎn)、平面與空間直線間各種位置關(guān)系的解析條件；（3）平面與空間直線各種度量關(guān)系的量化公式.本章教學(xué)難點(diǎn)：（1）異面直線的公垂線方程；（2）綜合運(yùn)用位置關(guān)系的解析條件求平面、空間直線方程.本章教學(xué)內(nèi)容：

§3.1平面的方程

1．平面的點(diǎn)位式方程

在空間給定了一點(diǎn)M0與兩個(gè)不共線的向量a，b后，通過(guò)點(diǎn)M0且與a，b平行的平面? 就惟一被確定.向量a，b叫平面? 的方位向量.任意兩個(gè)與?平行的不共線的向量都可作為平面? 的方位向量.取標(biāo)架==，設(shè)點(diǎn)M0的向徑，平面? 上任意一點(diǎn)M的向 = {x，y，z}（如圖）.點(diǎn)M在徑為r =平面?上的充要條件為向量與向量a，b共面.由于a，b不共線，這個(gè)共面的條件可以寫(xiě)成

= ua＋vb

而= r －r0，所以上式可寫(xiě)成

r = r0＋ua＋vb(3.1－1)

此方程叫做平面? 的點(diǎn)位式向量參數(shù)方程，其中u，v為參數(shù).31 若令a = {，}，b = {，}，則由(3.1－1)可得

(3.1－2)

此方程叫做平面? 的點(diǎn)位式坐標(biāo)參數(shù)方程，其中u，v為參數(shù).(3.1－1)式兩邊與a3b作內(nèi)積，消去參數(shù)u，v得

(r －r0，a，b)=

0(3.1-3)

此即

=0(3.1－4)

這是? 的點(diǎn)位式普通方程.例1：已知平面?上三非共線點(diǎn)

（i = 1，2，3）.求通過(guò)

={，（i = 1，2，3）的平面方程。}，i = 1，2，3.對(duì)動(dòng)點(diǎn)M，設(shè)r =

={x，解： 建立坐標(biāo)系{O；e1, e2, e3}，設(shè)ri = y，z}，取次為 和為方位向量，M1為定點(diǎn)，則平面?的向量參數(shù)方程，坐標(biāo)參數(shù)方程和一般方程依r = ＋u(－)＋v(－r1)(3.1－5)

(3.1－6)

= 0(3.1－7)

(3.1－5)，(3.1－6)和(3.1－7)統(tǒng)稱(chēng)為平面的三點(diǎn)式方程.特別地，若是? 與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即≠0，則平面? 的方程就是

(a，0，0)，(0，b，0)，(0，0，c)，其中abc=0(3.1－8)

即

(3.1－9)

此方程叫平面?的截距式方程，其中a，b，c稱(chēng)為? 在三坐標(biāo)軸上的截距.2．平面的一般方程

在空間，任一平面都可用其上一點(diǎn)M0(x0，y0，z0)和兩個(gè)方位向量a = {，}，b = {，}確定，因而任一平面都可用方程(3.1－4)表示.將(3.1－4)展開(kāi)就可寫(xiě)成

Ax＋By＋Cz＋D =

0(3.1－10)其中 A =，B =，C =

由于a = {，}與b = {，}不共線，所以A，B，C不全為零，這說(shuō)明空間任一平面都可用關(guān)于a，b，c的一三元一次方程來(lái)表示.32 反之，任給一三元一次方程(3.1－10)，不妨設(shè)A≠0，則(3.1－10)可改寫(xiě)成

即

它顯然表示由點(diǎn)M0(－D / A，0，0)和兩個(gè)不共線的向量{B，－A，0}和{C，0，－A }所決定的平面.于是有

定理3.1.1 空間中任一平面的方程都可表為一個(gè)關(guān)于變數(shù)x，y，z的三元一次方程；反過(guò)來(lái)，任一關(guān)于變數(shù)x，y，z的三元一次方程都表示一個(gè)平面.方程(3.1－10)稱(chēng)為平面? 的一般方程.現(xiàn)在先來(lái)討論幾種特殊的平面方程（平面對(duì)于坐標(biāo)系來(lái)講具有某種特殊位置）： 1.D=0的平面都通過(guò)原點(diǎn)。

2.A、B、C中有一個(gè)為0，例如C=0，則平面通過(guò)Z軸。

3.A、B、C中有兩個(gè)為0，若D，B=C=0，平面平行于yoz坐標(biāo)面。.其余情況同學(xué)們自己討論。

3．平面的法式方程。

若給定一點(diǎn)M0和一個(gè)非零向量n，則過(guò)M0且與n垂直的平面?也被惟一地確定.稱(chēng)n為?的法向量.在空間坐標(biāo)系{O；i，j，k}下，設(shè)={x，y，z}，則因總有

=

={x0，y0，z0}，n = {A，B，C}，且平面上任一點(diǎn)M的向徑r =⊥n，有

n(r－r0)=

0(3.1－11)也就是 A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)= 0(3.1－12)

方程(3.1－11)和(3.1－12)叫平面? 的點(diǎn)法式方程.(3.1－12)中的系數(shù)A，B，C有簡(jiǎn)明的幾何意義，它們就是平面? 的一個(gè)法向量的分量.特別地，取M0為自O(shè)向? 所作垂線的垂足，而n為單位向量.當(dāng)平面不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，取n為與00的單位向量n，當(dāng)平面過(guò)原點(diǎn)時(shí)取n的正向?yàn)榇怪迸c平面的兩個(gè)方向中的任一個(gè).設(shè)|| = p，則0n(r－p n0)= 0 = p n，由點(diǎn)P和n確定的平面的方程為，上式可寫(xiě)成 n0r－p =

0(3.1－13)

0

0

同向式中r是平面的動(dòng)向徑.由于此方程叫平面的向量式法式方程.0若設(shè)r = {x，y，z}，n = {cos?，cos?，cos?}，則由(3.1－13)得

x cos?＋y cos?＋z cos?－p = 0(3.1－14)

此為平面的坐標(biāo)法式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)法式方程.平面的坐標(biāo)法式方程有如下特征：

1°一次項(xiàng)系數(shù)是單位向量的分量，其平方和等于1； 2°常數(shù)項(xiàng)－p?0（意味著p ? 0）.3°p是原點(diǎn)到平面的距離.例3: 求通過(guò)點(diǎn)

且平行于z軸的平面方程。，所以有2A 解：設(shè)平行于z軸的平面方程為Ax＋By＋D = 0，因?yàn)樗忠ㄟ^(guò)－B＋D = 0，3A－2B＋D = 0，由上兩式得A:B:C= 所以所求平面方程為x＋y－1= 0

4．化一般方程為法式方程

在直角坐標(biāo)系下，若已知?的一般方程為Ax＋By＋Cz＋D = 0，則n = {A，B，C}是?的法向量，Ax＋By＋Cz＋D = 0可寫(xiě)為

nr＋D =

0(3.1－15)

與(3.1－13)比較可知，只要以

去乘(3.1－15)就可得法式方程

?Ax＋?By＋?Cz＋?D = 0(3.1－16)

其中正負(fù)號(hào)的選取，當(dāng)D≠0時(shí)應(yīng)使(3.1－16)的常數(shù)項(xiàng)為負(fù)，D＝0時(shí)可任意選.以上過(guò)程稱(chēng)為平面方程的法式化，而將例2：已知兩點(diǎn)解： 中點(diǎn)坐標(biāo)為：

化為法式方程，并求出原點(diǎn)指向平面的單位法向量。，，求線段

叫做法化因子.垂直平分面的方程。

平面的點(diǎn)法式方程為： 整理后得：例3：把平面 解： ：所以

法式方程為：

§3.2平面與點(diǎn)的相關(guān)位置

平面與點(diǎn)的位置關(guān)系，有兩種情形，就是點(diǎn)在平面上和點(diǎn)不在平面上.前者的條件是點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足平面方程.點(diǎn)不在平面上時(shí)，一般要求點(diǎn)到平面的距離，并用離差反映點(diǎn)在平面的哪一側(cè).1．點(diǎn)到平面的距離 定義3.2.1 自點(diǎn)M0向平面? 引垂線，垂足為Q.向量面?之間的離差，記作

? = 射影

n0

在平面?的單位法向量n0上的射影叫做M0與平

(3.2－1)

顯然 ? = 射影n0當(dāng)0.0

= 2n =∣

0

0

∣cos∠(，n)=±∣

0

∣

與n同向時(shí)，離差? > 0；當(dāng)與n反向時(shí)，離差? < 0.當(dāng)且僅當(dāng)M0在平面上時(shí)，離差? =

顯然，離差的絕對(duì)值就是點(diǎn)M0到平面? 的距離.定理3.2.1 點(diǎn)M0與平面（3.1－13）之間的離差為 ? = n0r0－p(3.2－2)證：根據(jù)定義3.2.2和上圖得? = 射影n0 其中q== n（0

0

-）= n（r0－q）= nr0－n q

0

000，而Q在平面（3.1-13）上，因此n q= p，所以? = nr0－p。，則

與?間的離差 推論1 若平面? 的法式方程為

3)

推論2 點(diǎn)與平面Ax＋By＋Cz＋D = 0間的距離為

(3.2－

(3.2－4)

2．平面劃分空間問(wèn)題 三元一次不等式的幾何意義 設(shè)平面的一般方程為

Ax＋By＋Cz＋D = 0 則空間中任一點(diǎn)M（x，y，z）與間的離差為

= ?(Ax＋By＋Cz＋D)式中?為平面的法化因子，由此有

Ax＋By＋Cz＋D

=(3.2－5)

對(duì)于平面同側(cè)的點(diǎn)，? 的符號(hào)相同；對(duì)于在平面的異側(cè)的點(diǎn)，? 有不同的符號(hào)，而?一經(jīng)取定，符號(hào)就是固定的.因此，平面：Ax＋By＋Cz＋D = 0把空間劃分為兩部分，對(duì)于某一部分的點(diǎn)M(x，y，z)Ax＋By＋Cz＋D > 0；而對(duì)于另一部分的點(diǎn)，則有Ax＋By＋Cz＋D < 0，在平面上的點(diǎn)有Ax＋By＋Cz＋D = 0.§3.3 兩平面的相關(guān)位置

空間兩平面的相關(guān)位置有3種情形，即相交、平行和重合.設(shè)兩平面?1與?2的方程分別是

?1：(1)

?2：(2)

則兩平面?1與?2相交、平行或是重合，就決定于由方程（1）與（2）構(gòu)成的方程組是有解還是無(wú)解，或無(wú)數(shù)個(gè)解，從而我們可得下面的定理.定理3.3.1兩平面（1）與（2）相交的充要條件是

(3.3－1)

平行的充要條件是

(3.3－2)

重合的充要條件是

(3.3－3)

由于兩平面?1與?2的法向量分別為，當(dāng)且僅當(dāng)n1不平行于n2時(shí)?1與?2相交，當(dāng)且僅當(dāng)n1∥n2時(shí)?1與?2平行或重合，由此我們同樣能得到上面3個(gè)條件.下面定義兩平面間的夾角.設(shè)兩平面的法向量間的夾角為?，稱(chēng)?1與?2的二面角∠(?1，?2)=? 或?－?為兩平面間的夾角.顯然有

=±cos? =±定理3.3.2兩平面（1）與（2）垂直的充要條件是

(3.3－5)

例 一平面過(guò)兩點(diǎn) 和且垂直于平面x＋y＋z = 0，求它的方程.解 設(shè)所求平面的法向量為n = {A，B，C}，(3.3－4)

由于在所求平面上，有，即.又n垂直于平面x＋y＋z = 0的法線向量{1，1，1}，故有A＋B＋C = 0 解方程組 得

所求平面的方程為，約去非零因子C得，即 2x－y－z =0，§3.4 空間直線的方程

1．直線的點(diǎn)向式方程 在空間給定了一點(diǎn)與一個(gè)非零向量v = {X，Y，Z}，則過(guò)點(diǎn)M0且平行于向量v的直線l就惟一地被確定.向量v叫直線l的方向向量.顯然，任一與直線l上平行的飛零向量均可作為直線l的方向向量.下面建立直線l的方程.如圖，設(shè)M(x，y，z)是直線l上任意一點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的向徑是r = { x，y，z }，而對(duì)應(yīng)的向徑是r0，則因有 //v，有t∈R，= t v.即r－r0= t v

所以得直線l的點(diǎn)向式向量參數(shù)方程

r = r0＋t v(3.4－1)

以諸相關(guān)向量的分量代入上式，得

根據(jù)向量加法的性質(zhì)就得直線l的點(diǎn)向式坐標(biāo)參數(shù)方程為

－∞ < t < ＋∞(3.4－2)

消去參數(shù)t，就得直線l的點(diǎn)向式對(duì)稱(chēng)方程為

(3.4－3)

此方程也叫直線l的標(biāo)準(zhǔn)方程.今后如無(wú)特別說(shuō)明，在作業(yè)和考試時(shí)所求得的直線方程的結(jié)果都應(yīng)寫(xiě)成對(duì)稱(chēng)式.例1 設(shè)直線L通過(guò)空間兩點(diǎn)M1(x1，y1，z1)和M2(x2，y2，z2)，則取M1為定點(diǎn)，就得到直線的兩點(diǎn)式方程為

(3.4－4)

根據(jù)前面的分析和直線的方程(3.4－1)，可得到

為方位向量，這個(gè)式子清楚地給出了直線的參數(shù)方程(3.4－1)或(3.4－2)中參數(shù)的幾何意義：參數(shù)t的絕對(duì)值等于定點(diǎn)M0到動(dòng)點(diǎn)M之間的距離與方向向量的模的比值，表明線段M0M的長(zhǎng)度是方向向量v的長(zhǎng)度的 |t| 倍.0特別地，若取方向向量為單位向量v = {cos?，cos?，cos?} 則(3.4－1)、(3.4－2)和(3.4－3)就依次變?yōu)?/p>

0 r = r0＋t v(3.4－5)

－∞ < t < ＋∞(3.4－6)

和

(3.4－7)

此時(shí)因 |v| = 1，t的絕對(duì)值恰好等于l上兩點(diǎn)M0與M之間的距離.直線l的方向向量的方向角?，?，? cos?，cos?，cos? 分別叫做直線l的方向角和方向余弦.由于任意一個(gè)與v平行的非零向量v'都可作為直線l的方向向量，而二者的分量是成比例的，我們一般稱(chēng)X ：Y ：Z為直線l的方向數(shù)，用來(lái)表示直線l的方向.2．直線的一般方程

空間直線l可看成兩平面?1和?2的交線.事實(shí)上，若兩個(gè)相交的平面?1和?2的方程分別為

?1：

那么空間直線l上的任何一點(diǎn)的坐標(biāo)同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)平面方程，即應(yīng)滿(mǎn)足方程組 ?2：

(3.4－8)

反過(guò)來(lái)，如果點(diǎn)不在直線l上，那么它不可能同時(shí)在平面?1和?2上，所以它的坐標(biāo)不滿(mǎn)足方程組(3.4－8).因此，l可用方程組(3.4－8)表示，方程組(3.4－8)叫做空間直線的一般方程.一般說(shuō)來(lái)，過(guò)空間一直線的平面有無(wú)限多個(gè)，所以只要在無(wú)限多個(gè)平面中任選其中的兩個(gè)，將它們的方程聯(lián)立起來(lái)，就可得到空間直線的方程.直線的標(biāo)準(zhǔn)方程(3.4－3)是一般方程的特殊形式.將標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般式，得到的是直線的射影式方程.將直線的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，只需在直線上任取一點(diǎn)，然后取構(gòu)成直線的兩個(gè)平面的兩個(gè)法向量的向量積為直線的方向向量即可.例 將直線的一般方程

化為對(duì)稱(chēng)式和參數(shù)方程.解 令y = 0，得這直線上的一點(diǎn)（1，0，－2）.兩平面的法向量為

a = {1，1，1}，b = {2，－1，3}

因a3b = {4，－1，－3}，取為直線的法向量，即得直線的對(duì)稱(chēng)式方程為

令，則得所求的參數(shù)方程為

§3.5 直線與平面的相關(guān)位置

直線與平面的相關(guān)位置有直線與平面相交，直線與平面平行和直線在平面上3種情形.設(shè)直線l與平面? 的方程分別為

l：(1）

? ：Ax＋By＋Cz＋D = 0(2)

（1）也就是

.將（2）代入（1），整理可得

(AX＋BY＋CZ)t = －(Ax0＋By0＋Cz0＋D)(3)

當(dāng)且僅當(dāng)AX＋BY＋CZ≠0時(shí)，（3）有惟一解

這時(shí)直線l與平面? 有惟一公共點(diǎn)；當(dāng)且僅當(dāng)AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0時(shí)，（3）無(wú)解，直線l與平面? 沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)且僅當(dāng)AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D = 0時(shí)，（3）有無(wú)數(shù)多解，直線l在平面? 上.于是有

定理3.5.1 關(guān)于直線（1）與平面（2）的相互位置，有下面的充要條件： 1）相交： AX＋BY＋CZ≠0

2）平行： AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0 3）直線在平面上： AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D = 0

以上條件的幾何解釋?zhuān)壕褪侵本€l的方向向量v與平面? 的法向量n之間關(guān)系.1）表示v與n不垂直；

2）表示v與n垂直且直線l上的點(diǎn)（x0，y0，z0）不在平面? 上； 3）表示v與n垂直且直線l上的點(diǎn)（x0，y0，z0）在平面? 上.當(dāng)直線l與平面? 相交時(shí)，可求它們的交角.當(dāng)直線不與平面垂直時(shí)，直線與平面的交角? 是指直線和它在平面上的射影所構(gòu)成的銳角；垂直時(shí)規(guī)定是直角.設(shè)v = {X，Y，Z}是直線l的方向向量，n = {A，B，C}是平面? 的法向量，則

令 ∠(l，?)=，∠(v，n)= ?，就有 =? 或= ?－（? 為銳角）

(3.5－1)因而,sin =∣cos?∣==從這個(gè)公式也可直接得到定理3.5.1中的條件.§3.6 空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置

任給一條直線l的方程和一點(diǎn)M0，則l和M0的位置關(guān)系只有兩種：點(diǎn)在直線上和點(diǎn)不在直線上。從代數(shù)上，這兩種情況對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程和點(diǎn)的坐標(biāo)不滿(mǎn)足方程.當(dāng)點(diǎn)不在直線上時(shí)，可求此點(diǎn)到直線的距離.設(shè)空間中有一點(diǎn)M0(x0，y0，z0)，和一條直線l：

l：

此處M1(x1，y1，z1)是l上的一點(diǎn)，v = {X，Y，Z}是l的方向向量.以v和

為鄰邊作一平行四變形，則其面積為 | v3|，點(diǎn)M0到直線l的距離d就是此平行四變形的對(duì)應(yīng)于底 | v | 的高，所以

=(3.7－1)

在實(shí)際計(jì)算中，記憶上式的第二個(gè)等號(hào)后面的部分是沒(méi)有實(shí)際意義的.只需根據(jù)公式的前半部分計(jì)算即可.§3.7空間兩直線的相關(guān)位置 1．空間兩直線的位置關(guān)系：

空間兩直線的相關(guān)位置有異面與共面，共面時(shí)又有相交、平行和重合3種情形.設(shè)二直線的方程為

：

i = 1，2

此處直線l1是由點(diǎn)和方向向量v1 = {X1，Y1，Z1}決定的，而直線l2是由點(diǎn)和方向向量v2 = {X2，Y2，Z2}決定的.由圖容易看出，兩直線的相關(guān)位置決定于三向量，v1，v2的相互關(guān)系.當(dāng)且僅當(dāng)這三個(gè)向量異面時(shí)，兩直線異面；當(dāng)且僅當(dāng)這三個(gè)向量共面時(shí)，兩直線共面.共面時(shí)，若v1，v2不平行，則l1和l2相交，若v1∥v2但不與平行，則l1和l2平行，v1∥v2∥則l1和l2重合.因此有

定理3.6.1 空間兩直線l1和l2的相關(guān)位置有下面的充要條件 1）異面：

(3.6－1)

2）相交：(3.6－2)3）平行：(3.6－3)4）重合：(3.6－4)2．空間兩直線的夾角

平行于空間兩直線的兩向量間的夾角，叫空間兩直線的夾角.顯然，若兩直線間的夾角是?，則也可認(rèn)為它們之間的夾角是?－?.定理3.6.2 空間兩直線l1和l2的夾角的余弦為

(3.6－5)，推論 兩直線l1與l2垂直的充要條件是

X1X2＋Y1Y2＋Z1Z2 =

0(3.6－6)

3．二異面直線間的距離與公垂線的方程

空間兩直線的點(diǎn)之間的最短距離叫這兩條直線之間的距離.兩相交或兩重合直線間的距離為零；兩平行直線間的距離等于其中一直線上的任意一點(diǎn)到另一直線的距離.與兩條異面直線都垂直相交的直線叫兩異面直線的公垂線.兩異面直線間的距離就等于它們的公垂線夾在兩異面直線間的線段的長(zhǎng).39 設(shè)兩異面直線l1和l2的方程如前，l1和l2與它們的公垂線的交點(diǎn)分別為N1和N2，則l1和l2之間的距離

也就是

(3.6－6)

現(xiàn)在求兩異面直線l1和l2的公垂線的方程.如上圖，公垂線l0的方向向量可取作= {X，Y，Z}，而公垂線l0可看作兩個(gè)平面的交線，這兩個(gè)平面一個(gè)通過(guò)點(diǎn)M1，以v1和

和為方向向量，另一個(gè)平面通過(guò)點(diǎn)M2，以v2和

和為方向向量.因此公垂線l0的一般方程可寫(xiě)為(3.6－7).例1求通過(guò)點(diǎn)方程。

解：設(shè)直線方程為：由條件可得： 而與平面平行，且與直線相交的直線的即

從而，且所以，直線方程為：例2 已知兩直線：

與

⑴ 證明它們?yōu)楫惷嬷本€；

⑵ 求它們公垂線的方程

解： ⑴ ⑵ 公垂線方向?yàn)椋海?，兩直線異面。

公垂線方程為：，化簡(jiǎn)得： 即：

§3.8平面束

1．平面束

定義3.8.1 空間中過(guò)同一直線l的所有平面的集合稱(chēng)為有軸平面束，l稱(chēng)為這平面束的軸.定義3.8.2 空間中平行于一定平面?的所有平面的集合稱(chēng)為平行平面束.有軸和平行平面束統(tǒng)稱(chēng)為平面束.定理3.8.1 如果兩個(gè)平面

?1：x＋y＋z＋= 0（1）

?2：x＋y＋z＋= 0（2）

交于一條直線L，那么以直線L為軸的有軸平面束的方程是

?(x＋y＋z＋)＋?(x＋y＋其中? 和 ? 是不全為零的任意實(shí)數(shù).證 先證(3.8－1)表示過(guò)L的平面.z＋)= 0(3.8－1)

(3.8－1)即為(?+?)x＋(?+?)y＋(?+? 上式中x，y，z的系數(shù)必不全為零，若不然，則有

－?：? =

：

=

：)z＋?=

：

＋? = 0

這與與相交矛盾.故表示(3.8－1)一平面?，?顯然通過(guò)與的交線L.再證明對(duì)于過(guò)L的任一平面?，必存在不全為零的實(shí)數(shù)?，?，使?的方程為(3.8－1).首先，若?是一般地，若?≠件是，取? = 1，? = 0；若?是，取? = 0，? =1即可.，i = 1，2，取?上一點(diǎn)A(a，b，c)L，則由于(3.8－1)表示的平面要通過(guò)L的條?(a+b+c+)＋?(a+b+

b+c+

c+)= 0

即 ?：? =－(a+)：(a+b+c+)

不妨取 ? =－(a+b+c+)，? =a+b+c+

則由于A不在L上，? 和 ? 不全為零，因而過(guò)L且過(guò)A的平面? 的方程必可寫(xiě)成(3.8－1)的形式.例 求過(guò)二平面4x－y＋3z－1 = 0與x＋5y－z＋2 = 0的交線，且過(guò)原點(diǎn)的平面的方程.解 略（講解時(shí)實(shí)推）.定理3.8.2 如果兩個(gè)平面

?1：x＋y＋z＋= 0（1）

?2：x＋y＋z＋= 0（2）

為平行平面，那么方程

41)＋?(x＋y＋z＋)= 0(3.8－1)

為平行平面束，平面束中任一平面都和?1或?2平行.式中? 和 ? 是不全為零的任意實(shí)數(shù)，且

－? ：?≠A1 ：A2 = B1 ：B2 = C1 ：C2

定理3.8.3平行于平面?：Ax＋By＋Cz＋D = 0的所有平面的方程可表為

Ax＋By＋Cz＋? = 0(3.8－2)

例 求與平面3x＋y－z＋4 = 0平行，且在z軸的截距等于－6的平面的方程.解 設(shè)所求的平面是3x＋y－z＋t = 0，則由于點(diǎn)(0，0，－6)在平面上，有

t＋6 = 0, t =－6

所求的平面方程為 3x＋y－z－6 = 0

2．平面把

定義3.8.3 空間中過(guò)一定點(diǎn)的所有平面的集合稱(chēng)為平面把，稱(chēng)為把心.?(x＋y＋z＋定理3.8.4 過(guò)定點(diǎn)(，)的所有平面的方程為

A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)= 0(3.8－3)

其中A，B，C是任意不全為零的實(shí)數(shù).更一般地，我們有

定義3.8.3 空間中過(guò)一定點(diǎn)的所有平面的集合稱(chēng)為平面把，稱(chēng)為把心.定理3.8.5 過(guò)定點(diǎn)(，)的所有平面的方程為

A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)= 0(3.8－4)

其中A，B，C是任意不全為零的實(shí)數(shù).定理3.8.6 對(duì)任意不全為0的? , ?，?，方程

(3.8－5)

表示過(guò)三平面

：的（惟一）交點(diǎn)(，?，使? 的方程為(3.8－4).)的一個(gè)平面?；反之，對(duì)任意過(guò), 3 的平面?，必存在不全為零的? , ?，小結(jié)

知識(shí)點(diǎn)回顧：

通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握空間坐標(biāo)系下平面、直線方程的各種形式，掌握確定平面與直線的條件，熟練掌握點(diǎn)、平面與空間直線間各種位置關(guān)系的解析條件及其幾何直觀概念.（1）空間坐標(biāo)系下平面方程的點(diǎn)位式和點(diǎn)法式.在空間取仿射坐標(biāo)系則平面設(shè)點(diǎn)的向量式參數(shù)方程為的坐標(biāo)分別為，并設(shè)點(diǎn)的向徑其中，那么，平面

為參數(shù)。

；并設(shè)

上任意一點(diǎn)的向徑為

則平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程為，為參數(shù)。

平面的點(diǎn)位式方程為

空間中任一平面的方程都可以表示成一個(gè)關(guān)于變量 x,y,z 的一次方程；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)關(guān)于變量 x,y,z 的一次方程都表示一個(gè)平面，Ax+By+Cz+D=0 叫做平面的一般方程 取空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的向徑為

，平面上的任意一點(diǎn)的向徑為，則平面的點(diǎn)法式方程.（2）空間直線的各種方程.42 在空間取仿射坐標(biāo)系則其向量式參數(shù)方程為，已知直線上一點(diǎn)。，動(dòng)點(diǎn)，方向向量.坐標(biāo)式參數(shù)方程為：對(duì)稱(chēng)式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程為：

.。

設(shè)有兩個(gè)平面的方程為中的系數(shù)行列式

（＊）如果，即方程組（＊）

不全為零，那么相交，它們的交線設(shè)為，因?yàn)?上的任意一點(diǎn)同在這兩平面上，所以它的坐標(biāo)必滿(mǎn)足方程組（＊）；反過(guò)來(lái)，坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組（＊）的點(diǎn)同在兩平面上，因而一定在這兩平面的交線即直線 上，因此方程組（＊）表示直線的方程，把它叫做直線的一般方程（3）點(diǎn)的離差和點(diǎn)到平面的距離； 如果自點(diǎn)與平面到平面引垂線，其垂足為，那么向量

在平面的單位法向量

上的射影叫做點(diǎn)之間的離差，記做點(diǎn)到平面距離公式：（4）點(diǎn)到直線的的距離：.（5）異面直線的公垂線方程

兩異面直線 典型習(xí)題：

1、一平面過(guò)兩點(diǎn) 和，求它的方程.解 設(shè)所求平面的法線向量為 顯然，故 即 又垂直于平面故有

；

且垂直于平面，在所求平面上，，.的法線向量，43

解方程組

得 據(jù)點(diǎn)法式方程有，約去非零因子

得，故所求方程為

2、用對(duì)稱(chēng)式方程及其參數(shù)方程硎局畢?/span>

解 先找出這直線上的一點(diǎn)，如：取

代入方程組得

解此二元一次方程組得 于是，得到直線上的一點(diǎn) 再找該直線的一個(gè)方向向量都垂直，可取

.，由于兩平面的交線與兩平面的法線向量，因此，所給直線的對(duì)稱(chēng)式方程為

；

直線的參數(shù)方程為

3分別在下列條件下確定（1）使（2）使與的值：

和

表示二平行平面；

表示同一平面；

（3）使與表示二互相垂直的平面。解：（1）欲使所給的二方程表示同一平面，則：

即：

從而：。

（2）欲使所給的二方程表示二平行平面，則：

所以：。

所以：

：

。（3）欲使所給的二方程表示二垂直平面，則：4.試驗(yàn)證直線：解：

直線與平面相交。

與平面

相交，并求出它的交點(diǎn)和交角。

又直線的坐標(biāo)式參數(shù)方程為： 設(shè)交點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，從而交點(diǎn)為（1，0，-1）。又設(shè)直線與平面的交角為，則：，5.給定兩異面直線：解：因?yàn)楣咕€方程為：，與，試求它們的公垂線方程。

即，亦即

第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面及常見(jiàn)二次曲面

本章教學(xué)目的： 使學(xué)生掌握柱面、錐面和旋轉(zhuǎn)曲面的定義、方程求法和方程特征；熟練掌握五種常見(jiàn)二次曲面的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何特征，了解它們的性質(zhì)，會(huì)畫(huà)它們的草圖.本章教學(xué)重點(diǎn)：（1）常見(jiàn)二次曲面的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及圖形的特征；（2）坐標(biāo)面上的曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)所產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)曲面方程的求法.（3）通過(guò)求柱面、錐面和旋轉(zhuǎn)曲面的方程，理解動(dòng)曲線產(chǎn)生曲面的思想方法.本章教學(xué)難點(diǎn) ：（1）柱面及錐面方程的求法中消去參數(shù)的幾何意義的理解；（2）雙曲拋物面的幾何性質(zhì)的分析；（3）二次曲面直紋性的證明.本章教學(xué)內(nèi)容：

§4.1 柱面

一 柱面

定義4.1.1 在空間，由平行于定方向且與一條定曲線相交的一族平行直線所產(chǎn)生的曲面叫做柱面.其中定方向叫柱面的方向，定曲囈兄條都叫柱面的母線.注：1°一個(gè)柱面的準(zhǔn)線不惟一（舉例）.2°平面和直線也是柱面.以下建立柱面的方程.設(shè)在給定的坐標(biāo)系下，柱面S的準(zhǔn)線為

(1)

母線的方向數(shù)為X，Y，Z.若M1(x1，y1，z1)為準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，則過(guò)M1的母線方程為

(2)

且有(3)

從（2）、（3）4個(gè)等式中消去參數(shù)x1，y1，z1，最后得一個(gè)三元方程

F(x，y，z)= 0

就是以（1）為準(zhǔn)線，以{X，Y，Z}為方向的柱面的方程.這里需要特別強(qiáng)調(diào)的是，消去參數(shù)的幾何意義，就是讓點(diǎn)M1遍歷準(zhǔn)線上的所有位置，就是讓動(dòng)直線（1）“掃”出符合要求的柱面.例1 已知一個(gè)柱面的準(zhǔn)線方程為，其母線的方向數(shù)是－1，0，1，求該柱面的方程.解 設(shè)M1(x1，y1，z1)是準(zhǔn)線上的點(diǎn)，過(guò)M1(x1，y1，z1)的母線為

(1)

且有

(2)(3)

由(1)得

將(4)代入(2)和(3)得

(4)

(5)

(6)

由（5）和（6）得

(7)

將（7）代入（5）（或（6））得所求柱面方程為即.例2 已知圓柱面的軸為，點(diǎn)M1(1，－2，1)在此柱面上，求這個(gè)圓柱面的方程.解法一 記所求的圓柱面為S.因S的母線平行于其軸，母線的方向數(shù)為1，－2，－2，若能求得圓柱面的準(zhǔn)線圓，則用例1的方法即可解題.空間的圓總可看成某一球面與某一平面的交線，故圓柱面的準(zhǔn)線圓可看成以軸上的點(diǎn).M0(0，1，－1)為中心，為半徑的球面的交線，即準(zhǔn)線圓 是

設(shè)為 上的任意點(diǎn)，則

（1）（2）

與過(guò)已知點(diǎn)M1(1，－2，1)且垂直于軸的平面S的過(guò)的母線為

（3）

由（1）、（2）、（3）消去參數(shù)x1，y1，z1，得S的方程為.將圓柱面看成動(dòng)點(diǎn)到軸線等距離點(diǎn)的軌跡，這里的距離就是圓柱面的半徑，那么例2就有下面的第二種解法.解法二 因軸的方向向量為v = {1，－2，－2}，軸上的定點(diǎn)為M0(0，1，－1)，M1(1，－2，1)是S上的定點(diǎn)，點(diǎn)M1到l的距離

.設(shè)M(x，y，z)是圓柱面上任意一點(diǎn)，則M到軸l的距離為，即

化簡(jiǎn)整理就得S的方程為

二、柱面的判定定理 定理4.1.1

在空間直角坐標(biāo)系中，只含有兩個(gè)元（坐標(biāo)）的三元方程所表示的曲面是一個(gè)柱面，它的母線平行于所缺元（坐標(biāo)）的同名坐標(biāo)軸。

在空間直角坐標(biāo)系里，因?yàn)檫@些柱面與 xoy坐標(biāo)面的交線分別是橢圓，雙曲線與拋物線，所以它們依次叫做橢圓柱面，雙曲柱面，拋物柱面，統(tǒng)稱(chēng)為二次柱面.三、空間曲線的射影柱面

空間曲線L:(15),如果我們從（15）中依次消去一個(gè)元，可得，任取其中兩個(gè)方程組，比如（16）那么方成這樣（16）和（15）是兩個(gè)等價(jià)的 方程組，也就是（16）表示的曲線和（15）是同一條，從而曲面都通過(guò)已知曲線(15)；同理方程知，曲面

表示的曲面也通過(guò)已知曲線(15)。有定理4.1.1表示一個(gè)母線平行于z軸的柱面，在直角坐標(biāo)系下，起母線垂直于xoy坐標(biāo)面，我們把曲面叫做空間曲線（15）對(duì)xoy坐標(biāo)面射影的射影柱面，而曲線曲線（15）在xoy坐標(biāo)面上的射影曲線。同理，與

叫做空間

分別叫做曲線（15）對(duì)xoz坐標(biāo)面與yoz坐標(biāo)面射影的射影柱面，而曲線和叫做空間曲線（15）在xoz坐標(biāo)面與yoz坐標(biāo)面上的射影曲線。

§4.2 錐面

定義4.2.1 在空間，通過(guò)一定點(diǎn)且與一條定曲線相交的一族直線所產(chǎn)生的曲面叫做錐面.這里定點(diǎn)叫做錐面的頂點(diǎn)，定曲線叫錐面的準(zhǔn)線，直線族中的每一條都叫錐面的母線.注：1°一個(gè)錐面的準(zhǔn)線不惟一（舉例）.2°平面既是柱面也是錐面.3°一條直線也是錐面.4°若將柱面的母線看成在無(wú)窮遠(yuǎn)處相交的話，則柱面是一個(gè)頂點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的錐面.以下建立錐面的方程.設(shè)錐面S的準(zhǔn)線為

(1)

頂點(diǎn)為A(x0，y0，z0).若M1(x1，y1，z1)為準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，則過(guò)M1的錐面的母線方程為

(2)

且有(3)

從（2）、（3）4個(gè)等式中消去參數(shù)x1，y1，z1，最后得一個(gè)三元方程F(x，y，z)= 0 就是以（1）為準(zhǔn)線，以A為頂點(diǎn)的錐面的方程.這里消去參數(shù)的幾何意義與柱面的情形類(lèi)似，就是讓點(diǎn)M1跑遍準(zhǔn)線上的所有點(diǎn)，從而讓動(dòng)直線（2）“掃”出符合要求的錐面.下面的定理給出了錐面方程的特征.先介紹齊次函數(shù)的概念.設(shè)為實(shí)數(shù)，對(duì)于函數(shù)，若

此處t的取值應(yīng)使有確定的意義，則稱(chēng)為n元次齊次函數(shù)，對(duì)應(yīng)的方程= 0為次齊次方程.22例 u = xy＋2yz＋xyz為三次齊次函數(shù).定理4.2.1 一個(gè)關(guān)于x，y，z的齊次方程總表示一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)的錐面.48 證： 由齊次方程的定義有當(dāng)設(shè)直線的方程為 時(shí)有，故曲面S：為S上非原點(diǎn)的任意點(diǎn)，則

.過(guò)原點(diǎn).滿(mǎn)足，即有

.而

代入= 0，得，即直線

上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足曲面S的方程.因此直線在曲面S：上，故曲面S：是由這種通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線組成，因而是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面.推論 一個(gè)關(guān)于x－x0，y－y0，z－z0的齊次方程總表示一個(gè)頂點(diǎn)在(x0，y0，z0)的錐面.證 設(shè)有x－x0，y－y0，z－z0的齊次方程

F(x－x0，y－y0，z－z0)=0(*)

作坐標(biāo)變換(**)為齊次方程，故表示頂點(diǎn)在點(diǎn)的錐面.的齊次方程可能只表示原點(diǎn).例如

.這樣的曲面，表示以，則(*)化為(**)

為頂點(diǎn)的錐面.從而

注 在特殊情況下，一個(gè)關(guān)于一般稱(chēng)為有實(shí)頂點(diǎn)的虛錐面.例1 錐面的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，準(zhǔn)線為解 設(shè)，求錐面的方程.為準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，則過(guò)M1的母線為：

(4)

且有(5)

(6)

將(6)代入(4)得(7)

將(7)代入(3)得(4.2－1)這就是所求的錐面，稱(chēng)為為二次錐面.二次錐面的方程(4.2－1)所表示的圖形，當(dāng)a = b時(shí)就是我們熟悉的圓錐面.例2 已知一圓錐面的頂點(diǎn)為A(1，2，3)，軸l垂直于平面30°的角，試求該圓錐面的方程.解 設(shè)，母線與軸l組成為所求曲面S的任一母線上的任一點(diǎn)，則過(guò)M的母線的方向向量為

n = {2，2，－1}.由題，圓錐的軸線的方向向量即為平面根據(jù)題意v和n的夾角是30°或150°，故有

即 化簡(jiǎn)整理得圓錐面的方程是

這是一個(gè)關(guān)于x－1，y－2，z－3的二次齊次方程.此結(jié)果也是對(duì)定理4.2.1的推論的一個(gè)直接驗(yàn)證.因圓錐面是一種特殊的錐面，上面的解法是一種適合于圓錐面的特殊方法.我們當(dāng)然可以先求出圓錐面的準(zhǔn)線，再利用頂點(diǎn)與準(zhǔn)線求出該圓錐面的方程.§4.3 旋轉(zhuǎn)曲面

1．一般的旋轉(zhuǎn)曲面方程 定義4.3.1 在空間，一條曲線 繞一定直線l旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的曲面S叫做旋轉(zhuǎn)曲面（或回轉(zhuǎn)曲面）.叫做S的母線，l稱(chēng)為S的的旋轉(zhuǎn)軸，簡(jiǎn)稱(chēng)為軸.設(shè)為旋轉(zhuǎn)曲面S的母線上的任一點(diǎn)，在 繞軸l旋轉(zhuǎn)時(shí)，也繞l旋轉(zhuǎn)而形成一個(gè)圓，稱(chēng)其為S的緯圓、緯線或平行圓.以l為邊界的半平面與S的交線稱(chēng)為S的經(jīng)線.S的緯圓實(shí)際上是過(guò)母線 上的點(diǎn)且垂直于軸l的平面與S的交線.S的所有緯圓構(gòu)成整個(gè)S.S的所有經(jīng)線的形狀相同，且都可以作為S的母線，而母線不一定是經(jīng)線.這里因?yàn)槟妇€不一定為平面曲線，而經(jīng)線為平面曲線.在直角坐標(biāo)系下，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面S的母線為

：旋轉(zhuǎn)軸為

(1)

l這里為l上一點(diǎn)，X，Y，Z為l的方向數(shù).(2)

設(shè)M1(x1，y1，z1)為母線 上的任意點(diǎn)，過(guò)M1的緯圓總可看成過(guò)中心，(3)

為半徑的球面的交線.故過(guò)M1的緯圓的方程為

且垂直于軸l的平面與以P0為

(4)

當(dāng)M1跑遍整個(gè)母線時(shí)，就得出旋轉(zhuǎn)曲面的所有緯圓，所求的旋轉(zhuǎn)曲面就可以看成是由這些緯圓構(gòu)成的.由于M1(x1，y1，z1)在母線 上，有

(5)

從（3）、（4）、（5）4個(gè)等式消去參數(shù)x1，y1，z1得一個(gè)方程

F(x，y，z)= 0

即為S的方程.例1 求直線 ：繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面S的方程.解 設(shè)M1(x1，y1，z1)為母線 上的任一點(diǎn)，因旋轉(zhuǎn)軸過(guò)原點(diǎn)，過(guò)M1的緯圓方程為

(7)

第三篇：解析幾何教案

第一章 矢量與坐標(biāo)

教學(xué)目的：

1、理解矢量的有關(guān)概念，掌握矢量線性運(yùn)算的法則及其運(yùn)算性質(zhì);

2、理解矢量的乘法運(yùn)算的意義，熟悉它們的幾何性質(zhì)，并掌握它們的運(yùn)算規(guī)律;

3、利用矢量建立坐標(biāo)系概念，并給出矢量線性運(yùn)算和乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表示;

4、能熟練地進(jìn)行矢量的各種運(yùn)算，并能利用矢量來(lái)解決一些幾何問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)：矢量的概念和矢量的數(shù)性積，矢性積，混合積。教學(xué)難點(diǎn)：矢量數(shù)性積，矢性積與混合積的幾何意義。教學(xué)時(shí)數(shù)：18學(xué)時(shí)

§1.1~§1.3

矢量的概念,矢量的加法,數(shù)量乘矢量

由于這部分內(nèi)容已下放到高中教材中,學(xué)生基本上已掌握,因此我們這里就不作重點(diǎn)講解,只對(duì)某些基本知識(shí)作簡(jiǎn)單復(fù)習(xí).§1.4 矢量的線性關(guān)系與矢量的分解

教學(xué)要求:掌握矢量線性組合的定義,共線矢量,平面矢量,空間矢量用其基底表示的方法,線性相關(guān),線性無(wú)關(guān)的概念以及相關(guān)的重要定理.前面已學(xué)過(guò)矢量的加法和數(shù)與矢量的乘法,它們稱(chēng)為矢量的線性運(yùn)算,且我們知道有限個(gè)矢量通過(guò)線性計(jì)算,它的結(jié)果仍然是一個(gè)矢量,下面首先給出 1線性組合

定義1.4.1 由矢量a1,a2,...,an與數(shù)?1,?2,...,?n所組成的矢量a??1a1??2a2?...??nan

稱(chēng)為矢量a1,a2,...,an的線性組合.注:線性組合也可說(shuō)成線性表示,線性分解,?a也稱(chēng)為a的線性組合.2 線性關(guān)系

(1)線性相關(guān)和無(wú)關(guān)性：(定義1.4.2)對(duì)于n(n?1)個(gè)矢量a1,a2,...,an,如果存在不全為零的n個(gè)

.?nan?0

(1.4.1)數(shù)?1,?2,...,?n,使得：

?1a1??2a2?..?那么n個(gè)矢量a1,a2,...,an叫做線性相關(guān)。a1,a2,...,an

推論:一個(gè)矢量a線性相關(guān)的充要條件為a?0

a1,a2,...,an線性無(wú)關(guān), 當(dāng)且僅當(dāng)：

?1a1??2a2?...??nan?0時(shí)?1??2?...??n?0

例：判斷下列向量組是相關(guān)還是無(wú)關(guān)？

(2)一些基本性質(zhì):

定理1.4.1 在n?2時(shí),矢量a1,a2,...,an線性相關(guān)的充要條件是其中有一個(gè)矢量是其余矢量的線性組合.證明：

定理1.4.2 如果一組矢量中的一部分矢量線性相關(guān),那么這一組矢量就線性相關(guān).推論:一組矢量如果含有零矢量,那么這組矢量必線性相關(guān).定理1.4.3 矢量a1,a2,...,an線性相關(guān), a1,a2,...,an?1線性無(wú)關(guān)，則an可寫(xiě)成

a1,a2,...,an?1的線性組合。

即an??1a1????n?1an?1，且系數(shù)由a1,a2,...,an唯一確定。

3線性組合及關(guān)系的幾何意義：

定理1.4.4 矢量r與矢量e共線的充要條件r和e線性相關(guān)。

推論：如果矢量e?0,那么r可寫(xiě)成e的線性組合,即

r?xe

(1.4-2)并且系數(shù)x被r,e唯一確定

定理1.4.5三矢量共面的充要條件是它們線性相關(guān)

證明：

若r與e1,e2共面

若e1//e2 由定理1.4.4以及定理1.4.2結(jié)論顯然。

若e1,e2不平行如圖。

反過(guò)來(lái)若r與e1,e2線性相關(guān)

推論：如果矢量e1,e2不共線,那么矢量r與e1,e2共面的充要條件是r可分解成e1,e2的線性組合,即 r?xe1?ye

2(1.4-3)并且系數(shù)x,y被r,e1,e2唯一確定 這里e1,e2稱(chēng)為共面(平面)矢量的基底.定理1.4.6

空間任何四個(gè)或以上矢量總是線性相關(guān)

推論：如果矢量e1,e2,e3不共面,那么空間任意矢量r可由e1,e2,e3線性表示或r可分解成e1,e2,e3的線性組合,即 r?xe2?ye2?ze(1.4-3)并且系數(shù)x,y,z被e1,e2,e3,r唯一確定 這里e1,e2,e3稱(chēng)為空間矢量的基底.總結(jié):這一節(jié)我們應(yīng)重點(diǎn)把握好矢量的幾個(gè)線性分解式和線性相關(guān),線性無(wú)關(guān)的應(yīng)用定理 例題見(jiàn)書(shū)上

課堂練習(xí)：P24

7，8，9 作業(yè):P24,10題

1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)

教學(xué)要求:了解各種標(biāo)架的定義,掌握坐標(biāo)的定義,掌握坐標(biāo)在標(biāo)架中各個(gè)卦線的符號(hào),掌握矢量的坐標(biāo)運(yùn)算.引言

前面我們已知道空間中任何矢量可由三個(gè)不共面的矢量來(lái)線性表示,于是在空間中任取一點(diǎn)O,再引出三個(gè)不共面的矢量e1,e2,e3,那么空間中任何矢量r可由e1,e2,e3線性表示,即

r?xe1?ye2?ze3

（1）

并且這里的x,y,z是唯一的一組有序?qū)崝?shù).我們把0,e1,e2,e3的集合稱(chēng)為仿射標(biāo)架,記作?0;e1,e2,e3的坐標(biāo)。標(biāo)架分為右手系和左手系標(biāo)架.如果ei?ej,且ei?i，j=1…3 稱(chēng)?0;e1,e2,e3右手直角坐標(biāo)系.例： 點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸、原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，設(shè)P(x,y,z)

關(guān)于0點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為??x,?y,?z

關(guān)于xoy面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為?x,y,?z

關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為?x,?y,?z

1矢量的基本坐標(biāo)運(yùn)算

(1)矢量的坐標(biāo)分量等于其終點(diǎn)的坐標(biāo)減去其始點(diǎn)的坐標(biāo)。.??, ?x,y,z?稱(chēng)為向量r在該標(biāo)架下

?為直角標(biāo)架，常用?0;i,j,k?表示空間

?

? ?

特別OP稱(chēng)為點(diǎn)P的徑矢 P1?x1,y1,z1?,P2?x2,y2,z2?，則P1P2???x2?x1,y2?y1,z2?z1?

(2)a??X1,Y1,Z1(3)設(shè)a??X,Y,Z?,b??X2,Y2,Z2?，則a?b??X1??，則?a???X,?Y,?Z?

X2,Y1?Y2,Z1?Z2? 例：用坐標(biāo)方法證明：四面體對(duì)邊中點(diǎn)連線交于一點(diǎn)且互相平分

2共線和共面向量的坐標(biāo)性質(zhì)

(1)

a??X1,Y1,Z1?,b??X2,Y2,Z2?共線?X1X2?Y1Y2?Z1Z

2當(dāng)分母為0時(shí)，約定分子也為0 推論： 三個(gè)點(diǎn)A（x1,y1,z1），B（x2,y2,z2）和C（x3,y3,z3）共線的充要條件是

??AB//AC?x2?x1x3?x1?y2?y1y3?y1?z2?z1z3?z

1(2)三個(gè)非零矢量a?X1,Y1,Z1?,b?X2,Y2,Z2?和c?X3,Y3,Z3?共面的充要條件是

X1XX23Y1Y2Y3Z1Z2?0

Z3證明：

復(fù)習(xí)：平面向量a?X1,Y1?,b?X2,Y2?共線 ?X1X2X1Y1Y2Y1Y2Y3?0

Z1Z2稱(chēng)為三向量張成的有向體積

Z3四維向量共空間是否可以類(lèi)似討論？

事實(shí)上X2X3推論：四個(gè)點(diǎn)Ai?xi,yi,zi??i?1,2,3,4?共面的充要條件是

x2?x1x3?x1x4?x1y2?y1y3?y1y4?y1z2?z1z3?z1?0

?z4?z1x1x2?x1x3?x1x4?x1y1y2?y1y3?y1y4?y1z1z2?z1z3?z1z4?z11000?0

或

x1x2x3x4y1y2y3y4z1z2z3z41111?0

(1.5-7’)3定比分點(diǎn)

????對(duì)于有向P1P2(P1?P2)線段，如果點(diǎn)P滿(mǎn)足P1P??PP2，則稱(chēng)點(diǎn)P為P1P2的?分點(diǎn)（定比分點(diǎn)）定理1.5.6 設(shè)有向線段P1P2的始點(diǎn)P1?x1,y1,z1?，終點(diǎn)為P2?x2,y2,z2?,則分P1P2成定比???????1?的分點(diǎn)P的坐標(biāo)是

x1??x21??y1??y21??z1??z21??x?,y?,z?

(1.5-8)

?推論：設(shè)Pi?xi,yi,zi??i?1,2?，那么線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)是 x?x1?x22,y?y1?y22,z?z1?z22

(1.5-9)總結(jié)：本節(jié)重點(diǎn)掌握用坐標(biāo)進(jìn)行矢量的運(yùn)算，三矢量共面，兩矢量共線的條件，有向線段的分點(diǎn)的坐標(biāo)公式，應(yīng)注意點(diǎn)和矢量坐標(biāo)的區(qū)別和聯(lián)系。課堂練習(xí)：P33，4，10題 作業(yè)：P34，7(2),8(2)題 例題見(jiàn)書(shū)上

1.6

矢量在軸上的射影

教學(xué)要求：了解射影的定義，掌握射影的公式。1 基本概念

① 點(diǎn)在有向直線l上的射影定義：設(shè)有空間中的一點(diǎn)和軸l，過(guò)A作垂直軸l的平面交l與A?點(diǎn)，則稱(chēng)A?為A在軸l上的射影。② 矢量在有向直線上的射影矢量及射影：設(shè)A,B兩點(diǎn)在軸l上的射影分別為A?,B?，則矢量??A?B?稱(chēng)為AB在l上的射影矢量，記為射影矢量lAB。

??規(guī)定l方向?yàn)檎?，稱(chēng)線段A?B?的有向長(zhǎng)度為A?B?在l上的射影，記為射影l(fā)AB?；蛏溆?e?AB，?顯然上述射影滿(mǎn)足：A?B??xe

e為l方向的單位矢量

③ 矢量在矢量上的射影：設(shè)e是向量a方向的單位矢量，向量b?xe，稱(chēng)x 為b在a上的射影記為射影ab 2 兩向量的角

規(guī)定兩矢量夾角在0到?之間，即0??(a,b)??，若a,b同向??a,b??0，a,b反向，則??a,b???，在平面上，還可以定義方向角 下面給出射影公式。

???定理1.6.1 矢量AB在軸l上的射影等于矢量的模乘以軸與該矢量的夾角的余弦： 射影l(fā)AB?ABcos?, ?=?(l,AB).(1.6-2)

注：定理1.6.2和1.6.3表明矢量的射影滿(mǎn)足加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算?？偨Y(jié)：本節(jié)內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，重點(diǎn)掌握矢量在軸l上的射影的計(jì)算公式。作業(yè)：P38，1題

1.7

兩矢量的數(shù)性積

教學(xué)要求：掌握兩矢量數(shù)性積的定義，兩矢量垂直的充要條件，數(shù)性積的運(yùn)算律，利用矢量的坐標(biāo)（分量）表示數(shù)性積，兩點(diǎn)距離公式，方向余弦，兩矢量的夾角余弦。0引言

前面我們已學(xué)過(guò)矢量的加法和數(shù)乘運(yùn)算，這兩種運(yùn)算的結(jié)果仍然是矢量，這一節(jié)我們將進(jìn)行兩矢量的一種乘積運(yùn)算，這種運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)數(shù)，一個(gè)非常典型的例子是物理學(xué)上一個(gè)外力，經(jīng)過(guò)一定的位移所作的功W?fscos? 定義：兩個(gè)矢量a和b的模和它們夾角的余弦的乘積叫做矢量a和b的數(shù)性積（也稱(chēng)內(nèi)積），記或，即a?b或ab

a?b?abcos??a,b?

???注：數(shù)性積是一個(gè)數(shù)，零矢量與任何矢量的數(shù)性積為0。由上一節(jié)射影公式，a?b=a射影ab=b射影ba

若b?e，則，a?e?射影ea

2若a?b，則a?a?a，記作a，為a的數(shù)量平方。2下面給出

定理1.7.1 兩矢量a與b互相垂直的充要條件是a?b?0 該定理有許多應(yīng)用，值得重視。

定理1.7.2 矢量的數(shù)性積滿(mǎn)足下面的運(yùn)算規(guī)律 1）交換律

a?b?b?a

2）關(guān)于數(shù)因子的結(jié)合律

(?a)?b??(a?b)?a(?b)3）分配律

(a?b)?c?a?c?b?c 推論：(?a??b)?c??(a?c)??(b?c)

我們?cè)谶@里指出，矢量的數(shù)性積運(yùn)算可以像數(shù)的乘法那樣進(jìn)行?，F(xiàn)在給出數(shù)性積的坐標(biāo)表示。

定理1.7.3 設(shè)a?X1i?Y1j?Z1k,b?X2i?Y2j?Z2k 那么a?b?X1X2?Y1Y2?Z1Z2

(1.7-6)推論：設(shè)a?Xi?Yj?Zk，那么 下面給出幾個(gè)重要的公式 1）兩點(diǎn)距離公式

定理1.7.4 設(shè)a?Xi?Yj?Zk，那么 a?a2?X2?Y2?Z2

(1.7-8)

定理1.7.5 空間兩點(diǎn)P1?X1,Y1,Z1?,P2?X2,Y2,Z2?間的距離是 d?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1)

(1.7-9)2222）矢量的方向余弦：矢量與坐標(biāo)軸所成的角叫方向角，而方向角的余弦叫矢量的方向余弦，我們有 定理1.7.6 非零矢量a?Xi?Yj?Zk的方向余弦是

XaYaZaXX?X?X2cosα=??YY2?Z2

cosβ=2?YZ2?Z2

(1.7-10)cosγ=2?Y2?Z2

且cos2α+cos2β+cos2γ=1

(1.7-11)這里α,β,γ分別為矢量a與x軸，y軸，z軸的交角，即矢量的三個(gè)方向角。特別地，a0={cosα,cosβ,cosγ}

(1.7-12)3）兩矢量的交角

定理1.7.7 設(shè)空間中兩個(gè)非零矢量a{X1,Y1,Z1}和b{X2,Y2,Z2}，那么它們夾角的余弦是 cos?(a,b)?a?bab?XX1X2?Y1Y2?Z1Z221?Y1?Z221X22?Y22?Z22

(1.7-13)推論：矢量a{X1,Y1,Z1}和b{X2,Y2,Z2}相垂直的充要條件是

X1X2?Y1Y2?Z1Z2?0

(1.7-14)平面的兩矢量有類(lèi)似的結(jié)論。

總結(jié)：這一節(jié)重點(diǎn)掌握數(shù)性積的定義，利用分量表示數(shù)性積及其應(yīng)用。作業(yè)：P48，5題 例題見(jiàn)書(shū)上。

1.8 兩矢量的矢性積

教學(xué)要求：掌握矢性積的定義，幾何意義，運(yùn)算律，坐標(biāo)表示。引言

前面已學(xué)過(guò)數(shù)性積，它表示一個(gè)數(shù)，這一節(jié)我們將引入兩矢量的餓乘積運(yùn)算的另一種形式，它的結(jié)果是一個(gè)新的矢量。首先看一下它的定義：

定義1.8.1 兩矢量a與b的矢性積（也稱(chēng)外積）是一個(gè)矢量，記做a?b，它的模是 a?b?absin?(a,b)，(1.8-1)它的方向與a,b都垂直，且按a,b, a?b的順序構(gòu)成右手標(biāo)架{O;a,b, a?b} 由平行四邊形面積公式，我們有

定理1.8.1 兩不共線矢量a與b的矢性積的模等于以a與b為邊所構(gòu)成的平行四邊形的面積。這個(gè)定理刻畫(huà)了矢性積的餓幾何意義。定理1.8.2 兩矢量共線的充要條件是a?b=0 該定理的應(yīng)用也相當(dāng)廣泛，需重視。

定理1.8.3 矢性積是反交換的，即

a?b=-(b?a)

(1.8-2)定理1.8.4 矢性積滿(mǎn)足關(guān)于數(shù)因子的結(jié)合律，即

?(a?b)?(?a)?b?a?(?b)

(1.8-3)推論 設(shè)?,?為任意實(shí)數(shù)，那么

(?a)?(?b)?(??)(a?b)

(1.8-4)

定理1.8.5 矢性積滿(mǎn)足分配律，即

(a?b)?c?a?c?b?c

(1.8-5)

推論

c?(a?b)?c?a?c?b

(1.8-6)值得注意的是，矢性積在運(yùn)算過(guò)程中，如果順序發(fā)生改變，一定要變號(hào) 下面用分量來(lái)表示矢性積

定理1.8.6 如果a?X1i?Y1j?Z1k,b?X2i?Y2j?Z2k，那么

Y1Y2ia?b?Z1Z2i?jY1Y2Z1Z2kX1X2j?X1X2Y1Y2k

(1.8-7)或a?b?X1X2Z1

(1.8-8)Z2總結(jié)：本節(jié)重點(diǎn)掌握矢性積的定義，幾何意義和分量表示形式。作業(yè)：P54，5題 例題見(jiàn)書(shū)上。

1.9 三矢量的混合積

教學(xué)要求：掌握混合積的定義，幾何含義，三矢量共面的充要條件，分量表示。引言

我們?cè)谇懊鎯晒?jié)學(xué)習(xí)的是兩個(gè)矢量的乘積運(yùn)算，但三個(gè)矢量的乘積運(yùn)算還未涉及，總的來(lái)說(shuō)有下面幾種情況，矢量a,b作數(shù)性積再與c作積，即(ab)c，此時(shí)結(jié)論為與c共線的矢量，沒(méi)必要討論，另外一種是，矢量a,b作矢量積再與c作數(shù)性積，即(a?b)?c，此時(shí)為一個(gè)數(shù)，還有一種是，a,b作矢性積再與c作矢性積，即(a?b)?c，我們?cè)谶@一節(jié)只討論第二種情況，首先給出

定義1.9.1 給定空間的三個(gè)矢量a,b,c,如果先做前兩個(gè)矢量a與b的矢性積，再做所得矢量與第三個(gè)矢量c的數(shù)性積，最后所得的這個(gè)數(shù)叫三矢量a,b,c的混合積，記做(a?b)?c，或(a,b,c)，或(abc)定理1.9.1 三個(gè)不共面矢量a,b,c的混合積的絕對(duì)值等于以a,b,c為棱的平面六面體的體積V，并且當(dāng)a,b,c構(gòu)成右手系時(shí)混合積是正數(shù)；當(dāng)a,b,c構(gòu)成左手系時(shí)，混合積是負(fù)數(shù)，也就是有(abc)=εV

(1.9-1)當(dāng)a,b,c是右手系時(shí)ε=1，反之ε=-1 定理1.9.2 三矢量a,b,c共面的充要條件是(a,b,c)=0 定理1.9.3 輪換混合積的三個(gè)因子，并不改變它的值，對(duì)調(diào)任何兩個(gè)因子要改變符號(hào)，即(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)

(1.9-2)推論

(a?b)?c?a?(b?c)

(1.9-3)下面用分量表示矢性積

定理1.9.4 如果a?X1i?Y1j?Z1k,b?X2i?Y2j?Z2k,c?X3i?Y3j?Z3k，則

X1(abc)?X2X3Y1Y2Y3Z1Z2

(1.9-4)Z3三矢量a,b,c共面的充要條件是 X1X2X3Y1Y2Y3Z1Z2?0 Z3總結(jié)：本節(jié)重點(diǎn)掌握混合積的定義，幾何意義，三矢量共面的充要條件，混合積的特點(diǎn)，分量表示。

作業(yè)：P60，5題

例題參見(jiàn)書(shū)上。

第二章

軌跡與方程

教學(xué)目的：

1、理解曲面與空間曲線方程的意義；

2、掌握求軌跡方程（矢量式與坐標(biāo)式參數(shù)方程及普通方程）的方法；

3、會(huì)判斷已知方程所表示的軌跡名稱(chēng)。教學(xué)重點(diǎn)：曲面和空間曲線的方程求法。

教學(xué)難點(diǎn)：判斷已知的參數(shù)方程或普通方程所表示的圖形。教學(xué)時(shí)數(shù)：6學(xué)時(shí)

2.1平面曲線的方程

這一節(jié)的內(nèi)容不在課堂上講，由學(xué)生在課后自學(xué)，因?yàn)楹竺嬉v的空間曲線的方程包含了這一節(jié)內(nèi)容。

2.2 曲面的方程

教學(xué)要求：掌握曲面方程的定義，求曲面方程的方法，曲面參數(shù)方程的定義、形式。引言

曲面方程的意義與平面曲線一樣，即點(diǎn)所滿(mǎn)足的式子，曲面方程通常由下列形式來(lái)表示： F(x,y,z)=0或z=f(x,y)求曲面方程的方法通常是：利用軌跡的性質(zhì)，列出曲面上的點(diǎn)所滿(mǎn)足的條件建立等式，再把坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)即可得曲面方程，舉例如書(shū)上 曲面的矢量式參數(shù)方程為

r(u.v)?x(u,v)e1?y(u,v)e2?z(u,v)e3

其中u,v(a?u?b,c?v?d)為參數(shù)，e1,e2,e3為空間矢量的基底。曲面的坐標(biāo)式參數(shù)方程為 ?x?x(u,v)??y?y(u,v)?z?z(u,v)?這里u,v同上。

總結(jié)：這一節(jié)重點(diǎn)掌握曲面方程的形式，參數(shù)方程的形式。作業(yè)：P88，5題 例題見(jiàn)書(shū)上

2.3 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程

這類(lèi)方程比較特殊，分別有下面三種形式 F(x,y)=0，母線平行于z軸 F(x,z)=0，母線平行于y軸 F(y,z)=0，母線平行于x軸 例如：x?y?a, 圓柱面（軸為z軸）2.4 空間曲線的方程

教學(xué)要求：掌握空間曲線方程的定義，了解它的求法，掌握曲線射影柱面的求法。引言

空間曲線方程的意義與曲面一樣，我們把空間曲線看作是兩個(gè)曲面的交線，于是方程為 222?F1(x,y,z)?0

(2.4-1)L:?F(x,y,z)?0?2具體舉例見(jiàn)書(shū)上。

對(duì)于空間曲線L(2.4-1)的射影柱面，就是以L為準(zhǔn)線，作母線分別平行于三坐標(biāo)的柱面，在代數(shù)上就是在方程(2.4-1)中分別消去三個(gè)坐標(biāo)x,y,z，就可得L對(duì)于yoz面，xoz面，xoy面三坐標(biāo)面的射影柱面 例子見(jiàn)書(shū)上

作業(yè)：P97，3題，8題

第三章

平面與空間直線 教學(xué)目的：

1、深刻理解在空間直角坐標(biāo)系下平面方程是一個(gè)關(guān)于x,y,z的三元一次方程；反過(guò)來(lái)任何一個(gè)關(guān)于x,y,z的三元一次方程都表示一個(gè)平面。直線可以看成兩個(gè)平面的交線，它可以用兩個(gè)相交平面的方程構(gòu)成的方程組來(lái)表示；

2、掌握平面與空間直線的各種形式的方程，明確方程中常數(shù)（參數(shù)）的幾何意義，能根據(jù)決定平面或決定直線的各種導(dǎo)出它們的方程，并熟悉平面方程的各種形式的互化與直線各種方程形式的互化；

3、能熟練地根據(jù)平面和直線的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)判別有關(guān)點(diǎn)、平面、直線之間的位置關(guān)系與計(jì)算它們之間的距離和交角。

教學(xué)重點(diǎn)：平面與空間直線的方程求法及點(diǎn)、平面、直線之間的相關(guān)位置。教學(xué)難點(diǎn)：平面與空間直線各種形式方程的互化。教學(xué)時(shí)數(shù)：10學(xué)時(shí) 3.1平面的方程

教學(xué)要求：掌握平面方程的幾種形式，包括參數(shù)方程，點(diǎn)位式方程，截距式方程，法式方程以及一般方程，平面的一般方程的法式化。

引言

我們知道，平面可以由一個(gè)點(diǎn)和不共線的兩方向矢量決定，于是可得如下的矢量式參數(shù)方程。

r?r0??a??

其中?,?為參數(shù)，a,b為兩不共線矢量，r0為定值

(3.1-1)變形又可得坐標(biāo)式參數(shù)方程

?x?x0?x1??x2???y?y0?y1??y2?

(3.1-2)?z?z?z??z?012?消參可得點(diǎn)位式方程 x?x0X1X2y?y0Y1Y2z?z0Z1Z2?0

(3.1-4)或(r?r0,a,b)?0，共面三矢量的條件

(3.1-3)平面也可由三點(diǎn)決定，于是有下面的三點(diǎn)式方程

r?r1??(r2?r1)??(r3?r1)

(3.1-5)?x?x1??(x2?x1)??(x?x1)??y?y1?u(y2?y1)?v(y3?y1)

(3.1-6)?z?z1?u(z2?z1)?v(z3?z1)(r?r1,r2?r1,r3?r1)?0

(3.1-7)x?x1x2?xx3?x1xx1x2x3xay?y1y2?y1y3?y1zz1z2z3zcz?z1z2?z1?0

(3.8-8)z3?z1yy1yy3yb1111?0

(3.8-8?)特別地，我們還有截距式方程

???1

abc?0

(3.1-9)平面的一般方程是下面的三元一次方程

Ax?By?Cz?D?0

(3.1-10)其中，A,B,C不全為0 對(duì)于一些特殊情形，必須非常熟悉。

對(duì)于平面，還可由一點(diǎn)和垂直于已知非0矢量的矢量決定,平面的方程為下面的點(diǎn)法式方程

n?(r?r0)?0

(3.1-11)即

A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0

(3.1-12)如果取單位法矢量n??cos?,cos?,cos?0?，則

n?r?P?0

(3.1-13)0即

xcos??ycos??zcos??P?

(3.1-14)這里的P表示原點(diǎn)到平面的距離P?0 對(duì)于平面的一般方程(3.1-10)，用???1A?B?C222

可以法式化，符號(hào)的造取須使?P?0 具體的一些例子參見(jiàn)書(shū)上。

總結(jié)：本節(jié)重點(diǎn)掌握平面的幾個(gè)方程形式和法式化。作業(yè)：P109，5，6，7題 3.2平面與點(diǎn)的相關(guān)位置 3.3兩平面的相關(guān)位置

教學(xué)要求：掌握離差的定義，點(diǎn)與平面的距離公式，兩平面位置關(guān)系的判定條件。引言

點(diǎn)與平面只有兩種位置關(guān)系，點(diǎn)在平面上即點(diǎn)滿(mǎn)足平面方程，由前一節(jié)可得，于是我們只考慮點(diǎn)在平面外的情形，離差的定義為 ?=射影?n0QM0

(3.2-1)以及

??n0?r0?P?x

(3.2-2,3)0cos??y

0cos??z0cos??P

點(diǎn)M0(x0,y0,z0)與平面Ax?By?Cz?D?0間的距離為

d?Ax0?By0?Cz0?D

(3.2-4)A2?B2

?C2 兩平面的關(guān)系有相交，平行，重合，具體的條件決定于下述方程組 ?A1x?B1y?C1z?D1?0,(1)??A2x?B2y?C2z?D 2?0,(2)的解的情況。

平面(1)與(2)相交的充要條件是

A1:B1:C1?A2:B2:C2

(3.3-1)平行的充要條件是 A1B11A?

(3.3-2)2B?C12C?D2D 2重合的充要條件是 A1A?B1?C11

(3.3-3)2B2C?D2D

2兩平面夾角的余弦

cos?(?A1A2?B1B2?C1C21,?2)??cos???n1?n2n1?n??2A2?B2222211?C1A2?B2?C2由此可得，兩平面垂直的充要條件是

A1A2?B1B2?C1C2?0

(3.3-6)總結(jié)：這兩節(jié)重點(diǎn)掌握點(diǎn)到平面的距離公式，兩平面位置關(guān)系的判定條件。(3.3-5)

作業(yè)：P113，10題，P115，6題

3.4 空間直線的方程

教學(xué)要求：掌握直線的幾種方程形式，包括參數(shù)方程，標(biāo)準(zhǔn)方程，兩點(diǎn)式方程，一般方程，射影方程。引言

我們知道，直線可以由一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向矢量決定，于是得到直線的參數(shù)方程。

r?r0?t?

(3.4-1)或

?x?x?0?tX?y?y0?tY

?z?z0?tZ再消去參數(shù)t，即得直線的標(biāo)準(zhǔn)方程 x?x0y?y0z?z0X?Y?Z

直線的兩點(diǎn)式方程為 x?x1y1x

2?x?y??z?z11y2?y1z

2?z1如果取V0??cos?,cos?,cos??，則

?t?r?r0?MM0

參數(shù)t的絕對(duì)值是l上兩點(diǎn)M0與M間的距離 用X:Y:Z表示方向數(shù)

直線的一般方程是下面的三元一次方程組

?A?1x?B1y?C1z?D1?0x?B

?A22y?C2z?D2?0其中A1:B1:C1?A2:B2:C2 它的射影式方程為

?x?az?c?

?y?bz?d

其中

a?XZ,b?YZ,c?x0?XZz0,d?y0?YZz0

由(3.4-11)可得直線的標(biāo)準(zhǔn)方程

(3.4-2)

(3.4-3)

(3.4-6)

(3.4-11)(3.3-12)

x?x0B1B2C1C2?y?y0C1C2A1A2?z?z0A1A2B1B2

其中

B1x0?B2A1A2D1D2B1B2,y0?D1D2A1A2A1A2B1B2,z?01 另外，直線的方向矢量v可取n1?n2

具體的例題見(jiàn)書(shū)上

總結(jié)：本節(jié)重點(diǎn)掌握直線的方程形式及求解方法。作業(yè)：P123，4題

3.5 直線與平面的相關(guān)位置 3.6空間兩直線的相關(guān)位置 3.7 空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置 3.8平面束

教學(xué)要求：掌握直線與平面位置關(guān)系的判定，兩直線相關(guān)位置的判定，兩直線夾角的余弦，兩異面直線間的距離，公垂線方程，點(diǎn)到直線的距離公式，有軸平面束，平行平面束的方程及其應(yīng)用。引言

直線與平面有相交，平行，直線在平面上三種關(guān)系。判定要求是：

(1)相交AX?BY?CZ?0(2)平行AX?BY?CZ?0

(3)直線在平面上AX?BY?CZ?0，Ax0?By0?Cz0?D?0

x?x0Xy?y0Yz?z0Z其中l(wèi):??,平面?:Ax?By?Cz?D?0

直線L與平面?的交角為0到n?vn?v?2之間，有

sin???Ax?By?CzA?B?C?y?y1Y1y?y2Y2?222X2?Y2?Z2

(3.5-4)直線L1:x?x1X1x?x2X2z?z1Z1

直線L2:??z?z2Z2

相關(guān)位置的充要條件是 異面: 0x2?x1??X1X202 相交: y2?y1Y1Y2z2?z1Z1Z2?0

(3.6-1)??0,X1:Y1:Z1?X2:Y2:Z2

(3.6-2)30平行: ??0,X1:Y1:Z1?X2:Y2:Z2?(x2?x1):(y2?y1):(z2?z1)

重合: X1:Y1:Z1?X2:Y2:Z2?(x2?x1):(y2?y1):(z2?z1)

空間兩直線的夾角余弦 cos?(?1X2?Y1Y2?Z1Z21,?2)??X

X222

1?Y1?Z1X22?Y22?Z22垂直的充要條件: X1X2?Y1Y2?Z1Z2?

異面直線?1與?2間的距離為

x1?x2y1?y2z1?z2X1Y1Z1d?X2Y2Z2Y222

1Z1Y?Z1X1?X1Y12Z2Z2X2X2Y2公垂線?0的方程為

?x?xy?y?11z?z1?X1Y1Z1?0???XYZ

?x?x2y?y2z?z

2??X2Y2Z2?0??XYZ其中X?Y1Z111Y1YY?Z1X2Z,2Z2X,Z?X2X2Y

2(3.6-3)

(3.6-4)

(3.6-5)

(3.6-6)

(3.6-7)

(3.6-8)

點(diǎn)到直線的距離公式為

?v?M1Md?vy0?y10z0?z1Z2?Y?z0?z1ZX2x0?x1X2?x0?x1Xy0?y1Y2?Y2?Z2

(3.7-1)以直線L為軸的有軸平面束的方程是

?(A1x?B1y?C1z?D1)?m(A2x?B2y?C2z?D2)?0，(3.8-1)由平面Ax?By?Cz?D?0決定的平行平面束的方程是

Ax?By?Cz???0,?為任意實(shí)數(shù)

(3.8-2)相關(guān)例題參見(jiàn)教材

總結(jié)：重點(diǎn)掌握直線與平面，直線與直線的判定條件，點(diǎn)到直線的距離公式，平面束的方程以及應(yīng)用。

作業(yè)：P127，6題，P133，8題，P134，2題，P139，4題

第四篇：解析幾何教案

解析幾何教案

一、位移向量：既有大小又有方向的量，簡(jiǎn)稱(chēng)向量；

兩點(diǎn)的距離公式： 中點(diǎn)公式：

例題：

二、直線的傾斜角和斜率

1.直線方程：

一次函數(shù)的圖象是直線，直線不一定是一次函數(shù)的圖象，如直線x=a連函數(shù)都不是 2.直線的傾斜角: 一條直線l向上的方向與x軸的正方向所成的最小正角，叫做這條直線的傾斜角，如圖1-21中的α．特別地，當(dāng)直線l和x軸平行時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0°，因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°．

直線傾斜角角的定義有下面三個(gè)要點(diǎn)：(1)以x軸正向作為參考方向(始邊)；(2)直線向上的方向作為終邊；(3)最小正角．

3.直線的斜率

傾斜角不是90°的直線．它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率．直線的斜率常用k表示，即

對(duì)于上面的斜率公式要注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)x1=x2時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無(wú)關(guān)；(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到． 例1 如圖1-23，直線l1的傾斜角α1=30°，直線l2⊥l1，求l1、l2的斜率．

∵l2的傾斜角α2=90°+30°=120°，例2 求經(jīng)過(guò)A(-2，0)、B(-5，3)兩點(diǎn)的直線的斜率和傾斜角．

∴tgα=-1．∵0°≤α＜180°，∴α=135°．因此，這條直線的斜率是-1，傾斜角是135°．

三、直線方程的一般形式：點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式和截距式

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知直線上一點(diǎn)和直線的斜率或已知直線上兩點(diǎn)，會(huì)求直線的方程；給出直線的點(diǎn)斜式方程，能觀察直線的斜率和直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)；能化直線方程成截距式，并利用直線的截距式作直線．(一)點(diǎn)斜式

設(shè)點(diǎn)P(x，y)是直線l上不同于P1的任意一點(diǎn)，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式得

當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1． 當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1．

(二)斜截式

已知直線l在y軸上的截距為b，斜率為k，求直線的方程．

這個(gè)問(wèn)題，相當(dāng)于給出了直線上一點(diǎn)(0，b)及直線的斜率k，求直線的方程，是點(diǎn)斜式方程的特殊情況，代入點(diǎn)斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是

它是由直線的斜率和它在y軸上的截距確定的．

當(dāng)k≠0時(shí)，斜截式方程就是直線的表示形式，這樣一次函數(shù)中k和b的幾何意義就是分別表示直線的斜率和在y軸上的截距．

(三)兩點(diǎn)式

已知直線l上的兩點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直線的位置是確定的，也就是直線的方程是可求的，請(qǐng)大家求直線l的方程．

(1)方程只適用于與坐標(biāo)軸不平行的直線，當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行(x1=x2或y1=y2)時(shí)，可直接寫(xiě)出方程；(2)要記住兩點(diǎn)式方程，只要記住左邊就行了，右邊可由左邊見(jiàn)y就用x代換得到，規(guī)律完全一樣．

(四)截距式

例1 已知直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b(a≠0，b≠0)，求直線l的方程．

解：因?yàn)橹本€l過(guò)A(a，0)和B(0，b)兩點(diǎn)，將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式，得當(dāng)y1≠y2時(shí)，為了便于記憶，我們把方程改寫(xiě)成就是

學(xué)生也可能用先求斜率，然后用點(diǎn)斜式方程求得截距式．

對(duì)截距式方程要注意下面三點(diǎn)：(1)如果已知直線在兩軸上的截距，可以直接代入截距式求直線的方程；(2)將直線的方程化為截距式后，可以觀察出直線在x軸和y軸上的截距，這一點(diǎn)常被用來(lái)作圖；(3)與坐標(biāo)軸平行和過(guò)原點(diǎn)的直線不能用截距式表示． 例2 三角形的頂點(diǎn)是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(圖1-27)，求這個(gè)三角形三邊所在直線的方程．

解：直線AB的方程可由兩點(diǎn)式得：

即 3x+8y+15=0這就是直線AB的方程．

BC的方程本來(lái)也可以用兩點(diǎn)式得到，為簡(jiǎn)化計(jì)算，我們選用下面途徑： 由斜截式得：由截距式方程得AC的方程是

即 5x+3y-6=0．這就是直線BC的方程．

即 2x+5y+10=0．這就是直線AC的方程．

例3 證明：三點(diǎn)A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一條直線上．

證法一

直線AB的方程是：

化簡(jiǎn)得 y=x+2．將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上面的方程，等式成立．∴A、B、C三點(diǎn)共線．

∴A、B、C三點(diǎn)共線．

例4 直線x+2y-10=0與過(guò)A(1，3)、B(5，2)的直線相交于C，此題按常規(guī)解題思路可先用兩點(diǎn)式求出AB的方程，然后解方程組得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求點(diǎn)C分AB所成的定比，計(jì)算量大了一些．如果先用定比分點(diǎn)公式設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)(即滿(mǎn)足點(diǎn)C在直線AB上)，然后代入已知的直線方程求λ，則計(jì)算量要小得多．

代入x+2y-10=0有：解之得

λ=-3．

在直角坐標(biāo)系內(nèi),已知兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2);在兩點(diǎn)連線上有一點(diǎn)P,設(shè)它的坐標(biāo)為(x,y),且線段AP比線段PB的比值為λ,那么我們說(shuō)P分有向線段AB的比為λ

且P的坐標(biāo)為

x=(x1 + λ · x2)/(1 + λ)y=(y1 + λ · y2)/(1 + λ)例4 直線x+2y-10=0與過(guò)A(1，3)、B(5，2)的直線相交于C，此題按常規(guī)解題思路可先用兩點(diǎn)式求出AB的方程，然后解方程組得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求點(diǎn)C分AB所成的定比，計(jì)算量大了一些．如果先用定比分點(diǎn)公式設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)(即滿(mǎn)足點(diǎn)C在直線AB上)，然后代入已知的直線方程求λ，則計(jì)算量要小得多．

代入x+2y-10=0有：解之得

λ=-3．

定比分點(diǎn)公式的特殊情況

中點(diǎn)公式：

已知兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)，設(shè)兩點(diǎn)中點(diǎn)為P（x，y）

則 x=(x1+x2)/2；y=(y1+y2)/2.三角形重心公式：

已知三角形ABC [A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）]，設(shè)三角形重心為G（x,y）

則x=(x1+x2+x3)/3；y=(y1+y2+y3)/3 分點(diǎn)的不同情況

當(dāng)P為內(nèi)分點(diǎn)時(shí),λ>0;

當(dāng)P為外分點(diǎn)時(shí),λ<0(λ≠-1);

當(dāng)P與A重合時(shí),λ=0;當(dāng)P與B重合時(shí)λ不存在

四、兩條直線的位置關(guān)系：兩條直線的平行與垂直

(一)特殊情況下的兩直線平行與垂直 當(dāng)兩條直線中有一條直線沒(méi)有斜率時(shí)：(1)當(dāng)另一條直線的斜率也不存在時(shí)，兩直線的傾斜角為90°，互相平行；(2)當(dāng)另一條直線的斜率為0時(shí)，一條直線的傾斜角為90°，另一條直線的傾斜角為0°，兩直線互相垂直．

(二)斜率存在時(shí)兩直線的平行與垂直

設(shè)直線l1和l2的斜率為k1和k2，它們的方程分別是l1： y=k1x+b1； l2： y=k2x+b2．

兩直線的平行與垂直是由兩直線的方向來(lái)決定的，兩直線的方向又是由直線的傾斜角與斜率決定的，所以我們下面要解決的問(wèn)題是兩平行與垂直的直線它們的斜率有什么特征．

我們首先研究?jī)蓷l直線平行(不重合)的情形．如果l1∥l2(圖1-29)，那么它們的傾斜角相等：α1=α2．∴tgα1=tgα2．即 k1=k2．反過(guò)來(lái)成立

結(jié)論：兩條直線有斜率且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，則它們平行，即(，b1不等于b2)l1與l2重合《==》k1= k2,b1= b2 兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，則它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，則它們互相垂直，即

例1 已知兩條直線l1： 2x-4y+7=0，L2： x-2y+5=0．求證：l1∥l2． 證明兩直線平行，需說(shuō)明兩個(gè)要點(diǎn)：(1)兩直線斜率相等；(2)兩直線不重合． 例2求過(guò)點(diǎn) A(1，-4)，且與直線2x+3y+5=0平行的直線方程．

因所求直線與2x+3y+5=0平行，可設(shè)所求直線方程為2x+3y+m=0，將A(1，-4)代入有m=10，故所求直線方程為

2x+3y+10=0．

例3 求過(guò)點(diǎn)A(2，1)，且與直線2x+y-10=0垂直的直線方程：x-2y=0．

五、兩條直線的位置關(guān)系：兩條直線所成的角

一條直線與另一條直線所成角的概念及其公式，兩直線的夾角公式，能熟練運(yùn)用公式解題．

l1到l2的角正切

兩條直線l1和l2相交構(gòu)成四個(gè)角，它們是兩對(duì)對(duì)頂角．為了區(qū)別這些角，我們把直線l1依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與l2重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角，叫做l1到l2的角．圖1-27中，直線l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2(θ1+θ2=180°)．

l1到l2的角有三個(gè)要點(diǎn)：始邊、終邊和旋轉(zhuǎn)方向．

現(xiàn)在我們來(lái)求斜率分別為k1、k2的兩條直線l1到l2的角，設(shè)已知直線的方程分別是

l1∶y=k1x+b1 l2∶y=k2x+b2 如果1+k1k2=0，那么θ=90°，下面研究1+k1k2≠0的情形．征進(jìn)行記憶．(四)例題

解：k1=-2，k2=1．

上面的關(guān)系記憶時(shí)，可抓住分子是終邊斜率減始邊斜率的特

∴θ=arctg3≈71°34′．

例3等腰三角形一腰所在的直線l1的方程是x-2y-2=0，底邊所在的直線l2的方程是x+y-1=0，點(diǎn)(-2，0)在另一腰上，求這腰所在直線l3的方程． 解：先作圖演示一腰到底的角與底到另一腰的角相等，并且與兩腰到底的角與底到另一腰的角相等，并且與兩腰的順序無(wú)關(guān)．設(shè)l1、l2、l3的斜率分別是k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，則

因?yàn)閘1、l2、l3所圍成的三角形是等腰三角形，所以θ1=θ2．tgθ2=tgθ1=-3．

解得 k3=2．因?yàn)閘3經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2，0)，斜率為2，寫(xiě)出點(diǎn)斜式為y=2[x-(-2)]，即 2x-y+4=0．這就是直線l3的方程．

講此例題時(shí)，一定要說(shuō)明：無(wú)須作圖，任一腰到底的角與底到另一腰的角都相等，要為銳角都為銳角，要為鈍角都為鈍角．

六、兩條直線的位置關(guān)系：兩條直線的交點(diǎn)(一)兩直線交點(diǎn)與方程組解的關(guān)系 設(shè)兩直線的方程是

l1： A1x+B1y+c1=0，l2： A2x+B2y+C2=0．

如果兩條直線相交，由于交點(diǎn)同時(shí)在兩條直線上，交點(diǎn)的坐標(biāo)一定是這兩個(gè)方程的公共解；反之，如果這兩個(gè)二元一次方程只有一個(gè)公共解，那么以這個(gè)解為坐標(biāo)的點(diǎn)必是直線l1和l2的交點(diǎn)．因此，兩條直線是否相交，就要看這兩條直線的方程所組成的方程組

是否有唯一解．

例2 已知兩條直線：l1： x+my+6=0，l2：(m-2)x+3y+2m=0． 當(dāng)m為何值時(shí)，l1與l2：(1)相交，(2)平行，(3)重合．

解：將兩直線的方程組成方程組

解得m=-1或m=3．

(2)當(dāng)m=-1時(shí)，方程組為∴方程無(wú)解，l1與l2平行．

(3)當(dāng)m=3時(shí)，方程組為兩方程為同一個(gè)方程，l1與l2重合．

七、點(diǎn)到直線的距離公式

平面內(nèi)一點(diǎn)P(x0，y0)到一條直線Ax+By+C=0的距離公式：例2 求平行線2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距離．

解：在直線2x-7y-6=0上任取一點(diǎn)，例如取P(3，0)，則兩平行線間的距離就是點(diǎn)P(3，0)到直線2x-7y+8=0的距離(圖1-38)．

例3 正方形的中心在C(-1，0)，一條邊所在的直線方程是x+3y-5=0，求其它三邊所在的直線方程．

解：正方形的邊心距

設(shè)與x+3y-5=0平行的一邊所在的直線方程是x+3y+C1=0，則中心到

C1=-5(舍去0)或C1=7．∴與x+3y-5=0平行的邊所在的直線方程是x+3y+7=0． 設(shè)與x+3y-5=0垂直的邊所在的直線方程是3x-y+C2=0，則中心到這

解之有C2=-3或C2=9．∴與x+3y-5=0垂直的兩邊所在的直線方程是3x-y-3=0和3x-y+9=0．

一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1，標(biāo)準(zhǔn)方程：由兩點(diǎn)間的距離公式得：

將上式兩邊平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2．圓心是C(a，b)、半徑是r 當(dāng)圓心在原點(diǎn)即C(0，0)時(shí)，方程為 x2+y2=r2．

2，一般方程：我們已討論了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2，現(xiàn)將展開(kāi)可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可見(jiàn)，任何一個(gè)圓的方程都可以寫(xiě)成x2+y2+Dx+Ey+F=0．

將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左邊配方得：

(1)

(1)當(dāng)D2+E2-4F＞0時(shí)，方程(1)與標(biāo)準(zhǔn)方程比較，可以看出方程

半徑的圓；

(3)當(dāng)D2+E2-4F＜0時(shí)，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形． 當(dāng)二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有條件：

(1)x2和y2的系數(shù)相同，不等于零，即A=C≠0；(2)沒(méi)有xy項(xiàng)，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0．它才表示圓．條件(3)通過(guò)將方程同除以A或C配方不難得出．

第五篇：高中解析幾何教學(xué)策略——數(shù)學(xué)史的視角總結(jié)

高中解析幾何教學(xué)策略——數(shù)學(xué)史的視角

李鐵安

宋乃慶

【摘要】充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教育的作用和功效，應(yīng)全面深入挖掘數(shù)學(xué)史中對(duì)數(shù)學(xué)課程具有啟發(fā)意義和教育價(jià)值的科學(xué)與文化要素，并應(yīng)用于具體的數(shù)學(xué)教學(xué)．笛卡爾解析幾何思想是一個(gè)整體文化系統(tǒng)．以笛卡爾數(shù)學(xué)思想的文化內(nèi)涵為素材，制訂高中解析幾何教學(xué)策略，可以有效地促進(jìn)高中解析幾何教學(xué)，從而更好地實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)．基于笛卡爾數(shù)學(xué)思想，可制訂如下具體的教學(xué)策略：（1）整體文化驅(qū)動(dòng)；（2）核心概念統(tǒng)領(lǐng)；（3）思想結(jié)構(gòu)分拆整合；（4）雙向模式轉(zhuǎn)化．

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史 笛卡爾 解析幾何 導(dǎo) 言

立足于數(shù)學(xué)史的視角審思數(shù)學(xué)，對(duì)認(rèn)識(shí)、理解數(shù)學(xué)教育具有啟發(fā)意義．?dāng)?shù)學(xué)史有機(jī)地融入到數(shù)學(xué)教育中也是數(shù)學(xué)新課程的基本理念之一．要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教育的作用和功效，應(yīng)全面深入挖掘數(shù)學(xué)史中對(duì)數(shù)學(xué)課程具有啟發(fā)意義和教育價(jià)值的科學(xué)與文化要素，并應(yīng)用于具體的數(shù)學(xué)教學(xué)．本文通過(guò)分析挖掘笛卡爾解析幾何思想的科學(xué)與文化內(nèi)涵，并基于笛卡爾數(shù)學(xué)思想，提出高中解析幾何教學(xué)的若干策略． 高中解析幾何課程與教學(xué)現(xiàn)狀概述

高中解析幾何課程是一門(mén)以解析幾何學(xué)的基本內(nèi)容和思想為背景材料，用代數(shù)方法研究平面幾何問(wèn)題的學(xué)科．課程內(nèi)容主要包括空間坐標(biāo)系、直線與圓的方程、圓錐曲線、參數(shù)方程與極坐標(biāo)等．這些內(nèi)容是初中平面幾何學(xué)習(xí)的繼續(xù)、內(nèi)容的擴(kuò)充、方法的提升，是初等代數(shù)演繹的載體、應(yīng)用的平臺(tái)，是學(xué)生升入大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)空間解析幾何、線性代數(shù)和微積分的基礎(chǔ)．高中解析幾何課程在整個(gè)初等數(shù)學(xué)中占據(jù)非常重要的地位．高中解析幾何既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法，其核心是數(shù)形結(jié)合的思想方法，這一思想方法在初等數(shù)學(xué)的其它領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用．同時(shí)，在解決解析幾何問(wèn)題過(guò)程中，還要用初等數(shù)學(xué)中許多其它的思想方法，如映射、化歸、方程、函數(shù)、分類(lèi)、變換、參數(shù)等思想方法，高中解析幾何可謂數(shù)學(xué)思想的“戰(zhàn)場(chǎng)”．所以，高中解析幾何課程具有培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的功效．而且，解析幾何學(xué)是17 世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的重大成果之一，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了重要影響，它的創(chuàng)立在數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有劃時(shí)代意義．也蘊(yùn)涵著笛卡爾獨(dú)樹(shù)一幟的數(shù)學(xué)精神、思想和方法，個(gè)性品質(zhì)以及發(fā)明創(chuàng)造的思維線索和心理歷程．因此，高中解析幾何課程更具有豐富的文化價(jià)值和教育價(jià)值，是提高學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)和整體文化認(rèn)知水平的一個(gè)典型范例．然而，目前高中解析幾何課程在實(shí)施過(guò)程中沒(méi)有全面、完整、準(zhǔn)確、有效地實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)．調(diào)查結(jié)果表明，高中解析幾何教學(xué)還存在諸多問(wèn)題．主要表現(xiàn)在如下幾個(gè)方面：

（1）教師對(duì)解析幾何課程的本質(zhì)及其教學(xué)宗旨存在一定的偏頗或欠缺；（2）課程目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容偏窄；（3）課程目標(biāo)與教學(xué)實(shí)際背離；

（4）教學(xué)方式單一，課堂缺乏探究與交流；

（5）學(xué)生對(duì)解析幾何課程的理解膚淺，學(xué)習(xí)興趣初濃漸淡；（6）高考評(píng)價(jià)導(dǎo)向存在一定的偏頗或欠缺．

具體地，絕大多數(shù)教師往往認(rèn)為解析幾何的學(xué)科性質(zhì)是偏重于代數(shù)的，學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的宗旨就是要學(xué)會(huì)代數(shù)計(jì)算和代數(shù)方法；課程目標(biāo)就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)列方程，熟練解方程，即使注重?cái)?shù)形結(jié)合這一核心思想，也側(cè)重于幾何問(wèn)題代數(shù)化這單一的方面；教學(xué)上偏重于列方程和解方程，以訓(xùn)練算法為主，靠做大量習(xí)題提高代數(shù)技巧，忽視對(duì)代數(shù)結(jié)果的幾何含義分析，忽視幾何方法的簡(jiǎn)潔性和有效性，甚至有去幾何化的傾向，很少介紹解析幾何產(chǎn)生的背景，笛卡爾創(chuàng)立解析幾何的思想方法，它在數(shù)學(xué)史中的獨(dú)特地位，以及這一學(xué)科的巨大威力．對(duì)解析幾何這種簡(jiǎn)單的處理，使許多學(xué)生在解析幾何課程學(xué)習(xí)中沒(méi)有感受到它的科學(xué)價(jià)值、文化價(jià)值和教育價(jià)值；學(xué)生學(xué)習(xí)方法單調(diào)，思維方式單一，沉湎于機(jī)械訓(xùn)練，直覺(jué)思維和創(chuàng)造力受阻，學(xué)習(xí)興趣初濃漸淡，終因難而厭．不容忽視的是，高考數(shù)學(xué)試題中解析幾何的內(nèi)容也多以列方程、解方程的題材為主，學(xué)生在高考中，涉及解析第2 期 李鐵安等：高中解析幾何教學(xué)策略——數(shù)學(xué)史的視角 91幾何內(nèi)容的題目的得分從總體上看并不低，這也在客觀上影響了目前高中解析幾何教學(xué)的導(dǎo)向．

改變目前高中解析幾何課程與教學(xué)的現(xiàn)實(shí)境況，探索如何在數(shù)學(xué)新課程理念下科學(xué)、有效地實(shí)施解析幾何課程，就顯得十分必要而迫切．一種可行的策略是充分借助數(shù)學(xué)史的力量．通過(guò)分析挖掘笛卡爾創(chuàng)立解析幾何過(guò)程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，并基于笛卡爾數(shù)學(xué)思想制訂教學(xué)若干策略，可以有效地促進(jìn)高中解析幾何教學(xué)，從而更好地實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)． 笛卡爾解析幾何思想的內(nèi)涵——數(shù)學(xué)文化學(xué)的視角

數(shù)學(xué)文化學(xué)是指從文化這樣一個(gè)特殊的視角認(rèn)識(shí)、理解、分析數(shù)學(xué)．由于影響數(shù)學(xué)發(fā)展的文化因素是多方面的，數(shù)學(xué)也具有廣泛的文化特征與文化價(jià)值，所以，數(shù)學(xué)文化學(xué)就從更為廣泛的角度指明了影響數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的各個(gè)因素，而且也直接涉及了對(duì)于數(shù)學(xué)本質(zhì)及其價(jià)值的認(rèn)識(shí)[1]．?dāng)?shù)學(xué)文化學(xué)是數(shù)學(xué)史研究的一個(gè)重要范式．通過(guò)數(shù)學(xué)文化學(xué)分析數(shù)學(xué)，既可以厘清影響數(shù)學(xué)發(fā)展的各個(gè)因素，也可以充分解析出數(shù)學(xué)的文化價(jià)值．

以數(shù)學(xué)文化學(xué)為分析框架分析笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何，本文認(rèn)為，笛卡爾解析幾何思想是一個(gè)整體文化系統(tǒng)．具體從以下6 個(gè)方面體現(xiàn)：

（1）歷史淵源：文化全面復(fù)興；生產(chǎn)高度發(fā)展；科學(xué)和數(shù)學(xué)本身提出了大量問(wèn)題；數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)方法論發(fā)生了重大變化．

（2）數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：笛卡爾解析幾何思想的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)由核心概念，基本方法，數(shù)學(xué)原理3 個(gè)層次構(gòu)成．核心概念是曲線與方程，基本方法是幾何問(wèn)題代數(shù)化和代數(shù)問(wèn)題幾何化，數(shù)學(xué)原理是映射原理（或化歸原則）．笛卡爾解析幾何思想的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是其整體文化系統(tǒng)的核心．

（3）科學(xué)價(jià)值：將變量和坐標(biāo)觀念引入了數(shù)學(xué)，開(kāi)創(chuàng)了近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的先河；提出了一切問(wèn)題都可以歸結(jié)為解方程問(wèn)題的“通用數(shù)學(xué)”方案，開(kāi)創(chuàng)了機(jī)械化的數(shù)學(xué)計(jì)算方法；提出了將數(shù)學(xué)作為一種方法科學(xué)的直觀—演繹法的方法論，使科學(xué)方法論實(shí)現(xiàn)了革命性的突破．

（4）哲學(xué)表現(xiàn)：反映了客觀世界的3 方面特征——運(yùn)動(dòng)變化性，普遍聯(lián)系性，永恒統(tǒng)一性；呈3 個(gè)方法層次——具體化的數(shù)學(xué)方法，一般化的科學(xué)方法，普適化的哲學(xué)方法．

（5）認(rèn)識(shí)模式：?jiǎn)栴}解決的思維線索依直覺(jué)思維→抽象思維→演繹思維→歸納思維而進(jìn)行；創(chuàng)造的心理歷程按照觀念選擇→審美直覺(jué)→有用提取→有效組合的心理邏輯展開(kāi)．

（6）個(gè)性品質(zhì)：理性化的哲學(xué)素養(yǎng)和統(tǒng)一化的數(shù)學(xué)信念；懷疑、批判的創(chuàng)新精神和合理繼承前人成果的包容精神；對(duì)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)約美、和諧美和統(tǒng)一美的審美追求．作為一個(gè)整體文化系統(tǒng)的笛卡爾解析幾何思想，其中的每一個(gè)子系統(tǒng)之間是互相關(guān)聯(lián)的（見(jiàn)圖1）． 圖1 笛卡爾數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵 高中解析幾何教學(xué)策略——基于笛卡爾數(shù)學(xué)思想的視角

4.1 策略一——整體文化驅(qū)動(dòng)

文化驅(qū)動(dòng)的概念可以界定為：以文化所固有的力量推動(dòng)人的發(fā)展．這里的整體“文化驅(qū)動(dòng)”策略就是指在高中解析幾何課程教學(xué)的啟動(dòng)環(huán)節(jié)，以笛卡爾數(shù)學(xué)思想的文化內(nèi)涵為素材驅(qū)動(dòng)教學(xué)． 4.1.1 文化驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的意義與功能（1）文化驅(qū)動(dòng)教學(xué)可以?xún)?nèi)化學(xué)生精神空間的開(kāi)豁度．教育的主題是喚醒人的超越性，超越需要開(kāi)闊的精神空間．崇高的信念、理性的素質(zhì)、高尚的情感是課程內(nèi)容中的文化精髓，對(duì)于學(xué)生，這些因素的相互滲透、化通，可以拓展精神空間的高度，支撐精神空間的結(jié)構(gòu)，涵育精神空間的厚度，并最終整合成一個(gè)有力的精神性存在．精神空間的開(kāi)豁度是科學(xué)創(chuàng)造的重要因素，牛頓、愛(ài)因斯坦，包括本文所涉及的笛卡爾等科學(xué)史上諸多具有非凡創(chuàng)造力的科學(xué)家，他們之所以能夠創(chuàng)造出劃時(shí)代的科學(xué)成就，其中一個(gè)很重要的因素就是具有比常人更崇高的信念，更深邃的洞察力和更遼遠(yuǎn)的視野．所以，文化驅(qū)動(dòng)教學(xué)可以?xún)?nèi)化學(xué)生精神空間的開(kāi)豁度，更好地實(shí)現(xiàn)精神超越．從而，提升人的創(chuàng)新素養(yǎng)和創(chuàng)造能力．

（2）文化驅(qū)動(dòng)教學(xué)可以促進(jìn)學(xué)生整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成與發(fā)展．現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，興趣、性格、動(dòng)機(jī)、情感、意志等基本心理因素相互作用，構(gòu)成個(gè)體學(xué)習(xí)過(guò)程的心理環(huán)境和認(rèn)知驅(qū)力，它是影響意識(shí)指向的直接環(huán)境和內(nèi)在動(dòng)力．那么，如何讓這種內(nèi)在動(dòng)力啟動(dòng)起來(lái)呢？就是充分利用課程本身的誘因（incentive）價(jià)值．所謂誘因，即一切能引起機(jī)體產(chǎn)生動(dòng)機(jī)性行為的外部刺激[2]．課程本身的誘因價(jià)值可以驅(qū)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)[3]．利用課程中廣泛的文化要素，可以為學(xué)生提供一個(gè)龐大的信息資源，直接刺激學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的心理環(huán)境，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、動(dòng)機(jī)，品質(zhì)等非智力因素和學(xué)生的感知、注意、思維、想象等智力因素的形成與發(fā)展都會(huì)產(chǎn)生積科學(xué)價(jià)值認(rèn)識(shí)模式歷史淵源個(gè)性品質(zhì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)哲學(xué)表現(xiàn)笛卡爾數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵（一個(gè)整體文化系統(tǒng)）極影響．因此，文化驅(qū)動(dòng)教學(xué)可以促進(jìn)學(xué)生整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成與發(fā)展．

（3）文化驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)可以全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．文化是數(shù)學(xué)的基本特征．高度抽象性、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性、應(yīng)用廣泛性、不斷累積性、永恒競(jìng)智性、審美驅(qū)動(dòng)性、和諧統(tǒng)一性及它們之間的交互作用構(gòu)成了龐大的數(shù)學(xué)文化系統(tǒng)．以文化驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)可以全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．思維的抽象性可以牢固信念并挑戰(zhàn)智力；推理的嚴(yán)謹(jǐn)性可以培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣和品質(zhì)；知識(shí)的系統(tǒng)性以及問(wèn)題的復(fù)雜性，可以涵育堅(jiān)強(qiáng)的意志和學(xué)習(xí)態(tài)度；數(shù)學(xué)累積性可以激發(fā)

創(chuàng)新意識(shí)、開(kāi)闊歷史視野；審美驅(qū)動(dòng)性與和諧統(tǒng)一性可以完善數(shù)學(xué)觀和對(duì)數(shù)學(xué)美的情感體驗(yàn)． 4.1.2 文化驅(qū)動(dòng)解析幾何教學(xué)的意義與功能

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思想的教學(xué)．但數(shù)學(xué)創(chuàng)造中，數(shù)學(xué)家的信念品質(zhì)、價(jià)值判斷、審美追求等文化因素的暗流總是涌動(dòng)在知識(shí)和真理成分的背后．?dāng)?shù)學(xué)思想教學(xué)的哲學(xué)意義在于，讓學(xué)生透過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)和真理的“冰冷的美麗”背后，了解是什么樣的一種深層文化預(yù)先存在于數(shù)學(xué)家的預(yù)設(shè)中，使他能夠形成這樣的思想和創(chuàng)造，并進(jìn)入學(xué)生自己的心靈．笛卡爾數(shù)學(xué)思想具有廣泛而深刻的文化內(nèi)涵，是一個(gè)整體文化系統(tǒng)．所以，高中解析幾何課程教學(xué)應(yīng)尤其突出解析幾何思想的教學(xué)．以笛卡爾數(shù)學(xué)思想的文化內(nèi)涵為素材，在課程教學(xué)的啟動(dòng)環(huán)節(jié)驅(qū)動(dòng)解析幾何教學(xué)，可以讓學(xué)生對(duì)解析幾何產(chǎn)生的文化和歷史背景、基本思想和學(xué)科特點(diǎn)以及笛卡爾創(chuàng)立解析幾何時(shí)的數(shù)學(xué)信念、數(shù)學(xué)思維、心理模式、個(gè)性品質(zhì)等有一個(gè)整體性認(rèn)識(shí)，為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)渴望認(rèn)知、理解和掌握知識(shí)的、深富吸引力的學(xué)習(xí)情境，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的原動(dòng)力，使學(xué)生形成立體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也為解析幾何基本思想的全面展開(kāi)奠定基礎(chǔ)．

奧蘇伯爾（Ausubel）曾提出先行組織者（advanceorganize）概念，即：組織者是先于學(xué)習(xí)材料呈現(xiàn)之前而呈現(xiàn)的一個(gè)引導(dǎo)性材料．它在概括與包容的水平上高于要學(xué)習(xí)的材料，但以學(xué)習(xí)者通俗易懂的語(yǔ)言呈現(xiàn)，故它是新舊知識(shí)發(fā)生聯(lián)系的橋梁．文化驅(qū)動(dòng)解析幾何教學(xué)正可以作為課程教學(xué)的先行組織者． 4.1.3 整體文化驅(qū)動(dòng)策略實(shí)施具體方案

設(shè)置一個(gè)導(dǎo)言課，安排在解析幾何課程開(kāi)始之初．教學(xué)主題：追尋笛卡爾數(shù)學(xué)思想的蹤跡——解析幾何課程內(nèi)容及學(xué)科思想介紹

教學(xué)內(nèi)容：

（1）笛卡爾生平簡(jiǎn)介（2）歷史背景簡(jiǎn)介

（3）笛卡爾創(chuàng)立解析幾何構(gòu)思過(guò)程（4）解析幾何的創(chuàng)新與意義（5）笛卡爾信念、精神與品質(zhì)（6）解析幾何中的哲學(xué)思想

教學(xué)方式：講座，師生交流，學(xué)生課后作文 課時(shí)安排：以2 學(xué)時(shí)為宜 4.2 策略二——核心概念統(tǒng)領(lǐng)

所謂核心概念統(tǒng)領(lǐng)策略，就是以曲線與方程概念為核心，總體統(tǒng)領(lǐng)解析幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)，開(kāi)展教學(xué)． 4.2.1 核心概念統(tǒng)領(lǐng)的意義與功能

曲線與方程概念是數(shù)形結(jié)合思想方法的內(nèi)核，也是直線方程、圓方程、橢圓方程、雙曲線方程、拋物線方程的上位概念，解析幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)直接依曲線與方程概念而展開(kāi)．因此，曲線與方程概念在解析幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)中居統(tǒng)領(lǐng)地位．

核心概念統(tǒng)領(lǐng)解析幾何教學(xué)，可以讓學(xué)生更好地了解和理解解析幾何中基本概念（曲線與方程概念）、基本原理（映射原理）、基本思想方法（數(shù)形結(jié)合思想方法）和研究對(duì)象（直線和各種二次曲線）之間的邏輯關(guān)聯(lián)，加深對(duì)解析幾何課程的深入理解和整體把握，使學(xué)生獲得普遍的認(rèn)知遷移，使學(xué)科基本觀念在記憶中得到鞏固，為學(xué)生深刻理解解析幾何的基本思想搭建平臺(tái)．

4.2.2 核心概念統(tǒng)領(lǐng)策略的原理歸結(jié)

布魯納（Bruner）認(rèn)為，學(xué)科的基本概念、基本原理及其相互之間的關(guān)聯(lián)性，知識(shí)的整體性和事務(wù)的普遍聯(lián)系是學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)．不論教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)．這種基本結(jié)構(gòu)是學(xué)生必須掌握的科學(xué)因素，應(yīng)該成為教學(xué)過(guò)程的核心，因?yàn)閷W(xué)生如果掌握了學(xué)科知識(shí)的基本結(jié)構(gòu)，他就可以獨(dú)立地面對(duì)并深入新的知識(shí)領(lǐng)域，從而不斷地、獨(dú)立地認(rèn)識(shí)新問(wèn)題，增多新知識(shí)．為此，它強(qiáng)調(diào)：學(xué)習(xí)和掌握每門(mén)學(xué)科中那些廣泛起作用的概念、定義、原理和法則體系是最好的辦法．學(xué)生學(xué)到的觀念越是基本，幾乎歸結(jié)為定義，則它對(duì)新問(wèn)題的適用性越寬廣．

同樣的觀點(diǎn)也在奧蘇伯爾的意義學(xué)習(xí)理論中體現(xiàn)．奧蘇伯爾認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)，如果要有價(jià)值的話，應(yīng)該盡可能地有意義，即意義學(xué)習(xí)．意義學(xué)習(xí)的先決條件之一就是要盡可能先傳授學(xué)科中具有包攝性、概括性和最有說(shuō)服力的概念和原理，以便學(xué)生能對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容加以組織和綜合．

曲線與方程概念是對(duì)解析幾何內(nèi)容廣泛起作用的最基本概念，也是解析幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)中具有包攝性、概括性和最有說(shuō)服力的概念．顯見(jiàn)，以曲線與方程概念為核心的核心概念統(tǒng)領(lǐng)策略，正符合布魯納關(guān)于學(xué)科基本結(jié)構(gòu)的教育原理，也符合奧蘇伯爾關(guān)于意義學(xué)習(xí)的原理．

4.2.3 核心概念統(tǒng)領(lǐng)策略的具體實(shí)施

設(shè)置一個(gè)奠基課，安排在解析幾何正課的第一節(jié)．教學(xué)主題：解析幾何核心概念的形成與課程知識(shí)結(jié)構(gòu)教學(xué)內(nèi)容：

（1）曲線與方程概念形成過(guò)程——幾何量算術(shù)化—構(gòu)造代數(shù)方程—求解軌跡方程—形成核心概念（2）曲線與方程定義——存在性與完備性

（3）數(shù)形結(jié)合基本思想——幾何問(wèn)題代數(shù)化—代數(shù)問(wèn)題幾何化—代數(shù)化與幾何化統(tǒng)一（4）解析幾何基本原理——映射（化歸）

（5）解析幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)——概念、思想、原理、研究對(duì)象（曲線類(lèi)型）及其關(guān)系教學(xué)方式：講授，師生交流、探索

課時(shí)安排：以2 學(xué)時(shí)為宜 4.3 策略三——思想結(jié)構(gòu)分拆

所謂思想結(jié)構(gòu)分拆策略，就是在解析幾何教學(xué)中，將數(shù)形結(jié)合思想的兩個(gè)方面——幾何問(wèn)題代數(shù)化和代數(shù)問(wèn)題幾何化做獨(dú)立要素分析．

4.3.1 思想結(jié)構(gòu)分拆的意義與功能

數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)是高中解析幾何教學(xué)的核心．但數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何課程內(nèi)容中的體現(xiàn)往往并不是顯性的，并且，由于幾何問(wèn)題代數(shù)化和代數(shù)問(wèn)題幾何化本身是融為一體的，這直接導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解處于一種模糊狀態(tài)，不能形成牢固的幾何問(wèn)題代數(shù)化和代數(shù)問(wèn)題幾何化觀念．在解析幾何教學(xué)中，實(shí)施思想結(jié)構(gòu)分拆教學(xué)策略，有助于學(xué)生形成完整、清晰、穩(wěn)定、持久、良序的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和認(rèn)知層次，使學(xué)生全面掌握和靈活應(yīng)用解析幾何基本思想．分拆是手段，通過(guò)分拆，擴(kuò)散信息，展示思想結(jié)構(gòu)的邏輯意義，使學(xué)生對(duì)信息的檢索更加容易進(jìn)行，便于知識(shí)的提取，能夠清晰識(shí)別和領(lǐng)會(huì)思想方法；分拆的目的在于整合，整合是目標(biāo)，在幾何問(wèn)題代數(shù)化和代數(shù)問(wèn)題幾何化之間建立高強(qiáng)度的聯(lián)系，使學(xué)生牢固觀念．所以，思想結(jié)構(gòu)分拆教學(xué)策略，重在分拆，旨在整合． 4.3.2 思想結(jié)構(gòu)分拆策略的認(rèn)知原理

現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程．因此，要對(duì)數(shù)學(xué)形成過(guò)程中的內(nèi)部認(rèn)知加以分析．?dāng)?shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)要經(jīng)歷從感性到理性，從領(lǐng)會(huì)到形成，從鞏固到應(yīng)用的發(fā)展過(guò)程．?dāng)?shù)形結(jié)合思想學(xué)習(xí)的心理建構(gòu)過(guò)程需要經(jīng)歷以下4 個(gè)階段：

（1）辨認(rèn)（identifica-tion）：先通過(guò)曲線與方程的概念學(xué)習(xí)，確認(rèn)數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)在統(tǒng)一的兩個(gè)方面——幾何問(wèn)題代數(shù)化和代數(shù)問(wèn)題幾何化；

（2）分化（differential）：幾何問(wèn)題代數(shù)化和代數(shù)問(wèn)題幾何化對(duì)心理產(chǎn)生不同的刺激反應(yīng)；（3）交互（reciprocal）：幾何問(wèn)題代數(shù)化和代數(shù)問(wèn)題幾何化以彼此對(duì)立的方式在心理上運(yùn)行；（4）內(nèi)化（intenalization）：此時(shí)的數(shù)形結(jié)合思想，以一種綜合的心理圖式轉(zhuǎn)化為內(nèi)部觀念．

與之相對(duì)應(yīng)，數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)策略應(yīng)該是首先學(xué)習(xí)曲線與方程的概念，讓學(xué)生確認(rèn)數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)在統(tǒng)一的兩個(gè)方面——幾何問(wèn)題代數(shù)化和代數(shù)問(wèn)題幾何化，顯然，這可以在前面核心概念統(tǒng)領(lǐng)策略這一環(huán)節(jié)中實(shí)現(xiàn)；然后，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行分拆，將其分解為幾何問(wèn)題代數(shù)化和代數(shù)問(wèn)題幾何化這兩種彼此獨(dú)立的方法；再對(duì)這兩種方法做獨(dú)立要素分析，最后，整合為一種統(tǒng)一的思想．

事實(shí)上，思想結(jié)構(gòu)的分拆，是一種解析的方法．這恰可以從笛卡爾本人的哲學(xué)方法論中找到皈依．笛卡爾曾給出了獲得正確知識(shí)的方法：為了把一個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)化成便于理性處理的要素，應(yīng)該把它分解開(kāi)來(lái)，盡量由簡(jiǎn)入繁．這意味著，解析的方法是最有效的． 4.3.3 思想結(jié)構(gòu)分拆策略的具體實(shí)施

此策略主要是強(qiáng)調(diào)幾何問(wèn)題代數(shù)化后，要對(duì)代數(shù)結(jié)果做幾何意義的分析．通常在建立直線、圓、圓錐曲線等曲線方程和解決具體問(wèn)題中實(shí)施．如對(duì)于橢圓概念教學(xué)，在推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程中，通過(guò)幾何問(wèn)題代數(shù)化，可得到橢圓的第一定義；通過(guò)中間代數(shù)結(jié)果變形，新的代數(shù)結(jié)果幾何化，同時(shí)可得到橢圓的第二定義．這樣，兩種方法的功能可以清晰地體現(xiàn)出來(lái)，也可使學(xué)生理解兩個(gè)定義之間的內(nèi)在統(tǒng)一． 4.4 策略四——雙向模式轉(zhuǎn)化

所謂雙向模式轉(zhuǎn)化策略，就是將解析幾何中的代數(shù)模式與幾何模式進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化，它是思想結(jié)構(gòu)分拆的具體操作．

4.4.1 雙向模式轉(zhuǎn)化策略的意義與功能

目前高中解析幾何教學(xué)更多地側(cè)重于幾何問(wèn)題代數(shù)化這單一的方面，忽視或忽略對(duì)代數(shù)結(jié)果的幾何含義的分析，因而代數(shù)問(wèn)題幾何化方法沒(méi)有得到充分體現(xiàn)，這也直接導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想理解的缺失．笛卡爾通過(guò)建立坐標(biāo)系，使圖形的幾何關(guān)系在其方程的性質(zhì)中表現(xiàn)出來(lái)，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決，這的確是解析幾何的基本方法．但在合適的坐標(biāo)系下，某些代數(shù)問(wèn)題也同樣可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)處理．事實(shí)上，在笛卡爾創(chuàng)立解析幾何的過(guò)程中，他本人已經(jīng)敏銳地看到了這一點(diǎn)，利用圓與拋物線的交點(diǎn)求三次和四次代數(shù)方程就是代數(shù)問(wèn)題幾何化的一個(gè)經(jīng)典實(shí)例[4]．解析幾何在處理代數(shù)問(wèn)題和幾何問(wèn)題上是一個(gè)“雙刃工具”[5]．通過(guò)代數(shù)模式轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)構(gòu)，可以強(qiáng)化代數(shù)直觀；借助坐標(biāo)系并利用幾何性質(zhì)對(duì)幾何結(jié)構(gòu)做代數(shù)解析，可以強(qiáng)化幾何直觀．因此，在高中解析幾何教學(xué)中，應(yīng)強(qiáng)化雙向模式的轉(zhuǎn)化，尤其應(yīng)加強(qiáng)代數(shù)問(wèn)題幾何化的教學(xué)．這不僅是讓學(xué)生完整地學(xué)習(xí)解析幾何思想方法的課程目標(biāo)的需要，也可以培養(yǎng)學(xué)生逆向思維、直覺(jué)思維和抽象思維等能力，提升學(xué)生的模型意識(shí)和數(shù)學(xué)地分析解決問(wèn)題的能力．

4.4.2 雙向模式轉(zhuǎn)化的方法論原則

解析幾何中的數(shù)學(xué)模式從宏觀上看包括代數(shù)模式和幾何模式，并直接體現(xiàn)在數(shù)形結(jié)合思想上．幾何模式轉(zhuǎn)化為代數(shù)模式就是幾何問(wèn)題代數(shù)化；代數(shù)模式轉(zhuǎn)化為幾何模式就是代數(shù)問(wèn)題幾何化．具體地，直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線都是具有幾何性質(zhì)的幾何模型，而直線方程、圓方程、橢圓方程、雙曲線方程、拋物線方程都是具有代數(shù)特征的代數(shù)模型，認(rèn)識(shí)每一種曲線方程，解決其中的問(wèn)題的過(guò)程就是模式雙向轉(zhuǎn)化的過(guò)程．所以，模式雙向轉(zhuǎn)化是解析幾何的主要特征．

其方法論原則是：首先，觀察代數(shù)問(wèn)題（幾何問(wèn)題）的外部結(jié)構(gòu)是否具有幾何特征（代數(shù)特征）；然后，根據(jù)代數(shù)問(wèn)題（幾何問(wèn)題）的幾何特征（代數(shù)特征）探索代數(shù)模式與幾何模式之間的內(nèi)在聯(lián)系；最后，根據(jù)其內(nèi)在聯(lián)系構(gòu)造解決問(wèn)題的幾何模式或代數(shù)模式．這里，最重要的是對(duì)代數(shù)模式和幾何模式的辨認(rèn)和識(shí)別，模式識(shí)別是知識(shí)遷移的前提[6]．

4.4.3 雙向模式轉(zhuǎn)化策略的具體實(shí)施

此策略主要用于解決兩類(lèi)問(wèn)題：一是對(duì)一些代數(shù)問(wèn)題，利用純粹代數(shù)方法很難解決，而其代數(shù)結(jié)構(gòu)具有幾何特征，則可充分借助幾何性質(zhì)解決；二是對(duì)一些幾何問(wèn)題，通過(guò)建立坐標(biāo)系，使圖形的幾何關(guān)系在其代數(shù)方程的性質(zhì)中表現(xiàn)出來(lái)，則可將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決．對(duì)于這兩類(lèi)問(wèn)題，前者在目前解析幾何教學(xué)中普遍重視不夠，或者只是零星處理，建議應(yīng)該作為一個(gè)專(zhuān)題系統(tǒng)教學(xué)；而對(duì)于后者，教學(xué)中很少出現(xiàn)這樣的例題和習(xí)題，建議應(yīng)該加以充實(shí)．

以上，基于笛卡爾數(shù)學(xué)思想提出的高中解析幾何教學(xué)策略，在應(yīng)用于具體的教學(xué)實(shí)踐中取得了一定的功效，但這僅僅是初步的探討，還有待進(jìn)一步深化研究． 結(jié) 語(yǔ)

歷史是最好的啟發(fā)式！數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教育的意義已耳熟能詳，無(wú)庸贅言．為此，證明數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教育的確具有啟發(fā)意義，這似乎對(duì)數(shù)學(xué)教育實(shí)踐、對(duì)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的研究都并無(wú)太多啟發(fā)意義，也不是本文的宗旨．基于數(shù)學(xué)教育的數(shù)學(xué)史應(yīng)把史學(xué)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)教育應(yīng)到數(shù)學(xué)史中尋找新生長(zhǎng)點(diǎn)．如何挖掘數(shù)學(xué)史的教育要素，使數(shù)學(xué)史的價(jià)值在數(shù)學(xué)教育中得以真正體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的終極追求．本文也正是基于這樣的理念，選擇了一個(gè)具體的課程內(nèi)容，做了一點(diǎn)嘗試． 【參考文獻(xiàn)】

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High School Analytic Geometry Teaching Strategy——Mathematics Historyangle of View LI Tie-an, SONG Nai-qing(School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China)Abstract: The full display mathematics history logarithm study education function and the effect, should in the comprehensive thorough excavation mathematics history the logarithm study curriculum had theinspiration significance and the education value

science and the cultural feature, and using to concrete mathematics teaching.Rene Descartes the analytic geometry thought was an overall cultural system.Take Rene Descartes mathematics thought cultural connotation as the source material, the making high school analytic geometry teaching strategy, might effectively promote the high school analytic geometry teaching, thus achieves the curriculum goal well.Based on Rene Descartes mathematics thought, might draw up the following concrete teaching strategy:(1)overall cultural actuation;(2)the core concept commands;(3)the thought structure minute opens the conformity;(4)bi-directional pattern transformation..Key words: mathematics history;rene descartes;analytic geometry;teaching [責(zé)任編校：周學(xué)智]