第一篇：解析幾何

清華大學(xué)校長畢業(yè)致辭

字號: 小 中 大 發(fā)布: 2009-04-08 23:10:20 查看(1129)/ 評分(6 / 0)/ 我要評論(3)個人分類: 心意小語

清華校長送給畢業(yè)生5句話——未來的世界：方向比努力重要，能力比知識重要，健康比成績重要，生活比文憑重要，情商比智商重要！

方向比努力重要

現(xiàn)在是講究績效的時代，公司、企業(yè)、政府，需要的是有能力且能與企業(yè)方向共同發(fā)展的人，而不是一味努力但卻南轅北轍的人。自己適合哪些行業(yè)，哪些職業(yè)，有很多東西是先天決定的，只有充分地發(fā)掘自己的潛力，而不是總與自己的弱點對抗，一個人才能出人頭地，就像現(xiàn)在很多企業(yè)招聘的時候，他們相信通過培訓(xùn)和教育可以讓火雞學(xué)會爬樹，但是還是覺得選只松鼠方便一些。方向不對，再努力、再辛苦，你也很難成為你想成為的那種人。

能力比知識重要

知識在一個人的構(gòu)架里只是表象的東西，就相當(dāng)于有些人可以在答卷上回答如何管理企業(yè)、如何解決棘手的問題、如何當(dāng)好市長等等，但是在現(xiàn)實面前，他們卻顯得毫無頭緒、不知所措，他們總是在問為什么會是這種情況，應(yīng)該是哪種情況等等。他們的知識只是知識，而不能演化為能力，更不能通過能力來發(fā)掘他們的潛力?，F(xiàn)在很多企業(yè)都在研究能力模型，從能力的角度來觀察應(yīng)聘者能否勝任崗位。當(dāng)然，高能力不能和高績效直接掛鉤，能力的發(fā)揮也是在一定的機制、環(huán)境、工作內(nèi)容與職責(zé)之內(nèi)的，沒有這些平臺和環(huán)境，再高的能力也只能被塵封。

健康比成績重要

成績只能代表過去，這是很多人已經(jīng)認(rèn)同的一句話。對于畢業(yè)后走入工作崗位的畢業(yè)生，學(xué)生階段的成績將成為永久的獎狀貼在墻上，進(jìn)入一個工作單位，就預(yù)示著新的競賽，新的起跑線。沒有健康的身心，如何應(yīng)對變幻莫測的市場環(huán)境和人生變革，如何應(yīng)對工作壓力和個人成就欲的矛盾？而且在現(xiàn)代社會，擁有強健的身體已經(jīng)不是最重要的，健康的心理越來越被提上日程，處理復(fù)雜的人際關(guān)系、承受挫折與痛苦、緩解壓力與抑郁，這些都將成為工薪族乃至學(xué)生們常常面對的問題。為了防止英年早逝、過勞死，還是多注意一下身體和心理的健康投資吧。

生活比文憑重要

曾經(jīng)有一個故事，說有個記者問放羊的小孩，為什么放羊？答：為了掙錢，掙錢干啥？答：蓋房子，蓋房子干啥？答：娶媳婦，娶媳婦干啥？答:生孩子，生孩子干啥？答：放羊！

記得去年在人大聽一個教授講管理學(xué)基礎(chǔ)課，他說你們雖然都是研究生，但很多人本質(zhì)上還是農(nóng)民！大家驚愕，竊竊私語。他說你們?yōu)槭裁醋x研究生，很多人是不是想找個好工作，找好工作為了什么，為了找個好老婆，吃喝住行都不錯，然后生孩子，為了孩子的前途更光明，這些不就是農(nóng)民的樸素想法嗎？哪個農(nóng)民父母不希望自己的子女比自己更好？說說你們很多人是不是農(nóng)民思想，什么時候，你能突破這種思維模式，你就超脫了。當(dāng)這個社會看重文憑的時候，假文憑就成為一種產(chǎn)業(yè)，即使是很有能力的人，也不得不弄個文憑，給自己臉上貼點金。比起生活，文憑還重要嗎？很多人找女朋友或者男朋友，把學(xué)歷當(dāng)作指標(biāo)之一，既希望對方能夠給他/她伴侶的溫暖與浪漫，又希望他/她知識豐富、學(xué)歷相當(dāng)或更高，在事業(yè)上能蒸蒸日上；我想說，你找的是伴侶，不是合作伙伴，更不是同事，生活就是生活，這個人適合你，即使你是博士他/她斗大字不識一個，那也無所謂，適合就會和諧融洽，人比文憑更重要。很多成功的人在回頭的時候都說自己太關(guān)注工作和事業(yè)了，最遺憾的是沒有好好陪陪父母、愛人、孩子，往往還傷心落淚，何必呢，早意識到這些，多給生活一些空間和時間就可以了。我們沒有必要活得那么累。

情商比智商重要

這個就很有意思了。大家忽然一下子對情商重視了起來，因為在新的世紀(jì)，情商將成為成功領(lǐng)導(dǎo)中最重要的因素之一。比如在許多員工和自己的親人因恐怖襲擊喪生的時刻，某公司CEO Mark Loehr讓自己鎮(zhèn)定下來，把遭受痛苦的員工們召集到一起，說：我們今天不用上班，就在這里一起緬懷我們的親人，并一一慰問他們和親屬。在那一個充滿陰云的星期，他用自己的實際行動幫助了自己和他的員工，讓他們承受了悲痛，并把悲痛轉(zhuǎn)化為努力工作的熱情，在許多企業(yè)經(jīng)營虧損的情況下，他們公司的營業(yè)額卻成倍上漲，這就是情商領(lǐng)導(dǎo)的力量，是融合了自我情緒控制、高度忍耐、高度人際責(zé)任感的藝術(shù)。曾經(jīng)有個記者刁難一位企業(yè)家：聽說您大學(xué)時某門課重考了很多次還沒有通過。這位企業(yè)家平靜地回答：我羨慕聰明的人，那些聰明的人可以成為科學(xué)家、工程師、律師等等，而我們這些愚笨的可憐蟲只能管理他們。要成為卓越的成功者，不一定智商高才可以獲得成功的機會，如果你情商高，懂得如何去發(fā)掘自己身邊的資源，甚至利用有限的資源拓展新的天地，滾雪球似得積累自己的資源，那你也將走向卓越。在世界上出人頭地的人，都能夠主動尋找他們要的時勢；若找不到，他們就自己創(chuàng)造出來！

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第二篇：《解析幾何》教案

《解析幾何》教案

第一章 向量與坐標(biāo)

本章教學(xué)目的：通過本章學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握向量及其運算的概念，熟練掌握線性運算和非線性運算的基本性質(zhì)、運算規(guī)律和分量表示，會利用向量及其運算建立空間坐標(biāo)系和解決某些幾何問題，為以下各章利用代數(shù)方法研究空間圖形的性質(zhì)打下基礎(chǔ).本章教學(xué)重點：（1）向量的基本概念和向量間關(guān)系的各種刻劃。（2）向量的線性運算、積運算的定義、運算規(guī)律及分量表示.本章教學(xué)難點：（1）向量及其運算與空間坐標(biāo)系的聯(lián)系；（2）向量的數(shù)量積與向量積的區(qū)別與聯(lián)系；（3）向量及其運算在平面、立體幾何中的應(yīng)用.本章教學(xué)內(nèi)容：

§1.1 向量的基本概念

一、定義：既有大小又有方向的量稱為向量，如力、速度、位移等.二、表示：在幾何上，用帶箭頭的線段表示向量，箭頭表示向量的方向，線段長度代表向量的大小；向量的大小又叫向量的模（長度）.始點為A，終點為B的向量，記作，其模記做.注：為方便起見，今后除少數(shù)情形用向量的始、終點字母標(biāo)記向量外，我們一般用小寫黑體字母a、b、c??標(biāo)記向量，而用希臘字母λ、μ、ν??標(biāo)記數(shù)量.三、兩種特殊向量：

1、零向量：模等于0的向量為零向量，簡稱零向量，以0記之.注：零向量是唯一方向不定的向量.2、單位向量：模等于1的向量稱為單位向量.特別地，與非0向量同向的單位向量稱為的單位向量，記作.四、向量間的幾種特殊關(guān)系：

1、平行（共線）：向量a平行于向量b，意即a所在直線平行于b所在直線，記作a∥b，規(guī)定：零向量平行于任何向量.2、相等：向量a等于向量b，意即a與b同向且模相等，記作a=b.注：二向量相等與否，僅取決于它們的模與方向，而與其位置無關(guān)，這種與位置無關(guān)的向量稱為自由向量，我們以后提到的向量都是指自由向量.3、反向量：與向量a模相等但方向相反的向量稱為a的反向量，記作-a，顯然，零向量的反向量還是其自身.4、共面向量：平行于同一平面的一組向量稱為共面向量.易見，任兩個向量總是共面的，三向量中若有兩向量共線，則三向量一定共面，零向量與任何共面向量組共面.注意：應(yīng)把向量與數(shù)量嚴(yán)格區(qū)別開來：

①向量不能比較大小，如

沒有意義； ②向量沒有運算，如類似的式子沒有意義.§1.2 向量的加法

一 向量的加法： 定義1 設(shè)、為，以與

與

為鄰邊作一平行四邊形，取對角線向量，記，如圖1-1，稱之和，并記作（圖1-1）

這種用平行四邊形的對角線向量來規(guī)定兩個向量之和的方法稱作向量加法的平行四邊形法則.如果向量若與與向量在同一直線上，那么，規(guī)定它們的和是這樣一個向量： 的指向相同時，和向量的方向與原來兩向量相同，其模等于兩向量的模之和.若與的指向相反時，和向量的模等于兩向量的模之差的絕對值，其方向與模值大的向量方向一致.由于平行四邊形的對邊平行且相等，可以這樣來作出兩向量的和向量： 定義2 作，以的終點為起點作，聯(lián)接

（圖1-2）得

（1-2）

該方法稱作向量加法的三角形法則.（圖1-2）向量加法的三角形法則的實質(zhì)是：

將兩向量的首尾相聯(lián)，則一向量的首與另一向量的尾的連線就是兩向量的和向量.據(jù)向量的加法的定義，可以證明向量加法具有下列運算規(guī)律： 定理1 向量的加法滿足下面的運算律：

1、交換律 ,（1.2-2）

2、結(jié)合律.（1.2-3）證 交換律的證明從向量的加法定義即可得證.下證結(jié)合律.自空間任一點O開始依次作

所以

由定理1知，對三向量.二 向量的減法 定義3 若，則我們把叫做與的差，記為，.，只要把與、長度相同而方向相反的向量，以

與

加到向量上去.由平行，則

.相加，不論其先后順序和結(jié)合順序如何，結(jié)果總是相同的，可以簡單的寫作

，則有

顯然，特別地，由三角形法則可看出：要從減去四邊形法可如下作出向量對角線向量..設(shè)

為鄰邊作一平行四邊形例1 設(shè)互不共線的三向量、與，試證明順次將它們的終點與始點相連而成一個三角形的充要條件是它們的和是零向量.證 必要性 設(shè)三向量、、可以構(gòu)成三角形

（圖1-3），（圖1-3），那么, 即 充分性 設(shè)

.，作

那么，所以，從而，所以、、可以構(gòu)成三角形.例2 用向量法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.證 設(shè)四邊形因此從圖可看出：所以，∥，且，即四邊形的對角線、交于

點且互相平分（圖1-4），為平行四邊形.（圖1-4）

定義1.3.1 設(shè)是一個數(shù)量，向量與

§1.3 數(shù)量乘向量 的乘積是一向量，記作時，向量的方向與，其模等于的方向相同；當(dāng)?shù)谋?，即時，向量

是.；且方向規(guī)定如下：當(dāng)零向量，當(dāng)時，向量的方向與的方向相反.特別地，取，則向量的模與的模相等，而方向相反，由負(fù)向量的定義知： 據(jù)向量與數(shù)量乘積的定義，可導(dǎo)出數(shù)乘向量運算符合下列運算規(guī)律： 定理1.3.1.數(shù)量與向量的乘法滿足下面的運算律： 1)122)結(jié)合律 3)分配律 =,(1.3-1),(1.3-2)

4)證 1)據(jù)定義顯然成立.2)顯然，向量且 = 或、=、=

.(1.3-3)的方向是一致，.3）分配律 如果反之 ⅰ)若 ,中至少有一個為0，等式顯然成立；

顯然同向，且

所以ⅱ）若若所以不妨設(shè)則有

由ⅰ)可得，對的情形可類似證明.一個常用的結(jié)論： 定理3.若行且設(shè)由于即，則是非零向量，用與(為數(shù)量)，則向量(是數(shù)量).同方向的單位向量.與

亦同方向，而且，與向量

平行，記作

；反之，若向量

與向量

平表示與同方向，從而.我們規(guī)定：若，.于是.這表明：一個非零向量除以它的模是一個與原向量同方向的單位向量.請注意：向量之間并沒有定義除法運算，因此決不能將式子十分顯然，這種錯誤是受實數(shù)運算法則的“慣性作用”所造成.例1 設(shè)AM是三角形ABC的中線，求證

.改寫成形式.（圖1-5）

證 如圖1-5，因為，所以

但 因而，即.例2 用向量法證明：連接三角形兩邊中點的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半.證 設(shè)△ABC兩邊AB,AC中點分別為M，N，則所以，且.§1.4 向量的線性關(guān)系與向量的分解

定義1.4.1 由向量

與數(shù)量

所組成的向量

線性表示,或稱可以分解成向量

叫做向量的的線性組合,或稱可以用向量線性組合.定理1.4.1 如果向量使得 并且系數(shù)證 若存在實數(shù)再證，那么向量與向量共線的充要條件是可用向量線性表示，即存在實數(shù)，(1.4-1)被，唯一確定.成立，那么由定義1.3.1知向量與向量共線.反之，如果向量與向量共線，那么一定使得（見1.3節(jié)中1.3.5的證明）.，那么不共線，那么向量與，而，所以，.線性表示，即 的唯一性：如果定理1.4.2 如果向量 并且系數(shù)證： 被

共面的充要條件是可用向量，(1.4-2)，唯一確定.（圖1-6）因與不共線，由定義1.1.4知，其中，并設(shè)

.設(shè)與都不共線，中之一共線，那么由定理1.4.1有中有一個為零；如果與，于，把它們歸結(jié)共同的始點別作設(shè)反之，設(shè)如果共面.最后證，那么，那么經(jīng)過的終點分，由定理 1.4.1，可.的平行線依次交直線（圖1-6），因，即，那么

與，所以由平行四邊形法則得，如果

中有一個為零，如

共線，因此與共面.，從向量加法的平行四邊形法則知與

=，，將有，這與假設(shè)矛盾，所以

都共面，因此與的唯一性.因為那么 如果，那么，這就證明了唯一性.定理1.4.3 如果向量數(shù)

.同理

不共面，那么空間任意向量可以由向量線性表示，即存在一組實使得，(1.4-3)

并且系數(shù)x,y,z被，唯一確定.證明方法與定理1.4.2類似.定義1.4.2 對于個向量，若存在不全為零的實數(shù)，(1.4-4)

則稱向量線性相關(guān).線性無關(guān)：.定理1.4.4 在組合.證 設(shè)向量時，向量

線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個向量是其余向量的線性，使得

不是線性相關(guān)的向量叫做線性無關(guān)，即向量線性相關(guān)，則存在不全為零的實數(shù)，且

使得，中至少有一個不等于0，不妨設(shè)則 反過來，設(shè)向量 即 中有一個向量，不妨設(shè)為

；，它是其余向量的線性組合，即，.因為數(shù)，-1不全為0，所以向量線性相關(guān).定理1.4.5 如果一組向量中的部分向量線性相關(guān)，那么這一組向量就線性相關(guān).證 設(shè)使得中有一部分，不妨設(shè)前r個向量線性相關(guān)，即存在不全為零的實數(shù)

.則有，因為，不全為零，所以線性相關(guān).推論 如果一組向量中含有零向量，那么這一組向量就線性相關(guān) 類似地可證明下面的定理： 定理1.4.6 兩向量與共線

線性相關(guān).定理1.4.7 三向量與共面線性相關(guān).定理1.4.8 空間任意四個或四個以上的向量總是線性相關(guān)的.例1 試證明：點，其中在線段

上的充要條件是：存在非負(fù)實數(shù)，使得，且是任意取定的一點.在線段.，證（先證必要性）設(shè)所以 任取一點所以，取，所以，上，則與同向，且，.，則，，使得

.，且，（充分性）若對任一點則 所以 有非負(fù)實數(shù)

與共線，即在直線上.又，所以在線段上.例2設(shè)證 為兩不共線向量，證明共線,線性相關(guān)，使，共線的充要條件是.即存在不全為0的實數(shù)即，(1.4-5)

.又因為不共線 即線性無關(guān)，故方程有非零解

.§1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)

一 空間點的直角坐標(biāo):

平面直角坐標(biāo)系使我們建立了平面上的點與一對有序數(shù)組之間的一一對應(yīng)關(guān)系，溝通了平面圖形與數(shù)的研究.為了溝通空間圖形與數(shù)的研究，我們用類似于平面解析幾何的方法，通過引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系來實現(xiàn).1、空間直角坐標(biāo)系

過空間一定點，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們以為原點，且一般具有相同的長度單位，這三條軸分別叫軸(橫軸)、軸(縱軸)、軸(豎軸)，且統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸.通常把軸，軸配置在水平面上，而

軸則是鉛垂線，它們的正方向要符合右手規(guī)則：

(圖1-7)右手握住軸，當(dāng)右手的四個指頭從三條坐標(biāo)軸就組成了一個空間直角坐標(biāo)系，點

角度轉(zhuǎn)向軸與

軸正向時，大拇指的指向就是軸正向.左右.當(dāng)然，它們的實

軸的正向以

叫做坐標(biāo)原點.軸間的夾角畫成注：為使空間直角坐標(biāo)系畫得更富于立體感，通常把際夾角還是.2、坐標(biāo)面與卦限

三條坐標(biāo)軸中的任意兩條可以確定一個平面，這樣定出的三個平面統(tǒng)稱為坐標(biāo)面.由軸與軸所決定的坐標(biāo)面稱為面，另外還有面與三個坐標(biāo)面把空間分成了八個部分，這八個部分稱為卦限.面.(圖1-8)

3、空間點的直角坐標(biāo)

取定空間直角坐標(biāo)系之后，我們就可以建立起空間點與有序數(shù)組之間的對應(yīng)關(guān)系.7 設(shè)為空間的一已知點，過點分別作垂直于

點的坐標(biāo).軸、軸、軸的三個平面，它們與軸、軸、軸的交點依次為了一個有序數(shù)組依次稱，，這三點在軸、，這組數(shù)叫為點

軸、軸的坐標(biāo)依次為

.的點，于是：空間點就唯一地確定的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)，記為，我們可以在、、軸上取坐標(biāo)為

軸、反過來，若已知一有序數(shù)組在軸取坐標(biāo)為的點，在軸上取坐標(biāo)為的點，然后過分別作軸、軸的垂直平面，這三個平面的交點就是以有序數(shù)組為坐標(biāo)的空間點.和有序數(shù)組

之間的一一對應(yīng)關(guān)系..這樣，通過空間直角坐標(biāo)系，我們建立了空間點定義1 我們把上面有序數(shù)組

二 空間兩點間的距離公式 定理1 設(shè)、叫點

在此坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，記為

為空間的兩點，則兩點間的距離為

(1.5-1)

證 過、體，如圖所示 各作三個分別垂直于三坐標(biāo)軸的平面，這六個平面圍成一個以為對角線的長方

(圖1-9)

是直角三角形，故因為是直角三角形，故

；，，故 特別地，點與坐標(biāo)原點的距離為.三 空間向量的坐標(biāo)

.，從而 而

定義2 設(shè)使得標(biāo)，記為定理

2設(shè)向量是與坐標(biāo)軸，同向的單位向量，對空間任意向量都存在唯一的一組實數(shù)，，那么我們把這組有序的實數(shù)或

.、叫做向量在此坐標(biāo)系下的坐的始終點坐標(biāo)分別為，那么向量

.(1.5-2)的坐標(biāo)為

證 由點及向量坐標(biāo)的定義知所以

=由定義知

定理3 兩向量和的分量等于兩向量對應(yīng)的分量的和.證 設(shè)，==所以

類似地可證下面的兩定理： 定理

4設(shè)定理5 設(shè)，則，則+，.(1.5-3)，那么

..，.共線的充要條件是

定理6

三非零向量，.(1.5-4)，共面的充要條件是 證 因為.(1.5-5)

不共面，所以存在不全為0的實數(shù)

使得，由此可得

因為不全為0，所以.§1.6 向量在軸上的射影

一、空間點在軸上的投影：

設(shè)已知點及軸，過點作軸的垂直平面，則平面

與軸的交點叫做點

在軸

上的投影.(圖1-10)

二、向量在軸上的投影： 定義1 設(shè)向量叫做向量的始點在軸與終點

在軸的投影分別為、，那么軸稱為投影軸.上的有向線段的值上的投影，記作，軸(圖1-11)這里，(1)的值是這樣的一個數(shù)： 即，數(shù)的絕對值等于向量

；當(dāng)?shù)哪?的方向與

(2)當(dāng)?shù)姆较蚺c軸的正向一致時，三、空間兩向量的夾角：

軸的正向相反時，.設(shè)有兩向量、交于點(若、不相交，可將其中一個向量平移使之相交)，將其中一向量繞點在兩向量所決定的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，使它的正方向與另一向量的正方向重合，這樣得到的旋轉(zhuǎn)角度(限定)稱為、間的夾角，記作

.(圖1-12)

若、平行，當(dāng)它們指向相同時，規(guī)定它們之間的夾角為；當(dāng)它們的指向相反時，規(guī)定它們的夾角為.類似地，可規(guī)定向量與數(shù)軸間的夾角.將向量平行移動到與數(shù)軸相交，然后將向量繞交點在向量與數(shù)軸所決定的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，使向量的正方向與數(shù)軸的正方向重合，這樣得到的旋轉(zhuǎn)角度四 投影定理： 定理1.6.1 向量在軸上的投影等于向量的模

稱為向量與數(shù)軸的夾角.乘以軸與向量的夾角的余弦.即 ,(1.6-1)

(圖1-13)證 過向量等于軸的始點引軸，且軸

與軸

平行且具有相同的正方向，那未軸

與向量的夾角與向量的夾角，而且有

故 由上式可知：向量當(dāng)非零向量在軸

上的投影是一個數(shù)值，而不是向量.成銳角時，向量

都有，設(shè)，.分別是的投影為正..(1.6-2)

在軸上的投影，那么顯然與投影軸定理1.6.2 對于任何向量證 取有 因為 所以 即 類似地可證下面的定理：，那么定理1.6.3 對于任何向量與任何實數(shù)

有.(1.6-3)

§1.7 兩向量的數(shù)性積

定義1.7.1 對于兩個向量a和b?把它們的模|a|,|b|及它們的夾角 的余弦的乘積稱為向量和的數(shù)量積?記作ab,即 ab=|a||b|cos.由此定義和投影的關(guān)系可得?ab|b|Prjb a=|a|Prjab?.數(shù)量積的性質(zhì)?

2(1)a2a=|a|,記a2aa，則a|a|.(2)對于兩個非零向量 a、b?如果 a2?b=0?則 ab? 反之?如果ab?則a2?b?0.定理1.7.1 如果認(rèn)為零向量與任何向量都垂直?則a?b?a2?b?0.定理1.7.2 數(shù)量積滿足下面運算律：?(1)交換律? a2?b= b2a?(2)分配律(??ab)cacbc

(?(3)a)2?b a2(b?)(a2b)?(a)2(b?)(a2b)??

證（1）由定義知顯然.(2)的證明

因為當(dāng)c0時 上式顯然成立

當(dāng)c0時 有

(ab)c|c|Prjc(ab)|c|(PrjcaPrjcb)|c|Prjca|c|Prjcb acbc

（3）可類似地證明.例1 試用向量證明三角形的余弦定理

證 設(shè)在ΔABC中?∠BCA c 記2|c| 2

2||=a ||=b |?

|=c 要證

a 2+b 22 a b cos a?b?=c??則有 cc

c(ab)(ab)a2-2 2 2

ab 從而???

2ab+b|a|2+|b|22|a||b|cos(a^b)

即 ca+b2 a b cos ?

數(shù)量積的坐標(biāo)表示?:

定理1.7.3 設(shè)a{ax ay az }?b{bx by bz } 則

a2baxbxaybyazbz

證 a2?b(ax ?i ay j az k)2(bx i by j bz k)ax bx i2i ax by i2j ax bz i2k

ay bx j 2i ay by j 2j ay bz j2k

az bx k2i az by k2j az bz k2k ax bx ay by az bz ?

定理1.7.4 設(shè)a={ |a|=證 由定理1.7.2知

|a|=a=2

},則向量a的模

.，所以 |a|=.向量的方向角和方向余弦：向量與坐標(biāo)軸所成的角叫做向量的方向角，方向角的余弦叫向量的方向余弦.定理1.7.5 設(shè)a={

}，則a的方向余弦為

cos =, cos，cos且 其中

；，分別是向量a與x軸，y軸,z軸的夾角.證 因為 ai=|a|cos

且ai==，所以 |a|cos從而 cos=.同理可證 cos

cos且顯然

兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示?

定理1.7.6

設(shè)(a ^ b)則當(dāng)a

0、b0時?有

.證 ?因為 a2b|a||b|cos

，所以

.例2 已知三點M(11?1)?、A(22?1)?和B(21?2)??求AMB ?

解 從M到A的向量記為a 從M到B的向量記為b 則AMB 就是向量a與b的夾角?.a{11?0}??b{10?1}??

因為

ab1110011?

所以 從而.? ?

?

§1.8 兩向量的向量積

定義1.8.1 兩個向量a與b的向量積(也稱外積)是一個向量,記做ab或,它的模|ab||a||b|sin,它的方向與a和b垂直并且按a,b, ab確定這個順序構(gòu)成右手標(biāo)架｛O;a,b,ab｝.從定義知向量積有下列性質(zhì)：(1)aa0

(2)對于兩個非零向量a，b如果ab0則a//b；反之如果a//b則ab 0.定理1.8.1 兩不共線向量a與b 的向量積的模,等于以a與b為邊所構(gòu)成的平行四邊形的面積.定理1.8.2 兩向量a與b共線的充要條件是ab0.證 當(dāng)a與b共線時，由于sin(a、b)=0，所以|ab|=|a||b| sin(a、b)=0，從而ab0；反之，當(dāng)ab0時，由定義知，a =0，或b =0，或a//b，因零向可看成與任向量都共線，所以總有a//b，即a與b共線.定理1.8.3 向量積滿足下面的運算律

(1)反交換律 abba，(2)分配律(ab)cacbc，(3)數(shù)因子的結(jié)合律(a)ba(b)(ab)().證（略）.推論: c(ab)c a c b

定理1.8.4 設(shè)a ax i ay j az kb bx i by j bz k，則 ab(aybz azby)i(azbx axbz)j（axby aybx）k

證 由向量積的運算律可得

ab(ax iay jaz k)(bx iby j bz k)axbx iiaxby ij axbz ik

aybx jiayby jjaybz jkazbx kiazby k azbz kk

由于 iijjkk0ijkjkikij 所以 ab(aybz azby)i(azbx axbz)j（axby aybx）k.為了幫助記憶利用三階行列式符號上式可寫成

aybzi+azbxj+axbykaybxkaxbzjazbyi

(ay bz az by)i(az bx ax bz)j(ax by ay bx)k

例1 設(shè)a(2 1 1)b(11 2)計算ab

解 =2ij2kk4ji i5j 3k

例2 已知三角形ABC的頂點分別是A(123)、B(345)、C(247)求三角形ABC的面積

解 根據(jù)向量積的定義可知三角形ABC的面積

由于(222)(124)因此

4i6j2k

于是

例3 設(shè)剛體以等角速度 繞l 軸旋轉(zhuǎn)計算剛體上一點M的線速度

解 剛體繞l 軸旋轉(zhuǎn)時我們可以用在l 軸上的一個向量n表示角速度它的大小等于角速度的大小它即以右手握住l 軸當(dāng)右手的四個手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時大姆指的指向就是n的方向

設(shè)點M到旋轉(zhuǎn)軸l的距離為a 再在l軸上任取一點O作向量r并以 表示n與r的夾角那么

a|r| sin

設(shè)線速度為v那么由物理學(xué)上線速度與角速度間的關(guān)系可知v的大小為

|v||n|a |n||r| sin

v的方向垂直于通過M點與l軸的平面即v垂直于n與r又v的指向是使n、r、v符合右手規(guī)則因此有

vnr

§1.9 三向量的混合積

定義1.9.1 給定空間的三個向量或.定理1.9.1 三個不共面向量且當(dāng)右手系時構(gòu)成右手系時混合積為正；當(dāng),當(dāng)構(gòu)成左手系時的混合積的絕對值等于以

為棱的平行六面體的體積

=

當(dāng)，并構(gòu)成，我們把

叫做三向量的混合積，記做

構(gòu)成左手系時混合積為負(fù),也就是.可構(gòu)成以證 由于向量的底面是以不共面，所以把它們歸結(jié)到共同的試始點，它的高為，為棱的平行六面體，它

.為邊的平行四邊形，面積為，體積是根據(jù)數(shù)性積的定義其中是當(dāng)與的夾角.構(gòu)成右手系時，.，.共面的充要條件是共面，由定理1.9.1知，因而可得

當(dāng)構(gòu)成左手系時，因而可得

定理1.9.2 三向量證 若三向量.反過來，如果，即

.，所以，從而，那么根據(jù)定理1.7.1有，另一方面，有向性積的定義知，所以共面.定理1.9.3輪換混合積的三個因子，并不改變它的值；對調(diào)任何倆因子要改變混合積符號，即

.證 當(dāng)共面時，定理顯然成立；當(dāng)

不共面時，混合積的絕對值等于以

為棱的平行六面體的體積，又因輪換的順序時，不改變左右手系，因而混合積不變，而對調(diào)任意兩個之間的順序時，將右手系變?yōu)樽?，而左變右，所以混合積變號.推論: 定理1.9.4設(shè)

.，，那么

證 由向量的向性積的計算知

.再根據(jù)向量的數(shù)性積得，==

=推論: 三向量

.共面的充要條件是

例1 設(shè)三向量證明：由

且所以例2 已知四面體，求它的體積。，即

滿足

.，證明：

兩邊與做數(shù)量積，得：，共面。

共面。，，的頂點坐標(biāo)解：

，，所以，§1.10三向量的雙重外積

定義1.10.1 給定空間三向量，先做其中兩個的向量積，再把所得的向量與第三個向量做向量積，那么，最后的結(jié)果仍然是一個向量，叫做三個向量的雙重向量積。

就是三向量也垂直，所以定理1.10.1 證 若中有一個是零向量，或定理顯然成立。

現(xiàn)設(shè)都為非零向量，且的一個雙重向量積。且和

共面。

（1.10.1）

共線，或與

都垂直，則（1.10.1）兩邊都是零向量，與

都垂直，與

不共線，為了證明（1.10.1）成立，先證

（1）

由于（2）式兩邊分別與，解得，即（1）式成立。共面，而

不共線，故可設(shè)，（2）

作數(shù)量積可得

下證（1.10.1）成立。由于則有利用（1）式可得例1.試證: 證明：

三式相加得例2． 證明： 證明：設(shè)，則

不共面，對任意，可設(shè)。

。，小 結(jié)

知識點回顧：

解析幾何的基本思想就是用代數(shù)的方法來研究幾何問題，為了把代數(shù)運算引到幾何中來，最根本的做法就是把空間的幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)地代數(shù)化，數(shù)量化。因此在本章中主要引入了向量及它的運算，并通過向量了坐標(biāo)系，從而使得空間中的點都和三元有序數(shù)組建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，為空間的幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化打好了基礎(chǔ)。

通過本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)掌握向量及其各種運算的概念，熟練掌握線性運算和非線性運算的基本性質(zhì)、運算規(guī)律和分量表示，會利用向量及其運算建立空間坐標(biāo)系和解決某些幾何問題，如利用兩向量的數(shù)量積為零來判斷各種垂直關(guān)系，兩向量的向量積為零向量來判斷各種平行問題，三向量的混合積為零來判斷共面問題，以及在空間直角坐標(biāo)系下，利用向量積的模求面積，混合積來求體積等問題。

1.向量加法的運算規(guī)律：

（1）

（2）（3）

（4）

2.數(shù)乘的運算規(guī)律：

（1）12（2）

（3）（4），.=，.3.兩向量的數(shù)量積

（1）ab=|a||b|cos.（2）a?b?a2?b?0.（3）在空間直角坐標(biāo)系下，設(shè)a a2b 4．兩向量的向量積

{ax ay az }?baxbxaybyazbz

{bx by bz } 則

（1）兩個向量a與b的向量積(也稱外積)是一個向量,記做ab或,它的模|ab||a||b|sin,它的方向與a和b垂直并且按a,b, ab確定這個順序構(gòu)成右手標(biāo)架｛O;a,b,ab｝

（2）兩向量a與b共線的充要條件是ab0..（3）在空間直角坐標(biāo)系下設(shè)a ax i ay j az kb bx i by j bz k，則 ab(aybz azby)i(azbx axbz)j（axby aybx）k

（4）兩不共線向量a與b 的向量積的模,等于以a與b為邊所構(gòu)成的平行四邊形的面積

5.三向量的混合積

（1）三個不共面向量并且當(dāng)也就是

.（2）三向量

共面的充要條件是，.，的混合積的絕對值等于以構(gòu)成右手系時混合積為正；當(dāng)=

當(dāng)

構(gòu)成右手系時

為棱的平行六面體的體積，構(gòu)成左手系時混合積為負(fù)，當(dāng)

構(gòu)成左手系時（3）在空間直角坐標(biāo)系下設(shè)那么

.典型習(xí)題

1.已知四面體ＡＢＣＤ的頂點坐標(biāo)Ａ（４，３，０），Ｂ（６，０，６），Ｃ（０，０，０），Ｄ。

求（１）△ＢＣＤ的面積。

（２）四面體ＡＢＣＤ的體積。（３）Ｃ到△ＢＣＤ的距離。解：（1）

所以 △BCD的面積，-------2分

（2）四面體ABCD的體積為

（3）設(shè)C到BCD平面的距離為h,則

從而有。

．，即

2.用向量法證明：P是ΔABC重心的充要條件為證明：設(shè)P為△ABC的重心，D為BC邊中點，則 又因為PD為△PBC的中線，所以 所以有 設(shè)D為BC邊中點，則，即。

又因為，與共線，即P在BC邊的中線上，同理可得P也在AB，AC邊的中線上，從而有P為△ABC的重心。

3.證明：四面體每一個頂點與對面重心所連的線段共點，且這點到頂點的距離是它到對面重心距離的三倍.用四面體的頂點坐標(biāo)把交點坐標(biāo)表示出來.[證明]：設(shè)四面體A1A2A3A4,Ai對面重心為Gi, 欲證AiGi交于一點(i＝1, 2, 3, 4).在AiGi上取一點Pi，使＝3, 從而設(shè)Ai(xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，則

＝，G1G2G3G4所以 , ， ，P1(P1(同理得P24.在四面體，,)

P3P

4,).P1，所以AiGi交于一點P，且這點到頂點距離等于這點到對面重心距離的三倍.是的重心（三中線之交點），求矢量

對于矢量 中，設(shè)點的分解式。

解：是的重心。連接并延長與BC交于P 同理

（1）

由（1）（2）（3）得

（2）

（3）

即

第二章 軌跡與方程

本章教學(xué)目的：通過本章學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解空間坐標(biāo)系下曲面與空間曲線方程之定義及表示，熟悉空間中一些特殊曲面、曲線的方程.本章教學(xué)重點：空間坐標(biāo)系下曲面與空間曲線方程的定義.本章教學(xué)難點：（1）空間坐標(biāo)系下母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程與平面坐標(biāo)系下有關(guān)平面曲線方程的區(qū)別；（2）空間坐標(biāo)系下，空間曲線一般方程的規(guī)范表示.本章教學(xué)內(nèi)容：

§2.1平面曲線的方程

在平面上或空間取定了坐標(biāo)系之后，平面上或空間的點就與有序數(shù)組(坐標(biāo)):或建立了一一對應(yīng)的關(guān)系.曲線、曲面(軌跡)就與 方程

或建立一一對應(yīng)的關(guān)系.1.平面上的曲線: 具有某種特征性質(zhì)的點的集合(軌跡).曲線的方程:1 曲線上的點都具有這些性質(zhì).2具有這些性質(zhì)的點都在曲線上.2.曲線的方程, 方程的圖形

定義2.1.1 當(dāng)平面上取定了坐標(biāo)系之后,如果一個方程與一條曲線有著關(guān)系:1滿足方程的線上某一點的坐標(biāo);2曲線上任何一點的坐標(biāo)這條曲線叫做這個方程的圖形.例1.求圓心在原點,半徑為R的圓的方程.必是曲

滿足這個方程,那么這個方程叫做這條曲線的方程,而解: 任意點類似地, 圓心在 例2.已知兩點解: 動點在圓上,半徑為R的圓的方程為和在軌跡上,求滿足條件

..的動點的軌跡方程.即

平方整理得

再平方整理得

.為所求軌跡方程.注: 在求曲線的方程時,化簡過程中可能造成范圍 的變化,得到的方程所代表曲線上的點與條件并不

完全相符,必須補上或除去.3.曲線的參數(shù)方程 變向量: 隨的變化而變化的向量.:對每一個

都唯一確定的一個.（）叫做曲線的向量式 向量函數(shù)= 定義2.1.2 在坐標(biāo)系上,向量函數(shù)==參數(shù)方程.曲線的坐標(biāo)式參數(shù)方程: 曲線的普通方程:.21

例3.一個圓在一直線上無滑動地滾動,求圓周上一點的軌跡.(圖2-3)

解:取直角坐標(biāo)系,設(shè)半徑為的圓在軸上滾動,開始時點P恰好在原點O(圖2-3),經(jīng)過一段時間的滾動,圓與直線軸的切點移到A點,圓心移到C點,這時有

.設(shè)為到的有向角,則到的角為,則

.又

, ,這即是P點軌跡的向量式參數(shù)方程.其坐標(biāo)式參數(shù)方程為:取時,消去參數(shù),得其在的一段的普通方程: 這種曲線叫做旋輪線或稱為擺線.例4.已知大圓半徑為,小圓半徑為,設(shè)大圓不動,而小圓在大圓內(nèi)無滑動地滾動,動圓周上某一點P的軌跡叫做內(nèi)旋輪線(或稱內(nèi)擺線),求內(nèi)旋輪線的方程.解:

設(shè)運動開始時動點P與大圓周上的A點重合，并取大圓中心O為原點，OA為x軸，過O與OA垂直的直線為y軸建立坐標(biāo)系，經(jīng)過某一過程后，小圓與大圓的接觸點為B，小圓中心為C，則C一定在OB上，且有，設(shè)為到則有又由弧AB等于弧BP可得所以

.的有向角，為

到的有向角，從而有到的有向角為，23 即為P點的向量式參數(shù)方程，其坐標(biāo)式參數(shù)方程為

（-∞﹤<+∞）

例5 把線繞在一個固定的圓周上，將線頭拉緊后向反方向旋轉(zhuǎn)，以把線從圓周上解放出來，使放出來的部分成為圓的切線，求線頭的軌跡.解 設(shè)圓的半徑為是圓周上的點，如右圖，建立坐標(biāo)系，那么 設(shè) 且矢量 所以 =從而得，，那么，對軸所成的有向角為，線頭的最初位置

，這就是所求點軌跡的矢量式參數(shù)方程.由上式可得該軌跡的坐標(biāo)式參數(shù)方程為

該曲線叫漸伸線或切展線.一、曲面的方程：

§2.2 曲面的方程

定義2.2.1 設(shè)Σ為一曲面，F(xiàn)（x，y，z）=0或以后，若Σ上任一點P（x,y,z）的坐標(biāo)都滿足F（x，y，z）=0或都在曲面Σ上，則稱F（x，y，z）=0或

為一三元方程，空間中建立了坐標(biāo)系，而且凡坐標(biāo)滿足方程的點

為曲面Σ的方程，而曲面Σ叫做方程F（x，y，z）=0或的圖形.不難看出，一點在曲面Σ上〈═〉該點的坐標(biāo)滿足Σ的方程，即曲面上的點與其方程的解之間是一一對應(yīng)的 ∴Σ的方程的代數(shù)性質(zhì)必能反映出Σ的幾何性質(zhì).三元方程的表示的幾種特殊圖形：

空間中任一曲面的方程都是一三元方程，反之，是否任一三元方程也表示空間中的一個曲面呢？一般而言這是成立的，但也有如下特殊情況

1° 若F（x，y，z）=0的左端可分解成兩個（或多個）因式F1（x，y，z）與F2（x，y，z）的乘積，即F（x，y，z）≡F1（x，y，z）F2（x，y，z），則

F（x，y，z）=0〈═〉F1（x，y，z）=0或F2（x，y，z）=0，此時 F（x，y，z）=0表示兩葉曲面與，它們分別以F1（x，y，z）=0，F(xiàn)2（x，y，z）=0為其方程，此時稱F（x，y，z）=0表示的圖形為變態(tài)曲面.如

即為三坐標(biāo)面.2方程 僅表示坐標(biāo)原點和點（1，2，3）3°方程可能表示若干條曲線，如

0

即表示z軸和x軸 4°方程 不表示任何實圖形，如，此時，稱所表示的圖形為虛曲面 3 求法：

例1：求平行于坐標(biāo)面的平面的方程.解：設(shè)平行于 面的平面為π，π與z軸的交點為∈π〈═〉

共面，則

=0 即

同理，平行于其他兩坐標(biāo)面的平面的方程為

例2：求作兩定點A（1，-2，1），B（0，1，3）等距離的點的軌跡.解：

（圖2.1）

設(shè)所求軌跡為Σ，則

=

〈═〉-2x+4y-2z+6=-2y-6z+10

〈═〉2x-6y-4z+4=0〈═〉x-3y-2z+2=0

即所求軌跡為x-3y-2z+2=0

例3：求半徑為R的球面的方程

解：建立直角坐標(biāo)系{O；i,j,k}，并設(shè)球心 P（x,y,z）球面Σ〈═〉∣

（a,b,c），則

∣=R〈═〉

特別地，若M.（a,b,c）為坐標(biāo)原點，則球面Σ的方程為 x2+y2+z2=R2

綜合上述條例，可歸納出求曲面方程的一般步驟如下： 1°建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；（方程易求且求出的方程簡單）

2°設(shè)動點Σ坐標(biāo)為P（x,y,z），并根據(jù)已知條件，推出曲面上的點的坐標(biāo)應(yīng)滿足的方程； 3°對方程作同解化簡.二、曲面的參數(shù)方程：

定義2.2.2 設(shè)DR2為有序數(shù)對集，若對任意（u，v）∈D，按照某對應(yīng)規(guī)則，有唯一確定的向量r與之對應(yīng)，稱這種對應(yīng)關(guān)系為D上的一個二元向量函數(shù)，記作

r=r（u，v），（u，v）∈D

定義2.2.3 設(shè)Σ為一曲面，r=r（u，v），（u，v）∈D為一二元向量函數(shù)，在空間坐標(biāo)系下，若對任意（u，v）∈D，徑向

=r（u，v）的終點P總在曲面Σ上，而且對任意P∈Σ，也必能找到（u，v）∈D，使=r

（u，v），則 稱r=r（u，v）為Σ的向量式參數(shù)方程，記作Σ：r=r（u，v），（u，v）∈D.若令 r（u，v）={x（u，v），y（u，v），z（u，v）}，則 稱

（u，v）∈D

為Σ的坐標(biāo)式參數(shù)方程，記作Σ：（u，v）∈D

(圖2.2)(圖2.3)例：建立球面的參數(shù)方程：

解：為簡單起見，設(shè)坐標(biāo)原點位于球心，球面半徑為R，如圖

對任意M（x,y,z）∈球面Σ；令P為M 在x.y面上投影，并令=∠（r= =，），則

∣cos

i+∣

∣sin

j+∣∣sin sinj +Rcos

∣cos

j+∣

∣cos =∣ =∣∣sin cos i+ ∣ =Rsin cos i+Rsin sin ∴球面的參數(shù)方程 為： 0π 0<2π

三、球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系

定義2.2.4 空間中建立了直角坐標(biāo)系之后，對空間中任一點M（x,y,z），設(shè)∣OM∣=ρ 則M在以O(shè)為中心，以ρ為半徑的球面上，從而存在φ，θ，使

（*）

反之，對任意ρ（ρ?0），φ（0π），θ（0<2π），通過（*）也能確定空間中一點M（x,y,z），我們稱有序三數(shù)組ρ，φ，θ為M點 的球坐標(biāo)（空間極坐標(biāo)），記作M（ρ，φ，θ）

注：1°空間中的點與其球坐標(biāo)間并非一一對應(yīng).2°已知M點的球坐標(biāo)，通過（*）可求其直角坐標(biāo)，而若已知M的直角坐 標(biāo)，則

（**）

便可求其球坐標(biāo).定義2.2.5 空間中建立了直角坐標(biāo)系之后，對

M（x,y,z），設(shè)其到z軸的距離為ρ，則 M落在以z軸為中心軸，以ρ為半徑的圓柱面上，從而θ，u，使

（*）

反之，對給的ρ（ρ?0），θ（0≦θ<2π），u（∣u∣<）,依據(jù)（*）式

也可確定空間中一點M（x,y,z），稱有序三數(shù)組ρ，θ，u為M點的柱坐標(biāo)，記作M（ρ，θ，u）.注：1°空間中的點與其柱坐標(biāo)并非一一對應(yīng).2°由柱面坐標(biāo)求直角坐標(biāo),利用(*)即可,而由直角坐標(biāo)求柱坐標(biāo),則需按下式進(jìn)行.例：在直角坐標(biāo)系下，圓柱面的圖形如下：，雙曲柱面，平面

和拋物柱面 27

(圖2.4)

(圖2.5)

(圖2.6)(圖2.7)

§2.3 空間曲線的方程

一、空間曲線的一般方程

1.定義2.3.1 設(shè)L為空間曲線,為一三元方程組,空間中建立了坐標(biāo)系之后,若L上任一點M(x,y,z)的坐標(biāo)都滿足方程組,而且凡坐標(biāo)滿足方程組的點都在曲線L上,則稱

為曲線L的一般方程,又稱普通方程,記作L:

28(圖2.8)

注: 1°在空間坐標(biāo)系下,任一曲線的方程定是兩方程聯(lián)立而成的方程組;

2°用方程組去表達(dá)曲線,其幾何意義是將曲線看成了二曲面的交線（如圖2.8）;3°空間曲線的方程不唯一(但它們同解),如

與 均表示z軸

2.用曲線的射影柱面的方程來表達(dá)曲線

以曲線L為準(zhǔn)線,母線平行于坐標(biāo)軸的柱面稱為L的射影柱面,若記L的三射影柱面的方程為

(x,y)=0，(y,z)=0，(z,x)=0,則

，便是L的用射影柱面表達(dá)的方程

若已知曲線L:的方程(y,z)=0, ,只需從L的方程中,分別消去x,y,z便三射影柱面(z,x)=0，(x,y)=0

例:設(shè)有曲線L: ,試求L的射影柱面,并用射影柱面方程表達(dá)曲線.解:從L的方程中分別消去x,y,z得到 z2-4y=4z,x2+z2=4z,x2+4z=0 它們即為L的射影柱面,而

(1),便均是L的用射影柱面表達(dá)的方程

注:利用方程(2)即可作出L的草圖 二、空間曲線的參數(shù)方程:

(2),(3)

1.定義2.3.2 設(shè)L為一空間曲線，r=r(t),t∈A為一元向函數(shù),在空間坐標(biāo)系下，若對P∈L，t∈A，使 =r（t），而且對t∈A，必有P∈L，使r（t）=，則稱r=r（t），t∈A為曲線L的向量式參數(shù)方程，記作L=r=r（t），t∈A，t ——參數(shù)

若點r（t）={x（t），y（t），z（t）}

則稱 t∈A

為L的坐標(biāo)式參數(shù)方程

注：空間曲線的參數(shù)方程中，僅有一個參數(shù)，而曲面的參數(shù)方程中，有兩個參數(shù)，所以習(xí)慣上，稱曲線是單參數(shù)的，而曲面是雙參數(shù)的。

2.求法： 例：一質(zhì)點，在半徑=a的圓柱面上，一方面繞圓柱面的軸作勻速轉(zhuǎn)動，一方面沿圓柱面的母線方向作勻速直線運動，求質(zhì)點的運動軌跡。

解：以圓柱面的軸作為z軸，建立直角坐標(biāo)系{O；i，j，k}，如圖，不妨設(shè)質(zhì)點的起始點在x軸上，質(zhì)點的角速率與線速率分別為ω。，ν。，質(zhì)點的軌跡為L，則對∈L，在x。y面上的投影為′，(圖2.9)r= = +，=acos=b，則

i+asin

j+

k

若令 r=acos i+asin j+b k ————L的向量式參數(shù)方程

而

小結(jié)

知識點回顧：

在平面上或空間取定了坐標(biāo)系后，平面上或空間的點就與有序?qū)崝?shù)組（x,y）或(x,y,z)建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，把平面上的曲線或空間的曲面都看成具有某種特征性質(zhì)的點的集合，而其特征性質(zhì)在坐標(biāo)系中反映為它的坐標(biāo)之間的某種特定關(guān)系，把這種關(guān)系找出來，就是它的方程，而圖形的方程和圖形間有一一對應(yīng)的關(guān)系，這樣就把研究曲線與曲面的幾何問題轉(zhuǎn)化為了代數(shù)問題。如曲面的方程為F（x，y，z）=0，要研究空間中三曲面是否有公共點的問題就可歸結(jié)為求三曲面方程的公共解，也就是解三元聯(lián)立方程組的問題。例如方程組

如果有實數(shù)解，則三曲面點的坐標(biāo)。若方程組無實數(shù)解，三曲面就沒有公共點。

平面曲線的普通方程為

就有公共點，方程組的解就是公共，參數(shù)，參數(shù)方程為單參數(shù)的；曲面的普通方程為方程為雙參數(shù)的；空間曲線的普通方程為，參數(shù)方程為單參數(shù)的。

參數(shù)方程若能消去參數(shù)可得到普通方程，普通方程化為參數(shù)方程時形式卻是不唯一的，但一定要保證與原方程等價。典型習(xí)題：

1.有一長度為段中點的軌跡。解：設(shè) ＞0）的線段，它的兩端點分別在軸正半軸與，為兩端點，為此線段的中點。

.在中有

軸的正半軸上移動，是求此線

:.則即.∴此線段中點的軌跡為.2.有一質(zhì)點，沿著已知圓錐面的一條直母線自圓錐的頂點起，作等速直線運動，另一方面這一條母線在圓錐面上，過圓錐的頂點繞圓錐的軸（旋轉(zhuǎn)軸）作等速的運動，這時質(zhì)點在圓錐面上的軌跡叫做圓錐螺線，試建立圓錐螺線的方程.解：取圓錐面的頂點為坐標(biāo)原點，圓錐的軸為z軸建立直角坐標(biāo)系，并設(shè)圓錐頂角為，旋轉(zhuǎn)角速度為，直線運動速度為V，動點的初始位置在原點，而且動點所在直母線的初始位置在xoz面上，t秒后質(zhì)點到達(dá)P點，P點在xoy面上的射影為N，N在x軸上的射影為M，則有

而

所以，圓錐螺旋線的向量式參數(shù)方程為

坐標(biāo)式參數(shù)方程為

（﹣∞

本章教學(xué)目的： 通過本章的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握空間坐標(biāo)系下平面、直線方程的各種形式，掌握確定平面與直線的條件，熟練掌握點、平面與空間直線間各種位置關(guān)系的解析條件及其幾何直觀概念.本章教學(xué)重點：（1）空間坐標(biāo)系下平面方程的點位式和點法式、直線方程點向式與標(biāo)準(zhǔn)式；（2）點、平面與空間直線間各種位置關(guān)系的解析條件；（3）平面與空間直線各種度量關(guān)系的量化公式.本章教學(xué)難點：（1）異面直線的公垂線方程；（2）綜合運用位置關(guān)系的解析條件求平面、空間直線方程.本章教學(xué)內(nèi)容：

§3.1平面的方程

1．平面的點位式方程

在空間給定了一點M0與兩個不共線的向量a，b后，通過點M0且與a，b平行的平面? 就惟一被確定.向量a，b叫平面? 的方位向量.任意兩個與?平行的不共線的向量都可作為平面? 的方位向量.取標(biāo)架==，設(shè)點M0的向徑，平面? 上任意一點M的向 = {x，y，z}（如圖）.點M在徑為r =平面?上的充要條件為向量與向量a，b共面.由于a，b不共線，這個共面的條件可以寫成

= ua＋vb

而= r －r0，所以上式可寫成

r = r0＋ua＋vb(3.1－1)

此方程叫做平面? 的點位式向量參數(shù)方程，其中u，v為參數(shù).31 若令a = {，}，b = {，}，則由(3.1－1)可得

(3.1－2)

此方程叫做平面? 的點位式坐標(biāo)參數(shù)方程，其中u，v為參數(shù).(3.1－1)式兩邊與a3b作內(nèi)積，消去參數(shù)u，v得

(r －r0，a，b)=

0(3.1-3)

此即

=0(3.1－4)

這是? 的點位式普通方程.例1：已知平面?上三非共線點

（i = 1，2，3）.求通過

={，（i = 1，2，3）的平面方程。}，i = 1，2，3.對動點M，設(shè)r =

={x，解： 建立坐標(biāo)系{O；e1, e2, e3}，設(shè)ri = y，z}，取次為 和為方位向量，M1為定點，則平面?的向量參數(shù)方程，坐標(biāo)參數(shù)方程和一般方程依r = ＋u(－)＋v(－r1)(3.1－5)

(3.1－6)

= 0(3.1－7)

(3.1－5)，(3.1－6)和(3.1－7)統(tǒng)稱為平面的三點式方程.特別地，若是? 與三坐標(biāo)軸的交點，即≠0，則平面? 的方程就是

(a，0，0)，(0，b，0)，(0，0，c)，其中abc=0(3.1－8)

即

(3.1－9)

此方程叫平面?的截距式方程，其中a，b，c稱為? 在三坐標(biāo)軸上的截距.2．平面的一般方程

在空間，任一平面都可用其上一點M0(x0，y0，z0)和兩個方位向量a = {，}，b = {，}確定，因而任一平面都可用方程(3.1－4)表示.將(3.1－4)展開就可寫成

Ax＋By＋Cz＋D =

0(3.1－10)其中 A =，B =，C =

由于a = {，}與b = {，}不共線，所以A，B，C不全為零，這說明空間任一平面都可用關(guān)于a，b，c的一三元一次方程來表示.32 反之，任給一三元一次方程(3.1－10)，不妨設(shè)A≠0，則(3.1－10)可改寫成

即

它顯然表示由點M0(－D / A，0，0)和兩個不共線的向量{B，－A，0}和{C，0，－A }所決定的平面.于是有

定理3.1.1 空間中任一平面的方程都可表為一個關(guān)于變數(shù)x，y，z的三元一次方程；反過來，任一關(guān)于變數(shù)x，y，z的三元一次方程都表示一個平面.方程(3.1－10)稱為平面? 的一般方程.現(xiàn)在先來討論幾種特殊的平面方程（平面對于坐標(biāo)系來講具有某種特殊位置）： 1.D=0的平面都通過原點。

2.A、B、C中有一個為0，例如C=0，則平面通過Z軸。

3.A、B、C中有兩個為0，若D，B=C=0，平面平行于yoz坐標(biāo)面。.其余情況同學(xué)們自己討論。

3．平面的法式方程。

若給定一點M0和一個非零向量n，則過M0且與n垂直的平面?也被惟一地確定.稱n為?的法向量.在空間坐標(biāo)系{O；i，j，k}下，設(shè)={x，y，z}，則因總有

=

={x0，y0，z0}，n = {A，B，C}，且平面上任一點M的向徑r =⊥n，有

n(r－r0)=

0(3.1－11)也就是 A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)= 0(3.1－12)

方程(3.1－11)和(3.1－12)叫平面? 的點法式方程.(3.1－12)中的系數(shù)A，B，C有簡明的幾何意義，它們就是平面? 的一個法向量的分量.特別地，取M0為自O(shè)向? 所作垂線的垂足，而n為單位向量.當(dāng)平面不過原點時，取n為與00的單位向量n，當(dāng)平面過原點時取n的正向為垂直與平面的兩個方向中的任一個.設(shè)|| = p，則0n(r－p n0)= 0 = p n，由點P和n確定的平面的方程為，上式可寫成 n0r－p =

0(3.1－13)

0

0

同向式中r是平面的動向徑.由于此方程叫平面的向量式法式方程.0若設(shè)r = {x，y，z}，n = {cos?，cos?，cos?}，則由(3.1－13)得

x cos?＋y cos?＋z cos?－p = 0(3.1－14)

此為平面的坐標(biāo)法式方程，簡稱法式方程.平面的坐標(biāo)法式方程有如下特征：

1°一次項系數(shù)是單位向量的分量，其平方和等于1； 2°常數(shù)項－p?0（意味著p ? 0）.3°p是原點到平面的距離.例3: 求通過點

且平行于z軸的平面方程。，所以有2A 解：設(shè)平行于z軸的平面方程為Ax＋By＋D = 0，因為它又要通過－B＋D = 0，3A－2B＋D = 0，由上兩式得A:B:C= 所以所求平面方程為x＋y－1= 0

4．化一般方程為法式方程

在直角坐標(biāo)系下，若已知?的一般方程為Ax＋By＋Cz＋D = 0，則n = {A，B，C}是?的法向量，Ax＋By＋Cz＋D = 0可寫為

nr＋D =

0(3.1－15)

與(3.1－13)比較可知，只要以

去乘(3.1－15)就可得法式方程

?Ax＋?By＋?Cz＋?D = 0(3.1－16)

其中正負(fù)號的選取，當(dāng)D≠0時應(yīng)使(3.1－16)的常數(shù)項為負(fù)，D＝0時可任意選.以上過程稱為平面方程的法式化，而將例2：已知兩點解： 中點坐標(biāo)為：

化為法式方程，并求出原點指向平面的單位法向量。，，求線段

叫做法化因子.垂直平分面的方程。

平面的點法式方程為： 整理后得：例3：把平面 解： ：所以

法式方程為：

§3.2平面與點的相關(guān)位置

平面與點的位置關(guān)系，有兩種情形，就是點在平面上和點不在平面上.前者的條件是點的坐標(biāo)滿足平面方程.點不在平面上時，一般要求點到平面的距離，并用離差反映點在平面的哪一側(cè).1．點到平面的距離 定義3.2.1 自點M0向平面? 引垂線，垂足為Q.向量面?之間的離差，記作

? = 射影

n0

在平面?的單位法向量n0上的射影叫做M0與平

(3.2－1)

顯然 ? = 射影n0當(dāng)0.0

= 2n =∣

0

0

∣cos∠(，n)=±∣

0

∣

與n同向時，離差? > 0；當(dāng)與n反向時，離差? < 0.當(dāng)且僅當(dāng)M0在平面上時，離差? =

顯然，離差的絕對值就是點M0到平面? 的距離.定理3.2.1 點M0與平面（3.1－13）之間的離差為 ? = n0r0－p(3.2－2)證：根據(jù)定義3.2.2和上圖得? = 射影n0 其中q== n（0

0

-）= n（r0－q）= nr0－n q

0

000，而Q在平面（3.1-13）上，因此n q= p，所以? = nr0－p。，則

與?間的離差 推論1 若平面? 的法式方程為

3)

推論2 點與平面Ax＋By＋Cz＋D = 0間的距離為

(3.2－

(3.2－4)

2．平面劃分空間問題 三元一次不等式的幾何意義 設(shè)平面的一般方程為

Ax＋By＋Cz＋D = 0 則空間中任一點M（x，y，z）與間的離差為

= ?(Ax＋By＋Cz＋D)式中?為平面的法化因子，由此有

Ax＋By＋Cz＋D

=(3.2－5)

對于平面同側(cè)的點，? 的符號相同；對于在平面的異側(cè)的點，? 有不同的符號，而?一經(jīng)取定，符號就是固定的.因此，平面：Ax＋By＋Cz＋D = 0把空間劃分為兩部分，對于某一部分的點M(x，y，z)Ax＋By＋Cz＋D > 0；而對于另一部分的點，則有Ax＋By＋Cz＋D < 0，在平面上的點有Ax＋By＋Cz＋D = 0.§3.3 兩平面的相關(guān)位置

空間兩平面的相關(guān)位置有3種情形，即相交、平行和重合.設(shè)兩平面?1與?2的方程分別是

?1：(1)

?2：(2)

則兩平面?1與?2相交、平行或是重合，就決定于由方程（1）與（2）構(gòu)成的方程組是有解還是無解，或無數(shù)個解，從而我們可得下面的定理.定理3.3.1兩平面（1）與（2）相交的充要條件是

(3.3－1)

平行的充要條件是

(3.3－2)

重合的充要條件是

(3.3－3)

由于兩平面?1與?2的法向量分別為，當(dāng)且僅當(dāng)n1不平行于n2時?1與?2相交，當(dāng)且僅當(dāng)n1∥n2時?1與?2平行或重合，由此我們同樣能得到上面3個條件.下面定義兩平面間的夾角.設(shè)兩平面的法向量間的夾角為?，稱?1與?2的二面角∠(?1，?2)=? 或?－?為兩平面間的夾角.顯然有

=±cos? =±定理3.3.2兩平面（1）與（2）垂直的充要條件是

(3.3－5)

例 一平面過兩點 和且垂直于平面x＋y＋z = 0，求它的方程.解 設(shè)所求平面的法向量為n = {A，B，C}，(3.3－4)

由于在所求平面上，有，即.又n垂直于平面x＋y＋z = 0的法線向量{1，1，1}，故有A＋B＋C = 0 解方程組 得

所求平面的方程為，約去非零因子C得，即 2x－y－z =0，§3.4 空間直線的方程

1．直線的點向式方程 在空間給定了一點與一個非零向量v = {X，Y，Z}，則過點M0且平行于向量v的直線l就惟一地被確定.向量v叫直線l的方向向量.顯然，任一與直線l上平行的飛零向量均可作為直線l的方向向量.下面建立直線l的方程.如圖，設(shè)M(x，y，z)是直線l上任意一點，其對應(yīng)的向徑是r = { x，y，z }，而對應(yīng)的向徑是r0，則因有 //v，有t∈R，= t v.即r－r0= t v

所以得直線l的點向式向量參數(shù)方程

r = r0＋t v(3.4－1)

以諸相關(guān)向量的分量代入上式，得

根據(jù)向量加法的性質(zhì)就得直線l的點向式坐標(biāo)參數(shù)方程為

－∞ < t < ＋∞(3.4－2)

消去參數(shù)t，就得直線l的點向式對稱方程為

(3.4－3)

此方程也叫直線l的標(biāo)準(zhǔn)方程.今后如無特別說明，在作業(yè)和考試時所求得的直線方程的結(jié)果都應(yīng)寫成對稱式.例1 設(shè)直線L通過空間兩點M1(x1，y1，z1)和M2(x2，y2，z2)，則取M1為定點，就得到直線的兩點式方程為

(3.4－4)

根據(jù)前面的分析和直線的方程(3.4－1)，可得到

為方位向量，這個式子清楚地給出了直線的參數(shù)方程(3.4－1)或(3.4－2)中參數(shù)的幾何意義：參數(shù)t的絕對值等于定點M0到動點M之間的距離與方向向量的模的比值，表明線段M0M的長度是方向向量v的長度的 |t| 倍.0特別地，若取方向向量為單位向量v = {cos?，cos?，cos?} 則(3.4－1)、(3.4－2)和(3.4－3)就依次變?yōu)?/p>

0 r = r0＋t v(3.4－5)

－∞ < t < ＋∞(3.4－6)

和

(3.4－7)

此時因 |v| = 1，t的絕對值恰好等于l上兩點M0與M之間的距離.直線l的方向向量的方向角?，?，? cos?，cos?，cos? 分別叫做直線l的方向角和方向余弦.由于任意一個與v平行的非零向量v'都可作為直線l的方向向量，而二者的分量是成比例的，我們一般稱X ：Y ：Z為直線l的方向數(shù)，用來表示直線l的方向.2．直線的一般方程

空間直線l可看成兩平面?1和?2的交線.事實上，若兩個相交的平面?1和?2的方程分別為

?1：

那么空間直線l上的任何一點的坐標(biāo)同時滿足這兩個平面方程，即應(yīng)滿足方程組 ?2：

(3.4－8)

反過來，如果點不在直線l上，那么它不可能同時在平面?1和?2上，所以它的坐標(biāo)不滿足方程組(3.4－8).因此，l可用方程組(3.4－8)表示，方程組(3.4－8)叫做空間直線的一般方程.一般說來，過空間一直線的平面有無限多個，所以只要在無限多個平面中任選其中的兩個，將它們的方程聯(lián)立起來，就可得到空間直線的方程.直線的標(biāo)準(zhǔn)方程(3.4－3)是一般方程的特殊形式.將標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般式，得到的是直線的射影式方程.將直線的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，只需在直線上任取一點，然后取構(gòu)成直線的兩個平面的兩個法向量的向量積為直線的方向向量即可.例 將直線的一般方程

化為對稱式和參數(shù)方程.解 令y = 0，得這直線上的一點（1，0，－2）.兩平面的法向量為

a = {1，1，1}，b = {2，－1，3}

因a3b = {4，－1，－3}，取為直線的法向量，即得直線的對稱式方程為

令，則得所求的參數(shù)方程為

§3.5 直線與平面的相關(guān)位置

直線與平面的相關(guān)位置有直線與平面相交，直線與平面平行和直線在平面上3種情形.設(shè)直線l與平面? 的方程分別為

l：(1）

? ：Ax＋By＋Cz＋D = 0(2)

（1）也就是

.將（2）代入（1），整理可得

(AX＋BY＋CZ)t = －(Ax0＋By0＋Cz0＋D)(3)

當(dāng)且僅當(dāng)AX＋BY＋CZ≠0時，（3）有惟一解

這時直線l與平面? 有惟一公共點；當(dāng)且僅當(dāng)AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0時，（3）無解，直線l與平面? 沒有公共點；當(dāng)且僅當(dāng)AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D = 0時，（3）有無數(shù)多解，直線l在平面? 上.于是有

定理3.5.1 關(guān)于直線（1）與平面（2）的相互位置，有下面的充要條件： 1）相交： AX＋BY＋CZ≠0

2）平行： AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0 3）直線在平面上： AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D = 0

以上條件的幾何解釋：就是直線l的方向向量v與平面? 的法向量n之間關(guān)系.1）表示v與n不垂直；

2）表示v與n垂直且直線l上的點（x0，y0，z0）不在平面? 上； 3）表示v與n垂直且直線l上的點（x0，y0，z0）在平面? 上.當(dāng)直線l與平面? 相交時，可求它們的交角.當(dāng)直線不與平面垂直時，直線與平面的交角? 是指直線和它在平面上的射影所構(gòu)成的銳角；垂直時規(guī)定是直角.設(shè)v = {X，Y，Z}是直線l的方向向量，n = {A，B，C}是平面? 的法向量，則

令 ∠(l，?)=，∠(v，n)= ?，就有 =? 或= ?－（? 為銳角）

(3.5－1)因而,sin =∣cos?∣==從這個公式也可直接得到定理3.5.1中的條件.§3.6 空間直線與點的相關(guān)位置

任給一條直線l的方程和一點M0，則l和M0的位置關(guān)系只有兩種：點在直線上和點不在直線上。從代數(shù)上，這兩種情況對應(yīng)點的坐標(biāo)滿足方程和點的坐標(biāo)不滿足方程.當(dāng)點不在直線上時，可求此點到直線的距離.設(shè)空間中有一點M0(x0，y0，z0)，和一條直線l：

l：

此處M1(x1，y1，z1)是l上的一點，v = {X，Y，Z}是l的方向向量.以v和

為鄰邊作一平行四變形，則其面積為 | v3|，點M0到直線l的距離d就是此平行四變形的對應(yīng)于底 | v | 的高，所以

=(3.7－1)

在實際計算中，記憶上式的第二個等號后面的部分是沒有實際意義的.只需根據(jù)公式的前半部分計算即可.§3.7空間兩直線的相關(guān)位置 1．空間兩直線的位置關(guān)系：

空間兩直線的相關(guān)位置有異面與共面，共面時又有相交、平行和重合3種情形.設(shè)二直線的方程為

：

i = 1，2

此處直線l1是由點和方向向量v1 = {X1，Y1，Z1}決定的，而直線l2是由點和方向向量v2 = {X2，Y2，Z2}決定的.由圖容易看出，兩直線的相關(guān)位置決定于三向量，v1，v2的相互關(guān)系.當(dāng)且僅當(dāng)這三個向量異面時，兩直線異面；當(dāng)且僅當(dāng)這三個向量共面時，兩直線共面.共面時，若v1，v2不平行，則l1和l2相交，若v1∥v2但不與平行，則l1和l2平行，v1∥v2∥則l1和l2重合.因此有

定理3.6.1 空間兩直線l1和l2的相關(guān)位置有下面的充要條件 1）異面：

(3.6－1)

2）相交：(3.6－2)3）平行：(3.6－3)4）重合：(3.6－4)2．空間兩直線的夾角

平行于空間兩直線的兩向量間的夾角，叫空間兩直線的夾角.顯然，若兩直線間的夾角是?，則也可認(rèn)為它們之間的夾角是?－?.定理3.6.2 空間兩直線l1和l2的夾角的余弦為

(3.6－5)，推論 兩直線l1與l2垂直的充要條件是

X1X2＋Y1Y2＋Z1Z2 =

0(3.6－6)

3．二異面直線間的距離與公垂線的方程

空間兩直線的點之間的最短距離叫這兩條直線之間的距離.兩相交或兩重合直線間的距離為零；兩平行直線間的距離等于其中一直線上的任意一點到另一直線的距離.與兩條異面直線都垂直相交的直線叫兩異面直線的公垂線.兩異面直線間的距離就等于它們的公垂線夾在兩異面直線間的線段的長.39 設(shè)兩異面直線l1和l2的方程如前，l1和l2與它們的公垂線的交點分別為N1和N2，則l1和l2之間的距離

也就是

(3.6－6)

現(xiàn)在求兩異面直線l1和l2的公垂線的方程.如上圖，公垂線l0的方向向量可取作= {X，Y，Z}，而公垂線l0可看作兩個平面的交線，這兩個平面一個通過點M1，以v1和

和為方向向量，另一個平面通過點M2，以v2和

和為方向向量.因此公垂線l0的一般方程可寫為(3.6－7).例1求通過點方程。

解：設(shè)直線方程為：由條件可得： 而與平面平行，且與直線相交的直線的即

從而，且所以，直線方程為：例2 已知兩直線：

與

⑴ 證明它們?yōu)楫惷嬷本€；

⑵ 求它們公垂線的方程

解： ⑴ ⑵ 公垂線方向為：，所以，兩直線異面。

公垂線方程為：，化簡得： 即：

§3.8平面束

1．平面束

定義3.8.1 空間中過同一直線l的所有平面的集合稱為有軸平面束，l稱為這平面束的軸.定義3.8.2 空間中平行于一定平面?的所有平面的集合稱為平行平面束.有軸和平行平面束統(tǒng)稱為平面束.定理3.8.1 如果兩個平面

?1：x＋y＋z＋= 0（1）

?2：x＋y＋z＋= 0（2）

交于一條直線L，那么以直線L為軸的有軸平面束的方程是

?(x＋y＋z＋)＋?(x＋y＋其中? 和 ? 是不全為零的任意實數(shù).證 先證(3.8－1)表示過L的平面.z＋)= 0(3.8－1)

(3.8－1)即為(?+?)x＋(?+?)y＋(?+? 上式中x，y，z的系數(shù)必不全為零，若不然，則有

－?：? =

：

=

：)z＋?=

：

＋? = 0

這與與相交矛盾.故表示(3.8－1)一平面?，?顯然通過與的交線L.再證明對于過L的任一平面?，必存在不全為零的實數(shù)?，?，使?的方程為(3.8－1).首先，若?是一般地，若?≠件是，取? = 1，? = 0；若?是，取? = 0，? =1即可.，i = 1，2，取?上一點A(a，b，c)L，則由于(3.8－1)表示的平面要通過L的條?(a+b+c+)＋?(a+b+

b+c+

c+)= 0

即 ?：? =－(a+)：(a+b+c+)

不妨取 ? =－(a+b+c+)，? =a+b+c+

則由于A不在L上，? 和 ? 不全為零，因而過L且過A的平面? 的方程必可寫成(3.8－1)的形式.例 求過二平面4x－y＋3z－1 = 0與x＋5y－z＋2 = 0的交線，且過原點的平面的方程.解 略（講解時實推）.定理3.8.2 如果兩個平面

?1：x＋y＋z＋= 0（1）

?2：x＋y＋z＋= 0（2）

為平行平面，那么方程

41)＋?(x＋y＋z＋)= 0(3.8－1)

為平行平面束，平面束中任一平面都和?1或?2平行.式中? 和 ? 是不全為零的任意實數(shù)，且

－? ：?≠A1 ：A2 = B1 ：B2 = C1 ：C2

定理3.8.3平行于平面?：Ax＋By＋Cz＋D = 0的所有平面的方程可表為

Ax＋By＋Cz＋? = 0(3.8－2)

例 求與平面3x＋y－z＋4 = 0平行，且在z軸的截距等于－6的平面的方程.解 設(shè)所求的平面是3x＋y－z＋t = 0，則由于點(0，0，－6)在平面上，有

t＋6 = 0, t =－6

所求的平面方程為 3x＋y－z－6 = 0

2．平面把

定義3.8.3 空間中過一定點的所有平面的集合稱為平面把，稱為把心.?(x＋y＋z＋定理3.8.4 過定點(，)的所有平面的方程為

A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)= 0(3.8－3)

其中A，B，C是任意不全為零的實數(shù).更一般地，我們有

定義3.8.3 空間中過一定點的所有平面的集合稱為平面把，稱為把心.定理3.8.5 過定點(，)的所有平面的方程為

A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)= 0(3.8－4)

其中A，B，C是任意不全為零的實數(shù).定理3.8.6 對任意不全為0的? , ?，?，方程

(3.8－5)

表示過三平面

：的（惟一）交點(，?，使? 的方程為(3.8－4).)的一個平面?；反之，對任意過, 3 的平面?，必存在不全為零的? , ?，小結(jié)

知識點回顧：

通過本章的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握空間坐標(biāo)系下平面、直線方程的各種形式，掌握確定平面與直線的條件，熟練掌握點、平面與空間直線間各種位置關(guān)系的解析條件及其幾何直觀概念.（1）空間坐標(biāo)系下平面方程的點位式和點法式.在空間取仿射坐標(biāo)系則平面設(shè)點的向量式參數(shù)方程為的坐標(biāo)分別為，并設(shè)點的向徑其中，那么，平面

為參數(shù)。

；并設(shè)

上任意一點的向徑為

則平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程為，為參數(shù)。

平面的點位式方程為

空間中任一平面的方程都可以表示成一個關(guān)于變量 x,y,z 的一次方程；反過來，每一個關(guān)于變量 x,y,z 的一次方程都表示一個平面，Ax+By+Cz+D=0 叫做平面的一般方程 取空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點的向徑為

，平面上的任意一點的向徑為，則平面的點法式方程.（2）空間直線的各種方程.42 在空間取仿射坐標(biāo)系則其向量式參數(shù)方程為，已知直線上一點。，動點，方向向量.坐標(biāo)式參數(shù)方程為：對稱式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程為：

.。

設(shè)有兩個平面的方程為中的系數(shù)行列式

（＊）如果，即方程組（＊）

不全為零，那么相交，它們的交線設(shè)為，因為 上的任意一點同在這兩平面上，所以它的坐標(biāo)必滿足方程組（＊）；反過來，坐標(biāo)滿足方程組（＊）的點同在兩平面上，因而一定在這兩平面的交線即直線 上，因此方程組（＊）表示直線的方程，把它叫做直線的一般方程（3）點的離差和點到平面的距離； 如果自點與平面到平面引垂線，其垂足為，那么向量

在平面的單位法向量

上的射影叫做點之間的離差，記做點到平面距離公式：（4）點到直線的的距離：.（5）異面直線的公垂線方程

兩異面直線 典型習(xí)題：

1、一平面過兩點 和，求它的方程.解 設(shè)所求平面的法線向量為 顯然，故 即 又垂直于平面故有

；

且垂直于平面，在所求平面上，，.的法線向量，43

解方程組

得 據(jù)點法式方程有，約去非零因子

得，故所求方程為

2、用對稱式方程及其參數(shù)方程硎局畢?/span>

解 先找出這直線上的一點，如：取

代入方程組得

解此二元一次方程組得 于是，得到直線上的一點 再找該直線的一個方向向量都垂直，可取

.，由于兩平面的交線與兩平面的法線向量，因此，所給直線的對稱式方程為

；

直線的參數(shù)方程為

3分別在下列條件下確定（1）使（2）使與的值：

和

表示二平行平面；

表示同一平面；

（3）使與表示二互相垂直的平面。解：（1）欲使所給的二方程表示同一平面，則：

即：

從而：。

（2）欲使所給的二方程表示二平行平面，則：

所以：。

所以：

：

。（3）欲使所給的二方程表示二垂直平面，則：4.試驗證直線：解：

直線與平面相交。

與平面

相交，并求出它的交點和交角。

又直線的坐標(biāo)式參數(shù)方程為： 設(shè)交點處對應(yīng)的參數(shù)為，從而交點為（1，0，-1）。又設(shè)直線與平面的交角為，則：，5.給定兩異面直線：解：因為公垂線方程為：，與，試求它們的公垂線方程。

即，亦即

第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面及常見二次曲面

本章教學(xué)目的： 使學(xué)生掌握柱面、錐面和旋轉(zhuǎn)曲面的定義、方程求法和方程特征；熟練掌握五種常見二次曲面的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何特征，了解它們的性質(zhì)，會畫它們的草圖.本章教學(xué)重點：（1）常見二次曲面的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及圖形的特征；（2）坐標(biāo)面上的曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時所產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)曲面方程的求法.（3）通過求柱面、錐面和旋轉(zhuǎn)曲面的方程，理解動曲線產(chǎn)生曲面的思想方法.本章教學(xué)難點 ：（1）柱面及錐面方程的求法中消去參數(shù)的幾何意義的理解；（2）雙曲拋物面的幾何性質(zhì)的分析；（3）二次曲面直紋性的證明.本章教學(xué)內(nèi)容：

§4.1 柱面

一 柱面

定義4.1.1 在空間，由平行于定方向且與一條定曲線相交的一族平行直線所產(chǎn)生的曲面叫做柱面.其中定方向叫柱面的方向，定曲囈兄條都叫柱面的母線.注：1°一個柱面的準(zhǔn)線不惟一（舉例）.2°平面和直線也是柱面.以下建立柱面的方程.設(shè)在給定的坐標(biāo)系下，柱面S的準(zhǔn)線為

(1)

母線的方向數(shù)為X，Y，Z.若M1(x1，y1，z1)為準(zhǔn)線上任一點，則過M1的母線方程為

(2)

且有(3)

從（2）、（3）4個等式中消去參數(shù)x1，y1，z1，最后得一個三元方程

F(x，y，z)= 0

就是以（1）為準(zhǔn)線，以{X，Y，Z}為方向的柱面的方程.這里需要特別強調(diào)的是，消去參數(shù)的幾何意義，就是讓點M1遍歷準(zhǔn)線上的所有位置，就是讓動直線（1）“掃”出符合要求的柱面.例1 已知一個柱面的準(zhǔn)線方程為，其母線的方向數(shù)是－1，0，1，求該柱面的方程.解 設(shè)M1(x1，y1，z1)是準(zhǔn)線上的點，過M1(x1，y1，z1)的母線為

(1)

且有

(2)(3)

由(1)得

將(4)代入(2)和(3)得

(4)

(5)

(6)

由（5）和（6）得

(7)

將（7）代入（5）（或（6））得所求柱面方程為即.例2 已知圓柱面的軸為，點M1(1，－2，1)在此柱面上，求這個圓柱面的方程.解法一 記所求的圓柱面為S.因S的母線平行于其軸，母線的方向數(shù)為1，－2，－2，若能求得圓柱面的準(zhǔn)線圓，則用例1的方法即可解題.空間的圓總可看成某一球面與某一平面的交線，故圓柱面的準(zhǔn)線圓可看成以軸上的點.M0(0，1，－1)為中心，為半徑的球面的交線，即準(zhǔn)線圓 是

設(shè)為 上的任意點，則

（1）（2）

與過已知點M1(1，－2，1)且垂直于軸的平面S的過的母線為

（3）

由（1）、（2）、（3）消去參數(shù)x1，y1，z1，得S的方程為.將圓柱面看成動點到軸線等距離點的軌跡，這里的距離就是圓柱面的半徑，那么例2就有下面的第二種解法.解法二 因軸的方向向量為v = {1，－2，－2}，軸上的定點為M0(0，1，－1)，M1(1，－2，1)是S上的定點，點M1到l的距離

.設(shè)M(x，y，z)是圓柱面上任意一點，則M到軸l的距離為，即

化簡整理就得S的方程為

二、柱面的判定定理 定理4.1.1

在空間直角坐標(biāo)系中，只含有兩個元（坐標(biāo)）的三元方程所表示的曲面是一個柱面，它的母線平行于所缺元（坐標(biāo)）的同名坐標(biāo)軸。

在空間直角坐標(biāo)系里，因為這些柱面與 xoy坐標(biāo)面的交線分別是橢圓，雙曲線與拋物線，所以它們依次叫做橢圓柱面，雙曲柱面，拋物柱面，統(tǒng)稱為二次柱面.三、空間曲線的射影柱面

空間曲線L:(15),如果我們從（15）中依次消去一個元，可得，任取其中兩個方程組，比如（16）那么方成這樣（16）和（15）是兩個等價的 方程組，也就是（16）表示的曲線和（15）是同一條，從而曲面都通過已知曲線(15)；同理方程知，曲面

表示的曲面也通過已知曲線(15)。有定理4.1.1表示一個母線平行于z軸的柱面，在直角坐標(biāo)系下，起母線垂直于xoy坐標(biāo)面，我們把曲面叫做空間曲線（15）對xoy坐標(biāo)面射影的射影柱面，而曲線曲線（15）在xoy坐標(biāo)面上的射影曲線。同理，與

叫做空間

分別叫做曲線（15）對xoz坐標(biāo)面與yoz坐標(biāo)面射影的射影柱面，而曲線和叫做空間曲線（15）在xoz坐標(biāo)面與yoz坐標(biāo)面上的射影曲線。

§4.2 錐面

定義4.2.1 在空間，通過一定點且與一條定曲線相交的一族直線所產(chǎn)生的曲面叫做錐面.這里定點叫做錐面的頂點，定曲線叫錐面的準(zhǔn)線，直線族中的每一條都叫錐面的母線.注：1°一個錐面的準(zhǔn)線不惟一（舉例）.2°平面既是柱面也是錐面.3°一條直線也是錐面.4°若將柱面的母線看成在無窮遠(yuǎn)處相交的話，則柱面是一個頂點在無窮遠(yuǎn)點的錐面.以下建立錐面的方程.設(shè)錐面S的準(zhǔn)線為

(1)

頂點為A(x0，y0，z0).若M1(x1，y1，z1)為準(zhǔn)線上任一點，則過M1的錐面的母線方程為

(2)

且有(3)

從（2）、（3）4個等式中消去參數(shù)x1，y1，z1，最后得一個三元方程F(x，y，z)= 0 就是以（1）為準(zhǔn)線，以A為頂點的錐面的方程.這里消去參數(shù)的幾何意義與柱面的情形類似，就是讓點M1跑遍準(zhǔn)線上的所有點，從而讓動直線（2）“掃”出符合要求的錐面.下面的定理給出了錐面方程的特征.先介紹齊次函數(shù)的概念.設(shè)為實數(shù)，對于函數(shù)，若

此處t的取值應(yīng)使有確定的意義，則稱為n元次齊次函數(shù)，對應(yīng)的方程= 0為次齊次方程.22例 u = xy＋2yz＋xyz為三次齊次函數(shù).定理4.2.1 一個關(guān)于x，y，z的齊次方程總表示一個頂點在原點的錐面.48 證： 由齊次方程的定義有當(dāng)設(shè)直線的方程為 時有，故曲面S：為S上非原點的任意點，則

.過原點.滿足，即有

.而

代入= 0，得，即直線

上的所有點的坐標(biāo)滿足曲面S的方程.因此直線在曲面S：上，故曲面S：是由這種通過坐標(biāo)原點的直線組成，因而是以原點為頂點的錐面.推論 一個關(guān)于x－x0，y－y0，z－z0的齊次方程總表示一個頂點在(x0，y0，z0)的錐面.證 設(shè)有x－x0，y－y0，z－z0的齊次方程

F(x－x0，y－y0，z－z0)=0(*)

作坐標(biāo)變換(**)為齊次方程，故表示頂點在點的錐面.的齊次方程可能只表示原點.例如

.這樣的曲面，表示以，則(*)化為(**)

為頂點的錐面.從而

注 在特殊情況下，一個關(guān)于一般稱為有實頂點的虛錐面.例1 錐面的頂點為原點，準(zhǔn)線為解 設(shè)，求錐面的方程.為準(zhǔn)線上任意一點，則過M1的母線為：

(4)

且有(5)

(6)

將(6)代入(4)得(7)

將(7)代入(3)得(4.2－1)這就是所求的錐面，稱為為二次錐面.二次錐面的方程(4.2－1)所表示的圖形，當(dāng)a = b時就是我們熟悉的圓錐面.例2 已知一圓錐面的頂點為A(1，2，3)，軸l垂直于平面30°的角，試求該圓錐面的方程.解 設(shè)，母線與軸l組成為所求曲面S的任一母線上的任一點，則過M的母線的方向向量為

n = {2，2，－1}.由題，圓錐的軸線的方向向量即為平面根據(jù)題意v和n的夾角是30°或150°，故有

即 化簡整理得圓錐面的方程是

這是一個關(guān)于x－1，y－2，z－3的二次齊次方程.此結(jié)果也是對定理4.2.1的推論的一個直接驗證.因圓錐面是一種特殊的錐面，上面的解法是一種適合于圓錐面的特殊方法.我們當(dāng)然可以先求出圓錐面的準(zhǔn)線，再利用頂點與準(zhǔn)線求出該圓錐面的方程.§4.3 旋轉(zhuǎn)曲面

1．一般的旋轉(zhuǎn)曲面方程 定義4.3.1 在空間，一條曲線 繞一定直線l旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的曲面S叫做旋轉(zhuǎn)曲面（或回轉(zhuǎn)曲面）.叫做S的母線，l稱為S的的旋轉(zhuǎn)軸，簡稱為軸.設(shè)為旋轉(zhuǎn)曲面S的母線上的任一點，在 繞軸l旋轉(zhuǎn)時，也繞l旋轉(zhuǎn)而形成一個圓，稱其為S的緯圓、緯線或平行圓.以l為邊界的半平面與S的交線稱為S的經(jīng)線.S的緯圓實際上是過母線 上的點且垂直于軸l的平面與S的交線.S的所有緯圓構(gòu)成整個S.S的所有經(jīng)線的形狀相同，且都可以作為S的母線，而母線不一定是經(jīng)線.這里因為母線不一定為平面曲線，而經(jīng)線為平面曲線.在直角坐標(biāo)系下，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面S的母線為

：旋轉(zhuǎn)軸為

(1)

l這里為l上一點，X，Y，Z為l的方向數(shù).(2)

設(shè)M1(x1，y1，z1)為母線 上的任意點，過M1的緯圓總可看成過中心，(3)

為半徑的球面的交線.故過M1的緯圓的方程為

且垂直于軸l的平面與以P0為

(4)

當(dāng)M1跑遍整個母線時，就得出旋轉(zhuǎn)曲面的所有緯圓，所求的旋轉(zhuǎn)曲面就可以看成是由這些緯圓構(gòu)成的.由于M1(x1，y1，z1)在母線 上，有

(5)

從（3）、（4）、（5）4個等式消去參數(shù)x1，y1，z1得一個方程

F(x，y，z)= 0

即為S的方程.例1 求直線 ：繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面S的方程.解 設(shè)M1(x1，y1，z1)為母線 上的任一點，因旋轉(zhuǎn)軸過原點，過M1的緯圓方程為

(7)

第三篇：平面解析幾何

? 《“平面解析幾何”復(fù)習(xí)教學(xué)的目標(biāo)與設(shè)計》的學(xué)習(xí)心得體會

本人學(xué)習(xí)了《“平面解析幾何”復(fù)習(xí)教學(xué)的目標(biāo)與設(shè)計》的視頻，感觸很深。授課老師能深入淺出的分析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)高三復(fù)習(xí)的方法及注意點，并對相關(guān)知識的專題內(nèi)容進(jìn)行分析，并對體系進(jìn)行很好整理。在培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)意識、掌握函數(shù)的思維方法、學(xué)會運用函數(shù)思想解決問題方面提出見解。對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題蘊含的核心觀點、思想和方法進(jìn)行剖析。通過學(xué)習(xí)，我認(rèn)為在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要努力做好如下幾方面的工作。

? ?

一、《解析幾何》的教育價值

隨著時代的發(fā)展，人們對數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育本質(zhì)的認(rèn)識在不斷地發(fā)展、變化與更新，數(shù)學(xué)已經(jīng)從單純的工具演變提升為所有公民所必備的一種精神、一種文化、一種觀念、一種思維方式，因此數(shù)學(xué)教育純粹向?qū)W生傳授知識和解題方法的單一化目標(biāo)正在被包含“文理融合，德智兼顧，完善人格，提高素養(yǎng)”在內(nèi)的多元化、立體化目標(biāo)所取代.《解析幾何》正是在這些方面顯示出非凡的教育價值.? 美國應(yīng)用數(shù)學(xué)家M·克萊因在他的名著《西方文化中的數(shù)學(xué)》中指出：“數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神.正是這種精神，激發(fā)、促進(jìn)、鼓舞并驅(qū)使人類的思維得以運用到最完善的程度，也正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會生活；試圖回答人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識的最深刻和最完美的內(nèi)涵.”

? 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》[1]在開頭也明確指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分”，“高中數(shù)學(xué)課程對于認(rèn)識數(shù)學(xué)與自然界、數(shù)學(xué)與人類社會的關(guān)系，認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、文化價值，提高提出問題、分析問題、解決問題的能力，形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新意識具有基礎(chǔ)性的作用.”

? 提到數(shù)學(xué)的理性精神，不能不說說愛因斯坦震撼人心的論述：“為什么數(shù)學(xué)比其它一切科學(xué)更受到特殊的重視？一個理由是，它的命題是絕對可靠和無可爭議的，而其它一切科學(xué)的命題在某種程度上都是可爭辯的，并且經(jīng)常處于被新發(fā)現(xiàn)的事物推翻的危險之中.”《解析幾何》的所有命題就具有“連上帝”都認(rèn)為“絕對可靠”與“無可爭議”的理性特征.? 世界文明全方位的進(jìn)步越來越離不開數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)技術(shù)與數(shù)學(xué)思維.不僅自然科學(xué)與技術(shù)依靠著數(shù)學(xué)，就是社會人文科學(xué)也大量應(yīng)用著數(shù)學(xué)的理念、方法與思維方式.正如日本著名學(xué)者、數(shù)學(xué)教育家米山國藏所說：“我搞了多年的數(shù)學(xué)教育，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們在初中、高中接受的數(shù)學(xué)知識因畢業(yè)進(jìn)入社會后，幾乎沒有什么機會應(yīng)用這些作為知識的數(shù)學(xué)，通常是出校門不到

一、兩年就很快忘掉了.然而，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，惟有深深銘刻于腦中的數(shù)學(xué)精神，數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法和著眼點等，都隨時隨地發(fā)生作用，使他們終生受益.”精辟深邃的見解在《解析幾何》中得到淋漓盡致的體現(xiàn).? 文[2]說：“數(shù)學(xué)在人類文明史中一直是一種主要的文化力量.?人類歷史上每一個重大事件的背后都有數(shù)學(xué)的身影：哥白尼的日心說，牛頓的萬有引力定律，無線電波的發(fā)現(xiàn)，三權(quán)分立的政治結(jié)構(gòu)，?等都與數(shù)學(xué)思想有密切的聯(lián)系.” ? 十六、七世紀(jì)，許多數(shù)學(xué)家在思考，能否找到一種可以解決所有數(shù)學(xué)問題的統(tǒng)一方法.雖然許多數(shù)學(xué)家沒有獲得成功，但在長期思索、探尋的過程中孕育著一項超越前人的，數(shù)學(xué)發(fā)展史，乃至科學(xué)發(fā)展史上劃時代、里程碑式的偉大成果，這就是法國數(shù)學(xué)家笛卡兒創(chuàng)立的《解析幾何》.? 笛卡兒長期思考用代數(shù)方法來研究幾何問題.1619年11月10日傍晚，他在朦朧中觀察蜘蛛在墻角結(jié)網(wǎng)，那縱橫交錯的蛛絲網(wǎng)絡(luò)引發(fā)了他的靈感，那不正是“用代數(shù)方法來研究幾何問題”的絕佳工具嗎？基于此種構(gòu)想，平面直角坐標(biāo)系以及解決幾何圖形問題的坐標(biāo)法、解析法應(yīng)運而生，“數(shù)”和“形”神奇地結(jié)合了起來，函數(shù)、方程實現(xiàn)了視覺化、形象化；曲線與幾何圖形實現(xiàn)了數(shù)量化.點、線和曲線的運動與數(shù)量變化融為一體，并達(dá)到完美的境界，“動”與“靜”的辨證關(guān)系被刻畫得惟妙惟肖.對此，恩格斯給予了極高的評價：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分立刻成為必要的了.”[3]

? 有了平面直角坐標(biāo)系，在函數(shù)的研究中可充分發(fā)揮其圖像的優(yōu)勢，在方程的研究中又可發(fā)揮對應(yīng)圖形的優(yōu)勢，真是數(shù)形結(jié)合，優(yōu)勢互補，如虎添翼、相得益彰.有了平面直角坐標(biāo)系，可以將復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)表示在平面內(nèi)，構(gòu)建出復(fù)平面，使復(fù)數(shù)的研究逐步提升能到一個前所未有的高度.有了平面直角坐標(biāo)系，隨著函數(shù)研究的逐步深入，發(fā)明了導(dǎo)數(shù)，于是推動現(xiàn)代化科學(xué)技術(shù)發(fā)展的微、積分誕生了.有了平面直角坐標(biāo)系，人們又將平面向量表示成坐標(biāo)(x，y)，那么平面向量的所有運算都可以實現(xiàn)坐標(biāo)化，使有關(guān)問題的解決變得更加簡捷流暢，這是向量研究的重大突破.平面直角坐標(biāo)系又發(fā)展到空間直角坐標(biāo)系，于是誕生了空間向量、空間解析幾何.完全可以說，對大到宇宙天體中各種星球的運行，小到物質(zhì)的分子原子的結(jié)構(gòu)以及電子運動的研究，都可以歸結(jié)為對函數(shù)及其圖像、曲線及其方程的研究，都是以坐標(biāo)系為重要工具，都與《解析幾何》結(jié)下了不解之緣.下面的框圖以濃縮的方式揭示的就是源于坐標(biāo)系而發(fā)展成的“一棵參天大樹”.? ? ? ?

? 進(jìn)入高中的學(xué)生，隨著知識、技能、思想和閱歷的逐漸豐富，思維水平的長足提升，審美意識的開始樹立，辨證唯物主義世界觀的逐步形成，將實現(xiàn)從幼稚蒙昧的少年“破繭化蛹成蝶”的巨變，在學(xué)生整個人生發(fā)展的這個非常關(guān)鍵的時期，《解析幾何》的教學(xué)正是促進(jìn)學(xué)生這種巨變的重要推動力.? 數(shù)學(xué)思維是人的綜合素質(zhì)中最重要的組成部分，廣闊性、深刻性、敏捷性、縝密性、創(chuàng)造性、批判性等數(shù)學(xué)思維的各種特性在《解析幾何》中都有極為豐富的背景內(nèi)容.從《解析幾何》中提煉出的各種數(shù)學(xué)思想可在極大的程度上豐富學(xué)生的大腦.從《解析幾何》中反映出的數(shù)學(xué)美是隨處可見的，問題是要能去發(fā)現(xiàn)、揭示和欣賞，并用這種美激發(fā)興趣，引發(fā)思維的創(chuàng)造.數(shù)學(xué)中充滿辨證法，對立統(tǒng)一的法則、矛盾的普遍性與特殊性、偶然性與必然性、矛盾雙方在一定條件可以互相轉(zhuǎn)化、量變到質(zhì)變等哲學(xué)基本原理，在《解析幾何》中都可以找到大量生動鮮活的實例.教師高瞻遠(yuǎn)矚、縱橫捭闔，巧妙地將這些內(nèi)容編織進(jìn)課堂教學(xué)之中，學(xué)生在感到賞心悅目、情趣盎然的同時，更會覺得自己的“思維得以運用到最完善的程度”，這是思維與各種能力趨于成熟的標(biāo)志.? ?

二、《解析幾何》的教學(xué)建議

對《解析幾何》教育、教學(xué)價值的深刻理解，可使教師形成一種高屋建瓴的磅礴氣勢，能高瞻遠(yuǎn)矚地洞悉整個教材的體系，以便將《解析幾何》當(dāng)作一部“長篇巨著”，然后再將它創(chuàng)編為一集集既相互獨立，又有內(nèi)在聯(lián)系的“電視連續(xù)劇”，設(shè)計并實施科學(xué)性與藝術(shù)性雙具的一節(jié)節(jié)教學(xué)精品，以取得最大限度的教育、教學(xué)效益.為此，提出《解析幾何》教學(xué)的一些建議.? ? 1 突出主線 副線交叉 和諧統(tǒng)一

《解析幾何》的靈魂是“解析”，即用代數(shù)方法研究幾何圖形的坐標(biāo)法，這是貫穿于《解析幾何》教學(xué)的一條主線.但這條主線又與多條副線交叉組合，構(gòu)成了和諧統(tǒng)一的有機系統(tǒng).?(1)認(rèn)識并處理好函數(shù)及其圖像與曲線及其方程的聯(lián)系與區(qū)別.雖然這兩者都是以坐標(biāo)系為紐帶，但函數(shù)y=f(x)與二元方程F(x，y)=0有著本質(zhì)的區(qū)別.直線x=a與函數(shù)y=f(x)的圖像最多只能有一個公共點，而直線x=a與方程F(x，y)=0的曲線的公共點卻可以超過一個.在一定條件下，曲線方程可以轉(zhuǎn)化為函數(shù).如由方程x2+y2=R2可解得，但這卻不能稱為函數(shù)，只有

與

? 才能稱為函數(shù).在這里，函數(shù)與方程、函數(shù)的圖像與方程的曲線實現(xiàn)了溝通.在解決有關(guān)弦長、圖形的面積、直線的斜率、離心率的問題中，常轉(zhuǎn)化為對目標(biāo)函數(shù)的求解與研究.可見函數(shù)與《解析幾何》結(jié)下了不解之緣，函數(shù)堪稱《解析幾何》中的一號副線.?(2)一般方程堪稱《解析幾何》中的二號副線.在研究曲線位置關(guān)系的問題中，常轉(zhuǎn)化為對一元二次方程的討論，判別式△的幾種情況、根與系數(shù)的關(guān)系就成了解決《解析幾何》中的“常客”.?(3)不等式堪稱《解析幾何》中的三號副線.不等式的性質(zhì)、不等式的求解、不等式的證明、均值不等式的應(yīng)用與《解析幾何》的綜合問題常處于各級各類考試試卷的把關(guān)位置.?(4)三角函數(shù)堪稱《解析幾何》中的四號副線.直線傾斜角、直線方程中x、y的系數(shù)中常含三角函數(shù)、圓的方程x2+y2=R2與橢圓方程? ?

a＞b＞0)的參數(shù)形式 等

都與三角函數(shù)有著密切的親緣關(guān)系.(5)平幾知識的頻繁介入.求動點的軌跡、解決有關(guān)圖形的問題，常與平幾圖形聯(lián)袂，“小小的”平幾知識常成為解決大問題的杠桿.直角三角形、等腰直角三角形、平行四邊形、線段的中點常在《解析幾何》問題中扮演著重要“角色”.?(6)《解析幾何》的問題常與平面向量的運算、平行、垂直、夾角等攜手組成絢麗多姿的綜合題.(7)《立體幾何》與《解析幾何》的綜合.近年來發(fā)現(xiàn)一些與《立體幾何》有關(guān)的軌跡問題，是“立體”與“解析”兩大幾何的聯(lián)手，值得關(guān)注.在高中數(shù)學(xué)的選修部分，更進(jìn)一步揭示了圓錐曲線與圓錐的淵源關(guān)系，是拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)視野、豐富數(shù)學(xué)手段、發(fā)展思維的良機.?

? ?(8)數(shù)列知識的介入.雖然這類問題不是太多，但也應(yīng)值得重視.2 重研究對象，更重數(shù)學(xué)方法

? 從對象看，《解析幾何》研究的無非是直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線，但在研究它們的各種性質(zhì)與解決有關(guān)問題的過程更要重

? ? ? ? ? 視數(shù)學(xué)方法的構(gòu)建與應(yīng)用.最重要的、處于核心位置的 數(shù)學(xué)方法當(dāng)屬坐標(biāo)法，如右面的 框圖所示.以直角坐標(biāo)系為工具，實現(xiàn)幾何條件的代數(shù)化，得到曲線(動點的軌跡)的方程，又在直角坐標(biāo)系中結(jié)合方程研究曲線的性質(zhì)，深入理解這個方法的精髓，所有研究對象的性質(zhì)將成為顯然的幾何事實，記憶、掌握與運用就變得十分自然、順暢.? 以坐標(biāo)法為樞紐，還要輔以若干重要的支線，總結(jié)一些另外的典型方法也是十分必要的.?(1)設(shè)直線l：y=kx+b與曲線 C：F(x，y)=0，常消去y，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，那么研究直線l與曲線C的位置關(guān)系就轉(zhuǎn)化為對這個方程的解的研究.當(dāng)△＞0時，直線l與曲線C有不同的兩個交點A(x1，y1)、B(x2，y2)，則|AB|=

.特別地，當(dāng)k=1時，|AB|=，? =圖形中出現(xiàn)了等腰直角三角形.? 這就是著名的弦長公式，給長度、面積、最值，特別是求范圍等問題的解決提供了方便.但思維不可僵化，有時直線l的方程也可設(shè)為x=my+a，則可巧妙地避免對直線的斜率是否存在的繁瑣討論，當(dāng)然這時的弦長公式就變?yōu)閨AB|=

.?

? 類似的結(jié)論固然須牢固掌握，但更重要的是要帶領(lǐng)學(xué)生一起來追尋它們形成的“歷史足跡”，重視與突出其推導(dǎo)過程.(2)增強應(yīng)用圓錐曲線定義的意識.現(xiàn)以橢圓為例.在坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點F1(-c，0)、F2(c，0)，若動點M(x，y)滿足|MF|+|MF|=2a(a＞c＞0)① ? ?

? 經(jīng)代數(shù)化，得 ②

? 則可化得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.? ? 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又可變形為在將②式化為標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，有一個過度式

③，?

? ? 進(jìn)而可化為 ④

結(jié)合圖1，那么①②兩式以不同的形式展示了橢圓的第一定義，④ ? 式展示的是橢圓的第二定義，③式即，展示的是橢圓

? 的另一定義，不妨稱之為橢圓的第三定義.由④式還可得|MF2|=a-ex，其中

? 的就是橢圓的離心率.這樣就將橢圓的三個定義與橢圓的準(zhǔn)線、離心

? 率、橢圓的焦半徑公式融為一體，組成一個完整的知識體系.不過，在③式中，由于x≠±a，所以必須增補點(a，0)與(-a，0)，才能得到一個完整的橢圓.?(3)“將幾何條件代數(shù)化”當(dāng)然是求動點軌跡的最重要的基本方法，但此外還要總結(jié)另外一些典型的方法，如定義法、參數(shù)法、反代法.現(xiàn)僅以反代法為例，闡述其基本形式.? 設(shè)已知曲線C：F(x，y)=0上的一動點P(x0，y0)，Q(x，y)是與P相關(guān)的動點，則求點Q的軌跡方程按以下步驟進(jìn)行：

? 1o正代：由已知得F(x0，y0)=0 ①

?o

求相關(guān)

條件方程組：由P與Q的相關(guān)條件得

?

?

? 3o求反代式：由上述方程組解得用x、y表示x0、y0的反代式 ?

? 4o反代置換：將反代式代入①式，即得Q點的軌跡方程F(h1(x，y)，s1(x，y))=0.?(4)曲線的切線越來越受到重視.圓的切線自不必說，其他曲線的切線，一方面可用上面(1)所說的△=0來解決，但更值得關(guān)注的是有關(guān)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的切線的問題，常用導(dǎo)數(shù)方法來解決.?(5)一個典型奇特的方法，即同構(gòu)式的應(yīng)用.限于篇幅，這里僅舉一例.? A、B是拋物線y=x2的上的兩個動的動點，O是原點，若OA⊥OB，過O作OH⊥AB于H，求H點的軌跡方程.? ? ? ? ? 設(shè)A(t1，)、B(t2，)，由OA⊥OB易得t1t2=-1 ①

.②

③ 以O(shè)A為直徑的圓的方程是化為

同理，由以O(shè)B為直徑的圓的方程，得②③兩式中，只是t的下標(biāo)數(shù)字不同，其余的結(jié)構(gòu)完全相同，兩式一“碰撞”，下標(biāo)消失，得

? ?

④

則t1、t2是關(guān)于t的方程④的兩根，所以t1t2=-(x2+y2)，結(jié)合①式，立即得x2+y2=1(x≠0).這就是欲求的H點的軌跡方程.②③兩式叫做同構(gòu)式，從初中到高中，無數(shù)問題的解答都可以仰仗同構(gòu)式的奇特功能.這里展示的是同構(gòu)式的最單純的形式，當(dāng)然還有許多變化，但再復(fù)雜的相關(guān)問題其基本原理與之是一致的.? ?

? ? 3 體現(xiàn)學(xué)生的“四個主體”

“四個主體”指的是樹立學(xué)生的主體精神，強化學(xué)生的主體意識，確立學(xué)生的主體地位，發(fā)揮學(xué)生的主體作用.弘揚學(xué)生的“四個主體”，但決不意味著削弱教師的主導(dǎo)作用，反而對教師的主導(dǎo)作用提出了更高層次的要求.僅舉一個課例：《直線的傾斜角和斜率》.? 在講授選擇傾斜角的什么三角函數(shù)值為直線的斜率時，學(xué)生會質(zhì)疑，為什么不選正弦或余弦，而偏要選正切？教師不可用“這是規(guī)定”來搪塞，而要發(fā)動學(xué)生進(jìn)行深入的討論、爭辯，教師以平等的身份參與其中，用詼諧幽默的語言進(jìn)行點撥、啟發(fā)、誘導(dǎo)和評析.? 直線傾斜角的取值范圍是，現(xiàn)在分別畫出y=sinx、y=cosx、y=tanx在區(qū)間上的圖像(如圖2、3、4)，讓它們來個“公開、公平、公正、透明的競聘”，看到底哪個函數(shù)能“勝出”.? ? y=sinx在區(qū)間上的值都是非負(fù)的，且對于不同的角，可能有相同的函數(shù)值，它失去了“當(dāng)選”的資格；y=cosx在區(qū)間上的值域為-1，1]，且=0，而當(dāng)傾斜角為時，直線垂直于x軸，此時說“直線的斜率為0”，不合情理，它也不具備“勝出”的條件；可是y=tan在與上分別是增函數(shù)，對應(yīng)于直線斜率從負(fù)無窮逐漸增大到0；從0逐漸增大到正無窮，而當(dāng)垂直于x軸，tan情合理地認(rèn)定tan? ?

時，直線

不存在，即直線的斜率不存在，直線就一點也不傾斜了，多么自為直線的斜率.然與和諧！學(xué)生哈哈大笑，在笑聲中領(lǐng)悟了多方面知識的實質(zhì)，并達(dá)成了共識，合4 優(yōu)化思維品質(zhì)是教學(xué)的核心內(nèi)容

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)就是優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，所有知識、技能、思想的理解、接受、掌握與運用都有著思維活動的深刻與豐富的背景，所以在《解析幾何》教學(xué)的始終都要將這個重要目標(biāo)放在首位.? 前文中的所有框圖雖然不必向?qū)W生講述，但只有當(dāng)教師深刻理解后才能做到“底氣足”、理直氣壯.選擇傾斜角的正切函數(shù)作為直線的斜率涉及覆蓋了眾多的知識與技能.體現(xiàn)的是思維廣闊性.? 關(guān)于橢圓的三個定義的討論，將原本似乎彼此無關(guān)的內(nèi)容納入到一個體系之中，反映的是思維的深刻性.在不同的問情境中迅速識別、判斷與檢索，如應(yīng)用反代法、同構(gòu)式，是思維敏捷性的體現(xiàn).在求動點軌跡方程時，需要去掉那些點，補上哪些點，以保證軌跡與方程的完備性與純粹性，反映的是思維的縝密性.直線方程設(shè)為x=my+a、由方程②③判斷t1、t2是關(guān)于t的方程④的兩根，不拘一格、別出心裁，顯示的是思維的創(chuàng)造性.檢驗軌跡和方程是否保證完備性與純粹性、拋物線等圓錐曲線的定義中的“定點”必須在“定直線外”、橢圓定義中的“定長”必須“大于|F1F1|”等，顯示的都是思維的批判性.?

?

?

?

? ? 5 用數(shù)學(xué)的人文精神關(guān)懷學(xué)生的人文發(fā)展

數(shù)學(xué)雖然是理科，但其中飽含的人文精神對于學(xué)生綜合素養(yǎng)的提高起著舉足輕重的作用.關(guān)鍵是要做到有機結(jié)合、潛移默化、潤物無聲.前文談到笛卡兒創(chuàng)立了《解析幾何》，竟將時間精確到年、月、日與“傍晚”時刻，使這個故事更具震撼力與穿透力.教師還可“借題發(fā)揮”：笛卡兒的創(chuàng)造看似偶然，? 但必然性包含在偶然性之中，偶然的創(chuàng)造發(fā)明是長期殫精竭慮、思索探尋的必然結(jié)果.請問笛卡兒是在多大歲數(shù)時作出了這項創(chuàng)造？學(xué)生會回應(yīng)：23歲！那么“有志不在年高，無志空長百歲”的箴言則躍然紙上.? 恩格斯說：“數(shù)學(xué)中充滿辨證法.”又說：“數(shù)學(xué)：辨證的輔助工具和表現(xiàn)形式.”[4]，所以文[1]規(guī)定了高中數(shù)學(xué)教育的一項重要目標(biāo)，那就是樹立學(xué)生的“辯證唯物主義的世界觀.”

? “學(xué)生聽不懂所講解的辯證法”，這種擔(dān)心是多余的，只要你理解透徹了，結(jié)合具體鮮活形象的事例，運用通俗淺顯的語言，學(xué)生是能領(lǐng)會的.如直線l：y=kx+b，若k是變量，b是常量，則直線l就在平面內(nèi)圍繞點(0，1)作旋轉(zhuǎn)運動；若b是變量，k是常量，則直線l就在平面內(nèi)作斜率為定值的平行移動.這種“動中寓靜，變中求定”的特征就是對立統(tǒng)一法則的生動體現(xiàn).? 再如“量變到質(zhì)變”的基本原理，在《解析幾何》中可找到無數(shù)生動的事例.點與直線的位置關(guān)系、點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、兩圓的位置關(guān)系、曲線與曲

? ? 線的位置關(guān)系，都能深入淺出地揭示這一原理.再如圖5，設(shè)平面內(nèi)的一 條定直線l以及l(fā)外的一個定點F，平面內(nèi)的動點P、Q、R到直線l的距

? 離分別為PN、QN、RN，若，則P點的軌跡是橢圓；若1，? ? 則Q點的軌跡是拋物線；若，則R點的軌跡是雙曲線.量的不斷

積累，超越一定的界值，就會發(fā)生質(zhì)的變化，或說飛躍，淺顯之中反映的是深刻的道理，且能引發(fā)諸多聯(lián)想.另外，數(shù)學(xué)美對于情操的熏陶、數(shù)學(xué)美對于創(chuàng)造思維的誘發(fā)、優(yōu)良的意志品質(zhì)在解決問題過程的巨大作用、對科學(xué)真理不懈的追求與舍命的堅持、為全球人類造福的獻(xiàn)身精神，都可以巧妙地融入《解析幾何》的教學(xué)之中.?

? 行文至此，深深地感到，通過《解析幾何》的教學(xué)，可實現(xiàn)師生的互惠雙贏。

第四篇：《解析幾何》講稿

第一章 矢量與坐標(biāo)

教學(xué)目的

1、理解矢量的有關(guān)概念，掌握矢量線性運算的法則及其運算性質(zhì);

2、理解矢量的乘法運算的意義，熟悉它們的幾何性質(zhì)，并掌握它們的運算規(guī)律;

3、利用矢量建立坐標(biāo)系概念，并給出矢量線性運算和乘法運算的坐標(biāo)表示;

4、能熟練地進(jìn)行矢量的各種運算，并能利用矢量來解決一些幾何問題。

教學(xué)重點 矢量的概念和矢量的數(shù)性積，矢性積，混合積。教學(xué)難點 矢量數(shù)性積，矢性積與混合積的幾何意義。

參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 10

§1.1

矢量的概念

教學(xué)目的

1、理解矢量的有關(guān)概念;

2、掌握矢量間的關(guān)系。教學(xué)重點 矢量的兩個要素：摸與方向。教學(xué)難點 矢量的相等 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時 2

§1.1 矢量的概念

一、有關(guān)概念

1.矢量

既有大小又有方向的量叫做矢量，或稱為向量，簡稱矢.而只有大小的量叫做數(shù)量，或稱為標(biāo)量.2.矢量的表示

用有向線段來表示矢量，有向線段的始點與終點分別叫做矢量的始點與終點，有向線段的方向表示矢量的方向，有向線段的長度代表矢量的大小.用3.矢量的模

矢量的大小稱為矢量的模，亦稱長度.用|

二、特殊矢量

1.零矢：模為零，方向不定.2.單位矢 ：模為1，與矢量方向相同.， ,? 或黑體字a, x,? 來記矢量.|，||，||，|a|，|x| , ? 來表示.三、矢量間的關(guān)系

1.平行矢：,所在直線平行,記作 //.2.相等矢：模相等，方向相同.3.自由矢：始點任意，只由模與方向確定的矢量.4.相反矢：模相等，方向相反.5.共線矢：平行于同一直線的一組矢量.6.共面矢：平行于同一平面的一組矢量.7.固定矢量: 在解析幾何的大多數(shù)問題里，只有矢量的長度和方向發(fā)揮主要作用，而與它的起點無關(guān)，即為自由矢量.在個別情形下，有時我們只把有同一起點且相等的矢量才看作相等矢量，亦即兩矢量完全重合時才看作相等，這樣規(guī)定的矢量叫做固定矢量.需要注意，在應(yīng)用科學(xué)中起點位置不同，所產(chǎn)生的作用也會不同，如圖1-1，同樣的力由于

作用點M1和M2的不同，效果也會不同.例1.設(shè)在平面上給了一個四邊形ABCD，點K、L、M、N分別是邊ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中點，求證：＝.當(dāng)ABCD是空間四邊形時，這等式是否也成立？

證明：如圖1-2，連結(jié)AC, 則在?BAC中，KL向相同；在?DAC中，NM且

AC.與方

AC.與方向相同，從而KL＝NM與方向相同，所以＝.由于上述證明不受ABCD是平面四邊形或空間四邊形的影響，即證明過程中并未用到ABCD必須是平面四邊形的限制，故等式對空間情形也成立.例2.回答下列問題：

(1)若矢量//，//,則是否有//？(2)若矢量，共面，，也共面，則，是否也共面？

(3)若矢量，中//，則，是否共面？(4)若矢量，共線，在什么條件下，也共線？

解：(1)由//可知，,所在直線相互平行，同理,所在直線相互平行，從而,所在直線相互平行，從而有//；

(2)，不一定共面.只有當(dāng)，，,不共面； ,五矢量全部在同一平面上時，共面，否則(3)//，二矢量必共面，從而，必共面；(4)只有當(dāng)ABDC組成平行四邊形，即

作業(yè)題：

＝

時,才共線.1.設(shè)點O是正六邊形ABCDEF的中心，在矢量、、、、、、、、、和中，哪些矢量是相等的？、2.如圖1-3，設(shè)ABCD-EFGH是一個平行六面體，在下列各對矢量中，找出相等的矢量和互為相反矢量的矢量：

(1)、;、(2)、、;

(3);

(4)、.;

(5)矢量的線性運算(§1.2 矢量的加法、§1.3 矢量的數(shù)乘)教學(xué)目的

1、掌握矢量加法的兩個法則、數(shù)量與矢量的乘法概念及運算律;

2、能用矢量法證明有關(guān)幾何命題。

教學(xué)重點 矢量加法的平行四邊形法則、數(shù)量與矢量的乘法概念 教學(xué)難點 運算律的證明、幾何命題轉(zhuǎn)化為矢量間的關(guān)系 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時 2

§1.2 矢量的加法

一、概念

1.兩個例子

物理學(xué)中的力與位移都是矢量.兩個不共線的力作用于一點的合力，可用“平行四邊形法則”求得，如圖1-4, 兩個力、的合力，就是以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線矢量

.兩個位移的合成可以用“三角形法則”求出，如圖1-5, 連續(xù)兩次位移位移.2.矢量的加法法則

(1)三角形法則

設(shè)已知矢量、，以空間任意一點O為始點接連作矢量一折線OAB，從折線的端點O到另一端點B的矢量(2)平行四邊形法則

如果以兩個矢量量＝+叫做矢量與的和.、＝,＝得

與的結(jié)果, 相當(dāng)于

＝，叫做兩矢量與的和，記做＝+.為鄰邊組成一個平行四邊形OACB，那么對角線矢

二、性質(zhì)

1.運算規(guī)律

(1)交換律 +＝+;

(2)結(jié)合律(+)+＝+(+);(3)+＝;

(4)+(－)＝.2.矢量加法的多邊形法則 有限個矢量，?,相加，自任意點O開始，依次作

＝就是n個矢量

＝即

＝特別地, 當(dāng)An與O重合時，＝3.矢量減法

＝.+

+?+

.＝, ＝,?,＝，得一折線OA1A2?An，于是矢量，?， 的和

++?+(1)設(shè)矢量與的和等于矢量，即+＝，那么矢量叫做矢量與的差，記做＝－，由矢量與求它們的差－的運算叫做矢量減法.(2)減去一個矢量等于加上它的相反矢量，即有

－＝+(－)

4.三角不等式

(1)|+|?||+||, |-|?||-||;

證明：如圖1-4, |+|=||，||+|| ＝|| +||，|-|=|根據(jù)“三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”即得.第一個不等式還可以推廣到任意有限多個矢量的情況：

(2)|++?+|?|

|+|

|+?+|

|..|；

例1.從矢量方程組中解出矢量解：類似于二元一次方程組的解法有

例2.用矢量法證明平行四邊形對角線互相平分.證明：如圖1-6，在平行四邊形ABCD中，取BD的中點O，則 ＝＋＝＋

＝

＋|＝|

＝，所以A, O, C三點共線，且|作業(yè)題：

|，從而平行四邊形對角線互相平分.1.設(shè)兩矢量與共線，試證+＝+.2.證明：四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件是對任一點O有+＝＋.§1.3 數(shù)量乘矢量

一、概念

1.數(shù)乘的例子

位移、力、速度與加速度等都是矢量，而時間、質(zhì)量、面積等都是數(shù)量，這些矢量與數(shù)量之間經(jīng)常會發(fā)生某些結(jié)合的關(guān)系，如公式

＝m

其中表示力，表示加速度，m表示質(zhì)量；再如公式

＝t

其中表示位移，表示速度，t表示時間.2.數(shù)乘的定義

實數(shù)?與矢量的乘積是一個矢量，記做?，它的模|?|＝|?|||；?的方向，當(dāng)?>0時與相同，當(dāng)?<0時與相反.?＝的充要條件是?＝0或＝

.設(shè)≠，則＝||

二、性質(zhì) 1.運算規(guī)律(1)

1?＝.或＝

.(2)結(jié)合律

?(?)＝(??).(3)第一分配律(?+?)＝?+?.(4)第二分配律

?(+)＝?+?.證明：（1）由數(shù)乘定義，顯然成立.（2）當(dāng)＝或?，?中至少有一個為0時，顯然成立；當(dāng)≠，??≠0時，(?+?)與?+?的模都等于|?|||||，而它們的方向，當(dāng)?與?同號時，都與同方向，當(dāng)?與?異號時，都與反方向，即(?+?)與?+?的方向相同，所以有

(?+?)＝?+?.（3）如果＝或?，?及?+?中至少有一個為0，等式顯然成立.因此只須證明當(dāng)≠，??≠0，(?+?)≠0的情形：（?。┤绻??＞0，顯然(?+?)與?+?同向，且

∣(?+?)|＝| ?+? | ||=（| ? |+| ? |）||=|? | ||+|? | ||=| ? |+| ? |=|?+?|，所以(?+?)＝?+?.（ⅱ）如果??＜0，不妨設(shè)?＞0，?＜0；再看 ?+?＞0，?+?＜0 的兩種情形.下面只證明前一種情形，后一種情形同理可證.現(xiàn)假定?＞0，?＜0，?+?＞0.這時有（－?）（?+?）＞0，根據(jù)（?。┑?/p>

(?+?)+(－?)＝﹝(?+?)+(－?)﹞＝?，所以

(?+?)＝－(－?)＝?+?.（4）當(dāng)?=0或，中至少有一個為時，顯然成立；因此只須證明當(dāng)≠，≠，?≠0的情形：（?。┤绻?，共線，取m=此有

（，同向）或m=－

（，反向），則=m,因

?(+)＝?(m+)＝?﹝(m+1)﹞=(?m+?)=(?m)+ ?=?(m)+?=?+?.（ⅱ）如果，不共線，根據(jù)矢量加法的三角形法則即可證明?(+)＝?+?.2.由矢量的加法與數(shù)乘矢量的運算規(guī)律可知，對于矢量也可以像實數(shù)及多項式那樣去運算，例如

5(+2)－2(2－)＝5+10－4+2＝+1

2.3.由前節(jié)和本節(jié)，我們對矢量定義了兩種運算：+和m(m?R)，這兩種運算滿足： I-1.+＝+，I-2.(+)+＝+(+)，I-3.存在一個零矢量，滿足+＝，I-4.每一個矢量都有相反矢量(－)，使+(－)＝;II-1.1＝, II-2.m(n)＝(mn), II-3.(m+n)＝m+n, II-4.m(+)＝m+m.如果僅從運算法則著眼，而不考慮矢量的具體含義，則凡是具有兩種運算加法和數(shù)乘，并滿足上述一系列運算規(guī)律的元素的集合，叫做實數(shù)域上的線性空間（亦稱矢量空間或向量空間）.例1.如圖1-7，設(shè)M是平行四邊形ABCD的中心，O是任意一點，證明

+分析：將證明：因為+

+

＝

4.分別看作△OAC與△OBD的中線.＝(＝+（）, +

+＝

(+

+))，所以

2所以

+++＝4.例2.設(shè)點O是平面上正多邊形A1A2?An的中心，證明:

+分析：如圖1-8，每一矢量從而求解.證明：因為

＋＋

+?+

＝.倍數(shù)，都是其相鄰兩矢量的和矢量的某一

＝?＝?, , ??

+＋

＝?＝?, ，所以

2(＝?(+++?++?+))，所以

(?－2)(++?+)＝.顯然

?≠2, 即 ?－2≠0.所以

作業(yè)題： ++?+

＝.可以構(gòu)1.設(shè)L、M、N分別是ΔABC的三邊BC、CA、AB的中點，證明：三中線矢量成一個三角形.2.設(shè)L、M、N是△ABC的三邊的中點，O是任意一點，證明

+=++.3.用矢量法證明，四面體對棱中點的連線相交于一點且互相平分., , §1.4 矢量的線性關(guān)系與矢量的分解

教學(xué)目的

1、理解矢量在直線和平面及空間的分解定理；

2、掌握矢量間的線性相關(guān)性及判斷方法。教學(xué)重點 矢量的三個分解定理及線性相關(guān)的判斷。教學(xué)難點 分解定理的證明 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 2

§1.4 矢量的線性關(guān)系與矢量的分解

一、矢量的分解

1.線性運算: 矢量的加法和數(shù)與矢量的乘法統(tǒng)稱為矢量的線性運算.2.線性組合: 由矢量做矢量，?，,?,與數(shù)量?1，?2，?，?n所組成的矢量＝?

1，?,+?

2+?+?n叫的線性組合.我們也說矢量可以用矢量線性表示，或者說，矢量可以分解成矢量，?,的線性組合.3.矢量在直線上的分解：

定理1 如果矢量?，那么矢量與矢量共線的充要條件是可以用矢量線性表示，或者說是的線性組合，即＝x，且系數(shù)x被，唯一確定.稱為用線性組合來表示共線矢量的基底.證明 如果 ＝x成立，那么由數(shù)乘矢量的定義立刻知與共線.反過來，如果與非零矢量共線，那么一定存在實數(shù)x，使得＝x.顯然，如果＝，那么＝0，即x=0.x的唯一性：如果＝x＝，而?，所以 x＝.4.矢量在平面上的分解： 定理2 如果矢量,，那么（x－＝

不共線，那么矢量與, ，共面的充要條件是可以用矢量

+y，且系數(shù)x, y被, ，線性唯一表示，或者說矢量可以分解成矢量確定., 的線性組合，即＝x, 稱為平面上矢量的基底., 證明 因為矢量么根據(jù)定理1有＝x始點O，并設(shè)交于A，B.因為則得

=+不共線，所以+y?，?.設(shè)與，共面，如果與(或)共線，那，其中y =0(或x=0)；如果與＝，都不共線，則把它們歸結(jié)到共同的=，∥,（i=1，2），那么過的終點分別作OE2，OE1的平行線依次與OE1，OE2∥,那么根據(jù)定理1可設(shè)

= x，＝y(tǒng)，根據(jù)平行四邊形法，即

＝x 反過來，設(shè)＝x如果xy≠0，那么x面.最后證明x, y被∥+y, y+y.(或，y)共線，則與,，如果x, y 有一個是零，那么與∥,根據(jù)平行四邊形法則得與 x共面.，共面，因此與共, ，唯一確定.假設(shè)

＝x+y=

+ ，)

＝（y－）

＝, 那么

(x－如果x≠，那么

=－,即 ∥, 這與定理條件矛盾，所以x=

5.矢量在空間的分解： 定理3 如果矢量, ，.同理y =,因此x, y被唯一確定.不共面，那么空間任意矢量可以由矢量的線性組合，即＝x+y+z, ，線性表示，或者, , 說矢量可以分解成矢量唯一確定., , , ,，且系數(shù)x, y, z被, 稱為空間矢量的基底., , 證明

因為矢量如果與,，不共面，所以，≠（i=1，2，3），且被此不共線.(，之中的兩個矢量

+y或

+0，)共面，那么根據(jù)定理2有

+z或＝0

+y+z).=，＝x如果與＝,，+0(＝x之中的任意兩個矢量都不共面，則把它們歸結(jié)到共同的始點O，并設(shè)（i=1，2，3），那么過的終點分別作三個平面分別與平面OE2E3，OE3E1，OE1E2平行，且分別與直、+、，為三棱，=為對角線的平行線OE1，OE2，OE3相交于A，B，C三點，從而作成了以六面體，于是得到：

=由定理1可設(shè)= x，= y，= z＝x下面證明x, y, z被, ，+，所以 +y+z., 唯一確定.假設(shè) ＝x+y+z＝

+

+)

，＝（y－）＝(z－)那么

(x－＝，如果

x≠，那么

，＝－＝－有定理2可知因此x, y, z被

1.定義 , , 共面，這與定理條件矛盾，所以x=，.同理，y=，z=., , 唯一確定.二、矢量的線性關(guān)系

對于n(n?1)個矢量, , ?,，如果存在不全為零的n個數(shù)?1, ?2，?, ?n, 使得 ?

1+?2+?+?n，=, , ?，線性無關(guān)是指，只有當(dāng)?1＝?2＝?那么n個矢量, , ?, ＝?n＝0時，上式才成立.2.判斷方法

叫做線性相關(guān).矢量推論1 一個矢量線性相關(guān)的充要條件是=.證明：由矢量線性相關(guān)的定義即得.定理4 矢量組合.證明：設(shè), , , ?，(n?2)線性相關(guān)的充要條件是其中有一個矢量是其余矢量的線性

+?

2+?+?n，即

=,且?1, ?2，?, ?n 不全為零，不, ?, =－

線性相關(guān)，則?1－，－?－, ?, 妨設(shè)?n ≠0，那么是其余矢量的線性組合.是其余矢量的線性組合，即 , , ?, 反過來，設(shè)n個矢量=?1+?2+?+?n-1，即?1

中有一個矢量，不妨設(shè)

+?2+?+(－1)=,且?1, ?2，?,(－1)不全為零,因此線性相關(guān).定理5 如果一組矢量中的一部分矢量線性相關(guān)，那么這一組矢量就線性相關(guān).證明：設(shè)一組矢量, , ?,，?,(s?r)中，有一部分矢量那么存在不全為零的n個數(shù)?1, ?2，?, ?s, 使得

?1, , ?, 線性相關(guān)，+?2+0

+?+?s+?+?r=，=,且?1, ?2，?, ?s不全為零.即

?1+?2+?+?s所以這一組矢量, , ?,，?, 線性相關(guān).推論2 一組矢量中如果含有零矢量，那么這組矢量必線性相關(guān).證明：由推論1和定理5即得.根據(jù)矢量的分解定理和線性相關(guān)概念，可得如下定理： 定理6 兩矢量共線的充要條件是它們線性相關(guān).定理7 三矢量共面的充要條件是它們線性相關(guān).定理8 空間任何四個矢量總是線性相關(guān).推論3 空間四個以上矢量總是線性相關(guān).證明：由定理5和定理8即得.例1.設(shè)一直線上三點A, B, P滿足＝

證明：如圖1-11，因為

＝?(??－1),O是空間任意一點，求證： ＝＝所以

(1+?)所以 －－－＝＝, , ＝?(+?.＝，＝，AT是角A的平分線（它與BC交于T點），試將

分－), ，例2.在△ABC中，設(shè)解為,的線性組合.分析：如圖1-12，利用三角形的角平分線定理.解：因為 且 與＝，方向相同，所以 ＝由上題結(jié)論有.＝＝.+

+

＝

.例3.用矢量法證明：P是△ABC重心的充要條件是分析：如圖1-13，利用三角形重心的性質(zhì).證明：)若P為△ABC的重心，則

＝2+＋＝+，從而

+

－

=,即

=.)若+＋=, 則

＝－

＝，+取E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，CA之中點，則有

＝，(＝2

+)..故P為△ABC的重心.+2，＝－

3+12

＋11

共面，其從而 ＝2.同理可證

+3

＝2+2例4.證明三個矢量＝－, ＝4－6中能否用,線性表示？如能表示，寫出線性表示關(guān)系式.證明：題中的矢量?(－或(－?+4?－3v)由于, , , +3, +2

不共面，即它們線性無關(guān).考慮表達(dá)式

?+?+v＝，即)+?（4－6

+2)+v(－3

＝.+12

＋11)＝，+(3?－6?＋12v)+(2?+2?＋11v)線性無關(guān)，故有 解得

?＝－10，?＝－1，v＝2.由于

?＝－10?0，所以能用,線性表示

＝－例5.如圖1-14，, 三點共線的充要條件是?+?＝1.證明：有m?－1, 使－(1+m)＝但已知＝??＝

＋.＝?+?，試證A, B, C是三個兩兩不共線的矢量，且

//,)因為

A，B，C共線，從而有＝m＝m(＝＋m＋＋?.由, －，.對，＝1.)，分解的唯一性可得 ，?＝從而

?+?＝+)設(shè)?+?＝1.則有

＝?=－所以 ＋?+?(＝?(＝?＝?－－,),), ＋(1－?)從而 //.所以

A，B，C三點共線.例6.梅尼勞(MeneLaus)定理：如圖1-15，A?，B?，C?分別是△ABC三邊BC，CA，AB上的定比分點，如果它們把△ABC的邊分成定比

?＝, ?＝, v＝，那么A?，B?，C?三點共線的充要條件是??v＝－1.證明：由 ?＝可知 ＝?由第1題有 , , ?＝＝?, v＝，＝v, ，＝, ＝

＋

=?, 從而

＝v所以

＝

＝(1+?)＝v(, +, +)，＝由上題結(jié)論知三點A?，B?，C?共線的充要條件是

+化簡即得

??v＝－1.作業(yè)題：

1.在平行四邊形ABCD中，(1)設(shè)對角線＝,＝，求, ＝

.＝1，, , ,;，.，分解為,(2)設(shè)邊BC和CD的中點為M和N，且2.在△ABC中，設(shè)＝，＝

＝,求, D、E是邊BC的三等分點，將矢量的線性組合.3.用矢量法證明: 三角形三中線共點.4.設(shè)G是△ABC的重心，O是空間任意一點，試證

＝

（+).5．設(shè)＝(i＝1, 2, 3, 4)，試證P1, P2, P3, P4四點共面的充要條件是存在不全為零的實數(shù)?i(i＝1, 2, 3, 4)使

?1+?2+?3+?4=, 且.§1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)

教學(xué)目的

1、能利用矢量建立坐標(biāo)系概念；

2、理解點的坐標(biāo)及矢量分量的表示方法；

3、掌握矢量線性運算及線段定比分點的坐標(biāo)表示方法。

教學(xué)重點 標(biāo)架概念及點和矢量的坐標(biāo)表示方法 教學(xué)難點 矢量的分量 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 1

§1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)

一、空間坐標(biāo)系

1.空間中的一個定點O，連同三個不共面的有序矢量記做{O;,}.如果, , , ， ,的全體，叫做空間中的一個標(biāo)架，}叫做笛卡爾標(biāo)架；, ，, }叫做

都是單位矢量，那么{O;兩兩相互垂直的笛卡爾標(biāo)架叫做笛卡爾直角標(biāo)架，簡稱直角標(biāo)架；在一般情況下，{O;仿射標(biāo)架.2.對于標(biāo)架{O;，}，如果, ，間的相互關(guān)系和右手拇指、食指、中指相同，那么這個標(biāo)架叫做右旋標(biāo)架或稱右手標(biāo)架；如果, , 間的相互關(guān)系和左手的拇指、食指、中指相同，那么這個標(biāo)架叫做左旋標(biāo)架或稱左手標(biāo)架.如圖1-16.3.表達(dá)式＝x+y+z中的x, y, z叫做矢量關(guān)于標(biāo)架{O;記做{x, y, z}或{x, y, z}.4.對于取定了標(biāo)架{O;架{O;z).，，}的空間中任意點P，矢量，，}的分量或稱為坐標(biāo)，關(guān)于標(biāo)

叫做點P的徑矢，徑矢}的分量x, y, z叫做點P關(guān)于標(biāo)架{O;}的坐標(biāo)，記做P(x, y, z)或(x, y, 5.當(dāng)空間取定標(biāo)架{ O;, , }之后，空間全體矢量的集合或者全體點的集合與全體有序三數(shù)組x, y, z的集合具有一一對應(yīng)的關(guān)系，這種一一對應(yīng)的關(guān)系叫做空間矢量或點的一個坐標(biāo)系.空間坐標(biāo)系也常用{O;，}來表示，此時點O叫做坐標(biāo)原點，, , 都叫做坐標(biāo)矢量.6.由右(左)旋標(biāo)架決定的坐標(biāo)系叫做右(左)旋坐標(biāo)系或右(左)手坐標(biāo)系；仿射標(biāo)架、笛卡爾標(biāo)架與直角標(biāo)架所確定的坐標(biāo)系分別叫做仿射坐標(biāo)系、笛卡爾坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系.二、平面坐標(biāo)系

1.約定用{O;手直角坐標(biāo)系.}表示直角坐標(biāo)系，以后在討論空間問題時所采用的坐標(biāo)系，一般都是空間右2.過點O沿著三坐標(biāo)矢量, , 的方向引三軸Ox, Oy, Oz,可以用這三條具有公共點O的不共面的軸Ox, Oy, Oz來表示空間坐標(biāo)系，記做O—x y z，此時點O叫做空間坐標(biāo)系的原點，三條軸Ox, Oy, Oz都叫做坐標(biāo)軸，且依次叫做x軸，y軸和z軸，每兩條坐標(biāo) 軸所決定的平面叫做坐標(biāo)面，分別叫做xOy平面，yOz平面與

xOz平面.三坐標(biāo)平面把空間劃分為八個區(qū)域，每一個區(qū)域都叫做卦限.3.平面上一個定點O, 連同兩個不共線的有序矢量{O;,}，如果, 都是單位矢量，那么{O;， 的全體，叫做平面上的一個標(biāo)架，記做

與

相互垂直的笛卡爾

}叫做笛卡爾標(biāo)架；, 標(biāo)架叫做笛卡爾直角標(biāo)架，簡稱直角標(biāo)架；在一般情況下，{O;}叫做仿射標(biāo)架.4.對于標(biāo)架{O;,}，將繞O旋轉(zhuǎn)，使的方向以最近的路徑旋轉(zhuǎn)到與果旋轉(zhuǎn)方向是逆時針的，則這種標(biāo)架叫做右旋標(biāo)架或稱右手標(biāo)架；如果旋轉(zhuǎn)方 的方向相合時，如

向是順時針的，則這種標(biāo)架叫做左旋標(biāo)架或稱左手標(biāo)架.如圖1-17.5.表達(dá)式＝x或{x, y}.＋y中的x, y叫做矢量關(guān)于標(biāo)架{O;,}的平面上的任意點P，矢量，}的分量或稱為坐標(biāo)，記做{x, y}

關(guān)于標(biāo)架6.對于取定了標(biāo)架{O;{O;,叫做點P的徑矢，徑矢}的分量x, y叫做點P關(guān)于標(biāo)架{O;}的坐標(biāo)，記做P(x, y)或(x, y).7.當(dāng)平面上取定標(biāo)架{O;,}之后，平面上全體矢量的集合或者全體點的集合與全體有序數(shù)對x, y的集合具有一一對應(yīng)的關(guān)系，這種一一對應(yīng)的關(guān)系叫做平面上矢量或點的一個坐標(biāo)系.平面坐標(biāo)系也常用{O;,}來表示，此時點O叫做坐標(biāo)原點，, 都叫做坐標(biāo)矢量.8.由右(左)旋標(biāo)架決定的坐標(biāo)系叫做右(左)旋坐標(biāo)系或右(左)手坐標(biāo)系；仿射標(biāo)架、笛卡爾標(biāo)架與直角標(biāo)架所確定的坐標(biāo)系分別叫做仿射坐標(biāo)系、笛卡爾坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系.15.約定用{O;,}表示直角坐標(biāo)系, 在討論平面問題時所采用的坐標(biāo)系，一般都是平面右手直角坐標(biāo)系.9.過點O沿著坐標(biāo)矢量, 的方向引二軸Ox, Oy,可以用這二條具有公共點O的不共線的軸Ox，Oy來表示平面坐標(biāo)系，記做O－x y，此時點O叫做平面坐標(biāo)系的原點，Ox叫做x軸，Oy叫做y軸.兩坐標(biāo)軸把平面分成四個區(qū)域，每一個區(qū)域都叫做象限.三、直線坐標(biāo)系 1.直線上一個定點O，連同直線上一個非零矢量的全體，叫做直線上的一個標(biāo)架，記做{O;}，如果為單位矢量，那么{O;}叫做笛卡爾標(biāo)架，在一般情況下，{O;}叫做仿射標(biāo)架.2.表達(dá)式＝x中的x叫做矢量關(guān)于標(biāo)架{O;}的分量或稱為坐標(biāo)，記做{x}或{x}.3.對于取定了標(biāo)架{O;}的直線上任意點P，矢量x叫做點P關(guān)于標(biāo)架{O;}的坐標(biāo)，記做P(x)或(x).叫做點P的徑矢，徑矢

關(guān)于標(biāo)架的分量4.當(dāng)直線上取定標(biāo)架{O;}之后，直線上全體矢量的集合或全體點的集合與全體實數(shù)x的集合具有一一對應(yīng)的關(guān)系，這種一一對應(yīng)的關(guān)系叫做直線上矢量或點的一個坐標(biāo)系.直線上的坐標(biāo)系也常用{O;}來表示，此時點O叫做坐標(biāo)原點，叫做坐標(biāo)矢量.5.由仿射標(biāo)架與笛卡爾標(biāo)架所確定的坐標(biāo)系分別叫做仿射坐標(biāo)系與笛卡爾坐標(biāo)系.6.取定標(biāo)架{O;}的直線，叫做坐標(biāo)軸或簡稱為軸，原點為O，坐標(biāo)寫成x的軸記做Ox.例1.在空間直角坐標(biāo)系{O;}下，求P(2,－3,－1)，M(a, b, c)關(guān)于(1)坐標(biāo)平面；(2)坐標(biāo)軸；(3)坐標(biāo)原點的各個對稱點的坐標(biāo).解：可按照“關(guān)于哪軸對稱，哪軸不動，其余變號”的方法去考慮，有 M(a, b, c)關(guān)于xOy平面的對稱點坐標(biāo)為(a, b, －c)，M(a, b, c)關(guān)于yOz平面的對稱點坐標(biāo)為(－a, b, c)，M(a, b, c)關(guān)于xOz平面的對稱點坐標(biāo)為(a,－b, c)，M(a, b, c)關(guān)于x軸平面的對稱點坐標(biāo)為(a,－b,－c)，M(a, b, c)關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為(－a, b,－c)，M(a, b, c)關(guān)于z軸的對稱點的坐標(biāo)為(－a,－b, c).類似考慮P(2,－3，－1)即可.例2.已知矢量, , 的分量如下：

(1)＝{0, －1, 2}，＝{0, 2, －4}，＝{1, 2, －1}；(2)＝{1, 2, 3}，＝{2, －1, 0}，＝{0, 5, 6}.試判別它們是否共面？能否將表成，的線性組合？若能表示，寫出表示式.解:(1)因為 //，但

＝0,所以 , , 三矢量共面, 由于, 的對應(yīng)坐標(biāo)成比例，即，故不能將表成, 的線性組合.(2)因為 ＝0,所以 , , 三矢量共面.，故可以將表成, 的線性組合.由于 , 的對應(yīng)坐標(biāo)不成比例，即設(shè) ＝?+?, 即

{0, 5, 6}＝?{1, 2, 3}+?{2, －1, 0} 從而

由此解得

?＝2，?＝－1，所以

＝2－.例3.證明：四面體每一個頂點與對面重心所連的線段共點，且這點到頂點的距離是它到對面重心距離的三倍.用四面體的頂點坐標(biāo)把交點坐標(biāo)表示出來.證明：設(shè)四面體A1A2A3A4,Ai對面重心為Gi, 欲證AiGi交于一點(i＝1, 2, 3, 4).在AiGi上取一點Pi，使則

＝

3, 從而

＝，設(shè)Ai(xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，G1G2G3G4所以 , ， ，P1(，)

?P1(，).同理得P2?P3?P4?P1，所以AiGi交于一點P，且這點到頂點距離等于這點到對面重心距離的三倍.作業(yè)題：

1.指出坐標(biāo)滿足下列條件的點(x, y, z)在空間的位置.(1)

x＝y(tǒng)；

(2)

y z<0;

(3)

x y z<0.2.平行于z軸的矢量有什么特點？平行于x軸和y軸的矢量又分別有什么特點？

3.已知線段AB被點C(2, 0, 2)和D(5,－2, 0)三等分，試求這個線段兩端點A與B的坐標(biāo).§1.6 矢量在軸上的射影

教學(xué)目的

1、掌握射影與射影矢量的概念及矢量線性運算的射影表示；

2、理解矢量在軸上的的射影與坐標(biāo)的關(guān)系。

教學(xué)重點 矢量在軸上的射影與射影矢量的概念 教學(xué)難點 射影與射影矢量的關(guān)系 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 1

§1.6 矢量在軸上的射影

一、概念

1.已知空間的一點A與一軸l，通過A作垂直于軸l的平面?，平面?與軸l的交點A叫做點A在軸l上的射影.2.設(shè)矢量的始點A和終點B在軸l上的射影

叫做矢量

在軸l上分別為A?和B?，那么矢量的射影矢量，記作射影矢量l.如圖1-18.3.如果在軸上取與軸方向相同的單位矢量，則有射影矢量l＝＝x，其中x叫做矢量，即 ＝x.與射影l(fā)分別寫成射影矢量

與射影，且分別叫做矢量

在在軸l上的射影，記作：射影l(fā)射影l(fā)4.可以把射影矢量l矢量上的射影矢量與在上的射影，兩者之間的關(guān)系是

射影矢量

＝(射影

＝,).＝, 把射線OA和OB構(gòu)成的在0與5.設(shè)是兩個非零矢量，自空間任意點O作?之間的角，叫做矢量與的夾角，記做?(,).按規(guī)定，若,同向，則?(,)＝0；若,反向，則?(,)＝?；若，則0＜?(,)＜?.時，以矢6．在平面上，可以引進(jìn)從矢量到矢量的有向角的概念，并記作(,)，當(dāng)量掃過矢量,之間的夾角?(,)旋轉(zhuǎn)到與矢量同方向的位置時，如果旋轉(zhuǎn)方向是逆時針的，則(,)＝?(,)；如果旋轉(zhuǎn)方向是順時針的，則(,)＝－?(,).當(dāng)//

時，(,)＝?(,).有向角的值，?？赏茝V到 ?－π 或 >π，這時我們認(rèn)為相差2π整數(shù)倍的值代表同一角，對于有向角還有下面的等式(,)＝－(,)，(,)+(,)＝().二、性質(zhì)

1．矢量在軸l上的射影等于矢量的模乘以軸與該矢量的夾角的余弦：

射影i＝|

|cos?, ?＝?(l,).證明：如圖，射影i=||=||cos?.由矢量在軸l上的射影概念容易證得如下性質(zhì)：

2．相等矢量在同一軸上的射影相等.3．對于任何矢量有

射影l(fā)(+)＝射影l(fā)+射影l(fā).4．對于任何矢量與任意實數(shù)?有

射影l(fā)(?)＝?射影l(fā).例題：試證明：射影l(fā)(?+?+?n射影l(fā).證明：用數(shù)學(xué)歸納法來證.當(dāng)n＝2時，有

射影l(fā)(?1?2)＝射影l(fā)()+射影l(fā)(假設(shè)當(dāng)n＝k時等式成立，即有 射影l(fā)(射影l(fā)(＝射影l(fā)[(＝射影l(fā)（）+)+射影l(fā)()＝?1射影l(fā))

]))＝?1射影l(fā)+?2射影l(fā).?+?+?n)＝?1射影l(fā)+射影l(fā)

+?+?k射影l(fā).欲證當(dāng)n＝k+1時亦然.事實上

＝?1射影l(fā)+?+?k射影l(fā)+?k+1射影l(fā) 故等式對自然數(shù)n成立.作業(yè)題：

1.兩非零矢量的夾角在空間和平面上分別是怎樣定義的？取值范圍如何？ 2.在射影的關(guān)系如何？，射影矢量

與射影, 射影矢量

中，若?，＝－, 則它們相互間3.射影相等的兩個矢量是否必相等？射影為0的矢量，是否必為？

§1.7 兩矢量的數(shù)性積

教學(xué)目的

1、掌握矢量的數(shù)性積概念及幾何意義；

2、理解矢量的模、方向余弦和交角及數(shù)性積的坐標(biāo)表示；

3、能證明有關(guān)的幾何命題。

教學(xué)重點 兩矢量的數(shù)性積概念及幾何意義 教學(xué)難點 根據(jù)數(shù)性積理論證明有關(guān)的命題 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時 1

§1.7 兩矢量的數(shù)性積

一、概念

1.數(shù)性積的例子.一個質(zhì)點在力的作用下，經(jīng)過位移

＝，則這個力所作的功為

W＝|其中?＝?(,)，功W是由矢量

|||cos?

與按上式確定的一個數(shù)量.如圖1-19.2.兩個矢量與的模和它們夾角的余弦的乘積叫做矢量和的數(shù)性積(也稱數(shù)積，內(nèi)積，點積)，記做?或，即

?＝||||cos?(,).二、性質(zhì)

1.?＝||射影＝||射影

..2.當(dāng)為單位矢量時 ?＝射影3.?＝||＝22.4.兩矢量和相互垂直的充要條件是?＝0.5.矢量的數(shù)性積滿足下面的運算規(guī)律(1)交換律 ?＝?.(2)關(guān)于數(shù)因子的結(jié)合律(?)?＝?(?)＝?(?).(3)分配律(+)?＝?+?.三、坐標(biāo)運算 1.設(shè)＝{}, ＝{

}, 則 ?＝

.?＝, ?＝，?＝.2.設(shè)＝{X, Y, Z}，則

||＝3.空間兩點P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)間的距離是

..4.矢量與坐標(biāo)軸(或坐標(biāo)矢量)所成的角叫做矢量的方向角，方向角的余弦叫做矢量的方向余弦.5.非零矢量＝{X, Y, Z}的方向余弦是

cos?＝cos?＝cos?＝且

cos?+cos?+cos?＝1，（其中的?, ?, ?分別為矢量與x軸，y軸，z軸的交角，即的三個方向角.）并有

6.設(shè)空間中兩個非零矢量為{

}，＝{

＝{cos?, cos?, cos?}.},那么它們夾角的余弦是

d＝

＝＝＝, ,.cos?(,)＝7.矢量{}和＝{

＝

}相互垂直的充要條件是

.例1.在實數(shù)乘法中消去律成立，即ab＝ac時，則a=0或b＝c.這對矢量的數(shù)性積并不成立，舉反例如下：

如圖1-20，設(shè)有非零矢量及與其共面的兩矢量和，使得其終點連線BC與OA垂直且交于M，則

?＝||||cos?(,)＝||OM, ?＝||||cos?(,)＝||OM，于是 ?＝?, 但顯然?.例2.在平面上如果證明: 因為 ，＋?),，且

＝?

(i=1,2)，則有＝.所以，對該平面上任意矢量＝?(－)?＝(－)(?＝?＝?((－)+?－

＋?(－)

－)＝0,)+?(故(－)?.由的任意性知 －＝.從而 ＝.例3.用矢量法證明以下各題：

222(1)三角形的余弦定理 a＝b＋c－2bccosA;

(2)三角形各邊的垂直平分線共點且這點到各頂點等距.證明：（1）如圖1-21，△ABC中，設(shè)且||＝a，||＝b,||＝c.則＝－，＝(－)＝+－2?＝+－2||||cosA.222此即

a＝b+c－2bccosA.(2)如圖1-22，設(shè)AB, BC邊的垂直平分線PD, PE相交于P, 2222

＝,＝,＝，D, E, F為AB, BC, CA的中點, 設(shè)＝－＝因為 , ＝－，＝, ＝

－，＝，＝

（＝, 則+)，(＋).?, ?，所以(+)(－)＝（2

－

2)＝0，(+)(－)＝從而有 所以 2

（2

－

2)＝0，2

2＝2＝2

,即 ||＝||＝||,（2(＋)(－)＝－

2)＝0，所以 ?，且 ||＝||＝||.故三角形各邊的垂直平分線共點且這點到各頂點等距.作業(yè)題：

1.用矢量法證明對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.2.證明 －||||??

?|||

|.＝，=, ＝，求?

＋

?＋?.3.已知等邊三角形ABC的邊長為1，且4.(1)求兩個共線矢量的數(shù)性積；(2)求兩個單位矢量的數(shù)性積.§1.8 兩矢量的矢性積

教學(xué)目的

1、掌握矢量的矢性積概念及幾何意義；

2、理解矢量矢性積的運算律及坐標(biāo)表示；

3、會用頂點坐標(biāo)計算三角形的面積。

教學(xué)重點 兩矢量矢性積概念及幾何意義 教學(xué)難點 矢性積的幾何意義 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 1

§1.8 兩矢量的矢性積

一、概念

1.矢性積的例子

物理學(xué)中的力矩是一個矢量，它是兩個矢量的矢性積，如圖1-23，如果力則力矩

＝

.的作用點是A,，2.兩矢量與的矢性積（也稱矢積，外積，叉積）是一個矢量，記做?或[]，它的模是

|?|＝||||sin?(,)，它的方向與,都垂直，并且按，?這個順序構(gòu)成右手標(biāo)架{O;，?}.二、性質(zhì)

定理1.兩不共線矢量與的矢性積的模，在數(shù)值上等于以與為鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的面積.證明：如圖1-24，平行四邊形的面積S=|| h =||||sin?(,)=|?|.定理2.兩矢量與共線的充要條件是 ?＝.證明：當(dāng)與共線時，sin?(,)=0，從而|?|=0，即?＝；反過來，當(dāng)?＝時＝或＝或∥，而可以看成與任何矢量共線，所以總有∥.定理3.矢量的矢性積滿足下面的運算規(guī)律：

(1)反交換律

?＝－(?).(2)關(guān)于數(shù)因子的結(jié)合律

?(?)＝(?)?＝?(?).(3)分配律

(+)?＝?＋?.證明：只給出反交換律?＝－(?)的證明，其余類似可證：

如果與共線，那么（?）與(?)都是，顯然成立.如果與不共線，那么

|?|＝||||sin?(,)=||||sin?(，)=|?|，而根據(jù)矢性積的定義（?）與(?)共線且方向相反，從而?＝－(?).推論.設(shè)?, ?為任意實數(shù)，有

(?)?(?)＝(??)(?)，?(+)＝?+?.三、坐標(biāo)運算

1.如果＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2, Z2}, 那么

?＝++.或

?＝.2.與中學(xué)代數(shù)里的方程一樣，我們將含有未知矢量的等式叫做矢量方程.例如?＝l，其中是已知矢量，是未知矢量，l是常數(shù)，這就是一個矢量方程.解矢量方程常用兩種方法：其一是對方程實行各種向量運算來求出未知向量；其二是利用坐標(biāo)化成代數(shù)方程再去求解.例1.證明(?)?222?

2，并說明在什么情形下等號成立.22

2證明：(?)＝|?|＝||||sin?(,)

?||||＝22

?

.，即當(dāng)?時，等號要使等號成立, 必須sin?(,)＝1, 從而sin?(,)＝1, 故?(,)＝成立.例2.證明如果++＝，那么?＝?＝?，并說明它的幾何意義.證明：由++＝, 有(++)?＝?＝, 但 ?＝，于是

?+?＝，所以 ?＝?.同理

由(++)?＝, 有 ?＝?，從而 ?＝?＝?.其幾何意義是以三角形的任二邊為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形的面積相等.例3.如果非零矢量(i＝1,2,3)滿足垂直的單位矢量，并且按這次序構(gòu)成右手系.證明：由矢性積的定義易知,因為 ＝?，||＝?，|＝|

|||, ,，＝

?，＝?，那么，是彼此

彼此垂直，且構(gòu)成右手系.下證它們均為單位矢量.所以 ||＝||，|所以 ||＝||||.|＝1，|22由于 ||?0，從而 |同理可證 |

|＝1.|＝1，||＝1.從而，都是單位矢量.例4.用矢量方法證明：（1）三角形的正弦定理

＝＝.（2）三角形面積的海倫(Heron)公式，即三斜求積公式：

?＝p(p－a)(p－b)(p－c).式中p＝(a+b+c)是三角形的半周長，?為三角形的面積.＝，＝，＝，且||＝a，||＝b, ||證明(1)如圖1-25，在△ABC中，設(shè)＝c, 則

++＝, 從而有 ?＝?＝?，所以

|?|＝|?|＝|?|，bcsinA＝casinB＝absinC, 于是

＝＝.(2)同上題圖，△ABC的面積為

?＝所以

?＝2

|?|，(?).22

22因為

(?)+(?)＝所以

?＝2，[22－(?)].2由于

++＝，從而

+＝－，(＋)＝所以

2，(c－a－b)，2

2＝(222－2

－

2)＝故有

?＝＝＝＝[ab－222(c－a－b)]

222[2ab－(c－a－b)][2ab+(c－a－b)] [(a+b)－c][222－(a－b)]

2(a+b+c)(a+b－c)(c+a－b)(c－a＋b)＝?2p?(2p－2c)(2p－2b)(2p－2a).2所以

?=p(p?a)(p?b)(p?c), 或

?=例5.試解方程組

., //，其中 ?，l是已知數(shù).解法一：化成坐標(biāo)式得

a1x1+a2x2+a3x3=l，其中, , x2=，k?0, 解得 , x3=, ，x1=再化成矢量式得解法二：由.得，代入

得，于是

k＝, 從而有作業(yè)題：.1.設(shè), , 為三個兩兩不共線的矢量，且?=?= ?，則++=.2.設(shè)兩非零矢量3.已知兩非零矢量4.已知積.,，求k值，使兩個向量k，求

與, 其中

和

＋k共線.共線的充要條件.＝5, , ?, 求平行四邊形ABCD的面

第二章 軌跡與方程

教學(xué)目的

1、理解曲面與空間曲線方程的意義；

2、掌握求軌跡方程（矢量式與坐標(biāo)式參數(shù)方程及普通方程）的方法；

3、會判斷已知方程所表示的軌跡名稱。

教學(xué)重點 曲面和空間曲線的方程求法

教學(xué)難點 判斷已知的參數(shù)方程或普通方程所表示的圖形 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 《解析幾何》課程教案（第三章）

授課課時 4第二章

軌跡與方程

本章的目的是建立軌跡與其方程的對應(yīng)，在空間或平面上取定標(biāo)架之后，空間或平面上的點就與有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)或(x, y)建立了一一對應(yīng)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步建立作為點的軌跡的曲線、曲面與其方程之間的聯(lián)系，把研究曲線與曲面的幾何問題，歸結(jié)為研究其方程的代數(shù)問題，進(jìn)而為用代數(shù)的方法研究曲線和曲面創(chuàng)造了條件，奠定了基礎(chǔ).空間軌跡與平面軌跡相比要復(fù)雜得多，但它的方程的建立，以及對某些問題的處理，兩者卻非常相似.本章的知識結(jié)構(gòu)為：

軌跡

方程

→ 方程

→ 軌跡

§2.1 平面曲線的方程

一、普通方程

1.平面上的曲線（包括直線），都可以看成具有某種特征性質(zhì)的點的集合.曲線上點的特征性質(zhì)，包含兩方面的意思：(1)曲線上的點都具有這些性質(zhì)；(2)具有這些性質(zhì)的點都在曲線上.因此曲線上點的特征性質(zhì)，也可以說成是點在曲線上的充要條件.2.當(dāng)平面上取定了標(biāo)架之后，如果一個方程F(x, y)= 0或 y =f(x)與一條曲線有著關(guān)系：(1)滿足方程的(x, y)必是曲線上某一點的坐標(biāo)；(2)曲線上任何一點的坐標(biāo)(x, y)滿足這個方程，那么這個方程F(x, y)= 0就叫做這條曲線的普通方程，而這條曲線叫做這個方程的圖形.3.對于一條給定的曲線，要求出它的方程，實際上就是在給定的坐標(biāo)系下，將這條曲線上的點的特征性質(zhì)，用關(guān)于曲線上的點的兩個坐標(biāo)x, y的方程來表示.二、參數(shù)方程

1．曲線?？杀憩F(xiàn)為一個動點運動的軌跡，但是運動的規(guī)律往往不是直接反映為動點的兩個坐標(biāo)x與y之間的關(guān)系，而是直接表現(xiàn)為動點的位置隨著時間改變的規(guī)律.當(dāng)動點按照某種規(guī)律運動時，與它對應(yīng)的徑矢也將隨著時間t的不同而改變（模與方向的改變），這樣的徑矢，我們稱它為變矢，記做

.，那么2.如果變數(shù)t(a?t?b)的每一個值對應(yīng)于變矢的一個完全確定的值（模與方向）我們就說是變數(shù)t的矢性函數(shù)，記做

=,(a?t?b)

顯然當(dāng)t變化時，矢量的模與方向一般也隨著改變.3.設(shè)平面上取定的標(biāo)架為{O;,寫為

其中x(t)，y(t)是

}，矢量就可用它的分量表示，這樣矢性函數(shù)== x(t)+y(t),(a?t?b)，就可以的分量，它們分別是變數(shù)t的函數(shù).4.若取t(a?t?b)的一切可能取的值，徑矢的終點總在一條曲線上；反過來，在這條曲線上的任意點，總對應(yīng)著以它為終點的徑矢，而這徑矢可由t 的某一值t0(a?t0?b)完全決定，則把 = x(t)+y(t),(a?t?b)

叫做曲線的矢量式參數(shù)方程，其中t為參數(shù).如圖2-1.5.因為曲線上點的徑矢的分量為x(t), y(t)，所以曲線的參數(shù)方程也常寫成下列形式

(a?t?b)

把這個表達(dá)式叫做曲線的坐標(biāo)式參數(shù)方程.如能從上式中消去參數(shù)t（如果可能的話），那么就能得出曲線的普通方程F(x, y)=0.6.曲線的參數(shù)方程的表達(dá)形式不唯一.例1.有一長度為2a(a>0)的線段，它的兩端點分別在x軸正半軸和y軸正半軸上滑動，求此線段中點的軌跡.解法一：如圖2-2，取? 為參數(shù)，設(shè)線段中點為M(x, y)，于是A(2acos?, 0)，B(0, 2asin?,), 所以

(0

x2+y2 = a2(x>0, y>0).)

解法二：如圖2-3, 設(shè)線段為AB，其中點為P(x, y)，且設(shè)(,====(|(+|+|)|))=?，則

[2acos(???)+2asin(???)]

= ?acos?+asin?，所以動點軌跡的坐標(biāo)式參數(shù)方程為

(消去參數(shù)? 得所求軌跡的一般方程為

x2+y2 = a2(x>0, y>0).例2.三角形ABC底邊的兩個端點為B(?3, 0)，C(3, 0), 頂點A在直線7x?5y?35=0上移動，求這三角形重心的軌跡.解：設(shè)△ABC的重心為G(x, y)，頂點A為(x0, y0)，則有

x==x0, y==y0，從而

x0=3x , y0 =3y.而A(x0, y0)在直線7x?5y?35=0上, 故有

7x0?5y0?35=0 或 21x?15y?35=0.這是一條平行于已知直線7x?5y?35=0的直線.例3.一動點M到A(3, 0)的距離恒等于它到點B(?6, 0)的距離的一半，求此動點M的軌跡方程，并指出此軌跡是什么圖形？

解：設(shè)M(x, y)，依題意有

2=，2222兩邊平方得：4((x?3)+y)=(x+6)+y，2224(x?6x+9)+3y?(x+12x+36)=0, 223x+3y?36x=0，22(x?6)+y=36.此即為中心在(6, 0)，半徑為6的圓.2例4.一動點到兩定點距離的乘積等于定值m，求此動點的軌跡(此軌跡叫做卡西尼卵形線).解：設(shè)兩定點為F1, F2，且|F1F2|=2c(c>0)，動點為M(x, y)，取直線F1F2為x軸，其中點為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，則F1=(?c, 0), F2=(c, 0)，依題意有

2|MF1| ? |MF2| =m，=m，化簡得

(x+y)? 2c(x?y)= m ?c.222

442

作業(yè)題：

1． 將下面平面曲線的參數(shù)方程化為普通方程：

（1）

－∞＜t＜+∞;

（2）

0?t＜2;

（3）0?t＜2.2.把下面平面曲線的普通方程化為參數(shù)方程： 2

（1）y= x

(2)

(3),（）;

§2.2 曲面的方程

一、普通方程

如果一個方程F(x, y, z)= 0或z=f(x, y)與一個曲面?有著關(guān)系：(1)滿足方程的(x, y, z)是曲面?上點的坐標(biāo)；(2)曲面?上的任何一點的坐標(biāo)(x, y, z)滿足方程，則方程F(x, y, z)＝0叫做曲面?的普通方程，而曲面?叫做方程F(x, y, z)＝0的圖形.二、參數(shù)方程

1．設(shè)在兩個變數(shù)u, v的變動區(qū)域內(nèi)定義了雙參數(shù)矢函數(shù)

=(u, v)或

(u, v)=x(u, v)

+y(u, v)

+z(u, v)，其中x(u, v), y(u, v), z(u, v)是變矢(u, v)的分量，它們都是變數(shù)u, v的函數(shù)，當(dāng)u, v取遍變動區(qū)域的一切值時，徑矢

=(u, v)=x(u, v)+y(u, v)+z(u, v)的終點M(x(u, v), y(u, v), z(u, v))所畫成的軌跡，一般為一張曲面.2.如果取u, v(a?u?b, c?v?d)的一切可能取的值，徑矢

(u, v)的終點M總在一個曲面上；反過來，在這個曲面上的任意點M總對應(yīng)著以它為終點的徑矢, 而這徑矢可由u, v的值(a?u?b, c?v?d)通過

(u, v)=x(u, v)+y(u, v)+z(u, v)

完全決定，那么我們就把上式叫做曲面的矢量式參數(shù)方程，其中u, v為參數(shù).3.徑矢(u, v)的分量為{x(u, v), y(u, v), z(u, v)}，從而曲面的參數(shù)方程也常寫成

該表達(dá)式叫做曲面的坐標(biāo)式參數(shù)方程.4.空間曲面參數(shù)方程的表達(dá)形式不唯一.例1.一動點移動時，與A(4, 0, 0)及xOy平面等距離，求該動點的軌跡方程.解：設(shè)動點為M(x, y, z)，依題意有

=|z|，兩邊平方化簡得(x?4)+y=0.例2.在空間，選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求下列點的軌跡方程：(1)到兩定點距離之比等于常數(shù)的點的軌跡；(2)到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡；(3)到兩定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡；

(4)到一定點和一定平面距離之比等于常數(shù)的點的軌跡.解：(1)取兩定點連線為x軸，兩定點連線段中點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)兩定點為A(?a, 0, 0)，B(a, 0, 0), 常數(shù)為m>0，再設(shè)動點M(x, y, z)，則依題意有

=m，2222222222222平方得

x + 2ax+a +y+z = mx ?2amx +ma +my +mz，222222

2(m?1)(x+y+z)?2a(m+1)x+a(m?1)=0.此即為所求動點的軌跡.222(2)設(shè)坐標(biāo)系選取同(1)，兩定點間距離為2c(c>0), 常數(shù)為2a(a>0)，且b=a?c>0，從而兩定點為A(?c, 0, 0), B(c, 0, 0), 設(shè)動點為M(x, y, z)，依題意有 22

＋m移項

222 2

=2a, , =2a ?

2平方(x+c)+y+z=4a+(x?c)+y+z?4a化簡

再平方 化簡

即

a=a?cx, 2222224222 a(x?c)+ay+az=a+cx?2acx，2222222222(a?c)x+ay+az=a(a?c)，22222222

bx+ay+az=ab，2，從而

++=1.222(3)假設(shè)同(2)，但b=c?a >0，依題意有

?移項

=2a+，2

=2a，平方化簡

a=cx?a，2222222222再平方化簡

(c?a)x－ay－az=a(c?a)，22222222即

bx?ay?az=ab，從而

??=1.(4)取定點為(0, 0, c)，定平面為xOy面，常數(shù)為m>0，設(shè)動點為M(x, y, z)，依題意有

＝m |z|, 22平方

x+y+z?2cz+c = mz, 即有

22222 x+y+(1?m)z?2cz+c =0.例3.求中心在原點, 半徑為r的球面的參數(shù)方程.解：如圖2-4, 設(shè)M是球面上的任意一點，M在xOy坐標(biāo)面上的射影為 P，設(shè)?xOP =?(0?? <2?)，?zOM =?(0????), P在x軸上的射影為Q，那么 2

=則

=(r)+（=++)+r，.這就是圓柱面的矢量式參數(shù)方程，它的坐標(biāo)式參數(shù)方程為

其中0????, ??? <2?.消去參數(shù)得普通方程為

x2 + y2 + z2 = r2.例4.求以z軸為對稱軸，半徑為R的圓柱面的參數(shù)方程.解：如圖2-5, 設(shè)M是圓柱面上的任意一點，M在xOy坐標(biāo)面上的射影為 P，設(shè)?xOP =?(0?? <2?)，P在x軸上的射影為Q，那么 =

=++，則

=(R)+（）+u.這就是圓柱面的矢量式參數(shù)方程，它的坐標(biāo)式參數(shù)方程為

其中的 ? 與u是參數(shù)，取值范圍分別是0?? <2?，?? < u < ??.消去參數(shù)得普通方程為

x2+y2=R2.作業(yè)題：

1.求下列各球面的方程：

（1）中心（2，—1，3），半徑為R=6；

（2）中心在原點，且經(jīng)過點（6，—2，3）；

（3）一條直徑的兩個端點是（2，—3，5）與（4，1，—3）；（4）通過原點與（4，0，0），（1，3，0），（0，0，—4）.2.求下列球面的中心與半徑：

（1）；

（2）；

（3）

.§2.3 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程

假設(shè)動點P(x, y, z)的坐標(biāo)間的關(guān)系是不含變數(shù)z的方程F(x, y)=0,在空間坐標(biāo)系中表示一個曲面，它所表示的曲面是由平行于z軸的直線沿xOy平面上一條曲線

L: F(x, y)＝0

移動而成，這樣的曲面叫做柱面，曲線L叫做它的準(zhǔn)線，形成柱面的動直線叫做它的母線，即方程F(x, y)=0決定一個母線平行于z軸的柱面.同理，方程F(y,z)=0與F(x, z)=0都表示柱面，它們的母線分別平行于x 軸和y軸.如上一節(jié)的例4，方程 x 2 + y 2= R 2 表示母線平行于z軸的柱面，準(zhǔn)線L為xOy坐標(biāo)面上的圓.例題

說出下列方程表示的圖形名稱：

（1），（2），（3）y=2p x.2解：（1）表示一個柱面，母線平行于z軸，準(zhǔn)線為xOy坐標(biāo)面上的橢圓，所以叫做橢圓柱面.（2）表示一個柱面，母線平行于z軸，準(zhǔn)線為xOy坐標(biāo)面上的雙曲線，所以叫做雙曲柱面.（3）表示一個柱面，母線平行于z軸，準(zhǔn)線為xOy坐標(biāo)面上的拋物線.所以叫做拋物柱面.作業(yè)題：

指出下列方程表示的軌跡名稱，并畫出圖形：

（1）（2）（3）（4）；

.；

；

§2.4 空間曲線的方程

一、普通方程

1.空間曲線，可以看成兩個曲面的交線.設(shè)方程組

是這樣的兩個曲面方程，它們相交于曲線L.上述方程組表示一條空間曲線L的方程，我們稱它為空間曲線的普通方程（一般方程）.2.由代數(shù)知識知道，任何方程組的解，也一定是與它等價的方程組的解，所以空間曲線L可以用不同形式的方程組表示.二、參數(shù)方程

1.在空間建立了坐標(biāo)系后, 設(shè)矢函數(shù)內(nèi)變動時，的徑矢都可由t的某個值通過?b)為參數(shù).2.因為空間曲線上點的徑矢

或

=x(t)+y(t)

+z(t)，當(dāng)t在區(qū)間a?t?b的終點M(x(t), y(t), z(t))全部都在空間曲線L上；反過來，空間曲線L上的任意點

來表示, 則把它叫做空間曲線L的矢量式參數(shù)方程，其中t(a?t的分量為{x(t), y(t), z(t)}，所以空間曲線的參數(shù)方程常寫成

(a?t?b)

此表達(dá)式叫做空間曲線的坐標(biāo)式參數(shù)方程，其中t為參數(shù).三、射影柱面

通過空間曲線L作柱面，使其母線平行于坐標(biāo)軸Ox, Oy或Oz軸，設(shè)它們的方程分別為

F1(y, z)=0, F2(x, z)=0, F3(x, y)=0

這三個柱面分別叫做曲線L對yOz, xOz與xOy坐標(biāo)面的射影柱面，因此由所表示的曲線L，可以用它對三個坐標(biāo)面的任意兩個射影柱面來表示.代數(shù)上從兩個三元方程中消去一個元，其幾何意義就是求空間曲線的射影柱面.例1.有一質(zhì)點，沿著已知圓錐面的一條直母線, 自圓錐的頂點起，作等速直線運動，另一方面這一條母線在圓錐面上，過圓錐的頂點繞圓錐的軸（旋轉(zhuǎn)軸）作等速的轉(zhuǎn)動，這時質(zhì)點在圓錐面上的軌跡叫做圓錐螺線.試建立圓錐螺線的方程.解：如圖2-6，取圓錐頂點為原點，軸線為z軸建立坐標(biāo)系，設(shè)圓錐角為2?，從而?=?，旋轉(zhuǎn)角速度為?，直線速度為v，動點的初始位置在原點.設(shè)經(jīng))＝? t, |

|＝v t，時間t后動點到P點，過P作xOy面上的射影Q，則(從而有

(0?t <+?)

例2.有兩條互相直交的直線l1與l2，其中l(wèi)1繞l2作螺旋運動，即l1一方面繞l2作等速轉(zhuǎn)動，另一方面又沿著l2作等速直線運動，在運動中l(wèi)1永遠(yuǎn)保持與l2直交，這樣由l1所畫出的曲面叫做螺旋面，試建立螺旋面的方程.解：如圖2-7，取l2為z軸建立坐標(biāo)系，并設(shè)l1在運動到某時刻t0時與x軸重合，令角速度為?，直線速度為v，時間t取作參數(shù).假定在時刻t時l1位置如圖，P(x, y, z)為l1上任意點，其在xOy面上的射影為Q，在z軸上射影（l1與l2在此刻的交點）為R，則 || = vt，|

| =u.從而有

(??

作業(yè)題：

1.平面 與 的公共點組成什么軌跡？

2.求下列空間曲線對三個坐標(biāo)面的射影柱面方程：

（1）

（2）

3．指出下列曲面與三個坐標(biāo)面的交線是什么曲線？（1）；

（2）；

（3）

.第三章平面與空間直線

教學(xué)目的

1、深刻理解在空間直角坐標(biāo)系下平面方程是一個關(guān)于x,y,z的三元一次方程；反過來任何一個關(guān)于x,y,z的三元一次方程都表示一個平面。直線可以看成兩個平面的交線，它可以用兩個相交平面的方程構(gòu)成的方程組來表示；

2、掌握平面與空間直線的各種形式的方程，明確方程中常數(shù)（參數(shù)）的幾何意義，能根據(jù)決定平面或決定直線的各種導(dǎo)出它們的方程，并熟悉平面方程的各種形式的互化與直線各種方程形式的互化；

3、能熟練地根據(jù)平面和直線的方程以及點的坐標(biāo)判別有關(guān)點、平面、直線之間的位置關(guān)系與計算它們之間的距離和交角。

教學(xué)重點平面與空間直線的方程求法及點、平面、直線之間的相關(guān)位置 教學(xué)難點平面與空間直線各種形式方程的互化

參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 10

第三章

平面與空間直線

這一章是本課程的主要內(nèi)容之一，我們將用代數(shù)的方法定量地研究空間最簡單而又最基本的圖形——平面與空間直線，建立它們各種形式的方程，導(dǎo)出空間的點、平面與空間直線之間位置關(guān)系的解析表達(dá)式，給出距離、夾角等計算公式.本章的知識結(jié)構(gòu)為：

平面的方程

直線的方程

相關(guān)位置→→

§3.1平面的方程

教學(xué)目的

1、理解在空間直角坐標(biāo)系下平面方程是一個關(guān)于x,y,z的三元一次方程，反過來，任何一個關(guān)于x,y,z的三元一次方程都表示一個平面；

2、會求平面的各種方程（參數(shù)式、點位式、三點式、截距式、一般式、點法式及法式）；

3、掌握平面的一般式與法式方程的互化。

教學(xué)重點平面的點位式、一般式和法式方程及其轉(zhuǎn)化方法 教學(xué)難點平面各種方程之間的互化 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 2

§3.1 平面的方程

一、平面的點位式方程

1.在空間給定了一點M0(x0, y0, z0)與兩個不共線矢量＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2, Z2 }, 那么通過點M0且與矢量,平行的平面?就被唯一確定，矢量, 叫做平面的方位矢量.這個概念與中學(xué)幾何中的“兩條相交直線確定一個平面”是一致的.2.如圖3-1, 在空間取標(biāo)架{O;＝坐標(biāo)式參數(shù)方程為 ，}，則平面的矢量式參數(shù)方程為

+u+v，(其中u, v為參數(shù)).3.平面?的方程還可表示為(，)＝0和

＝0.它們和2中的方程一起都叫做平面的點位式方程.4.由不共線三點Mi(xi, yi, zi)(i＝1,2,3)確定的平面?的三點式方程為

＝＋u（－)＋v（）.(－,－,)＝0，＝0，或

＝0.5.平面的截距式方程為 ＋＋＝1，其中a, b, c（abc≠0）分別叫做平面在三坐標(biāo)軸上的截距.二、平面的一般方程

空間平面的基本定理： 空間中任一平面的方程都可表示成一個關(guān)于變數(shù)x, y, z的一次方程；反過來，每一個關(guān)于變數(shù)x, y, z的一次方程都表示一個平面.方程

Ax + By + Cz + D = 0

(A, B, C不全為0)

叫做平面的一般方程.證明：因為空間任意平面都可以由它上面的一個點M0(x0, y0, z0)與兩個方位矢量＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2, Z2 }確定，因而方程可以寫為成：

Ax+By+Cz+D=0，＝0.此方程展開就可寫其中A =，B=，C=.因為,不共線，所以A，B，C不全為零，這表明空間中任一平面的方程都可表示成一個關(guān)于變數(shù)x, y, z的一次方程；

反過來，在方程Ax+By+Cz+D=0中，因為A，B，C不全為零，不妨設(shè)A≠0，則有

A2（x+）+Aby +AC z=0，即

顯然，它是由一點M0(的平面.＝0., 0, 0)與兩個方位矢量＝{B, －A, 0}，＝{C, 0, －A }確定

三、平面的點法式方程

1.如果在空間給定一點M0和一個非零矢量，那么通過點M0且與矢量垂直的平面唯一地被確定.把與平面垂直的非零矢量叫做平面的法矢量或簡稱平面的法矢.這個概念與中學(xué)幾何中的“過一點與已知直線垂直的平面是唯一確定的”一致.2.如圖3-2, 在空間直角坐標(biāo)系{O;，}下，設(shè)點M0的徑矢＝，平面?上任意一點M的徑矢為＝，且M0(x0, y0, z0), M(x, y, z)，則

?(－)＝0 或 A(x－x0)+B(y－y0)+C(z－z0)＝0 都叫做平面的點法式方程.3.如圖3-3, 如果平面上點M0特殊地取自原點O向平面?所引垂線的垂足P, 而?的法矢量取單位法矢量，當(dāng)平面不過原點時，則 的正向取為與相同；當(dāng)平面過原點時，|＝p，的正向在垂直于平面的兩個方向中任取一個，設(shè)|?－p＝0

叫做平面的矢量式法式方程.如果設(shè)＝{x, y, z}，＝{cos?, cos?, cos?}, 則

xcos? + ycos? + zcos?－p＝0

叫做平面的坐標(biāo)式法式方程或簡稱法式方程.4.把平面的一般方程 Ax+By+Cz+D＝0化為法式方程的方法如下：

以法式化因子 ?＝

（在取定符號后）乘以方程Ax+By+Cz+D＝0可得法式方程：

.其中?的選取，當(dāng)D?0時，使?D＝－p<0，即?與D異號；當(dāng)D＝0時，?的符號可以任意選?。ㄕ幕蜇?fù)的，一般選與A同號，若還有A＝0，則選與B同號等等）.例1.求通過M1(1, －1, －5)和M2(2, 3, －1)且垂直于xOz坐標(biāo)面的平面?的方程.解：取定點為M1(1,－1,－5)，方位矢量為＝{0,1,0}和

＝{1, 4, 4}，故有

＝0，即 4x―z―9＝0.例2.已知兩點A(a1, a2, a3)和B(b1, b2, b3)，求分別過AB的中點、兩個三等分點且與AB垂直的平面方程.解：?。絳a1－b1,a2－b2,a3－b3}為所求平面的法矢量, AB的中點是

M 兩個三等分點是 , ，M2，設(shè)P(x, y, z)為平面上任意點，則過M, M1, M2分別與AB垂直的平面的點法式方程為 M

1＝0或 ＝0，＝0或 ＝0，＝0或

化成坐標(biāo)式方程分別為

＝0.(a1－b1)(a1－b1)+(a2－b2)+(a2－b2)

+(a3－b3)+(a3－b3)

＝0.＝0.(a1－b1)+(a2－b2)+(a3－b3)＝0.例3.已知三角形頂點為A(0, －7, 0), B(2, －1, 1), C(2, 2, 2), 求平行于△ABC所在的平面且與它相距為2個單位的平面方程.解：△ABC所在的平面方程為

＝0 或 3x－2y＋6z－14＝0.設(shè)M(x, y, z)為所求平面上的任意一點，依題意有 ，3x－2y＋6z－14＝?14，故所求的平面方程有兩個：

3x－2y＋6z＝0 和3x－2y＋6z－28＝0.例4.求與原點距離為6個單位，且在三坐標(biāo)軸Ox, Oy與Oz上的截距之比為a:b:c＝－1:3:2的平面.解：依題意可設(shè)所求平面為 ，6x－2y－3z＋6k＝0，以法式化因子 ?＝? 乘以上式兩端

從而

?＝6, k＝?7 故所求的平面方程有兩個

6x－2y－3z ? 42＝0.例5.平面 ＝1分別與三個坐標(biāo)軸交于A, B, C, 求

△ABC的面積.解：依題意有A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c), 則

＝{－a, b, 0}, 所以

S△ABC＝＝||＝

|{bc, ac, －ab}|.＝{－a, 0, c}, 例6.設(shè)從坐標(biāo)原點到平面 ++=1的距離為p，求證 +

+

=

.證明：將++－1=0化為法線式

＋依題意有

＋－＝0，＝p，整理即得 ++=.作業(yè)題：

1.如果兩個一次方程(a－3)x+(b+1)y+(c－2)z+8＝0和(b+2)x+(c－9)y+(a－3)z－16＝0表示同一平面，試確定a, b, c的值.2.已知A(a1, a2, a3)及B(b1, b2, b3)，分別求過A、B且與AB垂直的平面的方程.3.原點O在所求平面上的正射影是P(a, b, c)，求平面方程.4.已知一平面過點M0.(x0, y0, z0)，且在x軸、y軸上的截距分別是a、b, 求其方程.§3.2平面與點的相關(guān)位置 §3.3 兩平面的相關(guān)位置

教學(xué)目的

1、理解點與平面的離差與距離概念及求法；

2、掌握判別點與平面、兩平面位置關(guān)系的方法；

3、會求兩平面的交角與距離。

教學(xué)重點 點與平面的離差和兩平面的位置關(guān)系 教學(xué)難點 點與平面的離差 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時 1

§3.2 平面與點的相關(guān)位置

一、位置關(guān)系

1.空間中兩點Mi(xi, yi, zi)(i=1,2)的位置關(guān)系，有且只有兩種情況，就是重合或不重合，重合的條件是兩點的坐標(biāo)對應(yīng)相等；在不重合時兩點間的距離為

||＝.2.空間中平面與點的位置關(guān)系，有且只有兩種情況，就是點在平面上，或點不在平面上，點在平面上的條件是點的坐標(biāo)滿足平面方程，點不在平面上時要考慮點到平面的離差，點到平面的距離.二、離差和距離

1.如圖3-4, 如果自點M0到平面?引垂線，垂足為Q，那么矢量射影叫做點M0與平面?的離差（或有向距離），記做?＝射影.2.點M0與平面?：?＝

?

＝0間的離差為 －p.在平面?的單位法矢量

上的其中 ＝.3.點M0(x0, y0, z0)與平面?：xcos+ycos?+zcos?－p＝0間的離差是

?＝x0cos+y0cos?+z0cos?－p.4.點M0(x0, y0, z0)與平面?： Ax+By+Cz+D＝0間的距離為

d＝|?|＝.5.平面?：Ax+By+Cz+D=0把空間劃分為兩部分，對于某一部分的點Ax+By+Cz+D>0；而對另一部分的點則Ax+By+Cz+D<0，在平面?上的點Ax+By+Cz+D＝0.例1.計算點M(－2, 4, 3)與平面?：2x－y＋2z＋3＝0間的離差和距離.解：將?化為法式方程

－所以

? ＝－(－2)+ ?4－

x + y－z－1＝0.，?3－1＝－

.例2.求通過x軸且與點M(5, 4, 13)相距8個單位的平面方程.解：由題意，設(shè)所求平面方程為 By + Cz＝0, 則

＝8，22平方化簡

48B－104BC－105C＝0，(12B－35C)(4B+3C)＝0, 得

B＝，或

B＝－C, 故所求平面方程為 35y+12z＝0 及 3y－4z＝0.例3.求原點關(guān)于平面6x+2y－9z+121＝0的對稱點的坐標(biāo).解：將平面方程法式化

－，d＝| ? |＝則 ＝{, －, }，p＝11.設(shè)對稱點為O?(x0, y0, z0)，由對稱點的性質(zhì)可有＝2p, 即{x0, y0, z0}＝{－12, －4, 18}，故所求對稱點的坐標(biāo)為O?(－12, －4, 18).例4.判別點M(2, －1, 1)和N(1, 2, 3)在由下列相交平面所構(gòu)成的同一個二面角內(nèi)，還是分別在相鄰二面角內(nèi)，或是分別在對頂二面角內(nèi)？

(1)?1：3x－y +2z－3＝0與 ?2：x－2y－z＋4＝0；(2)?1：2x－y +5z－1＝0與 ?2：3x－2y+6z－1＝0.解法一：設(shè)點M與平面?1, ?2間的離差分別為?M1, ?M2, 點N與平面?1, ?2間的離差分別為?N1, ?N2，則

M與N在同一二面角內(nèi)當(dāng)且僅當(dāng)?M1?N1>0且?M2?N2>0；

M與N在相鄰二面角內(nèi)當(dāng)且僅當(dāng)?M1?N1>0且?M2?N2<0, 或?M1?N1<0且?M2?N2>0;M與N在對頂二面角內(nèi)當(dāng)且僅當(dāng)?M1?N1<0且?M2?N2<0.（1）把?i(i＝1,2)法式化

?1：?2：－

x－x＋

y+y+

z－z－

＝0, ＝0, , 則

?M1＝, ?M2＝－, ?N1＝－, ?N2＝－由于

?M1?N1<0 且 ?M2?N2>0, 所以M, N在相鄰二面角內(nèi).（2）把?i(i＝1, 2)法式化

?1：?2：

x－

＝0，y+z－＝0，x－y+z－則

?M1＝, ?M2＝, ?N1＝－, ?N2＝－, 由于

?M1?N1<0 且 ?M2?N2<0, 所以M, N在對頂二面角內(nèi).解法二：設(shè)f1(x, y, z)＝3x－y+2z－3, f2(x, y, z)＝3x－2y+6z－1.則 M, N在同一二面角內(nèi)當(dāng)且僅當(dāng)f1M f1N>0且f2M f2N>0；

M, N在相鄰二面角內(nèi)當(dāng)且僅當(dāng)f1Mf1N>0且f2M f2N<0, 或f1M f1N<0且f2M f2N>0;M, N在對頂二面角內(nèi)當(dāng)且僅當(dāng)f1M f1N<0且f2M f2N<0.其中f1M表示f1(x, y, z)在M點的函數(shù)值，其余類似.(1)由于f1M＝6, f1N＝－8, f2M =7, f2N=4，f1M f1N<0且f2M f2N>0，所以M, N在相鄰二面角內(nèi)

(2)類似討論得M, N在對頂二面角內(nèi).例5.試求由平面?1: 2x－y+2z－3＝0與?2: 3x＋2y－6z－1＝0所構(gòu)成二面角的角平分面方程，在此二面角內(nèi)有點M(1, 2,－3).解：設(shè)P(x, y, z)為角平分面上任意一點，則依題意

＝，7(2x－y+2z－3)＝?3(3x+2y－6z－1).設(shè)f1(x, y, z)＝2x－y+2z－3，f2(x, y, z)＝3x+2y－6z－1.因為所求平分面分點M所在的二面角，所以點P與M或者在同一二面角內(nèi)或者在對頂二面角內(nèi)，于是由第4題解法二知

或

此即

或

因為

f1(1, 2, －3)＝2×1－2＋2×(－3)－3＝－9<0，f2(1, 2, －3)＝3×1+2×2－6×(－3)－1＝24>0.所以無論何種情況，f1(x, y, z)與f2(x, y, z)符號相反，從而

7(2x－y+2z－3)＝－3(3x+2y－6z－1)，整理得

23x－y－4z－24＝0.作業(yè)題：

1.證明點M0(x0, y0, z0)到平面?：Ax+By+Cz+D＝0的距離是

d＝.2.求與平面2x－y－z＋3＝0的離差等于－2的點的軌跡.3.在z軸上求一點，使它到M(1, －2, 0)與到平面3x－2y＋6z－9＝0的距離相等.4.求到平面2x－y＋z－7＝0和平面x＋y＋2z－11＝0距離相等的點的軌跡.§3.3 兩平面的相關(guān)位置

一、位置關(guān)系

1.兩平面的位置關(guān)系有：相交，平行，重合三種.2.設(shè)兩平面?i：

Aix+Biy+Ciz+Di＝0(i=1,2), 則?1, ?2的法矢量為

＝{A1, B1 ,C1}，＝{A2, B2, C2}.與

不平行）.(1)?1, ?2相交的充要條件是: A1:B1:C1 ? A2:B2:C2（(2)?1, ?2平行的充要條件是:

(3)?1, ?2重合的充要條件是:

二、夾角

＝＝

＝＝

?＝

(（∥∥).).1.如圖3-5, 在{O;，}下，兩平面的夾角為：?(?1, ?2)＝? 或(?－?)，其中?＝?(,), 量，從而

(i＝1, 2)是平面?i的法矢cos?(?1, ?2)＝?cos?＝?＝?2.兩平面?1與?2相互垂直的充要條件是：

A1A2＋B1B2＋C1C2＝0..⊥

即

例1.由cos?(?1, ?2)＝?，?1//?2的充要條件

是

＝

＝.證明：因為

?1//?2（∠(?1, ?2)＝0或?），所以 cos?(?1, ?2)＝±1, 所以

±＝±1，2222222平方得

(A1A2+B1B2+C1C2)＝(A1+B1+C1)(A2+B2+C2)，A21A22+B12B22+C21C22+2A1A2B1B2+2B1B2C1C2+2C1C2A1A2 ***222＝A1A2+B1B2+C1C2+A1B2+A1C2+A2B1+A2C1+B1C2+B2C1，整理得

222(A1B2－A2B1)＋(B1C2－B2C1)＋(C1A2－C2A1)＝0，所以

A1B2－A2B1＝0, B1C2－B2C1＝0, C1A2－C2A1＝0,

第五篇：解析幾何教案

解析幾何教案

一、位移向量：既有大小又有方向的量，簡稱向量；

兩點的距離公式： 中點公式：

例題：

二、直線的傾斜角和斜率

1.直線方程：

一次函數(shù)的圖象是直線，直線不一定是一次函數(shù)的圖象，如直線x=a連函數(shù)都不是 2.直線的傾斜角: 一條直線l向上的方向與x軸的正方向所成的最小正角，叫做這條直線的傾斜角，如圖1-21中的α．特別地，當(dāng)直線l和x軸平行時，我們規(guī)定它的傾斜角為0°，因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°．

直線傾斜角角的定義有下面三個要點：(1)以x軸正向作為參考方向(始邊)；(2)直線向上的方向作為終邊；(3)最小正角．

3.直線的斜率

傾斜角不是90°的直線．它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率．直線的斜率常用k表示，即

對于上面的斜率公式要注意下面四點：(1)當(dāng)x1=x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到． 例1 如圖1-23，直線l1的傾斜角α1=30°，直線l2⊥l1，求l1、l2的斜率．

∵l2的傾斜角α2=90°+30°=120°，例2 求經(jīng)過A(-2，0)、B(-5，3)兩點的直線的斜率和傾斜角．

∴tgα=-1．∵0°≤α＜180°，∴α=135°．因此，這條直線的斜率是-1，傾斜角是135°．

三、直線方程的一般形式：點斜式、斜截式、兩點式和截距式

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知直線上一點和直線的斜率或已知直線上兩點，會求直線的方程；給出直線的點斜式方程，能觀察直線的斜率和直線經(jīng)過的定點；能化直線方程成截距式，并利用直線的截距式作直線．(一)點斜式

設(shè)點P(x，y)是直線l上不同于P1的任意一點，根據(jù)經(jīng)過兩點的斜率公式得

當(dāng)直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1． 當(dāng)直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1．

(二)斜截式

已知直線l在y軸上的截距為b，斜率為k，求直線的方程．

這個問題，相當(dāng)于給出了直線上一點(0，b)及直線的斜率k，求直線的方程，是點斜式方程的特殊情況，代入點斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是

它是由直線的斜率和它在y軸上的截距確定的．

當(dāng)k≠0時，斜截式方程就是直線的表示形式，這樣一次函數(shù)中k和b的幾何意義就是分別表示直線的斜率和在y軸上的截距．

(三)兩點式

已知直線l上的兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直線的位置是確定的，也就是直線的方程是可求的，請大家求直線l的方程．

(1)方程只適用于與坐標(biāo)軸不平行的直線，當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行(x1=x2或y1=y2)時，可直接寫出方程；(2)要記住兩點式方程，只要記住左邊就行了，右邊可由左邊見y就用x代換得到，規(guī)律完全一樣．

(四)截距式

例1 已知直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b(a≠0，b≠0)，求直線l的方程．

解：因為直線l過A(a，0)和B(0，b)兩點，將這兩點的坐標(biāo)代入兩點式，得當(dāng)y1≠y2時，為了便于記憶，我們把方程改寫成就是

學(xué)生也可能用先求斜率，然后用點斜式方程求得截距式．

對截距式方程要注意下面三點：(1)如果已知直線在兩軸上的截距，可以直接代入截距式求直線的方程；(2)將直線的方程化為截距式后，可以觀察出直線在x軸和y軸上的截距，這一點常被用來作圖；(3)與坐標(biāo)軸平行和過原點的直線不能用截距式表示． 例2 三角形的頂點是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(圖1-27)，求這個三角形三邊所在直線的方程．

解：直線AB的方程可由兩點式得：

即 3x+8y+15=0這就是直線AB的方程．

BC的方程本來也可以用兩點式得到，為簡化計算，我們選用下面途徑： 由斜截式得：由截距式方程得AC的方程是

即 5x+3y-6=0．這就是直線BC的方程．

即 2x+5y+10=0．這就是直線AC的方程．

例3 證明：三點A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一條直線上．

證法一

直線AB的方程是：

化簡得 y=x+2．將點C的坐標(biāo)代入上面的方程，等式成立．∴A、B、C三點共線．

∴A、B、C三點共線．

例4 直線x+2y-10=0與過A(1，3)、B(5，2)的直線相交于C，此題按常規(guī)解題思路可先用兩點式求出AB的方程，然后解方程組得到點C的坐標(biāo)，再求點C分AB所成的定比，計算量大了一些．如果先用定比分點公式設(shè)出點C的坐標(biāo)(即滿足點C在直線AB上)，然后代入已知的直線方程求λ，則計算量要小得多．

代入x+2y-10=0有：解之得

λ=-3．

在直角坐標(biāo)系內(nèi),已知兩點A(x1,y1),B(x2,y2);在兩點連線上有一點P,設(shè)它的坐標(biāo)為(x,y),且線段AP比線段PB的比值為λ,那么我們說P分有向線段AB的比為λ

且P的坐標(biāo)為

x=(x1 + λ · x2)/(1 + λ)y=(y1 + λ · y2)/(1 + λ)例4 直線x+2y-10=0與過A(1，3)、B(5，2)的直線相交于C，此題按常規(guī)解題思路可先用兩點式求出AB的方程，然后解方程組得到點C的坐標(biāo)，再求點C分AB所成的定比，計算量大了一些．如果先用定比分點公式設(shè)出點C的坐標(biāo)(即滿足點C在直線AB上)，然后代入已知的直線方程求λ，則計算量要小得多．

代入x+2y-10=0有：解之得

λ=-3．

定比分點公式的特殊情況

中點公式：

已知兩點A(x1,y1),B(x2,y2)，設(shè)兩點中點為P（x，y）

則 x=(x1+x2)/2；y=(y1+y2)/2.三角形重心公式：

已知三角形ABC [A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）]，設(shè)三角形重心為G（x,y）

則x=(x1+x2+x3)/3；y=(y1+y2+y3)/3 分點的不同情況

當(dāng)P為內(nèi)分點時,λ>0;

當(dāng)P為外分點時,λ<0(λ≠-1);

當(dāng)P與A重合時,λ=0;當(dāng)P與B重合時λ不存在

四、兩條直線的位置關(guān)系：兩條直線的平行與垂直

(一)特殊情況下的兩直線平行與垂直 當(dāng)兩條直線中有一條直線沒有斜率時：(1)當(dāng)另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角為90°，互相平行；(2)當(dāng)另一條直線的斜率為0時，一條直線的傾斜角為90°，另一條直線的傾斜角為0°，兩直線互相垂直．

(二)斜率存在時兩直線的平行與垂直

設(shè)直線l1和l2的斜率為k1和k2，它們的方程分別是l1： y=k1x+b1； l2： y=k2x+b2．

兩直線的平行與垂直是由兩直線的方向來決定的，兩直線的方向又是由直線的傾斜角與斜率決定的，所以我們下面要解決的問題是兩平行與垂直的直線它們的斜率有什么特征．

我們首先研究兩條直線平行(不重合)的情形．如果l1∥l2(圖1-29)，那么它們的傾斜角相等：α1=α2．∴tgα1=tgα2．即 k1=k2．反過來成立

結(jié)論：兩條直線有斜率且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，則它們平行，即(，b1不等于b2)l1與l2重合《==》k1= k2,b1= b2 兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，則它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，則它們互相垂直，即

例1 已知兩條直線l1： 2x-4y+7=0，L2： x-2y+5=0．求證：l1∥l2． 證明兩直線平行，需說明兩個要點：(1)兩直線斜率相等；(2)兩直線不重合． 例2求過點 A(1，-4)，且與直線2x+3y+5=0平行的直線方程．

因所求直線與2x+3y+5=0平行，可設(shè)所求直線方程為2x+3y+m=0，將A(1，-4)代入有m=10，故所求直線方程為

2x+3y+10=0．

例3 求過點A(2，1)，且與直線2x+y-10=0垂直的直線方程：x-2y=0．

五、兩條直線的位置關(guān)系：兩條直線所成的角

一條直線與另一條直線所成角的概念及其公式，兩直線的夾角公式，能熟練運用公式解題．

l1到l2的角正切

兩條直線l1和l2相交構(gòu)成四個角，它們是兩對對頂角．為了區(qū)別這些角，我們把直線l1依逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與l2重合時所轉(zhuǎn)的角，叫做l1到l2的角．圖1-27中，直線l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2(θ1+θ2=180°)．

l1到l2的角有三個要點：始邊、終邊和旋轉(zhuǎn)方向．

現(xiàn)在我們來求斜率分別為k1、k2的兩條直線l1到l2的角，設(shè)已知直線的方程分別是

l1∶y=k1x+b1 l2∶y=k2x+b2 如果1+k1k2=0，那么θ=90°，下面研究1+k1k2≠0的情形．征進(jìn)行記憶．(四)例題

解：k1=-2，k2=1．

上面的關(guān)系記憶時，可抓住分子是終邊斜率減始邊斜率的特

∴θ=arctg3≈71°34′．

例3等腰三角形一腰所在的直線l1的方程是x-2y-2=0，底邊所在的直線l2的方程是x+y-1=0，點(-2，0)在另一腰上，求這腰所在直線l3的方程． 解：先作圖演示一腰到底的角與底到另一腰的角相等，并且與兩腰到底的角與底到另一腰的角相等，并且與兩腰的順序無關(guān)．設(shè)l1、l2、l3的斜率分別是k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，則

因為l1、l2、l3所圍成的三角形是等腰三角形，所以θ1=θ2．tgθ2=tgθ1=-3．

解得 k3=2．因為l3經(jīng)過點(-2，0)，斜率為2，寫出點斜式為y=2[x-(-2)]，即 2x-y+4=0．這就是直線l3的方程．

講此例題時，一定要說明：無須作圖，任一腰到底的角與底到另一腰的角都相等，要為銳角都為銳角，要為鈍角都為鈍角．

六、兩條直線的位置關(guān)系：兩條直線的交點(一)兩直線交點與方程組解的關(guān)系 設(shè)兩直線的方程是

l1： A1x+B1y+c1=0，l2： A2x+B2y+C2=0．

如果兩條直線相交，由于交點同時在兩條直線上，交點的坐標(biāo)一定是這兩個方程的公共解；反之，如果這兩個二元一次方程只有一個公共解，那么以這個解為坐標(biāo)的點必是直線l1和l2的交點．因此，兩條直線是否相交，就要看這兩條直線的方程所組成的方程組

是否有唯一解．

例2 已知兩條直線：l1： x+my+6=0，l2：(m-2)x+3y+2m=0． 當(dāng)m為何值時，l1與l2：(1)相交，(2)平行，(3)重合．

解：將兩直線的方程組成方程組

解得m=-1或m=3．

(2)當(dāng)m=-1時，方程組為∴方程無解，l1與l2平行．

(3)當(dāng)m=3時，方程組為兩方程為同一個方程，l1與l2重合．

七、點到直線的距離公式

平面內(nèi)一點P(x0，y0)到一條直線Ax+By+C=0的距離公式：例2 求平行線2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距離．

解：在直線2x-7y-6=0上任取一點，例如取P(3，0)，則兩平行線間的距離就是點P(3，0)到直線2x-7y+8=0的距離(圖1-38)．

例3 正方形的中心在C(-1，0)，一條邊所在的直線方程是x+3y-5=0，求其它三邊所在的直線方程．

解：正方形的邊心距

設(shè)與x+3y-5=0平行的一邊所在的直線方程是x+3y+C1=0，則中心到

C1=-5(舍去0)或C1=7．∴與x+3y-5=0平行的邊所在的直線方程是x+3y+7=0． 設(shè)與x+3y-5=0垂直的邊所在的直線方程是3x-y+C2=0，則中心到這

解之有C2=-3或C2=9．∴與x+3y-5=0垂直的兩邊所在的直線方程是3x-y-3=0和3x-y+9=0．

一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1，標(biāo)準(zhǔn)方程：由兩點間的距離公式得：

將上式兩邊平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2．圓心是C(a，b)、半徑是r 當(dāng)圓心在原點即C(0，0)時，方程為 x2+y2=r2．

2，一般方程：我們已討論了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2，現(xiàn)將展開可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可見，任何一個圓的方程都可以寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0．

將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左邊配方得：

(1)

(1)當(dāng)D2+E2-4F＞0時，方程(1)與標(biāo)準(zhǔn)方程比較，可以看出方程

半徑的圓；

(3)當(dāng)D2+E2-4F＜0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形． 當(dāng)二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有條件：

(1)x2和y2的系數(shù)相同，不等于零，即A=C≠0；(2)沒有xy項，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0．它才表示圓．條件(3)通過將方程同除以A或C配方不難得出．