第一篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案第一章第1節(jié)[推薦]

第一章

隨機事件及其概率

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是從數(shù)量化的角度來研究現(xiàn)實世界中一類不確定現(xiàn)象（隨機現(xiàn)象）規(guī)律性的一門應用數(shù)學學科，20世紀以來，廣泛應用于工業(yè)、國防、國民經(jīng)濟及工程技術等各個領域.本章介紹的隨機事件與概率是概率論中最基本、最重要的概念之一.第一節(jié) 隨機事件

內容分布圖示

★ 隨機現(xiàn)象

★ 樣本空間

★ 隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性 ★ 隨機事件

★ 事件的集合表示 ★ 事件的關系與運算 ★ 事件的運算規(guī)律

★ 例1 ★ 例4 ★ 內容小結

★習題1-1

★ 例2 ★ 例5 ★ 課堂練習

★ 例3 內容要點：

一.隨機現(xiàn)象

從亞里士多德時代開始,哲學家們就已經(jīng)認識到隨機性在生活中的作用, 但直到20世紀初, 人們才認識到隨機現(xiàn)象亦可以通過數(shù)量化方法來進行研究.概率論就是以數(shù)量化方法來研究隨機現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門數(shù)學學科.而我們已學過的微積分等課程則是研究確定性現(xiàn)象的數(shù)學學科.二.隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性

由于隨機現(xiàn)象的結果事先不能預知, 初看似乎毫無規(guī)律.然而人們發(fā)現(xiàn)同一隨機現(xiàn)象大量重復出現(xiàn)時, 其每種可能的結果出現(xiàn)的頻率具有穩(wěn)定性, 從而表明隨機現(xiàn)象也有其固有的規(guī)律性.人們把隨機現(xiàn)象在大量重復出現(xiàn)時所表現(xiàn)出的量的規(guī)律性稱為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性.概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學科.為了對隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性進行研究,就需要對隨機現(xiàn)象進行重復觀察, 我們把對隨機現(xiàn)象的觀察稱為隨機試驗, 并簡稱為試驗，記為E.例如, 觀察某射手對固定目標進行射擊;拋一枚硬幣三次,觀察出現(xiàn)正面的次數(shù);記錄某市120急救電話一晝夜接到的呼叫次數(shù)等均為隨機試驗.隨機試驗具有下列特點: 1.可重復性: 試驗可以在相同的條件下重復進行;2.可觀察性: 試驗結果可觀察,所有可能的結果是明確的;3.不確定性: 每次試驗出現(xiàn)的結果事先不能準確預知.三.樣本空間 盡管一個隨機試驗將要出現(xiàn)的結果是不確定的, 但其所有可能結果是明確的, 我們把隨機試驗的每一種可能的結果稱為一個樣本點, 記為e（或?）；它們的全體稱為樣本空間, 記為S(或?).基本事件的稱謂是相對觀察目的而言它們是不可再分解的、最基本的事件，其它事件均可由它們復合而成，一般地，我們稱由基本事件復合而成的事件為復合事件.四.事件的集合表示

按定義, 樣本空間S是隨機試驗的所有可能結果(樣本點)的全體, 故樣本空間就是所有樣本點構成的集合, 每一個樣本點是該集合的元素.一個事件是由具有該事件所要求的特征的那些可能結果所構成的, 所以一個事件對應于S中具有相應特征的樣本點(元素)構成的集合, 它是S的一個子集.于是, 任何一個事件都可以用S的某一子集來表示,常用字母A,B,?等表示.五.事件的關系與運算

因為事件是樣本空間的一個集合, 故事件之間的關系與運算可按集合之間的關系和運算來處理.六.事件的運算規(guī)律

事件間的關系及運算與集合的關系及運算是一致的，為了方便，給出下列對照表：

表1.1 記號??概率論樣本空間,必然事件不可能事件基本事件事件A的對立事件事件A發(fā)生導致B發(fā)生事件A與事件B相等事件A與事件B至少有一個發(fā)生事件A與事件B同時發(fā)生事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生事件A和事件B互不相容集合論全集空集元素子集A的余集A是B的子集A與B的相等A與B的和集A與B的交集A與B的差集A與B沒有相同的元素?AAA?BA?BA?BABA?BAB??

例題選講：

例

1在管理系學生中任選一名學生, 令事件A表示選出的是男生, 事件B表示選出的是三年級學生, 事件C表示該生是運動員.(1)敘述事件ABC的意義;(2)在什么條件下ABC?C成立?(3)什么條件下C?B?(4)什么條件下A?B成立? 解(1)ABC是指當選的學生是三年級男生, 但不是運動員.(2)只有在C?AB, 即C?A,C?B同時成立的條件下才有ABC?C成立, 即只有在全部運動員都是男生, 且全部運動員都有是三年級學生的條件下才有ABC?C.(3)C?B表示全部運動員都是三年級學生, 也就是說, 若當選的學生是運動員, 那么一定是三年級學生, 即在除三年級學生之外其它年級沒有運動員當選的條件下才有C?B.(4)A?B表示當選的女生一定是三年級學生, 且B?A表示當選的三年級學生一定是女生.換句話說, 若選女生, 只能在三年級學生中選舉, 同時若選三年級學生只有女生中選舉.在這樣的條件下, A?B成立.例2 考察某一位同學在一次數(shù)學考試中的成績, 分別用A, B, C, D, P, F表示下列各事件(括號中表示成績所處的范圍):

A??優(yōu)秀([90,100]), B??良好([80,90))，C??中等([70,80)),D??及格([60,70)),P??通過([60,100]),F??未通過([0,60)),則A,B,C,D,F是兩兩不相容事件P與F是互為對立事件，即有P?F;A,B,C,D均為P的子事件，且有

P?A?B?C?D.例3（講義例1）甲，乙，丙三人各射一次靶，記A?“甲中靶” B?“乙中靶” C?“丙中靶” 則可用上述三個事件的運算來分別表示下列各事件：

(1)“甲未中靶”：

A;

(2)“甲中靶而乙未中靶”：

AB;

(3)“三人中只有丙未中靶”：

ABC;

(4)“三人中恰好有一人中靶”：

ABC?ABC?ABC;

(5)“ 三人中至少有一人中靶”：

A?B?C;

(6)“三人中至少有一人未中靶”： A?B?C;或ABC;(7)“三人中恰有兩人中靶”：

ABC?ABC?ABC;

(8)“三人中至少兩人中靶”：

AB?AC?BC;(9)“三人均未中靶”：

ABC;(10)“三人中至多一人中靶”：

ABC?ABC?ABC?ABC;

(11)“三人中至多兩人中靶”：

ABC或A?B?C.注：用其他事件的運算來表示一個事件, 方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)實際上是同一事件，讀者應學會用不同方法表達同一事件, 特別在解決具體問題時,往往要根據(jù)需要選擇一種恰當?shù)谋硎痉椒?例

4指出下列各等式命題是否成立, 并說明理由:(1)A?B?(AB)?B;(2)AB?A?B;(3)A?B?C?ABC;(4)(AB)(AB)??.解(1)成立.(AB)?B?(A?B)?(B?B)(分配律)?(A?B)?S?A?B.(2)不成立.若A發(fā)生, 則必有A?B發(fā)生, A發(fā)生, 必有A不發(fā)生, 從而AB不發(fā)生, 故AB?A?B不成立.(3)不成立.若A?B?C發(fā)生, 即C發(fā)生且A?B發(fā)生, 即必然有C發(fā)生.由于C發(fā)生, 故C必然不發(fā)生, 從而ABC不發(fā)生, 故(3)不成立.(4)成立.(AB)(AB)?(AB)(BA)?A(BB)A?(A?)A??A??.例5 化簡下列事件：

(1)(A?B)(A?B);

(2)AB?AB?AB.解(1)(A?B)(A?B)?[A(A?B)]?[B(A?B)](分配律)

?(AA?AB)?(BA?BB)?(A?AB)]?(BA??)(因AB?A)?A?BA?A.(2)AB?AB?AB?AB?AB?AB?AB?AB?AB?AB?AB(交換律)

?(AB?AB)?(AB?AB)(結合律)

?(A?A)B?A(B?B)?B?A?AB.(對偶律)

課堂練習

1.設當事件A與B同時發(fā)生時C也發(fā)生, 則（）.(A)A?B是C的子事件;

(B)ABC;或A?B?C;

(C)AB是C的子事件;

(D)C是AB的子事件.2.設事件A?{甲種產(chǎn)品暢銷, 乙種產(chǎn)品滯銷}, 則A的對立事件為（）.(A)甲種產(chǎn)品滯銷,乙種產(chǎn)品暢銷;(B)甲種產(chǎn)品滯銷;(C)甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷;(D)甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷.

第二篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計

概率論與數(shù)理統(tǒng)計，運籌學，計算數(shù)學，統(tǒng)計學，還有新增的應用數(shù)學，每個學校情況不太一樣，每個導師研究的方向也不太一樣。看你報的哪個學校了~~ 贊同

數(shù)學的方向還是比較多的，比如金融，計算機，理科的方向 贊同

參看08年該校碩士招生簡章中的專業(yè)目錄及參考書目，先做到心里有數(shù) 09年的在08年7、8月份才能出 每年新的招生簡章都是在上一年的研究生招生錄取工作結束之后才能公布的 所以不要急 最早也要等到7月份 現(xiàn)在不要急 先按照08的看 一般兩三年之內不會有什么變化 即使有 也是在原有基礎上 增加或改動一兩本參考書的版本 不會有實質性的變動 而且 你如果現(xiàn)在就開始準備考研復習那就算比較早的了 一般從暑假開始復習就可以的 所以這個時期是基礎段復習可把精力主要放在英語上 強化英語考研詞匯是非常必要的 至于專業(yè)課 可以先按08的指定參考書初步復習等新的招生簡章出來 再進行有針對性地復習不用擔心萬一改動了我會不會白白看了 以一個過來人的經(jīng)驗 知識儲備的越多越好 名校的試題往往不局限于指定參考書的范圍（樓主既然這么問了，這要好好慢慢的回答）

建議樓主考清華的經(jīng)濟學研究生，清華的工科類要強于北大（個人意見）；2，清華現(xiàn)在要考考A版的數(shù)學對你的有點好處，但影響不大，復試對你有利。3，清華的專業(yè)課考的難都因人而異，初試復試考一樣的專業(yè)課,包括金融學（含國際金融、證券投資、投資市場、保險精算等，本專業(yè)所招人數(shù)最多）、國際經(jīng)貿(mào)（研究生階段叫做世界經(jīng)濟）、西方經(jīng)濟學、財政學、政治經(jīng)濟學專業(yè);報考時可以隨意報考自己喜歡的專業(yè)，錄取時先全院統(tǒng)一錄?。ò捶謹?shù)高低），再按分數(shù)與志愿選擇；專業(yè)課考的不是很難；（建議樓主去看下金融學基礎，復旦大學出版社簡稱白皮書，或許對你有幫助）4，清華經(jīng)濟就業(yè)形勢就目前環(huán)境下就業(yè)非常棒，中國才處于開始階段，每年畢業(yè)生到各大銀行、金融機構、保險機構、證券公司、財政貨幣機關、國家機關及高校任職，待遇非常之高！

網(wǎng)站，你可以試試去這里看看。在頁面中部的對話框輸入學校或專業(yè)就可以任意查。在這里，你還可以查到任意學校的招生簡章，復習指導，網(wǎng)上報名及其它重要信息。全國各校公布分數(shù)線的時間也在這里最早發(fā)布。你可以試試，相信不會讓你失望。。

因你是轉專業(yè)，再給你一點個人建議吧

一、慎重選擇：不要輕易下決定

不斷地學習不同領域的知識，是所有有求知欲的人們的美好愿望，然而，這同樣會成為朝三暮四的借口。

其實，很多考研人本來就存有逃避現(xiàn)實社會的壓力，而選擇繼續(xù)呆在學校的心理;而在跨專業(yè)考研的人中，更有許多人根本就沒有好好學過原來的專業(yè)，甚至從沒認真考慮過是否自己適合它，只為了逃避，才選個看起來容易的專業(yè)去考。

如果是這樣，請先停下來想想自己到底想要什么再說。因為一顆對待生活從不認真的心，是不會因為換了個專業(yè)就能有起色的。

如果不是這樣，那么，也請三思。就因為一直認真，這次更要謹慎。

首先，考研復習將是艱巨的歷程。隔行如隔山——這句古諺將貫穿之后的整個求學過程。自己原來的專業(yè)，再不濟也學了三四年，耳濡目染，基礎知識一定比沒學過的扎實，細節(jié)也許沒鉆研，但大的格局和概念、思維方式是存在于腦海中的，即使是每次考前一個月的突擊，突擊了四年，也不是沒有用的。這就是本專業(yè)對于外專業(yè)的一大優(yōu)勢。反過來，即是跨專業(yè)者相對于本專業(yè)者的劣勢。

復習的時候，要花更多的時間在專業(yè)課上，使得基礎課很容易就被擱置了，而任何一科的掉隊，都會影響整個復習過程的心態(tài)和考試結果。

其次，備考中可能出現(xiàn)意想不到的困難。

不熟悉專業(yè)試題的答題慣例，會莫名其妙丟掉不該丟的分。而且，筆試通過了，復試中存在的不確定性因素，使跨專業(yè)者總是難以擁有“盡在掌握”的自信，而它確實也是難以“盡在掌握”的。

最后，也是最重要的，考上之后三年的研究生生活。

不管是面對基本功扎實的同學們，還是面對有一定要求和標準的導師，還是面對也許讓自己一時找不到坐標點的新求學生涯——如何給自己定位，如何重拾自信，如何建立對新專業(yè)的“新感情”，如何規(guī)劃以后的職業(yè)和人生，這都是需要付出比別人更多心力去克服的問題。所以，是否要轉變方向，換一個專業(yè)，需要尖銳嚴格地審視自身，而不是盲目跟風，可以考慮以下幾點：

是否真正熱愛將要為之付出心血的新專業(yè)?

長遠來看，這個新領域是否有自己的天賦和性格發(fā)揮的空間?

是否可以肯定學習三年之后真能豐富完善自己的知識結構，而不是剃頭擔子兩頭塌?最后也是最基本最當前的問題：基礎課是否有自身優(yōu)勢?沒有優(yōu)勢怎么撥得出更多的時間給專業(yè)課的復習?

二、審時度勢：了解自己，踏實去做

經(jīng)過了自我的拷問，還堅定地要跨專業(yè)考研的朋友——相信你一定是個頭腦清醒、夢想堅定的人。

在此，我們不得不再次強調跨專業(yè)考研的理由和標準：第一，熱愛;第二，基于對自身才智和優(yōu)勢短處進行全面評估而做出的決定;第三，要自信，更要不怕苦不怕累。

可以舉個例子。一個在學校并非不認真對待自己學業(yè)的考研人，在經(jīng)過四年的學習之后，發(fā)現(xiàn)仍然不喜歡自己所學的數(shù)學專業(yè)，而愛好文史哲。如果基礎課英語政治還不錯，那么他就具備了考慮跨專業(yè)考研的最低要求。那么，接下來怎么確定專業(yè)呢?首先，看愛好。對新聞傳播、考古、文學皆有興趣，怎么辦?一個一個排除。對于新聞，多搜集資料，看作為一個新聞工作者需要什么樣的素質，比如，敏銳的新聞感、強烈的爭取和參與意識、健康的身體。直面自己的優(yōu)缺點，如果有敏銳的新聞感，卻沒有強烈的爭取和參與意識，甚至都無法面對需要長時間的工作強度，那么放棄。對于考古，作同樣評估;另外，如果這時你的父母親反對你的考古夢想，請把他們的憂慮考慮進去，一意孤行并不可取，要考慮到家庭的實際情況;并且，父母也是了解你的人，他們對你的性格、天分其實很了解。那么如果你認為父母意見的可接受性大過你對于考古的熱忱，考古這一項，也被劃去。最后剩下文學，如果經(jīng)過一系列評估，覺得可行，那么它之下還有很多專業(yè)細分，是中國文學還是世界、比較文學，是古代文學還是現(xiàn)當代文學?要根據(jù)自己平時看書的偏好、積累的多少、考試試題能否應付等等內在和外在的因素來決定。這些將和下一部分聯(lián)系起來談。

這只是一個例子，跨專業(yè)的方向轉變五花八門，幾頁紙不可能描述詳盡，我們只能通過這個例子，了解一下需要考慮和平衡的各方面因素。

當然，請牢記，內心的熱愛和對自己學習能力的自信在選擇中最為重要。有了這兩點，相

信你的選擇會是對你而言最好的選擇。這將是一個美麗的決定，決定之后，一定有云開見日的感覺。方向確定了，就朝著那兒毫不回頭地走吧。

三、報考準備：眼觀六路，耳聽八方

讓我們直接進入主題。

第一，細分專業(yè)和學校，確定報考目標。一定要看自己喜歡哪個城市，既然想借助這次的考研改變現(xiàn)狀開始一段新的求學歷程，一直想去哪個(或哪些)城市念書就不要將就。圈出大致范圍，再找到那里學校的招生簡章、專業(yè)招生表——網(wǎng)上查找或動用一切關系。特別要注意的是，你有意向的專業(yè)是否拒絕跨專業(yè)考生。在進行認真細致的對比之下確定兩到三個你想去的名校和你喜歡的專業(yè)。這一步可以和前面確定城市同時進行，每個人情況不同，自行制定每一步適合自己的計劃是必要的，而且能從中得到極大的充實感，總之，它讓我們感到：一切都在自己的控制之下。

然后，盡可能地多找一些這幾個可選學?？蛇x專業(yè)的歷年試題，仔細研究，看看哪一類的試題自己更有把握。這一步至關重要，這一步不可省略也不可推后，它將直接影響到以后的考試發(fā)揮。經(jīng)過這一步，學校和細分專業(yè)幾乎都能定下來了。

這一階段什么時候進行呢?越早越好。我們不提倡把戰(zhàn)線拉得太長，真正有效的復習從4月到次年1月足矣;然而跨專業(yè)不同，需要“醞釀”。可以不用過早開始真正的復習，但至少要比別人早兩個月到半年開始尋找學校、涉獵與新專業(yè)相關的期刊、書籍、尋找對于新專業(yè)的親近感和對于新學校新未來的向往感——這是真正復習開始的前站，用這段時間彌補跨專業(yè)的不足，在真正的戰(zhàn)役打響時，我們將更加堅定更有信心。

第二，專業(yè)課教材到位。前面把工作真正做到細致，4月份到5月份一定要定下最終要考的學校和專業(yè)。定下之后，就要相信自己的判斷，不要猶疑，快去買專業(yè)課教材!按照學校列出的書目買全專業(yè)課教材，還要找出一兩個能幫上忙師兄師姐、找同學、找親戚，甚至找網(wǎng)友去打聽沒有列出的那些。

這里有兩個問題：買書和找?guī)熜謳熃恪约耗苜I到的書，盡量自己去買，有學?？梢脏]購，有書店可以搜尋，再不行，去圖書館系統(tǒng)或網(wǎng)上找出這本書的出版社，找到出版社電話，打電話、匯款去郵購。不要一開始就事事麻煩別人，自己能解決的自己找渠道解決。后面有更重要的事去麻煩他們。實在不行了，去找?guī)熜謳熃?，最重要的是問題要明確。隨便說：“我要考你們學校某專業(yè)，請幫助我”是沒用的。要明確說出你的具體問題，要考哪些書，重點看哪些泛讀看哪些，打聽到哪里能買到自己卻沒辦法，請他們幫忙——聽到這么明確的問題，人人都會樂意幫忙。6月底之前，主要的專業(yè)課教材一定要到位。

第三，復習時要注意的問題。

首先，基礎課不能偏廢。前面說了，基礎課要有一定把握，才可能跨專業(yè)考研，否則到關鍵時刻就會感到分身乏術。在主攻專業(yè)課時，基礎課一天都不能停?？梢杂迷绯?、吃午飯前、吃晚飯前以及睡覺前的時間去復習英語：閱讀、單詞、聽力，一個都不能少。如果每天堅持，就是這些邊邊角角的時間都足夠英語的復習準備。政治也一樣，最好報一個秋季班，幾個月上下來，有老師領著復習，比自己摸索更有效率，大致的知識脈絡也會清晰起來了。請相信自己，從初中就開始學的這門課，不會差到哪里去，但也要在心里培養(yǎng)對它的興趣，一討厭它、擱置一段日子，一切都晚了;反過來，每天花兩個小時，只要堅持，就會既輕松又有成就感。

跨專業(yè)考生往往把一腔熱情放在專業(yè)課上，有意無意地就偏廢了基礎課，等發(fā)覺時間緊迫的時候，回頭一看基礎課落下一大截，這會大大影響后面沖刺和考試的信心。

其次，專業(yè)課復習。11月份報名之前一定要把專業(yè)書踏踏實實至少細讀一遍。這一遍不要欺騙自己，質量至上，一定要全部弄通弄懂。這樣在后面的兩個月才會更有底。

筆記一定要做。當11月報名時間來臨時，你會發(fā)現(xiàn)越來越多的人們討論起復習進度。那時候本專業(yè)考生和別的跨專業(yè)考生所做的準備和進度會讓你大驚失色——有那么多人準備得那么好!本來就對不熟悉的專業(yè)容易產(chǎn)生的“心虛”這個時候會更加強烈，那么回過頭總結一下自己的成果，只有實實在在密密麻麻的幾本筆記會成為自己的強心劑，數(shù)數(shù)看，幾本筆記，七八萬字是少不了的。加上政治英語，你會為自己所做的上10萬字的筆記而驚訝的。這是積聚信心、抬頭挺胸的重要來源。

四、全力復習：堅持到底，毫不畏懼

首先，研究歷年試題，自己劃重點。歷年試題非常非常重要，報名之前即11月初，一定要把學校相關專業(yè)的歷年試題弄到手。這需要積極調動網(wǎng)絡資源，自己能下載的下載，能買到的去買，最后一招：求助師兄師姐。這時提出的請求也一樣要盡可能明確。有一個女生，考某大學某專業(yè)，通過同學的同學的姐姐，找到一位師姐，打電話給她：“我知道你們學校圖書館五樓的閱覽室有歷年試題的專柜，可以借出來復印。請幫忙復印某年到某年某專業(yè)的??”該師姐大驚：“我都不知道有這樣一個地方，你怎么知道的?”這個女生慢慢說來，怎么從網(wǎng)上找到該學校專欄討論、怎么了解到的，師姐大開眼界，興趣高漲，幫她把相關專業(yè)能找到的試題全都復印一通寄去。

接下來就是更仔細地研究試題。只需要一個晚上時間，把歷年試題全都擺在桌面，總結規(guī)律和重點難點，老師出題的習慣等等。借此可以劃出下一步復習的重點(甚至是考試的重點)，不再一律通讀，而是有頭腦的、有目標的復習。不要怕系內老師改朝換代，再改也有一脈相承的科研風格，掌握了大體，以不變應萬變。

劃完重點，一股“運籌帷幄”的氣勢油然而生，趁著這股氣勢，投入到更深入的復習中去，一定事半功倍。

其次，為考試做準備，掌握專業(yè)答題習慣。在剩下的兩個月當中，一定要找點時間去學校的自己要考的專業(yè)宿舍混混，目的是了解專業(yè)答題有什么慣例、有什么特殊要求和需要注意的地方。隨便哪個學校都行，自己方便找的、正規(guī)的大學就可以;當然，方便的話，最佳選擇就是所考學校研一同專業(yè)學生宿舍，這樣就不僅了解試題情況，還可以挖掘更多這兩個月應該注意的問題。

考試的時候，和復習中所強調的一樣——一定要自信。要相信自己經(jīng)過了周密的計劃、萬全的準備。拿到試卷的時候，要像熱愛專業(yè)書籍一樣熱愛它們，冷靜的頭腦，熱情的心靈，一定戰(zhàn)無不勝。

最后，就是復試了。關于導師是否要找，各有各的說法，能找到最好，沒找過的也不用惴惴不安。相信自己最重要。

其實接到復試通知書的時候，一般都沒有更多時間去擴展知識面了，這些是最初就應該做的。這時候跨專業(yè)考生常常擔心自己的基礎不夠，再次心虛。那么與其瞎抓一把，不如把以前看過的書拿出來再翻一遍，總有用得上的，做生不如做熟。對于某些領域的熟悉或精通，比泛泛而談更能顯出自己的特色。用真誠的微笑和哪怕是使勁鼓才能鼓起的信心和勇氣，去直面導師。好歹經(jīng)過這一年的學習，我們也算復合型人才了，怕什么!

說到這里，整個過程看起來完了——其實沒有!拿到錄取通知書的時候，是一個開始。

進入研究生階段的學習，是一個更自主、更專業(yè)的學習過程，跨專業(yè)學生一踏入這片天地，肯定會受到?jīng)_擊。不熟悉的領域，老師覺得應該是常識自己卻聞所未聞的知識，難以找到的新生活定位??這些都要有心理準備。建議在5月到8月這段天堂般的生活中也不要忘記看看與專業(yè)相關的書籍(并非專業(yè)課本)，繼續(xù)打基礎，進入研究生生活根本沒有時間給你去打基礎。

總之，對于勇敢的考研人，繼續(xù)用韌性和信心，在開學前調養(yǎng)好身心，并不放棄不斷學習的好習慣，為進入一個新的求學生涯做好準備，都是必要的。相信這樣貫穿始終的準備，一定會迎來新的局面，實現(xiàn)挑戰(zhàn)人生充實自己的夢想。對生活認真，生活也會認真地回報你。要相信，要堅持。

第三篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》公共基礎課教學實踐

1012502-31 湯建波

概率與數(shù)理統(tǒng)計在現(xiàn)實的牛產(chǎn)和生活中有著廣泛的應用，因此，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》作為公共課是很多專業(yè)所必修的。但是，由于這門課的學習方法與《微積分》《線性代數(shù)》等其他課程有著極大的差異，很多學生在學習過程中感到難以把握概念與理論，在遇到問題時不知如何人手。因此，筆者在總結這幾年教學實踐的基礎上，提出以下思考。

一、適度引入案例。形成生動教學及啟發(fā)性教學

概率論源于博弈，是賭博中的很多問題催生了概率論這門數(shù)學學科。在開課伊始，教師就適度引入觸發(fā)概率論的一些問題，如“De．mere”問題，“分賭金問題”等等，使學生在故事中不僅得到r課本里所沒有的歷史知識，而且無形中可以提高學習興趣，消弭一部分同學的畏難情緒。另外，再在隨后的教學過程中引入“彩票中獎問題”“蒙特卡羅法求訂法”“保險付賠問題”等等，引導學生了解、探索這門學科在現(xiàn)實中的應用，使學乍實現(xiàn)由知識向能力的轉化，從而增強學，F(xiàn)利用概率統(tǒng)計解決實際問題的“欲望”，促使他們更好地認識現(xiàn)實世界。

概念是概率課程中最基本的內容，對概念的理解程度直接影響學生對這門課程的學習與掌握程度。在教學中，應盡量從實際問題入手，先提出問題，接著在問題的分析和解決中抽象出概念，讓學生清楚概念的來龍去脈，而不是硬性給出定義，讓學生死記硬背。例如，在講述“事件”這個定義時，引入“衛(wèi)瞿嫦娥二號將于2010年10月1日發(fā)射”這一現(xiàn)實中的“事件”在概率論中應該是“實驗”，而其結果“發(fā)射成功”才能算是概率論所定義的“事件”，這樣，在區(qū)別現(xiàn)實的“事件”與概率論所研究的“事件”基礎上，學生加深了對“事件”這一定義的理解。在闡明相互獨立和互不相容之間的區(qū)別有P(A)>0，P(B)>0時，A、B相瓦獨屯與互不相容是不能同時成立的，直觀上可以這樣解釋：相互獨立意味這

4、B其中一方發(fā)生與否并不影響另一方的發(fā)生，而互不相容意味著A、B只要其中一方發(fā)生了，另一方就一定不發(fā)生，所以這兩個關系不能同時存在。從公式上解釋是：P(A)>0，P(B)>0且A、B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)>0，而如果A、B互不相容，則P(AB)=P(西)=0。但是只要有一方的概率為0，如，如果A=西，則A與B既相互獨立又互不相容，因為此時P(AB)=P(A)P(B)=0。綜上所述，相互獨立與互不相容并沒有必然的聯(lián)系。

而在區(qū)別“不相關”與“相互獨立”的區(qū)別時，可以通過舉例得知J]|f、y不相關不一定就獨立，因為X、l，之間有可能存在其他的函數(shù)關系，但是存在函數(shù)關系的隨機變量是否就不獨立了呢？答案是未必，例子如下：

考察隨機變量X、l，和Z：假定x與l，獨立月．都服從參數(shù)為P的(0—1)分布，令z為x與y的函數(shù)：

可以得到當P=1／2時，Z與X相互獨立。轉載于 無憂論文網(wǎng) http://004km.cn

通過這些舉例，避免了學生將“獨立”和“互不相容”等同起來，又說明了“獨立”與“函數(shù)關系”之間的聯(lián)系。

二、課堂教學中注重數(shù)學思想的教育。培養(yǎng)學生建模能力

概率統(tǒng)計中的很多問題都可以歸結為同一類問題，數(shù)學模型就是這類事物共同本質的抽象。“數(shù)學建?！笔侵笇τ诂F(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)特有的內在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到一個數(shù)學結構。數(shù)學模型在概率統(tǒng)計中的應用隨處可見，模型化方法貫穿本課程全過程，因此，在教學過程中應該注意培養(yǎng)學生抽象出問題的本質以建立起一般的數(shù)學模型的能力。

如“將n只球隨機地放入Ⅳ(N大于等于n)個盒子中去，求每個盒子至多有一只球的概率”與“班級同學生日各不相同”具有相同的數(shù)學模型。另外，還有古典概型、貝努利概型、正態(tài)分布等等這些都是生產(chǎn)生活中抽象出來的，在很多問題中都可以歸結為以上的模型。如以下兩個

：

例1，設有80臺同類型設備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0．01，且一臺設備的故障能由一個人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法，其一是由4人維護，每人負責20臺；其二是由3人共同維護80臺。試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小。

例2，保險公司在一天內承保了5000張相同年齡、為期1年的壽險保單，每人一份。在合同有效期內若投保人死亡，則公司賠付3萬元。設在一年內，該年齡段的死亡率為0．0015，且各個投保人是否死亡相互獨立。求該公司對于這批投保人的賠付總額不超過30萬元的概率。

以上兩個例子雖然不同，但都可以歸結為伯努利概型，利用二項分布解決。對這類模型，不應簡單地給出它的結果，而應注秀模型的建立、模型的應用范圍以及如何把實際問題轉化為有關的數(shù)學模型去解決。

三、適度引入多媒體教學及數(shù)據(jù)處理軟件。促進課堂教學手段多樣化

在概率統(tǒng)計教學中，實際題目信息及文字很多，“一支粉筆、一塊黑板，以講授為主”的傳統(tǒng)教學方法顯然已經(jīng)跟不上現(xiàn)代化的教學要求，不利于培養(yǎng)學生的綜合素質和創(chuàng)新能力。因此，有必要借助于現(xiàn)代化媒體技術和統(tǒng)計軟件，制作內容、圖形、聲音、圖像等結合起來的多媒體課件?！矫?，采用多媒體教學手段進行輔助教學，能夠將教師從很多重復性的勞動中解脫出來，教師可以將更多的精力和時間投入到如何分析和解釋問題，以提高課堂效率，與學生有效地進行課堂交流。另一方面，用圖形動畫和模擬實驗等多媒體作為輔助教學手段，便于學生對概念、圖形等的理解。如投幣試驗、高爾頓板釘實驗等小動畫在不占用太多課堂時間的同時，又增添了課堂的趣味性。又如在利用Mathematica軟件演示大數(shù)定律和中心極限定理時，就能將抽象的定理化為形象的直觀認識，達到一定的教學效果。在處理概率統(tǒng)計問題中，教師也會面對大量的數(shù)據(jù)，另外，集數(shù)學計算、處理與分析為一身的數(shù)據(jù)處理軟件如：Excel，Matlab，Mathematic，SAS，SPSS等，在計算一些冗長數(shù)據(jù)時可以簡化計算，降低理論難度。而且，在教師的演示過程中，能讓學生初步了解如何應用計算機及軟件，將所學的知識用于解決生產(chǎn)生活中的實際問題，從而激發(fā)他們學習概率知識的熱情，提高他們利用計算機解決問題的能力。

最后，在教學過程中，教師應該考慮到各個專業(yè)的學生今后學習與發(fā)展的需要，在滿足教學大綱的要求下，選擇與其專業(yè)關系緊密的知識點進行重點講授。同時，在講授過程中，本著以人為本的教學理念，注意多種方法靈活應用，建立積極的互動教學模式，盡量避免教師在課堂上滿堂灌、填鴨式地教學，充分調動學生學習的主動性，挖掘學生的學習潛能，最大限度地發(fā)揮和發(fā)展學生的聰明才智，使學生能理解概率統(tǒng)計這一學科領域思想方法的精髓。

論文參考文獻：

[1]盛驟，謝式千。潘承毅．概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]．北京：高等教育出版社，2009．

[2] 姜啟源．數(shù)學模型[M]．北京：高等教育出版社。2003：4—7．

[3] 徐鐘濟．蒙特卡羅方法[M]．上海：上?？茖W技術出版社，1985：171—188．

[4] 郝曉斌，董西廣．數(shù)學建模思想在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學中的應用[J]．經(jīng)濟研究導刊，2010，90(16)：244—245．

[5]徐榮聰，游華．(概率論與數(shù)理統(tǒng)計)課程案例教學法[J]．寧德師專學報(自然科學版)，2008(2)：145—147．

第四篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計

概率論與數(shù)理統(tǒng)計

一、隨機事件和概率

考試內容

隨機事件與樣本空間 事件的關系與運算 完備事件組 概率的概念 概率的基本性質 古典型概率 幾何型概率 條件概率 概率的基本公式 事件的獨立性 獨立重復試驗

考試要求

1．了解樣本空間(基本事件空間)的概念，理解隨機事件的概念，掌握事件的關系及運算．

2．理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質，會計算古典型概率和幾何型概率，掌握概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式，以及貝葉斯(Bayes)公式．

3．理解事件獨立性的概念，掌握用事件獨立性進行概率計算；理解獨立重復試驗的概念，掌握計算有關事件概率的方法.二、隨機變量及其分布

考試內容

隨機變量 隨機變量分布函數(shù)的概念及其性質 離散型隨機變量的概率分布 連續(xù)型隨機變量的概率密度 常見隨機變量的分布 隨機變量函數(shù)的分布

考試要求

1．理解隨機變量的概念，理解分布函數(shù)的概念及性質，會計算與隨機變量相聯(lián)系的事件的概率．

2．理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二項分布、幾何分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布 及其應用．

3.了解泊松定理的結論和應用條件，會用泊松分布近似表示二項分布.4．理解連續(xù)型隨機變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布及其應用，其中參數(shù)為 的指數(shù)分布 的概率密度為

5．會求隨機變量函數(shù)的分布．

三、多維隨機變量及其分布

考試內容

多維隨機變量及其分布 二維離散型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布 二維連續(xù)型隨機變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度隨機變量的獨立性和不相關性 常用二維隨機變量的分布 兩個及兩個以上隨機變量簡單函數(shù)的分布

考試要求

1．理解多維隨機變量的概念，理解多維隨機變量的分布的概念和性質.理解二維離散型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布，理解二維連續(xù)型隨機變量的概率密度、邊緣密度和條件密度，會求與二維隨機變量相關事件的概率．

2．理解隨機變量的獨立性及不相關性的概念，掌握隨機變量相互獨立的條件.3．掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布的概率密度，理解其中參數(shù)的概率意義．

4．會求兩個隨機變量簡單函數(shù)的分布，會求多個相互獨立隨機變量簡單函數(shù)的分布.四、隨機變量的數(shù)字特征

考試內容

隨機變量的數(shù)學期望（均值）、方差、標準差及其性質 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 矩、協(xié)方差、相關系數(shù)及其性質

考試要求

1．理解隨機變量數(shù)字特征（數(shù)學期望、方差、標準差、矩、協(xié)方差、相關系數(shù)）的概念，會

運用數(shù)字特征的基本性質，并掌握常用分布的數(shù)字特征．

2.會求隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望.五、大數(shù)定律和中心極限定理

考試內容

切比雪夫（Chebyshev）不等式 切比雪夫大數(shù)定律 伯努利（Bernoulli)大數(shù)定律 辛欽（Khinchine）大數(shù)定律 棣莫弗－拉普拉斯（De Moivre－laplace）定理 列維－林德伯格（Levy-Lindberg）定理

考試要求

1．了解切比雪夫不等式．

2．了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律(獨立同分布隨機變量序列的大數(shù)定律)．

3．了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二項分布以正態(tài)分布為極限分布)和列維-林德伯格定理(獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理)．

六、數(shù)理統(tǒng)計的基本概念

考試內容

總體 個體 簡單隨機樣本 統(tǒng)計量 樣本均值 樣本方差和樣本矩分布分布分布 分位數(shù) 正態(tài)總體的常用抽樣分布

考試要求

1．理解總體、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量、樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念，其中樣本方差定義為：

2．了解 分布、分布和 分布的概念及性質，了解上側 分位數(shù)的概念并會查表計算．

3．了解正態(tài)總體的常用抽樣分布．

七、參數(shù)估計

考試內容

點估計的概念 估計量與估計值 矩估計法 最大似然估計法 估計量的評選標準 區(qū)間估計的概念 單個正態(tài)總體的均值和方差的區(qū)間估計 兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的區(qū)間估計

考試要求

1．理解參數(shù)的點估計、估計量與估計值的概念．

2．掌握矩估計法（一階矩、二階矩）和最大似然估計法．

3．了解估計量的無偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并會驗證估計量的無偏性．

4、理解區(qū)間估計的概念，會求單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間，會求兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間.八、假設檢驗

考試內容

顯著性檢驗 假設檢驗的兩類錯誤 單個及兩個正態(tài)總體的均值和方差的假設檢驗

考試要求

1．理解顯著性檢驗的基本思想，掌握假設檢驗的基本步驟，了解假設檢驗可能產(chǎn)生的兩類錯誤．

2．掌握單個及兩個正態(tài)總體的均值和方差的假設檢驗．

數(shù)學大綱和去年相比變化之處

從拿到大綱的情況來說，今年的大綱和往年是沒有什么變化，這一點和我前面所預測的是基本上一致的。當然大綱沒有變化，對大家也有一個好處，也就是大家可以按照原先的計劃，按步就班的走，不用考慮有一些計劃

調整等等這樣一類的東西。

2011年考試的難度是有一個怎樣的趨勢

至于難度，咱們要說2011年的難度，可以看一下這幾年的難度水平。數(shù)一2008，2009年的難度水平基本上是一致的，2010年的考試難度有一定的上升，我認為2011年難度水平應該有所下降。大綱沒有變，而考研是一個選拔性的考試，要求有一定的穩(wěn)定性。所以，數(shù)一的同學，2011年的考試試題難度可能有所下降，水平和2008，2009是一致的。對數(shù)二和數(shù)三來說，水平應該和往年基本上是一致的。

2011年的考察重點會在哪個方面

由于今年考研大綱沒有變化，我們可以根據(jù)考試的一些要求，還有歷年考試真題的情況，咱們可以看一下歷

年考試的重難點。

咱們看高等數(shù)學部分，高等數(shù)學部分第一部分函數(shù)、極限連續(xù)這一塊，重點要求掌握兩個重要極限，未定式的極限、等價無窮小代換，這樣一些東西，還有一些極限存在性問題，間斷點的類型，這些東西在歷年的考察中都比較高，而我上課的時候一直給大家強調，考極限的話，主要考的是洛必達法則加等價無窮小代換，特別針對

數(shù)三的同學，這兒可能出大題。

第二部分是一元函數(shù)微分學，這塊大家主要處理這幾個關系，連續(xù)性，可導性和可微性的關系，掌握各種函數(shù)的求導方法。比如隱函數(shù)求導，參數(shù)方程求導等等這一類的，還有注意一元函數(shù)的應用問題，這也是歷年考試的一個重點。數(shù)三的同學這兒結合經(jīng)濟類的一些試題進行考察。

一元函數(shù)微分學涉及面非常廣，題型比較多，而且這一部分還有一個比較重點的內容，就是出證明題。咱們知道中值定理是歷年經(jīng)常考的一個考點，所用的主要方式就是構造輔助函數(shù)的方法進行證明。當然，這里還包含

一部分等式和不等式的證明，零點問題，以及極值和凹凸性。

多元函數(shù)微分學，這一塊內容實際上也是按照一元函數(shù)微分學的形式進行考察的，比如咱們求偏導數(shù)，先固定一個變量，給另一個變量求導數(shù)，歸根到底還是考察一元函數(shù)微分學。對多元函數(shù)微分學，大家還有一個內容

要掌握，連續(xù)性、偏導性和可微性，特別是抽象函數(shù)求二階導數(shù)和二階混合偏導這一類的題。

當然，還有一個問題，多元函數(shù)微分學的應用，主要牽扯兩方面，一個是條件極值，一個是最值問題。這兩

塊。

積分學包含兩塊，也就是一元函數(shù)積分學和多元函數(shù)積分學，對于一元函數(shù)積分學一個是不定積分和定積分的計算，對不定積分一定要非常熟練掌握基本運算，對于定積分除了掌握用不定積分計算的方式，還要注意用定

積分的性質，比如定積分的奇偶性，周期性，單調性等等。

還有一塊，定積分應用，主要考察面積問題，體積問題，或者說這塊和微積分的結合等等。對于數(shù)一的同學來說，咱們還牽扯到一塊，三重積分，曲線和曲面積分這兩塊，對于三重積分來說，大家主要掌握一些基本的，比如對球體、錐體、圓柱的積分，對于曲線和曲面積分主要掌握格林公式和高斯公式，利用格林公式把第二類曲線積分轉化成二重積分，利用高斯公式把曲面積分轉化成三重積分進行運算，這里有一個比較?？嫉闹R點，曲

線積分與路徑無關，這個要作為一個主要的知識點進行掌握。

第四部分，就是微分方程，微分方程有兩個重點，一個是一元線性微分方程，第二個是二階常系數(shù)齊次/非齊次線性微分方程，對第一部分，大家掌握九種小類型，針對每一種小類型有不同的解題方式，針對每個不同的方程，套用不同的公式就行了。對于二階常系數(shù)線性微分方程大家一定要理解解的結構。另一塊對于非齊次的方程來說，大家要注意它和特征方程的聯(lián)系，有齊次為方程可以求它的通解，當然給出的通解大家也要寫出它的特征

方程，這個變化是咱們這幾年的一個趨勢。這一類問題就是逆問題。

對于二階常系數(shù)非齊次的線性方程大家要分類掌握。當然，這一塊對于數(shù)三的同學來說，還有一個差分方程的問題，差分方程不作為咱們的一個重點，而且提醒大家一下，學習的時候要注意，差分方程的解題方式和微方

程是相似的，學習的時候要注意這一點。

第五個，級數(shù)問題，主要針對數(shù)一和數(shù)三，有兩個重點，一個是常數(shù)項級數(shù)的性質，包括斂散性。

第二塊，牽扯到冪級數(shù)，大家要熟練掌握冪級數(shù)的收斂區(qū)間的計算，收斂半徑與和函數(shù)，冪級數(shù)展開的問題，要掌握一個熟練的方法來進行計算。對于冪級數(shù)求和函數(shù)它可能直接給咱們一個冪級數(shù)求它的和函數(shù)或者給出一

個常數(shù)項級數(shù)讓咱們求它的和，要轉化成適當?shù)膬缂墧?shù)來進行求和。

關于線性代數(shù)這一塊，有這樣幾個重點的內容，一個是逆矩陣和矩陣的秩。第二個，向量的線性相關性和向量的線性表示。向量組合的相關性，這一塊極有可能考的類似于計算的證明題。比如讓咱們證明幾個向量線性無關。第三塊是方程組的解的討論，其中還包括有待定參數(shù)的解的討論，這塊的問題，往年也考得比較多。

第四塊特征值和特征向量的性質，以及矩陣的對角化。

第五塊，正定二次型的判斷。大家在學線代的時候，還要注意一個方向，就是線性代數(shù)各個章節(jié)的連貫性是比較強的，我們在復習總結的時候，特別是后期，對于這一塊內容要自己有一個總結，然后還可以看一看比如咱

們的復習全書或者復習指南這之類的書，在腦海中對線性參數(shù)的知識點要形成一個知識性框架。

概率統(tǒng)計這塊（數(shù)二不考），概率統(tǒng)計要注重這幾塊內容，一個是概率的性質與概率的公式，這一塊要求咱們非常熟練的掌握，比方說加法公式，減法公式，乘法公式，全概率公式和Bayes公式，這塊要非常熟悉的掌握。

還有一部分，古典概率和幾何概率，這塊大家掌握中等難度的題就可以了。

第二塊，一維隨機變量函數(shù)的分布，這個要重點掌握連續(xù)性變量的這一塊。這里面有個難點，一維隨機變量函數(shù)這是一個難點，求一元隨機變量函數(shù)的分布有兩種方式，一個是分布函數(shù)法，這是最基本要掌握的。另外是

公式法，公式法相對比較便捷，但是應用范圍有一定的局限性。

第三塊，多維隨機變量的聯(lián)合分布和邊緣分布還有條件分布，多維隨機變量的獨立性，這塊是考試的重點，當然也是一個難點。這塊還有一個問題要求大家掌握的，隨機變量的和函數(shù)和最值函數(shù)的分布。

第四塊，隨機變量的數(shù)字特征，這塊很重要，要記住一維隨機變量的數(shù)字特征都要記熟，數(shù)字特征很少單獨性考察，往往和前面的一維隨機變量函數(shù)和多維隨機變量函數(shù)和第六章的數(shù)理統(tǒng)計結合進行考察。特別針對數(shù)一的同學來說，考察矩估計和最大似然估計的時候會考察無偏性。

第五塊，參數(shù)估計這一點是咱們經(jīng)常出大題的地方，這一塊對咱們數(shù)一，數(shù)二，數(shù)三的同學，包含兩塊知識點，一個是矩估計，一個是最大似然估計，這兩個集中出大題。數(shù)一的同學，咱們特別強調一點，考這個矩估計

或者最大似然估計，極有可能結合無偏性或者有效性進行考察。

第五篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件(第5章)

第5章 大數(shù)定律與中心極限定理

5.1 切比雪夫不等式

定理5.1 設隨機變量X的數(shù)學期望E(X)??，方差D(X)??2，則對任意常數(shù)??0，有

?2

P(X????)?2

?成立.這一不等式稱為切比雪夫不等式.證明 只就連續(xù)型隨機變量的情況來證明.設隨機變量X的概率密度為f(x)，則有

P(X????)?x?????f(x)dx?1??x?????x??2?2f(x)dx

?2

?2???(x??)f(x)dx?2.??2切比雪夫不等式也可以寫成如下形式：

?2P(X????)?1?2

?利用切比雪夫不等式可以證明關于方差的另一個性質： 性質 D(X)?0的充要條件是P(X?E(X))?1.§5.2 大數(shù)定律

例如，測量一長度為a的物件，以X1，X2，?，Xn分別表示n次

1n重復測量的結果，當n充分大時，它們的算術平均值Xn??Xi對ani?11n的偏差會比較小，而且n越大，這種偏差越小，即Xn??Xi隨著nni?1 的增加而逐漸穩(wěn)定于a.這些穩(wěn)定性現(xiàn)象，從直觀上可解釋為在大量的隨機現(xiàn)象中，個別隨機現(xiàn)象所引起的偏差常常會相互抵消，相互補償而被平均化，從而致使大量隨機現(xiàn)象的共同作用的總的平均結果趨于穩(wěn)定.大數(shù)定律在描述這類現(xiàn)象的過程中，是以研究某些概率接近于1(或0)的事件規(guī)律的方式進行的.由此引出了在概率意義下收斂性的概念.1n定義5.1 設X1，X2，?，Xn，?是隨機變量序列，令Yn??Xi，ni?1n?1.如果存在常數(shù)列a1,a2,?，對于任意的??0，有

n??limP(Yn?an??)?1，成立，則稱隨機變量序列?Xn?服從大數(shù)定律.其等價形式是對任意??0，有

n??limP(Yn?an??)?0，直觀意義是：當n??時，事件(Yn?an??)的概率趨近于1.或者說，對于任意??0，當n充分大時，不等式|Yn?an|??幾乎總是成立的.關于大量隨機現(xiàn)象的平均結果穩(wěn)定性的定律統(tǒng)稱為大數(shù)定律.定理5.2(切比雪夫大數(shù)定律)設X1，X2，?，Xi，?是一列兩兩不相關的隨機變量序列，且設它們的方差一致有界，即存在常數(shù)C?0，使得

D(Xi)?C，i?1,2,?

則對任意的??0，有

1n1nlimP(|?Xi?E(?Xi)|??)?1.n??ni?1ni?1

證明 由切比雪夫不等式，有

1n1nP(|?Xi?E(?Xi)|??)?ni?1ni?11nD(?Xi)ni?1D(?Xi)n?i?122n?2???D(Xi?1ni)n?22

?ncn?22?cn?2?0,n??.所以

1n1nlimP(|?Xi?E(?Xi)|??)?0 n??ni?1ni?1從而

1n1nlimP(|?Xi?E(?Xi)|??)?1.n??ni?1ni?1切比雪夫大數(shù)定律的一個特例.定理5.3(伯努利大數(shù)定律)設?n是n重伯努利試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p(0?p?1)，則對任意的??0，有

limP(|n???nn?p|??)?1.伯努利大數(shù)定律提供了通過實驗確定事件概率的方法的理論依據(jù).由伯努利大數(shù)定律可以看到，實質上我們是討論了形如

?Xi?1ni?E(?Xi)i?1nn 的隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性，其中?Xn?是獨立同分布于(0-1)分布的隨機變量序列.而且，伯努利大數(shù)定律從理論上給出了論斷“頻率穩(wěn)定于概率”的解釋.以上給出的大數(shù)定律是以切比雪夫不等式為基礎的，所以要求隨機變量具有方差，但是進一步研究表明，方差

存在這個條件并不是必要的，下面介紹獨立同分布情形的辛欽大數(shù)定律.定理5.4(辛欽大數(shù)定律)設X1，X2，?，Xn，?是一列獨立同分布的隨機變量序列，且數(shù)學期望存在并記為E(Xi)?a,i?1,2,?, 則對任意的??0，有

n??limP(Xn?a??)?1

成立.伯努利大數(shù)定律表明了當n很大時，事件發(fā)生的頻率會“靠近”概率，而這里的辛欽大數(shù)定律表明：當n很大時，隨機變量在n次

1n觀察中的算術平均值?Xi會“靠近”它的期望值，這就為尋找隨

ni?1機變量的期望值提供了一條實際可行的途徑.例如，要估計某地區(qū)小麥的平均畝產(chǎn)量，往往只要計算一部分有代表性的地塊的平均畝

1n產(chǎn)量，這個平均畝產(chǎn)量就是?Xi，在n比較大的情形下它可以作

ni?1為全地區(qū)平均畝產(chǎn)量，即畝產(chǎn)量的期望值a的近似.5.3 中心極限定理

如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大，則這種量(隨機變量的和)一般都服從或近似服從正態(tài)分布.定理5.5（林德貝格-勒維定理）設X1，X2，?，Xn，?是一列獨立同分布的隨機變量，且E(Xi)??,D(Xi)??2,i?1,2,?, 存在.記X??Xi,則對任意實數(shù)x，有

i?1n

limP(n??X?n??n?x)?e?2???1x?x22dx??(x).這是一個很好的結果，該定理只假設獨立同分布及方差存在，不管原來的分布是什么，極限分布同樣都是正態(tài)分布.一方面從理論上說明了正態(tài)分布的重要性，初步說明了為什么在實際應用中會經(jīng)常遇到正態(tài)分布.另一方面，提供了計算獨立同分布隨機變量和的分布的近似方法，這在應用上十分有效.只要和式中加項的個數(shù)充分大，就可以不必要關心每一個隨機變量原來服從什么分布，都可以利用正態(tài)分布來逼近，因此，只須借助正態(tài)分布表，就可以進行近似計算.定理5.6（棣莫佛-拉普拉斯定理）

設?n是n重伯努利試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p(0?p?1)，則對任意實數(shù)x，有

????n?np?P??x?? limn?????np(1?p)??2?1x??e?x22dx??(x).棣莫佛-拉普拉斯定理最初就是以正態(tài)分布逼近二項分布的形式為人們認識的，它是概率論中最早建立的重要結論之一.一般說來，在np較小的情況下用泊松分布近似比較有效，np較大時要用正態(tài)分布作近似計算.例5.1設有一批樹種，其中良種占，現(xiàn)從中任取5000粒，試求該5000粒樹種中良種數(shù)介于940粒與1000粒之間的概率.解 在大批樹種中任取5000粒，每次取1粒，可以近似看成5000次獨立重復試驗.又因為該5000粒樹種中的良種數(shù)X就是5000次獨立重復試驗取得良種這個事件實現(xiàn)的次數(shù)，則 X~B(5000,0.2).由中心極限定理知

P(940?X?1060)??(1060?5000?0.2940?5000?0.2)??()

5000?0.2?0.85000?0.2?0.8=?(2.12)??(?2.12)?2?(2.12)?1?0.966?95%.由此可知，有非常大的把握斷定，在所取的5000粒樹種中含有940～1060粒良種.如果良種數(shù)不在這個范圍內，就有理由認為這批樹種中良種所占的比例并不是.例5.2 在一個由若干個相互獨立的電子元件組成電子系統(tǒng)中，在運行期間，每個電子元件損壞的概率為0.1，(1)假設電子系統(tǒng)是由100個電子元件組成，至少有85個以上電子元件工作，系統(tǒng)才能正常運行，求系統(tǒng)的可靠性（即系統(tǒng)正常運行的概率）；

(2)假設電子系統(tǒng)是由n個電子元件組成，要求至少有80%個以上電子元件工作才能使系統(tǒng)正常運行，問n至少為多少時才能保證系統(tǒng)的可靠性為95%.解（1）設隨機變量 Xk??10015?1,第k個電子元件工作正常?0,第k個電子元件損壞 ,0.9)，則X??Xk為系統(tǒng)正常運行時完好的電子元件數(shù)，X~B(100k?1由中心極限定理

知

p(X?85)?1?p(X?85)?1?p(5353X?100?0.985?100?0.9?)100?0.1?0.9100?0.1?0.9 ?1??(?)??()?0.952.(2)n應滿足p(X?0.8n)?0.95，而 p(X?0.8n)?p(X?0.9n0.8n?0.9n?)

n?0.1?0.9n?0.1?0.9 ?1??(?從而 p(X?0.8n)??(nn)??()，33nn)?0.95，反查表得?1.65，n?24.5，取n=25.33