第一篇：“離散型隨機(jī)變量”的教學(xué)設(shè)計(jì)之我見

“離散型隨機(jī)變量”的教學(xué)設(shè)計(jì)之我見

人民教育出版社中數(shù)室 田載今

隨機(jī)變量是因隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化的量．由于隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是事先無法確定的，所以表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的量要因結(jié)果的不同而變化，這樣的量當(dāng)然屬于隨機(jī)變量．隨機(jī)變量的本質(zhì)是定義在樣本空間Ω上的一個(gè)映射，它把試驗(yàn)結(jié)果映為實(shí)數(shù)，即其中，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，由滿足

R，的基本事件所組成的集合也是一個(gè)事件．

引入隨機(jī)變量的概念，其作用不僅是把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化從而帶來表示方法的簡(jiǎn)化，更重要的是把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究數(shù)學(xué)化，從而可以利用數(shù)學(xué)方法研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，其中對(duì)隨機(jī)變量的概率分布的研究是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵．

如果樣本空間是可數(shù)的，即量的取值

或，則隨機(jī)變也可以一一列出，這樣的隨機(jī)變量即離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量比連續(xù)型隨機(jī)變量更容易理解，它是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要隨機(jī)變量類型．

一般地，關(guān)于離散型隨機(jī)變量的教學(xué)目標(biāo)大多規(guī)定為：

通過具體實(shí)例，歸納概括離散型隨機(jī)變量的特征，得出離散型隨機(jī)變量的概念；

體會(huì)引入隨機(jī)變量的作用；

滲透將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行隨機(jī)分析的思想方法．

目前的高中數(shù)學(xué)教材中，離散型隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量的分布列大都先后出現(xiàn)在兩個(gè)小節(jié)中的內(nèi)容．從教師教學(xué)用書中所附的教學(xué)設(shè)計(jì)案例和一般的實(shí)際教學(xué)過程看，將這兩個(gè)內(nèi)容分在兩節(jié)課中學(xué)習(xí)是一般的教學(xué)安排．在這部分內(nèi)容的第一課時(shí)中，通常只安排關(guān)于離散型隨機(jī)變量概念的內(nèi)容，而不涉及離散型隨機(jī)變量的分布列．筆者認(rèn)為，這樣安排是有一定道理的：第一，離散型隨機(jī)變量是基礎(chǔ)概念，離散型隨機(jī)變量的分布列是針對(duì)離散型隨機(jī)變量而定義的，從邏輯關(guān)系上說兩者有先后之分；第二，兩個(gè)概念的第一次出現(xiàn)分在不同課時(shí)內(nèi)，學(xué)習(xí)內(nèi)容單一，目標(biāo)明確，可以將其分別解決，避免認(rèn)識(shí)不清而產(chǎn)生混淆，從而使基本概念學(xué)得更扎實(shí)牢固；第三，這樣處理與現(xiàn)行教材的課文、練習(xí)、習(xí)題的安排順序保持基本一致，便于學(xué)生自學(xué)和做作業(yè)．

兵法曰：兵無常態(tài)，水無常勢(shì)．這就是說解決問題的方法不是一成不變的，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況權(quán)衡利弊相機(jī)行事．同樣地，教學(xué)有法，教無定法．一種教學(xué)設(shè)計(jì)難以方方面面都能兼顧，往往在保證了一些方面有利的同時(shí)，也存在另一些方面的不足．如前所述，引入離散型隨機(jī)變量的概念，體會(huì)引入隨機(jī)變量的作用，滲透將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行隨機(jī)分析的思想方法，是本部分的教學(xué)目標(biāo)，三者是相互聯(lián)系的一個(gè)整體（三位一體）．如果只是引入離散型隨機(jī)變量的概念，而不能較明顯地體現(xiàn)為什么要引入它，則會(huì)影響對(duì)其作用和相關(guān)思想方法的體會(huì)．要體現(xiàn)引入隨機(jī)變量的作用，滲透將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行隨機(jī)分析的思想方法，顯然離不開對(duì)離散型隨機(jī)變量的概率分布的研究，這是把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究數(shù)學(xué)化的關(guān)鍵．從這個(gè)角度看，如果能在同一課時(shí)中引入離散型隨機(jī)變量后，緊接著出現(xiàn)分布列，使兩者更密切地聯(lián)系起來，可能更有利于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)．

筆者考察實(shí)際教學(xué)發(fā)現(xiàn)，在一節(jié)課中僅討論離散型隨機(jī)變量，內(nèi)容上顯得比較單薄，時(shí)間上顯得比較寬余，效果上顯得比較拖沓，從提高教學(xué)效率考慮似還有潛力可挖．更重要的是，如果只引入隨機(jī)變量而不涉及概率分布，這節(jié)課至多只能使人感到隨機(jī)變量是對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的一種數(shù)量化表示，而無法認(rèn)識(shí)這種表示與隨機(jī)度量（即可能性大?。┑拿芮新?lián)系，這使得體會(huì)隨機(jī)變量作用的效果大打折扣．在高中數(shù)學(xué)教材的向量部分，曾指出“如果沒有運(yùn)算，向量只是一個(gè)‘路標(biāo)’，因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無限．”與此類似，如果不涉及概率分布，隨機(jī)變量只是一種“表示”，因?yàn)橛辛烁怕史植迹S機(jī)變量才能在研究隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)發(fā)揮作用．

筆者認(rèn)為，將離散型隨機(jī)變量和其分布列更緊密地聯(lián)系起來，在實(shí)際教學(xué)中具有可行性．為說明這一點(diǎn)，筆者不揣冒昧地提出如下一種教學(xué)過程的設(shè)計(jì)草案，敬請(qǐng)讀者指正．

離散型隨機(jī)變量及其分布列第一課時(shí)的教學(xué)過程草案

一、描述隨機(jī)變量

試驗(yàn)結(jié)果經(jīng)常可以用表示計(jì)數(shù)或度量的量來表示，例如出現(xiàn)某種現(xiàn)象的次數(shù)，某物理量的長度，等等．即使是定性的試驗(yàn)結(jié)果，也可以數(shù)量化表示．例如擲硬幣時(shí)，正面向上記為1，反面向上記為0．表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的量，其取值事先不能確定，它隨著試驗(yàn)結(jié)果隨機(jī)確定．一般地，隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化的量叫做隨機(jī)變量（random variable）．隨機(jī)變量通常用

表示．

二、考慮隨機(jī)試驗(yàn)案例及相關(guān)問題

請(qǐng)看下面的隨機(jī)試驗(yàn)，并考慮相關(guān)問題．

隨機(jī)試驗(yàn)1 擲一枚質(zhì)地均勻的骰子．

（1）用X表示擲出的點(diǎn)數(shù)，要表示試驗(yàn)的全部可能結(jié)果，X應(yīng)取哪些值？

擲骰子時(shí)，擲出的點(diǎn)數(shù)可能是1，2，3，4，5，6中的一個(gè)，但事先不能確定，結(jié)果是隨機(jī)產(chǎn)生的．用X表示擲出的點(diǎn)數(shù)，X的值應(yīng)隨機(jī)地取1，2，3，4，5，6中的某個(gè)．

（2）X取到每一個(gè)值的概率各是多少？

由古典概型可知，X取1，2，3，4，5，6中每一個(gè)值的概率都是下：

這可以列表表示如

（3）X<5表示什么？它對(duì)應(yīng)的概率是多少？

X<5表示事件“點(diǎn)數(shù)小于5”，即事件“點(diǎn)數(shù)為1或2或3或4”．它的概率為

（4）如果多次重復(fù)擲一枚骰子，那么擲出點(diǎn)數(shù)的平均值最可能是多少？

每次擲出的點(diǎn)數(shù)無法事先確定，因此多次擲出的點(diǎn)數(shù)的平均值也無法事先確定．但是，我們可以依據(jù)“大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)頻率穩(wěn)定于概率”對(duì)此進(jìn)行估計(jì)．由于點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5，6出現(xiàn)的頻率都會(huì)穩(wěn)定于，所以多次重復(fù)擲骰子時(shí)點(diǎn)數(shù)的平均值最可能是

隨機(jī)試驗(yàn)2 同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣．

（1）用X表示擲出正面的個(gè)數(shù)，要表示試驗(yàn)的全部可能結(jié)果，X應(yīng)取哪些值？

擲兩枚硬幣時(shí)，擲出正面的個(gè)數(shù)可能是0，1，2中的一個(gè)，但事先不能確定，結(jié)果是隨機(jī)產(chǎn)生的．用X表示擲出正面的個(gè)數(shù)，X的值應(yīng)隨機(jī)地取0，1，2中的某個(gè)．

（2）X取到每一個(gè)值的概率各是多少？

由古典概型可知，X取0，1，2中每一個(gè)值的概率可以列表表示如下：

（3）X<2和X>0各表示什么？它們對(duì)應(yīng)的概率各是多少？

X<2表示事件“正面?zhèn)€數(shù)小于2”，即事件“正面?zhèn)€數(shù)為0或1”； X>0表示事件“正面?zhèn)€數(shù)大于0”，即事件“正面?zhèn)€數(shù)為1或2”．它捫的概率分別為和．

（4）如果多次重復(fù)這個(gè)試驗(yàn)，那么擲出正面?zhèn)€數(shù)的平均值最可能是多少？

每次擲出的結(jié)果無法事先確定，因此多次擲出的正面?zhèn)€數(shù)的平均值也無法事先確定．但是，我們可以依據(jù)“大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)頻率穩(wěn)定于概率”對(duì)此進(jìn)行估計(jì)．由于點(diǎn)數(shù)0，1，2出現(xiàn)的頻率分別會(huì)穩(wěn)定于，和，所以多次重復(fù)試驗(yàn)時(shí)正面?zhèn)€數(shù)的平均值最可能是

三、引出離散型隨機(jī)變量及其分布列

思考1 上面兩個(gè)X是隨機(jī)變量嗎？它們的取值形式有什么特點(diǎn)？這些取值與試驗(yàn)結(jié)果有什么關(guān)系？

在上述試驗(yàn)及相關(guān)問題中，兩個(gè)X分別表示“點(diǎn)數(shù)”和“正面?zhèn)€數(shù)”，它們都是表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果的量，都隨試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，因此都是隨機(jī)變量．這兩個(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值都可以一一列出，即分別為1，2，3，4，5，6和0，1，2．每一列數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果．

一般地，所有可能取值能夠一一列出的隨機(jī)變量，叫做離散型隨機(jī)變量（discrete random variable）．

思考2 上面兩個(gè)表格的形式有什么特點(diǎn)？它們表示了什么內(nèi)容？

上面問題中的表格，分兩行列出隨機(jī)變量X的可取值，以及各值對(duì)應(yīng)的概率．它不僅表示出離散型隨機(jī)變量X的變化范圍，而且表示出各種變化的可能性大小，即從變化內(nèi)容及其可能性這兩方面全面地刻畫了離散型隨機(jī)變量X．

一般地，表示離散型隨機(jī)變量X的所有可能值及取各個(gè)值的概率的表格

叫做X的分布列（distribution series）．X的分布列也可以表示為

容易發(fā)現(xiàn)，由于概率的和

思考3 初步體會(huì)離散型隨機(jī)變量及其分布列的作用．

從上面的問題可以看出，對(duì)于研究隨機(jī)試驗(yàn)問題，例如估計(jì)多次重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果的平均值，離散型隨機(jī)變量及其分布列是非常有用的工具．由此可以覺察，引入隨機(jī)變量給定量地表示和研究隨機(jī)性問題帶來方便；有了離散型隨機(jī)變量及其分布列，就可以對(duì)許多隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果從變化范圍和變化可能性兩方面有更清晰的認(rèn)識(shí)．

四、例題

此處例題為鞏固與加深對(duì)離散型隨機(jī)變量及其分布列的一般認(rèn)識(shí)而安排,二項(xiàng)分布、超幾何分布等內(nèi)容安排在后續(xù)課時(shí)．

例 用隨機(jī)變量X表示擲兩枚骰子的試驗(yàn)結(jié)果,并寫出X的分布列．

解：設(shè)X表示兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和，則X的分布列為

與隨機(jī)試驗(yàn)的全部可能結(jié)果一一對(duì)應(yīng)，所以它們所對(duì)應(yīng)的，根據(jù)X的分布列，可以求出有關(guān)事件的概率．例如，五、小結(jié)

1.回顧離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念；

2.初步體會(huì)離散型隨機(jī)變量及其分布列在研究隨機(jī)試驗(yàn)問題時(shí)的作用．

前面已經(jīng)說過，教學(xué)有法，教無定法．教材和教學(xué)的設(shè)計(jì)方案具有多樣性，不同方案各有長短．選擇方案的關(guān)鍵在于從實(shí)際出發(fā)，在保證重點(diǎn)，突出要實(shí)現(xiàn)的主要教學(xué)目標(biāo)的前提下，力求教學(xué)效果的最大化．筆者提出上述意見及教學(xué)設(shè)計(jì)，只是一孔之見，意在拋磚引玉，能為改進(jìn)教材和教學(xué)的討論提供參考．

2010-07-08 人教網(wǎng)

第二篇：離散型隨機(jī)變量的教學(xué)設(shè)計(jì)

“離散型隨機(jī)變量”的教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

“隨機(jī)變量及其分布”一章的主要內(nèi)容就是要通過具體實(shí)例，幫助學(xué)生理解取有限值的離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值、方差的概念，理解超幾何分布和二項(xiàng)分布的概型并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性，認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念。

“離散型隨機(jī)變量”是這一章的開門課。因此，在本節(jié)課中，讓學(xué)生了解本章的主要內(nèi)容及其研究該內(nèi)容所用的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)任務(wù)，提高他們的求知欲望，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣非常重要。于是，本節(jié)課的第一個(gè)教學(xué)任務(wù)就是要做好章頭圖的教學(xué)。教材的章頭圖從實(shí)例和圖形兩個(gè)方面展示了本章要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，一個(gè)是離散型隨機(jī)變量的產(chǎn)生背景和分布列的條形圖，另一個(gè)是正態(tài)分布的背景和正態(tài)分布密度曲線。教學(xué)時(shí)要充分地運(yùn)用章頭圖的這兩個(gè)背景，通過問題的形式，幫助學(xué)生明確本章要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容和意義。

對(duì)于一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，就是要了解它所有可能出現(xiàn)的結(jié)果和每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率。對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)，只要了解了它可能出現(xiàn)的結(jié)果，以及每一個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率，也就基本把握了它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。為了使用數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)現(xiàn)象，需要用數(shù)字描述隨機(jī)現(xiàn)象，建立起連接數(shù)和隨機(jī)現(xiàn)象的橋梁——隨機(jī)變量。隨機(jī)變量能夠反映隨機(jī)現(xiàn)象的共性，有關(guān)隨機(jī)變量的結(jié)論可以應(yīng)用到具有不同背景的實(shí)際問題中。而高中階段主要研究的是有限的離散型的隨機(jī)變量，因此，本節(jié)課的第二個(gè)教學(xué)任務(wù)就是通過具體實(shí)例，幫助學(xué)生掌握隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量的概念，理解它們的意義和作用，能對(duì)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，用一個(gè)隨機(jī)變量表示，并能確定其取值范圍。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.了解本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容和意義。具體要求為：

（1）通過章頭圖中給出的射擊運(yùn)動(dòng)的情景，幫會(huì)學(xué)生了解，在射擊運(yùn)動(dòng)中，每次射擊的成績(jī)是一個(gè)非常典型的隨機(jī)事件。在這個(gè)離散型的隨機(jī)事件中，如何刻畫每個(gè)運(yùn)用員射擊的技術(shù)水平與特點(diǎn)？如何比較兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員的射擊水平？如何選拔運(yùn)動(dòng)員參加比賽獲勝的概率大？這些問題的解決需要離散型隨機(jī)變量的概率分布、均值、方差等有關(guān)知識(shí)；

（2）通過章頭圖中給出的高爾頓板游戲情景，幫助學(xué)生了解在這樣一個(gè)連續(xù)型的隨機(jī)事件的游戲活動(dòng)中，小球落在哪個(gè)槽中的可能性更大？槽中的小球最后會(huì)堆積成什么形狀？這些問題與本章將要學(xué)習(xí)的正態(tài)分布有關(guān)；

（3）在上述兩個(gè)情景的基礎(chǔ)上，通過問題的形式，幫助學(xué)生提出本章要研究的問題和基本思想：隨機(jī)事件形形色色，隨機(jī)現(xiàn)象表現(xiàn)各異，但如果舍棄具體背景，它們就會(huì)呈現(xiàn)出一些共性；如果把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，用隨機(jī)變量表示試驗(yàn)結(jié)果，就可以用數(shù)學(xué)工具來研究這些隨機(jī)現(xiàn)象。這樣不僅闡述了本章的主要內(nèi)容，而且激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們明確本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)以及研究本章內(nèi)容的數(shù)學(xué)思想方法。

2.理解隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量的描述性定義，以及隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系，能夠把一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果用隨機(jī)變量表示，能夠根據(jù)所關(guān)心的問題定義一個(gè)隨機(jī)變量。具體要求是：

（1）在對(duì)具體問題的分析過程中，幫助學(xué)生理解用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的意義和作用：為了使用數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)現(xiàn)象，需要用數(shù)字描述隨機(jī)現(xiàn)象，建立起連接數(shù)和隨機(jī)現(xiàn)象的橋梁——隨機(jī)變量，掌握隨機(jī)變量的描述性概念，了解隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造隨機(jī)變量應(yīng)當(dāng)注意的問題（如隨機(jī)變量應(yīng)該有實(shí)際意義、應(yīng)該盡量簡(jiǎn)單，以便于研究），以及用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件的方法等；

（2）通過具體問題的對(duì)比分析，幫助學(xué)生理解隨機(jī)變量有兩個(gè)類型：

??取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量?離散型隨機(jī)變量?

隨機(jī)變量? 隨型機(jī)變量?取無窮多個(gè)值的離散??連續(xù)型隨機(jī)變量能夠根據(jù)具體問題，把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果用一個(gè)隨機(jī)變量表示，并能寫出其取值范圍；能夠熟練地用隨機(jī)變量的取值表示一個(gè)隨機(jī)事件；

（3）通過反思隨機(jī)變量的定義過程，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)，在實(shí)際應(yīng)用中如何根據(jù)實(shí)際問題恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量（如根據(jù)所關(guān)心的問題，定義隨機(jī)變量），以達(dá)到事半功倍的效果。

三、重點(diǎn)和難點(diǎn)解析

本節(jié)內(nèi)容是為求分布列作鋪墊的一節(jié)概念課。所以要把隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量的概念講清楚。于是，可以確定的重點(diǎn)、難點(diǎn)是：

重點(diǎn)：用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的意義和方法；

難點(diǎn)：對(duì)隨機(jī)變量意義的理解；構(gòu)造隨機(jī)變量的方法；隨機(jī)變量取值范圍的確定。

四、教學(xué)問題診斷分析

1.是否講解“隨機(jī)試驗(yàn)”的概念？

研究隨機(jī)現(xiàn)象，就是要研究隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（其中的每一個(gè)結(jié)果即為一個(gè)隨機(jī)事件）和每一個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率（即描述每一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量），從而把握它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。這里有三個(gè)概念：隨機(jī)事件、隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)試驗(yàn)。

在必修三中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了隨機(jī)事件的概念（即在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件），之前，學(xué)生通過在初中數(shù)學(xué)和必修三的概率學(xué)習(xí)，又有了隨機(jī)現(xiàn)象的觀念，因此，學(xué)生對(duì)“隨機(jī)試驗(yàn)”的概念是能夠不加定義而自明的，也就是“隨機(jī)試驗(yàn)”可以作為不加定義的原始概念引入。事實(shí)上，教材在介紹隨機(jī)變量的概念時(shí)，不加定義地引入了“隨機(jī)試驗(yàn)”的概念（教材第44頁第一個(gè)思考下方第一行），就是基于這樣的考慮，因此，在教學(xué)中，對(duì)“隨機(jī)試驗(yàn)”的概念不需要（也根本沒有必要）引導(dǎo)學(xué)生下定義，以避免嚴(yán)格的定義可能造成學(xué)生理解的模糊，影響對(duì)主干概念“隨機(jī)變量”的理解。

事實(shí)上，“試驗(yàn)”一詞有十分廣泛的含義：凡是對(duì)對(duì)象的觀察或?yàn)榇硕M(jìn)行的實(shí)驗(yàn)都稱之為試驗(yàn)。如果一個(gè)試驗(yàn)滿足以下條件，則稱之為隨機(jī)試驗(yàn)：（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的所有結(jié)果是明確且可以知道的，并且不止一個(gè)；（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。

2.怎樣建構(gòu)“隨機(jī)變量”的概念？

本節(jié)內(nèi)容圍繞隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用“數(shù)”表示進(jìn)行展開。擲骰子試驗(yàn)、擲硬幣試驗(yàn)是學(xué)生比較熟悉的兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，對(duì)擲骰子試驗(yàn)的結(jié)果和數(shù)字1~6對(duì)應(yīng)起來學(xué)生很容易理解，而擲硬幣試驗(yàn)的結(jié)果則不容易聯(lián)想到數(shù)字?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生思考：值一枚硬幣的結(jié)果是否也可以用數(shù)字表示呢？通過把“正面向上”與1對(duì)應(yīng)，“反面向上”與0對(duì)應(yīng)，使得擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果同樣也可以用數(shù)字表示，這樣的問題還可以列舉，如新生嬰兒性別抽查：可能是男，也可能是女，同樣可以分別用1和0表示這兩種結(jié)果，在此基礎(chǔ)上抽象概括出隨機(jī)變量的描述性定義。

3.怎樣深化對(duì)“隨機(jī)變量”概念本質(zhì)的理解？ 對(duì)隨機(jī)變量概念的理解，不是下個(gè)定義一步完成的，為了幫助學(xué)生深入地體會(huì)隨機(jī)變量的本質(zhì)，可以對(duì)擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果的表示方法提出下面問題：還可以用其他的數(shù)來表示這兩個(gè)試驗(yàn)結(jié)果嗎？目的是鼓勵(lì)學(xué)生提出其他表示方法，比如“正面向上”用1表示，“反面向上”用-1表示等，以使學(xué)生理解隨機(jī)變量的本質(zhì)。事實(shí)上，對(duì)于同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，可以用不同的隨機(jī)變量來表示其所有可能出現(xiàn)的結(jié)果。為了幫助學(xué)生體會(huì)，究竟選擇什么樣的隨機(jī)

變量更為合適？這就涉及到構(gòu)造隨機(jī)變量應(yīng)當(dāng)注意的一些基本問題：如隨機(jī)變量應(yīng)該有實(shí)際意義，應(yīng)該盡量簡(jiǎn)單，以便于研究。例如，對(duì)于擲n次硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)?可以表示為???1??2????n，其中?i???1,第i次試驗(yàn)出現(xiàn)正面?0,第i次試驗(yàn)出現(xiàn)反面，通過這樣的例子，幫助學(xué)生體會(huì)用數(shù)字1和0表示，能夠直接反應(yīng)出正面向上的次數(shù)，這顯然很方便；而用1和-1分別表示試驗(yàn)結(jié)果的反面和正面，那么擲n次硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)?的表達(dá)式就會(huì)變得很復(fù)雜。為了進(jìn)一步深化對(duì)概念的理解，可以引導(dǎo)學(xué)生將隨機(jī)變量與函數(shù)概念進(jìn)行類比：隨機(jī)變量與函數(shù)有類似的地方嗎？使他們了解隨機(jī)變量的概念實(shí)際上也可以看作是函數(shù)概念的推廣。

4.如何通過隨機(jī)變量表示所關(guān)心的隨機(jī)事件？

引入隨機(jī)變量的目的是為了研究隨機(jī)現(xiàn)象，那么如何通過隨機(jī)變量表示所關(guān)心的隨機(jī)事件呢？可以通過一些例子介紹用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件的方法，特別是一些較為復(fù)雜的隨機(jī)事件的表示方法。例子的類型列舉可以廣泛：如有窮可列、無窮可列、不可列等三個(gè)類型。特別是對(duì)不可列的隨機(jī)變量問題，可以根據(jù)所關(guān)心的問題，能夠把它構(gòu)造成可列的隨機(jī)變量。從而進(jìn)一步體會(huì)用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件的方法。

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.情境引入

情境1：在射擊運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員每次射擊的成績(jī)具有什么特征？（隨機(jī)性）運(yùn)動(dòng)員每次射擊的成績(jī)是一個(gè)什么事件？（隨機(jī)事件）

如何刻畫每個(gè)運(yùn)動(dòng)員射擊的技術(shù)水平與特點(diǎn)？如何比較兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員的射擊水平？如何選擇優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)員代表國家參加奧運(yùn)會(huì)的比賽才能使得獲勝的概率大？解決這個(gè)問題要涉及到離散型隨機(jī)變量的概率分布模型。

情境2：高爾頓是英國生物學(xué)家和統(tǒng)計(jì)學(xué)家，他設(shè)計(jì)了一個(gè)著名的游戲——高爾頓板游戲。如圖，在一塊木板上釘上釘著若干排相互平行并相互錯(cuò)開的圓柱形小模塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前后擋有玻璃，然后讓一個(gè)個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球落在哪個(gè)槽中的可能性更大？槽中的小球最后會(huì)堆積成什么形狀？

這個(gè)問題近似地服從正態(tài)分布，它是很多自然現(xiàn)象和生產(chǎn)、生活實(shí)際問題中經(jīng)常遇到的一種連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布模型。

以上兩個(gè)問題就是我們本章要學(xué)習(xí)的兩個(gè)重要的隨機(jī)變量概率分布模型，本章的課題是——隨機(jī)變量及其分布。

引言：我們知道，概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量。無論是運(yùn)動(dòng)員的一次射擊，還是利用高爾頓板做一次游戲，都是隨機(jī)試驗(yàn)，只要了解了這些隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即每一個(gè)結(jié)果就是一個(gè)隨機(jī)事件），以及每一個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率，我們也就基本把握了它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)事件形形色色，隨機(jī)現(xiàn)象表現(xiàn)各異，但如果舍棄具體背景，他們就會(huì)呈現(xiàn)出一些共性；如果把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，應(yīng)隨機(jī)變量表示試驗(yàn)結(jié)果，就可以用數(shù)學(xué)工具來研究這些隨機(jī)現(xiàn)象。

引導(dǎo)學(xué)生閱讀章頭圖的內(nèi)容。然后展示本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖：兩類隨機(jī)變量的概率分布模型：離散型隨機(jī)變量——（在講概率分布列、均值和方差的基礎(chǔ)上）研究二項(xiàng)分布和超幾何分布模型；連續(xù)型隨機(jī)變量——正態(tài)分布模型。

2.離散型隨機(jī)變量

問題1：概率是描述在一次隨機(jī)試驗(yàn)中某個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量。如擲骰子就是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它有六種可能性結(jié)果。你還能舉出一些隨機(jī)試驗(yàn)的例子嗎？該隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果有哪些？

設(shè)計(jì)意圖：能夠判定簡(jiǎn)單的隨機(jī)試驗(yàn)，并能列舉出所有可能的結(jié)果，為用“數(shù)”表示這些結(jié)果做好準(zhǔn)備。

問題2：（1）擲一枚骰子，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)X是1，2，3，4，5，6中的某一個(gè)數(shù)；

（2）在一塊地上種10棵樹苗，成活的棵樹Y是0，1，2，3，?，10中的某個(gè)數(shù)。

下面兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是否可以用數(shù)字表示呢？

（3）擲一枚硬幣所有可能的結(jié)果；正面向上——1；反面向上——0

（4）新生兒性別，抽查的所有可能的結(jié)果；男——1；女——0 設(shè)計(jì)意圖：通過討論引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)任何一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果都可用數(shù)字進(jìn)行表示，這樣隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與數(shù)字之間就構(gòu)成了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，這為引入隨機(jī)變量的概念奠定基礎(chǔ)。

問題3：上述四個(gè)例子說明，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與數(shù)字之間構(gòu)成了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示。這樣隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果就可以看成是一個(gè)變量，我們稱其為隨機(jī)變量。你能給隨機(jī)變量下一個(gè)定義嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過分析、綜合活動(dòng)，嘗試給隨機(jī)變量下定義。這種定義方式是描述性的，學(xué)生可以憑借自己的理解下定義，只要這種描述比較準(zhǔn)確就可以，不一定按照課本的描述性定義。如一般地，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量表示，這個(gè)變量就叫做隨機(jī)變量，等。

問題4：在（3）和（4）的兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，其試驗(yàn)的結(jié)果是否還可以用其他人數(shù)字表示？

設(shè)計(jì)意圖：通過討論，得出結(jié)論：一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用不同的隨機(jī)變量表示。如上面兩個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果還可以用-1和1表示等。

問題5：在擲一枚硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中，其結(jié)果可以用1和0表示，也可以用-1和1等其他數(shù)字表示，那么，在5次擲硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中，出現(xiàn)“正面向上”的次數(shù)?可以怎樣表示？由此你認(rèn)為定義一個(gè)隨機(jī)變量需要遵循哪些原則？

設(shè)計(jì)意圖：出現(xiàn)“正面向上”次數(shù)???1??2??????5，?1,第i次試驗(yàn)出現(xiàn)正面，當(dāng)一次試驗(yàn)的結(jié)果表示為?i?? ?=0，1，2，3，4，5；

?0,第i次試驗(yàn)出現(xiàn)反面。?1,第i次試驗(yàn)正面向上，當(dāng)一次試驗(yàn)的結(jié)果表示為?i?? ?i?-5，-4，-3，-2，-1，0.-1,第i次試驗(yàn)反面向上。?從使用意義上看，顯然把正面向上的次數(shù)表示成負(fù)數(shù)不太合適，而且這樣也不方便，因此，構(gòu)造隨機(jī)變量時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意一些基本問題：如隨機(jī)變量應(yīng)該有實(shí)際意義，應(yīng)當(dāng)盡量簡(jiǎn)單，以便于研究。

問題6：隨機(jī)變量和函數(shù)有類似的地方嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生把隨機(jī)變量和函數(shù)進(jìn)行類比，使他們了解隨機(jī)變量的概念實(shí)際上也可以看作是函數(shù)概念的推廣：隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射，隨機(jī)變量把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映為實(shí)數(shù)，函數(shù)把實(shí)數(shù)映為實(shí)數(shù)。在這兩種映射之間，試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)與函數(shù)的值域。

例1 判斷下列各個(gè)量，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說明理由。（1）每天你接到的電話的個(gè)數(shù)X；（2）標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水沸騰的溫度T；（3）某一自動(dòng)裝置無故障運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)間t；（4）體積64立方米的正方體的棱長a；（5）拋擲兩次骰子,兩次結(jié)果的和s.（6）袋中裝有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取5個(gè)球，其中所含白球的個(gè)數(shù)η.設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)行隨機(jī)變量概念辨析。

例2.寫出下列各隨機(jī)變量可能的取值（或范圍）:

(1)從10張已編號(hào)的卡片（從1號(hào)到10號(hào)）中任取1張被取出的卡片的號(hào)數(shù)X．(2)一個(gè)袋中裝有3個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取5個(gè)，其中所含白球數(shù)Y．(3)拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和ξ．

(4)接連不斷地射擊,首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)ξ．(5)某網(wǎng)頁在24小時(shí)內(nèi)被瀏覽的次數(shù)η.(6)某一自動(dòng)裝置無故障運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)間T（7）電燈泡的壽命X。

設(shè)計(jì)意圖：訓(xùn)練寫出隨機(jī)變量的取值或范圍，并在此基礎(chǔ)上通過分類得到“離散型隨機(jī)變量”的概念。

問題7：在前面所舉這些例子中，這些隨機(jī)變量都有什么特征？ 設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些隨機(jī)變量的取值都可以一一列出。

問題8：所有取值能夠一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量有兩類：一類是離散型隨機(jī)變量的取有限個(gè)值的，一類是離散型隨機(jī)變量取無限個(gè)值的（如例2（3）），我們主要研究取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量。

例3.寫出下列離散型隨機(jī)變量可能的取值:

(1)在考試中需回答三個(gè)問題，考試規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分，則這名同學(xué)回答這三個(gè)問題的總得分ξ的可能取值有哪些？

(2)本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．甲乙兩人租車的時(shí)間都不超過4小時(shí)（兩人不一定同時(shí)回來），則兩人所付的總費(fèi)用X的可能取值有哪些？

設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)寫出較為復(fù)雜的離散型隨機(jī)變量取值

問題9：利用隨機(jī)變量可以表示一些事件。在例1中，你能說出｛X=0｝、｛X=4｝、｛X<3｝各表示怎樣的事件嗎？“抽出3件以上次品”又如何用X表示呢？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件，使學(xué)生能夠清晰地說出每一個(gè)隨機(jī)變量取值的實(shí)際意義。

問題10：在研究隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，需要根據(jù)所關(guān)心的問題恰當(dāng)?shù)诙x隨機(jī)變量。例如，對(duì)燈泡的使用壽命，如果我們僅關(guān)心燈泡的使用壽命是否不少于1000小時(shí)，那么就可以定義?0,壽命?1000小時(shí)如下的隨機(jī)變量：???，與燈泡的壽命X相比較，隨機(jī)變量?的構(gòu)造更?1,壽命?1000小時(shí)簡(jiǎn)單，它只取兩個(gè)不同的值0和1，是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，研究起來更加容易。你能根據(jù)實(shí)際意義，把能對(duì)（2）定義一個(gè)隨機(jī)變量嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生能夠根據(jù)所關(guān)心的問題，定義出離散型隨機(jī)變量。例4.請(qǐng)根據(jù)所關(guān)心的問題，定義一個(gè)離散型隨機(jī)變量：(1)擲一枚骰子，關(guān)心“擲出的點(diǎn)數(shù)是否為偶數(shù)”；

(2)任意抽取一瓶標(biāo)有2500 ml 的某飲料，其實(shí)際量與規(guī)定量之差在±5ml以內(nèi)為合格；(3)在某項(xiàng)體能測(cè)試中，跑1 km成績(jī)?cè)? min之內(nèi)的為優(yōu)秀；4 min以上5 min以內(nèi)為合格；某同學(xué)體能測(cè)試的結(jié)果.設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)能夠根據(jù)所關(guān)心的問題定義一個(gè)隨機(jī)變量。

備用例題：下列隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果能否用離散型隨機(jī)變量表示？若能，請(qǐng)寫出可能取值，并說出這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。

（1）棱長為1的正方體中，任意兩條棱之間的距離（兩條棱相交，可認(rèn)為距離為0）；

（2）如圖，從A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)，將這3個(gè)點(diǎn)及原點(diǎn)O兩兩相連構(gòu)成一個(gè)“立體”，該“立體”的體積為V。

設(shè)計(jì)意圖：鞏固并強(qiáng)化定義離散型變量的方法，并能準(zhǔn)確寫出所求可能取值。

小結(jié)：以上我們通過一些具體實(shí)例研究了隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)字表示，引進(jìn)了隨機(jī)變量的概念，并對(duì)如何根據(jù)實(shí)際需要定義一個(gè)離散型隨機(jī)變量，并判斷它的所有可能取值進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。實(shí)際上隨機(jī)變量的每一個(gè)取值，都表示一個(gè)隨機(jī)事件，每一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的度量就是概念，如擲骰子試驗(yàn)中P(X?1)?116就表示點(diǎn)數(shù)為1的概率為6規(guī)律了。我們學(xué)習(xí)隨機(jī)變量就是為了研究它的概率，這就是我們下節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。，也就是如果我們能夠知道每一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率，也就把握了這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的基本 6

第三篇：很好的離散型隨機(jī)變量（本站推薦）

“離散型隨機(jī)變量”的教學(xué)反思與再設(shè)計(jì) 楊智平發(fā)布時(shí)間： 2010-8-4 23:33:52

“離散型隨機(jī)變量”的教學(xué)反思與再設(shè)計(jì)

一、教學(xué)內(nèi)容解析

概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的．認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就是指：知道這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，以及每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率．而對(duì)于給定的隨機(jī)現(xiàn)象，首先要描述所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．在數(shù)學(xué)上處理時(shí)，一個(gè)常用的、也很自然的做法就是用數(shù)來表示結(jié)果，即把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，使得每個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)，這樣就可以通過實(shí)數(shù)空間（定量的角度）來刻畫隨機(jī)現(xiàn)象，從而就可以利用數(shù)學(xué)工具，用數(shù)學(xué)分析的方法來研究所感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象．簡(jiǎn)言之，隨機(jī)變量是連接隨機(jī)現(xiàn)象和實(shí)數(shù)空間的一座橋梁，它使得我們可以借助于有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來研究隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)，從而可以建立起應(yīng)用到不同領(lǐng)域的概率模型，這便是為什么要引入隨機(jī)變量的緣由.隨機(jī)變量在概率統(tǒng)計(jì)研究中起著極其重要的作用，隨機(jī)變量是用來描述隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果的一類特殊的變量，隨機(jī)變量能夠反映隨機(jī)現(xiàn)象的共性，有關(guān)隨機(jī)變量的結(jié)論可以應(yīng)用到具有不同背景的實(shí)際問題中．隨機(jī)變量就是建立了一個(gè)從隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射，這與函數(shù)概念在本質(zhì)上（一種對(duì)應(yīng)關(guān)系）是一致的，隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域．

離散型隨機(jī)變量是最簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量，隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量是上、下位概念的關(guān)系．本節(jié)課主要通過離散型隨機(jī)變量展示用實(shí)數(shù)空間刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的方法．本節(jié)課的重點(diǎn)是認(rèn)識(shí)離散型隨機(jī)變量的特征，了解其本質(zhì)屬性，體會(huì)引入隨機(jī)變量的作用．

二、教學(xué)目標(biāo)解析

1．在對(duì)具體實(shí)例的分析中，認(rèn)識(shí)和體會(huì)隨機(jī)變量對(duì)刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性和建立隨機(jī)變量概念的必要性，并會(huì)恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量來描述所感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象，能敘述隨機(jī)變量可能取的值及其所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；

2．在列舉的隨機(jī)試驗(yàn)中，通過對(duì)隨機(jī)變量取值類型的分辨，歸納和概括離散型隨機(jī)變量的特征，形成離散型隨機(jī)變量的概念，并會(huì)利用離散型隨機(jī)變量刻畫隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；

3．在舉例、觀察、思考、發(fā)現(xiàn)中經(jīng)歷將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過程，滲透將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的思想方法，進(jìn)一步形成用隨機(jī)觀念觀察和分析問題的意識(shí)．

三、教學(xué)問題診斷分析

本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)是對(duì)引入隨機(jī)變量目的與作用的認(rèn)識(shí)，以及隨機(jī)變量和普通變量的本質(zhì)區(qū)別．隨機(jī)變量這個(gè)概念其實(shí)早已存在于學(xué)生的意識(shí)之中，而且在不少場(chǎng)合都已不自覺的“實(shí)際使用”，只是沒有明朗化．學(xué)生學(xué)習(xí)這一概念就是把這些“實(shí)際使用的”規(guī)則、程序、步驟等進(jìn)一步加以明確．所以，教師的責(zé)任就是為學(xué)生建立隨機(jī)變量這個(gè)概念修通渠道．可通過學(xué)生熟悉的擲骰子的隨機(jī)試驗(yàn)讓學(xué)生體會(huì)隨機(jī)變量概念的發(fā)生，在師生舉例中來體會(huì)隨機(jī)變量概念的發(fā)展，特別是諸如拋擲一枚硬幣等試驗(yàn)，其結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)，怎么讓學(xué)生自然地想到用數(shù)來表示其試驗(yàn)結(jié)果，并且所用的數(shù)又盡量簡(jiǎn)單，便于研究．教學(xué)中需多舉試驗(yàn)結(jié)果本身已具有數(shù)值意義的實(shí)例，來發(fā)揮正遷移作用．通過多舉例讓學(xué)生理解：一旦給出了隨機(jī)變量，即把每個(gè)結(jié)果都用一個(gè)數(shù)表示后，認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就變成認(rèn)識(shí)這個(gè)隨機(jī)變量所有可能的取值和取每個(gè)值時(shí)的概率．

另外，隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量是上、下位概念的關(guān)系，從學(xué)習(xí)的認(rèn)知方式看，下位學(xué)習(xí)依靠的主要是同化，上位學(xué)習(xí)依靠的主要是順應(yīng)，上位學(xué)習(xí)一般采用的思維方法主要是概括和綜合，它主要通過改造（歸納和綜合）原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)內(nèi)容而建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．因此，從這一角度來分析，學(xué)生對(duì)隨機(jī)變量概念的學(xué)習(xí)和真正理解比離散型隨機(jī)變量的學(xué)習(xí)要困難一些．故在隨機(jī)變量的教學(xué)中，要特別重視學(xué)生舉例，讓學(xué)生在充分的自主活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)化的過程，體驗(yàn)將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過程，體會(huì)隨機(jī)變量對(duì)刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性和研究隨機(jī)現(xiàn)象的工具性作用，從而來把握隨機(jī)變量的內(nèi)核．

四、教學(xué)支持條件分析

學(xué)生在必修3概率一章中學(xué)習(xí)過的隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件、簡(jiǎn)單的概率模型和必修1中學(xué)習(xí)過的變量、函數(shù)、映射等知識(shí)是學(xué)習(xí)、領(lǐng)悟和“接納”隨機(jī)變量概念的重要知識(shí)基礎(chǔ)，教學(xué)時(shí)應(yīng)充分注意這一教學(xué)條件；另外，為更好地形成隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量?jī)蓚€(gè)概念，教學(xué)中可借助媒體列舉和展現(xiàn)豐富的實(shí)例和問題，以留給學(xué)生更多的時(shí)間思考和概括．

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)基本流程

（二）教學(xué)過程

1.理解隨機(jī)變量概念

問題1：拋擲一枚骰子，可能出現(xiàn)的結(jié)果有哪些？概率分別是多少？ [設(shè)計(jì)意圖] 以學(xué)生熟悉的隨機(jī)試驗(yàn)為例，在復(fù)習(xí)舊知中孕育新知．

[師生活動(dòng)] 畫表一，指出試驗(yàn)結(jié)果分別有“1點(diǎn)的面朝上”、“2點(diǎn)的面朝上”、“3點(diǎn)的面朝上”、“4點(diǎn)的面朝上”、“5點(diǎn)的面朝上”、“6點(diǎn)的面朝上”，它們都是基本事件．為了研究這些事件，常常把它們分別與一個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)起來．比如，用數(shù)字1與“1點(diǎn)的面朝上”這個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（樣本點(diǎn)）對(duì)應(yīng)，用數(shù)字2與“2點(diǎn)的面朝上”這個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（樣本點(diǎn)）對(duì)應(yīng)，等等．師生共同填寫數(shù)字，形成表二．

引導(dǎo)學(xué)生分析，像這樣“用數(shù)字表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果”的量用X來表示，它可以取集合{1，2，3，4，5，6}的值，說明X是一個(gè)變量．

[設(shè)計(jì)意圖] “用數(shù)字來表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果”實(shí)際上早已存在于學(xué)生的意識(shí)之中，而且在不少場(chǎng)合都已不自覺地“實(shí)際使用”，如射擊比賽中會(huì)用“環(huán)數(shù)”去表示射擊成績(jī)，擲骰子時(shí)會(huì)用“點(diǎn)數(shù)”去表示擲出結(jié)果，抽獎(jiǎng)時(shí)會(huì)先對(duì)獎(jiǎng)券“編號(hào)”，隨機(jī)抽取一部分學(xué)生時(shí)會(huì)用“學(xué)號(hào)”去代替等等，只是沒有明朗化．因而，“用數(shù)字來表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果”可以通過教師有啟發(fā)地提問，有意義地講授進(jìn)行，讓學(xué)生覺得問題的提出，概念的發(fā)生、發(fā)展過程較為自然，能夠從教師的講授中感受數(shù)學(xué)是怎樣一步步研究現(xiàn)實(shí)世界的．

問題2：在這里（指著表二），每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果用唯一確定的數(shù)字與它對(duì)應(yīng)，這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是什么？

[設(shè)計(jì)意圖]建立一個(gè)從試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射．讓學(xué)生感悟：一旦給出了隨機(jī)變量，即把每個(gè)結(jié)果都用一個(gè)數(shù)表示后，認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就變成認(rèn)識(shí)這個(gè)隨機(jī)變量所有可能的取值和取每一個(gè)值時(shí)的概率，從而感受把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)字化（成為實(shí)數(shù)）的必要性，體會(huì)引入隨機(jī)變量的必要性．同時(shí)讓學(xué)生感受概念的從無到有、自然形成的過程．

[師生活動(dòng)] 啟發(fā)誘導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在這里建立了一個(gè)從試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射．形成下表三：拋擲一枚骰子

讓學(xué)生觀察、思考：剛才，用數(shù)字表示試驗(yàn)結(jié)果的變量X，它根據(jù)什么在變化？讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)它的取值隨試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，它的變化是有規(guī)律的，這是個(gè)特殊的變量，與隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果有關(guān)，在試驗(yàn)之前不知道會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)值（即它的取值依賴于試驗(yàn)結(jié)果，因此取值具有隨機(jī)性，即在試驗(yàn)之前不能肯定它的取值，一旦完成一次試驗(yàn)，它的取值隨之確定）．同時(shí)，教師指出：在這個(gè)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系（也即建立了一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果到實(shí)數(shù)的映射）使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（樣本點(diǎn)）都用一個(gè)確定的數(shù)字表示（即所有可能取值是明確的）．在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用字母表示．

問題3：隨機(jī)變量這個(gè)概念與我們?cè)?jīng)學(xué)過的函數(shù)概念有類似的地方嗎?

[設(shè)計(jì)意圖]引導(dǎo)學(xué)生與曾經(jīng)學(xué)過的函數(shù)概念比較，從而加深對(duì)隨機(jī)變量概念的理解．

[師生活動(dòng)]“類比”函數(shù)概念，領(lǐng)悟隨機(jī)變量和函數(shù)概念在本質(zhì)上都是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，都是一種映射，隨機(jī)變量把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映為實(shí)數(shù)，函數(shù)把實(shí)數(shù)映為實(shí)數(shù)，在這兩種映射之間，試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域．隨機(jī)變量的取值范圍我們稱為隨機(jī)變量的值域．如拋擲一枚骰子，隨機(jī)變量的值域?yàn)椋?/p>

引導(dǎo)學(xué)生利用隨機(jī)變量表達(dá)一些事件，例如拋擲一枚骰子中，表示“1點(diǎn)的面朝上”； “3點(diǎn)的面朝上”可以用表示；表示“5點(diǎn)的面朝上”或“6點(diǎn)的面朝上”．

同時(shí)指出：通過映射把隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)進(jìn)行對(duì)應(yīng)，也就是，把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，這樣“隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到對(duì)應(yīng)概率集合的映射”就可以用“隨機(jī)變量的取值集合到對(duì)應(yīng)概率集合的映射”來表示，即可把“對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究具體轉(zhuǎn)化為對(duì)隨機(jī)變量概率分布的研究”．這樣我們就可以借用有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來研究隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)了．

接著，進(jìn)一步指出：在學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)（必修3）》時(shí)我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過概率、方差等概念，學(xué)過簡(jiǎn)單的概率模型，在今后的學(xué)習(xí)中，我們將利用隨機(jī)變量描述和分析某些隨機(jī)現(xiàn)象，進(jìn)一步體會(huì)概率模型的作用及運(yùn)用概率思想思考和解決一些實(shí)際問題．（體現(xiàn)章引言）

2．對(duì)隨機(jī)變量的深刻認(rèn)識(shí)(對(duì)對(duì)應(yīng)思想——映射的體驗(yàn))

問題4：你能再舉些例子嗎？（請(qǐng)學(xué)生列舉隨機(jī)試驗(yàn)，并將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化，不必寫出概率）

[設(shè)計(jì)意圖] 讓學(xué)生參與舉例，體驗(yàn)將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化（把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)極其重要的數(shù)學(xué)方法）和將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過程.其意義在于兩個(gè)方面:其一,學(xué)生通過尋找(尋找本身就是一個(gè)甄別隨機(jī)與非隨機(jī)的過程),選擇自己感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象,并學(xué)會(huì)用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件;其二,在將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過程中體會(huì)隨機(jī)變量在研究隨機(jī)現(xiàn)象中的重要作用.同時(shí)進(jìn)一步深刻理解隨機(jī)變量的概念,領(lǐng)悟隨機(jī)變量學(xué)習(xí)的重要性，進(jìn)一步形成用隨機(jī)觀念觀察和分析問題的意識(shí)．

[師生活動(dòng)]教師關(guān)注學(xué)生的舉例，關(guān)注其關(guān)鍵過程：隨機(jī)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有哪些？如何將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化？要求學(xué)生畫表，體會(huì)映射的過程．教師給學(xué)生充分展示和交流所舉例子的時(shí)間．同時(shí)，教師也參與舉例（教材中有關(guān)于抽取產(chǎn)品、射擊、瀏覽某網(wǎng)頁等例子可以納入進(jìn)來），深刻體會(huì)將實(shí)際問題（隨機(jī)現(xiàn)象）數(shù)學(xué)化（數(shù)字化）的過程，感受建立隨機(jī)變量概念的重要意義．

對(duì)學(xué)生列舉的試驗(yàn)結(jié)果沒有數(shù)量標(biāo)志的隨機(jī)事件，諸如投擲一枚硬幣的試驗(yàn)等，要引導(dǎo)學(xué)生分析比較，讓學(xué)生體會(huì)對(duì)于同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，可以用不同的隨機(jī)變量來表示．但用哪兩個(gè)數(shù)字來表示，主要是要盡量簡(jiǎn)單，合理，便于研究．如表四：拋擲一枚骰子

在學(xué)生舉例中學(xué)習(xí)如何用隨機(jī)變量去定義試驗(yàn)結(jié)果沒有數(shù)量標(biāo)志的隨機(jī)事件（中間表示映射的一欄表格可以省略）．

問題5：任何隨機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果都可以用數(shù)字表示嗎？同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，可以用不同的數(shù)字表示嗎？

[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生領(lǐng)悟任何隨機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果都可以用數(shù)字來表示（試驗(yàn)結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)的可以通過賦值，將其數(shù)量化），同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，可以用不同的數(shù)字表示，表示的原則主要是有實(shí)際意義，簡(jiǎn)單合理，便于研究．

3．形成離散型隨機(jī)變量概念

問題6：隨機(jī)變量的取值都是整數(shù)嗎？你能否舉個(gè)（些）例子，而隨機(jī)變量的取值不是整數(shù)呢？

[設(shè)計(jì)意圖] 關(guān)注學(xué)生的舉例，借學(xué)生舉出的例子，引導(dǎo)分析數(shù)學(xué)化之后的隨機(jī)變量取值的集合的特征（一個(gè)新概念產(chǎn)生之后，我們應(yīng)該端詳它一番），分辨隨機(jī)變量的類型，即某些隨機(jī)變量的取值是離散的，而有些不是,從而給出離散型隨機(jī)變量的概念．如果學(xué)生列舉的都是離散型隨機(jī)變量，則教師可啟發(fā)點(diǎn)撥，啟發(fā)后引導(dǎo)學(xué)生再舉例，或給出以下問題7：

問題7：請(qǐng)仿照剛才的例子，分析下列隨機(jī)現(xiàn)象，隨機(jī)變量可以取哪些值？你能夠一個(gè)一個(gè)列出來嗎?

（1）某公交車站每隔10分鐘有1輛汽車到站，某人到達(dá)該車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,他等車的時(shí)間；

（2）檢測(cè)一批燈泡（相同型號(hào)）的使用壽命．

[設(shè)計(jì)意圖]通過與前面列舉例子的比較，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)試驗(yàn)結(jié)果中，表示隨機(jī)事件的隨機(jī)變量的取值是一個(gè)區(qū)間，其值無法一一列出，以此形成離散型隨機(jī)變量的概念．同時(shí)明晰在隨機(jī)現(xiàn)象中隨機(jī)變量的取值類型是豐富多樣的，這也是對(duì)隨機(jī)變量概念（外延）的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)．

問題8：如果我們僅僅關(guān)心“某人等車的時(shí)間多于5分鐘或不多于5分鐘”兩種情況，那該怎樣定義隨機(jī)變量呢?

[設(shè)計(jì)意圖] 在研究隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，為研究方便，有時(shí)需要根據(jù)所關(guān)心的問題恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量．讓學(xué)生明白恰當(dāng)定義隨機(jī)變量給我們研究問題帶來方便．問（2）讓學(xué)生選擇自己關(guān)心的問題來恰當(dāng)定義隨機(jī)變量．

[師生活動(dòng)]通過分析，讓學(xué)生明白，在研究隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，有時(shí)需要根據(jù)所關(guān)心的問題恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量．

4．練習(xí)反饋（見教科書第45頁）

下列隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果能否用離散型隨機(jī)變量表示？若能，請(qǐng)寫出各隨機(jī)變量可能的取值并說明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．

（1）拋擲兩枚骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和；

（2）某足球隊(duì)在5次點(diǎn)球中射進(jìn)的球數(shù)；

（3）任意抽取一瓶某種標(biāo)有2500ml的飲料,其實(shí)際量與規(guī)定量之差．

[設(shè)計(jì)意圖]在應(yīng)用中鞏固離散型隨機(jī)變量的概念，并能熟練利用離散型隨機(jī)變量刻畫隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．

5．小結(jié)回授

問題9：你能用自己的語言描述隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量的定義及它們之間的區(qū)別嗎？（學(xué)生回答后，可以再問：你能簡(jiǎn)單地說說引入隨機(jī)變量的好處嗎？）

[設(shè)計(jì)意圖] 學(xué)生用自己的語言來概括本節(jié)課學(xué)到的知識(shí)，是一種“主動(dòng)建構(gòu)”，也真正體現(xiàn)知識(shí)學(xué)到了手．

[師生活動(dòng)]引入隨機(jī)變量后，隨機(jī)試驗(yàn)中我們感興趣的事件就可以通過隨機(jī)變量的取值表達(dá)出來．認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就變成認(rèn)識(shí)這個(gè)隨機(jī)變量所有可能的取值和取每個(gè)值時(shí)的概率．也即把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，我們就可以借助于有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來研究所感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象了．

六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

人教A版教科書第49頁習(xí)題2.1中A組,第1,2,3題.教學(xué)反思 對(duì)隨機(jī)變量概念學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)上，分兩步走：第一步是認(rèn)識(shí)“用數(shù)字表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果”的量是一個(gè)變量，第二步是通過建立“一個(gè)從試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射” 認(rèn)識(shí)到在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，即這是一個(gè)特殊的變量，與隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果有關(guān)，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)隨機(jī)變量概念，并理解隨機(jī)變量的特征：它的取值依賴于試驗(yàn)結(jié)果，具有隨機(jī)性，即在試驗(yàn)之前不能肯定它的取值，一旦完成一次試驗(yàn)，它的取值隨之確定，且所有可能取值是明確的．進(jìn)一步，如何讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)和理解“隨機(jī)變量”這一概念？原教學(xué)設(shè)計(jì)采用讓學(xué)生舉例的方式，在學(xué)生的活動(dòng)中來完成對(duì)“隨機(jī)變量”概念的理解，這一設(shè)計(jì)思路得到同行肯定．事實(shí)上，要使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)，必須要有他們身體力行的實(shí)踐，從自己親歷親為的探索思考中獲得體驗(yàn)，從自己不斷深入的概括活動(dòng)中，獲得對(duì)數(shù)學(xué)概念、原理的本質(zhì)的領(lǐng)悟．此處安排學(xué)生舉例正是基于這種考慮，其意義在于：其一，可以觀察學(xué)生是否領(lǐng)會(huì)把隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)學(xué)化的思想，以及怎樣把隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)學(xué)化（尤其是試驗(yàn)的結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)的隨機(jī)現(xiàn)象）；其二，體會(huì)引入隨機(jī)變量概念后，隨機(jī)試驗(yàn)中的事件就可以通過隨機(jī)變量的取值表達(dá)出來，“隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到對(duì)應(yīng)概率集合的映射”就可以用“隨機(jī)變量的取值集合到對(duì)應(yīng)概率集合的映射”來表示，（即研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律就可以轉(zhuǎn)化為研究隨機(jī)變量的概率分布）．

第四篇：離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)

熟練理解并掌握離散型隨機(jī)變量的定義、意義和計(jì)算方法； 教學(xué)重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的定義、意義和計(jì)算方法； 教學(xué)難點(diǎn)：理解離散型隨機(jī)變量的定義； 教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)和案例推理式教學(xué)相結(jié)合； 教學(xué)手段：多媒體教學(xué)； 教學(xué)內(nèi)容：

第一：由1653年法國的賭資分配問題引出數(shù)學(xué)期望概念的由來和產(chǎn)生背景。以動(dòng)畫故事形式講述賭資分配問題的產(chǎn)生和概率論學(xué)科及數(shù)學(xué)期望概念的誕生背景。

第二：以射手選拔問題為例引出問題——射中環(huán)數(shù)平均值的穩(wěn)定值如何確定？由最簡(jiǎn)單的平均環(huán)數(shù)計(jì)算公式——總環(huán)數(shù)除以射擊次數(shù)，逐步分析得出結(jié)論——用射中每個(gè)環(huán)數(shù)的可能只與對(duì)應(yīng)概率乘積的和可以表示射中環(huán)數(shù)平均值。從而抽象出離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的概念。

第三：離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義。從三個(gè)主要方面分析定義的掌握要點(diǎn)。1.數(shù)學(xué)期望是一個(gè)數(shù)，完全由隨機(jī)變量分布律決定的數(shù)。2.定義要求級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。因?yàn)閄K的取值可正可負(fù)，而一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性則可以保證當(dāng)級(jí)數(shù)項(xiàng)的位置發(fā)生改變時(shí)級(jí)數(shù)仍然收斂且和不變。而條件收斂就不一定了：比如我們知道調(diào)和級(jí)數(shù)是條件收斂的，但當(dāng)我把它的項(xiàng)按照這樣的次序改變之后，這個(gè)級(jí)數(shù)竟然變成了原級(jí)數(shù)的1/2，也就是說：它的和變成了原來和的1/2。這個(gè)例子就說明：條件收斂的級(jí)數(shù)它的和不一定是穩(wěn)定的，所以定義要求這個(gè)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。3.數(shù)學(xué)期望代表的隨機(jī)變量的平均取值，確切地說是加權(quán)平均值，并舉例說明加權(quán)平均值與算術(shù)平均值的不同。

第四：根據(jù)定義解決賭資分配問題中甲乙選手平均水平的高低 分別把甲乙射中環(huán)數(shù)看作隨機(jī)變量X，Y，在已知X，Y分布律的條件下，計(jì)算X，Y的數(shù)學(xué)期望，就得到了甲乙的平均射中環(huán)數(shù)也就比較出了他們平均水平的高低。

第五：分析賭資分配問題與數(shù)學(xué)期望的關(guān)系。分析兩種錯(cuò)誤的分配方案及其原因，指出帕斯卡和費(fèi)馬提出的分配方案及計(jì)算依據(jù)，并分析這種分配方案的合理性以及數(shù)學(xué)期望名字的由來。

第六：通過這堂課的學(xué)習(xí)我們得到的啟示。提出問題的重要性和由具體到一般歸納方法的運(yùn)用。

第五篇：“離散型隨機(jī)變量”的教學(xué)反思與再設(shè)計(jì)

“離散型隨機(jī)變量”的教學(xué)反思與再設(shè)計(jì)

浙江省紹興市高級(jí)中學(xué) 陳柏良

2009年12月2—6日，人民教育出版社A版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材全國經(jīng)驗(yàn)交流會(huì)暨“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法及其教學(xué)設(shè)計(jì)的理論與實(shí)踐”全國第9次課題研討會(huì)在山西省晉中市召開，會(huì)上筆者開設(shè)了一節(jié)“離散型隨機(jī)變量”的研討課，引起與會(huì)專家和代表的一陣熱議．自然地，也促使筆者教學(xué)后的深入反思和對(duì)本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)的重新思考．

第一部分 教學(xué)反思

1．教學(xué)設(shè)計(jì)的邏輯把握

一個(gè)好的教學(xué)設(shè)計(jì)，除了對(duì)教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)理解要到位外，至少還必須具備兩個(gè)特點(diǎn):其一，構(gòu)思簡(jiǎn)單；其二，邏輯清晰．所謂構(gòu)思簡(jiǎn)單，就是整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)有一條主線貫穿，讓人一下子能識(shí)別和讀懂教學(xué)內(nèi)容的“核心”和“精華”；所謂邏輯清晰，就是整個(gè)設(shè)計(jì)從教學(xué)起點(diǎn)，到教學(xué)過程，再到教學(xué)結(jié)果，各個(gè)環(huán)節(jié)清清楚楚，自然流暢．

“離散型隨機(jī)變量”是人教A版數(shù)學(xué)選修2-3第二章 隨機(jī)變量及其分布的起始課，是學(xué)生在學(xué)習(xí)《必修3》概率的基礎(chǔ)上對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的進(jìn)一步研究．其教學(xué)內(nèi)容主要是隨機(jī)變量的概念、離散型隨機(jī)變量的概念，以及如何通過離散型隨機(jī)變量展示用實(shí)數(shù)空間刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的方法，體會(huì)和領(lǐng)悟隨機(jī)變量在研究隨機(jī)現(xiàn)象中的重要作用，滲透將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的思想方法．由于它的引入，大大簡(jiǎn)化了各種事件的表示，且使得我們可以借助于有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來研究隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)，從而可以建立起應(yīng)用到不同領(lǐng)域的概率模型．應(yīng)該說，原教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)理解是到位的，瑕疵是稍多地強(qiáng)調(diào)了“隨機(jī)變量的每一個(gè)取值（X）與它所對(duì)應(yīng)的概率值（P）建立了一個(gè)函數(shù)關(guān)系”，與會(huì)有專家認(rèn)為，這個(gè)提法雖然沒有錯(cuò)誤，但對(duì)于理解隨機(jī)變量的概念和以后的應(yīng)用沒有多大意義，可以不提（該提法在第二部分的再設(shè)計(jì)中已作刪減）．就該課整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)而言，邏輯清楚，問題自然：先從學(xué)生熟知的拋擲一枚骰子（一個(gè)熟悉的簡(jiǎn)單的背景）入手，理解隨機(jī)變量的概念；接著讓學(xué)生舉例，在學(xué)生活動(dòng)中完成對(duì)“隨機(jī)變量”概念的深刻理解；再在學(xué)生的舉例中分辨隨機(jī)變量的取值類型，形成離散型隨機(jī)變量概念．

2．隨機(jī)變量的概念教學(xué)

教師對(duì)隨機(jī)變量概念的認(rèn)識(shí)和理解，以及教學(xué)采取怎樣的方式讓學(xué)生自然“接納”和“領(lǐng)悟”隨機(jī)變量概念，是要下番功夫的，因?yàn)檫@會(huì)直接影響教學(xué)的成敗．為此，探討以下兩個(gè)問題：

（1）為什么要學(xué)習(xí)隨機(jī)變量

眾所周知，概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支．認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就是指：知道這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，知道每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率．對(duì)于給定的隨機(jī)現(xiàn)象，首先要描述所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．在數(shù)學(xué)上處理時(shí)，一個(gè)常用的、也很自然的做法是用數(shù)來表示結(jié)果，即把每個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)．這樣，就建立起了一個(gè)統(tǒng)一的刻畫不同概率模型中所提及的事件的方法，就可以用數(shù)學(xué)分析的方法方便有力地研究隨機(jī)現(xiàn)象了．也就是說，為了便于數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)和計(jì)算，就需將任意的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，即將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果用唯一確定的數(shù)字與它對(duì)應(yīng)，建立起隨機(jī)變量的概念（概言之，隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)可能結(jié)果的數(shù)量化表示，它是隨試驗(yàn)結(jié)果而變化的量，其本質(zhì)是樣本空間到實(shí)數(shù)集之間的一個(gè)映射）．建立隨機(jī)變量概念后，隨機(jī)試驗(yàn)中我們感興趣的事件就可以通過隨機(jī)變量的取值表達(dá)出來．認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就變成認(rèn)識(shí)這個(gè)隨機(jī)變量所有可能的取值和取每個(gè)值時(shí)的概率，即對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究就可以具體轉(zhuǎn)化為對(duì)隨機(jī)變量概率分布的研究．這樣就可以借助于有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來研究所感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)，從而可以建立起應(yīng)用到不同領(lǐng)域的概率模型，這就是新概念產(chǎn)生的必要性，也就是為什么要學(xué)習(xí)隨機(jī)變量的緣由．

我們?cè)購牧硗庖粋€(gè)角度來認(rèn)識(shí)為什么要學(xué)習(xí)隨機(jī)變量: 我們知道概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，也就是從表面上雜亂無章、形式偶然的現(xiàn)象中探索出現(xiàn)象的規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科(這里的規(guī)律性，無非是指各種試驗(yàn)結(jié)果以多大概率出現(xiàn)這一問題)．正是因?yàn)槿绱?探求這個(gè)規(guī)律性的工具應(yīng)該適用于各種形式的隨機(jī)現(xiàn)象，而且還應(yīng)該簡(jiǎn)便、有力．分布函數(shù)

就是這樣一個(gè)工具，但這個(gè)函數(shù)是在引入隨機(jī)變量后定義的，的概率．分布函數(shù)可以把各種類型的隨機(jī)試，即分布函數(shù)是事件驗(yàn)的結(jié)果的概率分布用一個(gè)統(tǒng)一的形式表示出來，它就是一個(gè)普通的函數(shù)，它有很好的分析性質(zhì),便于處理，它的引入使得許多概率論問題得以簡(jiǎn)化而歸結(jié)為普通函數(shù)的運(yùn)算,這樣就能利用數(shù)學(xué)分析的結(jié)果研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性．

一般地,在學(xué)習(xí)概率論之前，研究普通變量與函數(shù)所采用的思路和方法已為人們所熟悉．自然，人們希望采用熟悉的方法和已有的研究成果研究新的課題，隨機(jī)變量的引入無疑也有這方面的原因．

（2）用怎樣的方式學(xué)習(xí)和理解“隨機(jī)變量”

“隨機(jī)變量”這個(gè)概念（或者簡(jiǎn)單地說隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)的這種對(duì)應(yīng)）實(shí)際上早已存在于學(xué)生的意識(shí)之中，而且在不少場(chǎng)合都已不自覺地“實(shí)際使用”（對(duì)應(yīng)思想），如在玩擲骰子時(shí)會(huì)用“點(diǎn)數(shù)”去表示擲出結(jié)果，在觀看射擊比賽時(shí)會(huì)用“環(huán)數(shù)”去評(píng)價(jià)射擊成績(jī)，抽獎(jiǎng)時(shí)會(huì)先對(duì)獎(jiǎng)券“編號(hào)”，隨機(jī)抽取一部分學(xué)生時(shí)會(huì)用“學(xué)號(hào)”去代替，觀看比賽足球比賽時(shí)，贏、平、輸分別會(huì)用“得分”去量化、隨意選購商品時(shí)會(huì)用“價(jià)格”去衡量等等，只是沒有“明朗化”．因而，對(duì)隨機(jī)變量概念的教學(xué)上筆者覺得沒有必要?jiǎng)?chuàng)設(shè)更多的問題情境，讓學(xué)生來概括提煉．實(shí)際上，把所有試驗(yàn)結(jié)果都數(shù)字化，要讓學(xué)生自己想出來也是十分困難的（盡管已經(jīng)在不自覺地使用）．因?yàn)?，這要求對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)有很好的認(rèn)識(shí)才行．故設(shè)計(jì)中主要考慮如何通過教師有啟發(fā)地提問，學(xué)生有意義地學(xué)習(xí)來“內(nèi)化”這個(gè)概念．教學(xué)中讓學(xué)生覺得問題的提出，概念的發(fā)生、發(fā)展過程較為自然，能夠從教師的講授，自己的思考中感受數(shù)學(xué)是怎樣一步步研究現(xiàn)實(shí)世界的．故在教學(xué)設(shè)計(jì)中可以從一個(gè)簡(jiǎn)單的學(xué)生熟悉的例子（作為新概念引入的背景）入手，循循善誘，使得通過這個(gè)例子，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)“建構(gòu)”新知的領(lǐng)域．原教學(xué)設(shè)計(jì)中對(duì)“隨機(jī)變量”概念的教學(xué)是以拋擲一枚骰子為背景的，對(duì)“隨機(jī)變量”的理解，是從函數(shù)（隨機(jī)變量的取值X與隨機(jī)事件發(fā)生的概率P之間的對(duì)應(yīng)）和映射（隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與隨機(jī)變量的取值的對(duì)應(yīng)）的強(qiáng)調(diào)中進(jìn)行的，意在讓學(xué)生體會(huì)隨機(jī)變量在研究隨機(jī)現(xiàn)象中的作用．教學(xué)實(shí)踐后有專家認(rèn)為，讓學(xué)生明白“隨機(jī)變量的取值X與隨機(jī)事件發(fā)生的概率P之間的對(duì)應(yīng)（函數(shù)關(guān)系）”對(duì)理解隨機(jī)變量的概念沒有多大好處．反思后，筆者認(rèn)為，就本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)而言，只要學(xué)生能認(rèn)識(shí)到：建立隨機(jī)變量概念后，隨機(jī)試驗(yàn)中我們感興趣的事件就可以通過隨機(jī)變量的取值表達(dá)出來，“隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到對(duì)應(yīng)概率集合的映射”就可以用“隨機(jī)變量的取值集合到對(duì)應(yīng)概率集合的映射”來表示，即可“把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究具體轉(zhuǎn)化為對(duì)隨機(jī)變量概率分布的研究”，這樣就可以借用有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來研究隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)了．這樣就可以了．

因此，反思后的教學(xué)設(shè)計(jì)著意彰顯這一主旨．對(duì)隨機(jī)變量概念學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)上，分兩步走：第一步是認(rèn)識(shí)“用數(shù)字表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果”的量是一個(gè)變量，第二步是通過建立“一個(gè)從試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射” 認(rèn)識(shí)到在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，即這是一個(gè)特殊的變量，與隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果有關(guān)，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)隨機(jī)變量概念，并理解隨機(jī)變量的特征：它的取值依賴于試驗(yàn)結(jié)果，具有隨機(jī)性，即在試驗(yàn)之前不能肯定它的取值，一旦完成一次試驗(yàn)，它的取值隨之確定，且所有可能取值是明確的．進(jìn)一步，如何讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)和理解“隨機(jī)變量”這一概念？原教學(xué)設(shè)計(jì)采用讓學(xué)生舉例的方式，在學(xué)生的活動(dòng)中來完成對(duì)“隨機(jī)變量”概念的理解，這一設(shè)計(jì)思路得到同行肯定．事實(shí)上，要使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)，必須要有他們身體力行的實(shí)踐，從自己親歷親為的探索思考中獲得體驗(yàn)，從自己不斷深入的概括活動(dòng)中，獲得對(duì)數(shù)學(xué)概念、原理的本質(zhì)的領(lǐng)悟．此處安排學(xué)生舉例正是基于這種考慮，其意義在于：其一，可以觀察學(xué)生是否領(lǐng)會(huì)把隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)學(xué)化的思想，以及怎樣把隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)學(xué)化（尤其是試驗(yàn)的結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)的隨機(jī)現(xiàn)象）；其二，體會(huì)引入隨機(jī)變量概念后，隨機(jī)試驗(yàn)中的事件就可以通過隨機(jī)變量的取值表達(dá)出來，“隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到對(duì)應(yīng)概率集合的映射”就可以用“隨機(jī)變量的取值集合到對(duì)應(yīng)概率集合的映射”來表示，（即研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律就可以轉(zhuǎn)化為研究隨機(jī)變量的概率分布）．

3．離散型隨機(jī)變量概念的形成離散型隨機(jī)變量是隨機(jī)變量的下位概念，而下位學(xué)習(xí)依靠的主要是同化．原教學(xué)設(shè)計(jì)中是這樣考慮的：在學(xué)生的舉例中通過分析數(shù)學(xué)化之后的隨機(jī)變量取值的集合的特征來引發(fā)離散型隨機(jī)變量的概念．即通過學(xué)生的舉例，分辨隨機(jī)變量取值的不同情況：隨機(jī)變量的取值有可數(shù)的，有不可數(shù)的，有有限個(gè)數(shù)的，有無限個(gè)數(shù)的，從中來歸納概括離散型隨機(jī)變量的特征：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量．如學(xué)生列舉的都是隨機(jī)變量取值為整數(shù)的例子，則引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題：隨機(jī)變量的取值都是整數(shù)嗎？你能否舉個(gè)（些）例子，而隨機(jī)變量的取值不是整數(shù)呢？再讓學(xué)生舉例，以此來學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的概念．從這個(gè)角度來提出問題比較自然，這是因?yàn)?，了解隨機(jī)變量的取值的多種情況本身也是對(duì)隨機(jī)變量概念的認(rèn)識(shí)．所以，提出隨機(jī)變量的取值都是整數(shù)嗎？這個(gè)問題本身也是理解和進(jìn)一步認(rèn)識(shí)隨機(jī)變量概念的需要．教學(xué)實(shí)踐表明，這樣的設(shè)計(jì)建立在“學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)”，新概念（離散型隨機(jī)變量）的形成水到渠成、渾然天成．而在原教學(xué)設(shè)計(jì)之前，還有過這樣的設(shè)計(jì)：安排如下一個(gè)練習(xí)，然后再提出一個(gè)問題

練習(xí)：下列隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果能否用隨機(jī)變量表示？若能，請(qǐng)寫出各隨機(jī)變量可能的取值.（1）在含有10件次品的100件產(chǎn)品中，任意抽取4件,取到次品的件數(shù)；

（2）接連不斷地射擊,首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)；

（3）某公園內(nèi)積雪最厚處達(dá)17厘米，則該公園內(nèi)各處的積雪厚度.問題：以上隨機(jī)變量可能的取值有什么不同?

這里設(shè)計(jì)練習(xí)，一方面起到鞏固隨機(jī)變量概念的目的，另一方面通過比較讓學(xué)生明白隨機(jī)變量的取值可以有不同的情況，即隨機(jī)變量取值有可數(shù)的，有不可數(shù)的，有有限個(gè)數(shù)的，有無限個(gè)數(shù)的．從中來“同化”離散性隨機(jī)變量的概念．

兩者設(shè)計(jì)相比，顯然是改進(jìn)后的設(shè)計(jì)更為自然、流暢，它意在借助學(xué)生所舉出的例子，分辨隨機(jī)變量的類型，即某些隨機(jī)變量的取值是離散的，從而給出離散型隨機(jī)變量的概念，而不再單獨(dú)用問題的方式(另起爐灶)提出來（把問題中的例子也納入進(jìn)來）．何況分辨隨機(jī)變量的類型也是對(duì)“隨機(jī)變量”概念（外延）的進(jìn)一步理解與認(rèn)識(shí)．

第二部分 反思后的教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)內(nèi)容解析

概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的．認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就是指：知道這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，以及每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率．而對(duì)于給定的隨機(jī)現(xiàn)象，首先要描述所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．在數(shù)學(xué)上處理時(shí)，一個(gè)常用的、也很自然的做法就是用數(shù)來表示結(jié)果，即把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，使得每個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)，這樣就可以通過實(shí)數(shù)空間（定量的角度）來刻畫隨機(jī)現(xiàn)象，從而就可以利用數(shù)學(xué)工具，用數(shù)學(xué)分析的方法來研究所感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象．簡(jiǎn)言之，隨機(jī)變量是連接隨機(jī)現(xiàn)象和實(shí)數(shù)空間的一座橋梁，它使得我們可以借助于有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來研究隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)，從而可以建立起應(yīng)用到不同領(lǐng)域的概率模型，這便是為什么要引入隨機(jī)變量的緣由.隨機(jī)變量在概率統(tǒng)計(jì)研究中起著極其重要的作用，隨機(jī)變量是用來描述隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果的一類特殊的變量，隨機(jī)變量能夠反映隨機(jī)現(xiàn)象的共性，有關(guān)隨機(jī)變量的結(jié)論可以應(yīng)用到具有不同背景的實(shí)際問題中．隨機(jī)變量就是建立了一個(gè)從隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射，這與函數(shù)概念在本質(zhì)上（一種對(duì)應(yīng)關(guān)系）是一致的，隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域．

離散型隨機(jī)變量是最簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量，隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量是上、下位概念的關(guān)系．本節(jié)課主要通過離散型隨機(jī)變量展示用實(shí)數(shù)空間刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的方法．本節(jié)課的重點(diǎn)是認(rèn)識(shí)離散型隨機(jī)變量的特征，了解其本質(zhì)屬性，體會(huì)引入隨機(jī)變量的作用．

二、教學(xué)目標(biāo)解析

1．在對(duì)具體實(shí)例的分析中，認(rèn)識(shí)和體會(huì)隨機(jī)變量對(duì)刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性和建立隨機(jī)變量概念的必要性，并會(huì)恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量來描述所感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象，能敘述隨機(jī)變量可能取的值及其所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；

2．在列舉的隨機(jī)試驗(yàn)中，通過對(duì)隨機(jī)變量取值類型的分辨，歸納和概括離散型隨機(jī)變量的特征，形成離散型隨機(jī)變量的概念，并會(huì)利用離散型隨機(jī)變量刻畫隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；

3．在舉例、觀察、思考、發(fā)現(xiàn)中經(jīng)歷將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過程，滲透將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的思想方法，進(jìn)一步形成用隨機(jī)觀念觀察和分析問題的意識(shí)．

三、教學(xué)問題診斷分析

本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)是對(duì)引入隨機(jī)變量目的與作用的認(rèn)識(shí)，以及隨機(jī)變量和普通變量的本質(zhì)區(qū)別．隨機(jī)變量這個(gè)概念其實(shí)早已存在于學(xué)生的意識(shí)之中，而且在不少場(chǎng)合都已不自覺的“實(shí)際使用”，只是沒有明朗化．學(xué)生學(xué)習(xí)這一概念就是把這些“實(shí)際使用的”規(guī)則、程序、步驟等進(jìn)一步加以明確．所以，教師的責(zé)任就是為學(xué)生建立隨機(jī)變量這個(gè)概念修通渠道．可通過學(xué)生熟悉的擲骰子的隨機(jī)試驗(yàn)讓學(xué)生體會(huì)隨機(jī)變量概念的發(fā)生，在師生舉例中來體會(huì)隨機(jī)變量概念的發(fā)展，特別是諸如拋擲一枚硬幣等試驗(yàn)，其結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)，怎么讓學(xué)生自然地想到用數(shù)來表示其試驗(yàn)結(jié)果，并且所用的數(shù)又盡量簡(jiǎn)單，便于研究．教學(xué)中需多舉試驗(yàn)結(jié)果本身已具有數(shù)值意義的實(shí)例，來發(fā)揮正遷移作用．通過多舉例讓學(xué)生理解：一旦給出了隨機(jī)變量，即把每個(gè)結(jié)果都用一個(gè)數(shù)表示后，認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就變成認(rèn)識(shí)這個(gè)隨機(jī)變量所有可能的取值和取每個(gè)值時(shí)的概率．

另外，隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量是上、下位概念的關(guān)系，從學(xué)習(xí)的認(rèn)知方式看，下位學(xué)習(xí)依靠的主要是同化，上位學(xué)習(xí)依靠的主要是順應(yīng)，上位學(xué)習(xí)一般采用的思維方法主要是概括和綜合，它主要通過改造（歸納和綜合）原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)內(nèi)容而建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．因此，從這一角度來分析，學(xué)生對(duì)隨機(jī)變量概念的學(xué)習(xí)和真正理解比離散型隨機(jī)變量的學(xué)習(xí)要困難一些．故在隨機(jī)變量的教學(xué)中，要特別重視學(xué)生舉例，讓學(xué)生在充分的自主活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)化的過程，體驗(yàn)將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過程，體會(huì)隨機(jī)變量對(duì)刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性和研究隨機(jī)現(xiàn)象的工具性作用，從而來把握隨機(jī)變量的內(nèi)核．

四、教學(xué)支持條件分析

學(xué)生在必修3概率一章中學(xué)習(xí)過的隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件、簡(jiǎn)單的概率模型和必修1中學(xué)習(xí)過的變量、函數(shù)、映射等知識(shí)是學(xué)習(xí)、領(lǐng)悟和“接納”隨機(jī)變量概念的重要知識(shí)基礎(chǔ)，教學(xué)時(shí)應(yīng)充分注意這一教學(xué)條件；另外，為更好地形成隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量?jī)蓚€(gè)概念，教學(xué)中可借助媒體列舉和展現(xiàn)豐富的實(shí)例和問題，以留給學(xué)生更多的時(shí)間思考和概括．

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)基本流程

（二）教學(xué)過程

1.理解隨機(jī)變量概念

問題1：拋擲一枚骰子，可能出現(xiàn)的結(jié)果有哪些？概率分別是多少？

[設(shè)計(jì)意圖] 以學(xué)生熟悉的隨機(jī)試驗(yàn)為例，在復(fù)習(xí)舊知中孕育新知．

[師生活動(dòng)] 畫表一，指出試驗(yàn)結(jié)果分別有“1點(diǎn)的面朝上”、“2點(diǎn)的面朝上”、“3點(diǎn)的面朝上”、“4點(diǎn)的面朝上”、“5點(diǎn)的面朝上”、“6點(diǎn)的面朝上”，它們都是基本事件．為了研究這些事件，常常把它們分別與一個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)起來．比如，用數(shù)字1與“1點(diǎn)的面朝上”這個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（樣本點(diǎn)）對(duì)應(yīng)，用數(shù)字2與“2點(diǎn)的面朝上”這個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（樣本點(diǎn)）對(duì)應(yīng)，等等．師生共同填寫數(shù)字，形成表二．

引導(dǎo)學(xué)生分析，像這樣“用數(shù)字表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果”的量用X來表示，它可以取集合{1，2，3，4，5，6}的值，說明X是一個(gè)變量．

[設(shè)計(jì)意圖] “用數(shù)字來表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果”實(shí)際上早已存在于學(xué)生的意識(shí)之中，而且在不少場(chǎng)合都已不自覺地“實(shí)際使用”，如射擊比賽中會(huì)用“環(huán)數(shù)”去表示射擊成績(jī)，擲骰子時(shí)會(huì)用“點(diǎn)數(shù)”去表示擲出結(jié)果，抽獎(jiǎng)時(shí)會(huì)先對(duì)獎(jiǎng)券“編號(hào)”，隨機(jī)抽取一部分學(xué)生時(shí)會(huì)用“學(xué)號(hào)”去代替等等，只是沒有明朗化．因而，“用數(shù)字來表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果”可以通過教師有啟發(fā)地提問，有意義地講授進(jìn)行，讓學(xué)生覺得問題的提出，概念的發(fā)生、發(fā)展過程較為自然，能夠從教師的講授中感受數(shù)學(xué)是怎樣一步步研究現(xiàn)實(shí)世界的．

問題2：在這里（指著表二），每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果用唯一確定的數(shù)字與它對(duì)應(yīng)，這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是什么？

[設(shè)計(jì)意圖]建立一個(gè)從試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射．讓學(xué)生感悟：一旦給出了隨機(jī)變量，即把每個(gè)結(jié)果都用一個(gè)數(shù)表示后，認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就變成認(rèn)識(shí)這個(gè)隨機(jī)變量所有可能的取值和取每一個(gè)值時(shí)的概率，從而感受把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)字化（成為實(shí)數(shù)）的必要性，體會(huì)引入隨機(jī)變量的必要性．同時(shí)讓學(xué)生感受概念的從無到有、自然形成的過程．

[師生活動(dòng)] 啟發(fā)誘導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在這里建立了一個(gè)從試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射．形成下表三：拋擲一枚骰子

讓學(xué)生觀察、思考：剛才，用數(shù)字表示試驗(yàn)結(jié)果的變量X，它根據(jù)什么在變化？讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)它的取值隨試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，它的變化是有規(guī)律的，這是個(gè)特殊的變量，與隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果有關(guān)，在試驗(yàn)之前不知道會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)值（即它的取值依賴于試驗(yàn)結(jié)果，因此取值具有隨機(jī)性，即在試驗(yàn)之前不能肯定它的取值，一旦完成一次試驗(yàn)，它的取值隨之確定）．同時(shí)，教師指出：在這個(gè)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系（也即建立了一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果到實(shí)數(shù)的映射）使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（樣本點(diǎn)）都用一個(gè)確定的數(shù)字表示（即所有可能取值是明確的）．在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用字母

問題3：隨機(jī)變量這個(gè)概念與我們?cè)?jīng)學(xué)過的函數(shù)概念有類似的地方嗎?

[設(shè)計(jì)意圖]引導(dǎo)學(xué)生與曾經(jīng)學(xué)過的函數(shù)概念比較，從而加深對(duì)隨機(jī)變量概念的理解．

[師生活動(dòng)]“類比”函數(shù)概念，領(lǐng)悟隨機(jī)變量和函數(shù)概念在本質(zhì)上都是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，都是一種映射，隨機(jī)變量把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映為實(shí)數(shù)，函數(shù)把實(shí)數(shù)映為實(shí)數(shù)，在這兩種映射之間，試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域．隨機(jī)變量的取值范圍我們稱為隨機(jī)變量的值域．如拋擲一枚骰子，隨機(jī)變量的值域?yàn)?/p>

引導(dǎo)學(xué)生利用隨機(jī)變量表達(dá)一些事件，例如拋擲一枚骰子中，點(diǎn)的面朝上”； “3點(diǎn)的面朝上”可以用朝上”或“6點(diǎn)的面朝上”．

表示；

表示“

1；

表示．

表示“5點(diǎn)的面同時(shí)指出：通過映射把隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)進(jìn)行對(duì)應(yīng)，也就是，把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，這樣“隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到對(duì)應(yīng)概率集合的映射”就可以用“隨機(jī)變量的取值集合到對(duì)應(yīng)概率集合的映射”來表示，即可把“對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究具體轉(zhuǎn)化為對(duì)隨機(jī)變量概率分布的研究”．這樣我們就可以借用有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來研究隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)了．

接著，進(jìn)一步指出：在學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)（必修3）》時(shí)我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過概率、方差等概念，學(xué)過簡(jiǎn)單的概率模型，在今后的學(xué)習(xí)中，我們將利用隨機(jī)變量描述和分析某些隨機(jī)現(xiàn)象，進(jìn)一步體會(huì)概率模型的作用及運(yùn)用概率思想思考和解決一些實(shí)際問題．（體現(xiàn)章引言）

2．對(duì)隨機(jī)變量的深刻認(rèn)識(shí)(對(duì)對(duì)應(yīng)思想——映射的體驗(yàn))

問題4：你能再舉些例子嗎？（請(qǐng)學(xué)生列舉隨機(jī)試驗(yàn)，并將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化，不必寫出概率）

[設(shè)計(jì)意圖] 讓學(xué)生參與舉例，體驗(yàn)將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化（把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)極其重要的數(shù)學(xué)方法）和將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過程.其意義在于兩個(gè)方面:其一,學(xué)生通過尋找(尋找本身就是一個(gè)甄別隨機(jī)與非隨機(jī)的過程),選擇自己感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象,并學(xué)會(huì)用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件;其二,在將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過程中體會(huì)隨機(jī)變量在研究隨機(jī)現(xiàn)象中的重要作用.同時(shí)進(jìn)一步深刻理解隨機(jī)變量的概念,領(lǐng)悟隨機(jī)變量學(xué)習(xí)的重要性，進(jìn)一步形成用隨機(jī)觀念觀察和分析問題的意識(shí)．

[師生活動(dòng)]教師關(guān)注學(xué)生的舉例，關(guān)注其關(guān)鍵過程：隨機(jī)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有哪些？如何將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化？要求學(xué)生畫表，體會(huì)映射的過程．教師給學(xué)生充分展示和交流所舉例子的時(shí)間．同時(shí)，教師也參與舉例（教材中有關(guān)于抽取產(chǎn)品、射擊、瀏覽某網(wǎng)頁等例子可以納入進(jìn)來），深刻體會(huì)將實(shí)際問題（隨機(jī)現(xiàn)象）數(shù)學(xué)化（數(shù)字化）的過程，感受建立隨機(jī)變量概念的重要意義．

對(duì)學(xué)生列舉的試驗(yàn)結(jié)果沒有數(shù)量標(biāo)志的隨機(jī)事件，諸如投擲一枚硬幣的試驗(yàn)等，要引導(dǎo)學(xué)生分析比較，讓學(xué)生體會(huì)對(duì)于同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，可以用不同的隨機(jī)變量來表示．但用哪兩個(gè)數(shù)字來表示，主要是要盡量簡(jiǎn)單，合理，便于研究．如表四：拋擲一枚骰子

在學(xué)生舉例中學(xué)習(xí)如何用隨機(jī)變量去定義試驗(yàn)結(jié)果沒有數(shù)量標(biāo)志的隨機(jī)事件（中間表示映射的一欄表格可以省略）．

問題5：任何隨機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果都可以用數(shù)字表示嗎？同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，可以用不同的數(shù)字表示嗎？

[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生領(lǐng)悟任何隨機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果都可以用數(shù)字來表示（試驗(yàn)結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)的可以通過賦值，將其數(shù)量化），同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，可以用不同的數(shù)字表示，表示的原則主要是有實(shí)際意義，簡(jiǎn)單合理，便于研究．

3．形成離散型隨機(jī)變量概念

問題6：隨機(jī)變量的取值都是整數(shù)嗎？你能否舉個(gè)（些）例子，而隨機(jī)變量的取值不是整數(shù)呢？

[設(shè)計(jì)意圖] 關(guān)注學(xué)生的舉例，借學(xué)生舉出的例子，引導(dǎo)分析數(shù)學(xué)化之后的隨機(jī)變量取值的集合的特征（一個(gè)新概念產(chǎn)生之后，我們應(yīng)該端詳它一番），分辨隨機(jī)變量的類型，即某些隨機(jī)變量的取值是離散的，而有些不是,從而給出離散型隨機(jī)變量的概念．如果學(xué)生列舉的都是離散型隨機(jī)變量，則教師可啟發(fā)點(diǎn)撥，啟發(fā)后引導(dǎo)學(xué)生再舉例，或給出以下問題7：

問題7：請(qǐng)仿照剛才的例子，分析下列隨機(jī)現(xiàn)象，隨機(jī)變量可以取哪些值？你能夠一個(gè)一個(gè)列出來嗎?

（1）某公交車站每隔10分鐘有1輛汽車到站，某人到達(dá)該車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,他等車的時(shí)間；

（2）檢測(cè)一批燈泡（相同型號(hào)）的使用壽命．

[設(shè)計(jì)意圖]通過與前面列舉例子的比較，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)試驗(yàn)結(jié)果中，表示隨機(jī)事件的隨機(jī)變量的取值是一個(gè)區(qū)間，其值無法一一列出，以此形成離散型隨機(jī)變量的概念．同時(shí)明晰在隨機(jī)現(xiàn)象中隨機(jī)變量的取值類型是豐富多樣的，這也是對(duì)隨機(jī)變量概念（外延）的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)．

問題8：如果我們僅僅關(guān)心“某人等車的時(shí)間多于5分鐘或不多于5分鐘”兩種情況，那該怎樣定義隨機(jī)變量呢?

[設(shè)計(jì)意圖] 在研究隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，為研究方便，有時(shí)需要根據(jù)所關(guān)心的問題恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量．讓學(xué)生明白恰當(dāng)定義隨機(jī)變量給我們研究問題帶來方便．問（2）讓學(xué)生選擇自己關(guān)心的問題來恰當(dāng)定義隨機(jī)變量．

[師生活動(dòng)]通過分析，讓學(xué)生明白，在研究隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，有時(shí)需要根據(jù)所關(guān)心的問題恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量．

4．練習(xí)反饋（見教科書第45頁）

下列隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果能否用離散型隨機(jī)變量表示？若能，請(qǐng)寫出各隨機(jī)變量可能的取值并說明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．

（1）拋擲兩枚骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和；

（2）某足球隊(duì)在5次點(diǎn)球中射進(jìn)的球數(shù)；

（3）任意抽取一瓶某種標(biāo)有2500ml的飲料,其實(shí)際量與規(guī)定量之差．

[設(shè)計(jì)意圖]在應(yīng)用中鞏固離散型隨機(jī)變量的概念，并能熟練利用離散型隨機(jī)變量刻畫隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．

5．小結(jié)回授

問題9：你能用自己的語言描述隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量的定義及它們之間的區(qū)別嗎？（學(xué)生回答后，可以再問：你能簡(jiǎn)單地說說引入隨機(jī)變量的好處嗎？）

[設(shè)計(jì)意圖] 學(xué)生用自己的語言來概括本節(jié)課學(xué)到的知識(shí)，是一種“主動(dòng)建構(gòu)”，也真正體現(xiàn)知識(shí)學(xué)到了手．

[師生活動(dòng)]引入隨機(jī)變量后，隨機(jī)試驗(yàn)中我們感興趣的事件就可以通過隨機(jī)變量的取值表達(dá)出來．認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就變成認(rèn)識(shí)這個(gè)隨機(jī)變量所有可能的取值和取每個(gè)值時(shí)的概率．也即把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，我們就可以借助于有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來研究所感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象了．

六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

人教A版教科書第49頁習(xí)題2.1中A組,第1,2,3題.2010-07-08 人教網(wǎng)