第一篇：北師大版高中數(shù)學(xué)選修2-2《1.3反證法》教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

北師大版高中數(shù)學(xué) 選修2-2《1.3反證法》教學(xué)設(shè)計(jì)

三維目標(biāo)：

知識與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)。

過程與方法: 設(shè)計(jì)有代表性有梯度的例題，培養(yǎng)他們的辨析能力；逐步培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力；

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教學(xué)重點(diǎn)：了解反證法的思考過程、特點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn)：反證法的思考過程、特點(diǎn)

教學(xué)準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料，多媒體教學(xué)（例題偏多，省去板演過程）教學(xué)設(shè)想：通過問題情境的合理設(shè)置，讓學(xué)生跳跳就能夠得著了，在課堂內(nèi)經(jīng)歷知識的發(fā)生發(fā)展，將體會匯總成理論，應(yīng)用于實(shí)踐。

教學(xué)過程:

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

直接證明方法：綜合法與分析法 間接證明方法：反證法

二、新授

1、反證法相關(guān)概念形成

反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。

2、典例分析

引入：課本例題P13例題1

2已知a是整數(shù)，2能整除a，求證：2能整除a

問題的提出應(yīng)用了學(xué)生比較熟悉又可列舉的正整數(shù)環(huán)境，學(xué)生比較容易想到用驗(yàn)證的方法先進(jìn)行結(jié)論的檢驗(yàn)，并且在驗(yàn)證的過程中體會整數(shù)平方運(yùn)算的規(guī)律，從而尋找一般的并且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明方式。易于學(xué)生思考，同時(shí)也很好的激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的動機(jī)和興趣.同時(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明對反證法定義的形成提供了強(qiáng)有力的思想支持，學(xué)生對一般的證明模式自然易于接受。

數(shù)學(xué)建構(gòu)：

一般地，由證明題矛盾.從而判斷

轉(zhuǎn)向證明，與假設(shè)矛盾，或者與某個(gè)真命為假，推出為真的方法，叫做反證法。

反證法的證題步驟：（1）做出否定結(jié)論的假設(shè)

（2）進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾------“矛盾”主要是指： A與假設(shè)矛盾；

B與數(shù)學(xué)公理、定理、公式、定義或已被證明了的結(jié)論矛盾； C與公認(rèn)的簡單事實(shí)矛盾.（3）否定假設(shè)，肯定結(jié)論

例題2：求證是無理數(shù)

本題是借助有理數(shù)的分?jǐn)?shù)表示來處理，有助于加深學(xué)生對有理數(shù)的認(rèn)識，思維上也有較高的要求，有利于發(fā)散學(xué)生思維，同時(shí)也和初中數(shù)學(xué)知識建立了聯(lián)系，有利于學(xué)生建立知識體系，完善思維.本例設(shè)計(jì)的非常合理.同時(shí)在課本P14練習(xí)1中設(shè)計(jì)了一題，P習(xí)題1-3中也設(shè)計(jì)了一題，起到前后呼應(yīng)、鞏固加強(qiáng)理解和應(yīng)用反證法的效果，同時(shí)體現(xiàn)了反證法對“原始”數(shù)學(xué)概念、公式、定理證明的作用。

例題3：課本例題3 在同一平面內(nèi)，兩條直線a,b都和直線c垂直，求證a與b平行。

本題本以幾何知識為背景設(shè)計(jì)，在回顧初中平面幾何知識的同時(shí)，又在證明過程中融合數(shù)形結(jié)合、分類討論思想于一體，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維和分析問題、解決問題能力的培養(yǎng)都有很好的效果,例題大家也容易接受，充分展示反證法對我們一些無從下手，思維跳躍的題型另類解答，讓學(xué)生進(jìn)入到證明的另一領(lǐng)域，激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。課本P15習(xí)題1-3中設(shè)計(jì)了兩道類似的例題，不過要從平面幾何拓展到立體幾何加深了難度。

三、鞏固練習(xí)：課本P14-15練習(xí)、習(xí)題，優(yōu)化設(shè)計(jì)：P5

四、補(bǔ)充例題

例題4 求證三角形中三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)角大于或等于60°

正難則反是“至多”“至少”類命題證明思路，同樣是常用反證法，這類命題的證明一定要注意反設(shè)要寫正確，這也是反證法證題的關(guān)鍵，課本P14例題4，優(yōu)化設(shè)計(jì)中也有四道類似題呼應(yīng)鞏固。

五、拓展練習(xí)、優(yōu)化設(shè)計(jì)：P6

題型二，隨堂練習(xí)2、3、5

六、課時(shí)小結(jié)：

1、反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論。

2、反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個(gè)/一個(gè)也沒有；至少有n個(gè)/至多有(n一1)個(gè)；至多有一個(gè)/至少有兩個(gè)；唯一/至少有兩個(gè)。

3、歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件

矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。

七、教學(xué)反思：學(xué)生只有親身經(jīng)歷了知識的發(fā)生與發(fā)展才能很好的總結(jié)升華，才可以將體會匯總成理論，將理論應(yīng)用于實(shí)踐.將問題設(shè)計(jì)的有代表性了、有梯度了，學(xué)生能跳跳夠得著了，自然有主動有積極，在課堂小結(jié)時(shí)才能真正有收獲。

總結(jié)應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的一般步驟： 1.分清命題的條件和結(jié)論； 2.做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)；

3.從假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用演繹推理的方法，推出矛盾的結(jié)果；

4.斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所做的假設(shè)不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明命題為真。

雖然使用了多媒體教學(xué)，不用板演，但學(xué)生預(yù)習(xí)沒有到位，內(nèi)容還是有點(diǎn)多，時(shí)間比較緊湊。

第二篇：反證法教學(xué)反思

“反證法”是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種特殊的證明方法，對于一些證明體它有著獨(dú)特，簡便，實(shí)用的方法。故反證法的學(xué)習(xí)非常重要，在反思本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)中得出以下幾點(diǎn)體會：

1、分清所證命題的條件和結(jié)論

如證明命題“一個(gè)三角形中不可能有兩個(gè)角是直角”其中條件是“一個(gè)三角形”（）結(jié)論是“不能有兩個(gè)角是直角”（）

2、熟記步驟

第一步：假設(shè)即假設(shè)命題的結(jié)論的反面為正確的。如引用上述命題即“假設(shè)能有兩個(gè)叫是直角不妨設(shè)”

第二步：推理后發(fā)現(xiàn)矛盾。一般利用假設(shè)進(jìn)行推理如繼上可知發(fā)現(xiàn)這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，所以假設(shè)不成立，故一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角，即為第三步：推翻假設(shè)，證明原命題成立。

3、抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)

反證法的重點(diǎn)是能寫出結(jié)論的反面，同時(shí)也是難點(diǎn)。如“寫出線段AB,CD互相平分的反面”，線段AB,CD互相平分具體指：“AB平分CD且CD平分AB”。他的反面應(yīng)包括以下三種情況：

（1）AB平分CD但CD不平分AB；

（2）CD平分AB但AB不平分CD；

（3）AB不平分CD且CD不平分AB.統(tǒng)稱為“AB，CD不互相平分”，而學(xué)生往往只考慮第（3）種情況，即AB，CD互相不平分。

4、注重規(guī)范

在用反證法證明的命題中經(jīng)常會出現(xiàn)文字命題。如證明命題“梯形的對角線不能互相平分”時(shí)切記一定要先用數(shù)學(xué)語言寫出“已知”和“求證”即已知：梯形ABCD中，AC，BD是對角線；求證：AC，BD不能互相平分。然后再按一般步驟證明。

反證法不僅能提高學(xué)生的演繹推理能力，而且在后繼的學(xué)習(xí)中有著不可忽視的作用，雖然在初中教材中所占篇幅很少，但本人認(rèn)為不應(yīng)輕視，應(yīng)讓學(xué)生掌握其精髓，合理的去運(yùn)用。

第三篇：北師大版高中數(shù)學(xué)必修選修目錄

北師大版高中數(shù)學(xué)必修目錄

《數(shù)學(xué)1(必修)》

第一章 集合

§1 集合的含義與表示

§2 集合的基本關(guān)系

§3 集合的基本運(yùn)算

閱讀材料 康托與集合論

第二章 函數(shù)

§1 生活中的變量關(guān)系

§2 對函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識

§3 函數(shù)的單調(diào)性

§4 二次函數(shù)性質(zhì)的再研究

§5 簡單的冪函數(shù)

閱讀材料 函數(shù)概念的發(fā)展

課題學(xué)習(xí)個(gè)人所得稅的計(jì)算

第三章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)

§1 正整數(shù)指數(shù)函數(shù)

§2 指數(shù)概念的擴(kuò)充

§3 指數(shù)函數(shù)

§4 對數(shù)

§5 對數(shù)函數(shù)

§6 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較

閱讀材料 歷史上數(shù)學(xué)計(jì)算方面的三大發(fā)明

第四章 函數(shù)應(yīng)用

§1 函數(shù)與方程

§2 實(shí)際問題的函數(shù)建模

閱讀材料 函數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)

探究活動 同種商品不同型號的價(jià)格問題

《數(shù)學(xué)2(必修)》

第一章 立體幾何初步

§1 簡單幾何體

§2 三視圖

§3 直觀圖

§4 空間圖形的基本關(guān)系與公理

§5平行關(guān)系

§6 垂直關(guān)系

§7 簡單幾何體的面積和體積

§8 面積公式和體積公式的簡單應(yīng)用

閱讀材料 蜜蜂是對的

課題學(xué)習(xí)正方體截面的形狀

第二章 解析幾何初步

§1 直線與直線的方程

§2 圓與圓的方程

§3 空間直角坐標(biāo)系

閱讀材料 笛卡兒與解析幾何

探究活動1 打包問題

探究活動2 追及問題

《數(shù)學(xué)3(必修)》

第一章 統(tǒng)計(jì)

§1 統(tǒng)計(jì)活動：隨機(jī)選取數(shù)字

§2 從普查到抽樣

§3 抽樣方法

§4 統(tǒng)計(jì)圖表

§5 數(shù)據(jù)的數(shù)字特征

§6 用樣本估計(jì)總體

§7 統(tǒng)計(jì)活動：結(jié)婚年齡的變化

§8 相關(guān)性

§9 最小二乘法

閱讀材料 統(tǒng)計(jì)小史

課題學(xué)習(xí)調(diào)查通俗歌曲的流行趨勢

第二章

算法初步

§1 算法的基本思想

§2 算法的基本結(jié)構(gòu)及設(shè)計(jì)

§3 排序問題

§4 幾種基本語句

課題學(xué)習(xí)確定線段n等分點(diǎn)的算法

第三章 概率

§1 隨機(jī)事件的概率

§2 古典概型

§3模擬方法――概率的應(yīng)用

探究活動 用模擬方法估計(jì)圓周率∏的值

《數(shù)學(xué)4(必修)》

第一章 三角函數(shù)

§1 周期現(xiàn)象與周期函數(shù)

§2 角的概念的推廣

§3 弧度制

§4 正弦函數(shù)

§5 余弦函數(shù)

§6 正切函數(shù)

§7 函數(shù)的圖像

§8 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

閱讀材料 數(shù)學(xué)與音樂

課題學(xué)習(xí)利用現(xiàn)代信息技術(shù)探究的圖像

第二章平面向量

§1 從位移、速度、力到向量

§2 從位移的合成到向量的加法

§3 從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量

§4平面向量的坐標(biāo)

§5 從力做的功到向量的數(shù)量積

§6平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

§7 向量應(yīng)用舉例

閱讀材料 向量與中學(xué)數(shù)學(xué)

第三章 三角恒等變形

§1 兩角和與差的三角函數(shù)

§2 二倍角的正弦、余弦和正切

§3 半角的三角函數(shù)

§4 三角函數(shù)的和差化積與積化和差

§5 三角函數(shù)的簡單應(yīng)用

課題學(xué)習(xí)摩天輪中的數(shù)學(xué)問題

探究活動 升旗中的數(shù)學(xué)問題

《數(shù)學(xué)5(必修)》

第一章 數(shù)列 §1 數(shù)列

1.1 數(shù)列的概念

1.2 數(shù)列的函數(shù)特性 §2 等差數(shù)列

2.1 等差數(shù)列

2.2 等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和 §3 等比數(shù)列

3.1 等比數(shù)列

3.2 等比數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和 §4 數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用

本章小節(jié)建議

復(fù)習(xí)題一

課題學(xué)習(xí)教育儲蓄 第二章 解三角形

§1 正弦定理與余弦定理

1.1 正弦定理

1.2 余弦定理

§2 三角形中的幾何計(jì)算 §3 解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例

本章小結(jié)建議

復(fù)習(xí)題二 第三章 不等式 §1 不等關(guān)系

1.1 不等關(guān)系

1.2 比較大小 §2 一元二次不等式

2.1 一元二次不等式的解法

2.2 一元二次不等式的應(yīng)用 §3 基本不等式

3.1 基本不等式

3.2 基本不等式與最大（小）值 §4 簡單線性規(guī)劃

4.1 二元一次不等式（組）與平面區(qū)域

4.2 簡單線性規(guī)劃

4.3 簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用

閱讀材料 人的潛能

本章小結(jié)建議

復(fù)習(xí)題三

探究活動 三角測量 北師大版高中數(shù)學(xué)選修目錄

《數(shù)學(xué)選修1-1》

第一章 常用邏輯用語 §1 命題

§2 充分條件與必要條件

2.1充分條件 2.2必要條件 2.3充要條件

§3 全稱量詞與存在量詞

3.1全稱量詞與全稱命題 3.2存在量詞與特稱命題.3.3全稱命題與特稱命題的否定§4 邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”

4.1邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”

4.2邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”

4.3邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”習(xí)題1—4

本章小結(jié)建議

復(fù)習(xí)題一

第二章 圓錐曲線與方程

§1橢圓

1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1.2橢圓的簡單性質(zhì) §2拋物線

2.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 2.2拋物線的簡單性質(zhì) §3雙曲線

3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 3.2雙曲線的簡單性質(zhì)

閱讀材料1 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)

閱讀材料2 曲線與方程

本章小結(jié)建議

復(fù)習(xí)題二

第三章 變化率與導(dǎo)數(shù)

§1 變化的快慢與變化率

§2 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義

2.1導(dǎo)數(shù)的概念 2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義 §3 計(jì)算導(dǎo)數(shù)

§4 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

4.1 導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則 4.2 導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則 本章小結(jié)建議

復(fù)習(xí)題三 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

§1 函數(shù)的單調(diào)性與極值

1.1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 1.2函數(shù)的極值

§2 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用

2.1實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義 2.2最大、最小值問題

閱讀材料 數(shù)學(xué)史上豐碑——微積分

本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題四

附錄1 部分?jǐn)?shù)學(xué)專業(yè)詞匯中英文對照表

附錄2 信息檢索網(wǎng)址導(dǎo)引

《數(shù)學(xué)選修1-2》

第一章 統(tǒng)計(jì)案例 §1 回歸分析 1.1回歸分析 1.2相關(guān)系數(shù)

1.3可線性化的回歸分析 閱讀材料 高爾頓與回歸 §2 獨(dú)立性檢驗(yàn)

2.1條件概率與獨(dú)立事件 閱讀材料 概率與法庭 2.2獨(dú)立性檢驗(yàn)

2.3獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想 2.4獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用

統(tǒng)計(jì)活動 學(xué)習(xí)成績與視力之間的關(guān)系

本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題一 第二章 框圖 §1 流程圖 §2 結(jié)構(gòu)圖 本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題二

第三章 推理與證明 §1 歸納與類比 1.1歸納推理 2.2類比推理 §2 數(shù)學(xué)證明

§3 綜合法與分析法 3.1綜合法 3.2分析法 §4 反證法 本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題三

第四章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

§1 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 1.1數(shù)系概念的擴(kuò)展

1.2復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 §2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 2.1復(fù)數(shù)的加法與減法 2.2復(fù)數(shù)的乘法與除法 閱讀材料 數(shù)的擴(kuò)充 本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題四

附錄1 部分?jǐn)?shù)學(xué)專業(yè)詞匯中英文對照表

附錄2 信息檢索網(wǎng)址導(dǎo)引

《數(shù)學(xué)選修2-1》

第一章 常用邏輯用語 §1 命題

§2 充分條件與必要條件 2．1充分條件 2．2必要條件 2．3充要條件

§3 全稱量詞與存在量詞 3．1全稱量詞與全稱命題 3．2存在量詞與特稱命題

3．3全稱命題與特稱命題的否定 §4邏輯聯(lián)結(jié)詞且”“或”“非” 4．1邏輯聯(lián)結(jié)詞“且” 4．2邏輯聯(lián)結(jié)詞“或” 4．3邏輯聯(lián)結(jié)詞“非” 本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題一

第二章 空間向量與立體幾何 §1 從平面向量到空間向量 §2 空間向量的運(yùn)算

§3 向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理

3．1 空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示

3．2 空間向量基本定理

3．3 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 §4 用向量討論垂直與平行 §5 夾角的計(jì)算

5．1 直線間的夾角 5．2平面間的夾角 5．3 直線與平面的夾角 §6 距離的計(jì)算

課題學(xué)習(xí)空間向量在力學(xué)中的應(yīng)用

本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題二

第三章 圓錐曲線與方程

§1 橢圓

1．1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1．2 橢圓的簡單性質(zhì) §2 拋物線

2．1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 2．2 拋物線的簡單性質(zhì) §3 雙曲線

3．1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 3．2 雙曲線的簡單性質(zhì) §4 曲線與方程 4．1 曲線與方程

4．2 圓錐曲線的共同特征 4．3 直線與圓錐曲線的交點(diǎn) 閱讀材料1 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì) 閱讀材料2 圓與橢圓 本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題三

附錄1 部分?jǐn)?shù)學(xué)專業(yè)詞匯中英文對照表

附錄2 信息檢索網(wǎng)址導(dǎo)引

《數(shù)學(xué)選修2-2》

第一章 推理與證明 §1 歸納與類比 1.1歸納推理 2.2類比推理

§2 綜合法與分析法 2.1綜合法 2.2分析法 §3 反證法

§4 數(shù)學(xué)歸納法 本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題一

第二章 變化率與導(dǎo)數(shù)

§1 變化率的快慢與變化率 §2 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義 2.1導(dǎo)數(shù)的概念 2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義 §3 計(jì)算導(dǎo)數(shù)

§4 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 4.1導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則 4.2導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則 §5 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題二

第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

§1 函數(shù)的單調(diào)性與極值 1.1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 1.2函數(shù)的極值

§2 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用 2.1實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義 2.2最大值、最小值問題 本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題三

第四章 定積分

§1 定積分的概念

1.1定積分的背景——面積和路程問題

1.2定積分

§2 微積分基本定理 §3 定積分的簡單應(yīng)用 3.1平面圖形的面積 3.2簡單幾何體的體積

閱讀材料 數(shù)學(xué)史上的豐碑——微積分

本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題四

第五章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

§1 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 1.1數(shù)系概念的擴(kuò)展 1.2復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 §2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 2.1復(fù)數(shù)的加法與減法 2.2復(fù)數(shù)的乘法與除法 閱讀材料 數(shù)的擴(kuò)充 本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題五

《數(shù)學(xué)選修2-3》

第一章 計(jì)數(shù)原理

§1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

1.1分類加法計(jì)數(shù)原理 2.2分步乘法計(jì)數(shù)原理 §2 排列 §3 組合

§4 簡單計(jì)數(shù)問題 §5 二項(xiàng)式定理 5.1二項(xiàng)式定理

5.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題一 第二章 概率

§1 離散型隨機(jī)變量及其分布列

§2 超幾何分布

閱讀材料 彩票中的概率 §3 條件概率與獨(dú)立事件 閱讀材料 概率與法庭 §4 二項(xiàng)分布

閱讀材料 需要多少條外線 §5 離散型隨機(jī)變量的均值與方差

§6 正態(tài)分布

6.1連續(xù)型隨機(jī)變量 6.2正態(tài)分布

閱讀材料 正態(tài)分布小史及其他

本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題二

第三章 統(tǒng)計(jì)案例 §1 回歸分析 1.1回歸分析 1.2相關(guān)系數(shù)

1.3可線性化的回歸分析

閱讀材料 高爾頓與回歸 §2 獨(dú)立性檢驗(yàn)

2.1條件概率與獨(dú)立事件 閱讀材料 概率與法庭 2.2獨(dú)立性檢驗(yàn)

2.3獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想 2.4獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用

統(tǒng)計(jì)活動 學(xué)習(xí)成績與視力之

本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題三

間的關(guān)系

《數(shù)學(xué)選修4-1 幾何證明選講》 第一章 直線、多邊形、圓 §1 全等與相似 §2 圓與直線 §3 圓與四邊形

閱讀材料 定長閉曲線最大面積問題 本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題一

第二章 圓錐曲線 §1 截面欣賞 §2 直線與球、平面與球的位置關(guān)系 §3 柱面與平面的截面 §4平面截圓錐面

§5 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 研究性學(xué)習(xí)本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題二

《數(shù)學(xué)選修4-2 矩陣與變換》

引 言

第一章平面向量與二階方陣

§1平面向量及向量的運(yùn)算

§2向量的坐標(biāo)表示及直線的向量方程

§3二階方陣與平面向量的乘法 第二章 幾何變換與矩陣

§1 幾種特殊的矩陣變換

§2 矩陣變換的性質(zhì)

第三章 變換的合成與矩陣乘法

§1 變換的合成與矩陣乘法

§2 矩陣乘法的性質(zhì) 第四章 逆變換與逆矩陣

§1 逆變換與逆矩陣

§2 初等變換與逆矩陣

§3 二階行列式與逆矩陣

§4 可逆矩陣與線性方程組 第五章 矩陣的特征值與特征向量

§1 矩陣變換的特征值與特征向量

§2 特征向量在生態(tài)模型中的簡單應(yīng)用

閱讀材料

復(fù)習(xí)小結(jié)建議

《數(shù)學(xué)選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程 》 第一章 坐標(biāo)系

§1平面直角坐標(biāo)系 §2 極坐標(biāo)系

§3 柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系 閱讀材料 笛卡爾與坐標(biāo)系 本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題一

第二章 參數(shù)方程

§1 參數(shù)方程的概念

§2 直線和圓錐曲線的參數(shù)方程 §3 參數(shù)方程化成普通方程 §4平擺線和漸開線 §5 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 閱讀材料1 其他擺線

閱讀材料2 擺線的應(yīng)用研究 本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題二

《數(shù)學(xué)選修4-5不等式選講》 第一章 不等關(guān)系與基本不等式 §1 不等式的性質(zhì)

§2 含有絕對值的不等式 §3平均值不等式 §4 不等式的證明 §5 不等式的應(yīng)用 本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題一

第二章 幾個(gè)重要不等式 §1 柯西不等式 §2 排序不等式

§3 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 本章小結(jié)建議 復(fù)習(xí)題二

文科學(xué)1-1,1-2,4-1,4-4 理科學(xué)

2-1,2-2

2-3，4-1，4-4，4-5。

第四篇：高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)反思

通過參加高中數(shù)學(xué)新課程的研修，您個(gè)人在教學(xué)研究上有什么考慮，打算做哪些方面的研究，從何處入手，預(yù)期的成果是什么？

新僑中學(xué)張家裕

通過參加這次高中數(shù)學(xué)新課程的研修，我深有感觸，這促使我在今后的教學(xué)研究上有了更多的想法。

首先，授知方式要轉(zhuǎn)化

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)：“要讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)的情景中和已有知識的基礎(chǔ)上體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)知識”。因此在教學(xué)上應(yīng)該更加地重視“情景的創(chuàng)設(shè)”，一個(gè)好的“情景”，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愿望和參與動機(jī)，能使學(xué)生主動地融入問題中，積極主動地投入到自主探索、合作交流的氛圍中，也能夠化解教學(xué)中的一些重難點(diǎn)。

其次，教師的角色要轉(zhuǎn)化

新課程強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)變教師的角色，突出學(xué)生的這一主體，這是絕對正確的。教師不僅是知識的呈現(xiàn)者，而且是信息的重組者；不僅是對話的提問者，而且是疑問的激發(fā)者；不僅是學(xué)習(xí)的輔導(dǎo)者，而且是學(xué)習(xí)的促進(jìn)者；不僅是課堂的管理者，而且是課堂的合作者；不僅是學(xué)業(yè)的評價(jià)者，而且是成長的記錄者。教師應(yīng)成為課堂的導(dǎo)演，而學(xué)生理應(yīng)成為課堂的演員。教學(xué)作為一個(gè)過程，是教師和學(xué)生主體交互作用的過程，是教師與學(xué)生合作的過程，任何一個(gè)教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，既離不開學(xué)生，也離不開教師，學(xué)生力所能及的教師要避之，學(xué)生力所難及的教師助之，學(xué)生力所不及的教師為之。

第三，教學(xué)中切實(shí)做到讓學(xué)生學(xué)習(xí)方式有所轉(zhuǎn)化

新課標(biāo)大力地提倡學(xué)生的合作學(xué)習(xí)，因?yàn)楹献鲗W(xué)習(xí)方式是在當(dāng)學(xué)生個(gè)人遇到難以獨(dú)立解決的學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)應(yīng)用，通過合作學(xué)習(xí)達(dá)到解決問題、提高能力的目的。而在大多數(shù)的教師觀念中，合作學(xué)習(xí)主要適宜教材中比較簡單的學(xué)習(xí)任務(wù)，所以課堂中呈現(xiàn)出來的所謂的合作學(xué)習(xí)往往只是同學(xué)們“合作”找出老師布置的問題的答案，然后派一個(gè)代表進(jìn)行回答。這顯然是一種錯誤。因此教師在小組合作時(shí)，一要把握好時(shí)機(jī)；二要精心設(shè)計(jì)合作學(xué)習(xí)的內(nèi)容；三要進(jìn)行合理地分組；四要明確小組合作的目標(biāo)。真正讓小組合作在新課程的課堂上發(fā)揮作用，而不是熱熱鬧鬧走過場。

第四、課堂評價(jià)方式要轉(zhuǎn)化

標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為，對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評價(jià)，“既要關(guān)注學(xué)生知識與技能的理解和掌握，更要關(guān)注他們情感與態(tài)度的形成和發(fā)展，要多用激勵性評價(jià)，發(fā)揮評價(jià)的激勵作用?！币虼耍诮窈蟮恼n堂教學(xué)中，我們一定要做到不吝嗇自己的表揚(yáng)和鼓勵，但也要把握好評價(jià)的尺度，不要過多過濫，肯定好的，善待學(xué)生出現(xiàn)在錯誤，盡量讓學(xué)生說出自己的思考過程，然后在作評價(jià)，要善于接納學(xué)生，樂意聽學(xué)生說，給學(xué)生提供一個(gè)安全和諧的心理環(huán)境。因?yàn)橹挥羞@樣，學(xué)生的思維和情感才能得到發(fā)展。

有了以上的幾點(diǎn)教學(xué)上的研究和入手點(diǎn)，我相信，經(jīng)過一段時(shí)間的磨練，在教學(xué)的處理上一定會有很大的進(jìn)步，而在學(xué)生方面，也一定會有預(yù)想不到的效果。

1、學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性、積極性會被激發(fā)出來，而創(chuàng)新思維也會得到一定的培養(yǎng)。學(xué)生成為了課堂上的主體，更能積極主動參與知識的發(fā)現(xiàn)，全身心的投入到一節(jié)數(shù)學(xué)課的聽課中，效率提高了，自然成績也就有了保證，以前所缺乏的信心從此可以找回。

2、現(xiàn)在的很多學(xué)生有些很不好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，比如“閉門造車”，自己學(xué)習(xí)自己思考，很少與周圍的同學(xué)進(jìn)行交流，或者，一遇到困難便不加思索，直接請教其他同學(xué)或者向老師提問。那么，鼓勵學(xué)生通過自主探索與合作交流，做到將“游離”狀態(tài)的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)凝結(jié)成優(yōu)化的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，將模糊、雜亂的數(shù)學(xué)思想清晰和條理化，同時(shí)，相互學(xué)習(xí)，通過交流去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)而獲得美好的情感體驗(yàn)。

3、每個(gè)班的學(xué)生智力發(fā)展水平及個(gè)性特征總是有差異的，同一事物理解的角度和深度必然存在明顯差異，那么，當(dāng)我們做到了尊重學(xué)生的個(gè)體差異，改變課堂的評價(jià)方式，我想，我們就能與學(xué)生建立起一種平等、信任、理解和相互尊重的和諧師生關(guān)系，營造出一種民主的課堂教學(xué)環(huán)境，學(xué)生才會在此環(huán)境中大膽發(fā)表自己的見解，展示自己的個(gè)性特征，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。有了興趣自信心，學(xué)生便能在數(shù)學(xué)的海洋里盡情的遨游，教學(xué)效果才能進(jìn)一步的提高。

答:新課程推進(jìn)以后，教師的問題成為了第一問題，怎么樣能夠使我們的教師更好地適應(yīng)我們作為新課程來講，它的課程結(jié)構(gòu)發(fā)生了很大的變化，比如選修課這樣一些新的內(nèi)容，教師面臨一種全新的感覺，跟以前的課程是不一樣的，這種課程的學(xué)習(xí)也需要我們做校園教研，所以說，新課程對于我們教師來講，它還是非常需要通過研究來了解，來落實(shí)的.第二個(gè)方面，就是作為國家課程，這樣一種內(nèi)容的學(xué)習(xí)，另外一個(gè)在教育上，作為教師他自身的一種理解，作為教師由一個(gè)一般的教師能夠承擔(dān)我們的課程，以及發(fā)展成為一個(gè)優(yōu)秀教師，更好地落實(shí)這個(gè)課程，在這里教師有一個(gè)自身發(fā)展的需要,這種發(fā)展是需要通過

教學(xué)教研來實(shí)現(xiàn)的。

首先，利用工作之余研讀一些教育理論書籍并做好讀書筆記，為研究課題打好理論基礎(chǔ)；其次，隨著數(shù)學(xué)課教學(xué)的進(jìn)行對學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)知識和基本操作技能培訓(xùn)以及進(jìn)行探究性實(shí)驗(yàn)的一般方法的培訓(xùn)；再次，完成現(xiàn)代信息技術(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)案例，并且進(jìn)行實(shí)驗(yàn)教學(xué)，記錄教學(xué)的現(xiàn)象，檢測教學(xué)效果，比較分析得出結(jié)論；最后，針對相關(guān)的實(shí)驗(yàn)課題讓學(xué)生自己進(jìn)行探究，考查評價(jià)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究性實(shí)驗(yàn)的能力是否有變化。從而達(dá)到增強(qiáng)了視覺沖擊力，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，減少了學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)近平面解析幾何的困難，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，動手“做”幾何使學(xué)生通過動手動腦正確理解幾何概念的形成過程及原理，培養(yǎng)了認(rèn)知發(fā)現(xiàn)、轉(zhuǎn)換問題的能力，提高數(shù)學(xué)建模和解決實(shí)際問題的能力，整合提高了教與學(xué)的效率。

通過參加高中數(shù)學(xué)新課程的研修，收獲很大，感觸很深。教育觀念的轉(zhuǎn)變不是一朝一夕的事，教學(xué)模式在傳統(tǒng)教育中根深蒂固，做起來是有難度的，但我相信會在較短的時(shí)間內(nèi)得到轉(zhuǎn)變，適應(yīng)新課改的要求，探索出新課改教學(xué)的路子。

教學(xué)研究采取多種形式，一是自學(xué)，盡管網(wǎng)上集中學(xué)習(xí)將告一段落，但學(xué)習(xí)不能放松，繼續(xù)學(xué)習(xí)通過網(wǎng)上平臺和資源，理解專家講座，梳理知識體系，探索教學(xué)模塊的設(shè)計(jì)，領(lǐng)會新教材的知識發(fā)生發(fā)展的螺旋式上升的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)習(xí)先試行的省的教改經(jīng)驗(yàn)，將學(xué)習(xí)進(jìn)行到底，不半途而廢；二是通過假期認(rèn)真專研教材，通讀一遍教本，領(lǐng)會教材意圖，比較原有教材與新教材的異同，內(nèi)容上的調(diào)整，難度上的把握，新增內(nèi)容的學(xué)習(xí)，模塊間的聯(lián)系；教學(xué)理念上的轉(zhuǎn)變，教學(xué)手段上的更新，教學(xué)方式上的探索。三是積極參加各種培訓(xùn)，學(xué)校的的教學(xué)研究是最直接，最有效的途徑，備課組里研究不擇時(shí)間地點(diǎn)和形式，統(tǒng)一教材，統(tǒng)一進(jìn)度，通過定時(shí)間，定地點(diǎn)，定內(nèi)容，定發(fā)言人，交流學(xué)習(xí)體會，討論教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)和教學(xué)方法，及時(shí)討論研究發(fā)現(xiàn)問題，教學(xué)過程中有新的體會相互學(xué)習(xí)，發(fā)揮整體優(yōu)勢，新課改才會成功，整個(gè)年級學(xué)校的把握新教材的能力才會得到同步提高，達(dá)到課改的效果。關(guān)鍵是教學(xué)觀念的轉(zhuǎn)變，以學(xué)生為本，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，探索問題，解決問題，自主學(xué)習(xí)，學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會獲取知識的方法，學(xué)會創(chuàng)新的發(fā)現(xiàn)，學(xué)會在工作和生活有獲取知識的的能力。

預(yù)期的成果是能夠適應(yīng)新課改的要求，最短時(shí)間轉(zhuǎn)變新課改的教學(xué)方法上來。新的起點(diǎn)，新的課題，新的挑戰(zhàn)，新的開始，從0開始，只要努力學(xué)習(xí)，我們會成為新課改教學(xué)的內(nèi)行。

第五篇：高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 中學(xué)數(shù)學(xué)中的反證法

中學(xué)數(shù)學(xué)中的反證法

摘要：對于反證法，人們常常有一種對其功能認(rèn)識不是的誤解。為此本文對反證 法的基本概念、步驟、及其正確使用等方向進(jìn)行了闡述。關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué);反證法;間接證法

引言：

去掉大米中的砂粒，有兩種方法。一種是直接從大米中把砂粒一粒一粒地?fù)斐鰜?；一種是用間接的方法——淘洗法，把砂粒殘留下來。這兩種方法雖然形式不同，但結(jié)果卻是一樣的，都能達(dá)到去掉砂粒的目的。但直接方法困難得很，間接方法卻容易的多。在數(shù)學(xué)解題中，也常用間接的方法（即有些命題不易用直接的方法去證明，這時(shí)可通過證明它的等價(jià)命題真，從而斷定原命題真的證明方法）來證題。下面我們就來談?wù)剶?shù)學(xué)證明的間接方法之一——反證法。

一、反證法的基本概念

反證法是指“證明某個(gè)命題時(shí)，現(xiàn)假設(shè)它的結(jié)論的否定成立，然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，根據(jù)命題的條件和已知的真命題，經(jīng)過推理，得出與已知事實(shí)（條件、公理、定義、定理、法則、公式等）相矛盾的結(jié)果。這樣，就證明了結(jié)論的否定不成立，從而間接地肯定了原命題的結(jié)論成立?！边@種證明的方法，叫做反證法。

反證法的原理是：假設(shè)命題不真，也就是說，我們附加一個(gè)與要證明的結(jié)論完全相反的假設(shè)條件（反正假設(shè)）到已知條件中去，利用一系列的推理，得到矛盾的結(jié)論（與已知條件矛盾，與已證明過的數(shù)學(xué)命題矛盾，與剛提出的反證假設(shè)矛盾，或是導(dǎo)出兩個(gè)自相矛盾的結(jié)論），依據(jù)排中律，附加的條件不真，從而，證得原命題成立。

反證法的基本思想是：將否定結(jié)論作為條件就會導(dǎo)致矛盾。這種基本思想可以用下面的公式來表示： “否定推理矛盾肯定”

“否定”——假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，而結(jié)論的反面成立。即首先否定結(jié)論。

“推論”——從原條件和新作的假設(shè)出發(fā)，引用一系列的論據(jù)進(jìn)行推理。

“矛盾”——通過推理，導(dǎo)致矛盾，即得出與已知條件、定義、公理、定理或明顯的事實(shí)相矛盾的結(jié)果。

“肯定”——由于推理過程正確，矛盾產(chǎn)生的原因是由假設(shè)所引起，因此假設(shè)是錯的，從而肯定原結(jié)論的正確。

二、反證法的步驟：

用反證法證題一般分為三個(gè)步驟：

1.假設(shè)原命題的結(jié)論不成立；

2.從這個(gè)結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；

3.由矛盾判定假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論正確。

即：提出假設(shè)例1：已知：求證：直線

推出矛盾

和是異面直線。

肯定結(jié)論

證明：【提出假設(shè)】假設(shè)直線內(nèi)，那么這個(gè)平面一定經(jīng)過點(diǎn)【推出矛盾】直線，經(jīng)過點(diǎn)

內(nèi) 矛盾。

和是異面直線。

和在同一平面 和直線。

和直線只能有一個(gè)平面

與應(yīng)在平面,這與已知【肯定結(jié)論】直線在運(yùn)用反證法證題時(shí)，必須認(rèn)真考察原命題的結(jié)論，并找出結(jié)論反面的所有情況，因?yàn)榻Y(jié)論的反面可能只有一種情況，也可能有多種情況。因此，反證法分為歸謬法和窮舉法兩種。當(dāng)結(jié)論的反面只有一種情況時(shí)，只要否定這一情況就能證明原命題結(jié)論的正確，這種反證法叫歸謬法；當(dāng)結(jié)論的反面有多種情況時(shí)，必須一一予以否定才能證明原命題的正確，這種反證法叫窮舉法。例2：已知：，求證：。

>2，因此用反證法證明時(shí)，只要否定了這種情分析：此題的結(jié)論的否定只有一種情況況，就能肯定證明：假設(shè)>>的這種情況了。>2，則>

==

由此可知：

例3：已知：平面求證：與，這與已知矛盾。

∥平面，直線.也相交。

分析：此題結(jié)論的否定有兩種情況： 1；2∥.用反證法證明時(shí)，只有把這兩種情況都否定了，才肯定與相交。

能

證明省略。

三、反證法的正確使用

任何方法都有它成立的條件，都有它適用的范圍。離開了條件超越了范圍就會犯錯誤，同樣，也會影響解題的成功率。因此，我們應(yīng)該學(xué)會正確使用反證法來解題。

1.注意其適用范圍。雖然反證法是一種很積極的證明方法，而且用反證法證題還有很多優(yōu)點(diǎn)：如適用范圍廣、思想選擇的余地大、推理方便等。但是并不是每一道題都能用反證法來解的。例4：如果對任何正數(shù)試證之。

證明：假設(shè)>0，則二次函數(shù)當(dāng)增大時(shí)，拋物線就沿

軸向上平移，而當(dāng)?shù)膱D象是開口向上的拋物線，顯然可見，值增大到相當(dāng)大的正數(shù)時(shí)，拋物線就上開

>0，這，二次方程的兩個(gè)根是正實(shí)數(shù)，則系數(shù)，到與軸沒有交點(diǎn)，則對這樣的一些一假設(shè)與已知矛盾。同理，<0，也不合題意。

值，二次方程的實(shí)數(shù)根就不存在。因此，綜上所述，當(dāng)>0和<0時(shí)均不合題意。因此，分析：看了本題的證明過程似乎很合理，但其實(shí)第三步，即肯定原結(jié)論成立的論證錯了。因?yàn)椋绢}的題設(shè)條件為對任意正數(shù)設(shè)條件與結(jié)論是矛盾的； 當(dāng)何正數(shù)時(shí)，二次方程就變成了一次方程，它只有一個(gè)根；在時(shí)，僅當(dāng)，此一次方程在時(shí)，對于任，有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，結(jié)論是，但本題的題

>0的條件下，它有無數(shù)個(gè)根，否則無根，但總之不會有兩個(gè)根。題設(shè)條件和結(jié)論矛盾。因此，本題不能反證法來處理。若原題改為“如果對于任何正數(shù)，只存在正實(shí)根，則系數(shù)

”，就能用反證法證明了。

因此，對于下列命題，較適用反證法來解決。

1對于結(jié)論是否定形式的命題；

2對于結(jié)論是以“至多”，“至少”或“無限”的形式出現(xiàn)的命題； 3對于結(jié)論是以“唯一”或“必然”的形式出現(xiàn)的命題；

4對于可利用的公理定理較少或者較以與已知條件相溝通的命題。

例5：設(shè)、都是正數(shù)，求證：.證明：反設(shè)不成立，便有>，由對稱性知：>

相加：>

即：>

這一矛盾說明正確

從而

即

交換、位置：

合并得：

2.提出假設(shè)時(shí)，要分清結(jié)論反面的全部情況，即不能多，也不能少。例6:求證：五個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和不可能是一個(gè)完全平方數(shù)。證明：設(shè)五個(gè)連續(xù)自然數(shù)是，，則

是一個(gè)關(guān)于為一個(gè)完全平方數(shù)，即二次三項(xiàng)式

與

矛盾。的二次三項(xiàng)式，若其

有兩個(gè)相等的實(shí)根，于是有即五個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和不是一個(gè)完全平方數(shù)。

分析：本題的證明過程似乎也合理，但其實(shí)它的假設(shè)發(fā)生了錯誤。原結(jié)論是對于任何大于2的自然數(shù)，數(shù)使是不能推出例如：不是完全平方數(shù)，所以結(jié)論的反面應(yīng)是至少存在一個(gè)大于2的自然是一個(gè)完全平方數(shù)，而不是對所有的。當(dāng)

時(shí)是一個(gè)完全平方數(shù)，但是

是一個(gè)完全平方數(shù)，于3.推出矛盾時(shí)，一般說來，根據(jù)條件和假設(shè)，通過推理導(dǎo)出與下列矛盾之一即可： 1與題設(shè)矛盾； 2與定義相矛盾； 3與定理相矛盾； 4與公理相矛盾； 5與客觀事實(shí)相矛盾； 6自相矛盾；

例7：設(shè)、、>0，求證：，三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不大于.證明：假設(shè)三個(gè)數(shù)都大于，則

>【1】

另一方面，根據(jù)平均值不等式：

5，同理：，于是：【1】與【2】矛盾。所以原命題成立。小結(jié)：

【2】

反證法是數(shù)學(xué)證明中的一種重要方法。牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?。它是從否定命題的結(jié)論出發(fā)，通過正確的邏輯推理導(dǎo)出矛盾，從而證明了原命題的正確性的一種重要方法。反證法之所以有效是因?yàn)樗鼘Y(jié)論的否定實(shí)際上增加了論證的條件，這對發(fā)現(xiàn)正確的解題思路是有幫助的。對于具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考，問題可能解決得十分干脆。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，反證法已成為最常用和最有效的解決問題的方法之一。參考文獻(xiàn)：

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