第一篇：高中數(shù)學(xué)選修4-5：2.1.5證明不等式的基本方法——反證法

2.1.5證明不等式的基本方法——反證法

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握反證法證明不等式的方法.2.掌握反證法證明不等式的方法步驟.【自主學(xué)習(xí)】

1.什么是反證法？

2.反證法證明不等式的理論依據(jù)是什么？

3.反證法證明不等式的步驟有哪些？通常什么樣的問(wèn)題的證明用反證法？

【自主檢測(cè)】

1.設(shè)a,b∈R,給出下列條件：①a+b＞1②a+b=2③a+b＞2④＞2⑤ab＞1.其中能給出“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是.2.已知a,b,c是互不相等的非零實(shí)數(shù),用反證法證明下列三個(gè)方程：

0中至少有一個(gè)方程有兩

個(gè)相異實(shí)根.3.已知

（1）證明：函數(shù)f(x)在（－1,+∞）上為增函數(shù);

（2）用反證法證明方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.【典型例題】

例1.若x,y都是正實(shí)數(shù),且x+y＞2,求證：

例2.已知

為－.求證 ,若a+c=0,f(x)在[－1,1]上的最大值為2,最小值中至少有一個(gè)成立.例3.若p＞0,q＞0,且p3+q3=2, 求證：p+q≤

2例4.設(shè)a,b,c都是奇數(shù),求證：方程

沒(méi)有整數(shù)根.【課堂檢測(cè)】

1.用反證法證明質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)的過(guò)程如下：

假設(shè)______________．設(shè)全體質(zhì)數(shù)為p1、p2、?、pn，令p＝p1p2?pn＋1.顯然，p不含因數(shù)p1、p2、?、pn.故p要么是質(zhì)數(shù)，要么含有______________的質(zhì)因數(shù)．這表明，除質(zhì)數(shù)p1、p2、?、pn之外，還有質(zhì)數(shù)，因此原假設(shè)不成立．于是，質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)．

2.已知a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1.用反證法證明：a+b+c≥

3.若a,b∈N*,ab能被5整除,求證：a,b至少有一個(gè)能被5整除.4.已知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝

4能成等差數(shù)列．

【總結(jié)提升】

1.當(dāng)要證明的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯,直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰時(shí)的不等式的證明常用反證法.2.如果從正面入手證明需分多種情況進(jìn)行分類(lèi)討論,而從反面進(jìn)行證明,只研究一種或很少的幾種情況的不等式證明常用反證法...求證：數(shù)列{bn}中的任意三項(xiàng)不可

§2.1.6證明不等式的基本方法——放縮法

（一）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

3.理解放縮法證明不等式的原理.4.掌握放縮法證明不等式的方法步驟.【自主學(xué)習(xí)】

4.什么是放縮法,放縮法證明不等式的理論依據(jù)是什么？ 5.放縮法證明不等式時(shí),如何把握放大和縮小？ 【自主檢測(cè)】 1.求證: ?

k?1n

15*

?（n∈N）k23

2.求證：

11??1*

?2?（n∈N）??2n?2n?12n?1?

6n11

?1???

(n?1)(2n?1)49

?

15*

.(n∈N）?

n23

3.求證:

【典型例題】

例1.已知n∈

N*求證：（1

?

;??.（2）2?1?

??an1aa

例2.已知an?2n?1(n?N*).求證：??1?2?...?n(n?N*).23a2a3an?1

例3．函數(shù)f（x）=

例4．已知an=n，求證：∑

k=1

【課堂檢測(cè)】 1.求證:1?

n

4x1?4x，求證：f（1）+f（2）+?+f（n）>n+

12n?1

?(n?N*)2

k ak

＜3．

11171??????(n?2)222

62(2n?1)35(2n?1)

2n3

2.已知an?4?2,Tn?,求證:T1?T2?T3???Tn?

2a1?a2???an

n

n

6.求證:（1）(1?1)(1?)(1?)?(1?)?

352n?1

2n?1.（2）(1?

1111)(1?)(1?)?(1?)?2462n

12n?1

4.已知函數(shù)f?

x??

x??0,???.對(duì)任意正數(shù)a,證明：1?f?x??2．

【總結(jié)提升】

所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對(duì)照證題目標(biāo)進(jìn)行合情合理的放大和縮小的過(guò)程，在使用放縮法證題時(shí)要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨(dú)用來(lái)證明不等式，也可以是其他方法證題時(shí)的一個(gè)重要步驟。

第二篇：高中數(shù)學(xué)選修4-5：2.1.4證明不等式的基本方法——反證法(一)

2.1.4證明不等式的基本方法——反證法

（一）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握反證法證明不等式的方法.2.掌握反證法證明不等式的方法步驟.【自主學(xué)習(xí)】

1.什么是反證法？

2.反證法證明不等式的理論依據(jù)是什么？

3.反證法證明不等式的步驟有哪些？通常什么樣的問(wèn)題的證明用反證法？

【自主檢測(cè)】

1.實(shí)數(shù)a，b，c不全為0的條件為（）

A.a,b,c均不為有B.a,b,c中至多有一個(gè)為0

C.a,b,c中至少有一個(gè)為0 D.a,b,c中至少有一個(gè)不為0

2.若a,b∈R,|a|+|b|＜1,求證：方程的兩根的絕對(duì)值都小1.3.已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd＞1.求證：a,b,c,d中至少有一個(gè)是 負(fù)數(shù).【典型例題】

a?ma?.例1.利用反證法證明：若已知a，b，m都是正數(shù)，并且a?b，則 b?mb

例2.若x, y > 0，且x + y >2，則

例3.設(shè)a3?b3?2，求證a?b?2.例4.設(shè)0 < a, b, c < 2，求證：(2 ? a)c,(2 ? b)a,(2 ? c)b不可能同時(shí)大于1

【課堂檢測(cè)】

1.否定結(jié)論“至多有兩個(gè)解”的說(shuō)法中，正確的是()

A．有一個(gè)解B．有兩個(gè)解

C.至少有三個(gè)解D．至少有兩個(gè)解

2.已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0,abc＞0,求證：a,b,c＞0.1?y1?x和中至少有一個(gè)小于2.xy

3.設(shè)二次函數(shù)f(x)?x2?px?q，求證：f(1),f(2),f(3)中至少有一個(gè)不小于1.2

4.設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a,不可能同時(shí)大1于 4

【總結(jié)提升】

1.前面所講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。也就是說(shuō)，直接從題設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列的邏輯推理，證明不等式成立。但對(duì)于一些較復(fù)雜的不等式，有時(shí)很難直接入手求證，這時(shí)可考慮采用間接證明的方法。所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實(shí)性，而是證明它的反論題為假，或轉(zhuǎn)而證明它的等價(jià)命題為真，以間接地達(dá)到目的。其中，反證法是間接證明的一種基本方法。

2.反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾。具體地說(shuō)，反證法不直接證明命題“若p則q”，而是先肯定命題的條件p，并否定命題的結(jié)論q，然后通過(guò)合理的邏輯推理，而得到矛盾，從而斷定原來(lái)的結(jié)論是正確的。

3.利用反證法證明不等式，一般有下面幾個(gè)步驟：

第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；

第二步作出與所證不等式相反的假定；

第三步從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；

第四步斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開(kāi)始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。

第三篇：高中數(shù)學(xué)不等式證明常用方法

本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文中學(xué)證明不等式的常用方法

所在學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院

專(zhuān) 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

姓 名： 張俊

學(xué) 號(hào)： 1010510020 指導(dǎo)教師： 曹衛(wèi)東

完成日期： 2014年04月15日）

摘 要

本文主要是對(duì)高中學(xué)習(xí)階段不等式證明方法的概括和總結(jié).不等式的證明方法多種多樣,其中有比較法,分析法,綜合法,反證法,數(shù)學(xué)歸納法,放縮法等常見(jiàn)的方法,另有一些學(xué)生比較不熟悉但也經(jīng)常采用的方法,如構(gòu)造法,向量法,求導(dǎo)法,換元法等等.關(guān)鍵詞: 不等式的證明;函數(shù)的構(gòu)造;極值;導(dǎo)數(shù)

ABSTRACT

This paper is mainly on the high school stage the inequality proof method and summarized.The inequality proof methods varied, including comparison, analysis, synthesis, reduction to absurdity, mathematical induction, scaling and other common methods, and some students are not familiar with but also the methods used, such as construction method, vector method, derivation method, method and so on.Key words:

The inequality proof;function;extreme value;derivative

目 錄

1.構(gòu)造函數(shù)法 ·········································1 1.1 移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù) ·································1 1.2 作差法構(gòu)造函數(shù)

·····························2 1.3 換元法構(gòu)造函數(shù)

·····························2 1.4 從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)

······················3 1.5 主元法構(gòu)造函數(shù) ··································3 1.6 構(gòu)造形似函數(shù) ····································4 2.比較法 ·············································4 2.1 作差比較法 ······································4 2.2 作商比較法 ······································5 3.放縮法 ············································5 4.判別式法 ············································6 5.反證法 ············································7 6.向量法 ···········································8 7.不等式證明的具體應(yīng)用 ································9 參考文獻(xiàn) ··············································11

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

眾所周知,生活中存在著大量的不等量關(guān)系.不等量關(guān)系是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系,它在數(shù)學(xué)研究與應(yīng)用中起著不可忽視的作用,因此,研究不等式的方法至關(guān)重要,許多數(shù)學(xué)家在這一領(lǐng)域取得豐碩的成果,他們的成就舉世矚目,無(wú)可替代.不等式的證明是高中學(xué)習(xí)階段的重要內(nèi)容之一,縱觀近幾年的高考,不等式的證明每年都有涉及,一般都出現(xiàn)在最后一題,可見(jiàn)它的困難和重要程度,因此不等式證明的學(xué)習(xí)既是重點(diǎn)也是難點(diǎn),無(wú)論是求最值還是求不定量的范圍都需要用到不等式的證明.所以,有必要對(duì)不等式的證明方法做一個(gè)全面的,科學(xué)的,系統(tǒng)的總結(jié)和歸納.1.構(gòu)造函數(shù)法

1.1移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)

【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x,求證：當(dāng)x??1時(shí),恒有

1?1?ln(x?1)?x.x?1分析：本題是雙邊不等式,其右邊直接從已知函數(shù)證明,左邊構(gòu)造函數(shù)

1?1,從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明.g(x)?ln(x?1)?x?1證:先證左邊,令g(x)?ln(x?1)?111x?1, 則g?(x)? ??x?1x?1(x?1)2(x?1)2 當(dāng)x?(?1,0)時(shí),g?(x)?0;當(dāng)x?(0,??)時(shí),g?(x)?0 , 即g(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù),在x?(0,??)上為增函數(shù),故函數(shù)

g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0, ∴當(dāng)x??1時(shí),g(x)?g(0)?0,即ln(x?1)?1?1?0 x?1 ∴ ln(x?1)?1? 再證右邊,f?(x)?1(左邊得證).x?11x?1?? x?1x?1 ∴ 當(dāng)?1?x?0時(shí),f?(x)?0,即f(x)在x?(?1,0)上為增函數(shù), 當(dāng)x?0時(shí),f?(x)?0,即f(x)在x?(0,??)上為減函數(shù), 于是函數(shù)f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0, 1

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因此,當(dāng)x??1時(shí)f(x)?f(0)?0,即ln(x?1)?x?0

∴ ln(x?1)?x(右邊得證).綜上可知,當(dāng)x??1時(shí),有1?1?ln(x?1)?x x?1【啟迪】: 如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最?。ù螅┲?則有f(x)?f(a)

（或f(x)?f(a))那么要證不等式,只要求函數(shù)的最小值不超過(guò)0就可得證． 1.2作差法構(gòu)造函數(shù)

【例2】 當(dāng)x?(0,1)時(shí),證明:(1?x)ln(1?x)?x.分析:本題是一個(gè)單邊不等式,很難直接看出兩者有什么聯(lián)系,因此聯(lián)想到采用作差的方法,將兩個(gè)函數(shù)變?yōu)橐粋€(gè)函數(shù).作差法是最直接把兩者結(jié)合的方法且求導(dǎo)

后能很容易看出兩者的聯(lián)系.證:做函數(shù)f(x)?(1?x)ln(1?x)?x,易得f(0)?0，221?x)?2x,當(dāng)x?0時(shí),f'(x)?0

而f'(x)?ln(1?x)?2ln(又得,f''(x)?22ln(1?x)22??2?[ln(1?x)?x]，1?x1?x1?x 當(dāng)x?(0,1)時(shí),f''(x)?0

∴f'(x)在x?(0,1)上遞減,即f'(x)?f'(0)?0,即f(x)在(0,1)遞減

∴f(x)?f(0)?0,從而原不等式得證.【啟迪】: 本題先構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)并利用所設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)

性的性質(zhì)來(lái)證明原不等式如果一階導(dǎo)數(shù)無(wú)法判斷兩個(gè)關(guān)系,可以采用二階導(dǎo)數(shù)

來(lái)先判斷一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系,再來(lái)判斷原函數(shù)的關(guān)系.1.3換元法構(gòu)造函數(shù)

122?x?xy?y?3.1?x?y?2 【例3】 已知 ,求證:222 分析:本題看上去毫無(wú)聯(lián)系,但發(fā)現(xiàn)x?y經(jīng)常出現(xiàn)在三角代換中.于是可以采用 換元法進(jìn)行嘗試,則結(jié)果顯而易見(jiàn).證:因?yàn)?1? 其中1?2x2?y2?2,所以可設(shè)x?rcos?,y?rsin?，22r2?2,0???2?.1212 ∴x?xy?y?r?rsin2??r(1?sin2?)

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??1?sin2??, 222121322 ?r?(1?sin2?)r?r 22232121 而r?3,r? 222122?x?xy?y?3.?2【啟迪】:當(dāng)發(fā)現(xiàn)不等式題目中含有x2?y2,或者別的與x,y有關(guān)的不等式,可以采用換

元法.將x,y進(jìn)行替換,再找兩者的關(guān)系來(lái)進(jìn)行論證.1.4從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)

【例4】 若函數(shù)y?f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)??f(x)恒成立,且常數(shù)

a ,b滿足0?a?b,求證:af(a)

xf(x)，?(x)?f(x)此時(shí)可以得到F(x)的導(dǎo)數(shù)為xf ?F?(x)?0,所以F(x)在R上為增函數(shù)，f(a)?f(b)

?af(a)?bf(b)?0?a?b,? 得證.【啟迪】：把條件進(jìn)行簡(jiǎn)單的變形后,很容易發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)函數(shù)積的導(dǎo)數(shù),因此可以構(gòu)造出

F(x),求導(dǎo)后即可得到證明結(jié)果.1.5主元法構(gòu)造函數(shù)

【例5】 設(shè)a,b,c,d?R,且滿足(a?b?c)求證:ab?bc?ca2?2(a2?b2?c2)?4d，?3d

分析:本題初看含有四個(gè)未知量,且題目中只含一條不等式,因此解題時(shí)必須從這條

不等式入手,對(duì)其進(jìn)行變換.證:把a(bǔ)看成未知量進(jìn)行化簡(jiǎn),得一元二次不等式

?2(b?c)a?(b?c)2?4d?0

22xaf(x)?x?2(b?c)x?(b?c)?4d

用替換,構(gòu)造一個(gè)函數(shù) a2x2前面的系數(shù)大于0,所以該拋物線開(kāi)口向上

且當(dāng)x?a時(shí),f(a)?0.22??4(b?c)?4[(b?c)?4d]?0

?其判別式 ?

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d.同理把b,c看成未知量,可得ca?d,ab?d

疊加可得ab?bc?ca?3d.化簡(jiǎn),得bc?【啟迪】:有些復(fù)雜的不等式可以看成一個(gè)未知量的簡(jiǎn)單不等式,再找?guī)讉€(gè)未知量之間的關(guān)系,進(jìn)行證明.1.6構(gòu)造形似函數(shù)

【例6】 當(dāng)a?b?e時(shí),證明a?b.分析:要證a?b,只要證lnababab?lnba,即證明blna?alnb?0, 也就是要證明blnx?xlnb,因此構(gòu)造函數(shù)

f(x)?blnx?xlnb,然后只需要證明 證:要證a?b,只要證lnabaf(x)單調(diào)遞減就可以了.b?lnb xb?lnba即證blna?alnb?0

設(shè)f(x)?blnx?xlnb(x?b?e),則f?(x)? ?b?e,x?b ?lnb?1, ?b?1?f?(x)?0 xf(x)在(e,??)上單調(diào)遞減.?a?b

?f(a)?f(b)故blna?alnb?blnb?blnb?0

ba 即blna?alnb ?a?b.【啟迪】:在證明簡(jiǎn)單不等式時(shí),可以采用求導(dǎo)等變換來(lái)構(gòu)造出一些相似的函數(shù),再利用函

數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明簡(jiǎn)單不等式.2.比較法

2.1作差比較法

【例1】 若0?x?1,證明loga(1?x)?loga(1?x),(a?0,a?1).分析:用作差法來(lái)做,則需去掉絕對(duì)值,必須要分a?1和0?a?1兩種情況來(lái)考慮

問(wèn)題.證:(1)當(dāng)0?a?1時(shí),?0?1?x?1,1?1?x?2

?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)

?0?x?1,?0?1?x?

1?loga(1?x)?0,得證.（2）當(dāng)a?1時(shí),?0?1?x?1,1?1?x?2

? loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)

?0?x?1,?0?1?x?1

22222 江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

??loga(1?x)?0,得證.綜合（1）（2）可得loga(1?x)?loga(1?x).【啟迪】:當(dāng)不等式兩邊的式子比較相近,或者是對(duì)數(shù)式子時(shí)可以采用作差法來(lái)嘗試.2.2作商比較法

【例2】 設(shè)a,b?R,且a?0,b?0,求證(ab)a?b22?aabb.分析:發(fā)現(xiàn)作差變形后符號(hào)很難判斷,且無(wú)法化簡(jiǎn),考慮到兩邊都是正數(shù),可以作商, 判斷比值和1的大小關(guān)系,從而來(lái)證明不等式.證:?ab?0,(ab)aba?b2?0,?將不等式兩邊相除，b?a2baa??()2 baabb 得(ab)a?b2?aa?b2bbaa?2?1.當(dāng)a?b時(shí),()baa?b?1?0, 當(dāng)0?b?a時(shí)，b2baa?a02()?()?1.由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,bbbaa?a0aa?b2()?()?1.?1?0 當(dāng)0?a?b時(shí)，,同理可得bbb2 綜上所述,對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)a,b都有(ab)a?b2?aabb.【啟迪】:當(dāng)遇到作差法無(wú)法解決的問(wèn)題時(shí)可以采用作商法來(lái)證明不等式,使用作商法的前

提條件是不等式兩邊均要大于0,一般為指數(shù)函數(shù)的形式.3.放縮法

2n?1an(n?N)

【例1】 已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為sn?1?2(1)設(shè)xn?(2n?1)sn,求證:數(shù)列?xn?為等差數(shù)列.11115???..........??(2)當(dāng)n?2時(shí),2.222xnxnxx32?1n?22n 分析:本題分為兩小題,第一小題是考察數(shù)列的知識(shí),是為第二小題做的鋪墊,在做

第二小題時(shí),需要采用放縮來(lái)證明,來(lái)把不等式的左邊放大來(lái)比較.2n?1(sn?sn?1)

證:(1)當(dāng)n?2時(shí),sn?1?2

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

化簡(jiǎn),得(2n?1)sn?2?(2n?1)sn?1

由已知條件得xn 其通項(xiàng)公式為xn ??xn?是以首項(xiàng)為x1?xn?1?2,即xn?xn?1?2

?2公差d?2的等差數(shù)列，?2n.1111???..........?(2)2222 xnxnxx?1n?22n11111??......?] ?[2?222 4n(n?1)(n?2)(2n)11111???......?] ?[4n(n?1)n(n?1)(n?1)(n?2)(2n?1)(2n)1111111?[(?)?(?)?(?)?......4n?1nnn?1n?1n?

2111111n?1?(?)]?(?)?()2n?12n4n?12n42n(n?1)1n?1 ? 42(n?1)2?6(n?1)?411? 44

2(n?1)?6?n?14 令f(n)?2(n?1)?,當(dāng)n?2時(shí),f(n)的值隨著n的增大而增

n?1 大,?f(n)?f(2), 111136??? 即4 44f(2)?616322(n?1)?6?n?111115?2?.?2?2?2?..........xnxn?1xn?2x2n32【啟迪】: 采用放縮法題目一般比較開(kāi)放,且沒(méi)有固定的放縮范圍,一般比較靈活,且方法

較多.4.判別式法

?7? 【例1】 已知x?y?z?5,x?y?z?9,求證x,y,z都屬于?1,?

?3?222

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分析:實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2?bx?c?0有兩個(gè)不等實(shí)根、有兩個(gè)相等實(shí)根、沒(méi)有實(shí)根的充要條件是: b 記??4ac?0、b2?4ac?0、b2?4ac?0．

?b2?4ac,稱(chēng)其為方程是否有實(shí)根的判別式.同時(shí)也是與方程對(duì)應(yīng)的

函數(shù)、不等式的判別式.此題含有三個(gè)未知數(shù),所以要進(jìn)行替換.222z?5?x?yx?y?z?9中

證:有條件可得,代入 化簡(jiǎn)可得:x ?2?(y?5)x?y2?5y?8?0

x?R,且方程有解,?根的判別式??b2?4ac?0

22?7?7y?1,?.即(y?5)?4(y?5y?8)?0,解得1?y?,即?3?3??7??7? 同理,替換x,y可得z??1,?,x??1,?.?3??3? ?得證.【啟迪】:本題看似復(fù)雜,含有三個(gè)未知量,其實(shí)只需要簡(jiǎn)單的幾個(gè)步驟就解決了,因此在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí),第一步是替換未知量,第二部把另一個(gè)未知量看成已知量,再

用根的判別式來(lái)確定范圍.5.反證法 【例1】 設(shè)0?a,b,c?1,求證:(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時(shí)大于.分析:本題的結(jié)論為否定形式,適合用反證法來(lái)證明,假設(shè)命題不成立,從而導(dǎo)出矛

盾.證:假設(shè)(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a三個(gè)數(shù)都大于, 則有(1?a)b?111,(1?b)c?,(1?c)a? 444 又?0?a?1,0?b?1,0?c?1

?111(1?a)b?,(1?b)c?,(1?c)a?.222 7

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）?(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a? ?

2a?b1?a?bab?(1?a)b? 又由基本不等式得，221?b?c1?c?a(1?b)c?,(1?c)a?, 把上面三個(gè)式子相加得(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a?3 ? 2 顯然?與?相矛盾,所以假設(shè)不成立.?(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時(shí)大于.4【啟迪】:命題中出現(xiàn)“至少”,“都”,“同時(shí)”,“至多”等字樣時(shí),可以采用反證法, 反證的關(guān)鍵在于找出與命題相反的結(jié)論,然后再用假設(shè)的條件推出矛盾.6.向量法

a2b2c2???12.【例1】設(shè)a?1,b?1,c?1,證明:

b?1c?1a?1 分析:本題只有一個(gè)已知條件,且結(jié)論也無(wú)法化簡(jiǎn),因此可以想到高中最直接的方法

向量法,構(gòu)造兩個(gè)向量.利用向量的知識(shí)進(jìn)行解決.?m 證:設(shè)?(a2b2c2?，),n?(b?1,c?1,a?1)b?1c?1a?1??m 則?n?a2b2c2?b?1??c?1??a?1 b?1c?1a?1?a?b?c

222abc ????a?b?c?3?cos?b?1c?1a?1a2b2c2???a?b?c?3

?b?1c?1a?1a2b2c2a?b?c??? ? b?1c?1a?1a?b?c?33 ?a?b?c?3?

a?b?c?3 ?23

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?a?1,b?1,c?1.a2b2c2???12.兩邊同時(shí)平方可得

b?1c?1a?1 ?得證.7.不等式證明的具體應(yīng)用

1125【例1】 已知a?0,b?0,且a?b?1,求證(a?)(b?)?

ab4分析:本題是高中階段一道普通的不等式證明題,如讓學(xué)生獨(dú)立完成,可得到如下解決

方法.解法一:分析法

1125(a?)(b?)? 要證，ab4222 只要證4?ab??4a?b?25ab?4?0，?? 即證4?ab?2?33?ab??8?0，1ab?或ab?8.即因?yàn)閍?0,b?0,a?b?1,所以ab?8不成立.1ab? 又因?yàn)??a?b?2ab,所以.得證.解法二:作差比較法

?a?b?1,a?0,b?0 ?a?b?2ab,?ab?

41125a2?1b2?125??? ?(a?)(b?)?ab4ab44a2b2?33ab?8(1?4ab)(8?ab)??0

?4ab4ab1125 ?(a?)(b?)?.ab4

解法三:三角代換法

?a?b?1,a

?0,b?0

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??? 故設(shè)a?sin?,b?cos?,???0,?

?2?1122)(cos??)則原式?(sin??22sin?cos?sin4??cos4??2sin2?cos2??2 ?

4sin22?(4?sin2?)2?16 ? 24sin2?22 ? sin2??1?4?sin2??4?1?3.1122?.?(4?sin2?)?16?25,24sin2?41125 ?(a?)(b?)?.ab422本題歸納與小結(jié):本題一共采用了3種不同的方法,第一種是從問(wèn)題入手,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行一步

步的剖析,有逆向思維的方式,是把問(wèn)題具體化,把所要證明的問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為所學(xué)的知識(shí),或者已知條件.只要分析的過(guò)程合理,一般過(guò)渡的結(jié)論很

容易得到.第二種方法也是根據(jù)問(wèn)題入手,不同的是它把問(wèn)題直接改變?yōu)?/p>

一道運(yùn)算式,這樣就把問(wèn)題變?yōu)檫\(yùn)算式結(jié)果與零比較大小,因?yàn)轭}目所給的數(shù)字往往讓在解題時(shí)無(wú)從下手,無(wú)法想出這個(gè)數(shù)字從何而來(lái),一但轉(zhuǎn)化

為零后,解題時(shí)只需要考慮對(duì)算式的變形,最后只需判斷算式的正負(fù)號(hào).第三種方法使用范圍比較小,它一般具有特殊的條件如a?b?1, a2?b2?1這種情況下會(huì)考慮三角代換,采用三角代換最需要注意的是

角的范圍,一般學(xué)生在采用代換時(shí)往往忘記角的范圍,從而無(wú)法確定三角

函數(shù)值的范圍,容易產(chǎn)生多解或錯(cuò)解.這種方法好處在于已經(jīng)知道了三角

值的范圍,且三角函數(shù)含有多種變形方式可以對(duì)式子進(jìn)行更好的化簡(jiǎn).并

且利用三角值的確定性能很快的得到所求式子的范圍.本題三種方法均

可采用,根據(jù)學(xué)生個(gè)人的掌握程度來(lái)選擇方法.本論文主要對(duì)高中不等式的常用證明方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的總結(jié),使中學(xué)生在證明不等式時(shí)有法可依,能盡快的找到適合的方法,主要介紹構(gòu)造法,作差法,放縮法,判別式法,反證法,向量法這些常用的方法.江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

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[A],2012(4):108～109

第四篇：證明不等式的基本方法—反證法與放縮法

§4.2.3證明不等式的基本方法—反證法與放縮法

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

能熟練運(yùn)用反證法與放縮法來(lái)證明不等式。

【新知探究】

1．反證法的一般步驟：反設(shè)——推理——導(dǎo)出矛盾（得出結(jié)論）；

2．放縮法：欲證A?B，可通過(guò)適當(dāng)放大或縮小，借助一個(gè)或多個(gè)中間量使得，要注意放縮的適度，B?B1,B1?B2?...?A（或A?A1,A1?A2?...?B）

常用的方法是：①舍去或加上一些項(xiàng)；②將分子或分母放大（或縮?。?/p>

??

??

1n2?1n(n?1);1

n2?1n(n?1)

【自我檢測(cè)】

1．設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),給出下列條件:①a+b>1； ②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤ab>1，其中能推出:“a、b中至少有一個(gè)實(shí)數(shù)大于1”的條件是____________.2．A?1????

?n?N?)的大小關(guān)系是．

【典型例題】

例1.已知x,y?0,且x?y?2,求證：

變式訓(xùn)練：若a,b,c都是小于1的正數(shù)，求證：(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a不可能同時(shí)大于

–“學(xué)海無(wú)涯苦作舟，書(shū)山有路勤為徑” 1?x1?y中至少一個(gè)小于2。,yx1

4例2.已知實(shí)數(shù)a,b,c，a?b?c?0,ab?bc?ca?0,abc?0,求證：a?0,b?0,c?0.變式訓(xùn)練：課本P29頁(yè)，習(xí)題2.3第4題 例3.已知a,b,c?R?,求證1?aa?b?d?b

b?c?a?c

c?b?d?d

d?a?c?2.變式訓(xùn)練：

x?y

1?x?y

32設(shè)x?0、y?0，A?例4．求證：1?

122,B?1n2x1?x?y1?y，則A、B大小關(guān)系為_(kāi)_______。???????2(n?N)

例5．已知f(x)?x2?px?q，求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不少于 12。

–“天下事，必作于細(xì)”

第五篇：用反證法證明不等式

用反證法證明不等式

一、反證法的含義

反證法是指“證明某個(gè)命題時(shí)，先假設(shè)它的結(jié)論的否定成立，然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，根據(jù)命題的條件和已知的真命題，經(jīng)過(guò)推理，得出與已知事實(shí)（條件、公理、定義、定理、法則、公式等）相矛盾的結(jié)果．這樣，就證明了結(jié)論的否定不成立，從而間接地肯定了原命題的結(jié)論成立．”這種證明的方法，叫做反證法．

二、反證法的嚴(yán)密性

數(shù)學(xué)證明方法可分為直接證法和間接證法，從原命題所給的條件出發(fā)，根據(jù)已有的公理、定義、法則、公式，通過(guò)一系列的推理，一直推到所要證明的命題的結(jié)論，這種證法叫做直接證法．有些命題不易用直接證法去證明，這時(shí)可通過(guò)證明它的等價(jià)命題真，從而斷定原命題真，這種證法叫做間接證法．?dāng)?shù)學(xué)中常用的間接證法有反證法．

既然反證法是間接證法，那么反證法也是通過(guò)證明原命題的等價(jià)命題從而證明原命題的．

三、反證法證題的步驟

用反證法證題一般分為三個(gè)步驟：

1、假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

2、從這個(gè)結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾；

3、由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確．

即：提出假設(shè)——推出矛盾——肯定結(jié)論．

四、反證法的分類(lèi)

反證法中有歸謬法和窮舉法兩種．

原命題的結(jié)論的否定只有一種情況，只要把這種情況推翻，就可以肯定原命題結(jié)論成立，這種反證法叫做歸謬法；如果原命題的結(jié)論的否定不止一種情況，那么就必須把這幾種情況一一否定，才能肯定原命題結(jié)論成立，這種反證法叫做窮舉法．

五、反證法中常見(jiàn)的矛盾形式

（1）與已知條件即題設(shè)矛盾；

（2）與假設(shè)即反設(shè)矛盾；

（3）與已知的定義、公理和定理矛盾，即得出一個(gè)恒假命題；`

（4）自相矛盾．

六、反證法的適用范圍

（1）已知條件很少或由已知條件能推得的結(jié)論很少；

（2）命題的結(jié)論以否定形式出現(xiàn)時(shí)；

（3）命題的結(jié)論以“至多”、“至少”的形式出現(xiàn)時(shí)；

（4）命題的結(jié)論以“唯一”的形式出現(xiàn)；

（5）命題的結(jié)論以“無(wú)限”的形式出現(xiàn)時(shí)；

（6）關(guān)于存在性命題；

（7）某些定理的逆定理．

總之，正難則反，直接的東西較少、較抽象、較困難時(shí)，其反面常會(huì)較多、較具體、較容易．

反證法有進(jìn)也用于整個(gè)命題論證過(guò)程的某個(gè)局部環(huán)節(jié)上．

七、用反證法證明不等式舉例

例 已知、、、，且

.求證：、、、中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).選題意圖：本題考查利用反證法證明不等式.證明：假設(shè)、、、都是非負(fù)數(shù)，∵

∴

又

∴

這與已知

.矛盾.，.∴、、、中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).