第一篇：高觀點(diǎn)下的兩角和與差的正余弦公式教學(xué)設(shè)計(jì)

高觀點(diǎn)下的兩角和與差的正、余弦公式教學(xué)設(shè)計(jì)

438600 湖北省羅田縣第一中學(xué) 陳清華

1.設(shè)計(jì)背景

三角函數(shù)和三角恒等變換是高中數(shù)學(xué)課程的傳統(tǒng)內(nèi)容,三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的一種非常重要的初等函數(shù)模型，其中三角恒等變換在發(fā)展學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力方面具有重要的教育價(jià)值.向量是近代數(shù)學(xué)中的基本概念之一，它既是代數(shù)的對象，又是幾何的對象，它是溝通

[1]代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具.人教A版必修4教材在編排上，在三角函數(shù)和三角恒等變換兩章之間刻意安排了平面向量的內(nèi)容，充分體現(xiàn)了將近代數(shù)學(xué)中的的一個(gè)重要的模型——向量，作為一種工具在三角恒等變換中加以應(yīng)用，這很符合《高中數(shù)學(xué)課程課標(biāo)》（以下簡稱標(biāo)準(zhǔn)）的數(shù)學(xué)模型化理念，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型觀，著力于滲透數(shù)學(xué)建模的思想.數(shù)學(xué)是一種文化，數(shù)學(xué)的發(fā)展過程是一部人類探索數(shù)學(xué)的光輝歷史?！稑?biāo)準(zhǔn)》中提倡：在教學(xué)過程中融入豐富的數(shù)學(xué)史知識，尋求數(shù)學(xué)進(jìn)步的歷史軌跡，領(lǐng)會數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，提高學(xué)生的文化素養(yǎng).三角學(xué)的歷史源遠(yuǎn)流長，起源于天文觀測和歷法推算，三角函數(shù)源于幾何問題，它是幾何問題代數(shù)化的典例。在教學(xué)過程中，如果融入三角學(xué)的歷史知識，通過查閱文獻(xiàn)資料，引領(lǐng)學(xué)生了解三角函數(shù)的發(fā)生發(fā)展歷程，并融入現(xiàn)代化的向量工具，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，使學(xué)生在探究活動中不僅知其“源”，而且知其所原。

2.教學(xué)流程 ? 三維目標(biāo) 知識與技能

? 初步了解三角學(xué)的歷史淵源，感知三角函數(shù)的發(fā)展歷程，體會數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵.? 從幾何直觀上初步理解兩角差的余弦公式,并初步體會向量數(shù)量積在推導(dǎo)兩角超的余弦公式中的工具性作用.過程與方法

? 查閱數(shù)學(xué)史資料，認(rèn)識帕普斯“弦圖”并探索其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)奧秘.? 觀察“弦圖”發(fā)現(xiàn)并構(gòu)建“單位圓”，嘗試在“單位圓”上探究兩角差的余弦之間的關(guān)系.? 借助幾何直觀化“單位圓”和向量的工具，嘗試類比推導(dǎo)兩角和與差的三角函數(shù)公式.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

1.感受數(shù)學(xué)文化，初步體會數(shù)學(xué)史的豐富內(nèi)涵，體會向量將幾何直觀轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算的工具作用.2.通過變式探究活動，經(jīng)歷類比推理過程，體會從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.? 教學(xué)重難點(diǎn)

? 重點(diǎn)：探究兩角差的余弦之間的關(guān)系，并利用單位圓和向量推導(dǎo)兩角差的余弦公式.? 難點(diǎn)：類比推導(dǎo)兩角和與差的三角函數(shù)公式 ? 教學(xué)流程 3.教學(xué)過程

3.1回溯三角學(xué)的歷史，追本溯源認(rèn)識三角變換

角學(xué)起源于航海、歷法推理、和天文測量研究，最初主要是研究球面三角，由于間接測量、測繪工作的需要出現(xiàn)了平面三角學(xué)理論。設(shè)計(jì)1：認(rèn)識“弦圖”：從平面幾何中發(fā)現(xiàn)兩角差的正、余弦關(guān)系

公元3世紀(jì)末，亞歷山大的數(shù)學(xué)家帕普斯（Pappus）在其《數(shù)學(xué)匯編》第5卷第4部分中給出這樣一個(gè)命題：如圖1，設(shè).和[2]

是以為

為直徑的半圓上的一點(diǎn)，的垂線，為垂足.則

是半圓在點(diǎn)處的切線，圖1 圖2 證明：由于命題等價(jià)于又只需證：是梯形的中位線，所以,即

.顯然有，試用,所以,試用線段（比）分別表示

.中，中，中，與

知，且

知，故

； ，;

;的關(guān)系.;表示

.得證....,又因?yàn)?所以原問題1：如圖1所示，設(shè)解析：由知:問題2：如圖2所示,不妨設(shè)以及解析：在在在，問題3：結(jié)合問題2的結(jié)論，試探究解析：由又在又由中，且

且所以問題4：結(jié)合問題3類似地，試探究解析：如圖2可知，又因?yàn)橛衷谥?，?/p>

且

與

知，故

的關(guān)系

所以

古埃及天文學(xué)家克羅狄斯·托勒密利用兩角和差的三角關(guān)系繪制了現(xiàn)存最早的三角函數(shù)弦表，在天文學(xué)和測量計(jì)算中有很重要的應(yīng)用.制作弦表的原理如以下“弦圖”所示：

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)蘇和姆林斯基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，尋找符合學(xué)生認(rèn)知的切入點(diǎn)，以一個(gè)古老的平面幾何命題為依托，引導(dǎo)學(xué)生從簡潔的幾何圖形中發(fā)現(xiàn)其所蘊(yùn)含的三角知識，給學(xué)生一個(gè)意外的“驚喜”，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)深入探究的興趣。其實(shí)命題的本身并不難用三角形相似得以證明，學(xué)生很容易用初中所學(xué)的三角形相似得出結(jié)論，然而這個(gè)命題中所蘊(yùn)含的三角函數(shù)線的內(nèi)涵卻需要我們細(xì)細(xì)品味.評注：從學(xué)生所熟悉的平面幾何證明過程中重溫舊知，從已認(rèn)知的圖式中發(fā)現(xiàn)新的圖式，打破了學(xué)生原有的認(rèn)知平衡，如一石激起千層浪般激發(fā)學(xué)生的思維，通過層層設(shè)問進(jìn)行合理建構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)略新的知識的發(fā)生和發(fā)展過程，體驗(yàn)從平面幾何圖形中發(fā)現(xiàn)三角變換的奧秘，平中見奇.設(shè)計(jì)2：發(fā)現(xiàn)并構(gòu)建“單位圓”：由三角形的內(nèi)角通往任意角的橋梁

問題5：我們發(fā)現(xiàn)上述的弦圖只能表示范圍內(nèi)的兩角差的三角函數(shù)關(guān)系，結(jié)合任意角以及任意角的三角函數(shù)的定義，教材上是用旋轉(zhuǎn)的方式產(chǎn)生任意角的終邊，并利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的，如何將三角形內(nèi)角向任意角推廣，我們自然就會想到能否合理構(gòu)建單位圓，運(yùn)用單位圓周上點(diǎn)的任意旋轉(zhuǎn)得到任意角，在上述探究過程中其實(shí)我們已經(jīng)構(gòu)建出了單位圓，你能發(fā)現(xiàn)它嗎？ 解析：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“弦圖”蘊(yùn)含的“單位圓”，為了方便運(yùn)算，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“坐標(biāo)化”的思想，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系如圖3所示,為任意角的兩角和與差的三角公式的推導(dǎo)架設(shè)橋梁，鋪平道路.圖3 圖4 設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)現(xiàn)代心理學(xué)理論，認(rèn)知沖突中學(xué)習(xí)過程中起著很重要的作用，教師在教學(xué)過程中應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的實(shí)際巧妙地設(shè)置認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生萌生探明究竟的沖動和渴望，形成學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，促進(jìn)創(chuàng)造性思維的發(fā)展.評注：在人教A版必修4第3.1.1節(jié)的教材中提到：“由于這里涉及的三角函數(shù)的問題，是的余弦問題，所以可以考慮聯(lián)系單位圓上的三角函數(shù)線或向量的知識.” 并且給出了如圖4所示的圖形對銳角的兩角差的余弦公式進(jìn)行了簡單推導(dǎo).推導(dǎo)的過程和設(shè)計(jì)1的推導(dǎo)過程類似，然而圖4的直接給出卻顯得有些突兀，有些學(xué)生對于為什么構(gòu)建這樣的圖形感覺無法理解，教材沒有給學(xué)生的認(rèn)知搭建幫助理解的“腳手架”，那么作為課堂的主導(dǎo)者的教師就應(yīng)該為學(xué)生的認(rèn)知搭建符合學(xué)生認(rèn)知最近反展區(qū)的“腳手架”.在教學(xué)過程中，如果教師能夠結(jié)合數(shù)學(xué)史的知識，追尋三角知識的發(fā)展歷程，站在三角知識的產(chǎn)生的源頭的高度上對教材進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚?，?gòu)建符合學(xué)生認(rèn)知圖式和適應(yīng)學(xué)生心理的數(shù)學(xué)情境，適度地重現(xiàn)知識的發(fā)生和發(fā)展的過程，讓學(xué)生在探究活動中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，體驗(yàn)殊途同歸的奧妙，讓數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)真正做到返璞歸真,更加自然，往往會起到觸動心弦的效果。

3.2 融入近代數(shù)學(xué)元素——向量，助推任意兩角差的余弦公式

設(shè)計(jì)3：引進(jìn)向量工具：讓三角變換在代數(shù)運(yùn)算中精彩演繹 問題6：任意角的三角函數(shù)是在單位圓上定義，對于任意的兩個(gè)角上表示？

分為兩種情況:

和

來考慮，如圖5和6.，如何在單位圓解析：對于任意的兩個(gè)角

圖5

圖6 問題7：如圖5所示，在單位圓中？

解析：由，以及根據(jù)向量的數(shù)量積

知：，如何運(yùn)用向量方法表示，即

設(shè)計(jì)意圖：向量是近代數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)概念之一，是溝通代數(shù)和幾何的一種工具，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.問題6是為了滲透了分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生合理構(gòu)建任意兩角的差，問題7結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算和坐標(biāo)化的思想，實(shí)現(xiàn)三角變換在代數(shù)運(yùn)算中的精彩演繹,體現(xiàn)向量的工具性和模型化.例1 利用差角余弦公式求的值

解析：由變式1 試求的值.或易得：

例2 已知是第三象限角，求的值

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)桑代克的練習(xí)律理論，對新知進(jìn)行強(qiáng)化和遷移應(yīng)用，可以增進(jìn)學(xué)生對新知的認(rèn)知和理解，鞏固新形成的圖式,體驗(yàn)只要知道的值就可以求的值的過程.設(shè)計(jì)4：對稱與變換：類比推導(dǎo)問題8：對于任意的兩個(gè)角？

解析：如圖7所示，作地可以得出：的終邊關(guān)于軸對稱可得的終邊，類似

公式，如何在單位圓上表示

？試用向量方法表示

圖7，設(shè)計(jì)意圖：通過對稱變換在單位圓上構(gòu)造，并引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用向量方法推導(dǎo)出進(jìn)一步地鞏固向量推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程.問題9：結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，能否用推導(dǎo)出？

解析：由

知：

用替換易得：

評注：運(yùn)用以前所學(xué)的三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正弦和余弦之間的互換，體驗(yàn)換元的思想方法在三角變換中的重要作用.4.小結(jié)反思

角差的余弦公式是所有三角變換的基礎(chǔ)，有的教材上是用向量來處理的，這與傳統(tǒng)教材的處理法大不一樣，究竟哪種編排法更好，更符合學(xué)生的認(rèn)知？向量法的實(shí)質(zhì)是說這兩個(gè)公式事實(shí)上是描述圓上的任意角的旋轉(zhuǎn)變換。這樣更加形式化了。新數(shù)學(xué)運(yùn)動有過失敗的經(jīng)驗(yàn)，現(xiàn)代的、形式化的東西在數(shù)學(xué)科學(xué)的確很先進(jìn)，但并不一定是適合學(xué)生的。作為教育，一方面要讓學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想的原初發(fā)生發(fā)展過程，另一方面又要引導(dǎo)學(xué)生能從各個(gè)方面欣賞已經(jīng)得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，提高認(rèn)識能力。兩角差的正弦、余弦公式既反映了三角的重要發(fā)展，又反映了三角變換的深刻本質(zhì)，但是否要用本質(zhì)的、深刻的東西取代最初本原的思想，對教師的教學(xué)觀念，評鑒課程的能力提出了高的要求。

考文獻(xiàn)

[1] 全日制普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)).(2004).[2] 張小明,汪小勤.兩角和差的三角公式推導(dǎo)——數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)例研究.數(shù)學(xué)教學(xué)，2007.02

第二篇：兩角和差正余弦公式的證明

兩角和差正余弦公式的證明

北京四中數(shù)學(xué)組 皇甫力超

論文摘要：

本文對兩角和差的正余弦公式的推導(dǎo)進(jìn)行了探討。在單位圓的框架下 , 我們得到了和角余弦公式(方法 1)與差角余弦公式(方法 2)。在三角形的框架下 , 我們得到了和角正弦公式(方法 3 ~11)與差角正弦公式(方法 12,13)。

關(guān)鍵詞：

兩角和差的正余弦公式 正文：

兩角和差的正余弦公式是三角學(xué)中很重要的一組公式。下面我們就它們的推導(dǎo)證明方法進(jìn)行探討。

由角 , 的三角函數(shù)值表示 的正弦或余弦值 , 這正是兩角和差的正余弦公式的功能。換言之 , 要推導(dǎo)兩角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一個(gè)等式或方程 , 將 或

與 , 的三角函數(shù)聯(lián)系起來。的三角函數(shù)。因此 , 由和角公式容根據(jù)誘導(dǎo)公式 , 由角 的三角函數(shù)可以得到

易得到對應(yīng)的差角公式 , 也可以由差角公式得到對應(yīng)的和角公式。又因?yàn)?, 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 據(jù)此 , 可以實(shí)現(xiàn)正弦公式和余弦公式的相互推導(dǎo)。因此 , 只要解決這組公式中的一個(gè) , 其余的公式將很容易得到。

(一)在單位圓的框架下推導(dǎo)和差角余弦公式 注意到單位圓比較容易表示 ，和 , 而且角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)可

與 , 的三以用三角函數(shù)值表示 , 因此 , 我們可以用單位圓來構(gòu)造聯(lián)系 角函數(shù)值的等式。

1.和角余弦公式

(方法 1)如圖所示, 在直角坐標(biāo)系 角 的始邊為 于點(diǎn) C；角 , 交 始邊為 ,由兩點(diǎn)間距離公式得

；

于點(diǎn) A, 終邊交 , 終邊交

中作單位圓 , 并作角 , 和 , 使

于點(diǎn) B；角 始邊為 , 終邊交 ，于點(diǎn)。從而點(diǎn) A, B, C和 D的坐標(biāo)分別為,。

注意到 , 因此。

注記：這是教材上給出的經(jīng)典證法。它借助單位圓的框架 , 利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式表達(dá)兩條相等線段, 從而得到我們所要的等式。注意, 公式中的 和 為任意角。

2.差角余弦公式

仍然在單位圓的框架下 , 用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式和余弦定理表達(dá)同一線段, 也可以得到我們希望的三角等式。這就是

(方法2)如圖所示, 在坐標(biāo)系 的始邊均為 , 交

于點(diǎn) C, 角 ,中作單位圓 終邊交

。, 并作角 和 , 使角 和

于點(diǎn) A,角 終邊交 于點(diǎn)。從而點(diǎn) A, B的坐標(biāo)為由兩點(diǎn)間距離公式得。

由余弦定理得。

從而有。

注記：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依賴于 要補(bǔ)充討論角 和 的終邊共線, 以及 情形中依然成立。

在上邊的證明中 , 用余弦定理計(jì)算

是三角形的內(nèi)角。因此, 還需

大于 的情形。容易驗(yàn)證 , 公式在以上的過程也可以用勾股定理來進(jìn)行。

(二)在三角形的框架下推導(dǎo)和差角正弦公式

除了在單位圓的框架下推導(dǎo)和差角的余弦公式 , 還可以在三角形中構(gòu)造和角或差角來證明和差角的正弦公式。

1.和角正弦公式(一)

(方法3)如圖所示, , ，為 的

邊上的高 ，為

邊上的高。設(shè) , 則。從而有 , , 。

因此 。

注意到 從而有 , , 整理可得。

注記：在方法 3 中 , 用 邊上高

和與底角 , 相關(guān)的三角函數(shù), 從兩個(gè)角度來表示 , 從而得到所希望的等式關(guān)系。這一證明所用的圖形是基于鈍角三角形的 , 對基于直角或銳角三角形的情形 , 證明過程類似。

利用方法 3 中的圖形 , 我們用類似于恒等變形的方式 , 可以得到下面的

(方法 4)如圖所示, , , 則

為 的。

邊上的高 ，為

邊上的高。設(shè)

注意到 , 則有,即。從而有。

利用正弦定理和射影定理 , 將得到下面這個(gè)非常簡潔的證法。注意證明利用的圖形框架與方法 3,4 所用的圖形框架是相同的。

(方法 5)如圖所示 , 則有

為 的

邊上的高。設(shè) , , ,。由正弦定理可得 , 其中 d為 的外接圓直徑。

由 得 , 從而有。

2.和角正弦公式(二)方法 3,4 和 5 利用的圖形框架是將角 , 放在三角形的兩個(gè)底角上。如果將這兩個(gè)角的和作為三角形的一個(gè)內(nèi)角 , 將會有下面的幾種證法(方法 6~11)。

(方法 6)如圖所示 , 作 , , 則

于D, 交 , ,外接圓于 E, 連。

和

。設(shè)設(shè) 的外接,圓直徑,為 d, 則有。

所以有。

注意到 , 從而。

(方法 7)如圖所示 , , , 則

為 的

邊上的高 , , 則

為

邊上的高。設(shè)

。設(shè) , , ,。, 又

從而。整理可得。

(方法 8)如圖所示 , 作 設(shè) 。

于D, 過 D作 , 則 ,于 F, ,設(shè)

于G。, 從而 ,所以。

注意到 , 則有。

注記：我們用兩種不同的方法計(jì)算 法來計(jì)算 , 得到了和角的正弦公式。如果我們用兩種方, 則可以得到和角的余弦公式。由上圖可得 , , 從而有而可得。

。注意到 , 從方法 6,7 和 8 都是用角 , 的三角函數(shù)從兩個(gè)角度表示圖形中的同一線段 , 從而構(gòu)造出我們所希望的等式關(guān)系。

(方法 9)如圖所示 , 設(shè) ,，為 的

邊上的高。設(shè) , , 從而有

方法 9 利用面積關(guān)系構(gòu)造三角恒等式。下面這兩個(gè)證法的思路則有所不同。

(方法 10)如圖所示 , 設(shè) , 則

為 , 從而 的外接圓直徑d, 長度為d。設(shè) ，注記：這一證明用到了托勒密定理：若 和。

是圓內(nèi)接四邊形的對角線 , 則有

(方法 11)如圖所示 , 則。設(shè)

為 , 則 的

邊上的高。設(shè) , ，方法 10 和 11 將某一線段作為基本量 , 利用與角 ，相關(guān)的三角函數(shù)表示其它線段 , 再通過聯(lián)系這些線段的幾何定理(托勒密定理或正弦定理), 構(gòu)造出我們希望的等式關(guān)系。

3.差角正弦公式

仍然還是在三角形中 , 我們可以在三角形的內(nèi)角里構(gòu)造出差角來。方法 12 和 13 便是用這種想法來證明的。

(方法 12)如圖所示 ,于 E, 則 。設(shè) , , 從而有 , 記 , 作

(方法 13)如圖所示 , , 則 ，為 的外接圓直徑 , 長度為 d。設(shè)。從而 ，方法 12 和 13 的基本思路仍然是用兩種不同方法計(jì)算同一線段 , 借此來構(gòu)造等式關(guān)系。

很顯然 , 在這十二種證法中 , 方法 1 和 2 更具普遍性。換言之 , 這兩種方法中出現(xiàn)的角 , 是任意角。而其余方法中 , 角 和 則有一定的限制 , 它們都是三角形的內(nèi)角(甚至都是銳角)。因此 , 對于方法 3~13, 我們需要將我們的結(jié)果推廣到角 和

是任意角的情形。具體而言 , 我們要證明：如果公式對任意 任意角也成立。

容易驗(yàn)證 , 角 和

成立 , 則對

中至少有一個(gè)是軸上角(即終邊在坐標(biāo)軸上的角), 我們的公式是成立的。下面證明 , 角 和 都是象限角(即終邊在坐標(biāo)系的某一象限中的角)時(shí) , 我們的公式也成立。不妨設(shè) 為第二象限角 , 為第三象限角 , 從而有

從而

同理可證, 公式對于象限角 3~13 推導(dǎo)的公式推廣到角

和 的其它組合方式都成立。因此 , 我們可以將方法 , 是任意角的情形。

兩角和差的正余弦公式是三角學(xué)中很基本的一組公式。其推導(dǎo)證明對指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)很有幫助。從上文中可以看到 , 這一探究過程可分為四個(gè)步驟：

(1)明確推導(dǎo)證明的目標(biāo)：構(gòu)造聯(lián)系 和 等式或方程 ；

(2)簡化課題：四個(gè)公式只要解決一個(gè) , 其余的都可由它推出 ；(3)解決問題：利用單位圓或三角形作為聯(lián)系

和

三角函數(shù)與

或

三角函數(shù)與

或 的的工具 , 尋找我們希望的等式關(guān)系 ；

(4)完善解決問題的方法：考察方法是否有普遍性。如果普遍性有欠缺 , 可考慮將其化歸為已解決的情形 , 必要時(shí)還要進(jìn)行分類討論。

參考文獻(xiàn)：

1.谷丹：全面數(shù)學(xué)教育觀與知識形成過程的教學(xué)——三個(gè)教學(xué)個(gè)案及分析 , 《開放的視野 , 務(wù)實(shí)的努力》, 中央民族大學(xué)出版社 ,2006 年 3 月第 27 ~32 頁。

2.人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室：全日制普通高級中學(xué)教科書 << 數(shù)學(xué)(第一冊下)>>(必修), 人民教育出版社 ,2003 年 12 月第 34 ~ 35 頁。

第三篇：兩角差的余弦公式教學(xué)反思

兩角差的余弦公式教學(xué)反思

兩角差的余弦公式是任意角三角函數(shù)知識的延伸，是后繼內(nèi)容兩角和與差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知識基礎(chǔ)。

之前我在新舊教材中都講過這個(gè)內(nèi)容，經(jīng)過這次培訓(xùn)，我又對這一內(nèi)容進(jìn)行了設(shè)計(jì)，重新備課。就之前與之后的教學(xué)，我進(jìn)行了反思。

一、反思教學(xué)理念：新課程理念的靈魂是三個(gè)教學(xué)目標(biāo)的整合，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展。知識可以通過傳授獲得，技能可以通過訓(xùn)練掌握。態(tài)度和情感價(jià)值觀需要學(xué)生參與獲得。這樣，課堂教學(xué)中，要重視學(xué)生的參與、體驗(yàn)過程。但老師的指導(dǎo)作用也不可忽視，沒有老師的引導(dǎo)，學(xué)生的行動、思維就很難達(dá)到一個(gè)較高的程度。教師通過創(chuàng)設(shè)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望的數(shù)學(xué)情境，營造積極的活躍的學(xué)習(xí)氛圍，才能使學(xué)生參與我們的教學(xué)中來。

二、反思教學(xué)過程：

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境：之前舊教材的教學(xué)，我們只關(guān)注公式的應(yīng)用，而輕視公式的由來，這樣符合公式的發(fā)生發(fā)展過程。這次的教學(xué)設(shè)計(jì)我從如何解決一個(gè)實(shí)際問題出發(fā)，調(diào)動學(xué)生的思維與學(xué)習(xí)積極性，抓住學(xué)生的興趣。

（二）兩角差的余弦公式的探究過程：之前舊教材的教學(xué)是用兩點(diǎn)間的距離公式來推導(dǎo)兩角和的余弦，再賦值得到兩角差的余弦公式，這一過程中對學(xué)生的思維訓(xùn)練不是很多。而新教材采用了一種學(xué)生易于接受的推導(dǎo)方法，即先用數(shù)形結(jié)合的思想，借助于單位圓中的三角函數(shù)線，推出α，β，α－β均為銳角時(shí)公式成立。對于α，β為任意角時(shí)的情況，教材運(yùn)用向量的知識進(jìn)行了探究，使得公式的得出成為一個(gè)純粹的代數(shù)運(yùn)算過程，學(xué)生易于理解和掌握，同時(shí)也有利于提高學(xué)生運(yùn)用向量解決相關(guān)問題的意識和能力。我采用了新教材的思路。

(三)兩角差的余弦公式的簡單應(yīng)用。除了課本上的例題、習(xí)題，我補(bǔ)充了課堂練習(xí)、及課后作業(yè)，針對性較強(qiáng)。

第四篇：1.1.1 兩角和與差的余弦公式教案(高教版拓展模塊)范文

1.1.1 兩角和與差的余弦公式

一、教學(xué)目標(biāo)

1．熟悉用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進(jìn)一步體會向量方法的作用． 2．了解差角公式產(chǎn)生的背景．

3．熟記兩角和與差的余弦公式，并能靈活運(yùn)用．

二、教學(xué)重、難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：通過探索得到兩角差的余弦公式；

2.教學(xué)難點(diǎn)：探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo)，這里不僅有學(xué)習(xí)積極性的問題，還有探索過程必用的基礎(chǔ)知識是否已經(jīng)具備的問題，運(yùn)用已學(xué)知識和方法的能力問題等.三、教學(xué)設(shè)想：

（一）導(dǎo)入：問題：

我們在初中時(shí)就知道cos30??31,cos60??，由此我們能否得到22cos30??cos?60??30???cos60??cos30?,大家猜想，是不是等于cos60??cos30?呢？

根據(jù)我們在前面所學(xué)的知識可知：我們的猜想是錯(cuò)誤的！

那么，知道角?與?的三角函數(shù)值，如何計(jì)算cos?????的值呢？ 下面我們應(yīng)用向量，來研究這個(gè)問題。

（二）探討過程：

????????

1、在單位圓中，設(shè)向量OA、OB與x軸正半軸的夾角分別為?,?，則點(diǎn)A?cos?,si?n?，點(diǎn)B?co?s????,?s?i,n因此向量OA=?cos?,sin??，向量????????????OB=?cos?,sin??，且OA?1,OB?1，于是

思考：

（1）結(jié)合圖形，明確應(yīng)該選擇哪幾個(gè)向量，它們是怎樣表示的？（2）怎樣利用向量的數(shù)量積的概念的計(jì)算公式得到探索結(jié)果？

????????????????OA?OB?OAOBcos??????cos?????

????????OA?OB?cos?cos??sin?sin?

cos??????cos?cos??sin?sin?

2、利用誘導(dǎo)公式求cos?????

cos??????cos???????????cos?cos?????sin?sin????

?cos?cos??sin?sin?

兩角差的余弦公式：cos??????cos?cos??sin?sin? 兩角和的余弦公式：cos??????cos?cos??sin?sin?

公式反映了???和???的余弦函數(shù)值與?,?的三角函數(shù)值之間的關(guān)系。

（三）例題講解

例

1、利用和、差角余弦公式求cos75和cos15的值.解：分析：把75,15構(gòu)造成兩個(gè)特殊角的和、差.????cos75??cos?45??30???cos45?cos30??sin45?sin30??cos15??cos?45??30???cos45?cos30??sin45?sin30??23216?2????22224 23216?2????22224

點(diǎn)評：把一個(gè)具體角構(gòu)造成兩個(gè)角的和、差形式，有很多種構(gòu)造方法，例如：cos15??cos?60??45??，要學(xué)會靈活運(yùn)用.34 ,cos??，并且?和?都是銳角，求cos(???),cos(???)的值。5534解：因?yàn)閏os??,cos??，并且?和?都是銳角，所以

5543sin??1?cos2??，sin??1?cos2??

553443所以 cos??????cos?cos??sin?sin??????0

5555344324 cos??????cos?cos??sin?sin??????

555525例

2、已知cos??點(diǎn)評：注意角?和?的象限，也就是三角函數(shù)值的符號問題.（四）練習(xí)：

1.不查表計(jì)算下列各式的值：

（1）cos80?cos20??sin80?sin20? 13（2）cos15??sin15?22

2．教材P3面練習(xí)1.1.1 1、2、3題

（五）小結(jié)：

兩角和與差的余弦公式，首先要認(rèn)識公式結(jié)構(gòu)的特征，了解公式的推導(dǎo)過程，熟知由此

衍變的兩角和的余弦公式.在解題過程中注意角?和的象限，也就是符號問題，學(xué)會靈活運(yùn)用.（1）牢記公式

（2）在“給值求值”題型中，要能靈活處理已、未知關(guān)系．

（六）作業(yè)：

1、化簡：

（1）cos24?cos69??sin240?sin69?

???)cos??sin(???)sin?（2）cos（2、已知sin??的值.45???求cos(???),cos(???),???,??，?是第三象限角，cos???，5213??

第五篇：高一《兩角和與差的三角函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)

高一《兩角和與差的三角函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)

高一《兩角和與差的三角函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)

【教材分析】

本節(jié)是北師大版高中必修四第三章2.1和2.2兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)（書第116頁-118頁內(nèi)容），本節(jié)是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)和平面向量知識的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究兩角和與差的三角函數(shù)與單角的三角函數(shù)關(guān)系，它既是三角函數(shù)和平面向量知識的延伸，又是后繼內(nèi)容兩角和與差的正切公式、二倍角公式、半角公式的知識基礎(chǔ)，起著承上啟下的作用，對于三角函數(shù)式的化簡、求值和三角恒等式的證明等有著重要的支撐。本課時(shí)主要講授運(yùn)用平面向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式以及兩角和與差的正、余弦公式的運(yùn)用。

【學(xué)情分析】

學(xué)生在本節(jié)之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)和平面向量這兩章知識內(nèi)容，這為本節(jié)課的學(xué)習(xí)作了很多的知識鋪墊，學(xué)生也有了一定的數(shù)學(xué)推理能力和運(yùn)算能力。本節(jié)教學(xué)內(nèi)容需要學(xué)生已經(jīng)具有單位圓中的任意角的三角概念和平面向量的數(shù)量積的表示等方面的知識儲備，這將有利于進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)思想的形成。

【課程資源】

高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教材；多媒體投影儀

【教學(xué)目標(biāo)】

1、掌握用向量方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式，通過簡單運(yùn)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，為建立其它和（差）公式打好基礎(chǔ)；

2、讓學(xué)生經(jīng)歷兩角差的余弦公式的探索、發(fā)現(xiàn)過程,培養(yǎng)學(xué)生 的動手實(shí)踐、探索、研究能力.3、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，實(shí)事求是的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神.【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】 教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)及運(yùn)用

教學(xué)難點(diǎn)：向量法推導(dǎo)兩角差的余弦公式及公式的靈活運(yùn)用

（設(shè)計(jì)依據(jù)：平面內(nèi)兩向量的數(shù)量積的兩種形式的應(yīng)用是本節(jié)課 “兩角和與差的余弦公式推導(dǎo)”的主要依據(jù)，在后繼知識中也有廣泛的應(yīng)用，所以是本節(jié)的一個(gè)重點(diǎn)。又由于“兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)和應(yīng)用”對后幾節(jié)內(nèi)容能否掌握具有決定意義，在三角變換、三角恒等式的證明、三角函數(shù)式的化簡求值等方面有著廣泛的應(yīng)用，因此也是本節(jié)的一個(gè)重點(diǎn)。由于其推導(dǎo)方法的特殊性和推導(dǎo)過程的復(fù)雜性，所以也是一個(gè)難點(diǎn)。）

【教學(xué)方法】

情景教學(xué)法；問題教學(xué)法；直觀教學(xué)法；啟發(fā)發(fā)現(xiàn)法。

【學(xué)法指導(dǎo)】、1、注意任意角的終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)、平面向量的坐標(biāo)的表示以及平面向量的數(shù)量積的兩種表示形式的復(fù)習(xí)為兩角差的余弦的推導(dǎo)做必要的準(zhǔn)備，并讓學(xué)生體會感悟向量在解決數(shù)學(xué)問題中的工具作用(體現(xiàn)學(xué)習(xí)過程中循序漸進(jìn)，溫故知新的認(rèn)知規(guī)律。)；

2、突出誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)名稱變換中的作用以及變角思想讓學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)的化歸思想。

3、讓學(xué)生注意觀察、對比兩角和與差的余弦公式中正弦、余弦的順序；角的順序關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，并通過觀察掌握公式的特點(diǎn)。

【教學(xué)過程】

教學(xué)流程為：創(chuàng)設(shè)情境----提出問題----探索嘗試----啟發(fā)引導(dǎo)----解決問題。

（一）創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題

問題1： 同學(xué)們都知道，試問是否與相等？大家可以猜想是不是等于呢？下面我們就一起探討兩角差的余弦公式

【設(shè)計(jì)意圖】通過問題情境，自然流暢地提出問題，揭示課題，引發(fā)學(xué)生思考。使學(xué)生目標(biāo)明確、迅速進(jìn)入新知學(xué)習(xí)。

（二）問題探究，新知構(gòu)建

問題2：你能用與的三角函數(shù)值表示出這兩個(gè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)A和B的坐標(biāo)嗎？怎樣表示？ 【師生活動】畫單位圓在直角坐標(biāo)系中畫出單位圓并作出與角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生利用三角函數(shù)值表示出交點(diǎn)坐標(biāo)。

【設(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)習(xí)使學(xué)生熟悉基礎(chǔ)知識、特別是用角的正、余弦表示特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，為新課的推進(jìn)做準(zhǔn)備。

問題3：如何計(jì)算向量的數(shù)量積？

【師生活動】引導(dǎo)學(xué)生觀察是的夾角，引發(fā)學(xué)生對向量的思考，并及時(shí)啟發(fā)學(xué)生復(fù)習(xí)向量的數(shù)量積的的兩種表示。

【設(shè)計(jì)意圖】平復(fù)習(xí)面內(nèi)兩向量的數(shù)量積的幾何法與代數(shù)法兩種表示，從而使“兩角差的余弦公式”的推證水到渠成。

問題4：計(jì)算cos15°和cos75°的值。

分析：本題關(guān)鍵是將分成45°與30°的和或者分解成45°與15°的差，再利用兩角差的余弦公式即可求解。(學(xué)生板演)

【師生活動】引導(dǎo)學(xué)生初步應(yīng)用公式

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生熟練兩角和與差的余弦公式，體會學(xué)生公式的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，即：將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和與差。并引發(fā)學(xué)生對兩角和的余弦公式的推證興趣。

問題7：同學(xué)們都知道誘導(dǎo)公式cos（-β）=cosβ，sin（-β）=-sinβ，那么你會推導(dǎo)出

cos（α+β）=？

【師生活動】學(xué)生在老師的引導(dǎo)下自主推證兩角和的余弦公式。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中體會感受化歸思想和類比思想在新知識發(fā)現(xiàn)中的作用。

問題8：同學(xué)們已學(xué)過sinα=cos(-α)，那么你會運(yùn)用這個(gè)

公式推證出sin（α-β）和sin（α+β）嗎？

【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)公式。

【設(shè)計(jì)意圖】新知構(gòu)建并體會轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

問題9：勾畫書中兩角和與差的三角函數(shù)公式并觀察它們有什么特點(diǎn)？

兩角和與差的余弦：

同名之積相加減，運(yùn)算符號左右反

cos（α+β）= cosα cosβ-sinα sinβ

cos（α-β）= cosα cosβ+ sinα sinβ

兩角和與差的正弦：

異名之積相加減，運(yùn)算符號兩相同

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

【師生活動】學(xué)生總結(jié)公式特點(diǎn)，學(xué)習(xí)小組交流，教師總結(jié)公式結(jié)構(gòu)特征。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生熟悉并掌握公式特征，如：教的順序、函數(shù)的順序、符號的規(guī)律。

（三）知識應(yīng)用，熟悉公式

例

2、（1）求sin（-25π＼１２）的值；

（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．

【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步熟悉誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式的特點(diǎn)及正逆應(yīng)用。

例

3、已知求sin（α+β），cos（α-β）的值。

思維點(diǎn)撥：觀察公式本題已知條件應(yīng)先計(jì)算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，并注意α，β的取值范圍來求解．

【設(shè)計(jì)意圖】訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性，例如在面對問題時(shí)，要注意先認(rèn)真分析條件，明確使用公式時(shí)要有什么準(zhǔn)備，準(zhǔn)備工作怎么進(jìn)行等。還要重視思維過程的表述，不能只看最后結(jié)果而不顧過程表述的準(zhǔn)確性、簡潔性等。在教學(xué)過程中，對例3適當(dāng)延伸，目的要求學(xué)生正確使用分類討論的思想方法，在表述上也對學(xué)生有了更高的要求。

（四）自主探究，深化理解，拓展思維

變式訓(xùn)練1：如何計(jì)算？

【反思】本節(jié)學(xué)習(xí)的兩角和與差的三角函數(shù)公式對任意角也成立嗎？

變式訓(xùn)練2: 例3中如果去掉條件，對結(jié)果和求解過程會有什么影響？

變式訓(xùn)練3：下列等式成立嗎？

cos（α+β）=cosα+cosβ

cos（α-β）=cosα-cosβ

sin（α+β）=sinα+sinβ

sin（α-β）=sinα-sinβ

【設(shè)計(jì)意圖】通過變式訓(xùn)練與討論進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生自主探究、合作學(xué)習(xí)交流的能力，以熟悉公式的變形運(yùn)用并掌握兩角和與差的正余弦公式的特征及應(yīng)用。

（五）小結(jié)反思，評價(jià)反饋

1、本節(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容有哪些？

2、兩角和與差的三角函數(shù)公式有什么特點(diǎn)？運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式可以解決哪些問題？

3、你通過本節(jié)學(xué)習(xí)有哪些收獲？

【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步熟悉公式，加深學(xué)生對公式的理解和認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和交流表達(dá)能力，讓學(xué)生獲得成功體驗(yàn)。

（六）作業(yè)布置，練習(xí)鞏固

書面：課本第121頁A組1中間兩題；2（2）（3）（4）B組2（2）

課后研究：課本第118頁練習(xí)5;

【設(shè)計(jì)意圖】鞏固和理解知識，掌握兩角和與差的三角函數(shù)公式。并引發(fā)學(xué)生對新知學(xué)習(xí)與探求的欲望和興趣。

【板書設(shè)計(jì)】

兩角和與差的正、余弦函數(shù)

公式

推導(dǎo) 例1

例2 例3

【教后反思】

本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)首先通過問題情景闡述了兩角差的余弦公式的產(chǎn)生背景，然后通過組織學(xué)生分析，討論，并借助于單位圓中以原點(diǎn)為起點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積的兩種表示，對α大于β使，cos(α－β)給出證明，進(jìn)而用向量知識探究任意角的情形。這些均體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從特殊到一般的思想方法，符合新課改的基本理念。同時(shí)，例題1、2、3由淺入深，讓學(xué)生在問題中探究，在探究中建構(gòu)新知。使學(xué)生在已有基礎(chǔ)上，充分利用歸納、類比等方法激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望，建立Cα±β模型，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提高，同時(shí)及時(shí)鞏固，應(yīng)用，拓展延伸，加強(qiáng)了學(xué)生對新知的掌握和靈活運(yùn)用。給學(xué)生思維以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)并不一定會降低學(xué)生思維的層次，反而能夠提高思維的有效性，從而體現(xiàn)教師主導(dǎo)作用和學(xué)生主體作用的和諧統(tǒng)一。但課后發(fā)現(xiàn)小結(jié)倉促，如果能再引導(dǎo)學(xué)生自我小結(jié)、反思。可能會更好．

【關(guān)于教學(xué)設(shè)計(jì)的思考】

1、本節(jié)課授課內(nèi)容為《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書2數(shù)學(xué)（4）》（北師大版）第三章第一節(jié)，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)和應(yīng)用是本節(jié)的又一個(gè)重點(diǎn)，也是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)。所以這節(jié)課效果的好壞，體現(xiàn)在對這兩點(diǎn)實(shí)現(xiàn)的程度上，因此，例題、練習(xí)、作業(yè)應(yīng)用繞這兩方面設(shè)計(jì)。而平面內(nèi)兩向量的數(shù)量積的兩種形式的應(yīng)用又是推導(dǎo)兩角差的余弦公式的關(guān)鍵；因此在復(fù)習(xí)近平面內(nèi)兩向量的數(shù)量積的兩種形式是本節(jié)課必要的準(zhǔn)備。

2、本節(jié)課采用“創(chuàng)設(shè)情境----提出問題----探索嘗試----啟發(fā)引導(dǎo)----解決問題”的過程來實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。有利于知識產(chǎn)生、發(fā)展、解決這一認(rèn)知過程的完整體現(xiàn)。在教學(xué)手段上使用多媒體技術(shù)，有效增加課堂容量。在教學(xué)過程環(huán)節(jié)，采用問題教學(xué)，再逐步展開的方式，能夠充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生的探索具有明確的目的性，減少盲目性。在利用平面內(nèi)兩向量的數(shù)量積的幾何形式、代數(shù)形式建立等式，而得到兩角差的余弦公式后，利用代數(shù)思想推出兩角和的余弦公式，使學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)思想的深刻性。通過對公式的對比，可以加深學(xué)生對公式特征的印象，同時(shí)體會公式的線形美與對稱美，給學(xué)生以美的陶冶。作業(yè)的布置中，突出了學(xué)生學(xué)習(xí)的個(gè)體差異現(xiàn)實(shí)，使學(xué)有余力的學(xué)生產(chǎn)生挑戰(zhàn)的心理感受，也為下一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。

3、數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，主要是培養(yǎng)人的思維課程，強(qiáng)調(diào)思維構(gòu)造，以問題解決為主的課程，既注重人的智慧獲得，又注重人的情感發(fā)展，因而在教學(xué)中，應(yīng)注意“完整的人”的數(shù)學(xué)教育，不搞“以智力開發(fā)為主的教育”，使學(xué)生成為真正的人。因此在課堂教學(xué)中，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)從學(xué)生出發(fā)，給學(xué)生更多的自由，讓他們真正參與，注重學(xué)習(xí)的過程，尤其重視以學(xué)生為主的數(shù)學(xué)活動，注重學(xué)生的自我完善，自我發(fā)展，不把學(xué)生當(dāng)成接受知識的容器，要教會學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，尤其是有意義的接受學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，“授人以魚，不如授之以漁，授人以魚祗救一時(shí)之及，授人以漁則可解一生之需”。在數(shù)學(xué)教育中，注重培養(yǎng)學(xué)生的自信，自重，自尊，使他們充滿希望和成功，促進(jìn)其健康人格的形成。只有這樣，才能讓數(shù)學(xué)課更有生機(jī)和人性，才能學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。