第一篇：不等式證明常用技巧總結(jié)

不等式的證明

一、常用方法：

作差、作商法；分析、綜合法；換元法；構(gòu)造函數(shù)法；反證法；放縮法；歸納法；

（分析綜合法）已知a?0,b?0,2c?a?b,求證：c?c2?ab?a?c?c2?ab.二、不等式證明中常用技巧：

1(x?1)的值域。1.加減常數(shù)

求函數(shù)y?x?x?112.巧變常數(shù)

已知0?x?，求函數(shù)y＝x（1－2x）的最大值。

25x2?3x?33.分離常數(shù)

已知x?，求f(x)?的最值。

22x?44.巧用常數(shù)

若x,y?R?且滿足

?416??1，求x＋y的最小值。xy11?)的最小值。a?bc5.統(tǒng)一形式

已知a,b,c?R，求(a?b?c)(證：a2?b2?c2?ab?bc?ac..6.輪換對(duì)稱

若a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù)，求7.重要不等式 a?b?0,求證：a?216?16

b(a?b)8.逆向運(yùn)用公式型已知a,b?R,且a?b?1,求證：a??11?b??2.22a?b1111（提示：將a?，b?轉(zhuǎn)換成1?a?，）1?b?然后運(yùn)用公式ab?22222如何巧用常數(shù)：

111.若a?0,b?0,且a?2b?1,則??3?22.ab1112.已知a,b,c?R?,且a?b?c?1,求證：???9.abc?1??1?3.已知a,b?R?,且a?b?1,求證：?1???1???9.?a??b?1已知x,y,z均為正數(shù)，且x?y?z?1，則x2?y2?z2?.4.3 5.已知x,y,z均為正數(shù)，求證：a?b?c?3.b?cc?aa?b2?a??b??c??a?b?c??b?c?a??c?a?b??1??1??1????????????????b?c??c?a??a?b??b?c??c?a??a?b?11?111?9?1?1?(a?b?c)????(b?c)?(c?a)???????(a?b）??.b?cc?aa?b2b?cc?aa?b????2不等式證明中的放縮法

1111????1.1.已知n?N*，且n?2，求證：??2nn?12n2.已知n?N*，求證：1?222?332???nn2?3.kk2??1kk?222??kk?kk(k?1)k?kk?1k(k?1)(k?k?1)2(k?k?1)11?2(?（）k?2）.k(k?1)k?1k

3.設(shè)n∈N，求證：

(2)引進(jìn)輔助式，設(shè)

比較兩式的對(duì)應(yīng)因式可知

第二篇：《不等式的證明技巧》專題講座

《不等式的證明技巧》專題講座

不等式的證明從初中到高中都是一個(gè)令學(xué)生頭痛的一類數(shù)學(xué)問題。其實(shí)造成這一現(xiàn)象的本質(zhì)是——在用基本不等式的性質(zhì)時(shí)，放大與縮小的范圍較難把握。這一“放大與縮小”的原理是基于小學(xué)奧數(shù)的“估值法”的應(yīng)用關(guān)鍵。這時(shí)學(xué)過小學(xué)奧數(shù)的學(xué)生就有一點(diǎn)點(diǎn)優(yōu)勢(shì)了。

既然用不等式的性質(zhì)證明的技巧性太強(qiáng)，那么換個(gè)思路，用其他駕輕就熟的方法不是可以避重就輕？所以我也不常用不等式的性質(zhì)來證明不等式的題目。

證明不等式的常用方法：

1、二次函數(shù)。利用最值求解。

2、三角函數(shù)。利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性求解。

3、向量。利用向量:a·b＝| a|·|b |cosA,即a·b≥| a|·|b |cosA求解。

4、幾何法。利用立體幾何與平面幾何知識(shí)求解。

方法不一而足。其本質(zhì)是限制所要證明的代數(shù)式的范圍。

例6 求證：

(2)若a＞b＞c＞0，d＞c，ac＞bd，則a+c＞b+d。解(1)因x+y+z=1，故可設(shè)

其中t1+t2+t3=0，于是

(2)因a＞b，d＞c，故可設(shè)a=b+t1，d=c+t2，其中t1＞0，t2＞

∴(a+c)-(b+d)=(a-b)-(d-c)=t1-t2＞0 ∴a+c＞b+d 注 ①用n個(gè)數(shù)的平均數(shù)與適當(dāng)參數(shù)來表示這n個(gè)數(shù)的代換通常稱為均值代換，如(1)中施行的代換。這種代換的特點(diǎn)是利用對(duì)稱性可使運(yùn)

數(shù)組，不能保證由上述代換而得到。如x=y=0，z=1就不存在對(duì)應(yīng)的t值。②當(dāng)a＞b時(shí)，令a=b+t(t＞0)，其中t是a用b表示時(shí)引進(jìn)的增量。這種代換通常稱為增量代換。它的特點(diǎn)是把條件中的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為相等系，使得變形過程簡化。例7 求證：

解(1)由a＞0，b＞0，a+2b=1，可設(shè)

則有

(2)因a＞b＞0，且(a-b)+b=a，故可設(shè)

這時(shí)，原不等式等價(jià)于

故只須證明

這個(gè)不等式顯然成立。事實(shí)上，因?yàn)?＜cosθ＜1，0＜sinθ＜1又

故原不等式得證。

注 代數(shù)問題三角化，往往可充分利用三角函數(shù)的特有性質(zhì)，使較為復(fù)雜的問題得以簡化，從而獲得簡捷解法。

例8 求證：

(1)|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，則abc+2＞a+b+c；(2)ai，bi∈R(i=1，2，3)，且ai≠0，則(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(a12+a22+a32+)(b12+b22+b32)當(dāng)且僅當(dāng)bi=λai時(shí)取等號(hào)。解(1)原不等式等價(jià)于(bc-1)a+(2-b-c)＞0 構(gòu)造一次函數(shù)

f(x)=(bc-1)x+(2-b-c)(-1＜x＜1)則 f(-1)=(1-bc)+(1-b)+(1-c)＞0 f(1)=bc-1+2-b-c=(1-b)(1-c)＞0 于是，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性，f(x)在區(qū)間[-1，1]上恒大于0。而a∈(-1，1)，故f(a)＞0，即(bc-1)a-b-c+2＞0。所以

abc+2＞a+b+c(2)構(gòu)造二次函數(shù)

f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(a3x+b3)2

(當(dāng)且僅當(dāng)bi=λai，λ∈R時(shí)取等號(hào))所以

注 函數(shù)思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想，應(yīng)用廣泛。在不等式證明中，若能要據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，則可充分利用函數(shù)的性質(zhì)，使問題簡明。(2)中不等式及其證明可推廣到一般情形：若ai，bi∈R(i∈1，2，?n)，且ai≠0，則

(a1b1+?+anbn)2≤(a12+?+an2)·(b12+?+bn2)這就是著名的柯西不等式?？挛鞑坏仁讲粌H應(yīng)用廣泛，而且它的證明方法，即構(gòu)造二次函數(shù)并通過其判別式證明不等式的方法，堪稱構(gòu)造法的典范。

例9 設(shè)n∈N，求證：

解(1)采取逐項(xiàng)放縮的方法。由于

令1，2，?，n，則有

????????

依項(xiàng)相加，即得

(2)設(shè)

并引進(jìn)輔助式

比較兩式的對(duì)應(yīng)因式可知

注 用放縮法證不等式，常通過拆項(xiàng)、分組、加強(qiáng)命題等方式進(jìn)行。此法沒有固定模式，關(guān)鍵在于放縮要適度。放得過寬或縮得太小，都會(huì)導(dǎo)致方法失效。

練習(xí)：

1、已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求證：

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)右邊取等號(hào)。

2、已知2x+3y=1,求x2+y2的最大值。

用向量的方法是：構(gòu)造向量（x,y）,(2,3)即可。以后有機(jī)會(huì)，繼續(xù)這方面的探討。

3、請(qǐng)教兩道對(duì)稱不等式的證明(1)a,b,c,d為正數(shù),證明

(2)對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c,證明

第三篇：不等式證明的技巧

歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》

Http://004km.cn

不等式證明的技巧

知識(shí)與方法

證明不等式的方法很多，技巧性強(qiáng)；如較低要求的，在所證不等式兩端同乘以一個(gè)常數(shù)；1的代換；利用函數(shù)的單調(diào)性，等等。不等式證明的技巧，本人的理解有如下三個(gè)方面：

一．基本技巧

我認(rèn)為不等式的證明的基本思想和技巧是通過“放大和縮小”的思想和方法，對(duì)兩個(gè)數(shù)、兩個(gè)量、兩個(gè)式的值的大小關(guān)系的“確定”過程，這種大小關(guān)系的確定一般有比較法、分析法、綜合法三種基本方法。二．構(gòu)造法

1．構(gòu)造重要不等式的結(jié)構(gòu)，再利用相關(guān)的重要不等式來證明不等式。

2．構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)來證明不等式。

3．構(gòu)造圖形，利用幾何知識(shí)來證明不等式。三．轉(zhuǎn)化法

1．反證法

2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法

3．變量代換法

4．從“特殊”到“一般”的轉(zhuǎn)化方法

5．以“直”代“曲”的轉(zhuǎn)化方法

6．“整體”與“部分”合理巧妙轉(zhuǎn)化

范例選講

例1 已知0?x?1，求證：|loga(1?x)|?|loga(1?x)|.分析 因所證不等式兩端是同底的對(duì)數(shù)、單項(xiàng)式，故“作差比較”、“作商比較”均可以。

解（作差比較）

（1）當(dāng)0?a?1時(shí)，因0?x?1，所以

|loga(1?x)|?|loga(1?x)|?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x2)?0.（2）當(dāng)a?1時(shí)，因0?x?1，所以

|loga(1?x)|?|loga(1?x)|??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x2)?0.綜合以上可知，所證不等式成立。

（作商比較）

因0?x?1，所以|loga(1?x)|?0，|loga(1?x)|?0，嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料

Http://004km.cn 歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》

Http://004km.cn

|loga(1?x)|1?|log(1?x)(1?x)|??log(1?x)(1?x)?log(1?x)?log(1?x)(1?x)?1

|loga(1?x)|1?x

所以，|loga(1?x)|?|loga(1?x)|.評(píng)注

本題雖是一道很簡單的不等式證明題，也顯示出了證明不等式的技巧性：合理選擇方法，可以回避討論。例2 實(shí)數(shù)a1,a2,???,an(n?3)滿足a1?a2?????an?n，且a1?a2?????an?n2.求證：max{a1,a2,a3,???,an}?2.分析 這是一道美國數(shù)學(xué)競賽試題，直接證明比較困難，因此，可考慮運(yùn)用反證法證明。

解

設(shè)a1,a2,???,an中有i個(gè)非負(fù)數(shù)，記為x1,x2,???,xi，有j個(gè)負(fù)數(shù)，記為

?y1,?y2,???,?yj(y1,y2,???,yj?0)，其中i?0,j?0，且i?j?n.不妨設(shè)max{a1,a2,a3,???,an}?2，即max{x1,x2,x3,???,xi}?2.因x1?x2?????xi?n?y1?y2?????yi，又max{x1,x2,x3,???,xi}?2，y1,y2,???,yj?0.則2i?x1?x2?????xi?n?y1?y2?????yi?i?j?y1?y2?????yj,所以i?j?y1?y2?????yj.因?yàn)?x1?x2?????xi?(?y1)2?(?y2)2?????(?yj)2)?n2,所以

x1?x2?????xi?n2?(y1?y2?????yj).又因?yàn)?max{x1,x2,x3,???,xi}?2，y1,y2,???,yj?0，所以 4i?x1?x2?????xi?n2?(y1?y2?????yj)?n2?(i?j)

2?(i?j)?(i?j)?4ij.因 i?0，故j?1，且j?0，則j?0.所以a1,a2,???,an都為非負(fù)數(shù).即4n?a1?a2?????an?n2,因而n?4，這與n?3相矛盾，即假設(shè)不成立，所證結(jié)論：max{a1,a2,a3,???,an}?2成立.嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料

Http://004km.cn ***22222222歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》

Http://004km.cn

評(píng)注

反證法的實(shí)質(zhì)是從否定結(jié)論出發(fā)，通過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾。運(yùn)用“正難則反”的策略，是證明不等式中常見技巧。

例3 平面上給定一個(gè)由有限多條線段組成的集合，線段總長為1.證明：存在一條直線l，使得已給線段在l上的射影之和小于

2?.分析 可將給定的線段排序，再通過中心對(duì)稱構(gòu)造一個(gè)周長為2的凸多邊形。

解 證明：取一條不與已給線段垂直的直線作x軸，將所給線段按照斜率的大小排成一列：

非負(fù)的下角標(biāo)則表示斜率非l?n,l?n?1,???,l?1,???,lm（其中負(fù)的下角標(biāo)表示該線段的斜率為負(fù)，負(fù)）。經(jīng)過平移可以將這些線段按照上面的次序一個(gè)接一個(gè)地首尾相連形成一條凸折線。設(shè)端點(diǎn)為A、B，AB中點(diǎn)為O。關(guān)于O作中心對(duì)稱，產(chǎn)生一個(gè)凸多邊形（包括退化為直線段），周長為2，每一條邊與對(duì)應(yīng)邊平行（或共線）。

這個(gè)多邊形的最小寬度，也就是各對(duì)平行邊之間的最小距離，設(shè)為d，以O(shè)為圓心，d為直徑的圓一定完全在多邊形內(nèi)，否則，設(shè)圓O與某條邊li相交于X，那么X關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)X?是圓O與對(duì)邊li?的交點(diǎn)，li與li?的距離小于XX?，即小于d，與d為最小寬度矛盾。

由于圓O的周長為?d，所以?d?2，即d?2?，這是因?yàn)槊娣e一定的閉曲線中，以圓的周長最小。

取直線l與距離最小的平行邊垂直，則各已知線段在l上的射影之和不超過d，也就小于2.?

評(píng)注 本題的解答過程中通過“排序----平移----中心對(duì)稱”等方法上的處理使所給線段呈現(xiàn)一種簡單有序的易于估算的狀態(tài)，困難得以化解。這種通過對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等變換，以直代曲，將復(fù)雜的不等式化歸為基本不等式是一種重要的技巧。

2例4 設(shè)?ABC三邊長為a,b,c，有不等式?(b?c)?1b?c(b?c)2,------① ?3a試證不等式①中的系數(shù)

分析 可將系數(shù)

1是最優(yōu)的.311一般化，設(shè)系數(shù)為k，再證明k的取值范圍是k?.33a?b2(a?b)2

證明 在不等式①中，取a?b，設(shè)???(a?b)?k?c

?(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?k[b?cc?aa?b(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2] abc2b?c2k(b?c)21?k2(b?c)?[b()?c],令a?b，所以??2(b?c)?2kbbk嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料

Http://004km.cn 歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》

Http://004km.cn

又因在?ABC中，三邊長為a,b,c，取a?b，顯然有不等式2b?c?0,所以，要使??0，注意到k為正數(shù)，則須是成立的，故k?1?k1?2，即k?，但已證不等式①k31是不等式①的最優(yōu)值.評(píng)注 將“特殊”向“一般”轉(zhuǎn)化也是常見的技巧。

例5 設(shè)x,y,z?(0,??)，且xyz?1，證明

x3y3z33

???.（1998年第39屆IMO預(yù)選試題）(1?y)(1?z)(1?x)(1?z)(1?x)(1?y)分析 可利用均值不等式構(gòu)造三個(gè)同向不等式相加來進(jìn)行證明，也可以將所證不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化。

證法一: 因x,y,z?(0,??)，所以

x31?y1?z3

???x,①

(1?y)(1?z)884y31?x1?z3 4???y,②

(1?x)(1?z)884z31?x1?y3???z,③

(1?x)(1?y)884x3y3z3以上三式相加可得： ??(1?y)(1?z)(1?x)(1?z)(1?x)(1?y)?

上述不等式都是在x?y?z?1時(shí)取等號(hào).所以，當(dāng)且僅當(dāng)x?y?z?1時(shí)原不等式取等號(hào).證法二: 原不等式等價(jià)于

x?x?y?y?z?z?34343433113133(x?y?z)?(6?2x?2y?2z)?(x?y?z)???33xyz??.48242443(x?1)(y?1)(z?1).433

由于對(duì)任意正數(shù)a,b,c，有a?b?c?3abc，下面證明更強(qiáng)的不等式：

x?x?y?y?z?z?4343431[(x?1)3?(y?1)3?(z?1)3]

④ 成立.4嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料

Http://004km.cn 歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》

Http://004km.cn

設(shè)f(t)?t?t? 則f(t)? 431(t?1)3，g(t)?(t?1)(4t2?3t?1).41(t?1)g(t)，且g(t)在(0,??)上是嚴(yán)格遞增函數(shù)，因?yàn)?41x4?x3?y4?y3?z4?z3?[(x?1)3?(y?1)3?(z?1)3]?f(x)?f(y)?f(z)

411?(x?1)g(x)?(y?1)g(y)?(z?1)g(z).444111

只需證明(x?1)g(x)?(y?1)g(y)?(z?1)g(z)?0即可.444

其證明如下：

假設(shè)x?y?z，則g(x)?g(y)?g(z)?0.由xyz?1，得x?1，z?1.因(x?1)g(x)?(x?1)g(y)，(z?1)g(y)?(z?1)g(z)，111(x?1)g(x)?(y?1)g(y)?(z?1)g(z)44411

?(x?y?z?3)g(y)?(33xyz?3)g(y)?0.44

所以

故原不等式成立.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x?y?z?1時(shí)成立.評(píng)注

證法1利用均值不等式進(jìn)行證明，顯得簡潔、清晰；證法2是將所證不等轉(zhuǎn)化為更強(qiáng)的不等式，再進(jìn)行證明。

例6

已知x,y,z?(0,??)，且x?y?z?1，證明：xy?yz?zx?

分析 因xy?yz?zx是關(guān)于x,y,z的輪換對(duì)稱式。

證明 設(shè)x?max{x,y,z}，又因x,y,z?(0,??)，則xy?yz?zx?xy?xyz?zx?x(xy?yz?z)2222222222224成立的條件.2711z(z?x)]?x(x?z)(2y?z)221x?(x?z)?(2y?z)34]?

?[.232721不等式等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x?,y?,z?0或x?0,y?,z?或

333312x?,y?0,z?時(shí)成立.3 ?x[y(x?z)?

評(píng)注

對(duì)于“輪換對(duì)稱式”，不能將其中的變量排序；有時(shí)只能找到一個(gè)最小字母作“弱”排序。

嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料

Http://004km.cn 歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》

Http://004km.cn

例7

設(shè)a,b,c?(0,??)，且滿足abc?1，試證：

1113???.a3(b?c)b3(c?a)c3(a?b)2b2c2c2a2a2b23

分析 由已知條件abc?1，可知所證不等式與???等價(jià).a(b?c)b(c?a)c(a?b)2

故可運(yùn)用“含參數(shù)基本不等式”來證明之.a2?2?a??2b.證明 由a?(?b)?2ab?（?為參數(shù)），得b22

(bc)2

則有?2?bc??2a(b?c),①

a(b?c)(ca)2 ?2?ca??2b(c?a),②

b(c?a)(ab)2?2?ab??2c(a?b).③

c(a?b)①+②+③，得

(bc)2(ca)2(ab)2 ???2?(ab?bc?ca)?2?2(ab?bc?ca)

a(b?c)b(c?a)c(a?b)

?2(ab?bc?ca)(???).④ 因ab?bc?ca?33(abc)?3，取??21，代入④中，得 2(bc)2(ca)2(ab)213 ???2?3??.a(b?c)b(c?a)c(a?b)42評(píng)注

本題是先將所證不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再運(yùn)用“含參數(shù)基本不等式”進(jìn)行證明，當(dāng)然也可利用柯西不等式進(jìn)行證明，還可以直接利用基本不等式來證明。

例8（1）設(shè)x1,x2,???,xn,y1,y2,???,yn?(0,??)，滿足：

（a）0?x1y1?x2y2?????xnyn;

（b）x1?x2?????xk?y1?y2?????yk,k?{1,2,???n}, 嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料

Http://004km.cn 歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》

Http://004km.cn

證明：1x?1?????1?1?1?????1.1x2xny1y2yn

（2）設(shè)A?{a1,a2,???,an}?N，對(duì)所有不同的子集B,C?A，有

?x??x，證明：

1x?Bx?a?1?????1?2.C1a2an

分析

可運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。

證明

（1）當(dāng)n?1時(shí)，x1?y11?0,x?1;1y1

當(dāng)n?2時(shí)，x1?x2?y1?y2，x1?y1?y2?x2，則

11x1?y1y2y?x???x2?1?1, 11x1y1x2y2x2y2

所以

1x?1?1?1.1x2y1y2

假設(shè)n?k時(shí)命題成立.那么，當(dāng)n?k?1時(shí)，設(shè)yi?xi?ai(i?1,2,???k?1)，由條件a1?0，a1?a2?0,???,a1?a2?????ak?0，a1?a2?????ak?1?0，有

a1xy?a2?????ak?0.11x2y2xkyk

下面用反證法證明以上結(jié)論.假設(shè)

a1x?a2x?????aky?0，則

1y12y2xkk0?a1aak?x?a2?????k?1 1y1x2y2xkykxk?1yk?1

?a1?a2?????aka?a2?????akx?1 1y1x2y2xkykxk?1yk?1

?(a11?a2?????ak)(xy?1y)+(a111?a2?????ak?1)(?)kkxk?1k?1xk?1yk?1xkyk嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料

Http://004km.cn

有

歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》

Http://004km.cn

+(a1?a2?????ak?2)(1111?)?????(a1?a2)(?)

x2y2x3y3xk?2yk?2xk?1yk?1

?a1(11?)?0, 矛盾.x1y1x2y2

所以，當(dāng)n?k?1時(shí)，原不等式成立.（2）對(duì)于集合A?{1,2,4,8,16,???,2n?1}，滿足對(duì)?B?C,B,C?A，有

11111????????2??2.，且x?x??n?1n?112422x?Bx?C

對(duì)所有A??{a1,a2,???,an}?N，不妨設(shè)a1?a2?????an.令a1?1（否則將ai都減去一個(gè)數(shù)，使a1?1），又使設(shè)A?中從第k個(gè)數(shù)開始，ak?2k?1(k?1,2,???,n)，則ak?1,2,???,2k?1?1,于是ak?2k?1，那么

ak?1?ak?(1?2?????2k?2)?2k?1?1?(1?2?????2k?2)?2k, 以此類推，則

111111?????????????n?1?2.2a1a2an12

評(píng)注 歸納法證明問題時(shí)，有時(shí)在第二步由n?k（或n?k）去推證n?k?1時(shí)，要用到反證法，或分析法。另外，本題的第（2）小題用到了“調(diào)整法”。

訓(xùn)練題

12．已知an?1?111??????(n?N*).23n試證：當(dāng)

n?2時(shí)，an?2(aa2a31??????n)?.23nn2證明：（1）當(dāng)n?2時(shí)，左邊=a2?(1?

a1291312)?;右邊=a2?2?2????2;2422229?2，所以，所證不等式成立.42

（2）假設(shè)n?k(k?2)時(shí)不等式成立，即ak?2(aa2a31??????k)?成立.23kk嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料

Http://004km.cn 歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》

Http://004km.cn

當(dāng)n?k?1時(shí)，ak?1?(ak?22a1212)?ak?k?2k?1k?1(k?1)2(ak?1?1)1k?1? 2k?1(k?1)

?2(aa2a31??????k)??23kk?2(aaa2a311 ??????k?k?1)??223kk?1k(k?1)akak?1a2a3k2?k?1

?2(???????)?223kk?1k(k?1)

akak?1a2a3akak?1a2a31k2?k?2(???????)?, ?2(???????)?223kk?1k?123kk?1k(k?1)

所以，當(dāng)n?k?1時(shí)，不等式也成立.由（1）、（2）可知，當(dāng)n?N,n?2時(shí)，所證不等式成立.2．對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,z，試證：1?1921?192(x?y2?9z2)?xy?2xz?3yz?(x?y2?9z2).66

證明：當(dāng)x?y?z時(shí)，所證不等式顯然成立.當(dāng)x,y,z不全為零時(shí)，x?y?9z?0, 將所證不等式可變形為

221?19xy?2xz?3yz1?19?2?.2266x?y?9zxy?2xz?3yz?k

① 222x?y?9z

令

①式中的x,y,z均可取一切實(shí)數(shù)（x,y,z不同時(shí)為零即可）.不妨取變量z作為考查對(duì)象.（1）當(dāng)z?0時(shí)，k?xy|xy|122?,即，由，得x?y?2|xy|x2?y2x2?y22?11?k?.22222

（2）當(dāng)z?0時(shí)，將①式整理，得kx?(y?2z)x?k(y?9z)?3yz?0，k可以為0，當(dāng)k?0時(shí)，不等式顯然成立；

嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料

Http://004km.cn 歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》

Http://004km.cn

當(dāng)k?0時(shí)，因x?R，???0，即??0或??0.由??0得??(y?2z)2?4k(ky2?9kz2?3yz)

?(1?4k2)y2?(4z?12kz)y?4z2(1?9k2)?0.1時(shí)，不等式顯然成立； 2

1當(dāng)k??時(shí)，?y?R,????0.當(dāng)k??

???(4z?12kz)2?4(1?4k2)4z2(1?9k2)?0.即16z2[(1?3k)2?(1?4k2)(1?3k)(1?3k)]?0, ?16z2?0,?(1?3k)2?(1?4k2)(1?3k)(1?3k)]?0

即(1?3k)k(k?1?191?191?191)(k?)?0.解得：?k??，或66630?k?1?19.6

同理，由??0，得(1?4k2)y2?(4z?12kz)y?4z2(1?9k2)?0，對(duì)任意實(shí)

2??1?4k?0,數(shù)y都滿足的充要條件是：?2222??????(4z?12kz)?4(1?4k)4z(1?9k)?0.解得?1?k?0.3 綜合以上，可得k的取值范圍是：

1?191?19?k?.66

由此可得1?19xy?2xz?3yz1?19?2?.即所證不等式成立.2266x?y?9z

說明：“雙判別式法”可以解決：

q(k1x2?k2y2?k3z2)?axy?bxz?cyz?p(k1x2?k2y2?k3z2)(ki?0,i?1,2,3)的三元二次齊次不等式的證明問題.BC內(nèi)一點(diǎn)O引三邊的平行線，DE//BC，F(xiàn)G//CA，HI//AB，點(diǎn)D、E、F、3．過?AG、H、I都在?ABC的邊上，S1表示六邊形DEFGHI的面積，S2表示?ABC的面嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料

Http://004km.cn 歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》

Http://004km.cn

積.求證：S1?2S2.3S2S2，只須證明S?AGH?S?DBI?S?EFC?2.注33S2.① 3

證明：欲證S1?意到平行四邊形AGOH、BIOD、CEOF，故命題的解決只在于能證明：S?OIF?S?OEH?S?OGD?設(shè)BC?a,CA?b,AB?c,IF?x,EH?y,GD?z，那么①式等價(jià)于

x2y2z21?2?2?.② 23abc依題設(shè)，有OE?CF，從而所以，yOECFzBI??,同理?.baacaxyzIF?CF?BI????1.③ abcax2y2z21xyz21由柯西不等式有，2?2?2?（??)?.3abc3abc故②式成立，命題成立。

4．已知a,b,c?(0,??)，且a?b?c?1，求證：

a(3a?1)b(3b?1)c(3c?1)???0.1?a21?b21?c2x 證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)?，易知f(x)在(0,1)上為增函數(shù)，所以對(duì)任意21?x

x?(0,1)，有

(x?)(1x3x(3x?1)3?)?0?(3x?1),，則31?x210101?x2 再分別令x?a,b,c，代入上式，相加得

5．已知a,b,c?(0,??)，且abc?1，a(3a?1)b(3b?1)c(3c?1)3???[3(a?b?c)?3]?0.222101?a1?b1?c證明：(a?b)(b?c)(c?a)?4(a?b?c?1).嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料

Http://004km.cn 歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》

Http://004km.cn

證明：不妨設(shè)

a?1，①式等價(jià)于a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b)?6?4(a?b?c)，即(a2?1)(b?c)?(b2?1)(a?c)?(c2?1)(a?b)?6?4a?3(b?c).因(a?1)(b?c)?4abc?4，只須證明：

4(a?1)?b2(a?c)?c2(a?b)?6?4a?3(b?c),即證：2?a(b2?c2)?(3?bc)(b?c)?0 ② 因2(b2?c2)?(b?c)2, 對(duì)于②式，只須證明： a(b?c)2?(3?bc)(b?c)?0.③ 2 把③左邊看作b?c的二次函數(shù)，判別式??(3?bc)2?4a.即證(3?bc)?4a?0，即證：(3?212)?4a.a 即4a3?9a2?6a?1?0, 分解因式可得(a?1)2(4a?1)?0，此不等式顯然成立.所以③式成立，即原不等式成立.嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料

Http://004km.cn

第四篇：不等式證明的技巧

不等式證明的技巧

知識(shí)與方法

證明不等式的方法很多，技巧性強(qiáng)；如較低要求的，在所證不等式兩端同乘以一個(gè)常數(shù)；1的代換；利用函數(shù)的單調(diào)性，等等。不等式證明的技巧，本人的理解有如下三個(gè)方面：

一．基本技巧

我認(rèn)為不等式的證明的基本思想和技巧是通過“放大和縮小”的思想和方法，對(duì)兩個(gè)數(shù)、兩個(gè)量、兩個(gè)式的值的大小關(guān)系的“確定”過程，這種大小關(guān)系的確定一般有比較法、分析法、綜合法三種基本方法。

二．構(gòu)造法

1．構(gòu)造重要不等式的結(jié)構(gòu)，再利用相關(guān)的重要不等式來證明不等式。

2．構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)來證明不等式。

3．構(gòu)造圖形，利用幾何知識(shí)來證明不等式。三．轉(zhuǎn)化法

1．反證法

2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法

3．變量代換法

4．從“特殊”到“一般”的轉(zhuǎn)化方法

5．以“直”代“曲”的轉(zhuǎn)化方法

6．“整體”與“部分”合理巧妙轉(zhuǎn)化

范例選講

例1 已知0?x?1，求證：|loga(1?x)|?|loga(1?x)|.分析 因所證不等式兩端是同底的對(duì)數(shù)、單項(xiàng)式，故“作差比較”、“作商比較”均可以。

解（作差比較）

（1）當(dāng)0?a?1時(shí)，因0?x?1，所以

|loga(1?x)|?|loga(1?x)|?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?0.（2）當(dāng)a?1時(shí)，因0?x?1，所以

|loga(1?x)|?|loga(1?x)|??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)?0.2綜合以上可知，所證不等式成立。

（作商比較）

因0?x?1，所以|loga(1?x)|?0，|loga(1?x)|?0，|loga(1?x)||loga(1?x)|?|log(1?x)(1?x)|??log(1?x)(1?x)?log(1?x)11?x?log(1?x)(1?x)?1

所以，|loga(1?x)|?|loga(1?x)|.評(píng)注

本題雖是一道很簡單的不等式證明題，也顯示出了證明不等式的技巧性：合理選擇方法，可以回避討論。

例2 實(shí)數(shù)a1,a2,???,an(n?3)滿足a1?a2?????an?n，且a1?a2?????an?n2.求證：max{a1,a2,a3,???,an}?2.分析 這是一道美國數(shù)學(xué)競賽試題，直接證明比較困難，因此，可考慮運(yùn)用反證法證明。

解

設(shè)a1,a2,???,an中有i個(gè)非負(fù)數(shù)，記為x1,x2,???,xi，有j個(gè)負(fù)數(shù)，記為

?y1,?y2,???,?yj(y1,y2,???,yj?0)，其中i?0,j?0，且i?j?n.不妨設(shè)max{a1,a2,a3,???,an}?2，即max{x1,x2,x3,???,xi}?2.因x1?x2?????xi?n?y1?y2?????yi，又max{x1,x2,x3,???,xi}?2，y1,y2,???,yj?0.則2i?x1?x2?????xi?n?y1?y2?????yi?i?j?y1?y2?????yj,所以i?j?y1?y2?????yj.因?yàn)?x1?x2?????xi?(?y1)?(?y2)?????(?yj))?n,所以

x1?x2?????xi?n?(y1?y2?????yj).又因?yàn)?max{x1,x2,x3,???,xi}?2，y1,y2,???,yj?0，所以 4i?x1?x2?????xi?n?(y1?y2?????yj)?n?(i?j)

?(i?j)?(i?j)?4ij.因 i?0，故j?1，且j?0，則j?0.所以a1,a2,???,an都為非負(fù)數(shù).即4n?a1?a2?????an?n,因而n?4，這與n?3相矛盾，******2

即假設(shè)不成立，所證結(jié)論：max{a1,a2,a3,???,an}?2成立.評(píng)注

反證法的實(shí)質(zhì)是從否定結(jié)論出發(fā)，通過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾。運(yùn)用“正難則反”的策略，是證明不等式中常見技巧。

例3 平面上給定一個(gè)由有限多條線段組成的集合，線段總長為1.證明：存在一條直線l，.?

分析 可將給定的線段排序，再通過中心對(duì)稱構(gòu)造一個(gè)周長為2的凸多邊形。

2使得已給線段在l上的射影之和小于解 證明：取一條不與已給線段垂直的直線作x軸，將所給線段按照斜率的大小排成一列：

非負(fù)的下角標(biāo)則表示斜率非l?n,l?n?1,???,l?1,???,lm（其中負(fù)的下角標(biāo)表示該線段的斜率為負(fù)，負(fù)）。經(jīng)過平移可以將這些線段按照上面的次序一個(gè)接一個(gè)地首尾相連形成一條凸折線。設(shè)端點(diǎn)為A、B，AB中點(diǎn)為O。關(guān)于O作中心對(duì)稱，產(chǎn)生一個(gè)凸多邊形（包括退化為直線段），周長為2，每一條邊與對(duì)應(yīng)邊平行（或共線）。

這個(gè)多邊形的最小寬度，也就是各對(duì)平行邊之間的最小距離，設(shè)為d，以O(shè)為圓心，d為直徑的圓一定完全在多邊形內(nèi)，否則，設(shè)圓O與某條邊li相交于X，那么X關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)X?是圓O與對(duì)邊li?的交點(diǎn)，li與li?的距離小于XX?，即小于d，與d為最小寬度矛盾。

由于圓O的周長為?d，所以?d?2，即d?圓的周長最小。

取直線l與距離最小的平行邊垂直，則各已知線段在l上的射影之和不超過d，也就小于.?

評(píng)注 本題的解答過程中通過“排序----平移----中心對(duì)稱”等方法上的處理使所給線段呈現(xiàn)一種簡單有序的易于估算的狀態(tài)，困難得以化解。這種通過對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等變換，以直代22?，這是因?yàn)槊娣e一定的閉曲線中，以曲，將復(fù)雜的不等式化歸為基本不等式是一種重要的技巧。

2例4 設(shè)?ABC三邊長為a,b,c，有不等式?(b?c)?1?3b?ca(b?c),------①

2試證不等式①中的系數(shù)

分析 可將系數(shù)1313是最優(yōu)的.13一般化，設(shè)系數(shù)為k，再證明k的取值范圍是k?.證明 在不等式①中，取a?b，設(shè)??

?(a?b)?(b?c)?(c?a)?k[222?(a?b)?k?2a?bc(a?b)

b?ca2(b?c)?b?cb2c?ab2(c?a)?2a?bc2(a?b)] 令a?b，所以??2(b?c)?2k(b?c)?2k(b?c)b[b(1?kk)?c], 又因在?ABC中，三邊長為a,b,c，取a?b，顯然有不等式2b?c?0,所以，要使??0，注意到k為正數(shù)，則須是成立的，故k?131?kk?2，即k?13，但已證不等式①

是不等式①的最優(yōu)值.評(píng)注 將“特殊”向“一般”轉(zhuǎn)化也是常見的技巧。

例5 設(shè)x,y,z?(0,??)，且xyz?1，證明

x

3(1?y)(1?z)?y3(1?x)(1?z)?z3(1?x)(1?y)?34.（1998年第39屆IMO預(yù)選試題）

分析 可利用均值不等式構(gòu)造三個(gè)同向不等式相加來進(jìn)行證明，也可以將所證不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化。

證法一: 因x,y,z?(0,??)，所以

x3

(1?y)(1?z)y3?1?y81?x8?1?z81?z8?343434x,①

4(1?x)(1?z)z3???y,②

(1?x)(1?y)?1?x8?1?y8x3?z,③

以上三式相加可得：3418(1?y)(1?z)?y3(1?x)(1?z)12?z3(1?x)(1?y)34?12

3434?(x?y?z)?(6?2x?2y?2z)?(x?y?z)??33xyz??.上述不等式都是在x?y?z?1時(shí)取等號(hào).所以，當(dāng)且僅當(dāng)x?y?z?1時(shí)原不等式取等號(hào).證法二: 原不等式等價(jià)于

x?x?y?y?z?z?343434334(x?1)(y?1)(z?1).33

由于對(duì)任意正數(shù)a,b,c，有a?b?c?3abc，下面證明更強(qiáng)的不等式：

x?x?y?y?z?z?43434314[(x?1)?(y?1)?(z?1)]

④ 成立.333 設(shè)f(t)?t4?t3? 則f(t)?

x?x?y?y?z?z?434343142(t?1)，g(t)?(t?1)(4t?3t?1).314(t?1)g(t)，且g(t)在(0,??)上是嚴(yán)格遞增函數(shù)，因?yàn)?/p>

1414[(x?1)?(y?1)?(z?1)]?f(x)?f(y)?f(z)(y?1)g(y)?1414(z?1)g(z).14(z?1)g(z)?0即可.333

?14(x?1)g(x)?只需證明(x?1)g(x)?4(y?1)g(y)?

其證明如下：

假設(shè)x?y?z，則g(x)?g(y)?g(z)?0.由xyz?1，得x?1，z?1.因(x?1)g(x)?(x?1)g(y)，(z?1)g(y)?(z?1)g(z),所以14(x?1)g(x)?1414(y?1)g(y)?1414(z?1)g(z)

?(x?y?z?3)g(y)?(33xyz?3)g(y)?0.故原不等式成立.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x?y?z?1時(shí)成立.評(píng)注

證法1利用均值不等式進(jìn)行證明，顯得簡潔、清晰；證法2是將所證不等轉(zhuǎn)化為更強(qiáng)的不等式，再進(jìn)行證明。

例6

已知x,y,z?(0,??)，且x?y?z?1，證明：xy?yz?zx?

分析 因xy?yz?zx是關(guān)于x,y,z的輪換對(duì)稱式。

證明 設(shè)x?max{x,y,z}，又因x,y,z?(0,??)，則xy?yz?zx?xy?xyz?zx?x(xy?yz?z)

?x[y(x?z)?

?12z(z?x)]?12x(x?z)(2y?z)***成立的條件.1x?(x?z)?(2y?z)34[]?.232721不等式等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x?,y?,z?0或x?0,y?,z?3333x?13,y?0,z?23或時(shí)成立.評(píng)注

對(duì)于“輪換對(duì)稱式”，不能將其中的變量排序；有時(shí)只能找到一個(gè)最小字母作“弱”排序。

例7

設(shè)a,b,c?(0,??)，且滿足abc?1，試證：

1a(b?c)?1b(c?a)3?1c(a?b)3?32.分析 由已知條件abc?1，可知所證不等式與

bc22a(b?c)?ca22b(c?a)?ab22c(a?b)?32等價(jià).故可運(yùn)用“含參數(shù)基本不等式”來證明之.證明 由a?(?b)?2ab?（?為參數(shù)），得

則有(bc)222a2b?2?a??b.2a(b?c)(ca)2?2?bc??a(b?c),①

b(c?a)(ab)2?2?ca??b(c?a),②

2c(a?b)?2?ab??c(a?b).③ ①+②+③，得(bc)2a(b?c)?(ca)2b(c?a)?(ab)2c(a?b)2?2?(ab?bc?ca)?2?(ab?bc?ca)?2(ab?bc?ca)(???).④

因ab?bc?ca?33(abc)(bc)22?3，取??212，代入④中，得 32

a(b?c)?(ca)2b(c?a)?(ab)c(a?b)?2?3?14?.評(píng)注

本題是先將所證不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再運(yùn)用“含參數(shù)基本不等式”進(jìn)行證明，當(dāng)然也可利用柯西不等式進(jìn)行證明，還可以直接利用基本不等式來證明。

例8（1）設(shè)x1,x2,???,xn,y1,y2,???,yn?(0,??)，滿足：

（a）0?x1y1?x2y2?????xnyn;

（b）x1?x2?????xk?y1?y2?????yk,k?{1,2,???n}，證明：11x??111x?????12xny???11y???2y.n

（2）設(shè)A?{a1,a2,???,an}?N，對(duì)所有不同的子集B,C?A，有

?x??x，證明：

11x?Bx?Ca?1?????1a2a?2.n

分析

可運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。

證明

（1）當(dāng)n?1時(shí)，x1?y1?0,1x?11y;當(dāng)n?2時(shí)，x1?x2?y1?y2，x1?y1?y2?x2，則

1?x21y?1?11x?x1?y11x?y21y1x2y?2x2y，2

所以

1?1?1x?1y.1x2y12

假設(shè)n?k時(shí)命題成立.那么，當(dāng)n?k?1時(shí)，設(shè)yi?xi?ai(i?1,2,???k?1)，由條件a1?0，a1?a2?0,???,a1?a2?????ak?0，a1?a2?????ak?1?0，有

a1x?a2????ak1y1x2y?2x0.ky?k

下面用反證法證明以上結(jié)論.假設(shè)

a1x????ak1y?a21x2y?2x0，則ky?k0?a1akx?a2x?

1y1x?ak?12y????2kykxk?1yk?1

?a1a2akx?x??????a1?a2?????ak1y12y2xkykx

k?1yk?1

?(a11?a2?????a1k)(xky?kx(a1?a2?????ak?1)(1k?1y)+k?1xk?1y?1k?1x)

kyk有

+(a1?a2?????ak?2)(1xk?2yk?2?1x2y2?1xk?1yk?1)?????(a1?a2)(1x2y2?1x3y3)

?a1(1x1y1)?0, 矛盾.所以，當(dāng)n?k?1時(shí)，原不等式成立.（2）對(duì)于集合A?{1,2,4,8,16,???,2n?1}，滿足對(duì)?B?C,B,C?A，有

?x?Bx??x?C11111x，且???????n?1?2?n?1?2.12422

對(duì)所有A??{a1,a2,???,an}?N，不妨設(shè)a1?a2?????an.令a1?1（否則將ai都減去一個(gè)數(shù)，使a1?1），又使設(shè)A?中從第k個(gè)數(shù)開始，k?1k?1k?1?1,于是ak?2，那么

ak?2(k?1,2,???,n)，則ak?1,2,???,2k?2k?1k?2k?1?(1?2?????2)?2, ak?1?ak?(1?2?????2)?2

以此類推，則

1a1?1a2?????1an?11?12?????12n?1?2.評(píng)注 歸納法證明問題時(shí)，有時(shí)在第二步由n?k（或n?k）去推證n?k?1時(shí)，要用到反證法，或分析法。另外，本題的第（2）小題用到了“調(diào)整法”。

訓(xùn)練題

1．已a(bǔ)22知a33an?1?12?13?????1n(n?N).*試證：當(dāng)n?2時(shí)，an?2(2??????ann)?1n.證明：（1）當(dāng)n?2時(shí)，左邊=a2?(1?

94?2，所以，所證不等式成立.212)2?94;右邊=a2?2?2a22?12?32?12?2;

（2）假設(shè)n?k(k?2)時(shí)不等式成立，即ak?2(2a22?a33?????akk)?1k成立.當(dāng)n?k?1時(shí)，ak?1?(ak?21k?1)?ak?222akk?1?1(k?1)2

?2(a22?a33?????akk)?1k2(ak?1??)1k?1 ?2k?1(k?1)1?2(a22a22?a33a33?????akkakk?ak?1k?1ak?1k?1)?1kk2?1(k?1)2

?2（?2(a22?a33???????)??k?12k(k?1)

?????akk?ak?1k?1)?k2?k2k(k?1)?2(a22?a33?????akk?ak?1k?1)?1k?1，所以，當(dāng)n?k?1時(shí)，不等式也成立.由（1）、（2）可知，當(dāng)n?N,n?2時(shí)，所證不等式成立.2．對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,z，試證：1?619(x?y?9z)?xy?2xz?3yz?2221?619(x?y?9z).22證明：當(dāng)x?y?z時(shí)，所證不等式顯然成立.當(dāng)x,y,z不全為零時(shí)，x?y?9z?0, 將所證不等式可變形為

1?619xy?2xz?3yzx?y?9z222222

??1?619.令xy?2xz?3yzx?y?9z222?k

①

①式中的x,y,z均可取一切實(shí)數(shù)（x,y,z不同時(shí)為零即可）.不妨取變量z作為考查對(duì)象.（1）當(dāng)z?0時(shí)，k?1212xyx?y22，由x?y?2|xy|，得

22|xy|x?y22?12,即??k?.222

（2）當(dāng)z?0時(shí)，將①式整理，得kx?(y?2z)x?k(y?9z)?3yz?0，k可以為0，當(dāng)k?0時(shí)，不等式顯然成立； 當(dāng)k?0時(shí)，因x?R，???0，即??0或??0.由??0得??(y?2z)2?4k(ky2?9kz2?3yz)

?(1?4k2)y2?(4z?12kz)y?4z2(1?9k2)?0.當(dāng)k??

當(dāng)k??1212時(shí)，不等式顯然成立； 時(shí)，?y?R,????0.???(4z?12kz)2?4(1?4k2)4z2(1?9k2)?0.即16z2[(1?3k)2?(1?4k2)(1?3k)(1?3k)]?0, ?16z2?0,?(1?3k)2?(1?4k2)(1?3k)(1?3k)]?0

1?6191?6191?6191

3即(1?3k)k(k?)(k?)?0.解得：?k??，或0?k?1?619.同理，由??0，得(1?4k2)y2?(4z?12kz)y?4z2(1?9k2)?0，對(duì)任意實(shí)

2??1?4k?0,數(shù)y都滿足的充要條件是：?2222??????(4z?12kz)?4(1?4k)4z(1?9k)?0.解得?13?k?0.綜合以上，可得k的取值范圍是：

1?619?k?1?619.由此可得1?619?xy?2xz?3yzx?y?9z222?1?619.即所證不等式成立.說明：“雙判別式法”可以解決：

q(k1x?k2y?k3z)?axy?bxz?cyz?p(k1x?k2y?k3z)(ki?0,i?1,2,3)222222的三元二次齊次不等式的證明問題.3．過?ABC內(nèi)一點(diǎn)O引三邊的平行線，DE//BC，F(xiàn)G//CA，HI//AB，點(diǎn)D、E、F、G、H、I都在?ABC的邊上，S1表示六邊形DEFGHI的面積，S2表示?ABC的面積.求證：S1?23S2.證明：欲證S1?23只須證明S?AGH?S?DBI?S?EFC?S2，S23.注意到平行四邊形AGOH、BIOD、CEOF，故命題的解決只在于能證明：S?OIF?S?OEH?S?OGD?S23.①

設(shè)BC?a,CA?b,AB?c,IF?x,EH?y,GD?z，那么①式等價(jià)于 xa22?yb22?zc22?13.②

ybOEaCFazcBIa依題設(shè)，有OE?CF，從而所以，xa?yb?zc?IF?CF?BIa??,同理?.?1.③

2由柯西不等式有，xa22?yb2?zc221xyz21?（??)?.3abc3故②式成立，命題成立。

4．已知a,b,c?(0,??)，且a?b?c?1，求證：

a(3a?1)1?a2?b(3b?1)1?b2?c(3c?1)1?cx1?x22?0.證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)?x?(0,1)，有，易知f(x)在(0,1)上為增函數(shù)，所以對(duì)任意(x?131?x)(x2?310)?0，則

x(3x?1)1?x2?310(3x?1)，再分別令x?a,b,c，代入上式，相加得

5．已知a,b,c?(0,??)，且abc?1，a(3a?1)1?a2?b(3b?1)1?b2?c(3c?1)1?c2?310[3(a?b?c)?3]?0.證明：(a?b)(b?c)(c?a)?4(a?b?c?1).證2明2：

2不妨設(shè)a?1，①式等價(jià)于a(b?c)?b(a?c)?c(a?b)?6?4(a?b?c)，即(a2?1)(b?c)?(b2?1)(a?c)?(c2?1)(a?b)?6?4a?3(b?c).因(a?1)(b?c)?4abc?4，只須證明：

4(a?1)?b2(a?c)?c2(a?b)?6?4a?3(b?c),即證：2?a(b2?c2)?(3?bc)(b?c)?0 ②

因2(b2?c2)?(b?c)2, 對(duì)于②式，只須證明： a2(b?c)?(3?bc)(b?c)?0.③ 2 把③左邊看作b?c的二次函數(shù)，判別式??(3?bc)2?4a.即證(3?bc)2?4a?0，即證：(3?1a)?4a.即4a3?9a2?6a?1?0, 分解因式可得(a?1)2(4a?1)?0，此不等式顯然成立.所以③式成立，即原不等式成立.

第五篇：不等式的證明技巧

不等式的證明策略不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內(nèi)容結(jié)合.高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，純不等式的證明，歷來是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，本難點(diǎn)著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.●難點(diǎn)磁場(chǎng)

[例1]．已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求證：(a+

1125)(b+)≥.ba

4［例2］求使x?y≤ax?y(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.知識(shí)依托：該題實(shí)質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊(yùn)含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有

關(guān)性質(zhì)把a(bǔ)呈現(xiàn)出來，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值.解法一：由于a的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方，得：x+y+2xy≤a2(x+y)，即2xy≤(a2－1)(x+y)，∴x，y＞0，∴x+y≥2xy，①②

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，②中有等號(hào)成立.比較①、②得a的最小值滿足a2－1=1，∴a2=2，a=2(因a＞0)，∴a的最小值是2.解法二：設(shè)u?

x?y

(x?y)2??

x?yx?y

x?y?2xy2xy

.?1?

x?yx?y

∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2xy(當(dāng)x=y時(shí)“=”成立)，∴

2xy2xy

≤1，的最大值是1.x?yx?y

從而可知，u的最大值為?1?2，又由已知，得a≥u，∴a的最小值為2.解法三：∵y＞0，∴原不等式可化為

x

+1≤ayx

?1，y

設(shè)

x?=tanθ，θ∈(0，).y

2∴tanθ+1≤atan2??1；即tanθ+1≤asecθ∴a≥sinθ+cosθ=2sin(θ+

?

4)，③

又∵sin(θ+?

4)的最大值為1(此時(shí)θ=?4).由③式可知a的最小值為2.●錦囊妙計(jì)

1.不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法.(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細(xì)敘述；如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式，則考慮用判別式法證.(2)綜合法是由因?qū)Ч治龇ㄊ菆?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提，充分運(yùn)用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開擴(kuò)視野.2.不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法、增量代換法，‘1’代換法等，換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時(shí)，要注意代換的等價(jià)性.放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考查.有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.證明不等式時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點(diǎn).●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、填空題

ab1.已知x、y是正變數(shù)，a、b是正常數(shù)，且?=1，x+y的最小值為__________.xy2.設(shè)正數(shù)a、b、c、d滿足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，則ad與bc的大小關(guān)系是__________.3.)若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，則m、n、p、q的大小順序是__________.二、解答題

4.已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，a+b+c=1.求證：(1)a2+b2+c2≥1

3(2)3a?2?b?2?c?2< 6

12，證明：x，y，z∈［0，］23

b?c2c?a2a?b26.若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，證明：z≥2(xy+yz+zx)x?y?abc5.已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=

7.若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求證：a+b≤2，ab≤1.8.設(shè)a,b,c?R?,求證:

9.證明下列不等式：

（1x≥4)；

（2）證明：ab?cd 1?1?1≥1?1?1。2a2b2cb?cc?aa?b

10.已知a、b、c?（0，1），求證：(1?a)b，(1?b)c，(1?c)a，不能均大于4。（反證法）

52211.a，b?R，且a＋b = 1，求證：(a＋2)＋(b＋2)≥2；（增量代換法）

12.（‘1’代換法）1 1? b ? c ? 1,? ? ? 9.已知 a , b , c ? R ? , 且 aa b c

x?xx?x13.已知 1?a?2，x≥1，f(x)?a?a，g(x)?2?2； 2

2(1)比較f(x)與g(x)的大小；

(2)設(shè)n?N，n≥1，求證：f(1)?f(2)???f(2n)?4n?

x?xx?x(ax?2x)(2xax?1)a?a2?2??解：(1)f(x)?g(x)? 222x?1ax1。2?ax?2x,2xax?1?0，且2xax?0，?f(x)?g(x)?0，即f(x)?g(x)。

(2)由（1）f(1)?f(2)?f(3)?????f(2n)?g(1)?g(2)?g(3)?????g(2n)

?1(2?22?????22n)?1(1?

12?????1)222222n)?4n?1

=4n?1(1?1222

1?f(1)?f(2)???f(2n)?4n?n，得證。2

不等式練習(xí)題

一、選擇題

1、若a,b是任意實(shí)數(shù),且a＞b,則()

（A）a2＞b2（B）b11＜1（C）lg(a-b)＞0（D）()a＜()b

a222、下列不等式中成立的是()

1+a≥2(a?0)a

t?111（C）＜(a＞b)（D）a≥a(t＞0,a＞0,a?1)ab（A）lgx+logx10≥2(x＞1)（B）

3、已給下列不等式(1)x3+ 3 >2x(x∈R);(2)a5+b5> a3b2+a2b3(a ,b∈R);

(3)a2+b2≥2(a－b－1), 其中正確的個(gè)數(shù)為()

(A)0個(gè)(B)1個(gè)(C)2個(gè)(D)3個(gè)

4、設(shè)x2+y2 = 1, 則x +y()

(A)有最小值1(B)有最小值

2(C)有最小值－1(D)有最小值－25、不等式|x＋5|＞3的解集是()

(A){x|－8＜x＜8}(B){x|－2＜x＜2}

(C){x|x＜－2或x＞2(D){x|x＜－8或x＞－

26、若a，b，c為任意實(shí)數(shù)，且a＞b，則下列不等式恒成立的是()

(A)ac＞bc(B)|a＋c|＞|b＋c|(C)a2＞b2(D)a＋c＞b＋c

x?31x2?2x?

327、設(shè)集合M={x|≤0},N={x|x+2x-3≤0},P={x|()≥1},則有()x?1

2（A）M?N=P（B）M?N?P（C）M=P?N（D）M=N=P8、設(shè)a,b∈R,且a+b=3,則2a+2b的最小值是()

（A）6（B）42（C）22（D）269、若關(guān)于x的不等式ax2＋bx－2＞0的解集是???,????,???，則ab等于()

(A)－24(B)24(C)14(D)－1410、如果關(guān)于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是()

(A)(??,2](B)(??,?2)(C)(?2,2](D)(－2,2)

二、填空題 ??1??12??3??

b24、a≥0,b≥0,a＋=1,則a?b2的最大值是________.226、x＞1時(shí)，f(x)=x＋116x?2的最小值是________，此時(shí)x=________.xx?

17、不等式log4(8x－2x)≤x的解集是________.8、不等式11?的解集是________.xx4?12?

3練習(xí)答案

一、DAC DDDAB BC

二、1、1?5322、8,2＋

33、(0,log2)

4、0 24