數(shù)學(xué)競賽中的局部調(diào)整策略

局部調(diào)整法，就是為了解決某個(gè)問題，從與問題有實(shí)質(zhì)聯(lián)系的較寬要求開始，然后充分利用已獲得的結(jié)果作為基礎(chǔ)，逐步加強(qiáng)要求，逐步逼近目標(biāo)，直至最后徹底解決問題的一種解題方法。

這種方法在解決數(shù)學(xué)競賽問題中有著廣泛的應(yīng)用，本文舉例闡述應(yīng)用這種方法解題的基本策略。

例1

已知銳角三角形中，在的內(nèi)部（包括邊界）上找一點(diǎn)，使得到三邊的距離之和最小。[來源:學(xué)§科§網(wǎng)Z§X§X§K]

分析

先對(duì)在邊界上時(shí)，研究點(diǎn)在什么位置時(shí)，到三邊距離之和最小，然后再對(duì)在的內(nèi)部時(shí)進(jìn)行研究。

A

B

C

P

圖1

解

（一）先研究在的邊界上時(shí)

（1）若在邊上

如圖1，記的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的邊分別是，邊上的高分別為，到邊的距離分別為，連。

由面積關(guān)系得，時(shí)取等號(hào)）。即在點(diǎn)處時(shí)，到三邊距離之和最小。

（2）若在邊上，在點(diǎn)處時(shí)，到三邊距離之和最小。

A

B

C

E

P

F

H

G

圖2

（3）若在邊上，在點(diǎn)處時(shí)，到三邊距離之和最小。

綜合（1），（2），（3），當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，到三邊距離

之和最小。

（二）再研究在內(nèi)部時(shí)

如圖2，過作的平行線交于，交

于，固定，由（一）知，讓變化，有，.綜合（一）（二）知，當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，最小。

評(píng)注

本題先對(duì)在邊界上進(jìn)行調(diào)整，獲得問題的局部解決。經(jīng)過若干次這樣的局部調(diào)整，逐步逼近目標(biāo)，最終得到問題的整體解決。

例2

已知正實(shí)數(shù)，滿足，求證：.[來源:學(xué)科網(wǎng)]

分析

從特殊情形入手，時(shí)不等式成立，然后研究一般情況，通過局部調(diào)整解決問題。

證明

當(dāng)時(shí)不等式成立。

當(dāng)中不全為1時(shí)，其中必有一個(gè)屬于（0，1），一個(gè)屬于，據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè).[來源:Zxxk.Com]

（1）若。

（2）若，即

作第一次調(diào)整：令下證.即證

①.令,則.記，，①的左邊=右邊=。①

成立。

=，其中

再繼續(xù)調(diào)整，可得.評(píng)注

本題調(diào)整的目的是逐步將求證不等式左邊各項(xiàng)變?yōu)椋瑧?yīng)注意每次調(diào)整應(yīng)使各變量的積為1，而且放大。

例3

在1，2，3，…，1989每個(gè)數(shù)前添上，使其代數(shù)和為最小的非負(fù)數(shù)，并寫出算式（全俄1998年數(shù)學(xué)競賽題）

解

先證其代數(shù)和為奇數(shù)。

從簡單情形考慮：全添上“+”，此時(shí)是奇數(shù)。[來源:Z#xx#k.Com]

對(duì)一般情況，只要將若干個(gè)“+”調(diào)整為。

奇偶性相同，故每次調(diào)整，其代數(shù)和的奇偶性不變，即總和為奇數(shù)。

而，因此這個(gè)最小值是1。[來源:Z*xx*k.Com]

評(píng)注

在不斷調(diào)整，變化過程中，挖掘不變量（或不變性質(zhì)）使問題迎刃而解。

例4

空間有2003個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)不共線，把它們分成點(diǎn)數(shù)各不相同的30組，在任何三個(gè)不同的組中各取一點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，問要使這種三角形的總數(shù)為最大，各組的點(diǎn)數(shù)應(yīng)為多少？

分析

設(shè)分成的30組的點(diǎn)數(shù)分別是，其中互不相等，則滿足題設(shè)的三角形的總數(shù)為

。問題轉(zhuǎn)化為在其中為互不相等的正整數(shù)的條件下，求的最大值。

解

設(shè)分成的30組的點(diǎn)數(shù)分別是，其中互不相等，則滿足題設(shè)的三角形的總數(shù)為。由對(duì)稱性，不妨設(shè)，（1）在中，讓變化，其余各組的點(diǎn)數(shù)不變，因?yàn)榈闹挡蛔?，注意?/p>

①，要使的值最大，只需的值最大。如果，令，則，的值變大。因此要使的值最大，對(duì)任何都有。

（2）若中，使（）的的值不少于2個(gè)，不妨設(shè)

。類似（1），令，其余各組的點(diǎn)數(shù)不變，則的值變大。因此要使的值最大，至多有一個(gè)使。

（3）若對(duì)任何。設(shè)這30組的點(diǎn)數(shù)分別是，則，這是不可能的。

綜上，要使的值最大，對(duì)任何在中恰有一個(gè)為2，其余均為1。設(shè)這30組的點(diǎn)數(shù)分別是（，則，即，解得所以當(dāng)分成的30組的點(diǎn)數(shù)分別是52，53，…，73，75，…，82時(shí)，能使三角形的總數(shù)最大。

評(píng)注

解決本題的關(guān)鍵是把多元函數(shù)視為二元函數(shù)，通過調(diào)整兩個(gè)變量的取值，使的值最大，最終獲得問題的解決。

以上例題說明，局部調(diào)整法解決數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)就是從問題的特殊情況入手，尋求問題的局部解決，通過逐步調(diào)整，獲得問題的全部解決，體現(xiàn)了從特殊到一般的思想。在解決多元極值問題、多元不等式的證明及操作性問題時(shí)常用.以下問題供讀者練習(xí):

1.求和為2003的正整數(shù)之積的最大值。（答案：）

2．設(shè)為空間四點(diǎn)，連線段中至多有一條長度大于1，試求這6條線段長度之和的最大值。（1985年美國數(shù)學(xué)競賽題）（答案：）