一堂排列與組合復(fù)習(xí)課

排列與組合應(yīng)用題是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，許多同學(xué)感到方法靈活，對(duì)于問題給出的解法能看懂，但自己解決往往得不到正確的結(jié)果，并且不知道錯(cuò)在哪里，由此產(chǎn)生對(duì)排列組合應(yīng)用題的畏懼心理。筆者在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中體會(huì)到，在高三復(fù)習(xí)課教學(xué)中，先把學(xué)生的想法充分地暴露出來，再引導(dǎo)學(xué)生從困惑中走出來，能有效提高學(xué)生解決排列組合應(yīng)用題的能力。下面是一堂課的教學(xué)實(shí)錄。[來源:Z§xx§k.Com][來源:學(xué)科網(wǎng)]

呈現(xiàn)問題，暴露錯(cuò)誤

范例

8個(gè)人排成一隊(duì)，三人互不相鄰，兩人也互不相鄰的排法共有多少種？

教師：本題有兩個(gè)限制條件：一是三人互不相鄰；二是兩人也互不相鄰。如果暫時(shí)去掉一個(gè)限制條件，我們會(huì)做嗎？（很多學(xué)生點(diǎn)頭表示會(huì)做）請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真思考后，談出你的做法。

（留出一定時(shí)間讓學(xué)生思考和互相交流，以分別形成明確的思路。）

生1：我的做法是這樣的，把沒有特殊要求的三人記為。分三步完成：第一步，將全排列，有種排法；第二步，在站位的間隔和兩端處插入三人，有種方法；第三步，在，站位的間隔和兩端處插入兩人，有種方法。據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，所求的排法種數(shù)為=6048。[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]

生2：我的做法與他（生1）的差不多，第一步完全一樣，有種排法；第二步，排，有種排法；第三步，排，有種排法。據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，所求的排法種數(shù)為=8640。我感到很困惑，結(jié)果怎么會(huì)與他（生1）不一樣，難道我倆都錯(cuò)了？

發(fā)現(xiàn)錯(cuò)因

變誤為正

教師：生2感到很困惑，大家是否也有同感（不少學(xué)生點(diǎn)頭認(rèn)可）。好，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們探討一下生1的做法對(duì)不對(duì)？

（約2分鐘后，一學(xué)生發(fā)言了。）

生3：生1的做法是錯(cuò)的，錯(cuò)就錯(cuò)在第二步，他在第二步就把隔開（即兩兩不相鄰）了，其實(shí)第二步排時(shí)可以恰有兩個(gè)相鄰，也可以三人連在一起，所以生1做出的結(jié)果比正確結(jié)果少了。

教師（生3的觀點(diǎn)得到了全班同學(xué)的認(rèn)同后）：下面請(qǐng)同學(xué)們一起來修正生1的解法。

（此時(shí)有幾個(gè)同學(xué)爭(zhēng)著要發(fā)言）

生4：所有的排法可分為如下3類：第1類，在未排時(shí)互不相鄰，有種排法；第2類，在未排時(shí)中恰有兩個(gè)相鄰，有種排法；[來源:學(xué)|科|網(wǎng)]

第3類，在未排時(shí)三人連排在一起，有種排法。據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，所求的排法種數(shù)為++=11520。

教師（面向生4）：請(qǐng)你說說，第2類、第3類是如何分步的？

生4：（已表示在各個(gè)括號(hào)中，此處略去解釋）

教師：很好！生4的做法完全正確。生4考慮問題既全面（合理分類）又細(xì)致（合理分步），值得大家學(xué)習(xí)。這里生1的錯(cuò)誤得到了修正，下面請(qǐng)同學(xué)們修正生2的錯(cuò)誤。

（片刻后，不少學(xué)生舉手了）

生5：所有的排法分為如下2類：第1類，在未排時(shí)互不相鄰，有種排法；第2類，在未排時(shí)相鄰，有種。據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，所求的排法種數(shù)為+=11520。結(jié)果，與生4所得的一樣了。

教師：現(xiàn)在我們比較一下這兩種做法，哪一種較簡(jiǎn)便？由于的位置關(guān)系只有兩種，故后一種較為簡(jiǎn)便。那么，還有沒有其他方法呢？

繼續(xù)探索

優(yōu)化思維

生2：先放棄兩人互不相鄰這一限制條件，三人互不相鄰的排法有種，去掉其中兩人相鄰的排法有種，故共有=11520種。

教師：想得非常好！看來用排除法比用直接法方便。因?yàn)榕懦ê?jiǎn)便在反面情況的排法容易求出。

生6：我也用排除法，先放棄兩個(gè)限制條件，所有的排法有種，去掉三人排

在一起或二人排在一起的排法，故共有=27360種，不是正確結(jié)果，我不知道錯(cuò)在哪里？[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]

教師：生6似乎很有道理，到底錯(cuò)在哪里呢？又這種方法是否可?。?/p>

（終于，有學(xué)生又開腔了。教師懸著的心可落地了）

生2：生6的錯(cuò)誤在于，三人互不相鄰的反面不是三人全排在一起，三人全排在一起只是它的反面的一種情況；還有一種情況是三人恰有兩人相鄰。放棄兩個(gè)限制條件，導(dǎo)致很難求出不滿足限制條件的排法種數(shù)，所以這種思路不可取！

（在多數(shù)學(xué)生表示認(rèn)同生2的說法后）

教師：排除法是解決有兩個(gè)限制條件的排列問題的常用方法，通常的做法是先放棄一個(gè)限制條件，求出排法的種數(shù)；再剔除不滿足該限制條件的排法個(gè)數(shù)。至于放棄哪一個(gè)限制條件也是值得考慮的，如本題，若先放棄三人互不相鄰這一限制條件，則較難剔除不滿足該限制條件的排法個(gè)數(shù)。

因勢(shì)利導(dǎo)

自編問題

教師：我們能不能在原問題的基礎(chǔ)上編制一個(gè)問題，答案是，讓生6的錯(cuò)誤也有價(jià)值？

生7

8人排成一隊(duì)，三人不全排在一起，二人也不排在一起的排法有多少種？

教師：這一次，三人不全排在一起，就是三人被隔開排列了；或是三人中恰有兩人連排在一起，它的反面才是三人連排在一起。

小結(jié)：這節(jié)課，我們借助于一道有兩個(gè)限制條件的排列問題，通過對(duì)兩位同學(xué)的錯(cuò)誤解法的分析，尋找其合理成分，得到了兩種正確的方法（直接法），真可謂錯(cuò)誤也是正確解法的先導(dǎo)！進(jìn)一步探索，我們又得到了間接法，兩個(gè)不同角度的排除卻得到兩種迥然不同的結(jié)果，雖然另一種排除法錯(cuò)了，卻又是多么相似的問題的答案，這就告戒我們解決計(jì)數(shù)問題時(shí)要注意題目的細(xì)微區(qū)別！

作業(yè)：1.在本節(jié)課例題的基礎(chǔ)上至少改編出兩個(gè)問題,并給出解答.2.從多個(gè)角度來探討下列問題:

甲、乙兩隊(duì)各出7名隊(duì)員按事先排好的順序出場(chǎng)參加圍棋擂臺(tái)賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方2號(hào)隊(duì)員比賽，到一方隊(duì)員全部淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一種比賽過程，那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程的種數(shù)是多少？

說明與反思

本節(jié)課以一個(gè)排列問題為載體，通過暴露學(xué)生的錯(cuò)誤，剖析錯(cuò)因，尋求合理成分，從而實(shí)現(xiàn)從錯(cuò)誤向正確的過渡；通過不斷探索，發(fā)現(xiàn)新方法，從而優(yōu)化思維；通過在原問題的基礎(chǔ)上改造一個(gè)問題，使其答案為原題的錯(cuò)誤答案，讓做錯(cuò)題的學(xué)生找回了自信；通過課外引申問題，培養(yǎng)發(fā)散性思維能力。