新人教版九年級上冊數(shù)學(xué)知識點歸納

第二十一章

一元二次方程

21.1

一元二次方程

在一個等式中，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四個特點：(1)只含有一個未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2；(3)是整式方程．要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理為

ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個方程就為一元二次方程．

（4）將方程化為一般形式：ax2+bx+c=0時，應(yīng)滿足（a≠0）

21.2

降次——解一元二次方程

解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法：

1、直接開平方法：

用直接開平方法解形如(x-m)2=n

(n≥0)的方程，其解為x=±

m.直接開平方法就是平方的逆運算.通常用根號表示其運算結(jié)果.2、配方法

通過配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。這種解一元二次方程的方法稱為配方法，配方的依據(jù)是完全平方公式。

1.轉(zhuǎn)化：

將此一元二次方程化為ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）

2.系數(shù)化1：

將二次項系數(shù)化為1

3.移項：

將常數(shù)項移到等號右側(cè)

4.配方：

等號左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方

5.變形：

將等號左邊的代數(shù)式寫成完全平方形式

6.開方：

左右同時開平方

7.求解：

整理即可得到原方程的根

3、公式法

公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計算判別式△=b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac≥0時，把各項系數(shù)a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等于零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

21.3

實際問題與一元二次方程

列一元二次方程解應(yīng)用題是列一元一次方程解應(yīng)用題的繼續(xù)和發(fā)展

從列方程解應(yīng)用題的方法來講，列出一元二次方程解應(yīng)用題與列出一元一次方程解應(yīng)用題是非常相似的，由于一元一次方程未知數(shù)是一次，因此這類問題大部分都可通過算術(shù)方法來解決．如果未知數(shù)出現(xiàn)二次，用算術(shù)方法就很困難了，正由于未知數(shù)是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關(guān)面積問題，經(jīng)過兩次增長的平均增長率問題，數(shù)學(xué)問題中涉及積的一些問題，經(jīng)營決策問題等等．

第二十二章

二次函數(shù)

22.1二次函數(shù)及其圖像

二次函數(shù)（quadratic

function）是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為y=ax2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。

一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

一般式　　y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點坐標(biāo)為(-b/2a，(b2-4ac)/4a)；

頂點式

y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))或y=a(x-h)２+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))，頂點坐標(biāo)為（h，k）對稱軸為x=h，頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)ｙ＝ax２的圖像相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式；

交點式

y=a(x-x1)(x-x2)

[僅限于與x軸有交點A（x1，0）和

B（x2，0）的拋物線]；

重要概念：a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小,a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。

y

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的平方的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。

不同的二次函數(shù)圖像

如果所畫圖形準(zhǔn)確無誤，那么二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。

x

軸對稱

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x

=

-b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

頂點

2.拋物線有一個頂點P，坐標(biāo)為P

（-b/2a，4ac-b2)/4a)

當(dāng)-b/2a=0時，P在y軸上；當(dāng)Δ=

b2-4ac=0時，P在x軸上。

開口

3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

決定對稱軸位置的因素

4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；

因為若對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是-

b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號

當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是-

b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號

可簡單記憶為左同右異，即當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時

即ab＜

0），對稱軸在y軸右。

事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值?？赏ㄟ^對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

決定拋物線與y軸交點的因素

5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于（0，c）

拋物線與x軸交點個數(shù)

6.拋物線與x軸交點個數(shù)

Δ=

b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ=

b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

Δ=

b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。

當(dāng)a>0時，函數(shù)在x=

-b/2a處取得最小值,當(dāng)a<0時，函數(shù)在x=

-b/2a處取得最大值

當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，7.特殊值的形式

①當(dāng)x=１時

y=a+b+c

②當(dāng)x=-1時

y=a-b+c

③當(dāng)x=2時

y=4a+2b+c

④當(dāng)x=-2時

y=4a-2b+c

用函數(shù)觀點看一元二次方程

1.如果拋物線與x軸有公共點，公共點的橫坐標(biāo)是，那么當(dāng)時，函數(shù)的值是0，因此就是方程的一個根。

2.二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒有實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，有兩個不等的實數(shù)根。

實際問題與二次函數(shù)

在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材料最省、時間最少、效率最高等問題，有些可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。

第二十三章

旋轉(zhuǎn)

23.1

圖形的旋轉(zhuǎn)

1.圖形的旋轉(zhuǎn)

（1）定義：在平面內(nèi)，將一個圓形繞一個定點沿某個方向（順時針或逆時針）轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉(zhuǎn)，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角。

（2）生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象大致有兩大類：一類是物體的旋轉(zhuǎn)運動，如時鐘的時針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動，風(fēng)車的轉(zhuǎn)動等；另一類則是由某一基本圖形通過旋轉(zhuǎn)而形成的圖案，如香港特別行政區(qū)區(qū)旗上的紫荊花圖案。

（3）圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀，旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角所決定，旋轉(zhuǎn)中心可以在圖形上也可以在圖形外。

（4）會找對應(yīng)點，對應(yīng)線段和對應(yīng)角。

2.旋轉(zhuǎn)的基本特征：

（1）圖形在旋轉(zhuǎn)時，圖形中的每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。

（2）圖形在旋轉(zhuǎn)時，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等；

（3）圖形在旋轉(zhuǎn)時，圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生改變。

3.幾點說明：

（1）在理解旋轉(zhuǎn)特征時，首先要對照圖形，找出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、對應(yīng)點、旋轉(zhuǎn)角。

（2）旋轉(zhuǎn)的角度是對應(yīng)線段的夾角或?qū)?yīng)頂點與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角。

（3）旋轉(zhuǎn)中心的確定分兩種情況，即在圖形上或在圖形外，若在圖形上，哪一點旋轉(zhuǎn)過程中位置沒有改變，哪一點就是旋轉(zhuǎn)中心；若在圖形外，對應(yīng)點連線的垂直平分線的交點就是旋轉(zhuǎn)中心。

23.2

中心對稱

中心對稱：把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，假如它能夠與另一個圖形重合，那么這劉遇圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱。

中心對稱的性質(zhì)：①關(guān)于中心對稱的劉遇圖形，對應(yīng)點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分。②關(guān)于中心對稱的劉遇圖形是全等形。

中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。

對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：①關(guān)于x軸對稱：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，②關(guān)于y軸對稱：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，③關(guān)于原點對稱：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)。

23.3

課題學(xué)習(xí)

圖案設(shè)計

靈活運用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等變換進行圖案設(shè)計．

圖案設(shè)計就是通過圖形變換(平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱或幾種的組合)把基本圖形組成具有一定意義的新圖形，圖案設(shè)計時不僅要看是否正確使用了圖形變換，還要看圖案是否很好的體現(xiàn)了設(shè)計意圖．

第二十四章

圓

24.1

圓

定義：（1）平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。

（2)平面上一條線段，繞它的一端旋轉(zhuǎn)360°，留下的軌跡叫圓。

圓心：（1）如定義（1）中，該定點為圓心

（2）如定義（2）中，繞的那一端的端點為圓心。

（3）圓任意兩條對稱軸的交點為圓心。

（4）

垂直于圓內(nèi)任意一條弦且兩個端點在圓上的線段的二分點為圓心。

注：圓心一般用字母O表示

直徑：通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。

半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。

圓的直徑和半徑都有無數(shù)條。圓是軸對稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對稱軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=二分之d。

圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。

圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，用字母C表示。

圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。

圓的周長除以直徑的商是一個固定的數(shù)，把它叫做圓周率，它是一個無限不循環(huán)小數(shù)（無理數(shù)），用字母π表示。計算時，通常取它的近似值，π≈3.14。

直徑所對的圓周角是直角。90°的圓周角所對的弦是直徑。

圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。πr^2，用字母S表示。

一條弧所對的圓周角是圓心角的二分之一。

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弧相等，所對的弦心距也相等。

周長計算公式

1.、已知直徑：C=πd2、已知半徑：C=2πr3、已知周長：D=c＼π

4、圓周長的一半:1＼2周長(曲線)

5、半圓的長：1＼2周長+直徑

面積計算公式：

1、已知半徑：S=πr平方

2、已知直徑：S=π（d＼2）平方

3、已知周長：S=π(c＼2π)平方

24.2

點、直線、圓和圓的位置關(guān)系

1.點和圓的位置關(guān)系

①

點在圓內(nèi)點到圓心的距離小于半徑

②

點在圓上點到圓心的距離等于半徑

③

點在圓外點到圓心的距離大于半徑

2.過三點的圓不在同一直線上的三個點確定一個圓。

3.外接圓和外心

經(jīng)過三角形的三個頂點可以做一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。

外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心。

4.直線和圓的位置關(guān)系

相交：直線和圓有兩個公共點叫這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線。

相切：直線和圓有一個公共點叫這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點。

相離：直線和圓沒有公共點叫這條直線和圓相離。

5.直線和圓位置關(guān)系的性質(zhì)和判定

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么

①

直線和⊙O相交；②

直線和⊙O相切；③

直線和⊙O相離。

圓和圓

定義：

兩個圓沒有公共點且每個圓的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓的外離。

兩個圓有唯一的公共點且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的外部，叫做兩個圓的外切。

兩個圓有兩個交點，叫做兩個圓的相交。

兩個圓有唯一的公共點且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部，叫做兩個圓的內(nèi)切。

兩個圓沒有公共點且每個圓的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓的內(nèi)含。

原理：

圓心距和半徑的數(shù)量關(guān)系：

兩圓外離＜＝＞

d＞R+r

兩圓外切＜＝＞

d=R+r

兩圓相交＜＝＞

R-r＝r)

兩圓內(nèi)切＜＝＞

d=R-r(R>r)

兩圓內(nèi)含＜＝＞

dr)

24.3

正多邊形和圓

1、正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

2、正多邊形與圓的關(guān)系：

(1)將一個圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形。

(2)這個圓是這個正多邊形的外接圓。

3、正多邊形的有關(guān)概念：

(1)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心。

(2)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑。

(3)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離。

(4)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角。

4、正多邊形性質(zhì)：

(1)任何正多邊形都有一個外接圓。

(2)正多邊形都是軸對稱圖形，當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時，它又是中心對稱圖形，正n邊形的對稱軸有n條。

(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似。

重點：正多邊形的有關(guān)計算。

知識講解

1、正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。

例如：正三角形、正四邊形(正方形)、正六邊形等等。如果一個正多邊形有n條邊，那么，這個多邊形叫正n邊形。

再如：矩形不是正多邊形，因為它只具有各角相等，而各邊不一定相等；菱形不是正多邊形，因為，它只具有各邊相等，而各角不一定相等。

2、正多邊形與圓的關(guān)系。

正多邊形與圓有密切關(guān)系，把圓分成n(n≥3)等份，依次連結(jié)分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形。

相鄰分點間的弧相等，則所對的弦(正多邊形的邊)相等，相鄰兩弦所夾的角(多邊形的每個內(nèi)角)都相等，從而得出，所連的多邊形滿足了所有邊都相等，所有內(nèi)角都相等，從而這個多邊形就是正多邊形。

如：將圓6等分，即，則AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA。

觀察∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F所對的弧可以發(fā)現(xiàn)都是相等的弧，所以，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F。

所以，將一個圓6等分，依次連結(jié)各分點所得到的是⊙O的內(nèi)接正六邊形。

3、正多邊形的有關(guān)計算。

(1)首先要明確與正多邊形計算的有關(guān)概念：即正多邊形的中心O，正多邊形的半徑Rn——就是其外接圓的半徑，正多邊形的邊心距rn，正多邊形的中心角αn，正多邊形的邊長an。

(2)正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個全等的等腰三角形，等腰三角形的頂角就是正n邊形的中心角都等于；如果再作出正n邊形各邊的邊心距，這些邊心距又把這n個等腰三角形分成了2n個全等的直角三角形。

如圖：是一個正n邊形ABCD……根據(jù)以上講解，我們來分析RtΔAOM的基本元素：

斜邊OA——正n邊形的半徑Rn；

一條直角邊OM——正n邊形的邊心距rn；

一條直角邊AM——正n邊形的邊長an的一半即AM＝an；

銳角∠AOM——正n邊形的中心角αn的一半即∠AOM＝；

銳角∠OAM——正n邊形內(nèi)角的一半即∠OAM＝[(n－2)·180°]；

可以看到在這個直角三角形中的各元素恰好反映了正n邊形的各元素。

因此，就可以把正n邊形的有關(guān)計算歸納為解直角三角形的問題。

4、正多邊形的有關(guān)作圖。

(1)使用量角器來等分圓。

由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應(yīng)的正n邊形。

(2)用尺規(guī)來等分圓。

對于一些特殊的正n邊形，還可以用圓規(guī)和直尺作出圖形。

①正四、八邊形。

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。

再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于

E)

就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。

②正六、三、十二邊形的作法。

通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點。

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點。

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分……。

5、正多邊形的對稱性。

正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心，如果正多邊形有偶數(shù)條邊，那么，它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心。

如：正三角形、正方形。

24.4

弧長和扇形面積

知識點1、弧長公式

因為360°的圓心角所對的弧長就是圓周長C＝2R，所以1°的圓心角所對的弧長是，于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長l的計算公式：，說明：（1）在弧長公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”，例如，圓的半徑R＝10，計算20°的圓心角所對的弧長l時，不要錯寫成。

（2）在弧長公式中，已知l，n，R中的任意兩個量，都可以求出第三個量。

知識點2、扇形的面積

如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為R，圓心角為n°的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，因為圓心角是360°的扇形面積等于圓面積，所以圓心角為1°的扇形面積是，由此得圓心角為n°的扇形面積的計算公式是。

又因為扇形的弧長，扇形面積，所以又得到扇形面積的另一個計算公式：。

知識點3、弓形的面積

（1）弓形的定義：由弦及其所對的?。ò踊?、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。

（2）弓形的周長＝弦長＋弧長

（3）弓形的面積

如圖所示，每個圓中的陰影部分的面積都是一個弓形的面積，從圖中可以看出，只要把扇形OAmB的面積和△AOB的面積計算出來，就可以得到弓形AmB的面積。

當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時，如圖1所示，當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時，如圖2所示，當(dāng)弓形所含的弧是半圓時，如圖3所示，注意：（1）圓周長、弧長、圓面積、扇形面積的計算公式。

圓周長

弧長

圓面積

扇形面積

公

式

（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別

（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別

圖

示

面

積

知識點4、圓錐的側(cè)面積

圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，如圖所示，設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2，圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積

說明：（1）圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。

（2）研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計算問題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面積公式，并明確圓錐全面積與側(cè)面積之間的關(guān)系。

知識點5、圓柱的側(cè)面積

圓柱的側(cè)面積展開圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的側(cè)面積，圓柱的全面積

知識小結(jié)：

圓錐與圓柱的比較

名稱

圓錐

圓柱

圖形

圖形的形成過程

由一個直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的，如Rt△SOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周。

由一個矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周。

圖形的組成一個底面和一個側(cè)面

兩個底面和一個側(cè)面

側(cè)面展開圖的特征

扇形

矩形

面積計算方法

第二十五章

概率初步

25.1

隨機事件與概率

1．隨機試驗與樣本空間

具有下列三個特性的試驗稱為隨機試驗：

(1)

試驗可以在相同的條件下重復(fù)地進行；

·

(2)

每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但事先知道每次試驗所有可能的結(jié)果；

(3)

每次試驗前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)．

試驗的所有可能結(jié)果所組成的集合為樣本空間，用表示，其中的每一個結(jié)果用表示，稱為樣本空間中的樣本點，記作．

2．隨機事件

在隨機試驗中，把一次試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生、而在大量重復(fù)試驗中卻呈現(xiàn)某

種規(guī)律性的事情稱為隨機事件(簡稱事件)．通常把必然事件(記作)與不可能事件(記作)

看作特殊的隨機事件．

3．頻率與概率的定義

(1)

頻率的定義

設(shè)隨機事件A在n次重復(fù)試驗中發(fā)生了次，則比值／n稱為隨機事件A發(fā)生的頻率，記作，即

.(2)

概率的統(tǒng)計定義

在進行大量重復(fù)試驗中，隨機事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即當(dāng)試驗次數(shù)n很大時，頻率在一個穩(wěn)定的值(0<<1)附近擺動，規(guī)定事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值為概率，即．

(3)

古典概率的定義

具有下列兩個特征的隨機試驗的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型：

(i)

試驗的樣本空間是個有限集，不妨記作;

(ii)

在每次試驗中，每個樣本點（）出現(xiàn)的概率相同，即

．

在古典概型中，規(guī)定事件A的概率為

．

(4)幾何概率的定義

如果隨機試驗的樣本空間是一個區(qū)域(可以是直線上的區(qū)間、平面或空間中的區(qū)域)，且樣本空間中每個試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有等可能性，那么規(guī)定事件Ａ的概率為

·

25.2

用列舉法求概率

1、當(dāng)一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個，并且各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等時，可以用被關(guān)注的結(jié)果在全部試驗結(jié)果中所占的比分析出事件中該結(jié)果發(fā)生的概率，此時可采用列舉法．

2、列舉法就是把要數(shù)的對象一一列舉出來分析求解的方法．但有時一一列舉出的情況數(shù)目很大，此時需要考慮如何去排除不合理的情況，盡可能減少列舉的問題可能解的數(shù)目.3、利用列表法或樹形圖法求概率的關(guān)鍵是：①注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同；②其中某一事件發(fā)生的概率；③在考查各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和某一事件發(fā)生的次數(shù)時不能重復(fù)也不能遺漏；

4、用列表法或樹形圖法求得的概率是理論概率，而實驗估計值是頻率，它通常受到實驗次數(shù)的影響而產(chǎn)生波動，因此兩者不一定一致，實驗次數(shù)較多時，頻率穩(wěn)定于概率，但并不完全等于概率。

25.3

用頻率估計概率

在做大量重復(fù)試驗時，隨著試驗次數(shù)的增加，一個隨機事件出現(xiàn)的頻率應(yīng)該穩(wěn)定于該事件發(fā)生的概率。事件發(fā)生的頻率與概率既有區(qū)別又有聯(lián)系：事件發(fā)生的頻率不一定相同，是個變數(shù)，而事件發(fā)生的概率是個常數(shù)；但它們之間又有密切的聯(lián)系，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率越來越穩(wěn)定于概率。

在具體操作過程中，大家往往發(fā)現(xiàn)：雖然多次試驗結(jié)果的頻率逐漸穩(wěn)定于概率，但可能無論做多少次試驗，兩者之間存在著一定的偏差。應(yīng)該注意：這種偏差的存在是經(jīng)常的，并且是正常的。另外，由于受到某些因素的影響，通過試驗得到的估計結(jié)果往往不太理想，甚至有可能出現(xiàn)極端情況，此時我們應(yīng)正確地看待這樣的結(jié)果并嘗試著對結(jié)果進行合理的解釋。對試驗結(jié)果的頻率與理論概率的偏差的理解也是形成隨機觀念的一個重要環(huán)節(jié)。

在實際應(yīng)用中，當(dāng)試驗次數(shù)越大時，出現(xiàn)極端情況的可能性就越小。因此，我們常常通過做大量重復(fù)試驗來獲得事件發(fā)生的頻率，并用它作為概率的估計值。試驗次數(shù)越多，得到的估計結(jié)果就越可靠。

第二十六章

反比例函數(shù)

26.1知識點1

反比例函數(shù)的定義

一般地，形如（k為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，它可以從以下幾個方面來理解：

⑴x是自變量，y是x的反比例函數(shù)；

⑵自變量x的取值范圍是的一切實數(shù)，函數(shù)值的取值范圍是；

⑶比例系數(shù)是反比例函數(shù)定義的一個重要組成部分；

⑷反比例函數(shù)有三種表達式：

①（），②（），③（定值）（）；

⑸函數(shù)（）與（）是等價的，所以當(dāng)y是x的反比例函數(shù)時，x也是y的反比例函數(shù)。

（k為常數(shù)，）是反比例函數(shù)的一部分，當(dāng)k=0時，就不是反比例函數(shù)了，由于反比例函數(shù)（）中，只有一個待定系數(shù)，因此，只要一組對應(yīng)值，就可以求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的表達式。

26.2知識點2用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式

由于反比例函數(shù)（）中，只有一個待定系數(shù)，因此，只要一組對應(yīng)值，就可以求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的表達式。

26.3知識點3反比例函數(shù)的圖像及畫法

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、第三象限或第二、第四象限，它們與原點對稱，由于反比例函數(shù)中自變量函數(shù)中自變量，函數(shù)值，所以它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠達不到坐標(biāo)軸。

反比例的畫法分三個步驟：⑴列表；⑵描點；⑶連線。

再作反比例函數(shù)的圖像時應(yīng)注意以下幾點：

①列表時選取的數(shù)值宜對稱選??；

②列表時選取的數(shù)值越多，畫的圖像越精確；

③連線時，必須根據(jù)自變量大小從左至右（或從右至左）用光滑的曲線連接，切忌畫成折線；

④畫圖像時，它的兩個分支應(yīng)全部畫出，但切忌將圖像與坐標(biāo)軸相交。

26.4知識點4反比例函數(shù)的性質(zhì)

☆關(guān)于反比例函數(shù)的性質(zhì)，主要研究它的圖像的位置及函數(shù)值的增減情況，如下表：

反比例函數(shù)

（）的符號

圖像

性質(zhì)

①的取值范圍是，y的取值范圍是

②當(dāng)時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、第三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。

①的取值范圍是，y的取值范圍是

②當(dāng)時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第二、第四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。

注意：描述函數(shù)值的增減情況時，必須指出“在每個象限內(nèi)……”否則，籠統(tǒng)地說，當(dāng)時，y隨x的增大而減小“，就會與事實不符的矛盾。

反比例函數(shù)圖像的位置和函數(shù)的增減性，是有反比例函數(shù)系數(shù)k的符號決定的，反過來，由反比例函數(shù)圖像（雙曲線）的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出k的符號。如在第一、第三象限，則可知。

☆反比例函數(shù)（）中比例系數(shù)k的絕對值的幾何意義。

如圖所示，過雙曲線上任一點P（x，y）分別作x軸、y軸的垂線，E、F分別為垂足，則

☆

反比例函數(shù)（）中，越大，雙曲線越遠離坐標(biāo)原點；越小，雙曲線越靠近坐標(biāo)原點。

☆

雙曲線是中心對稱圖形，對稱中心是坐標(biāo)原點；雙曲線又是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x和直線y=－x。

第二十七章　相似

27．1

圖形的相似

概述

如果兩個圖形形狀相同,但大小不一定相等,那么這兩個圖形相似。（相似的符號：∽）

判定

如果兩個多邊形滿足對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個多邊形相似。

相似比

相似多邊形的對應(yīng)邊的比叫相似比。相似比為1時，相似的兩個圖形全等。

性質(zhì)

相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。相似多邊形的周長比等于相似比。

相似多邊形的面積比等于相似比的平方。

27．2

相似三角形

判定

1.兩個三角形的兩個角對應(yīng)相等

2.兩邊對應(yīng)成比例,且夾角相等

3.三邊對應(yīng)成比例

4.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

例題

∵∠A=∠A＇;

∠B=∠B＇

∴△ABC∽△A＇B＇C＇

性質(zhì)

1.相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。

2.相似三角形周長的比等于相似比。

3.相似三角形面積的比等于相似比的平方

27．3

位似

如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點的連線交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。

性質(zhì)

位似圖形的對應(yīng)點和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。

位似多邊形的對應(yīng)邊平行或共線。

位似可以將一個圖形放大或縮小。

位似圖形的中心可以在任意的一點，不過位似圖形也會隨著位似中心的位變而位變。

根據(jù)一個位似中心可以作兩個關(guān)于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個圖形分布在位似中心的兩側(cè),并且關(guān)于位似中心對稱。

注意

1、位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；

2、兩個位似圖形的位似中心只有一個；

3、兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；

4、位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似；

5、平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形位似。

第二十八章　銳角三角函數(shù)

28．1

銳角三角函數(shù)

銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的銳角三角函數(shù)。

正弦（sin）等于對邊比斜邊，余弦（cos）等于鄰邊比斜邊

正切（tan）等于對邊比鄰邊；

直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,余弦等于角A的鄰邊比斜邊

正切等于對邊比鄰邊,28．2

解直角三角形

勾股定理，只適用于直角三角形（外國叫“畢達哥拉斯定理”）

a^2+b^2=c^2,其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。

勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個正整數(shù)。比如：3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數(shù)。

A

B

C

D

直角三角形的特征

⑴直角三角形兩個銳角互余；

⑵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

⑶直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半；

⑷勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：

在Rt△ABC中，若∠C＝90°，則a2+b2=c2；

A

B

C

a

c

b

⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，則這個三角形是直角三角形，即：在△ABC中，若a2+b2=c2，則∠C＝90°；

⑹射影定理：AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD2=DADB．

銳角三角函數(shù)的定義：

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a,b,c,則sinA=,cosA=,tanA=,cotA=

特殊角的三角函數(shù)值：（并會觀察其三角函數(shù)值隨的變化情況）

sin

cos

tan

cot

30°

45°

60°

1．解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）

⑴三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2．

⑵兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°．．

⑶邊角之間的關(guān)系：sinA=,cosA=．

tanA=,⑷解直角三角形中常見類型：

①已知一邊一銳角．②已知兩邊．③解直角三角形的應(yīng)用．

第二十九章　投影與視圖

29．1　投影

一般地，用光線照射物體，在某個平面（地面、墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影（projection），照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面。

有時光線是一組互相平行的射線，例如太陽光或探照燈光的一束光中的光線。由平行光線形成的投影是平行投影（parallel

projection).由同一點（點光源發(fā)出的光線）形成的投影叫做中心投影（center

projection)。投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影。

投影線平行于投影面產(chǎn)生的投影叫做平行投影。

物體正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關(guān)。

29．2　三視圖

三視圖是觀測者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形。

將人的視線規(guī)定為平行投影線，然后正對著物體看過去，將所見物體的輪廓用正投影法繪制出來該圖形稱為視圖。一個物體有六個視圖：從物體的前面向后面投射所得的視圖稱主視圖——能反映物體的前面形狀，從物體的上面向下面投射所得的視圖稱俯視圖——能反映物體的上面形狀，從物體的左面向右面投射所得的視圖稱左視圖——能反映物體的左面形狀，還有其它三個視圖不是很常用。三視圖就是主視圖、俯視圖、左視圖的總稱。

特點：一個視圖只能反映物體的一個方位的形狀，不能完整反映物體的結(jié)構(gòu)形狀。三視圖是從三個不同方向?qū)ν粋€物體進行投射的結(jié)果，另外還有如剖面圖、半剖面圖等做為輔助，基本能完整的表達物體的結(jié)構(gòu)。

主視、俯視

長對正

物體的投影

主視、左視

高平齊

左視、俯視

寬相等

在許多情況下，只用一個投影不加任何注解，是不能完整清晰地表達和確定形體的形狀和結(jié)構(gòu)的。如圖所示，三個形體在同一個方向的投影完全相同，但三個形體的空間結(jié)構(gòu)卻不相同?？梢娭挥靡粋€方向的投影來表達形體形狀是不行的。一般必須將形體向幾個方向投影，才能完整清晰地表達出形體的形狀和結(jié)構(gòu)。

一個視圖只能反映物體的一個方位的形狀，不能完整反映物體的結(jié)構(gòu)形狀。三視圖是從三個不同方向?qū)ν粋€物體進行投射的結(jié)果，另外還有如剖面圖、半剖面圖等做為輔助，基本能完整的表達物體的結(jié)構(gòu)。

畫法：根據(jù)各形體的投影規(guī)律，逐個畫出形體的三視圖。畫形體的順序：一般先實（實形體）后空（挖去的形體）；先大（大形體）后小（小形體）；先畫輪廓，后畫細節(jié)。畫每個

形體時，要三個視圖聯(lián)系起來畫，并從反映形體特征的視圖畫起，再按投影規(guī)律畫出其他兩個視圖。對稱圖形、半圓和大于半圓的圓弧要畫出對稱中心線，回轉(zhuǎn)體一定要畫出軸線。對稱中心線和軸線用細點劃線畫出。