杭

州

師

范

大

學(xué)

2020

年招收攻讀碩士研究生考試題

考試科目代碼：

831

考試科目名稱：

高等代數(shù)

說明：考生答題時一律寫在答題紙上，否則漏批責任自負。

每題15分，共150分

1.證明：一個非零實二次型可以分解為兩個一次齊次多項式的乘積的充分必要條件是,它的秩為2且符合差為0，或秩為1。

2.求正交線性替換將二次型化為標準型。

3.已知線性方程組。

(1)

取何值時，該方程組有解。

(2)

在有解的情況下，求出該方程組的解。

4.求滿足的所有階方陣（這里是的伴隨矩陣）。

5.求解行列式。

6.設(shè)為維歐式空間，為的一個正交變換。設(shè)為的一個維數(shù)小于的-不變子空間，令為的正交補。

（1）證明：也是一個-不變子空間。

（2）證明：存在的一組標準正交基使得在這組基下的矩陣為形如如下矩陣，其中和都是正交矩陣。

7.證明：n階方陣A相似于對角矩陣的充分必要條件是：對于A的任一特征值，矩陣和有相同的秩，這里是n階單位矩陣。

8.一個整系數(shù)多項式稱為是本原多項式，如果它的系數(shù)互素。證明：兩個本原多項式的乘積是本原多項式。

9.設(shè)為數(shù)域P上全體次數(shù)不超過n的多項式構(gòu)成的向量空間。

（1）證明：構(gòu)成的一組基，其中。

（2）求基到基的過渡矩陣；

（3）設(shè)，證明Taylor公式。

10.階矩陣為冪等矩陣（）的充分必要條件是，這里為的秩，E為n階單位矩陣。