1985年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案

考生注意：這份試題共八道大題，滿分120分第九題是附加題，滿分10分，不計(jì)入總分

一．（本題滿分15分）本題共有5小題，每小題都給出代號為A，B，C，D的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，把正確結(jié)論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)，選對的得3分、不選，選錯或者選出的代號超過一個(gè)的（不論是否都寫在圓括號內(nèi)），一律得0分

（1）如果正方體ABCD-A＇B＇C＇D＇的棱長為，那么四面體A＇-ABD的體積是

（D)

（2）的（A）

（A）必要條件

（B）充分條件

（C）充分必要條件

（D）既不充分又不必要的條件

（3）在下面給出的函數(shù)中，哪一個(gè)函數(shù)既是區(qū)間上的增函數(shù)又是以π為周期的偶函數(shù)？

（B）

（A）

（B）

（C）

（D）

(4)極坐標(biāo)方程的圖象是

（C）

(A)

O

X

(C)

O

X

(B)

O

X

(D)

O

X

（5）用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，可以組成比20000大，并且百位數(shù)不是數(shù)字3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共有

（B）

（A）96個(gè)

（B）78個(gè)

（C）72個(gè)

（D）64個(gè)

二．（本題滿分20分）本題共5小題，每一個(gè)小題滿分4分只要求直接寫出結(jié)果）

（1）求方程解集

答：

（2）設(shè)，求的值

答：π

（3）求曲線的焦點(diǎn)

答：（0，0）

（4）設(shè)(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2

+a1+a0的值

答：64（或26）

（5）設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是[0，1]，求函數(shù)f(x2)的定義域

答：[-1，1]

三．（本題滿分14分）

（1）解方程

解：由原對數(shù)方程得

解這個(gè)方程，得到x1=0,x2=7.檢驗(yàn)：x=7是增根，x=0是原方程的根

（2）解不等式

解：

解得

四．（本題滿分15分）

如圖，設(shè)平面AC和BD相交于BC，它們所成的一個(gè)二面角為450，P為平面AC內(nèi)的一點(diǎn)，Q為面BD內(nèi)的一點(diǎn)已知直線MQ是直線PQ在平面BD內(nèi)的射影，并且M在BC上又設(shè)PQ與平面BD所成的角為β，∠CMQ=θ（00<θ<900)，線段PM的長為，求線段PQ的長

A

P

B

N

C

450

M

θ

R

β

Q

D

解：自點(diǎn)P作平面BD的垂線，垂足為R，由于直線MQ是直線PQ在平面BD內(nèi)的射影，所以R在MQ上，過R作BC的垂線，設(shè)垂足為N，則PN⊥BC（三垂線定理）因此∠PNR是所給二面角的平面角，所以∠PNR=450

由于直線MQ是直線PQ在平面BD內(nèi)的射影，所以∠PQR=β

在Rt△PNR中，NR=PRctg450,所以NR=PR

在Rt△MNR中，MR=

在Rt△PMR中，又已知00＜θ＜900，所以

在Rt△PRQ中，故線段PQ的長為

五．（本題滿分15分）

設(shè)O為復(fù)平面的原點(diǎn)，Z1和Z2為復(fù)平面內(nèi)的兩動點(diǎn)，并且滿足：（1）Z1和Z2所對應(yīng)的復(fù)數(shù)的輻角分別為定值θ和-θ，（2）△OZ1Z2的面積為定值S

求△OZ1Z2的重心Z所對應(yīng)的復(fù)數(shù)的模的最小值

Y

Z1

θ

O

-θ

X

Z2

解：設(shè)Z1,Z2和Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1,z2和z，其中

由于Z是△OZ1Z2的重心，根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義，則有

于是

又知△OZ1Z2的面積為定值S及，所以

六．（本題滿分15分）

已知兩點(diǎn)P（-2，2），Q（0，2）以及一條直線：L:y=x，設(shè)長為的線段AB在直線L上移動，如圖求直線PA和QB的交點(diǎn)M的軌跡方程（要求把結(jié)果寫成普通方程）

解：由于線段AB在直線y=x上移動，且AB的長，所以可設(shè)點(diǎn)A和B分別是（,)和(+1,+1)，其中為參數(shù)

Y

y=x

Q

P·

X

B

O

A

M

于是可得：直線PA的方程是

直線QB的方程是

1.當(dāng)直線PA和QB平行，無交點(diǎn)

2．當(dāng)時(shí)，直線PA與QB相交，設(shè)交點(diǎn)為M(x,y)，由（2）式得

將上述兩式代入（1）式，得

當(dāng)=-2或=-1時(shí)，直線PA和QB仍然相交，并且交點(diǎn)坐標(biāo)也滿足（*）式

所以（*）式即為所求動點(diǎn)的軌跡方程

注：考生沒指出“=0”及“=-2或=-1”時(shí)的情形不扣分

七．（本題滿分14分）

設(shè)

（1）證明不等式對所有的正整數(shù)n都成立

（2）設(shè)用定義證明

（1）證一：用數(shù)學(xué)歸納法略

證二：由不等式對所有正整數(shù)k成立，把它對k從1到n（n≥1）求和，得到

又因以及

對所有的正整數(shù)n都成立

（2）由（1）及bn的定義知

對任意指定的正數(shù)ε，要使，只要使，即只要使

取N是的整數(shù)部分，則數(shù)列bn的第N項(xiàng)以后所有的項(xiàng)都滿足

根據(jù)極限的定義，證得

八．（本題滿分12分）

設(shè),b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，A={(x,y)|x=n,y=n+b,n是整數(shù)}，B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m是整數(shù)}，C={(x,y)|x2+y2≤144}，是平面XOY內(nèi)的點(diǎn)集合，討論是否存在和b使得

（1）A∩B≠（表示空集），（2）（,b)∈C

同時(shí)成立

解：如果實(shí)數(shù)和b使得（1）成立，于是存在整數(shù)m和n使得

(n,n+b)=(m,3m2+15),即

由此得出，存在整數(shù)n使得n+b=3n2+15,或?qū)懗蒼+b-(3n2+15)=0

這個(gè)等式表明點(diǎn)P（,b)在直線L：nx+y-(3n2+15)=0上，記從原點(diǎn)到直線L的距離為d，于是

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式中等號才成立由于n是整數(shù)，因此，所以上式中等號不可能成立即

因?yàn)辄c(diǎn)P在直線L上，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離必滿足

而（2）成立要求2+b2≤144，即由此可見使得（1）成立的和b必不能使（2）成立

所以，不存在實(shí)數(shù)和b使得（1），（2）同時(shí)成立

九．（附加題，本題滿分10分，）

已知曲線y=x3-6x2+11x-6.在它對應(yīng)于的弧段上求一點(diǎn)P，使得曲線在該點(diǎn)的切線在y軸上的截距為最小，并求出這個(gè)最小值

解：已知曲線方程是y=x3-6x2+11x-6，因此y＇=3x2-12x+11

在曲線上任取一點(diǎn)P(x0,y0),則點(diǎn)P處切線的斜率是

y＇|x=x0=3x02-12x0+11

點(diǎn)P處切線方程是

y=(3x02-12x0+11)(x-x0)+y0

設(shè)這切線與y軸的截距為r，則

r=(3x02-12x0+11)(-x0)+(x03-6x02+11x0-6)=-2x03+6x02-6

根據(jù)題意，要求r（它是以x0為自變量的函數(shù)）在區(qū)間[0，2]上的最小值因?yàn)?/p>

r＇=-6x02+12x0=-6x0(x0-2)

當(dāng)0＜x0＜2時(shí)r＇＞0，因此r是增函數(shù)，故r在區(qū)間[0，2]的左端點(diǎn)x0=0處取到最小值即在點(diǎn)P（0，-6）處切線在y軸上的截距最小

這個(gè)最小值是r最小值=-6