1983年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案

（這份試題共九道大題，滿分120分）

一．（本題滿分10分）本題共有5小題，每小題都給出代號為A，B，C，D的四個結(jié)論，其中只有一個結(jié)論是正確的把正確結(jié)論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)每一個小題：選對的得2分;不選，選錯或者選出的代號超過一個的（不論是否都寫在圓括號內(nèi)），一律得0分

1．兩條異面直線，指的是

（D）

（A）在空間內(nèi)不相交的兩條直線

（B）分別位于兩個不同平面內(nèi)的兩條直線

（C）某一平面內(nèi)的一條直線和這個平面外的一條直線

（D）不在同一平面內(nèi)的兩條直線

2．方程x2-y2=0表示的圖形是

（A）

（A）兩條相交直線

（B）兩條平行直線

（C）兩條重合直線

（D）一個點(diǎn)

3．三個數(shù)a,b,c不全為零的充要條件是

（D）

（A）a,b,c都不是零

（B）a,b,c中最多有一個是零

（C）a,b,c中只有一個是零（D）a,b,c中至少有一個不是零

4．設(shè)則的值是

（C）

（A）

（B）

（C）

（D）

5．這三個數(shù)之間的大小順序是

（C）

（A）

（B）

（C）

（D）

二．（本題滿分12分）

1．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別畫出兩個方程的圖形，并寫出它們交點(diǎn)的坐標(biāo)

2．在極坐標(biāo)系內(nèi)，方程表示什么曲線？畫出它的圖形

解：

Y

O

X

P

1.圖形如左圖所示

交點(diǎn)坐標(biāo)是：O（0，0），P（1，-1）

O

X

(,0)

2．曲線名稱是：圓

圖形如右所示

三．（本題滿分12分）

1．已知，求微分

2．一個小組共有10名同學(xué)，其中4名是女同學(xué)，6名是男同學(xué)要從小組內(nèi)選出3名代表，其中至少有1名女同學(xué)，求一共有多少種選法

解：1.2．

或：

四．（本題滿分12分）

計算行列式（要求結(jié)果最簡）：

解：把第一列乘以加到第2列上，再把第三列乘以加到第2列上，得

五．（本題滿分15分）

1．證明：對于任意實數(shù)t，復(fù)數(shù)的模

適合2．當(dāng)實數(shù)t取什么值時，復(fù)數(shù)的幅角主值適合？

1．證：復(fù)數(shù)（其中t

是實數(shù)）的模為

要證對任意實數(shù)t，有，只要證對任意實數(shù)t，成立

對任意實數(shù)t，因為，所以可令

且，于是

2．因為復(fù)數(shù)的實部與虛部都是非負(fù)數(shù)，所以z的幅角主值一定適合從而

顯然因為

由于

這就是所求的實數(shù)t的取值范圍

六．（本題滿分15分）

如圖，在三棱錐S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是側(cè)棱SC上的一點(diǎn)，使截面MAB與底面所成的角等

S

M

P

C

A

N

D

B

于∠NSC，求證SC垂直于截面MAB

證：因為SN是底面的垂線，NC是斜線SC在底面上的射影，AB⊥NC，所以AB⊥SC（三垂線定理）

連結(jié)DM因為AB⊥DC，AB⊥SC，所以AB垂直于DC和SC所決定的平面又因DM在這個平面內(nèi)，所以AB⊥DM

∴∠MDC是截面與底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC

在△MDC和△NSC中，因為∠MDC=∠NSC，∠DCS是公共角，所以∠DMC=∠SNC=900從而DM⊥SC從AB⊥SC，DM⊥SC，可知SC⊥截面MAB

七．（本題滿分16分）

如圖，已知橢圓長軸|A1A2|=6，焦距|F1F2|=，過橢圓焦點(diǎn)F1作一直線，交橢圓于兩點(diǎn)M，N設(shè)∠F2F1M=α（0≤α＜π）當(dāng)α取什么值時，|MN|等于橢圓短軸的長？

Y

M

α

A1

F1

O

F2

A

X

N

解一：以橢圓焦點(diǎn)F1為極點(diǎn)，以F1為起點(diǎn)并過F2的射線為極軸建立極坐標(biāo)系

由已知條件可知橢圓長半軸a=3，半焦距c=，短半軸b=1，離心率e=，中心到準(zhǔn)線距離=,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離p=.橢圓的極坐標(biāo)方程為

解得

以上解方程過程中的每一步都是可逆的，所以當(dāng)或時，|MN|等于短軸的長

解二：以橢圓的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)1F2所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）由已知條件知，橢圓的方程為

MN所在直線方程為

解方程組

消去y得.下同解法一

解三：建立坐標(biāo)系得橢圓如解二，MN所在直線的參數(shù)方程為

代入橢圓方程得

設(shè)t1,t2是方程兩根，則由韋達(dá)定理，下同解一

解四：設(shè)|F1M|=x,則|F2M|=6-x|F1F2|=，∠F2F1M=α

在△MF1F2中由余弦定理得

同理，設(shè)|F1N|=y，則|F2N|=6-y在△F1F2N中，由余弦定理得

下同解一

八．（本題滿分16分）

已知數(shù)列{an}的首項a1=b(b≠0），它的前n項的和Sn=a1+a2+…+an

(n≥1),并且S1，S2，Sn，…是一個等比數(shù)列，其公比為p（p≠0且|p|＜1）

1．證明：a2,a3,a3,…an,…(即{an}從第二項起）是一個等比數(shù)列

2．設(shè)Wn=a1S1+a2S2+a3S3+…+anSn(n≥1),求（用b,p表示）

1．證：由已知條件得S1=a1=b.Sn=S1pn-1=bpn-1(n≥1）

因為當(dāng)n≥2時，Sn=a1+a2+…+an-1+an=Sn-1+an,所以

an=Sn-Sn-1=bpn-2(p-1)(n≥2)從而

因此a2,a3,a3,…an,…是一個公比為p的等比數(shù)列

2．解：當(dāng)n≥2時，且由已知條件可知p2<1，因此數(shù)列a1S1，a2S2，a3S3，…anSn…是公比為p2<1的無窮等比數(shù)列于是

從而

九．（本題滿分12分）

1．已知a,b為實數(shù)，并且eba.2.如果正實數(shù)a,b滿足ab=ba.且a<1，證明a=b

1．證：當(dāng)eba，只要證blna>alnb,即只要證

考慮函數(shù)因為但時，所以函數(shù)內(nèi)是減函數(shù)

因為eba

2．證一：由ab=ba，得blna=alnb，從而

考慮函數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)是

因為在（0，1）內(nèi)，所以f(x)在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)

由于00,所以ab<1,從而ba=ab<1.由ba<1及a>0,可推出b<1.由0

所以a=b

證二：因為0

假如a

矛盾

所以a不能小于b

假如a>b，則，而，這也與矛盾

所以a不能大于b因此a=b

證三：假如a0由于00,根據(jù)冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得和，所以

即ab

假如b0,同上可證得ab

因此a=b