1987年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案

一．（本題滿分24分）本題共有8個(gè)小題，每小題都給出代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，把你認(rèn)為正確結(jié)論的代號(hào)寫在題后的圓括號(hào)內(nèi)選對(duì)的得3分，不選、選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過(guò)一個(gè)的（不論是否都寫在圓括號(hào)內(nèi)），一律得0分

（1）設(shè)S，T是兩個(gè)非空集合，且S

T，T

S，令X=ST，那么SX等于

（D）

（A）X

（B）T

（C）

（D）S

（2）設(shè)橢圓方程為，令，那么它的準(zhǔn)線方程為

（C）

（A）

（B）

（C）

（D）

（3）設(shè)a,b是滿足ab<0的實(shí)數(shù)，那么

（B）

（A）|a+b|>|a-b|

（B）|a+b|<|a-b|

（C）|a-b|<||a|-|b||

（D）|a-b|<|a|+|b|

（4）已知E，F(xiàn)，G，H為空間中的四個(gè)點(diǎn)，設(shè)

命題甲：點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H不共面，命題乙：直線EF和GH不相交

那么

（A）

（A）甲是乙的充分條件，但不是必要條件

（B）甲是乙的必要條件，但不是充分條件

（C）甲是乙的充要條件

（D）甲不是乙的充分條件，也不是乙必要條件

（5）在區(qū)間上為增函數(shù)的是

（B）

（A）

（B）

（C）

（D）

（6）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（圖略）

（D）

（A）向左平行移動(dòng)

（B）向右平行移動(dòng)

（C）向左平行移動(dòng)

（D）向右平行移動(dòng)

（7）極坐標(biāo)方程所表示的曲線是

（B）

（A）直線

（B）圓

（C）雙曲線

（D）拋物線

（8）函數(shù)的圖象是

（A）

（A）

（B）

Y

（C）

Y

（D）

Y

Y

O

O

O

O

二．（本題滿分28分）本題共7小題，每一個(gè)小題滿分4分只要求寫出結(jié)果

（1）求函數(shù)的周期

[答]

（2）已知方程表示雙曲線，求λ的范圍

[答]λ＞-1或λ＜-2.（注：寫出一半給2分）

（3）若（1+x)n的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)等于x的系數(shù)的7倍，求n.[答]8

（注：若給出8同時(shí)給出-5得2分）

（4）求極限

[答]2

（5）在拋物線上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線的距離為最短

[答]

（6）由數(shù)字1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且數(shù)字1與2不相鄰的五位數(shù)求這種五位數(shù)的個(gè)數(shù)

[答]72

（7）一個(gè)正三棱臺(tái)的下底和上底的周長(zhǎng)分別為30cm和12cm，而側(cè)面積等于兩底面積之差，求斜高

[答]

三．（本題滿分10分）

求的值

解：原式=

（注：本題有多種解答）

四．（本題滿分12分）

P

E

C

A

D

B

如圖，三棱錐P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L,PA,BC的公垂線ED=h求證三棱錐P-ABC的體積V=L2h.證：連結(jié)AD和PD∵BC⊥PA，BC⊥ED，PA與ED相交，∴BC⊥平面PAD

∵ED⊥PA，∴S△ABC=PA·ED=Lh

VB-PAD=(Lh)·BD=Lh·BD

同理，VC-PAD=Lh·CD

∴三棱錐P-ABC的體積

V=Lh·BD+Lh·CD=Lh（BD+CD）=Lh·BC=L2h.若E，D不是分別在線段AP，BC上，結(jié)論仍成立

（此話不說(shuō)，也不扣分）

五．（本題滿分12分）

設(shè)對(duì)所有實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求a的取值范圍

解：由題意得：

令則（3）式變?yōu)?/p>

化簡(jiǎn)為解得

（4）

（2）式變?yōu)榧?/p>

（5）

綜合（4），（5）得

由此，（6）解（1），（6）得a取值范圍：

六．（本題滿分12分，共2個(gè)小題）

設(shè)復(fù)數(shù)滿足關(guān)系式其中A為不等于0的復(fù)數(shù)證明：

（1）（2）

證：（1）

（2）

七．（本題滿分12分，共3個(gè)小題）

設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)的和Sn與的關(guān)系是

其中b是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，且b≠-1

（1）求的關(guān)系式;

（2）寫出用n和b表示的表達(dá)式;

（3）當(dāng)時(shí)，求極限.注：(2)也可用數(shù)學(xué)歸納法證明

所以當(dāng)

八．（本題滿分10分）

定長(zhǎng)為3的線段AB的兩端點(diǎn)在拋物線y2=x上移動(dòng)，記線段AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)

解：設(shè)A（x1,y1),B(x2,y2),AB長(zhǎng)度為3，那么x1=y12,x2=y22,（1）

32=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(y22-y12)2+(y2-y1)2=(y2-y1)2[(y2+y1)2+1]（2）

線段AB的中點(diǎn)M（x,y）到y(tǒng)軸的距離為

下證x能達(dá)到最小值，根據(jù)題意不妨設(shè)y1>y2,由（3）得

九．（附加題，本題滿分10分，共2個(gè)小題，每小題5分，不計(jì)

入總分）

（1）求極限

（2）設(shè)

解：