量子力學(xué)習(xí)題及解答

第一章

量子理論基礎(chǔ)

1．1

由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對應(yīng)的波長與溫度T成反比，即

T=b（常量）；

并近似計算b的數(shù)值，準確到二位有效數(shù)字。

解

根據(jù)普朗克的黑體輻射公式，（1）

以及，（2），（3）

有

這里的的物理意義是黑體內(nèi)波長介于λ與λ+dλ之間的輻射能量密度。

本題關(guān)注的是λ取何值時，取得極大值，因此，就得要求

對λ的一階導(dǎo)數(shù)為零，由此可求得相應(yīng)的λ的值，記作。但要注意的是，還需要驗證對λ的二階導(dǎo)數(shù)在處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的就是要求的，具體如下：

如果令x=，則上述方程為

這是一個超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但經(jīng)過驗證，此解是平庸的；另外的一個解可以通過逐步近似法或者數(shù)值計算法獲得：x=4.97，經(jīng)過驗證，此解正是所要求的，這樣則有

把x以及三個物理常量代入到上式便知

這便是維恩位移定律。據(jù)此，我們知識物體溫度升高的話，輻射的能量分布的峰值向較短波長方面移動，這樣便會根據(jù)熱物體（如遙遠星體）的發(fā)光顏色來判定溫度的高低。

1．2

在0K附近，鈉的價電子能量約為3eV，求其德布羅意波長。

解

根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知

E=h，如果所考慮的粒子是非相對論性的電子（），那么

如果我們考察的是相對性的光子，那么

E=pc

注意到本題所考慮的鈉的價電子的動能僅為3eV，遠遠小于電子的質(zhì)量與光速平方的乘積，即，因此利用非相對論性的電子的能量——動量關(guān)系式，這樣，便有

在這里，利用了

以及

最后，對

作一點討論，從上式可以看出，當粒子的質(zhì)量越大時，這個粒子的波長就越短，因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強；同樣的，當粒子的動能越大時，這個粒子的波長就越短，因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強，由于宏觀世界的物體質(zhì)量普遍很大，因而波動性極弱，顯現(xiàn)出來的都是粒子性，這種波粒二象性，從某種子意義來說，只有在微觀世界才能顯現(xiàn)。

1．3

氦原子的動能是（k為玻耳茲曼常數(shù)），求T=1K時，氦原子的德布羅意波長。

解

根據(jù)，知本題的氦原子的動能為

顯然遠遠小于這樣，便有

這里，利用了

最后，再對德布羅意波長與溫度的關(guān)系作一點討論，由某種粒子構(gòu)成的溫度為T的體系，其中粒子的平均動能的數(shù)量級為kT，這樣，其相慶的德布羅意波長就為

據(jù)此可知，當體系的溫度越低，相應(yīng)的德布羅意波長就越長，這時這種粒子的波動性就越明顯，特別是當波長長到比粒子間的平均距離還長時，粒子間的相干性就尤為明顯，因此這時就能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計分布的玻耳茲曼分布，而必須用量子的描述粒子的統(tǒng)計分布——玻色分布或費米公布。

1．4

利用玻爾——索末菲的量子化條件，求：

（1）一維諧振子的能量；

（2）在均勻磁場中作圓周運動的電子軌道的可能半徑。

已知外磁場H=10T，玻爾磁子，試計算運能的量子化間隔△E，并與T=4K及T=100K的熱運動能量相比較。

解

玻爾——索末菲的量子化條件為

其中q是微觀粒子的一個廣義坐標，p是與之相對應(yīng)的廣義動量，回路積分是沿運動軌道積一圈，n是正整數(shù)。

（1）設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為k，諧振子質(zhì)量為μ，于是有

這樣，便有

這里的正負號分別表示諧振子沿著正方向運動和沿著負方向運動，一正一負正好表示一個來回，運動了一圈。此外，根據(jù)

可解出

這表示諧振子的正負方向的最大位移。這樣，根據(jù)玻爾——索末菲的量子化條件，有

為了積分上述方程的左邊，作以下變量代換；

這樣，便有

這時，令上式左邊的積分為A，此外再構(gòu)造一個積分

這樣，便有

（1）

這里

=2θ，這樣，就有

（2）

根據(jù)式（1）和（2），便有

這樣，便有

其中

最后，對此解作一點討論。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次，這量子化的能量是等間隔分布的。

（2）當電子在均勻磁場中作圓周運動時，有

這時，玻爾——索末菲的量子化條件就為

又因為動能耐，所以，有

其中，是玻爾磁子，這樣，發(fā)現(xiàn)量子化的能量也是等間隔的，而且

具體到本題，有

根據(jù)動能與溫度的關(guān)系式

以及

可知，當溫度T=4K時，當溫度T=100K時，顯然，兩種情況下的熱運動所對應(yīng)的能量要大于前面的量子化的能量的間隔。

1．5

兩個光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負電子對，如果兩光子的能量相等，問要實現(xiàn)實種轉(zhuǎn)化，光子的波長最大是多少？

解

關(guān)于兩個光子轉(zhuǎn)化為正負電子對的動力學(xué)過程，如兩個光子以怎樣的概率轉(zhuǎn)化為正負電子對的問題，嚴格來說，需要用到相對性量子場論的知識去計算，修正當涉及到這個過程的運動學(xué)方面，如能量守恒，動量守恒等，我們不需要用那么高深的知識去計算，具休到本題，兩個光子能量相等，因此當對心碰撞時，轉(zhuǎn)化為正風電子對反需的能量最小，因而所對應(yīng)的波長也就最長，而且，有

此外，還有

于是，有

盡管這是光子轉(zhuǎn)化為電子的最大波長，但從數(shù)值上看，也是相當小的，我們知道，電子是自然界中最輕的有質(zhì)量的粒子，如果是光子轉(zhuǎn)化為像正反質(zhì)子對之類的更大質(zhì)量的粒子，那么所對應(yīng)的光子的最大波長將會更小，這從某種意義上告訴我們，當涉及到粒子的衰變，產(chǎn)生，轉(zhuǎn)化等問題，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子間的轉(zhuǎn)化等現(xiàn)象就越豐富，這樣，也許就能發(fā)現(xiàn)新粒子，這便是世界上在造越來越高能的加速器的原因：期待發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象，新粒子，新物理。

第二章波

函數(shù)和薛定諤方程

2.1證明在定態(tài)中，幾率流與時間無關(guān)。

證：對于定態(tài)，可令

可見無關(guān)。

2.2

由下列定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度：

從所得結(jié)果說明表示向外傳播的球面波，表示向內(nèi)(即向原點)

傳播的球面波。

解：

在球坐標中

同向。表示向外傳播的球面波。

可見，反向。表示向內(nèi)(即向原點)

傳播的球面波。

補充：設(shè)，粒子的位置幾率分布如何？這個波函數(shù)能否歸一化？

∴波函數(shù)不能按方式歸一化。

其相對位置幾率分布函數(shù)為

表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同。

2.3

一粒子在一維勢場

中運動，求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)。

解：無關(guān)，是定態(tài)問題。其定態(tài)S—方程

在各區(qū)域的具體形式為

Ⅰ：①

Ⅱ：②

Ⅲ：③

由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必須

即粒子不能運動到勢阱以外的地方去。

方程(2)可變?yōu)?/p>

令，得

其解為

④

根據(jù)波函數(shù)的標準條件確定系數(shù)A，B，由連續(xù)性條件，得

⑤

⑥

⑤

⑥

∴

由歸一化條件

得

由

可見E是量子化的。

對應(yīng)于的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為

#

2.4.證明（2.6-14）式中的歸一化常數(shù)是

證：

（2.6-14）

由歸一化，得

∴歸一化常數(shù)

#

2.5

求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。

解：

令，得

由的表達式可知，時。顯然不是最大幾率的位置。

可見是所求幾率最大的位置。

#

2.6

在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱：，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。

證：在一維勢場中運動的粒子的定態(tài)S-方程為

①

將式中的代換，得

②

利用，得

③

比較①、③式可知，都是描寫在同一勢場作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。由于它們描寫的是同一個狀態(tài)，因此之間只能相差一個常數(shù)。方程①、③可相互進行空間反演

而得其對方，由①經(jīng)反演，可得③，④

由③再經(jīng)反演，可得①，反演步驟與上完全相同，即是完全等價的。

⑤

④乘

⑤，得

可見，當時，具有偶宇稱，當時，具有奇宇稱，當勢場滿足時，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。#

2.7

一粒子在一維勢阱中

運動，求束縛態(tài)()的能級所滿足的方程。

解法一：粒子所滿足的S-方程為

按勢能的形式分區(qū)域的具體形式為

Ⅰ：

①

Ⅱ：

②

Ⅲ：

③

整理后，得

Ⅰ：

④

Ⅱ：.⑤

Ⅲ：

⑥

令

則

Ⅰ：

⑦

Ⅱ：.⑧

Ⅲ：

⑨

各方程的解為

由波函數(shù)的有限性，有

因此

由波函數(shù)的連續(xù)性，有

整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程組，得

解此方程即可得出B、C、D、F，進而得出波函數(shù)的具體形式，要方程組有非零解，必須

∵

∴

即

為所求束縛態(tài)能級所滿足的方程。#

解法二：接（13）式

#

解法三：

(11)-(13)

(10)+(12)

(11)+(13)

(12)-(10)

（b）

k

a

ctgk

k)

（）

（）

（）

（1

=

T

+

令

則

合并：

利用

#

解法四：（最簡方法-平移坐標軸法）

Ⅰ：

（χ≤0）

Ⅱ：

（0＜χ＜2）

Ⅲ：

（χ≥2）

束縛態(tài)＜＜

因此

由波函數(shù)的連續(xù)性，有

(7)代入(6)

利用(4)、(5)，得

#

2.8分子間的范德瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢能可以近似表示為

求束縛態(tài)的能級所滿足的方程。

解：勢能曲線如圖示，分成四個區(qū)域求解。

定態(tài)S-方程為

對各區(qū)域的具體形式為

Ⅰ：

Ⅱ：

Ⅲ：

Ⅳ：

對于區(qū)域Ⅰ，粒子不可能到達此區(qū)域，故

而

.①

②

③

對于束縛態(tài)來說，有

∴

④

⑤

⑥

各方程的解分別為

由波函數(shù)的有限性，得

∴

由波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)，得

∴

⑦

⑧

⑨

⑩

由⑦、⑧，得

(11)

由

⑨、⑩得

(12)

令，則①式變?yōu)?/p>

聯(lián)立(12)、(13)得，要此方程組有非零解，必須

把代入即得

此即為所要求的束縛態(tài)能級所滿足的方程。

#

附：從方程⑩之后也可以直接用行列式求解。見附頁。

此即為所求方程。

#

補充練習(xí)題一

1、設(shè)，求A

=？

解：由歸一化條件，有

利用

∴

#

2、求基態(tài)微觀線性諧振子在經(jīng)典界限外被發(fā)現(xiàn)的幾率。

解：基態(tài)能量為

設(shè)基態(tài)的經(jīng)典界限的位置為，則有

∴

在界限外發(fā)現(xiàn)振子的幾率為)

（2

0

0

0

x

a

x

a

x

e

dx

e

dx

e

a

a

a

p

a

y

p

a

p

a

w

￥

￥

=

+

=

ò

ò

式中為正態(tài)分布函數(shù)

當。查表得

∴

∴在經(jīng)典極限外發(fā)現(xiàn)振子的幾率為0.16。

#

3、試證明是線性諧振子的波函數(shù)，并求此波函數(shù)對應(yīng)的能量。

證：線性諧振子的S-方程為

①

把代入上式，有

把代入①式左邊，得

當時，左邊

=

右邊。

n

=

3，是線性諧振子的波函數(shù)，其對應(yīng)的能量為。

第三章

量子力學(xué)中的力學(xué)量

3.1

一維諧振子處在基態(tài)，求：

(1)勢能的平均值；

(2)動能的平均值；

(3)動量的幾率分布函數(shù)。

解：(1)

(2)

或

(3)

動量幾率分布函數(shù)為

#

3.2.氫原子處在基態(tài)，求：

(1)r的平均值；

(2)勢能的平均值；

(3)最可幾半徑；

(4)動能的平均值；

(5)動量的幾率分布函數(shù)。

解：(1)

(3)電子出現(xiàn)在r+dr球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為

令

當為幾率最小位置

∴

是最可幾半徑。

(4)

(5)

動量幾率分布函數(shù)

#

3.3

證明氫原子中電子運動所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標中的分量是

證：電子的電流密度為

在球極坐標中為

中的和部分是實數(shù)。

∴

可見，#

3.4

由上題可知，氫原子中的電流可以看作是由許多圓周電流組成的。

(1)求一圓周電流的磁矩。

(2)證明氫原子磁矩為

原子磁矩與角動量之比為

這個比值稱為回轉(zhuǎn)磁比率。

解：(1)

一圓周電流的磁矩為

（為圓周電流，為圓周所圍面積）

(2)氫原子的磁矩為

在單位制中

原子磁矩與角動量之比為

#

3.5

一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量為I，它的能量的經(jīng)典表示式是，L為角動量，求與此對應(yīng)的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù)：

(1)

轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動：

(2)

轉(zhuǎn)子繞一固定點轉(zhuǎn)動：

解：(1)設(shè)該固定軸沿Z軸方向，則有

哈米頓算符

其本征方程為

(無關(guān)，屬定態(tài)問題)

令，則

取其解為

(可正可負可為零)

由波函數(shù)的單值性，應(yīng)有

即

∴m=

0，±1，±2，…

轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為

(m=

0，±1，±2，…)

可見能量只能取一系列分立值，構(gòu)成分立譜。

定態(tài)波函數(shù)為

A為歸一化常數(shù)，由歸一化條件

∴

轉(zhuǎn)子的歸一化波函數(shù)為

綜上所述，除m=0外，能級是二重簡并的。

(2)取固定點為坐標原點，則轉(zhuǎn)子的哈米頓算符為

無關(guān)，屬定態(tài)問題，其本征方程為

(式中設(shè)為的本征函數(shù)，為其本征值)

令，則有

此即為角動量的本征方程，其本征值為

其波函數(shù)為球諧函數(shù)

∴

轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為

可見，能量是分立的，且是重簡并的。

#

3.6

設(shè)t=0時，粒子的狀態(tài)為

求此時粒子的平均動量和平均動能。

解：

可見，動量的可能值為

動能的可能值為

對應(yīng)的幾率應(yīng)為

上述的A為歸一化常數(shù)，可由歸一化條件，得

∴

∴

動量的平均值為

#

3.7

一維運動粒子的狀態(tài)是

其中，求：

(1)粒子動量的幾率分布函數(shù)；

(2)粒子的平均動量。

解：(1)先求歸一化常數(shù)，由

∴

動量幾率分布函數(shù)為

(2)

#

3.8.在一維無限深勢阱中運動的粒子，勢阱的寬度為，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)

描寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子的幾率分布和能量的平均值。

解：由波函數(shù)的形式可知一維無限深勢阱的分布如圖示。粒子能量的本征函數(shù)和本征值為

動量的幾率分布函數(shù)為

先把歸一化，由歸一化條件，∴

∴

∴

3.9.設(shè)氫原子處于狀態(tài)

求氫原子能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。

解：在此能量中，氫原子能量有確定值

角動量平方有確定值為

角動量Z分量的可能值為

其相應(yīng)的幾率分別為，其平均值為

3.10一粒子在硬壁球形空腔中運動，勢能為

求粒子的能級和定態(tài)函數(shù)。

解：據(jù)題意，在的區(qū)域，所以粒子不可能運動到這一區(qū)域，即在這區(qū)域粒子的波函數(shù)

()

由于在的區(qū)域內(nèi)。只求角動量為零的情況，即，這時在各個方向發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是相同的。即粒子的幾率分布與角度無關(guān)，是各向同性的，因此，粒子的波函數(shù)只與有關(guān)，而與無關(guān)。設(shè)為，則粒子的能量的本征方程為

令，得

其通解為

波函數(shù)的有限性條件知，有限，則

A

=

0

∴

由波函數(shù)的連續(xù)性條件，有

∵

∴

∴

其中B為歸一化，由歸一化條件得

∴

∴

歸一化的波函數(shù)

#

3.11.求第3.6題中粒子位置和動量的測不準關(guān)系

解：

3.12

粒子處于狀態(tài)

式中為常量。當粒子的動量平均值，并計算測不準關(guān)系

解：①先把歸一化，由歸一化條件，得

∴

/

∴

是歸一化的②

動量平均值為

③

（奇被積函數(shù)）

#

3.13利用測不準關(guān)系估計氫原子的基態(tài)能量。

解：設(shè)氫原子基態(tài)的最概然半徑為R，則原子半徑的不確定范圍可近似取為

由測不準關(guān)系

得

對于氫原子，基態(tài)波函數(shù)為偶宇稱，而動量算符為奇宇稱，所以

又有

所以

可近似取

能量平均值為

作為數(shù)量級估算可近似取

則有

基態(tài)能量應(yīng)取的極小值，由

得

代入，得到基態(tài)能量為

補充練習(xí)題二

1．試以基態(tài)氫原子為例證明：的本征函數(shù)，而是的本征函數(shù)。

可見，可見，是的本征函數(shù)。

2．證明：的氫原子中的電子，在的方向上被發(fā)現(xiàn)的幾率最大。

解：

∴的電子，其

∴

當時

為最大值。即在方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率最大。

在其它方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率密度均在～之間。

3．試證明：處于1s，2p和3d態(tài)的氫原子的電子在離原子核的距離分別為的球殼內(nèi)被發(fā)現(xiàn)的幾率最大(為第一玻爾軌道半徑)。

證：①對1s態(tài)，令

易見，當不是最大值。

為最大值，所以處于1s態(tài)的電子在處被發(fā)現(xiàn)的幾率最大。

②對2p態(tài)的電子

令

易見，當為最小值。

∴

為幾率最大位置，即在的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)球態(tài)的電子的幾率最大。

③對于3d態(tài)的電子

令

易見，當為幾率最小位置。

∴

為幾率最大位置，即在的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)球態(tài)的電子的幾率最大。

4.當無磁場時，在金屬中的電子的勢能可近似視為

其中，求電子在均勻場外電場作用下穿過金屬表面的透射系數(shù)。

解：設(shè)電場強度為，方向沿χ軸負向，則總勢能為，勢能曲線如圖所示。則透射系數(shù)為

式中為電子能量。，由下式確定

∴

令，則有

∴透射系數(shù)

5．指出下列算符哪個是線性的，說明其理由。

①；

②；

③

解：①是線性算符

②不是線性算符

③是線性算符

6．指出下列算符哪個是厄米算符，說明其理由。

7、下列函數(shù)哪些是算符的本征函數(shù)，其本征值是什么？

①，②，③，④，⑤

解：①

∴

不是的本征函數(shù)。

②

∴

不是的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為1。

③

∴

可見，是的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為－1。

④

∴

是的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為－1。

⑤

∴

是的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為－1。

8、試求算符的本征函數(shù)。

解：的本征方程為

（的本征值）

9、如果把坐標原點取在一維無限深勢阱的中心，求阱中粒子的波函數(shù)和能級的表達式。

解：

方程（分區(qū)域）：

Ⅰ：

∴

Ⅲ：

∴

Ⅱ：

令

標準條件：

∴

∵

∴

取，即

∴

∴

∴

粒子的波函數(shù)為

粒子的能級為

由歸一化條件，得

∴

∴

粒子的歸一化波函數(shù)為

10、證明：處于1s、2p和3d態(tài)的氫原子中的電子，當它處于距原子核的距離分別為的球殼處的幾率最（為第一玻爾軌道半徑）。

證：

令，則得

∴為幾率最小處。

∴為幾率最大處。

令，則得

∴

為最大幾率位置。

當

時，∴為幾率最小位置。

令，得

同理可知

為幾率最小處。

為幾率最大處。

11、求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。

解：

令，得，∴

為幾率最小處。，∴

為幾率最大處。

6．設(shè)氫原子處在的態(tài)（為第一玻爾軌道半徑），求

①的平均值；

②勢能的平均值。

解：①

②

12、粒子在勢能為的場中運動。證明對于能量的狀態(tài)，其能量由下式?jīng)Q定：

（其中）

證：方程

Ⅰ：

Ⅱ：

Ⅲ：

令

則得

Ⅰ：

Ⅱ：

Ⅲ：

其通解為

利用標準條件，由有限性知

∴

由連續(xù)性知

①

②

③

④

由①、②，得

⑤

由③、④，得

⑥

而

把⑤、⑥代入，得

整理，得

令

∴

由，得

###

13、設(shè)波函數(shù)，求

解：

14、說明：如果算符和都是厄米的，那么

(+)也是厄米的證：

∴

+也是厄米的。

15、問下列算符是否是厄米算符：

①

②

解：①

因為

∴

不是厄米算符。

②

∴

是厄米算符。

##

16、如果算符滿足關(guān)系式，求證

①

②

證：

①

②

17、求

解：

=

018、解：

=

0

第四章

態(tài)和力學(xué)量的表象

4.1.求在動量表象中角動量的矩陣元和的矩陣元。

解：

#

4.2

求能量表象中，一維無限深勢阱的坐標與動量的矩陣元。

解：基矢：

能量：

對角元：

當時，#

4.3

求在動量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)。

解：定態(tài)薛定諤方程為

即

兩邊乘以，得

令

跟課本P.39(2.7-4)式比較可知，線性諧振子的能量本征值和本征函數(shù)為

式中為歸一化因子，即

#

4.4.求線性諧振子哈密頓量在動量表象中的矩陣元。

解：

#

4.5

設(shè)已知在的共同表象中，算符的矩陣分別為

求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)。最后將矩陣對角化。

解：的久期方程為

∴的本征值為的本征方程

其中設(shè)為的本征函數(shù)共同表象中的矩陣

當時，有

∴

由歸一化條件

取

對應(yīng)于的本征值0。

當時，有

∴

由歸一化條件

取

∴歸一化的對應(yīng)于的本征值

當時，有

∴

由歸一化條件

取

∴歸一化的對應(yīng)于的本征值

由以上結(jié)果可知，從的共同表象變到表象的變換矩陣為

∴對角化的矩陣為

按照與上同樣的方法可得的本征值為的歸一化的本征函數(shù)為

從的共同表象變到表象的變換矩陣為

利用S可使對角化

#

4.6求連續(xù)性方程的矩陣表示

解：連續(xù)性方程為

∴

而

∴

寫成矩陣形式為

第五章

微擾理論

5.1

如果類氫原子的核不是點電荷，而是半徑為、電荷均勻分布的小球，計算這種效應(yīng)對類氫原子基態(tài)能量的一級修正。

解：這種分布只對的區(qū)域有影響，對的區(qū)域無影響。據(jù)題意知

其中是不考慮這種效應(yīng)的勢能分布，即

為考慮這種效應(yīng)后的勢能分布，在區(qū)域，在區(qū)域，可由下式得出，由于很小，所以，可視為一種微擾，由它引起的一級修正為（基態(tài)）

∴，故。

∴

#

5.2

轉(zhuǎn)動慣量為I、電偶極矩為的空間轉(zhuǎn)子處在均勻電場在中，如果電場較小，用微擾法求轉(zhuǎn)子基態(tài)能量的二級修正。

解：取的正方向為Z軸正方向建立坐標系，則轉(zhuǎn)子的哈米頓算符為

取，則

由于電場較小，又把視為微擾，用微擾法求得此問題。的本征值為

本征函數(shù)為的基態(tài)能量為，為非簡并情況。根據(jù)定態(tài)非簡并微擾論可知

#

5.3

設(shè)一體系未受微擾作用時有兩個能級：，現(xiàn)在受到微擾的作用，微擾矩陣元為；都是實數(shù)。用微擾公式求能量至二級修正值。

解：由微擾公式得

得

∴

能量的二級修正值為

#

5.4設(shè)在時，氫原子處于基態(tài)，以后受到單色光的照射而電離。設(shè)單色光的電場可以近似地表示為，及均為零；電離電子的波函數(shù)近似地以平面波表示。求這單色光的最小頻率和在時刻躍遷到電離態(tài)的幾率。

解：①當電離后的電子動能為零時，這時對應(yīng)的單色光的頻率最小，其值為

②時，氫原子處于基態(tài)，其波函數(shù)為

在時刻，微擾

其中

在時刻躍遷到電離態(tài)的幾率為

對于吸收躍遷情況，上式起主要作用的第二項，故不考慮第一項，O

θ

α

x

y

z（）

其中

取電子電離后的動量方向為Z方向，取、所在平面為面，則有

∴

#

5.5基態(tài)氫原子處于平行板電場中，若電場是均勻的且隨時間按指數(shù)下降，即

求經(jīng)過長時間后氫原子處在2p態(tài)的幾率。

解：對于2p態(tài)，可取三值，其相應(yīng)的狀態(tài)為

氫原子處在2p態(tài)的幾率也就是從躍遷到的幾率之和。

由

(取方向為Z軸方向)

=

0

=

0

由上述結(jié)果可知，∴

當時，其中

#

5.6計算氫原子由第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的自發(fā)發(fā)射幾率。

解：

由選擇定則，知是禁戒的故只需計算的幾率

而

2p有三個狀態(tài)，即

(1)先計算z的矩陣元

(2)計算x的矩陣元

(3)計算的矩陣元

(4)計算

#

5.7

計算氫原子由2p態(tài)躍遷到1s態(tài)時所發(fā)出的光譜線強度。

解：

若，則

#

5.8求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則

解：

由

時，即選擇定則為

#

補充練習(xí)三

1、一維無限深勢阱中的粒子受到微擾

作用，試求基態(tài)能級的一級修正。

解：基態(tài)波函數(shù)（零級近似）為

∴能量一級修正為

2、具有電荷為的離子，在其平衡位置附近作一維簡諧振動，在光的照射下發(fā)生躍遷。設(shè)入射光的能量為。其波長較長，求：

①

原來處于基態(tài)的離子，單位時間內(nèi)躍遷到第一激發(fā)態(tài)的幾率。

②討論躍遷的選擇定則。

（提示：利用積分關(guān)系

答：①

②僅當，所以諧振子的偶極躍遷的選擇定則是）

解：①

∴

(對于一維線性諧振子～)

其中

一維線性諧振子的波函數(shù)為

∴

∴

②

躍遷幾率，當時的躍遷為禁戒躍遷。

可見，所討論的選擇定則為。

#

3、電荷e的諧振子，在時處于基態(tài)，時處于弱電場之中(為常數(shù))，試求諧振子處于第一激發(fā)態(tài)的幾率。

解：取電場方向為軸正方向，則有

當經(jīng)過很長時間以后，即當時。

∴

實際上在以后即可用上述結(jié)果。

#

第七章

自旋與全同粒子

7.1.證明：

證：由對易關(guān)系

及

反對易關(guān)系，得

上式兩邊乘，得

∵

∴

7.2

求在自旋態(tài)中，和的測不準關(guān)系：

解：在表象中、、的矩陣表示分別為

∴

在態(tài)中

討論：由、的對易關(guān)系

[，]

要求

①

在態(tài)中，∴

可見①式符合上式的要求。

7.3.求的本征值和所屬的本征函數(shù)。

解：的久期方程為

∴的本征值為。

設(shè)對應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為

由本征方程，得

由歸一化條件，得

即

∴

對應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為

設(shè)對應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為

由本征方程

由歸一化條件，得

即

∴

對應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為

同理可求得的本征值為。其相應(yīng)的本征函數(shù)分別為

7.4

求自旋角動量方向的投影

本征值和所屬的本征函數(shù)。

在這些本征態(tài)中，測量有哪些可能值？這些可能值各以多大的幾率出現(xiàn)？的平均值是多少？

解：在表象，的矩陣元為

其相應(yīng)的久期方程為

即

所以的本征值為。

設(shè)對應(yīng)于的本征函數(shù)的矩陣表示為，則

由歸一化條件，得

可見，的可能值為

相應(yīng)的幾率為

同理可求得

對應(yīng)于的本征函數(shù)為

在此態(tài)中，的可能值為

相應(yīng)的幾率為

7.5設(shè)氫的狀態(tài)是

①求軌道角動量z分量和自旋角動量z分量的平均值；

②求總磁矩的z分量的平均值（用玻爾磁矩子表示）。

解：ψ可改寫成從ψ的表達式中可看出的可能值為

0

相應(yīng)的幾率為的可能值為

相應(yīng)的幾率為

7.6

一體系由三個全同的玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個可能的單粒子態(tài)。問體系可能的狀態(tài)有幾個？它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成？

解：體系可能的狀態(tài)有4個。設(shè)兩個單粒子態(tài)為，則體系可能的狀態(tài)為

7.7

證明和組成的正交歸一系。

解：

=0

同理可證其它的正交歸一關(guān)系。

7.8

設(shè)兩電子在彈性輳力場中運動，每個電子的勢能是。如果電子之間的庫侖能和相比可以忽略，求當一個電子處在基態(tài)，另一電子處于沿x方向運動的第一激發(fā)態(tài)時，兩電子組成體系的波函數(shù)。

解：電子波函數(shù)的空間部分滿足定態(tài)S-方程

考慮到，令

其中，對于基態(tài)，對于沿χ方向的第一激發(fā)態(tài)，兩電子的空間波函數(shù)能夠組成一個對稱波函數(shù)和一個反對稱波函數(shù)，其形式為

而兩電子的自旋波函數(shù)可組成三個對稱態(tài)和一個反對稱態(tài)，即

和

綜合兩方面，兩電子組成體系的波函數(shù)應(yīng)是反對稱波函數(shù)，即

獨態(tài)：

三重態(tài)：

主要參考書：

[1]

周世勛，《量子力學(xué)教程》，高教出版社，1979

[2]

張宏寶編

量子力學(xué)教程學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書，高等教育出版社2004.2