2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試-理科數(shù)學(xué)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A={x|x<1},B={x|},則（）

A.B.C.D.2.如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）

A.B.C.D.3.設(shè)有下面四個(gè)命題

若復(fù)數(shù)滿足，則；

若復(fù)數(shù)滿足，則；

若復(fù)數(shù)滿足，則；

若復(fù)數(shù)，則.其中的真命題為（）

A.B.C.D.4．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公差為（）

A．1

B．2

C．4

D．8

5．函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

6.展開式中的系數(shù)為（）

A.15

B.20

C.30

D.35

7.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為（）

A.10

B.12

C.14

D.16

8.下面程序框圖是為了求出滿足3n-2n>1000的最小偶數(shù)n，那么在和

兩個(gè)空白框中，可以分別填入（）

A.A>1000和n=n+1

B.A>1000和n=n+2

C.A1000和n=n+1

D.A1000和n=n+2

9.已知曲線C1：y=cos

x，C2：y=sin

(2x+)，則下面結(jié)正確的是（）

A.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線C2

B.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線C2

C.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線C2

D.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線C2

10.已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為（）

A．16

B．14

C．12

D．10

11.設(shè)xyz為正數(shù)，且，則（）

A．2x<3y<5z

B．5z<2x<3y

C．3y<5z<2x

D．3y<2x<5z

12.幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們退出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是26，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是（）

A.440

B.330

C.220

D.110

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|

b

|=1，則|

a

+2

b

|=

.14.設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值為

.15.已知雙曲線C：（a>0，b>0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn).若∠MAN=60°，則C的離心率為________.16.如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5

cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_______.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：60分.17.（12分）

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為

（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長

18.（12分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且

(1)證明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA=PD=AB=DC，求二面角A-PB-C的余弦值.19．（12分）

為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2)．

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．

（ⅰ）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：

9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.04

10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95

經(jīng)計(jì)算得，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i=1,2,…,16．

用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ（精確到0.01）．

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P(μ–3σ

4，0.997

416≈0.959

2，．

20.（12分）

已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn).21.（12分）

已知函數(shù)=ae2x+（a﹣2）ex﹣x.（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22．[選修4-4，坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為.（1）若a=-1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為，求a.23.[選修4—5：不等式選講]（10分）

已知函數(shù)f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范圍.【參考答案】

1.A

【解析】，∴，2.B

【解析】設(shè)正方形邊長為，則圓半徑為

則正方形的面積為，圓的面積為，圖中黑色部分的概率為

則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為.3.B

【解析】設(shè)，則，得到，所以.故正確；

若，滿足，而，不滿足，故不正確；

若，則，滿足，而它們實(shí)部不相等，不是共軛復(fù)數(shù)，故不正確；實(shí)數(shù)沒有虛部，所以它的共軛復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實(shí)數(shù)，故正確；

4.C

【解析】

聯(lián)立求得

得

5.D

【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，于是等價(jià)于|

又在單調(diào)遞減

故選D

6.C

【解析】

對的項(xiàng)系數(shù)為

對的項(xiàng)系數(shù)為，∴的系數(shù)為故選C

7.B

【解析】由三視圖可畫出立體圖

該立體圖平面內(nèi)只有兩個(gè)相同的梯形的面

8.D

【解析】因?yàn)橐蟠笥?000時(shí)輸出，且框圖中在“否”時(shí)輸出

∴“

”中不能輸入

排除A、B

又要求為偶數(shù)，且初始值為0，“

”中依次加2可保證其為偶

故選D

9.D

【解析】，首先曲線、統(tǒng)一為一三角函數(shù)名，可將用誘導(dǎo)公式處理．．橫坐標(biāo)變換需將變成，即．

注意的系數(shù)，在右平移需將提到括號外面，這時(shí)平移至，根據(jù)“左加右減”原則，“”到“”需加上，即再向左平移．

10.A

【解析】設(shè)傾斜角為．作垂直準(zhǔn)線，垂直軸

易知

同理，又與垂直，即的傾斜角為

而，即．，當(dāng)取等號

即最小值為，故選A

11.D

【解析】取對數(shù)：.則，故選D

12.A

【解析】設(shè)首項(xiàng)為第1組，接下來兩項(xiàng)為第2組，再接下來三項(xiàng)為第3組，以此類推設(shè)第組的項(xiàng)數(shù)為，則組的項(xiàng)數(shù)和為

由題，令→且，即出現(xiàn)在第13組之后

第組的和為組總共的和為

若要使前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，則項(xiàng)的和應(yīng)與互為相反數(shù)

即

→

則

故選A

13.【解析】

∴

14.【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示

由,得，求的最小值，即求直線的縱截距的最大值

當(dāng)直線過圖中點(diǎn)時(shí)，縱截距最大

由解得點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)

15.【解析】如圖，∵，∴，∴

又∵，∴，解得

∴

16.【解析】由題，連接，交與點(diǎn)，由題，即的長度與的長度或成正比

設(shè)，則，三棱錐的高

則

令，令，即，則

則

體積最大值為

17.解：（1）面積.且

由正弦定理得，由得.（2）由（1）得，又，由余弦定理得

①

由正弦定理得，②

由①②得，即周長為

18.（1）證明：∵

∴，又∵，∴

又∵，、平面

∴平面，又平面

∴平面平面

（2）解：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，∵

∴四邊形為平行四邊形

∴

由（1）知，平面

∴平面，又、平面

∴，又∵，∴

∴、、兩兩垂直

∴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

設(shè)，∴、、、，∴、、設(shè)為平面的法向量

由，得

令，則，可得平面的一個(gè)法向量

∵，∴

又知平面，平面

∴，又

∴平面

即是平面的一個(gè)法向量

∴

由圖知二面角為鈍角，所以它的余弦值為

19.解：（1）由題可知尺寸落在之內(nèi)的概率為，落

之外的概率為．

由題可知

（2）（i）尺寸落在之外的概率為，由正態(tài)分布知尺寸落在之外為小概率事件，因此上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理．

（ii），需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程檢查．

因此剔除

剔除數(shù)據(jù)之后：．

20.解：（1）根據(jù)橢圓對稱性，必過、又橫坐標(biāo)為1，橢圓必不過，所以過三點(diǎn)

將代入橢圓方程得，解得，∴橢圓的方程為：．

（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)

得，此時(shí)過橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足．

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)

聯(lián)立，整理得,則

又，此時(shí)，存在使得成立．

∴直線的方程為

當(dāng)時(shí)，所以過定點(diǎn)．

21.解：（1）由于

故

當(dāng)時(shí)，．從而恒成立．在上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，令，從而，得．

單調(diào)減

極小值

單調(diào)增

綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)減，故在上至多一個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件．

當(dāng)時(shí)，．

令．

令，則．從而在上單調(diào)增，而．故當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)．當(dāng)時(shí)

若，則，故恒成立，從而無零點(diǎn)，不滿足條件．

若，則，故僅有一個(gè)實(shí)根，不滿足條件．

若，則，注意到．．

故在上有一個(gè)實(shí)根，而又．

且．

故在上有一個(gè)實(shí)根．

又在上單調(diào)減，在單調(diào)增，故在上至多兩個(gè)實(shí)根．

又在及上均至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故在上恰有兩個(gè)實(shí)根．

綜上，．

22.解：（1）時(shí)，直線的方程為．

曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，聯(lián)立方程，解得：或，則與交點(diǎn)坐標(biāo)是和

（2）直線一般式方程是．

設(shè)曲線上點(diǎn)．

則到距離，其中．

依題意得：，解得或

23.解：（1）當(dāng)時(shí)，是開口向下，對稱軸的二次函數(shù)．，當(dāng)時(shí)，令，解得

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

∴此時(shí)解集為．

當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且．

綜上所述，解集．

（2）依題意得：在恒成立．

即在恒成立．

則只須，解出：．

故取值范圍是．