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2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(浙江卷)數學試題（文史類）

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）

1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，則=（）

A.{1}

B.{3，5}

C.{1，2，4，6}

D.{1，2，3，4，5}

【答案】C

考點：補集的運算.【易錯點睛】解本題時要看清楚是求“”還是求“”，否則很容易出現錯誤；一定要注意集合中元素的互異性，防止出現錯誤．

2.已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則（）

A.m∥l

B.m∥n

C.n⊥l

D.m⊥n

【答案】C

【解析】

試題分析：由題意知，．故選C．

考點：線面位置關系.【思路點睛】解決這類空間點、線、面的位置關系問題，一般是借助長方體（或正方體），能形象直觀地看出空間點、線、面的位置關系．

3.函數y=sinx2的圖象是（）

【答案】D

【解析】

試題分析：因為為偶函數，所以它的圖象關于軸對稱，排除A、C選項；當，即時，排除B選項，故選D.考點：三角函數圖象.【方法點睛】給定函數的解析式識別圖象，一般從五個方面排除、篩選錯誤或正確的選項：（1）從函數的定義域，判斷圖象左右的位置，從函數的值域，判斷圖象的上下位置；（2）從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；（3）從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）從函數的周期性，判斷函數的循環(huán)往復；（5）從特殊點出發(fā)，排除不符合要求的選項.4.若平面區(qū)域

夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最

小值是（）

A.B.C.D.【答案】B

考點：線性規(guī)劃.【思路點睛】先根據不等式組畫出可行域，再根據可行域的特點確定取得最值的最優(yōu)解，代入計算．畫不等式組所表示的平面區(qū)域時要注意通過特殊點驗證，防止出現錯誤．

5.已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若，則（）

A.B.C.D.【答案】D

考點：對數函數的性質.【易錯點睛】在解不等式時，一定要注意對分為和兩種情況進行討論，否則很容易出現錯誤．

6.已知函數f（x）=x2+bx，則“b<0”是“f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

試題分析：由題意知，最小值為.令，則，當時，的最小值為，所以“”能推出“的最小值與的最小值相等”；

當時，的最小值為0，的最小值也為0，所以“的最小值與的最小值相等”不能推出“”．故選A．

考點：充分必要條件.【方法點睛】解題時一定要注意時，是的充分條件，是的必要條件，否則很容易出現錯誤．充分、必要條件的判斷即判斷命題的真假，在解題中可以根據原命題與其逆否命題進行等價轉化．

7.已知函數滿足：且.（）

A.若，則

B.若，則

C.若，則

D.若，則

【答案】B

考點：函數的奇偶性.【思路點睛】先由已知條件可得的解析式，再由的解析式判斷的奇偶性，進而對選項逐個進行排除．

8.如圖，點列分別在某銳角的兩邊上，且，.(P≠Q表示點P與Q不重合)若，為的面積，則（）

A.是等差數列

B.是等差數列

C.是等差數列

D.是等差數列

【答案】A

【解析】

考點：新定義題、三角形面積公式.【思路點睛】先求出的高，再求出和的面積和，進而根據等差數列的定義可得為定值，即可得是等差數列．

二、填空題（本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．）

9.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是______cm2,體積是______cm3.【答案】80；40．

【解析】

試題分析：由三視圖知該組合體是一個長方體上面放置了一個小正方體，．

考點：三視圖.【方法點睛】解決由三視圖求空間幾何體的表面積與體積問題，一般是先根據三視圖確定該幾何體的結構特征，再準確利用幾何體的表面積與體積公式計算該幾何體的表面積與體積．

10.已知，方程表示圓，則圓心坐標是_____，半徑是

______.【答案】；5．

考點：圓的標準方程.【易錯點睛】由方程表示圓可得的方程，解得的值，一定要注意檢驗的值是否符合題意，否則很容易出現錯誤．

11.已知，則______，______．

【答案】；1．

【解析】

試題分析：，所以

考點：三角恒等變換.【思路點睛】解答本題時先用降冪公式化簡，再用輔助角公式化簡，進而對照可得和．

12．設函數f(x)=x3+3x2+1．已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x–b)(x–a)2，x∈R，則實數a=_____，b=______．

【答案】－2；1．]

【解析】

試題分析：，所以，解得．

考點：函數解析式.【思路點睛】先計算，再將展開，進而對照系數可得含有，的方程組，解方程組可得和的值．

13．設雙曲線x2–=1的左、右焦點分別為F1，F2．若點P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|+|PF2|的取值范圍是_______．

【答案】．

考點：雙曲線的幾何性質.【思路點睛】先由對稱性可設點在右支上，進而可得和，再由為銳角三角形可得，進而可得的不等式，解不等式可得的取值范圍．

14．如圖，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直線AC將△ACD翻折

成△，直線AC與所成角的余弦的最大值是______．

【答案】

【解析】

試題分析：設直線與所成角為．

設是中點，由已知得，如圖，以為軸，為軸，過與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，由，，作于，翻折過程中，始終與垂直，則，因此可設，則，與平行的單位向量為，所以＝，所以時，取最大值．

考點：異面直線所成角.【思路點睛】先建立空間直角坐標系，再計算與平行的單位向量和，進而可得直線與所成角的余弦值，最后利用三角函數的性質可得直線與所成角的余弦值的最大值．

15．已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e為平面單位向量，則|a·e|+|b·e|的最大

值是______．

【答案】

【解析】

試題分析：由已知得，不妨取，設，則，取等號時與同號．

所以，（其中，取為銳角）．

顯然

易知當時，取最大值1，此時為銳角，同為正，因此上述不等式中等號能同時取到．故所求最大值為．

考點：平面向量的數量積和模.【思路點睛】先設，和的坐標，再將轉化為三角函數，進而用輔助角公式將三角函數進行化簡，最后用三角函數的性質可得三角函數的最大值，進而可得的最大值．

三、解答題（本大題共5小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）

16．（本題滿分14分）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知b+c=2acos

B．

（Ⅰ）證明：A=2B；

（Ⅱ）若cos

B=，求cos

C的值．

【答案】（I）證明見解析；（II）.因此，（舍去）或，所以，.（II）由，得，故，.考點：三角函數及其變換、正弦和余弦定理.【思路點睛】（I）用正弦定理將邊轉化為角，進而用兩角和的正弦公式轉化為含有，的式子，根據角的范圍可證；（II）先用同角三角函數的基本關系及二倍角公式可得，進而可得和，再用兩角和的余弦公式可得．

17.（本題滿分15分）設數列{}的前項和為.已知=4，=2+1，.（I）求通項公式；

（II）求數列{}的前項和.【答案】（I）；（II）.考點：等差、等比數列的基礎知識.【方法點睛】數列求和的常用方法：（1）錯位相減法：形如數列的求和，其中是等差數列，是等比數列；（2）裂項法：形如數列或的求和，其中，是關于的一次函數；（3）分組法：數列的通項公式可分解為幾個容易求和的部分．

18.（本題滿分15分）如圖，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（I）求證：BF⊥平面ACFD；

（II）求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.【答案】（I）證明見解析；（II）.【解析】

試題分析：（I）先證，再證，進而可證平面；（II）先找直線與平面所成的角，再在中計算，即可得線與平面所成的角的余弦值．

試題解析：（I）延長相交于一點，如圖所示，因為平面平面，且，所以

考點：空間點、線、面位置關系、線面角.【方法點睛】解題時一定要注意直線與平面所成的角的范圍，否則很容易出現錯誤．證明線面垂直的關鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對角線．

19.（本題滿分15分）如圖，設拋物線的焦點為F，拋物線上的點A到y(tǒng)軸的距

離等于|AF|-1.（I）求p的值；

（II）若直線AF交拋物線于另一點B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，AN與x[軸交于點M.求M的橫坐標的取值范圍.【答案】（I）；（II）.設M(m,0),由A,M,N三點共線得：，于是，經檢驗，m<0或m>2滿足題意.綜上，點M的橫坐標的取值范圍是.考點：拋物線的幾何性質、直線與拋物線的位置關系.【思路點睛】（I）當題目中出現拋物線上的點到焦點的距離時，一般會想到轉化為拋物線上的點到準線的距離．解答本題時轉化為拋物線上的點到準線的距離，進而可得點到軸的距離；（II）通過聯立方程組可得點的坐標，進而可得點的坐標，再利用，三點共線可得用含有的式子表示，進而可得的橫坐標的取值范圍.20.（本題滿分15分）設函數=，.證明：

（I）；

（II）.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析.由(Ⅰ)得，又因為，所以，綜上，考點：函數的單調性與最值、分段函數.【思路點睛】（I）先用等比數列前項和公式計算，再用放縮法可得，進而可證；（II）由（I）的結論及放縮法可證．