第2課時　等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

學(xué)習(xí)

目

標(biāo)

核

心

素

養(yǎng)

1.掌握不等式的性質(zhì)．(重點(diǎn))

2．能利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)或式的大小比較或不等式的證明．(難點(diǎn))

3．通過類比等式與不等式的性質(zhì)，探索兩者之間的共性與差異.1.通過不等式性質(zhì)的判斷與證明，培養(yǎng)邏輯推理能力．

2．借助不等式性質(zhì)求范圍問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1．等式的性質(zhì)

(1)

性質(zhì)1

如果a＝b，那么b＝a；

(2)

性質(zhì)2

如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

(3)

性質(zhì)3

如果a＝b，那么a±c＝b±c；

(4)

性質(zhì)4

如果a＝b，那么ac＝bc；

(5)

性質(zhì)5

如果a＝b，c≠0，那么＝.2．不等式的基本性質(zhì)

(1)對稱性：a＞b?b＜a.(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c.(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.(5)加法法則：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.(6)乘法法則：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.(7)乘方法則：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．

1．若a＞b，c＞d，則下列不等關(guān)系中不一定成立的是()

A．a(chǎn)－b＞d－c

B．a(chǎn)＋d＞b＋c

C．a(chǎn)－c＞b－c

D．a(chǎn)－c＜a－d

B　[根據(jù)不等式的性質(zhì)．]

2．與a>b等價的不等式是()

A．|a|>|b|

B．a(chǎn)2>b2

C.>1

D．a(chǎn)3>b3

D　[可利用賦值法．令a＝－5，b＝0，則A、B正確而不滿足a>b.再令a＝－3，b＝－1，則C正確而不滿足a>b，故選D.]

3．設(shè)x

A．x2

B．x2>ax>a2

C．x2

D．x2>a2>ax

B　[∵xa2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.]

利用不等式性質(zhì)判斷命題真假

【例1】　對于實(shí)數(shù)a，b，c下列命題中的真命題是()

A．若a＞b，則ac2＞bc2

B．若a＞b＞0，則＞

C．若a＜b＜0，則＞

D．若a＞b，＞，則a＞0，b＜0

[思路點(diǎn)撥]　本題可以利用不等式的性質(zhì)直接判斷命題的真假，也可以采用特殊值法判斷．

D　[法一：∵c2≥0，∴c＝0時，有ac2＝bc2，故A為假命題；

由a＞b＞0，有ab＞0?＞?＞，故B為假命題；

?＞，故C為假命題；

ab＜0.∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D為真命題．

法二：特殊值排除法．

取c＝0，則ac2＝bc2，故A錯．

取a＝2，b＝1，則＝，＝1.有＜，故B錯．取a＝－2，b＝－1，則＝，＝2，有＜，故C錯．]

運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷時，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì).解有關(guān)不等式選擇題時，也可采用特殊值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗(yàn)證計算.1．下列命題正確的是()

A．若a2＞b2，則a＞b

B．若＞，則a＜b

C．若ac＞bc，則a＞b

D．若＜，則a＜b

D　[A錯，例如(－3)2＞22；B錯，例如＞；C錯，例如當(dāng)c＝－2，a＝－3，b＝2時，有ac＞bc，但a＜b.]

利用不等式性質(zhì)證明簡單不等式

【例2】　若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：＞.[思路點(diǎn)撥]　可結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，分析所證不等式的結(jié)構(gòu)，有理有據(jù)地導(dǎo)出證明結(jié)果．

[證明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.兩邊同乘以，得＜.又e＜0，∴＞.本例條件不變的情況下，求證：＞.[證明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴0＜＜，又∵e＜0，∴＞.利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)

(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.2．已知a>b，e>f，c>0，求證：f－acb，c>0，∴ac>bc.又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，∴e－bc>f－ac，∴f－ac

[探究問題]

1．小明同學(xué)做題時進(jìn)行如下變形：

∵2

提示：不正確．因?yàn)椴坏仁絻蛇呁艘砸粋€正數(shù)，不等號的方向不變，但同乘以一個負(fù)數(shù)，不等號方向改變，在本題中只知道－6

2．由－6

提示：不正確．因?yàn)橥虿坏仁骄哂锌杉有裕荒芟鄿p，解題時要充分利用條件，運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行等價變形，而不可隨意“創(chuàng)造”性質(zhì)．

3．你知道下面的推理、變形錯在哪兒嗎？

∵2

提示：利用幾個不等式的范圍來確定某不等式的范圍要注意：同向不等式兩邊可以相加(相乘)，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形．本題中將2

【例3】　已知1＜a＜4,2＜b＜8，試求a－b與的取值范圍．

[思路點(diǎn)撥]　依據(jù)不等式的性質(zhì)，找到－b與的范圍，進(jìn)而求出a－b與的取值范圍．

[解]　因?yàn)?＜a＜4,2＜b＜8，所以－8＜－b＜－2.所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2.又因?yàn)椋迹迹裕迹迹?，即＜＜2.求含字母的數(shù)(或式子)的取值范圍時，一要注意題設(shè)中的條件，二要正確使用不等式的性質(zhì)，尤其是兩個同方向的不等式可加不可減，可乘不可除.3．已知－≤α＜β≤，求，的取值范圍．

[解]　∵已知－≤α＜β≤，∴－≤＜，－＜≤，兩式相加，得－＜＜.∵－＜≤.∴－≤－＜.∴－≤＜，又知α＜β，∴＜0.故－≤＜0.1．在應(yīng)用不等式性質(zhì)時，一定要搞清它們成立的前提條件，不可強(qiáng)化或弱化成立的條件．

2．要注意“箭頭”是單向的還是雙向的，也就是說每條性質(zhì)是否具有可逆性.1．思考辨析

(1)若a>b，則ac>bc一定成立．()

(2)若a＋c>b＋d，則a>b，c>d.()

[提示](1)錯誤．由不等式的可乘性知，當(dāng)不等式兩端同乘以一個正數(shù)時，不等號方向不變，因此若a>b，則ac>bc不一定成立．

(2)錯誤．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.滿足a＋c>b＋d，但不滿足a>b.[答案](1)×(2)×

2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，則下列不等式中不正確的是()

A．a(chǎn)－d＞b－c

B．－＜－

C．a(chǎn)＋d＞b＋c

D．a(chǎn)c＞bd

C　[由已知及不等式的性質(zhì)可得a＋c＞b＋d，即a－d＞b－c，所以A正確；

由c＞d＞0，得＞＞0.又a＞b＞0，所以＞，－＜－即B正確；

顯然D正確，因此不正確的選項(xiàng)是C.]

3．若－1＜α＜β＜1，則下列各式中恒成立的是()

A．－2＜α－β＜0

B．－2＜α－β＜－1

C．－1＜α－β＜0

D．－1＜α－β＜1

A　[由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1.∴－2＜α－β＜2，但α＜β.故知－2＜α－β＜0.]

4．若bc－ad≥0，bd>0.求證：≤.[證明]　因?yàn)閎c－ad≥0，所以ad≤bc，因?yàn)閎d>0，所以≤，所以＋1≤＋1，所以≤.