第一篇：高中數(shù)學(xué)必修五 不等關(guān)系與不等式 教案

第三章 不等式

必修5 3.1 不等關(guān)系與不等式

一、教學(xué)目標(biāo)

1.通過具體問題情境，讓學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的不等關(guān)系；

2.通過了解一些不等式（組）產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下，學(xué)習(xí)不等式的相關(guān)內(nèi)容；

3.理解比較兩個(gè)實(shí)數(shù)（代數(shù)式）大小的數(shù)學(xué)思維過程.二、教學(xué)重點(diǎn)：

用不等式（組）表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系，并用不等式（組）研究含有不等關(guān)系的問題.理解不等式（組）對于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值.三、教學(xué)難點(diǎn)：

使用不等式（組）正確表示出不等關(guān)系.四、教學(xué)過程：

（一）導(dǎo)入課題

現(xiàn)實(shí)世界和生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系 我們知道，兩點(diǎn)之間線段最短，三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，等等.人們還經(jīng)常用長與短，高與矮，輕與重，大與小，不超過或不少于等來描述某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.在數(shù)學(xué)中，我們用不等式來表示這樣的不等關(guān)系.提問：

1.“數(shù)量”與“數(shù)量”之間存在哪幾種關(guān)系？(大于、等于、小于).2.現(xiàn)實(shí)生活中，人們是如何描述“不等關(guān)系”的呢？（用不等式描述）引入知識點(diǎn)：

1.不等式的定義：用不等號<、>、≤、≥、≠表示不等關(guān)系的式子叫不等式.2.不等式a?b的含義.不等式a?b應(yīng)讀作“a大于或者等于b”，其含義是指“或者a>b，或者a=b”，等價(jià)于“a不小于b，即若a>b或a=b之中有一個(gè)正確，則a?b正確.3.實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)與方法.（1）如果a?b是正數(shù)，那么a?b；如果a?b等于零，那么a?b；如果a?b是負(fù)數(shù)，那么a?b.反之也成立，就是（a?b>0?a>b；a?b=0?a=b；a?b<0?a

1.用不等式表示下面的不等關(guān)系：（1）a與b的和是非負(fù)數(shù)；

（2）某公路立交橋?qū)νㄟ^車輛的高度h“限高4m”； 解：（1）a?b?0；（2）h?4.2.有一個(gè)兩位數(shù)大于50而小于60，其個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大2.試用

不等式表示上述關(guān)系（用a和b分別表示這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字）.解：由題意知??50?10a?b?60,?50?10a?b?60,???50?11a?2?60

b?a?2,b?a?2,??43?a?5.1111?48?11a?58?43.比較（a+3）（a-5）與（a+2）（a-4）的大小.解：（a+3）（a-5）-（a+2）（a-4）=（a2?2a?15）-?a2?2a?6?=-7<0, ∴（a+3）（a-5）<（a+2）（a-4）.（三）提升訓(xùn)練

1.比較x2?3與3x的大小，其中x?R.222?23?33?3???3??解：?x?3??3x?x?3x?3??x?3x????????3??x????

2?44?2???????2?22?0，?x2?3?3x.方法總結(jié)：兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小，通常用作差法來進(jìn)行，其一般步驟是：

第一步：作差；第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將差化積；第三步：定號.最后得出結(jié)論.2.小明帶了20元錢去超市買筆記本和鋼筆.已知筆記本每本2元，鋼筆每枝5元.設(shè)他所能買的筆記本和鋼筆的數(shù)量分別為x，y，則x，?2x?5y?20,?y應(yīng)滿足關(guān)系式?x?N，?y?N.?3.一個(gè)盒中紅、白、黑三種球分別有x個(gè)、y個(gè)、z個(gè)，黑球個(gè)數(shù)至少是白球個(gè)數(shù)的一半，至多是紅球的，白球與黑球的個(gè)數(shù)之和至少

為55，使用不等式將題中的不等關(guān)系表示出來（x,y,z?N*）.y?x??z?,解：?32

??y?z?55.（四）課后鞏固

p74練習(xí)題：1,2.p75習(xí)題3.1 A組：1,2.4

第二篇：不等關(guān)系與不等式教案

2009年濰坊市

高中數(shù)學(xué)教學(xué)能手評選教案

不 等 關(guān)

教學(xué)目標(biāo)：

1、知識與技能目標(biāo)：

與

不 等式

系

(1)、理解不等關(guān)系及其在數(shù)軸上的幾何表示。

（2）、會(huì)用兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的差運(yùn)算確定兩實(shí)數(shù)之間的大小關(guān)系，能比較兩個(gè)代數(shù)式的大小。

2、過程與方法目標(biāo)：

（1）教師提出問題，素材，并及時(shí)點(diǎn)撥，與學(xué)生進(jìn)行交流，分析，抽象出數(shù)學(xué)模型。

（2）設(shè)計(jì)較典型的問題，通過學(xué)生自主探究，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和積極性。

3、態(tài)度情感與價(jià)值觀目標(biāo)：

（1）通過具體情景，讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)好數(shù)學(xué)對日常生活的重要作用。

（2）培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力。進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的重要方法，增強(qiáng)對事物間普遍聯(lián)系規(guī)律的認(rèn)識，樹立辯證唯物主義思想。教學(xué)重點(diǎn)：實(shí)數(shù)（代數(shù)式）大小比較的基本方法：作差法。教學(xué)難點(diǎn)：判斷差的符號

難點(diǎn)突破方法：

1、結(jié)合實(shí)例強(qiáng)化

2、小組合作探究

教法：“自主學(xué)習(xí)、合作探究、精講點(diǎn)撥、有效訓(xùn)練”四環(huán)節(jié)教學(xué)法 學(xué)法：嘗試、探究、討論、總結(jié)、運(yùn)用

教 具 ：多媒體、實(shí)物投影儀

板書設(shè)計(jì)：黑板中央板書課題，左側(cè)依次書寫定義、實(shí)數(shù)（代數(shù)式）大小的比較法，其余位置留作演算使用，屏幕保留小結(jié)和作業(yè)。教學(xué)過程：

一、課前預(yù)習(xí)：（預(yù)習(xí)課本P38---P41頁，約20分鐘，思考以下問題）

1、如何表示不等關(guān)系？

2、如何用數(shù)軸表示兩個(gè)數(shù)的大小？

3、怎樣比較兩個(gè)代數(shù)式的大小？

4、比較x2+2x與-x-3的大小

二、課內(nèi)探究：

1、新課引入：

現(xiàn)實(shí)世界中存在著等量關(guān)系，也存在著大量的不等關(guān)系，同學(xué)們能舉出一些例子嗎？

如：今天的天氣預(yù)報(bào)說：明天早晨最低溫度為7℃，明天白天的最高溫度為13℃，7℃≤t≤13℃

三角形ABC的兩邊之和大于第三邊，AB+AC>BC a是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，a≥0

又如：P61 速度與話費(fèi)問題。這些問題的表示即是我們今天要研究的問題（板書課題）

2、合作探究：（學(xué)生思考并回答以下問題）

問題一：不等式的定義

用不等號連接兩個(gè)解析式所得的式子，叫做不等式． 不等號的種類：＞、＜、≥、≤、≠．

問題二：2≥2，這樣寫正確嗎？“≥“的含義是什么？ 這樣寫是對的，因?yàn)椤埃尽焙汀?”只要一個(gè)滿足就可以了，即a≥b表示a＞b或a=b，同樣a≤b即為a＜b或a=b。

練習(xí)：P63 2 問題三：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)有怎樣的對應(yīng)關(guān)系？右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)與左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)誰大？

A B a b 與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的,右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大

問題四：數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B有怎樣的位置關(guān)系？兩實(shí)數(shù)有怎樣的大小關(guān)系？ 點(diǎn)的關(guān)系： 點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)

點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)

點(diǎn)A和點(diǎn)B重合

數(shù)的關(guān)系：a＞b、a=b、a＜b 問題五：如何比較兩數(shù)大小？（小組討論）

強(qiáng)調(diào)：“如果P，則q”為正確命題，記作同時(shí)qp?q，如果p?q，?p，則記為p?q。

3、典例剖析： 例1． 比較x2-x和 x-2的大小 解：（x2-x）-（x-2）

= x2-2x+2 =(x-1)2+1 因?yàn)?x-1)2≥0，所以（x2-x）-（x-2）＞0所以x2-x＞x-2。

變式訓(xùn)練：

比較(a+3)(a-5)與(a+2)(a-4)的大小。（答案：＜）

解：

∴

例2．當(dāng)p,q都為正數(shù)且p+q=1時(shí)，試比較代數(shù)式(px+qy)2與(px2+qy2)的大小

222解：（px+qy）-（px+qy）

=p(p-1)x+q(q-1)y+2pqxy 又p+q=1，所以p-1=-q,q-1=-p 222（px+qy）-（px+qy）

2=-pq(x-y)

因?yàn)閜,q為正數(shù)，所以

2-pq(x-y)≤0

222px?qy(px?qy)≤所以當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號成立

22訓(xùn)練： P63 3（答案 ＞）

做差比較法法的一般步驟：（教師引導(dǎo)，學(xué)生回答）（1）作差；

（2）變形，常采用的手段是因式分解和配方法，因式分解是將“差“化成“積”的形式，配方是將“差”化為一個(gè)或幾個(gè)完全平方的“和”，也可兩種手段并用；

（3）定號，就是確定是大于0，還是等于0，或是小于0(與具體的值無關(guān))（4）得出結(jié)論。

4、隨堂測試(1)下列命題正確的是

A、若x≥10,則x＞10 B、若x2＞25,則x＞5 C、若x＞y，則x2＞y2 D、若x2＞y2，則∣x∣＞∣y∣(2)設(shè)m= x2+y2-2x+2y,n=-5,則m,n的大小關(guān)系是

A、m＞n B、m＜n C、m=n D、與x、y取值有關(guān)(3)下列不等式中，恒成立的是 A.a2>0 B.lg(a2+1)>0 C.（4）設(shè)a＞0,b＞0,且a≠b,x=a3+b3,y=a2b+ab2試比較x,y的大小

aa

?0 D.2>0 |a|

5、小結(jié)：(1)不等式的定義

(2)不等關(guān)系在數(shù)軸上的幾何表示(3)做差法確定兩數(shù)或代數(shù)式的大小

三、課后練習(xí)

分層作業(yè)

1、必做：（1）書面作業(yè)：課本P63習(xí)題B 1、2、4（2）預(yù)習(xí)作業(yè)：預(yù)習(xí)課本P64-P65，搞清以下問題：

a.不等式有哪些性質(zhì)？ b.如何證明？

2、選做：（1）、已知x>y，且y≠0，比較與1的大小

（2）設(shè)a=x2+1-2x,b=x2+16-8x,且3

課后反思：

xy

第三篇：不等關(guān)系及不等式學(xué)案

3.1.1 不等關(guān)系與不等式

姓名：班級：

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、了解不等關(guān)系和不等式；

2、掌握不等式的性質(zhì)； 教學(xué)重點(diǎn) 不等式的基本性質(zhì)

教學(xué)難點(diǎn) 不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用 教學(xué)過程：

二、預(yù)習(xí)檢測：

1、實(shí)數(shù)大小比較的方法：

??

a?b??a?b???

a?b?作差比較法的一般步驟：

???④

2、不等式的基本性質(zhì) 性質(zhì)1：（對稱性）證明：

性質(zhì)2：（傳遞性）證明：

性質(zhì)3：（加法單調(diào)性）證明：

性質(zhì)4：（乘法單調(diào)性）證明：

性質(zhì)5：（相加法則）證明：

性質(zhì)6：（相乘法則）證明：

性質(zhì)7：證明：

性質(zhì)8：證明：

三、例題精講:

1比較x6＋1與x4＋x2的大小，其中x∈R.2．已知a＞b，ac＜bc，則有()

A．c＞0B．c＜0

C．c＝0

D．以上均有可能 3．下列命題正確的是()A．若a2

＞b2，則a＞b

B1a1

b，則a＜b

C．若ac＞bc，則a＞bDab，則a＜b

四、課堂練習(xí)：

1．已知a>b，c>d，且c、d不為0，那么下列不等式成立的是()

A．a(chǎn)d>bcB．a(chǎn)c>bd C．a(chǎn)－c>b－dD．a(chǎn)＋c>b＋d 2．已知a＜b，那么下列式子中，錯(cuò)誤的是()A．4a＜4bB．－4a＜－4b C．a(chǎn)＋4＜b＋4D．a(chǎn)－4＜b－4

3.設(shè)x＞1，－1＜y＜0，試將x，y，－y按從小到大的順序排列如下：________.五、課后練習(xí)：

1．設(shè)a，b∈R，若a－|b|＞0，則下列不等式中正確的是()

A．b－a＞0B．a(chǎn)3＋b3

＜0

C．b＋a＜0D．a(chǎn)2－b2

＞0 2．若b＜0，a＋b＞0，則a－b的值()A．大于零B．大于或等于零 C．小于零D．小于或等于零 3．若x＞y，m＞n，則下列不等式正確的是()A．x－m＞y－nB．xm＞ym

C.xy

ym

D．m－y＞n－x

4．若x、y、z互不相等且x＋y＋z＝0，則下列說法不正確的為()

A．必有兩數(shù)之和為正數(shù) B．必有兩數(shù)之和為負(fù)數(shù) C．必有兩數(shù)之積為正數(shù) D．必有兩數(shù)之積為負(fù)數(shù)

5．已知M＝x2＋y2

－4x＋2y，N＝－5，若x≠2或y≠－1，則()A．M>NB．M

6．若a＞b＞0，則11

ab

(n∈N，n≥2)．(填“＞”或“＜”)

7．11．已知－π2α＜β≤πα＋β

22的取值范圍為__________．

8．已知c＞a＞b＞0，求證：

a

c－a＞

b

c－a

.9．若2＜x＜6,1＜y＜3，則x＋y的取值范圍是________.10．若實(shí)數(shù)a＞b，則a2－ab________ba－b2

.(填“＞”或“＜”)11．已知2＜m＜4,3＜n＜5，求下列各式的取值范圍：

(1)m＋2n；(2)m－n；(3)mn；m

n

.六、課后小結(jié)與反思：

七、預(yù)習(xí)提綱：基本不等式

第四篇：不等關(guān)系與不等式

課題：不等關(guān)系與不等式

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系． 2．了解不等式(組)的實(shí)際背景．

3．了解證明不等式的基本方法——比較法.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

1、三角公式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正余弦定理，并能靈活運(yùn)用；

2、平面向量的有關(guān)知識并能靈活運(yùn)用。

知識梳理：

1．兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

a

?a－b>0?ab

?ab(1)作差法?

?a－b＝0?ab?a，b∈R?；

(2)作商法???a－b<0?ab

??a

b1?a＝b?a∈R，b>0?.??ab

<1?a

2．不等式的性質(zhì) 單向性：

(1)傳遞性：a>b，b>c?.(2)同向相加性：a>b，c>d?a＋c>b＋d.(3)乘法單調(diào)性：

a>b，c>0?；a>b，c<0?； a>b>0，c>d>0?；a>b>0(n∈N*)?an>bn； a>b>0(n∈N*，n≥2)?a>b.雙向性：a>b?bb1a1

b

(2)a>b?an>bn(n∈N，且n>1)對嗎？

典型例題：

例1 對于實(shí)數(shù)a、b、c，判斷下列命題的真假．

(1)若a>b，則ac>bc；(2)若a>b，則ac2>bc2；(3)若aab>b2；(4)若a

ab

例2(1)設(shè)x

?y2)(x?y)與(x2

?y2)(x?y)的大??；

(2)已知a，b，c∈{正實(shí)數(shù)}，且a2?b2?c2，當(dāng)n∈N，n>2時(shí)，比較cn

與an

?bn的大小．

例3 設(shè)f(x)＝ax2?bx ,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值

范圍

例4 若a?0,b?0,a?b?2，則下列不等式對一切滿足條件的a,b

恒成立的是（寫出所有正確命題的編號）

(1)ab?1;(2)a?b?2;(3)a2?b2?2;(4)a3?b3?3

(5)11

a?b

?2達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：

1．已知a，b都是實(shí)數(shù)，那么“a2>b2”是“a>b”的()

A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

2．若m<0，n>0且m＋n<0，則下列不等式中成立的是()

A．－m

a>b?ac>bc??

??ac>bda>b

c>d?bc>bd??

dc()

A．0B．1C．2D．3

反思小結(jié)

：

第五篇：不等式與不等關(guān)系二教學(xué)教案

不等關(guān)系與不等式

（二）教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解不等式的性質(zhì)及其證明.難點(diǎn)：利用不等式的基本性質(zhì)證明不等式。

教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)提問

1、比較兩實(shí)數(shù)大小的理論依據(jù)是什么？

2、“作差法”比較兩實(shí)數(shù)的大小的一般步驟.3、初中我們學(xué)過的不等式的基本性質(zhì)是什么?

基本性質(zhì)1不等式兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號的方向不變.基本性質(zhì)2不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變.基本性質(zhì)3不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.其數(shù)學(xué)含義：

(1)若a＞b，則a＋c＞b＋c，a－c＞b－c；

ab＞； cc

ab(3)若a＞b，c＜0，則ac＜bc，＜..cc(2)若a＞b，c＞0，則ac＞bc，（二）新授

常用的不等式的基本性質(zhì)

（1）a?b,?b?a（對稱性）（2）a?b,b?c?a?c（傳遞性）

（3）a?b,?a?c?b?c（可加性）

（4）a?b,c?0?ac?bc；a?b,c?0?ac?bc（可乘性）

（5）a?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式的可乘性）

n（6）a?b?0,n?N,n?1?a

例1：已知a?b?0,c?0,求證：?bn,?（可乘方性、可開方性）cc? ab

例2：如果30＜x＜42，1６＜y＜24，求x＋y，x－2y及x的取值范圍.y

∵30＜x＜42，1６＜y＜24∴－4８＜－2y＜－32，∴30＋1６＜x＋y＜42＋24即4６＜x＋y＜６６；

∴30－4８＜x－2y＜42－32即－1８＜x－2y＜10；

30x42??,24y16

5x21即??.4y8

例3．已知??

2??????

2，求???

2,???

2的取值范圍。

（三）小結(jié)：不等式的性質(zhì)及其證明，利用不等式的基本性質(zhì)證明不等式。