第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)

3.2函數(shù)的基本性質(zhì)

3.2.1單調(diào)性與最大（小）值

【素養(yǎng)目標(biāo)】

1．根據(jù)一次函數(shù)，二次函數(shù)了解并理解函數(shù)單調(diào)性的概念．(數(shù)學(xué)抽象)

2．會(huì)利用函數(shù)圖象判斷一次函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性．(直觀想象)

3．理解一次函數(shù)、二次函數(shù)等常見函數(shù)的最大(小)值問題．(數(shù)據(jù)分析)

4．能利用定義判斷一些簡單函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，掌握利用單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法．(邏輯推理)

5．掌握利用函數(shù)的圖象和函數(shù)的單調(diào)性求一些簡單函數(shù)的最大(小)值的方法．(數(shù)據(jù)分析)

【學(xué)法解讀】

1．函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)，學(xué)生要正確使用符號(hào)語言清晰地刻畫函數(shù)的性質(zhì)．

2．單調(diào)性的有關(guān)概念比較抽象，要注意結(jié)合具體的函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、比例函數(shù)等)加深理解其含義及應(yīng)用．

3．應(yīng)少做偏題、怪題，避免繁瑣的技巧訓(xùn)練．

第1課時(shí)　函數(shù)的單調(diào)性

必備知識(shí)·探新知

基礎(chǔ)知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)1：函數(shù)的單調(diào)性

思考1：在函數(shù)單調(diào)性的定義中，能否去掉“任意”？

提示：不能，不能用特殊代替一般．

知識(shí)點(diǎn)2：

函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

函數(shù)在上是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

思考2：區(qū)間一定是函數(shù)的定義域嗎？

提示：不一定，可能是定義域的一個(gè)子區(qū)間，單調(diào)性是局部概念，不是整體概念．

基礎(chǔ)自測

1.函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，且，則有（）

A．

B．

C．

D．以上都有可能

答案：B

解答：

因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，且，所以，故選B．

2．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)的是()

A．y＝3－xB．C．y＝????D．

[解析]　分別畫出各個(gè)函數(shù)的圖象，在區(qū)間(0,2)上上升的圖象只有B．

3．若定義在R上的函數(shù)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，總有成立，則必有()

A．在R上是增函數(shù)??B．在R上是減函數(shù)

C．函數(shù)是先增后減??D．函數(shù)是先減后增

[解析]　由單調(diào)性的定義可知，對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，總有成立，則在R上是增函數(shù)，故選A．

4．已知函數(shù)是區(qū)間(0，＋∞)上的減函數(shù)，那么與的大小關(guān)系為_________.[解析]，又∵在區(qū)間(0，＋∞)上為減函數(shù)，∴．

關(guān)鍵能力·攻重難

題型探究

題型一　求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例1如圖為函數(shù)，∈[－4,7]的圖象，指出它的單調(diào)區(qū)間．

[分析](1)函數(shù)在D上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)表現(xiàn)在其圖象上有怎樣的特征？

(2)單調(diào)增、減區(qū)間與函數(shù)在該區(qū)間上為增、減函數(shù)一樣嗎？

[解析]　函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[－1.5,3)，[5,6)，單調(diào)減區(qū)間為[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．

[歸納提升]　函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法及表示方法

(1)由函數(shù)圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是一種直觀簡單的方法，對(duì)于較復(fù)雜的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可利用一些基本函數(shù)的單調(diào)性或根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義來求．

(2)單調(diào)區(qū)間必須是一個(gè)區(qū)間，不能是兩個(gè)區(qū)間的并，如不能寫成函數(shù)y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是減函數(shù)，而只能寫成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是減函數(shù)．

(3)區(qū)間端點(diǎn)的寫法：對(duì)于單獨(dú)的一點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，沒有增減變化，所以不存在單調(diào)問題，因此寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，可以包括端點(diǎn)，也可以不包括端點(diǎn)，但對(duì)于某些點(diǎn)無意義時(shí)，單調(diào)區(qū)間就不包括這些點(diǎn)．

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?據(jù)下列函數(shù)圖象，指出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間．

[解析]　由圖象(1)知此函數(shù)的增區(qū)間為(－∞，2]，[4，＋∞)，減區(qū)間為[2,4]．

由圖象(2)知，此函數(shù)的增區(qū)間為(－∞，－1]，[1，＋∞)，減區(qū)間為[－1,0)，(0,1]．

題型二　用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性

例2???利用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)．

[分析]　由于函數(shù)的定義域沒有給出，證明前要先求出定義域，然后證明．

[證明]　函數(shù)的定義域是，設(shè)?且，則

因?yàn)?，且，所以?所以．

即函數(shù)在定義域上是增函數(shù)．

[歸納提升]　函數(shù)的單調(diào)性是在某指定區(qū)間上而言的，自變量x的取值必須是連續(xù)的，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的基本步驟是“取值——作差(或作商)——變形——定號(hào)——判斷”．當(dāng)函數(shù)在給定區(qū)間上恒正或恒負(fù)時(shí)，也常用“作商判1”的方法來解決，特別是函數(shù)中含有指數(shù)式時(shí)常用此法．解決帶根號(hào)的問題，常用的方法就是分子、分母有理化．從形式上看是由“－”變成“＋”．

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?(1)用函數(shù)單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)；

(2)用函數(shù)單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上為增函數(shù)．

[證明](1)設(shè)，則

∵，∴，∴，即，∴在上是減函數(shù)．

(2)設(shè)，則，，∴，∴函數(shù)在上為增函數(shù)．

題型三　單調(diào)性的應(yīng)用

例3已知函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，且，求實(shí)數(shù)的取值范

圍．

[分析]　根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義可知，由兩個(gè)自變量的大小可以得到相應(yīng)的函數(shù)值的大小，反之，由兩個(gè)函數(shù)值的大小也可以得到相應(yīng)自變量的大小．

[解析]　∵函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，且，∴，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．

[歸納提升]　利用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值的不等式就是利用函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，去掉對(duì)應(yīng)關(guān)系“”，轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，此時(shí)一定要注意自變量的限制條件，以防出錯(cuò)．

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】??已知函數(shù)是定義在R上為增函數(shù)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

[解析]　∵在R上為增函數(shù)，且，∴，∴，即所求的取值范圍為．

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