輔助圓思想

題型一：共頂點(diǎn)等線段

【例1】

在中，是的中點(diǎn)，是線段上的動點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．

⑴

若且點(diǎn)與點(diǎn)重合（如圖1），線段的延長線交射線于點(diǎn)，請補(bǔ)全圖形，并寫出的度數(shù)；

⑵

在圖2中，點(diǎn)不與點(diǎn)重合，線段的延長線與射線交于點(diǎn)，猜想的大?。ㄓ煤拇鷶?shù)式表示），并加以證明；

（2012年北京中考節(jié)選）

【解析】

⑴

圖略，．

⑵

如圖，連接，根據(jù)對稱性可知，以為圓心、長為半徑作，則，∴．

【例2】

已知：中，中，．連接、，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)．

⑴

如圖1，若、、三點(diǎn)在同一直線上，且，則的形狀是

___________，此時________；

⑵

如圖2，若、、三點(diǎn)在同一直線上，且，證明，并計算的值（用含的式子表示）；

（海淀一模）

【解析】

⑴

等邊三角形，1；

⑵

證明：連接、．

由題意，得，．

∵、、三點(diǎn)在同一直線上，∴、、三點(diǎn)在同一直線上．

∴．

∵為中點(diǎn)，∴在中，．

在中，．

∴．

∴、、、四點(diǎn)都在以為圓心，為半徑的圓上．

∴．

又∵，∴．

∴．∴．

由題意，又．

∴．∴．

在Rt中，．

題型二：

共斜邊的直角三角形

∵，∴．∴．

【例3】

已知，是的平分線．將一個直角的直角頂點(diǎn)在射線上移動，點(diǎn)不與點(diǎn)重合．如圖，當(dāng)直角的兩邊分別與射線、交于點(diǎn)、時，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

【解析】

與的數(shù)量關(guān)系是相等

．

常規(guī)證法：過點(diǎn)作，垂足分別為點(diǎn)．

∵，易得，∴，而，∴．

∵是的平分線，∴，又∵，∴．∴．

輔助圓證法：∵，∴四點(diǎn)共圓，∵平分，∴，∴．

【例4】

如圖，四邊形是正方形，是上一點(diǎn)，交的外角平分線于，求證：．

【解析】

連接

∵四邊形是正方形，∴，∵是外角平分線，∴，∴，∵，∴四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴．

【例5】

在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P處，三角板的兩直角邊分別能與AB、BC邊相交于點(diǎn)E、F，連接EF．

⑴

如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合，求此時PC的長；

⑵

將三角板從⑴中的位置開始，繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時停止，在這個過程中，請你觀察、探究并解答：

①

∠PEF的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；

②

直接寫出從開始到停止，線段EF的中點(diǎn)所經(jīng)過的路線長．

備用圖

（朝陽一模）

【解析】

⑴

在矩形ABCD中，AP=1，CD=AB=2，∴PB=，．

∵，∴．

∴．

∴

△ABP∽△DPC．

∴，即．

∴PC=2．

⑵

①

∠PEF的大小不變．

理由：過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G．

∴四邊形ABFG是矩形．

∴．

∴GF=AB=2，．

∵，∴．

∴．

∴

△APE∽△GFP.∴．

∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=．

即tan∠PEF的值不變．

∴∠PEF的大小不變．

②

.輔助圓證法：

連接，∵，∴四點(diǎn)共圓，∴，∴不會發(fā)生變化．

題型三：

四點(diǎn)共圓的簡單應(yīng)用

【例6】

如圖，在四邊形中，是的平分線，若，求證：．

【解析】

∵，∴是圓內(nèi)接四邊形，∵平分，∴，∴．

【例7】

已知：如圖，正方形中，為對角線，將繞頂點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)（），旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，交于點(diǎn)、點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．在的旋轉(zhuǎn)過程中，的大小是否改變？若不變寫出它的度數(shù)，若改變，寫出它的變化范圍．

【解析】

∵是對角線，∴，∵，∴四點(diǎn)共圓，∴，∴的大小不發(fā)生改變．

【例8】

（海淀區(qū)2010-2011學(xué)年度第一學(xué)期初三期末25）如圖一，在△ABC中，分別以AB，AC為直徑在△ABC外作半圓和半圓，其中和分別為兩個半圓的圓心.F是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別為兩個半圓圓弧的中點(diǎn).⑴

連結(jié)，證明：；

⑵

如圖二，過點(diǎn)A分別作半圓和半圓的切線，交BD的延長線和CE的延長線于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求線段PQ的長;

⑶

如圖三，過點(diǎn)A作半圓的切線，交CE的延長線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作直線FA的垂線，交BD的延長線于點(diǎn)P，連結(jié)PA.證明：PA是半圓的切線.【解析】

⑴

如圖一，∵，F(xiàn)分別是AB，AC，BC邊的中點(diǎn)，∴F∥AC且F

=A，F(xiàn)∥AB且F

=A，∴∠BF=∠BAC，∠CF=∠BAC，∴∠BF=∠CF

∵點(diǎn)D和點(diǎn)E分別為兩個半圓圓弧的中點(diǎn)，∴F

=A=E，F(xiàn)

=A=D，∠BD

=90°，∠CE

=90°，∴∠BD=∠CE.∴∠DF=∠FE.∴.⑵

如圖二，延長CA至G，使AG=AQ,連接BG、AE.∵點(diǎn)E是半圓圓弧的中點(diǎn)，∴AE=CE=3

∵AC為直徑，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=∠EAC

=45°，AC==，∵AQ是半圓的切線，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°，∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°

∴AQ=AC=AG=

同理：∠BAP=90°，AB=AP=

∴CG=,∠GAB=∠QAP

∴，∴PQ=BG

∵∠ACB=90°，∴BC==

∴BG==，∴PQ=.⑶

證法一：如圖三，設(shè)直線FA與PQ的垂足為M，過C作CS⊥MF于S，過B作BR⊥MF于R，連接DR、AD、DM.∵F是BC邊的中點(diǎn)，∴.∴BR=CS，由⑵已證∠CAQ=90°,AC=AQ，∴∠2+∠3=90°

∵FM⊥PQ,∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3,同理：∠2=∠4,∴，∴AM=CS，∴AM=BR，同⑵可證AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°,∴∠ADB=∠ARB=90°,∠ADP=∠AMP=90°

∴A、D、B、R四點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，A、D、P、M四點(diǎn)在以AP為直徑的圓上，且∠DBR+∠DAR=180°，∴∠5=∠8,∠6=∠7,∵∠DAM+∠DAR=180°，∴∠DBR=∠DAM

∴，∴∠5=∠9，∴∠RDM=90°，∴∠5+∠7=90°，∴∠6+∠8=90°，∴∠PAB=90°，∴PA⊥AB,又AB是半圓直徑，∴PA是半圓的切線.訓(xùn)練1.如圖，分別切于兩點(diǎn)，滿足，且，求的度數(shù)．

【解析】

∵都是的切線，∴

∵，∴

∴，∴三點(diǎn)都在以為圓心，為半徑的圓上．

設(shè)，則，∴

∵，∴

在中，即

∴，∴，即．

訓(xùn)練2.如圖，分別是正方形的邊的中點(diǎn)，相交于，求證：．

【解析】

連接

∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，即，∴四點(diǎn)共圓，∴，很明顯，∴，∴．

訓(xùn)練3.如圖，已知在五邊形中，，且．求證：．

【解析】

連接，∵，∴，∴，∴，∴四點(diǎn)共圓．

同理四點(diǎn)共圓，∴五點(diǎn)共圓，∵，∴．

題型一

共頂點(diǎn)等線段

【練習(xí)1】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連結(jié)．

⑴

求證：是等邊三角形；

⑵

點(diǎn)在線段的延長線上，連結(jié)，作的垂直平分線，垂足為點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，分別連結(jié)、．

①若，直接寫出的度數(shù)；

②若點(diǎn)在線段的延長線上運(yùn)動（不與點(diǎn)重合），的度數(shù)是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出的度數(shù)；

【解析】

⑴

證明：如圖，∵一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A（－3，0），B（0，）．

∵C（3，0）．∴OA＝OC．

又y軸⊥AC，∴AB＝BC．

x

O

A

B

C

P

E

y

在Rt△AOB中，．∴∠BAC=60°.∴△ABC是等邊三角形.⑵

①答：∠AEP=120°．

②解：如圖，作EH⊥CP于點(diǎn)H，∵y軸垂直平分AC，△ABC是等邊三角形，∴EA=EC，∠BEA＝∠BEC＝，∠DEP=30°．

∴∠BEH=60°．

∵ED垂直平分AP，∴

EA=EP．

∴

EA＝EC＝EP，∴EH垂直平分CP，在△CEP中，∠CEH=∠PEH＝，∵∠BEH=∠BEC＋∠CEH＝＋=60°．

∴∠AEP=∠AEC＋∠PEC＝120°．

輔助圓的證法：

∵點(diǎn)在軸上，∴，∵，∴以為圓心、長為半徑作圓，在該圓上，∴．

題型二

共斜邊的直角三角形

【練習(xí)2】

如圖，正方形的中心為，面積為，為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且，求的長．

【解析】

連接，∵是正方形，∴，∵，∴四點(diǎn)共圓，∴．

在中，∴，設(shè)，則，解得，∴，∴．

題型三

四點(diǎn)共圓的簡單應(yīng)用

【練習(xí)3】

設(shè)是等腰底邊的中點(diǎn)，過兩點(diǎn)（但不過點(diǎn)）任作一圓交直線于點(diǎn)，連接交此圓于點(diǎn)．求證：．

【解析】

連接，由題意可知四點(diǎn)共圓，⑴

若在線段上，則，∵，∴四點(diǎn)共圓，∴，∴．

⑵

若在的延長線上，則，∵，∴四點(diǎn)共圓，∴，∴．

⑶

若在的延長線上，則，∵，∴四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴．

綜上所述，命題成立．