2000年全國高考數(shù)學(xué)試題(新課程卷/理工農(nóng)醫(yī)類)

（江西

天津）

一、選擇題：本大題共12小題；第每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的⑴設(shè)集合A和B都是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集，映射把集合A中的元素映射成集合B中的元素，則在映射下，象的原象是

（A）

（B）

（C）

（D）

⑵在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是

（A）2

（B）

（C）

（D）3

⑶一個(gè)長方體共一項(xiàng)點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，，這個(gè)長方體

對(duì)角線的長是

（A）2

（B）3

（C）6

（D）

⑷設(shè)、、是任意的非零平面向量，且相互不共線，則

①；

②

③不與垂直

④

中，是真命題的有

（A）①②

（B）②③

（C）③④

（D）②④

⑸函數(shù)的部分圖象是

⑹《中華人民共和國個(gè)人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額此項(xiàng)稅

款按下表分段累進(jìn)計(jì)算：

全月應(yīng)納稅所得額

稅率

不超過500元的部分

5%

超過500元至2000元的部分

10%

超過2000元至5000元的部分

15%

…

…

某人一月份應(yīng)交納此項(xiàng)稅款26.78元，則他的當(dāng)月工資、薪金所得介于

（A）

800~900元

（B）900~1200元

（C）1200~1500元

（D）1500~2800元

⑺若，P=，Q=，R=，則

（A）RPQ

（B）PQ

R

（C）Q

PR

（D）P

RQ

⑻右圖中陰影部分的面積是

（A）

（B）

（C）

（D）

⑼一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是

（A）

（B）

（C）

（D）

⑽過原點(diǎn)的直線與圓相切，若切點(diǎn)在第三象限，則該直

線的方程是

（A）

（B）

（C）

（D）

⑾過拋物線的焦點(diǎn)F作一條直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別是、，則等于

（A）

（B）

（C）

（D）

⑿如圖，OA是圓錐底面中心O到母線的垂線，OA繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，則母線與軸的夾角為

（A）

（B）

（C）

（D）

二．填空題：本大題共4小題；每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上

⒀某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，其中次品的概率分布是

0

⒁橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是________

⒂設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（=1，2，3，…），則它的通項(xiàng)公式是=________

⒃如圖，E、F分別為正方體的面、面的中心，則四邊形在該正方體的面上的射影可能是_______（要求：把可能的圖的序號(hào)都填上）

三、解答題：本大題共6小題；共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

⒄（本小題滿分10分）

甲、乙二人參加普法知識(shí)競答，共有10個(gè)不同的題目，其中選擇題6個(gè)，判斷題4個(gè)甲、乙二人依次各抽一題

（I）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？

（II）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？

（18甲）（本小題滿分12分）

如圖，直三棱柱ABC-，底面ΔABC中，CA=CB=1，BCA=，棱=2，M、N分別是、的中點(diǎn)

（I）求的長；

（II）求，的值；

（III）求證

（18乙）（本小題滿分12分）

如圖，已知平行六面體ABCD-的底面ABCD是菱形，且

(Ⅰ)證明：⊥BD；

(Ⅱ)假定CD=2，=，記面為，面CBD為，求二面角的平面角的余弦值；

(Ⅲ)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使平面？請(qǐng)給出證明

（19）（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)，其中

(Ⅰ)解不等式；

(Ⅱ)求的取值范圍，使函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)

（20）（本小題滿分12分）

用總長14.8m的鋼條制成一個(gè)長方體容器的框架，如果所制做容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積

（21）（本小題滿分12分）

(Ⅰ)已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù)

(Ⅱ)設(shè)、是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，證明數(shù)列不是等比數(shù)列

（22）（本小題滿分14分）

如圖，已知梯形ABCD中，點(diǎn)E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率的取值范圍

2000年全國高考數(shù)學(xué)試題(新課程卷/理工農(nóng)醫(yī)類)參考答案

一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算每小題5分，滿分60分

（1）B

（2）B

（3）C

（4）D

（5）D

（6）C

（7）B

（8）C

（9）A

（10）C

（11）C

（12）D

二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算每小題4分，滿分16分

（13）

0

0.9025

0.095

0.0025

（14）

（15）

（16）②③

三、解答題

（5）本小題主要考查等可能事件的概率計(jì)算及分析和解決實(shí)際問題的能力滿分10分

解：（I）甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有個(gè)，乙依次從判斷題中抽到一題的可能結(jié)果有個(gè)，故甲抽到選擇題、乙依次抽到判斷題的可能結(jié)果有個(gè)；又甲、乙依次抽一題的可能結(jié)果有概率為個(gè)，所以甲抽到選擇題、乙依次抽到判斷題的概率為，所求概率為；

——5分

（II）甲、乙二人依次都抽到判斷題的概率為，故甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率為，所求概率為

或，所求概率為

——10分

（18甲）本小題主要考查空間向量及運(yùn)算的基本知識(shí)滿分12分

如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O

（I）解：依題意得B，N，∴

——2分

（II）解：依題意得，B，C，∴，——5分

∴

——9分

（III）證明：依題意得，M，∴，∴

——12分

（18乙）本小題主要考查直線與直線、直線與平面的關(guān)系，邏輯推理能力滿分12分

（I）證明：連結(jié)、AC，AC和BD交于O，連結(jié)

∵

四邊形ABCD是菱形，∴

AC⊥BD，BC=CD

又∵，∴，∴，∵

DO=OB，∴

BD，——2分

但

AC⊥BD，AC∩=O，∴

BD⊥平面

又

平面，∴

BD

——4分

（II）解：由（I）知AC⊥BD，BD，∴

是平面角的平面角

在中，BC=2，，∴

——6分

∵

∠OCB=，∴

OB=BC=1

∴，∴

即

作⊥OC，垂足為H

∴

點(diǎn)H是OC的中點(diǎn)，且OH，所以

——8分

（III）當(dāng)時(shí)，能使⊥平面

證明一：

∵，∴

BC=CD=，又，由此可推得BD=

∴

三棱錐C-

是正三棱錐

——10分

設(shè)與相交于G

∵

∥AC，且∶OC=2∶1，∴

∶GO=2∶1

又

是正三角形的BD邊上的高和中線，∴

點(diǎn)G是正三角形的中心，∴

CG⊥平面

即

⊥平面

——12分

證明二：

由（I）知，BD⊥平面，∵

平面，∴

BD⊥

——10分

當(dāng)

時(shí)，平行六面體的六個(gè)面是全等的菱形，同BD⊥的證法可得⊥

又

BD∩=B，∴⊥平面

——12分

（19）本小題主要考查不等式的解法、函數(shù)的單調(diào)性等基本知識(shí)、分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)算、推理能力滿分12分

解：（I）不等式即，由此可得，即，其中常數(shù)

所以，原不等式等價(jià)于

即

——3分

所以，當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為；

當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為

——6分

（II）在區(qū)間上任取，使得<

——8分

（i）

當(dāng)時(shí)，∵，∴

又，∴，即

所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)

——10分

（ii）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上存在兩點(diǎn)，滿足，即，所以函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)——12分

（20）本小題主要考查應(yīng)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問題的能力，建立函數(shù)式、解方程、不等式、最大值等基礎(chǔ)知識(shí)滿分12分

解：設(shè)容器底面短邊長為m，則另一邊長為

m，高為

由和，得，設(shè)容器的容積為，則有

整理，得，——4分

∴

——6分

令，有，即，解得，（不合題意，舍去）

——8分

從而，在定義域（0，1，6）內(nèi)只有在處使由題意，若過?。ń咏?）或過大（接受1.6）時(shí)，值很?。ń咏?），因此，當(dāng)時(shí)取得最大值，這時(shí)，高為

答：容器的高為1.2m時(shí)容積最大，最大容積為

——12分

（21）本小題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運(yùn)算能力滿分12

分

解：（I）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，故有，將代入上式，得

=，——3分

即

=，整理得，解得

=2或=3

——6分

（II）設(shè)、的公比分別為、，為證不是等比數(shù)列只需證

事實(shí)上，由于，又、不為零，因此，故不是等比數(shù)列

——12分

（22）本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力滿分14分

解：如圖，以AB為垂直平分線為軸，直線AB為軸，建立直角坐標(biāo)系，則CD⊥軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于軸對(duì)稱

——2分

依題意，記A，C，E，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高

由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得，設(shè)雙曲線的方程為，則離心率

由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和代入雙曲線方程得，①

②

——7分

由①式得，③

將③式代入②式，整理得，故

——10分

由題設(shè)得，解得

所以雙曲線的離心率的取值范圍為

——14分