2004年普通高等學(xué)校招生湖南卷文史類數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本大題

共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求的1．函數(shù)的定義域為

（）

A．

B．

C．

D．

2．設(shè)直線

ax+by+c=0的傾斜角為，且sin+cos=0，則a,b滿足

（）

A．

B．

C．

D．

3．設(shè)是函數(shù)f(x)=的反函數(shù)，則下列不等式中恒成立的是

（）

A．

B．

C．

D．

4．如果雙曲線上一點P到右焦點的距離為,那么點P到右準線的距離是（）

A．

B．13

C．5

D．

5．把正方形ABCD沿對角線AC折起，當A、B

C、D四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線BD與平面ABC所成的角的大小為

（）

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

6．某公司甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150

個、120個、180個、150個銷售點.公司為了調(diào)查產(chǎn)品的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其收入和售后服務(wù)等情況，記這項調(diào)查為②.則完成這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次為

（）

A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法

B．分層抽樣法，簡單隨機抽樣法

C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法

D．簡單隨機抽樣法，分層抽樣法

7．若f(x)=-x2+2ax與在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù)，則a的值范圍是

（）

A．

B．

C．（0，1）

D．

8．已知向量,向量則的最大值，最小值分別是（）

A．

B．

C．16，0

D．4，0

x

y

o

A

x

y

o

D

x

y

o

C

x

y

o

B

9．若函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖象的頂點在第四象限，則函數(shù)f

/(x)的圖象是

（）

10．從正方體的八個頂點中任取三個點作為三角形，直角三角形的個數(shù)為

（）

A．56

B．52

C．48

D．40

11．農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩部分構(gòu)成.2003年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元(其中工資性收入為1800元，其它收入為1350元),預(yù)計該地區(qū)自2004年起的5

年內(nèi)，農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長率增長，其它收入每年增加160元根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2008年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于

（）

A．4200元~4400元

B．4400元~4600元

C．4600元~4800元

D．4800元~5000元

12．設(shè)集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么點P（2，3）的充要條件是

（）

A．

B．

C．

D．

二、填空題：本大題

共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.13．過點P（－1，2）且與曲線y=3x2-4x+2在點M（1，1）處的切線平行的直線方程是__________.14．的展開式中的常數(shù)項為___________(用數(shù)字作答)

15．F1，F(xiàn)2是橢圓C：的焦點，在C上滿足PF1⊥PF2的點P的個數(shù)為__________.16．若直線y=2a與函數(shù)y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是_______.三、解答題：本大題

共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或運算步驟.17．（本小題滿分12分）

18．（本小題滿分12分）

如圖，在底面

是菱形的四棱錐P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a,PB=PD=,點E是PD的中點.（I）證明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；

（II）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的正切值.19．（本小題滿分12分）

甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為,乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為,甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為.（Ⅰ）分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工零件是一等品的概率；

（Ⅱ）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率.20．（本小題滿分12分）

已知數(shù)列{an}是首項為a且公比q不等于1的等比數(shù)列，Sn是其前n項的和，a1,2a7,3a4

成等差數(shù)列.（I）證明

12S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列；

（II）求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2.21．（本小題滿分12分）

如圖，已知曲線C1：y=x3(x≥0)與曲線C2:y=－2x3+3x(x≥0)交于O，A,直線x=t(0

（Ⅱ）討論f(t)的單調(diào)性，并求f(t)的最大值.O

t

x

y

D

B

A

C1

C2

B

22．（本小題滿分14分）

如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P（0,m）(m>0)作直線與拋物線交于A,B兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點

（I）設(shè)點P分有向線段所成的比為，證明:

（II）設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A,B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程.2004年普通高等學(xué)校招生湖南卷文史類類數(shù)學(xué)試題

參考答案

1.D

2.D

3.C

4.A

5.C

6.B

7.D

8.D

9.A

10.C

11.B

12.A

13．2x－y+4=0

14．84

15．2

16．17．（本小題滿分12分）

解：由

于是

18．（Ⅰ）證法一

因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2

知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.因為

所以、、共面.又PB平面EAC，所以PB//平面EAC.證法二

同證法一得PA⊥平面ABCD.連結(jié)BD，設(shè)BDAC=O，則O為BD的中點.連結(jié)OE，因為E是PD的中點，所以PB//OE.又PB平面EAC，OE平面EAC，故PB//平面EAC.（Ⅱ）解

作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，連結(jié)EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的平面角.又E是PD的中點，從而G是AD的中點，所以

19．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的事件.①

②

③

由題設(shè)條件有

由①、③得

代入②得

27[P(C)]2－51P(C)+22=0.解得

（舍去）.將

分別代入

③、②

可得

即甲、乙、丙三臺機床各加工的零件是一等品的概率分別是

（Ⅱ）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的事件，則

故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的概率為

20．（Ⅰ）證明

由成等差數(shù)列，得，即

變形得

所以（舍去）.由

得

所以12S3，S6，S12－S6成等比數(shù)列.（Ⅱ）解：

即

①

①×得：

所以

21．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）由得交點O、A的坐標分別是（0，0），（1，1）.即

（Ⅱ）

令

解得

當從而在區(qū)間上是增函數(shù)；

當從而在區(qū)間上是減函數(shù).所以當

時，有最大值為

22．解：（Ⅰ）依題意，可設(shè)直線AB的方程為

代入拋物線方程得

①

設(shè)A、B兩點的坐標分別是、、x2是方程①的兩根.所以

由點P（0，m）分有向線段所成的比為，得

又點Q是點P關(guān)于原點的對稱點，故點Q的坐標是（0，－m），從而.所以

（Ⅱ）由

得點A、B的坐標分別是（6，9）、（－4，4）.由

得

所以拋物線

在點A處切線的斜率為

設(shè)圓C的方程是

則

解之得

所以圓C的方程是

即