第一篇：華東師大2006數(shù)學(xué)分析考研真題

華東師范大學(xué)2006年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)試題

考試科目：數(shù)學(xué)分析

一（30）判別題（正確證明，錯誤舉反例或說理由）

1.設(shè)數(shù)列{an}滿足條件：???0,?N,使?n?N,|an?aN|??,，則{an}收斂。

2.設(shè)f(x)在(a,b)上可導(dǎo)。若

f'(x)在(a,b)上有界，則f(x)在(a,b)上有界.an3.設(shè)正數(shù)列{an}滿足條件limn??b?0則?(?1)nan收斂。

n?1?4.設(shè)f(x)在[a,b]上可積，且?f(x)dx?0，則存在[c,d]?[a,b]，a使得:?x?[c,d],5.設(shè)f(x,y)在(x0,f(x)?0.y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且在

(x0,y0)處有偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,y0),fy(x0,y0),則

f(x,y)在(x0,y0)處可微.二.計(jì)算題（30分）6.求limn??nan?bn,其中0?a?b.7.求f(x)?

8.求

?x01?costdt的麥克勞林級數(shù)展開式。t?10x2ln2xdx.)?9.設(shè)z?f(u),方程u??(u?yxP(t定)d義t了隱函數(shù)

''u?u(x,y)，其中f(u),?(u)可微，P(t),?(u)連續(xù)，且?(u)?1 1 求P(y)

10.求?z?z?P(x).?x?y???(y2?z2)ds,其中??{(x,y,z):x2?y2?z2?1}

三.證明題（90分）11.設(shè)??0,f(x)在(??,?)上具有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù)

?f'(0),x?0f''(x),f(0)?0.若g(x)??,求證：g(x)在(??,?)上有?f(x),x?0??x連續(xù)的導(dǎo)函數(shù).12.設(shè)fn(x)是[0,1]上連續(xù)函數(shù)，且在[0,1]上一致收斂于f(x),求證：

lim?n??1?1n0fn(x)dx??10f(x)dx.limf(n?)?0.求證：13.設(shè)f(x)在[0,??)上一致連續(xù)，且???0，n??x???limf(x)?0.14.設(shè)f(x)在[0,??)上連續(xù)有界，求證：

n???limn?n0|f(x)|ndx?sup?|f(x)|:x?[0,??]?

15.設(shè)f(x,y,z)是定義在開區(qū)域D上的有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)的三元函數(shù)，且?(x,y,z)?D，fx2(x,y,z)?fy2(x,y,z)?fz2(x,y,z)?0,S是由f(x,y,z?)0定義的封閉的光滑曲面。若P,Q?S,且P與Q之間的距離是S中任意兩點(diǎn)之間距離的最大值,求證：過P的S的切平面與過Q的S的切平面互相平行，且垂直于過P與Q的連線.4

6

第二篇：2001四川大學(xué)數(shù)學(xué)分析考研真題

四川大學(xué)2001年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試題

一、求極限（每小題8分，共16分）1p?3p???(2n?1)p

1.limn??np?1222lim(????)（其中p是自然數(shù)）2.n??n?111 n?n?2n1n2nnn

二、（第一小題5分，第二小題10分，共15分）

1.敘述實(shí)數(shù)R上的區(qū)間套定定理和確界原理；2.用區(qū)間套定定理證明確界原理

三、（第一小題10分，第二小題5分，共15分）設(shè)

證明:1.對任意x?[a,b]，f(x)在[a,b]上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)且f(a)?f(b)?0，f(x)1b?f''(x)?a(x?a)(x?b)b?a

b4maxf(x)??f''(x)2.axb?a?[a,b]

四、（每小題7分，共14分）

????cos?x1?y(1?x2)??edy，計(jì)算?dx.1.利用公式22001?x1?x

2.求0???xsin?x 21?x

五、（10分）證明：若f(x)在R上非恒為零，存在任意階導(dǎo)數(shù)，且對任意的x?R，有f(n)(x)?f(n?1)(x)?1

n2，則limn??f(n)(x)?Cex，其中C是常數(shù)。

xn?ynx?yn?()

六、（10分）若n?1及x?0，y?0，證明不等式：22

xn

七、（10分）求級數(shù)? n(n?1)n?1?

八、（10分）計(jì)算曲面積分??Sxzdydz?(x2?z)ydzdx?x2zdxdy，其中S是旋轉(zhuǎn)拋物面

x2?y2?a2z（a?0）取0?z?1部分，下側(cè)為正.

第三篇：湖南大學(xué)2011年考研數(shù)學(xué)分析真題

2011年數(shù)學(xué)分析真題

limxn存在，且?為1.xn??0,1?,x0?p,xn?1?p??sinxn,?n?0,1,2...?,證明：??n??

方程xsinx?p的唯一根。

2.f?x?在?0,1?上連續(xù)，f?1??0，證明:?1??xn?在?0,1?上不一致收斂；?2??f?x?xn? 在?0,1?上一致收斂。

??1?23． 已知?2?求?0In?1?e?x?dx。6n?1n?

4．函數(shù)f?x?，g?x?在?a,b?上黎曼可積，?ag?x?dx?1,g?x??0,且????x??0,證明：

??f?x??dx????ag?x?f?x?dx????ag?x???bbb

5．求f?y???0??1?e?xy,y>-2.2xxe

6.函數(shù)f(?,?)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，并且滿足拉普拉斯方程?2f?2f??0，22????

?2z?2z證明函數(shù)z?f(x?y,2xy)也滿足拉普拉斯方程2?2?0。?x?y22

7.計(jì)算曲面積分??(6x2?4yx2?z)ds，S為單位球面x2?y2?z2?1。

S

8.設(shè)f(x)在?0,1?上黎曼可積，在x?1可導(dǎo)，f(1)?0,f'(1)?a，證明：limnn??2?10xnf(x)dx??a。

9.已知a?b?c，且x??0.a?,y??0,b?,z??0,c?，又設(shè)f(x,y,z)?min(x,y,z)，計(jì)算?0?0?0f(x,y,z)dzdydx。

abc

第四篇：2010數(shù)學(xué)分析考研真題答案

2010年碩士研究生入學(xué)考試試題答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

一、（12分）按數(shù)列極限定義證明：lim

證明：2n2?n3?1n22n?0.n??n3?1考試科目代碼：636考試科目名稱：數(shù)學(xué)分析————4分任給??0,要22n??,只要,即只要n???n2n3?1————10分

取N2n2nn?Nlim?0.————12分 ?,則當(dāng)時, ,所以, ??33n??n?1n?

1二、（14分）若f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)，證明f2(x)也在點(diǎn)x0連續(xù).證明：設(shè)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù),則?0???1,???0,?x?x0??, f(x)?f(0x)??,————4分 f(x?)f0x?————20(x?)1fx()8分 ,同時f(x)?f(0x)?

于是f2(x)?f2(x0)??1?2f(x0)??.————12分 所以f2(x)在點(diǎn)x0連續(xù).————14分

三、（14分）證明f(x)?ax?b(a?0)在(??,??)上一致連續(xù).證明：?x,x?????,???,f(x)?f(x?)?ax?x?,————4分

???0,取???a,當(dāng)x?x???時,就有f(x)?f(x?)??,————12分所以f(x)?ax?b(a?0)在(??,??)上一致連續(xù).————14分

四、（16分）設(shè)f(x)在[0,1]上可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)連續(xù).證明：

limn?xnf(x)dx?f(1).n??0

1第1頁（共5頁）

證明：由于f?(x)在[0,1]上連續(xù),因此存在M?maxf?(x)————2分

0?x?1

?xn?1?11n?1n

f(x)??xf?(x)dx ?0xf(x)dx???0n?1n?1??0

111n?1

f(x)?xf?(x)dx,————8分??0n?1n?1

又因

11M

?0,————12分?xn?1f?(x)dx?M?xn?1dx?

00n?

2所以

11n?n

f(1)??xn?1f?(x)dx??f(1)————16分limn?xf(x)dx?lim

?00n??n??n?1???

五、（16分）證明級數(shù)?

sinnx

在區(qū)間(0,?)內(nèi)條件收斂.nn?

1?

sinnxsin2nx1?cos2nx1cos2nx

證明：,————4分 ????

nn2n2n2n

?n??1?

由于數(shù)列??單調(diào)趨于零,且部分和數(shù)列??cos2kx?有界,?2n??k?1?

由Dirichlet判別法知,?

?

cos2nx

收斂,————10分 2nn?1

?

?

sinnx1

又?發(fā)散,所以級數(shù)?在區(qū)間(0,?)內(nèi)發(fā)散————13分

nn?1n?12n

原級數(shù)收斂性顯然,因此原級數(shù)在區(qū)間(0,?)內(nèi)條件收斂.————16分

六、（14分）證明函數(shù)序列sn(x)?(1?x)xn在[0,1]上一致收斂.證明：?sn(x)?在[0,1]上收斂于s(x)?0，由

sn(x)?s()??1??xn, x————5分

n?n?

1?及?(1?xx)?xx???n??n??1?, ??

n

易知sn(x)?s(x)在x?取到最大值，從而————10分

n?1

n??n?1??1?

d?sn,s???1?????n??1?n??0?n?0?.n?1n?1??????

所以, 函數(shù)序列sn(x)?(1?x)xn在[0,1]上一致收斂.————14分

nn

?u?x?y

?

七、（16分）通過自變量變換?11,變換方程

?v?x?y?

2?2z?22?z2zx?(x?y)?y?0.?x2?x?y?y2

解：

?z?z1?z?z?z1?z

??2,??,————3分 ?x?ux?v?y?uy2?v

?2z?2z2?2z1?2z2?z

????,————6分 ?x2?u2x2?u?vx4?v2x3?v

?2z?2z2?2z1?2z2?z

?2?2?42?3,————9分 2

?y?uy?u?vy?vy?v?2z?2z?11??2z1?2z,————12分 ??????

?x?y?u2?x2y2??u?vx2y2?v2

代入原方程,得

?x

注意到v?

?y

?

x2y2

?11??z?2z

?2????0,?u?v?xy??v

u11x?yu

???,即xy?,于是就有

vxyxyxy

?x

?y

x2y2

???x?y?x?y

??xy

?11?2

??????x?y??4xy?

??xy??

u??

?v2?u2?4??uv?uv?4?.v??

從而得變換后的方程

?2z2?z

.————16分 ?

?u?vu4?uv?v

?x2?y2?z2?2az,若從z軸的正向

八、（16分）計(jì)算?ydx?zdy?xdz,其中L為曲線?

L

?x?z?a(a?0)

看去，L的方向?yàn)槟鏁r針方向.解：設(shè)?是L所圍的平面x?z?a?a?0?的部分，方向由右手法則確定（即取上側(cè)）.?上任一點(diǎn)的單位法向量?

cos?,cos?,cos???,————6分

由Stokes公式,?

L

ydx?zd?y

co?s

?

x?d??z

??x

yco?s??yzcos?

dS————13分

?zx

?dS?a2.————16分

?

九、（16分）設(shè)D是兩條直線y?x,y?4x和兩條雙曲線xy?1,xy?4所圍成的區(qū)域,F(u)是具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的一元函數(shù),記f(u)?F?(u).證明

4F(xy)

dy?ln2?f(u)du,??D1y

其中?D的方向?yàn)槟鏁r針方向.證明：由Green公式,得?

F(xy)

dy???f?xy?dxdy————4分

?DDy

y,則此變換將區(qū)域D變?yōu)?x

作變換u?xy,v?,vDuv???u————9分 ?1?u?4,1?v??

4變換的Jacobi行列式為J?

??x,y?

1?,于是————11分

?u,v2v

f?u?F(xy)

dy?fxydxdy?????Dy??D??D2vdudv

uv

??f?u?du?

?ln2?f?u?du

12v

所以

4F(xy)

?dy?ln2?f(u)du.————16分

?D1y

十、（16分）證明含參變量積分I??

??0

e?tcos2xtdt滿足方程

dI

?2xI?0.dx

證明：記 f?x,t??e?tcos2xt，則 fx?x,t???2te?tsin2xt.這時有————2分

fx?x,t???2te?tsin2xt?2te?t,???x???,0?t???,而反常積分I??

??0

te?tdt收斂,由Weierstrass判別法,?

??0

fx?x,t?dx??2?

??0

te?tsin2xtdt

關(guān)于x在???,???上一致收斂.應(yīng)用積分號下求導(dǎo)定理,得到————8分

??dI

??2?te?tsin2xtdt?e?tsin2xt

0dx

??

?2x?

??0

e?tcos2xtdt

??2xI.————14分

所以

dI

?2xI?0.————16分dx

第五篇：上海大學(xué)數(shù)學(xué)分析2013考研真題

上海大學(xué)2013年碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)分析 一：計(jì)算題（共7題，75分）

1?x2?xsin?1；設(shè)函數(shù)f(x)??2x?0?x?0x?0,求f?(x)并討論一下f??(0)的存在性。

（7分）

2.計(jì)算：I?n（7分）n3.計(jì)算：?（復(fù)旦版106頁原題）（7分）(n?1)!i?1

4.求f(x,y)?x2?y2在x?y?1的條件極值（10分）

5.已知公式F?km1m2為兩個物體之間吸引力大小的計(jì)算公式，現(xiàn)在有2r

一水平圓形導(dǎo)線L：x2?y2?R2，圓心為O點(diǎn)，半徑為R，導(dǎo)線的密

R處有一質(zhì)量為1的質(zhì)點(diǎn)，求導(dǎo)度函數(shù)為?(x,y)?在A(0,0,)

線L對質(zhì)點(diǎn)A的引力。（15分）

2226.求：??yzdzdx，S為球面x?y?z?1的上半部分，取外側(cè)為正方向。

S

（15分）

7.：（1）試計(jì)算2x2?3y2?z2?9在點(diǎn)A(1,?1,2)處的法向量n1。

（2）試計(jì)算3x2?y2?z2?0在點(diǎn)A(1,?1,2)處的法向量n2。

?2x2?3y2?z2?9（3）試計(jì)算曲線?222在點(diǎn)A(1,?1,2)處的切向量。（14分）?3x?y?z?0

二．證明題（共五題，每題15分）

1.設(shè)A,B都是非空有界數(shù)集，定義數(shù)集A?B??zz?x?y,x?A,y?B?，證明：sup(A?B)?supA?supB.22.證明y?x在?1,???上不一致收斂。

3.已知f(x)在區(qū)間?a,b?內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，定義二元函數(shù)

?f(x)?f(y)?x?yF(x,y)???f?(x)?x?yx?y，證明F(x,y)在區(qū)域D??a,b???a,b?內(nèi)連續(xù)。

4.二元函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D??a,b???c,d?上連續(xù)，用有限覆蓋定理證明f(x,y)在D上有界。

5.f(x,y)

1x為1連x續(xù)函數(shù)且f(x,y)?f(y,x)，證明

?dx?f(x,y)dy??dx?f(1?x,1?y)dy 0000