第一篇：【天津市2013屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)之綜合專題：數(shù)列(理)(學(xué)生版)

數(shù)列（理）

考查內(nèi)容：本小題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、不等式證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力、推理論證能力及綜合分析、解決問題的能力。

1、在數(shù)列?an?中，a1?1，an?1?2an?2n。（1）設(shè)bn?an。證明：數(shù)列?bn?是等差數(shù)列； n?12（2）求數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn。

2、設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，已知ban?2n??b?1?Sn（1）證明：當(dāng)b?2時(shí)，?an?n?2n?1?是等比數(shù)列；（2）求?an?的通項(xiàng)公式

3、已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1?22an，an?1?，n?1,2,3,…。3an?1?1?（1）證明：數(shù)列??1?是等比數(shù)列；

?an??n?（2）數(shù)列??的前n項(xiàng)和Sn。

?an?

4、已知數(shù)列?an?滿足：an??1，a1?22?cn?an?1?an，n?N。

1222，31?an?1?21?an，記數(shù)列bn?1?an，2????（1）證明數(shù)列?bn?是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；

（3）是否存在數(shù)列{cn}的不同項(xiàng)ci,cj,ck，i?j?k，使之成為等差數(shù)列？若存在請(qǐng)求出這樣的不同項(xiàng)ci,cj,ck，i?j?k；若不存在，請(qǐng)說明理由。

5、已知數(shù)列{an}、{bn}中，對(duì)任何正整數(shù)n都有：

a1bn?a2bn?1?a3bn?2??an?1b2?anb1?2n?1?n?2。

（1）若數(shù)列{an}是首項(xiàng)和公差都是1的等差數(shù)列，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列，若是請(qǐng)求出通項(xiàng)公式，若不是請(qǐng)說明理由；

（3）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，求證：?i?1n13?。aibi2)。數(shù)列{bn}

16、設(shè)數(shù)列{an}滿足a1?1，a2?2，an?(an?1?2an?2)，(n?3,4,3滿足b1?1,bn(n?2,3,)是非零整數(shù)，且對(duì)任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k，都有?1?bm?bm?1??bm?k?1。

（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）記cn?nanbn(n?1,2,)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn。

7、有n個(gè)首項(xiàng)都是1的等差數(shù)列，設(shè)第m個(gè)數(shù)列的第k項(xiàng)為amk，(m,k?1,2,3，n, n≥3)，公差為dm，并且a1n,a2n,a3n，ann成等差數(shù)列。

（1）證明dm?p1d1?p2d2，3?m?n，p1,p2是m的多項(xiàng)式，并求p1?p2的值；（2）當(dāng)d1?1, d2?3時(shí)，將數(shù)列{dm}分組如下：(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),（每組數(shù)的個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列），設(shè)前m組中所有數(shù)之和為(cm)4(cm?0)，求數(shù)列{2cmdm}的前n項(xiàng)和Sn。

（3）設(shè)N是不超過20的正整數(shù)，當(dāng)n?N時(shí)，對(duì)于（2）中的Sn，求使得不等式1(Sn?6)?dn成立的所有N的值。50

n?n???

8、數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an?n2?cos2?sin2?，其前n項(xiàng)和為Sn。

33??（1）求Sn；

S3n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。n?4nn?n?滿足a1?1,a2?2,an?2?(1?cos2)an?sin2,n?1,2,3,9、數(shù)列{an}?滿足

22（2）設(shè)bn?.。

（1）求a3,a4,并求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn?a2n?1,Sn?b1?b2?a2n1?bn.。證明：當(dāng)n?n6?時(shí)，6時(shí)，Sn?2?。.n10、已知數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式分別為an?3n?6，bn?2n?7，n?N*，若將**集合{x|x?an,n?N}{x|x?bn,n?N}中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{cn}。（1）求c1,c2,c3,c4；

（2）求證：在數(shù)列{cn}中，但不在數(shù)列{bn}中的項(xiàng)恰為a2,a4,（3）求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式。

11、在數(shù)列?an?中，a1?2，an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)，其中??0。（1）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn。,a2n,；

an?1ak?1?（3）證明：存在k?N，使得對(duì)任意n?N*均成立。anak*

12、在數(shù)列?an?與?bn?中，a1?1,b1?4，數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn滿足nSn?1?(n?3)Sn?0，且2an?1為bn與bn?1的等比中項(xiàng)，n?N*。

（1）求a2，b2的值；

（2）求數(shù)列?an?與?bn?的通項(xiàng)公式；

*2n?N（3）設(shè)Tn?(?1)1b1?(?1)2b2?…?(?1)nbn，證明n≥?3。NT?2n，nn，aaa*

13、已知等差數(shù)列?an?的公差為d?d?0?，等比數(shù)列?bn?的公比為q，且q?1。設(shè)Sn?a1b1?a2b2??anbn，Tn?a1b1?a2b2??(?1)n?1anbn，n?N*。

（1）若a1?b1?1，d?2,q?3求S3的值；

2dq(1?q2n)*n?N（2）若b1?1，證明?1?q?S2n??1?q?T2n?，； 21?q（3）若正整數(shù)n滿足2?n?q，設(shè)k1,k2，kn和l1,l2,，2，,n ,ln是1的兩個(gè)不同的排列，c1?ak1b1?ak2b2?...?aknbn，c2?al1b1?al2b2?...?alnbn，證明c1?c2。

14、在數(shù)列?an?中，a1?0，且對(duì)任意k?N*，a2k?1,a2k,a2k?1成等差數(shù)列，其公差為dk。

（1）若dk?2k，證明a2k,a2k?1,a2k?2成等比數(shù)列；

（2）若對(duì)任意k?N*，a2k,a2k?1,a2k?2成等比數(shù)列，其公比為qk。

?1?

①設(shè)q1?1，證明??是等差數(shù)列；

q?1?k?n3k2?2?n?2?。

②若a2?2，證明?2n??2k?2ak15、已知數(shù)列{an}與{bn}滿足：bnan?an?1?bn?1an?2且a1?2,a2?4。（1）求a3,a4,a5的值；

3?(?1)n，n?N*，?0，bn?2（2）設(shè)cn?a2n?1?a2n?1，n?N*，證明?cn?是等比數(shù)列；

Sk7?(n?N*)。（3）設(shè)Sk?a2?a4?????a2k，k?N，證明?6k?1ak*4n

第二篇：【天津市2013屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)之綜合專題：數(shù)列(文)(學(xué)生版)

數(shù)列（文）

考查內(nèi)容：本小題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、不等式證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力、推理論證能力及綜合分析、解決問題的能力。

1、已知數(shù)列?xn?的首項(xiàng)x1?3，通項(xiàng)公式xn?2np?nq（n?N?,p,q為常數(shù)），且x1,x4,x5成等差數(shù)列，求：（1）p,q的值；

（2）數(shù)列?xn?的前n項(xiàng)的和Sn的公式。

2、在數(shù)列?an?中，a1?1，an?1?2an?2n。（1）設(shè)bn?an。證明：數(shù)列?bn?是等差數(shù)列； 2n?1（2）求數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn。

3、設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，已知ban?2n??b?1?Sn（1）證明：當(dāng)b?2時(shí)，?an?n?2n?1?是等比數(shù)列；（2）求?an?的通項(xiàng)公式

4、已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1?22an，an?1?，n?1,2,3,…。3an?1?1?（1）證明：數(shù)列??1?是等比數(shù)列；

?an?

?n?（2）數(shù)列??的前n項(xiàng)和Sn。

?an?

15、設(shè)數(shù)列{an}滿足a1?1，a2?2，an?(an?1?2an?2)，(n?3,4,3)。數(shù)列{bn}滿足b1?1,bn(n?2,3,)是非零整數(shù)，且對(duì)任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k，都有?1?bm?bm?1??bm?k?1。

（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）記cn?nanbn(n?1,2，n?n???

6、數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an?n2?cos2?sin2?，其前n項(xiàng)和為Sn。

33??)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn。

（1）求Sn；（2）設(shè)bn?

滿足a1?1,a2?2,an?2?(1?cos27、數(shù)列{an}?滿足

n?n?)an?sin2,n?1,2,3,22.。S3n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。n?4n（1）求a3,a4,并求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn?

8、已知數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式分別為an?3n?6，bn?2n?7，n?N*，若將**集合{x|x?an,n?N}{x|x?bn,n?N}中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成一個(gè)a2n?1,Sn?b1?b2?a2n1?bn.。證明：當(dāng)n?n6?時(shí)，6時(shí)，Sn?2?。.n新的數(shù)列{cn}。

（1）求c1,c2,c3,c4；

（2）求證：在數(shù)列{cn}中，但不在數(shù)列{bn}中的項(xiàng)恰為a2,a4,（3）求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式。

9、在數(shù)列?an?中，a1?2，an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)，其中??0。（1）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn。,a2n,；

an?1ak?1?（3）證明：存在k?N，使得對(duì)任意n?N*均成立。anak*

10、已知數(shù)列?an?中，a1?1，a2?2，且an?1?(1?q)an?qan?1，n?2,q?0。

(n?N*)*，證明?bn?是等比數(shù)列； n?N（1）設(shè)bn?an?1?an，（2）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

（3）若a3是a6與a9的等差中項(xiàng)，求q的值，并證明：對(duì)任意的n?N*，an是an?3與an?6的等差中項(xiàng)。

11、已知等差數(shù)列?an?的公差為d不為0，設(shè)Sn?a1?a2q??anqn?1，Tn?a1?a2q??(?1)n?1anqn?1,q?0,n?N*。

（1）若q?1,a1?1,S3?15，求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（2）若a1?d且S1,S2,S3成等比數(shù)列，求q的值；

2dq(1?q2n)（3）若q??1，證明?1?q?S2n??1?q?T2n?，n?N*。21?q

12、在數(shù)列?an?中，a1?0，且對(duì)任意k?N*，a2k?1,a2k,a2k?1成等差數(shù)列，其公差為2k。

（1）證明a4,a5,a6成等比數(shù)列；（2）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

32232n2（3）記Tn???...?，證明?2n?Tn?2?n?2?。

2a2a3an

3?(?1)n13、已知數(shù)列{an}與{bn}滿足：bn?1an?bnan?1???2??1，bn?，n?N*，2n且a1?2。

（1）求a2,a3的值；

（2）設(shè)cn?a2n?1?a2n?1，n?N*，證明?cn?是等比數(shù)列；（3）設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和，證明

SSS1S21??...?2n?1?2n?n?，n?N*。a1a2a2n?1a2n3

第三篇：天津市2013屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)之綜合專題：數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例(教師版)

數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例

1、基本概念

學(xué)案P38

①

②

③

④

⑤

2、用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟 教材P933、應(yīng)用舉例——用數(shù)學(xué)歸納法證明下列命題

1Sn??k?(n?1)(2n?1)。①（數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式）6k?1n

2教材P9

412S?k?[(n?1)]②（數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式）。?n2k?1n

3③（數(shù)學(xué)歸納法證明不等式）當(dāng)n?N*,n?5時(shí)，恒有2n?n2。學(xué)案P39

④（數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題）試證當(dāng)n?N時(shí)，*?3n?1??7n?1能被9整除。學(xué)案P40

⑤（數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題）平面上有n條直線，其中任意兩條直線不平行，任意三條不過同一點(diǎn)，求證：這n條直線互相分割成n2條線段或射線。學(xué)案P404、補(bǔ)充練習(xí)——用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①（數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式）???1?

i?1ni?1?2???1?i?1n?12n1??。33

學(xué)案P39

②（數(shù)學(xué)歸納法證明不等式）1?111?????2n，?n?N?； 學(xué)案P39

講解：此題為與自然數(shù)有關(guān)的命題，故可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明。

①當(dāng)n?1時(shí)命題成立。

②假設(shè)n?k?k?N?時(shí)命題成立，即：1?111?????2。則當(dāng)n?k?1時(shí)，不等式的左端?1?

不等式的右端?2k?1。由于2???2?11111?2?????? ?

?1211?2???? ??????

?121??0。所以，2k??2k?1，即n?k?1時(shí)命題也成立。?由①②可知：原不等式得證。

③（數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題）試證當(dāng)n?N時(shí)，3*2n?2?8n?9能被64整除。學(xué)案P39 ④（數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題）試證當(dāng)n?N時(shí)，11n?2?122n?1能被133整除。

全解P102

第四篇：天津市2013屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)之模塊專題：21 不等式證明(教師版)

不等式證明

證明不等式的基本方法有：求差（商）比較法，綜合法，分析法，有時(shí)用反證法，數(shù)學(xué)歸納法。均值定理、適度的放縮、恰當(dāng)?shù)膿Q元是證明不等式的重要技巧。不等式的證明往往與其它知識(shí)（如函數(shù)的性質(zhì)）綜合起來考查。例1：若0?x?1，證明loga(1?x)?loga(1?x)，（a?0且a?1）。

分析1：用作差法來證明。需分為a?1和0?a?1兩種情況，去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后比較法證明。

解法1：當(dāng)a?1時(shí)，因?yàn)??1?x?1,1?x?1，所以loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x2)?0。當(dāng)0?a?1時(shí)，因?yàn)??1?x?1,1?x?1，所以loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x2)?0。綜上，loga(1?x)?loga(1?x)。

分析2：直接作差，然后用對(duì)數(shù)的性質(zhì)來去絕對(duì)值符號(hào)。解法2：作差比較法。因?yàn)閘oga(1?x)?loga(1?x)?

1lga

lg(1?x)lga

?

lg(1?x)lga

2?

?lg(1?x)?lg(1?x)??

1lga

??lg(1?x)?lg(1?x)??

?1lga

lg(1?x)?0，所以loga(1?x)?loga(1?x)。

說明：解法1用分類相當(dāng)于增設(shè)了已知條件，便于在變形中脫去絕對(duì)值符號(hào)；解法2用對(duì)數(shù)性質(zhì)（換底公式）也能達(dá)到同樣的目的，且不必分而治之，其解法自然簡(jiǎn)捷、明快。

補(bǔ)充：（比較法）已知a?2，求證：log解法1：log

?a?1?a?log

?a?1?

a?log

a

?a?1?。

1??log

a

?a?1??a

1log

a

?a?1?

?log

?a?1??a

?a?1????loga?a?1??。

loga?a?1?

因?yàn)閍?2，所以，loga?a?1??0,loga?a?1??0，所以，?log

?loga?a?1????loga?a?1????

?

?

?a?1??loga?a?1??a

2a

?

?

?log?a

?

1??

?

?log

a

a

2?

?1

所以，log

?a?1?

a?log

a

?a?1??0，命題得證。

解法2：因?yàn)閍?2，所以，loga?a?1??0,loga?a?1??0，所以，loglog

a

?a?1?a

?

?a?1?

?a?1?1，?

?loga?a?1????loga?a?1??loga?a?1?

log

a

由解法1可知：上式?1。故命題得證。例2：設(shè)a?b?0，求證：aabb?abba.分析：發(fā)現(xiàn)作差后變形、判斷符號(hào)較為困難?？紤]到兩邊都是正數(shù)，可以作商，判斷比值與1的大小關(guān)系，從而證明不等式。證明：

abab

ba

ba

abab

b

aba

?a

a?b

?b

b?a

aa?baa，∵a?b?0，∴?1,a?b?0.∴()a?b?1 ?()bbb

a

b

b

a

∴?1.又∵ab?0，∴ab?ab.。

b

a

說明：本題考查不等式的證明方法——比較法(作商比較法)。作商比較法證明不等式的步驟是：判斷符號(hào)、作商、變形、判斷與1的大小。例3：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，求證

a?b

2?（a?b2)（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取等號(hào)）。

分析：這個(gè)題若使用比較法來證明，將會(huì)很麻煩，因?yàn)椋C明的不等式中有（a?b2)，展開后很復(fù)雜。若使用綜合法，從重要不等式：a?b?2ab出發(fā)，再恰當(dāng)?shù)乩貌坏仁降挠嘘P(guān)性質(zhì)及“配方”的技巧可得到證明。證明：∵ a2?b2?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a2?b2時(shí)取等號(hào)）

兩邊同加(a?b):2(a?b)?(a?b)，即：

a?b2

4?（a?b2

22)（1）

又：∵a2?b2?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取等號(hào)），兩邊同加(a2?b2):2(a2?b2)?(a?b)2 ∴

a?b2

?（a?b2)，∴（a?b2

22)?（a?b2)（2）

由（1）和（2）可得

a?b2

?（a?b2

。)（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取等號(hào)）

說明：此題參考用綜合法證明不等式。綜合法證明不等式主要是應(yīng)用均值不等式來證明，要注意均值不等式的變形應(yīng)用，一般式子中出現(xiàn)有平方和乘積形式后可以考慮用綜合法來解。

例4：已知a、b、c?R?，a?b?c?1，求證?

a1

1b?1a1c??9.1b?1c

分析 顯然這個(gè)題用比較法是不易證出的。若把通分，則會(huì)把不等式

變得較復(fù)雜而不易得到證明。由于右邊是一個(gè)常數(shù)，故可考慮把左邊的式子變?yōu)榫哂小暗箶?shù)”特征的形式，比如?

ab

ab，再利用“均值定理”就有可能找到正確的證明途徑，這也常稱為“湊倒數(shù)”的技巧。證明：∵a?b?c?1∴

?(1?

ba?ca)?（ab?1?

cb

1a

?

1b

a

c

?

?

1cb

c

?

a?b?c

a

?

a?b?c

bab)?（ca

??

a?b?c

cac)?（cb?

bc))?(?1)?3?（ba

?

∵∴

ba

?

1a

ab

?

?1b

1c

cacb

?2，同理：??2，??2。acbc

?3?2?2?2?9.?

說明：此題考查了變形應(yīng)用綜合法證明不等式。題目中用到了“湊倒數(shù)”，這種技巧在很多不等式證明中都可應(yīng)用，但有時(shí)要首先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形，以期達(dá)到可以“湊倒數(shù)”的目的。

例5：已知a?b?c，求證：

1a?b

?

1b?c

?

1c?a

?0。

分析：此題直接入手不容易，考慮用分析法來證明，由于分析法的過程可以用綜合法來書寫，所以此題用兩種方法來書寫證明過程。（分析法書寫過程）證明1：為了證明只需要證明

1a?b

?

1b?c

?

1a?b

?

1b?c

?

1c?a

?0

1a?c

1a?b?

?1c?a,1

?0

∵a?b?c∴a?c?a?b?0,b?c?0∴∴

1a?b

?

1b?c

?

a?cb?c

?0

1a?c

成立∴

1a?b

?

1b?c

成立

（綜合法書寫過程）證明2：∵a?b?c∴a?c?a?b?0,b?c?0 ∴

1a?b

?

1a?c，1b?c

?

0，∴

1a?b

?

1b?c

?

1a?c

成立，∴

1a?b

?

1b?c

?

1c?a

?

成立

說明：學(xué)會(huì)分析法入手，綜合法書寫證明過程，但有時(shí)這兩種方法經(jīng)常混在一起應(yīng)用，混合應(yīng)用時(shí)，應(yīng)用語言敘述清楚。例6：已知a?b?0，求證：

(a?b)8a

?

a?b2

?ab?

(a?b)8b。

分析：欲證不等式看起來較為“復(fù)雜”，宜將它化為較“簡(jiǎn)單”的形式，因而用分析法證明較好。證明：欲證

(a?b)8a

?

a?b2

?ab?

(a?b)8b，只須證

a?b2a

a?ab

(a?b)4a

?a?b?2ab?

(a?b)4b。

?a?b即要證??

?2a????(a???a?bb)???

?2b

2????，即要證

?a?b?

a?b2b。

即要證

a?2aba

b

?1?

a?2bab

b，即要證

?2?

a?b

b。

即要證1?

?2??1，即

ba

?1?

ab，即要證

ba

?1?

ab

（*）

∵a?b?0，∴（*）顯然成立，故

(a?b)8a

?

a?b2

?ab?

(a?b)8b

說明：分析法證明不等式，實(shí)質(zhì)上是尋求結(jié)論成立的一個(gè)充分條件。分析法通常

采用“欲證—只要證—即證—已知”的格式。例7：設(shè)n是正整數(shù)，求證

12?

1n?11n?1

?

1n?21n?2

??????

12n12n

?1。

分析：要求一個(gè)n項(xiàng)分式

?的范圍，它的和又求不出來，可

以采用“化整為零”的方法，觀察每一項(xiàng)的范圍，再求整體的范圍。證明：由2n?n?k當(dāng)k當(dāng)k

?1時(shí)，?n(k?1,2,?,n)，得

??1n

12n12n

??

1n?k1n?2

??

1n1n

。......12n

?nn?1。

12n12n

??

n?11

；當(dāng)k，∴

?2

時(shí)，n2n

?

?n

時(shí)，1n

n?n

?

1n?1

?

1n?2

???

說明1：用放縮法證明不等式，放縮要適應(yīng)，否則會(huì)走入困境。例如證明

?

???

1n

?

。由

1k

?

1k?1

?

1k，如果從第3項(xiàng)開始放縮，正好可證明；如

果從第2項(xiàng)放縮，可得小于2。當(dāng)放縮方式不同，結(jié)果也在變化。

說明2：放縮法一般包括：用縮小分母，擴(kuò)大分子，分式值增大；縮小分子，擴(kuò)大分母，分式值縮??；全量不少于部分；每一次縮小其和變小，但需大于所求，第一次擴(kuò)大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過頭，同時(shí)放縮后便于求和。例8：求證1?證明：∵

1n213

?

???

1n

?2。

?1n(n?2)

?

1n

?

1n

?

1n(n?1)

?

1n?1，∴1?

????

1n

1?1?11??11??1

?1???????????????2??2。

n?12??23??n?1n?

說明：此題證明過程并不復(fù)雜，但思路難尋。本題所采用的方法也是解不等式時(shí)常用的一種方法，即放縮法。這類題目靈活多樣，需要巧妙變形，問題才能化隱為顯，這里變形的這一步極為關(guān)鍵。例9：證明不等式：1?

12?13???

1n

?2n，?n?N?。

講解：此題為與自然數(shù)有關(guān)的命題，故可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明。解法1：①當(dāng)n?1時(shí)命題成立。②假設(shè)n?k?k?N?時(shí)命題成立，即：1?

1213?13???

1k

?2k。

則當(dāng)n?k?1時(shí)，不等式的左端?1?不等式的右端?2k?1。由于2k?1???2k?

??

?

???2k?1?1

????

1k

?

1k?1

?2k?

1k?1

k?1?k?

?

1k?1

?

2k?1?

k

?

1k?1

?

2k?1?

k?1

?

1k?1

?0。

所以，2k?

k?1

?2k?1，即n?k?1時(shí)命題也成立。

由①②可知：原不等式得證。

從上述證法可以看出：其中用到了k?

2k?1?

k

k?1這一事實(shí)，從而達(dá)到了

和

1k?1

之間的轉(zhuǎn)化，也即2?k?1?k?和

1k?1

之間的轉(zhuǎn)化，這就

提示我們，本題是否可以直接利用這一關(guān)系進(jìn)行放縮？觀察原不等式，若直接證明，直接化簡(jiǎn)是不可能的，但如果利用則可以達(dá)到目的，由此得解2。解法2：因?yàn)閷?duì)于任意自然數(shù)k，都有

12?

1n?2

1k

?

2k?

k?1

?2

?

k?

k?1進(jìn)行放縮，?

1k

?

2k?

k?1

?2

?

k?

k?1，所以，?

1??2

????

2?

?

0?2

????

3?2???2

??

n?n?1

?，從而不等式得證。

?2n

第五篇：高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)立體幾何復(fù)習(xí)

高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)立體幾何復(fù)習(xí)(1)

一、基本知識(shí)回顧

(1)重要的幾何位置關(guān)系；平行與垂直。主要包括線線、線面、面面三種情況。證明的基本思路：一般情況下，利用判定定理。而構(gòu)造滿足判定定理的條件時(shí)一般采用性質(zhì)定理，即利用性質(zhì)定理逆推來尋找滿足判定定理的條件(關(guān)鍵圖形)。一般的思路是：線線←→線面←→面面，即高維的位置關(guān)系借助低維的位置關(guān)系來證明(判定)，低維位置關(guān)系作為高維位置關(guān)系的性質(zhì)。下面列表說明證明的一般方法。(需要說明的是，表中的性質(zhì)定理并不是該表格所判定的位置關(guān)系的性質(zhì)定理。如表1中的性質(zhì)定理并不僅限于線線平行的性質(zhì)。)

①線線平行的判定：

平行公理

性質(zhì)定理

②線面平行的判定：

判定定理

性質(zhì)定理

③面面平行的判定；

判定定理

性質(zhì)定理

線面平行

面面平行

④線線垂直的判定：

判定定理

性質(zhì)定理

⑤線面垂直的判定：

判定定理

性質(zhì)定理

⑥面面垂直的判定：

判定定理

總結(jié)：從中可以看出，一般情況下，往往借助一些“性質(zhì)定理”來構(gòu)造滿足“判定定理”的條件。

(2)還會(huì)考查到的位置關(guān)系：異面直線的判定。

判定方法：定義(排除法與反證法)、判定定理。

二、基本例題

例1 已知：

分析：利用線面平行的性質(zhì)與平行公理。注意嚴(yán)格的公理化體系的推理演繹。

說明：過l分別作平面

∴l(xiāng)∥m同理l∥n

∴m∥n

又

又

例2.已知：AB是異面直線a、b的公垂線段，P是AB的中點(diǎn)，平面AB垂直，設(shè)M是a上任意一點(diǎn)，N是b上任意一點(diǎn)。

經(jīng)過點(diǎn)P且與

求證：線段MN與平面的交點(diǎn)Q是線段MN的中點(diǎn)。

分析：利用線線平行、線面平行的性質(zhì)。

證明：連結(jié)BM，設(shè)，連結(jié)PR，QR

在平面ABM中，AB⊥PR，AB⊥AM

∴AM∥PR，同理可證

∵BNì平面BMN且平面

且R為BM中點(diǎn)

∴BN∥RQ

△BMN中，由R為BM中點(diǎn)可知Q為MN中點(diǎn)。

例3.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)。

(1)求證：MN∥平面PAD；(2)求證：MN⊥CD

分析：利用性質(zhì)定理來構(gòu)造滿足判定定理的條件。

(1)法一：取PD中點(diǎn)E，連結(jié)NE，AE

∴△PCD中NE，又AM，∴AMNE

∴四邊形AMNE為平行四邊形，∴MN∥AE

∴MN∥平面PAD

法二：連結(jié)CM并延長(zhǎng)與DA延長(zhǎng)線交于F，連結(jié)PF

∴M為CF中點(diǎn)，∴MN∥PF，∴MN∥平面PAD

法三：取CD中點(diǎn)G，連結(jié)NG，MG

∴NG∥PD，MG∥AD，∴平面AD∥平面MNG

∴MN∥平面PAD

(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD

由(1)知CD⊥AE(或PF)，∴CD⊥MN

[或CD⊥平面MNG，∴CD⊥MN]

例4.已知：正三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1上一點(diǎn)，平面AMC1⊥平面A1ACC1，N是A1C1的中點(diǎn)，P是A1A的中點(diǎn)，求證：平面AMC1∥平面B1NP

證明：在平面AMC1中作MD⊥AC1

∴MD⊥平面ACC1A1

由正三棱柱的性質(zhì)，B1N⊥平面ACC1A1

∴MD∥B1N

又△A1AC1中，DN∥AC1且AC1∩MD=D，DN∩B1N=N

∴平面AMC1∥B1NP

例5 如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD。過A且垂直于PC的平面分別交PB、PC、PD于E、F、G。求證：AE⊥PB，AG⊥PD

分析：利用線面垂直的性質(zhì)。

證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC

由已知BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE ∵PC⊥平面AGFE，∴PC⊥AE

∴AE⊥平面PBC

∴AE⊥PB，同理AG⊥PD

例6.已知：三棱錐A-BCD，AO1⊥平面BCD，O1為垂足，且O1是△BCD的垂心。求證：D在平面ABC上的射影是△ABC的垂心。

分析：利用線面垂直的性質(zhì)。

證明：連結(jié)DO1，AO1設(shè)D在平面ABC內(nèi)的射影為O2，連結(jié)DO2，AO2，∵AO1⊥平面BCD，∴DO1為AD在平面BCD內(nèi)射影

同理AO2為AD在平面ABC內(nèi)射影

∵O1為BCD的垂心 ∴DO1⊥BC ∴BC⊥AD ∴BC⊥AO2同理AB⊥CO

2∴O2為△ABC的垂心

例7已知：正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1⊥BC1，求證：A1C⊥AB1

分析：三垂線定理的逆定理的應(yīng)用(線面垂直的性質(zhì))

證明：取AB、A1B1中點(diǎn)DD1，連結(jié)A1D，CD，C1D1

由正三棱柱的性質(zhì)C1D1⊥平面ABB1A1，CD⊥平面ABB1A1，∴A1D、BD1分別為A1C與BC1在平面ABB1A1內(nèi)的射影

∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥BD1。

在矩形ABB1A1中A1D∥BD1，∴AB1⊥A1D ∴AB1⊥A1C

例8 如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)。

求證：平面MND⊥平面PCD。

證明：取PD中點(diǎn)E，連結(jié)NE、AE 由例3，MN∥AE，CD⊥MN，CD⊥平面PAD ∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥AD ∴等腰Rt△PAD中AE⊥PD Rt△PCD中NE∥CD，∴NE⊥PD ∴PD⊥平面MNEA，∴PD⊥MN ∴MN⊥平面PCD ∴平面MND⊥平面PCD