第一篇：圓柱體積公式的推導(dǎo)

圓柱體積公式的推導(dǎo)（教學(xué)設(shè)計(jì)）三亞市第三小學(xué)

王明程 教學(xué)目標(biāo)

1、引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜想、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)理解圓柱體積計(jì)算公式的形成過程并能運(yùn)用其解決簡(jiǎn)單的問題。

2、感受轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想對(duì)解決數(shù)學(xué)問題的策略。

3、培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力及歸納、總結(jié)的習(xí)慣與能力。教學(xué)重點(diǎn)

掌握?qǐng)A柱體積的計(jì)算公式，并能運(yùn)用它解決簡(jiǎn)單的相關(guān)問題。教學(xué)難點(diǎn)

能利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想驗(yàn)證經(jīng)過觀察作出的圓柱體積計(jì)算公式的猜想。教學(xué)過程

活動(dòng)1：溫舊導(dǎo)入，初步感知轉(zhuǎn)化思想。

出示裝滿沙子的圓柱體并提問：誰能計(jì)算出這些沙子的體積嗎？如果老師把圓柱體中的沙子倒入旁邊的這個(gè)長(zhǎng)方體容器中，可以計(jì)算出沙子的體積了嗎？為什么呢？從而導(dǎo)出：長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)X寬X高=底面積X高。如果這是一堆很大很高的圓柱體沙子，我們還能這么做嗎？有什么方法可以直接計(jì)算出它的體積嗎？我們這節(jié)課就一起來探討這個(gè)問題。（板書課題：圓柱體積的計(jì)算）

活動(dòng)2：觀察、對(duì)比、發(fā)現(xiàn)歸納。

課件出示一組（4個(gè)）等高不等底的圓柱體。

要求：認(rèn)真觀察并說出您的發(fā)現(xiàn)（根據(jù)學(xué)生的實(shí)際表現(xiàn)情況可提示：什么是一樣的？什么是不一樣的？說明了什么呢？）期待值：高相等的情況下，圓柱的底面積越大，它的體積就越大。說明了：圓柱的體積與它的底面積的大小有關(guān)。

課件再顯示一組（4個(gè)）等底不等高的圓柱體。要求：認(rèn)真觀察并說出您的發(fā)現(xiàn)

期待值：底面積相等的情況下，圓柱的高越大，它的體積就越大。說明了：圓柱的體積與它的高有關(guān)。

課中小結(jié)

圓柱的體積與它的底面積有關(guān)，也與它的高有關(guān)；圓柱體積的大小是由它的底面積與高共同決定的。

活動(dòng)3：猜想、驗(yàn)證

1、猜想圓柱體積計(jì)算方法的可能形式，并說說為什么這么去猜想。

2、同桌之間或前后左右的同學(xué)之間相互討論用什么方法來驗(yàn)證自己的猜想是否正確。

3、動(dòng)手操作與驗(yàn)證演示

提供學(xué)生驗(yàn)證方法所需的學(xué)具，讓學(xué)生動(dòng)手操作，并就正確操作進(jìn)行演示與評(píng)價(jià)。

4、歸納總結(jié)

歸納總結(jié)圓柱體積的計(jì)算公式并板書 活動(dòng)4 實(shí)踐鞏固

1、課件出示有關(guān)圓柱體積公式計(jì)算的判斷題。

2、課件顯示已知底面積與高、已知半徑與高和已知直徑與高的3類習(xí)題 學(xué)生獨(dú)立完成、展示與評(píng)價(jià) 活動(dòng)5 全課總結(jié)與作業(yè)布置

作業(yè)內(nèi)容類型要求：基礎(chǔ)應(yīng)用型與拓展型習(xí)題相結(jié)合

第二篇：圓柱的體積公式推導(dǎo)

圓柱的體積公式推導(dǎo)

教學(xué)內(nèi)容：

西師版六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教科書第27、28頁的內(nèi)容。

教學(xué)目標(biāo)：

一．知識(shí)與技能

1、讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，滲透數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的方法。

2、能夠運(yùn)用公式正確地計(jì)算圓柱的體積，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

3、初步體驗(yàn)轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想和方法，并進(jìn)一步發(fā)展其空間觀念。

4、通過圓柱體積計(jì)算公式的推導(dǎo)、運(yùn)用的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)問題的探索性和挑戰(zhàn)性，感受數(shù)學(xué)思考過程的條理性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性，獲得成功的喜悅。二．過程與方法

教學(xué)時(shí)，充分利用教具、學(xué)具，引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作和交流探索新知。三．情感、態(tài)度與價(jià)值觀

體會(huì)類比、轉(zhuǎn)化等思想，初步發(fā)展推理能力和極限思想。

教學(xué)重點(diǎn)：掌握?qǐng)A柱體積計(jì)算公式的推導(dǎo)及熟練運(yùn)用公式解決實(shí)際問題。教學(xué)難點(diǎn)：圓柱體積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程。教學(xué)準(zhǔn)備： 教具：圓柱教具。

學(xué)具：圓柱學(xué)具，數(shù)學(xué)課本。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入，質(zhì)疑問難 1．復(fù)習(xí)

教師出示圓柱教具（學(xué)生拿出自制的圓柱），讓同學(xué)們回憶圓柱面的組成（兩個(gè)底面一個(gè)側(cè)面），在上一節(jié)我們把圓柱的側(cè)面展開得出一個(gè)長(zhǎng)方形（特殊時(shí)正方形），利用長(zhǎng)方形的面積推出了圓柱的側(cè)面積公式，請(qǐng)同學(xué)說一下其內(nèi)容。（圓柱的高的含義，圓的面積，圓的周長(zhǎng)，圓柱的表面積）

我們學(xué)習(xí)圓柱，除了學(xué)習(xí)這些之外，還需要學(xué)習(xí)另外一個(gè)重要的量——圓柱的體積。能用你自己的話說說，什么是圓柱的體積？（圓柱的體積就是圓柱所占空間的大小）

在我們生活中隨處可以看到圓柱形的物體，有的大，有的小。課件出示圓柱形物體圖片，引導(dǎo)學(xué)生注意圓柱形物體所占空間的大小(即體積)，為了說明圓柱形物體體積的大小，我們就需要計(jì)算圓柱體體積是多少，這就是我們這一節(jié)所要探討的內(nèi)容。

板書課題：圓柱的體積。2.復(fù)習(xí)長(zhǎng)方體、正方體的體積

物體所占空間的大小就是物體的體積，我們學(xué)習(xí)了哪些立體圖形的體積？（長(zhǎng)方體和正方體。）它們的體積是怎么求的呢？

學(xué)生：長(zhǎng)方體=長(zhǎng)×寬×高，正方體=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)。（出示課件長(zhǎng)方體、正方體，讓學(xué)生回顧它們的體積公式。總結(jié)長(zhǎng)方體、正方體的體積都可以用底面積乘高去計(jì)算。）

如果用V表示體積，s表示底面積，h表示高。那么 V=sh 3.猜一猜 議一議

我們學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方體、正方體體積，那圓柱的體積該怎樣計(jì)算呢？

請(qǐng)同學(xué)們分組討論，你們有什么方法計(jì)算圓柱的體積。

（用水或沙子轉(zhuǎn)化計(jì)算，用橡皮泥轉(zhuǎn)化計(jì)算，用圓形紙片疊加計(jì)算……）能不能把圓柱轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的立體圖形來計(jì)算體積呢？ 圓柱的體積是不是也可以用底面積乘高去計(jì)算呢？（留下懸念）

二、圖形轉(zhuǎn)化，猜想推理

1、同學(xué)們，我們已經(jīng)知道圓的面積公式，請(qǐng)大家回憶圓的面積計(jì)算公式是怎樣推導(dǎo)出來的？（生回答）

出示課件演示圓的面積公式推導(dǎo)過程。

2、既然我們運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法求出了圓的面積，那對(duì)于圓柱的體積，能不能也利用這種轉(zhuǎn)化的思想？你們想到什么？

引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)：我們雖然不會(huì)計(jì)算圓柱的體積，但我們會(huì)計(jì)算長(zhǎng)方體的體積，如果能將圓柱轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體就好辦了。

3、思考：怎樣才能把圓柱轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體呢？

引導(dǎo)學(xué)生思考：我們可以沿著圓柱的底面直徑把圓柱的底面平均分成若干個(gè)扇形，再沿圓柱的高切開，然后拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體。

活動(dòng)：學(xué)生操作學(xué)具(如有)，進(jìn)行拼組。

4、課件演示拼組的過程。（提醒學(xué)生認(rèn)真觀察）

上面近似的長(zhǎng)方體是把圓柱平分成若干份拼成的，如果將圓柱等分成更多的份數(shù)，你會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？（引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)圓柱底面等分的份數(shù)越多，拼組成的立體圖形就越接近于長(zhǎng)方體，體會(huì)無限逼近的數(shù)學(xué)極限思想。）

5、學(xué)生根據(jù)以下問題進(jìn)行討論。

（1）圓柱拼成近似的長(zhǎng)方體后，兩者形狀變了嗎?體積發(fā)生變化了嗎？（2）圓柱拼成近似的長(zhǎng)方體后，兩者底面積與高發(fā)生變化了嗎？

討論后學(xué)生匯報(bào)：

（拼成的近似長(zhǎng)方體的底面積等于圓柱的底面積，近似長(zhǎng)方體的高就是圓柱的高，因此要求圓柱的體積就只要求切拼后的近似長(zhǎng)方體的體積就可以了。）

6、課件演示

長(zhǎng)方體的體積=底面積×高，圓柱的高等于拼好的長(zhǎng)方體的高，圓柱的底面積等于拼好的長(zhǎng)方體的底面積。由此推導(dǎo)出圓柱的體積=底面積×高。

如果用S表示底面積，h表示高，那么圓柱體積公式怎樣表示？

板書：V=Sh

7、課件出示，以填空的方式鞏固回憶圓柱體積公式推導(dǎo)過程。

三、運(yùn)用新知，解決問題

課件出示練習(xí)題

四、全課小結(jié)

老師根據(jù)學(xué)生發(fā)言，對(duì)本節(jié)課的知識(shí)進(jìn)行總結(jié)，學(xué)生說得不夠全面教師補(bǔ)充：

五、作業(yè)布置

課本29頁練習(xí)八。板書設(shè)計(jì)：

圓柱的體積公式推導(dǎo) 長(zhǎng)/正方體體積=底面積×高 圓柱的體積=底面積×高

第三篇：圓錐體積公式的推導(dǎo)

圓錐體積公式的推導(dǎo)

（定積分）

圓錐體積公式在小學(xué)的推導(dǎo)法是實(shí)驗(yàn)法，現(xiàn)在在這里介紹高等幾何的定積分法。

首先，設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h。如圖1：

圖1 定義空間直角坐標(biāo)系，以圓錐底面圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段r（半徑）在x軸上，線段h（高）在z軸上。

把圓錐分割成小圓臺(tái)，切面平行于平面xOy。可據(jù)此列出體積V的公式：

因此可得一個(gè)圓錐的體積是與它等底等高的圓柱的體積的三分之一，與實(shí)驗(yàn)法吻合。

dawny 2010-01-07

第四篇：圓柱的體積計(jì)算公式的推導(dǎo)教案

圓柱的體積計(jì)算公式的推導(dǎo)教案

晏金明

教學(xué)內(nèi)容：教科書第19頁的圓柱體積公式的推導(dǎo)和例6，完成第20頁“做一做”的第1題和練習(xí)三的第1—2題。

教學(xué)目的：通過用切割拼合的方法借助長(zhǎng)方體的體積公式推導(dǎo)出圓柱的體積公式，使學(xué)生理解圓柱的體積公式的推導(dǎo)過程，能夠運(yùn)用公式正確地計(jì)算圓柱的體積。

教具準(zhǔn)備：圓柱的體積公式演示教具(把圓柱底面平均分成16個(gè)扇形，然后把它分成兩部分，兩部分分別用不同顏色區(qū)別開)。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)

1．圓柱的側(cè)面積怎么求?

(圓柱的側(cè)面積＝底面周長(zhǎng)×高。)

2．長(zhǎng)方體的體積怎樣計(jì)算?

學(xué)生可能會(huì)答出“長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高”，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生想到長(zhǎng)方體和正方體體積的統(tǒng)一公式“底面積×高”。

板書：長(zhǎng)方體的體積＝底面積×高

3．拿出一個(gè)圓柱形物體，指名學(xué)生指出圓拄的底面、高、側(cè)面、表面各是什么?圓柱有幾個(gè)底面?有多少條高?

二、導(dǎo)入新課

教師：請(qǐng)大家想一想，在學(xué)習(xí)圓的面積時(shí)，我們是怎樣把因變成已學(xué)過的圖形再計(jì)算面積的?

先讓學(xué)生回憶，同桌的相互說說。

然后指名學(xué)生說一說圓面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程：把圓等分切割，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，找出圓的面積和所拼成的長(zhǎng)方形面積之間的關(guān)系，再利用求長(zhǎng)方形面積的

計(jì)算公式導(dǎo)出求圓面積的計(jì)算公式。

教師：怎樣計(jì)算圓柱的體積呢?大家仔細(xì)想想看，能不能把圓柱轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)學(xué)過的圖形來求出它的體積?

讓學(xué)生相互討論，思考應(yīng)怎樣進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

指名學(xué)生說說自己想到的方法，有的學(xué)生可能會(huì)說出將圓柱的底面分成扇形切開，教師應(yīng)該給予表揚(yáng)。

教師：這節(jié)課我們就來研究如何將圓柱轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)學(xué)過的圖形來求出它的體積。

板書課題：圓校的體積

三、新課

1．圓柱體積計(jì)算公式的推導(dǎo)。

教師出示一個(gè)圓柱，提問：這是不是一個(gè)圓柱?(是。)

教師用手捂住圓柱的側(cè)面，只把其中的一個(gè)底面出示給學(xué)生看提問：

“大家看，這是不是一圓?”(是。)

“這是一個(gè)圓，那么要求這個(gè)圓的面積，剛才我們已經(jīng)復(fù)習(xí)了，可以用什么方法求出它的面積?”

學(xué)生很容易想到可以將圓轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來求出圓的面積，于是教師可以先把底面分成若干份相等的扇形(如分成16等份)。然后引導(dǎo)學(xué)生觀察：沿著圓柱底面的扇形和圓柱的高把圓柱切開，可以得到大小相等的16塊。

教師將這分成16塊的底面出示給學(xué)生看，問：現(xiàn)在把底面切成了16份，應(yīng)該怎樣把它拼成一個(gè)長(zhǎng)方形?

指名學(xué)生回答后，老師進(jìn)行操作演示，先只把底面部分拿給學(xué)生看。大家看，圓柱的底面被拼成了什么圖形?”

學(xué)生：長(zhǎng)方形。

教師：大家再看看整個(gè)圓柱，它又被拼成了什么形狀?

(有點(diǎn)接近長(zhǎng)方體：)

然后教師指出：由于我們分得不夠細(xì)，所以看起來還不太像長(zhǎng)方體；如果分成的扇形越多，拼成的立體圖形就越接近于長(zhǎng)方體了。

教師：把圓柱拼成近似的長(zhǎng)方體后，體積發(fā)生變化沒有?圓柱的體積可以怎樣求?

引導(dǎo)學(xué)生想到由于體積沒有發(fā)生變化，所以可以通過求切拼后的長(zhǎng)方體的體積來求圓柱的體積。

教師：“而長(zhǎng)方體的體積等于什么?”讓全斑學(xué)生齊答，教師接著板書：“長(zhǎng)方體的體積＝底面積×高”。

教師：請(qǐng)大家觀察教具，拼成的近似長(zhǎng)方體的底面積與原來圓柱的哪一部分有關(guān)系?近似長(zhǎng)方體的高與原來圓柱的哪一部分有關(guān)系?

通過觀察，使學(xué)生明確：長(zhǎng)方體的底面積等于圓柱的底面積，長(zhǎng)方體的高就是圓柱的高。

板書：圓柱的體積＝底面積×高

教師：如果用V表示圓拄的體積，S表示圓柱的底面積，H表示圓柱的高，可以得到圓柱的體積公式； V＝SH

2．教學(xué)例6。

出示例6。

(1)教師指名學(xué)生分別回答下面的問題：

①這道題已知什么?求什么?

②能不能根據(jù)公式直接計(jì)算?

③計(jì)算之前要注意什么?

通過提問，使學(xué)生明確計(jì)算時(shí)既要分析已知條件和問題，還要注意要先統(tǒng)一計(jì)量單位。

(2)用投影片或小黑板出示下面幾種解答方案，讓學(xué)生判斷哪個(gè)是正確的?

①V＝SH＝50×2．1＝105

答：它的體積是105立方厘米。

②2．1米；210厘米

V＝SH＝50×210＝10500

答：它的體積是10500立方厘米。

③50平方厘米＝0，5平方米

V＝SH＝0．5×2，1＝1．05

答：它的體積是1．05立方米。

④50平方厘米＝0．005平方米

V＝SH＝0．005×2．1＝0．0105立方米

答：它的體積是0．0105立方米。

一先讓學(xué)生思考，然后指名學(xué)生回答哪個(gè)是正確的解答，并比較一下哪一種解答更簡(jiǎn)單。對(duì)不正確的第①、②種解答要說說錯(cuò)在什么地方。

(3)做第44頁“做一做”的第1題。

讓學(xué)生獨(dú)立做在練習(xí)本上，做完后集體訂正。

四、小結(jié)(略)

五、作業(yè)

練習(xí)十一的第1—2題。

這兩道題分別是已知底面積(或直徑)和高，求圓柱體積的習(xí)題。要求學(xué)生審題

后，知道底面直徑的要先求出底面積，再求圓柱的體積。

第五篇：案例圓錐體積公式的推導(dǎo)

在探索圓錐體積的計(jì)算公式時(shí)，教師直接告訴學(xué)生要比較等底等高的圓柱與圓錐，這是學(xué)生的內(nèi)心需求和迫切需要嗎，如果不是，學(xué)生難免會(huì)問：為什么要用圓柱與圓錐進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比？ 對(duì)策：課始，教師先讓學(xué)生回憶平行四邊形、三角形、梯形和圓的面積公式以及圓柱體積公式的推導(dǎo)過程，梳理知識(shí)，形成脈絡(luò)：

引導(dǎo)學(xué)生：對(duì)未知平面圖形面積的計(jì)算，一般是把它轉(zhuǎn)化成已知平面圖形面積的計(jì)算，再推導(dǎo)出計(jì)算公式；對(duì)未知圓柱體積的計(jì)算，也是把它轉(zhuǎn)化成已知長(zhǎng)方體體積的計(jì)算，再推導(dǎo)出計(jì)算公式。從而滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生自覺產(chǎn)生“能否把未知圓錐體積的計(jì)算轉(zhuǎn)化成已知圓柱體積的計(jì)算”這一想法。有了以上的知識(shí)準(zhǔn)備和認(rèn)知需求，再引導(dǎo)學(xué)生分組進(jìn)行下面的實(shí)驗(yàn)。

[實(shí)驗(yàn)一] 實(shí)驗(yàn)器材：等底等高的圓柱和圓錐形容器、水(沙子或橡皮泥)。

實(shí)驗(yàn)過程：把圓錐形容器裝滿水，然后倒入圓柱形容器，三次恰好倒?jié)M。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果：圓柱形容器的容積等于和它等底等高的圓錐形容器容積的3倍，或圓錐形容器的容積等于和它等底等高的圓柱形容器容積的，從而推導(dǎo)出圓錐體積計(jì)算公式。

[實(shí)驗(yàn)二] 實(shí)驗(yàn)器材：等底等高的圓柱和圓錐形容器、沙子、天平。

實(shí)驗(yàn)過程：把兩種容器都裝滿沙子，然后在天平上分別稱出所裝沙子的質(zhì)量，兩種容器容納的沙子質(zhì)量恰好成3倍關(guān)系。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果：根據(jù)同密度物體的體積與質(zhì)量成正比例，可以得出圓錐形容器的容積等于和它等底等高的圓柱形容器容積的。

教學(xué)圓錐體積的計(jì)算方法時(shí)，一般教師用來演示的教具都是空心的容器，實(shí)驗(yàn)對(duì)比的結(jié)果是它們的容積，難道用實(shí)心圓柱和圓錐就不能進(jìn)行實(shí)驗(yàn)了嗎，筆者進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)和調(diào)研測(cè)試如下：

[實(shí)驗(yàn)三] 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^實(shí)驗(yàn)，找出等底等高的圓柱與圓錐體積之間的關(guān)系。

實(shí)驗(yàn)器材：能夠沉入水中的等底等高的實(shí)心圓柱和圓錐、長(zhǎng)方體玻璃缸容器、水。

實(shí)驗(yàn)步驟：1.在容器中加入適量的水，測(cè)量并記錄水位高度。2.把圓柱放入容器并浸沒水中，測(cè)量并記錄水位增加的高度，水位升高部分的體積就等于圓柱的體積。3.取出圓柱，把圓錐放入容器并浸沒水中，測(cè)量并記錄水位增加的高度，水位升高部分的體積就等于圓錐的體積。