第一篇:圓柱體積公式的推導(dǎo)
圓柱體積公式的推導(dǎo)(教學(xué)設(shè)計(jì))三亞市第三小學(xué)
王明程 教學(xué)目標(biāo)
1、引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、猜想、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)理解圓柱體積計(jì)算公式的形成過(guò)程并能運(yùn)用其解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。
2、感受轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想對(duì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略。
3、培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力及歸納、總結(jié)的習(xí)慣與能力。教學(xué)重點(diǎn)
掌握?qǐng)A柱體積的計(jì)算公式,并能運(yùn)用它解決簡(jiǎn)單的相關(guān)問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn)
能利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想驗(yàn)證經(jīng)過(guò)觀察作出的圓柱體積計(jì)算公式的猜想。教學(xué)過(guò)程
活動(dòng)1:溫舊導(dǎo)入,初步感知轉(zhuǎn)化思想。
出示裝滿沙子的圓柱體并提問(wèn):誰(shuí)能計(jì)算出這些沙子的體積嗎?如果老師把圓柱體中的沙子倒入旁邊的這個(gè)長(zhǎng)方體容器中,可以計(jì)算出沙子的體積了嗎?為什么呢?從而導(dǎo)出:長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)X寬X高=底面積X高。如果這是一堆很大很高的圓柱體沙子,我們還能這么做嗎?有什么方法可以直接計(jì)算出它的體積嗎?我們這節(jié)課就一起來(lái)探討這個(gè)問(wèn)題。(板書(shū)課題:圓柱體積的計(jì)算)
活動(dòng)2:觀察、對(duì)比、發(fā)現(xiàn)歸納。
課件出示一組(4個(gè))等高不等底的圓柱體。
要求:認(rèn)真觀察并說(shuō)出您的發(fā)現(xiàn)(根據(jù)學(xué)生的實(shí)際表現(xiàn)情況可提示:什么是一樣的?什么是不一樣的?說(shuō)明了什么呢?)期待值:高相等的情況下,圓柱的底面積越大,它的體積就越大。說(shuō)明了:圓柱的體積與它的底面積的大小有關(guān)。
課件再顯示一組(4個(gè))等底不等高的圓柱體。要求:認(rèn)真觀察并說(shuō)出您的發(fā)現(xiàn)
期待值:底面積相等的情況下,圓柱的高越大,它的體積就越大。說(shuō)明了:圓柱的體積與它的高有關(guān)。
課中小結(jié)
圓柱的體積與它的底面積有關(guān),也與它的高有關(guān);圓柱體積的大小是由它的底面積與高共同決定的。
活動(dòng)3:猜想、驗(yàn)證
1、猜想圓柱體積計(jì)算方法的可能形式,并說(shuō)說(shuō)為什么這么去猜想。
2、同桌之間或前后左右的同學(xué)之間相互討論用什么方法來(lái)驗(yàn)證自己的猜想是否正確。
3、動(dòng)手操作與驗(yàn)證演示
提供學(xué)生驗(yàn)證方法所需的學(xué)具,讓學(xué)生動(dòng)手操作,并就正確操作進(jìn)行演示與評(píng)價(jià)。
4、歸納總結(jié)
歸納總結(jié)圓柱體積的計(jì)算公式并板書(shū) 活動(dòng)4 實(shí)踐鞏固
1、課件出示有關(guān)圓柱體積公式計(jì)算的判斷題。
2、課件顯示已知底面積與高、已知半徑與高和已知直徑與高的3類(lèi)習(xí)題 學(xué)生獨(dú)立完成、展示與評(píng)價(jià) 活動(dòng)5 全課總結(jié)與作業(yè)布置
作業(yè)內(nèi)容類(lèi)型要求:基礎(chǔ)應(yīng)用型與拓展型習(xí)題相結(jié)合
第二篇:圓柱的體積公式推導(dǎo)
圓柱的體積公式推導(dǎo)
教學(xué)內(nèi)容:
西師版六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教科書(shū)第27、28頁(yè)的內(nèi)容。
教學(xué)目標(biāo):
一.知識(shí)與技能
1、讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程,發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力,滲透數(shù)學(xué)思想,體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的方法。
2、能夠運(yùn)用公式正確地計(jì)算圓柱的體積,并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。
3、初步體驗(yàn)轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想和方法,并進(jìn)一步發(fā)展其空間觀念。
4、通過(guò)圓柱體積計(jì)算公式的推導(dǎo)、運(yùn)用的過(guò)程,體驗(yàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索性和挑戰(zhàn)性,感受數(shù)學(xué)思考過(guò)程的條理性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性,獲得成功的喜悅。二.過(guò)程與方法
教學(xué)時(shí),充分利用教具、學(xué)具,引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作和交流探索新知。三.情感、態(tài)度與價(jià)值觀
體會(huì)類(lèi)比、轉(zhuǎn)化等思想,初步發(fā)展推理能力和極限思想。
教學(xué)重點(diǎn):掌握?qǐng)A柱體積計(jì)算公式的推導(dǎo)及熟練運(yùn)用公式解決實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn):圓柱體積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程。教學(xué)準(zhǔn)備: 教具:圓柱教具。
學(xué)具:圓柱學(xué)具,數(shù)學(xué)課本。
教學(xué)過(guò)程:
一、復(fù)習(xí)引入,質(zhì)疑問(wèn)難 1.復(fù)習(xí)
教師出示圓柱教具(學(xué)生拿出自制的圓柱),讓同學(xué)們回憶圓柱面的組成(兩個(gè)底面一個(gè)側(cè)面),在上一節(jié)我們把圓柱的側(cè)面展開(kāi)得出一個(gè)長(zhǎng)方形(特殊時(shí)正方形),利用長(zhǎng)方形的面積推出了圓柱的側(cè)面積公式,請(qǐng)同學(xué)說(shuō)一下其內(nèi)容。(圓柱的高的含義,圓的面積,圓的周長(zhǎng),圓柱的表面積)
我們學(xué)習(xí)圓柱,除了學(xué)習(xí)這些之外,還需要學(xué)習(xí)另外一個(gè)重要的量——圓柱的體積。能用你自己的話說(shuō)說(shuō),什么是圓柱的體積?(圓柱的體積就是圓柱所占空間的大小)
在我們生活中隨處可以看到圓柱形的物體,有的大,有的小。課件出示圓柱形物體圖片,引導(dǎo)學(xué)生注意圓柱形物體所占空間的大小(即體積),為了說(shuō)明圓柱形物體體積的大小,我們就需要計(jì)算圓柱體體積是多少,這就是我們這一節(jié)所要探討的內(nèi)容。
板書(shū)課題:圓柱的體積。2.復(fù)習(xí)長(zhǎng)方體、正方體的體積
物體所占空間的大小就是物體的體積,我們學(xué)習(xí)了哪些立體圖形的體積?(長(zhǎng)方體和正方體。)它們的體積是怎么求的呢?
學(xué)生:長(zhǎng)方體=長(zhǎng)×寬×高,正方體=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)。(出示課件長(zhǎng)方體、正方體,讓學(xué)生回顧它們的體積公式??偨Y(jié)長(zhǎng)方體、正方體的體積都可以用底面積乘高去計(jì)算。)
如果用V表示體積,s表示底面積,h表示高。那么 V=sh 3.猜一猜 議一議
我們學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方體、正方體體積,那圓柱的體積該怎樣計(jì)算呢?
請(qǐng)同學(xué)們分組討論,你們有什么方法計(jì)算圓柱的體積。
(用水或沙子轉(zhuǎn)化計(jì)算,用橡皮泥轉(zhuǎn)化計(jì)算,用圓形紙片疊加計(jì)算……)能不能把圓柱轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過(guò)的立體圖形來(lái)計(jì)算體積呢? 圓柱的體積是不是也可以用底面積乘高去計(jì)算呢?(留下懸念)
二、圖形轉(zhuǎn)化,猜想推理
1、同學(xué)們,我們已經(jīng)知道圓的面積公式,請(qǐng)大家回憶圓的面積計(jì)算公式是怎樣推導(dǎo)出來(lái)的?(生回答)
出示課件演示圓的面積公式推導(dǎo)過(guò)程。
2、既然我們運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法求出了圓的面積,那對(duì)于圓柱的體積,能不能也利用這種轉(zhuǎn)化的思想?你們想到什么?
引導(dǎo)學(xué)生體會(huì):我們雖然不會(huì)計(jì)算圓柱的體積,但我們會(huì)計(jì)算長(zhǎng)方體的體積,如果能將圓柱轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體就好辦了。
3、思考:怎樣才能把圓柱轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體呢?
引導(dǎo)學(xué)生思考:我們可以沿著圓柱的底面直徑把圓柱的底面平均分成若干個(gè)扇形,再沿圓柱的高切開(kāi),然后拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體。
活動(dòng):學(xué)生操作學(xué)具(如有),進(jìn)行拼組。
4、課件演示拼組的過(guò)程。(提醒學(xué)生認(rèn)真觀察)
上面近似的長(zhǎng)方體是把圓柱平分成若干份拼成的,如果將圓柱等分成更多的份數(shù),你會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)?(引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)圓柱底面等分的份數(shù)越多,拼組成的立體圖形就越接近于長(zhǎng)方體,體會(huì)無(wú)限逼近的數(shù)學(xué)極限思想。)
5、學(xué)生根據(jù)以下問(wèn)題進(jìn)行討論。
(1)圓柱拼成近似的長(zhǎng)方體后,兩者形狀變了嗎?體積發(fā)生變化了嗎?(2)圓柱拼成近似的長(zhǎng)方體后,兩者底面積與高發(fā)生變化了嗎?
討論后學(xué)生匯報(bào):
(拼成的近似長(zhǎng)方體的底面積等于圓柱的底面積,近似長(zhǎng)方體的高就是圓柱的高,因此要求圓柱的體積就只要求切拼后的近似長(zhǎng)方體的體積就可以了。)
6、課件演示
長(zhǎng)方體的體積=底面積×高,圓柱的高等于拼好的長(zhǎng)方體的高,圓柱的底面積等于拼好的長(zhǎng)方體的底面積。由此推導(dǎo)出圓柱的體積=底面積×高。
如果用S表示底面積,h表示高,那么圓柱體積公式怎樣表示?
板書(shū):V=Sh
7、課件出示,以填空的方式鞏固回憶圓柱體積公式推導(dǎo)過(guò)程。
三、運(yùn)用新知,解決問(wèn)題
課件出示練習(xí)題
四、全課小結(jié)
老師根據(jù)學(xué)生發(fā)言,對(duì)本節(jié)課的知識(shí)進(jìn)行總結(jié),學(xué)生說(shuō)得不夠全面教師補(bǔ)充:
五、作業(yè)布置
課本29頁(yè)練習(xí)八。板書(shū)設(shè)計(jì):
圓柱的體積公式推導(dǎo) 長(zhǎng)/正方體體積=底面積×高 圓柱的體積=底面積×高
第三篇:圓錐體積公式的推導(dǎo)
圓錐體積公式的推導(dǎo)
(定積分)
圓錐體積公式在小學(xué)的推導(dǎo)法是實(shí)驗(yàn)法,現(xiàn)在在這里介紹高等幾何的定積分法。
首先,設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h。如圖1:
圖1 定義空間直角坐標(biāo)系,以圓錐底面圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),線段r(半徑)在x軸上,線段h(高)在z軸上。
把圓錐分割成小圓臺(tái),切面平行于平面xOy??蓳?jù)此列出體積V的公式:
因此可得一個(gè)圓錐的體積是與它等底等高的圓柱的體積的三分之一,與實(shí)驗(yàn)法吻合。
dawny 2010-01-07
第四篇:圓柱的體積計(jì)算公式的推導(dǎo)教案
圓柱的體積計(jì)算公式的推導(dǎo)教案
晏金明
教學(xué)內(nèi)容:教科書(shū)第19頁(yè)的圓柱體積公式的推導(dǎo)和例6,完成第20頁(yè)“做一做”的第1題和練習(xí)三的第1—2題。
教學(xué)目的:通過(guò)用切割拼合的方法借助長(zhǎng)方體的體積公式推導(dǎo)出圓柱的體積公式,使學(xué)生理解圓柱的體積公式的推導(dǎo)過(guò)程,能夠運(yùn)用公式正確地計(jì)算圓柱的體積。
教具準(zhǔn)備:圓柱的體積公式演示教具(把圓柱底面平均分成16個(gè)扇形,然后把它分成兩部分,兩部分分別用不同顏色區(qū)別開(kāi))。
教學(xué)過(guò)程:
一、復(fù)習(xí)
1.圓柱的側(cè)面積怎么求?
(圓柱的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高。)
2.長(zhǎng)方體的體積怎樣計(jì)算?
學(xué)生可能會(huì)答出“長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高”,教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生想到長(zhǎng)方體和正方體體積的統(tǒng)一公式“底面積×高”。
板書(shū):長(zhǎng)方體的體積=底面積×高
3.拿出一個(gè)圓柱形物體,指名學(xué)生指出圓拄的底面、高、側(cè)面、表面各是什么?圓柱有幾個(gè)底面?有多少條高?
二、導(dǎo)入新課
教師:請(qǐng)大家想一想,在學(xué)習(xí)圓的面積時(shí),我們是怎樣把因變成已學(xué)過(guò)的圖形再計(jì)算面積的?
先讓學(xué)生回憶,同桌的相互說(shuō)說(shuō)。
然后指名學(xué)生說(shuō)一說(shuō)圓面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程:把圓等分切割,拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形,找出圓的面積和所拼成的長(zhǎng)方形面積之間的關(guān)系,再利用求長(zhǎng)方形面積的
計(jì)算公式導(dǎo)出求圓面積的計(jì)算公式。
教師:怎樣計(jì)算圓柱的體積呢?大家仔細(xì)想想看,能不能把圓柱轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形來(lái)求出它的體積?
讓學(xué)生相互討論,思考應(yīng)怎樣進(jìn)行轉(zhuǎn)化。
指名學(xué)生說(shuō)說(shuō)自己想到的方法,有的學(xué)生可能會(huì)說(shuō)出將圓柱的底面分成扇形切開(kāi),教師應(yīng)該給予表?yè)P(yáng)。
教師:這節(jié)課我們就來(lái)研究如何將圓柱轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形來(lái)求出它的體積。
板書(shū)課題:圓校的體積
三、新課
1.圓柱體積計(jì)算公式的推導(dǎo)。
教師出示一個(gè)圓柱,提問(wèn):這是不是一個(gè)圓柱?(是。)
教師用手捂住圓柱的側(cè)面,只把其中的一個(gè)底面出示給學(xué)生看提問(wèn):
“大家看,這是不是一圓?”(是。)
“這是一個(gè)圓,那么要求這個(gè)圓的面積,剛才我們已經(jīng)復(fù)習(xí)了,可以用什么方法求出它的面積?”
學(xué)生很容易想到可以將圓轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來(lái)求出圓的面積,于是教師可以先把底面分成若干份相等的扇形(如分成16等份)。然后引導(dǎo)學(xué)生觀察:沿著圓柱底面的扇形和圓柱的高把圓柱切開(kāi),可以得到大小相等的16塊。
教師將這分成16塊的底面出示給學(xué)生看,問(wèn):現(xiàn)在把底面切成了16份,應(yīng)該怎樣把它拼成一個(gè)長(zhǎng)方形?
指名學(xué)生回答后,老師進(jìn)行操作演示,先只把底面部分拿給學(xué)生看。大家看,圓柱的底面被拼成了什么圖形?”
學(xué)生:長(zhǎng)方形。
教師:大家再看看整個(gè)圓柱,它又被拼成了什么形狀?
(有點(diǎn)接近長(zhǎng)方體:)
然后教師指出:由于我們分得不夠細(xì),所以看起來(lái)還不太像長(zhǎng)方體;如果分成的扇形越多,拼成的立體圖形就越接近于長(zhǎng)方體了。
教師:把圓柱拼成近似的長(zhǎng)方體后,體積發(fā)生變化沒(méi)有?圓柱的體積可以怎樣求?
引導(dǎo)學(xué)生想到由于體積沒(méi)有發(fā)生變化,所以可以通過(guò)求切拼后的長(zhǎng)方體的體積來(lái)求圓柱的體積。
教師:“而長(zhǎng)方體的體積等于什么?”讓全斑學(xué)生齊答,教師接著板書(shū):“長(zhǎng)方體的體積=底面積×高”。
教師:請(qǐng)大家觀察教具,拼成的近似長(zhǎng)方體的底面積與原來(lái)圓柱的哪一部分有關(guān)系?近似長(zhǎng)方體的高與原來(lái)圓柱的哪一部分有關(guān)系?
通過(guò)觀察,使學(xué)生明確:長(zhǎng)方體的底面積等于圓柱的底面積,長(zhǎng)方體的高就是圓柱的高。
板書(shū):圓柱的體積=底面積×高
教師:如果用V表示圓拄的體積,S表示圓柱的底面積,H表示圓柱的高,可以得到圓柱的體積公式; V=SH
2.教學(xué)例6。
出示例6。
(1)教師指名學(xué)生分別回答下面的問(wèn)題:
①這道題已知什么?求什么?
②能不能根據(jù)公式直接計(jì)算?
③計(jì)算之前要注意什么?
通過(guò)提問(wèn),使學(xué)生明確計(jì)算時(shí)既要分析已知條件和問(wèn)題,還要注意要先統(tǒng)一計(jì)量單位。
(2)用投影片或小黑板出示下面幾種解答方案,讓學(xué)生判斷哪個(gè)是正確的?
①V=SH=50×2.1=105
答:它的體積是105立方厘米。
②2.1米;210厘米
V=SH=50×210=10500
答:它的體積是10500立方厘米。
③50平方厘米=0,5平方米
V=SH=0.5×2,1=1.05
答:它的體積是1.05立方米。
④50平方厘米=0.005平方米
V=SH=0.005×2.1=0.0105立方米
答:它的體積是0.0105立方米。
一先讓學(xué)生思考,然后指名學(xué)生回答哪個(gè)是正確的解答,并比較一下哪一種解答更簡(jiǎn)單。對(duì)不正確的第①、②種解答要說(shuō)說(shuō)錯(cuò)在什么地方。
(3)做第44頁(yè)“做一做”的第1題。
讓學(xué)生獨(dú)立做在練習(xí)本上,做完后集體訂正。
四、小結(jié)(略)
五、作業(yè)
練習(xí)十一的第1—2題。
這兩道題分別是已知底面積(或直徑)和高,求圓柱體積的習(xí)題。要求學(xué)生審題
后,知道底面直徑的要先求出底面積,再求圓柱的體積。
第五篇:案例圓錐體積公式的推導(dǎo)
在探索圓錐體積的計(jì)算公式時(shí),教師直接告訴學(xué)生要比較等底等高的圓柱與圓錐,這是學(xué)生的內(nèi)心需求和迫切需要嗎,如果不是,學(xué)生難免會(huì)問(wèn):為什么要用圓柱與圓錐進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比? 對(duì)策:課始,教師先讓學(xué)生回憶平行四邊形、三角形、梯形和圓的面積公式以及圓柱體積公式的推導(dǎo)過(guò)程,梳理知識(shí),形成脈絡(luò):
引導(dǎo)學(xué)生:對(duì)未知平面圖形面積的計(jì)算,一般是把它轉(zhuǎn)化成已知平面圖形面積的計(jì)算,再推導(dǎo)出計(jì)算公式;對(duì)未知圓柱體積的計(jì)算,也是把它轉(zhuǎn)化成已知長(zhǎng)方體體積的計(jì)算,再推導(dǎo)出計(jì)算公式。從而滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,使學(xué)生自覺(jué)產(chǎn)生“能否把未知圓錐體積的計(jì)算轉(zhuǎn)化成已知圓柱體積的計(jì)算”這一想法。有了以上的知識(shí)準(zhǔn)備和認(rèn)知需求,再引導(dǎo)學(xué)生分組進(jìn)行下面的實(shí)驗(yàn)。
[實(shí)驗(yàn)一] 實(shí)驗(yàn)器材:等底等高的圓柱和圓錐形容器、水(沙子或橡皮泥)。
實(shí)驗(yàn)過(guò)程:把圓錐形容器裝滿水,然后倒入圓柱形容器,三次恰好倒?jié)M。
實(shí)驗(yàn)結(jié)果:圓柱形容器的容積等于和它等底等高的圓錐形容器容積的3倍,或圓錐形容器的容積等于和它等底等高的圓柱形容器容積的,從而推導(dǎo)出圓錐體積計(jì)算公式。
[實(shí)驗(yàn)二] 實(shí)驗(yàn)器材:等底等高的圓柱和圓錐形容器、沙子、天平。
實(shí)驗(yàn)過(guò)程:把兩種容器都裝滿沙子,然后在天平上分別稱出所裝沙子的質(zhì)量,兩種容器容納的沙子質(zhì)量恰好成3倍關(guān)系。
實(shí)驗(yàn)結(jié)果:根據(jù)同密度物體的體積與質(zhì)量成正比例,可以得出圓錐形容器的容積等于和它等底等高的圓柱形容器容積的。
教學(xué)圓錐體積的計(jì)算方法時(shí),一般教師用來(lái)演示的教具都是空心的容器,實(shí)驗(yàn)對(duì)比的結(jié)果是它們的容積,難道用實(shí)心圓柱和圓錐就不能進(jìn)行實(shí)驗(yàn)了嗎,筆者進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)和調(diào)研測(cè)試如下:
[實(shí)驗(yàn)三] 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^(guò)實(shí)驗(yàn),找出等底等高的圓柱與圓錐體積之間的關(guān)系。
實(shí)驗(yàn)器材:能夠沉入水中的等底等高的實(shí)心圓柱和圓錐、長(zhǎng)方體玻璃缸容器、水。
實(shí)驗(yàn)步驟:1.在容器中加入適量的水,測(cè)量并記錄水位高度。2.把圓柱放入容器并浸沒(méi)水中,測(cè)量并記錄水位增加的高度,水位升高部分的體積就等于圓柱的體積。3.取出圓柱,把圓錐放入容器并浸沒(méi)水中,測(cè)量并記錄水位增加的高度,水位升高部分的體積就等于圓錐的體積。