第一篇：《矩陣的秩的等式及不等式的證明》

摘 要

矩陣的秩是矩陣的一個(gè)重要特征，它具有許多的重要性質(zhì).本文總結(jié)歸納出了有關(guān)矩陣的秩的等式和不等式命題，以及證明這些命題常用的證明方法，即從向量組、線性方程組、線性空間同構(gòu)、矩陣分塊、矩陣初等變換等角度給出多種證明方法.本文主要解決以下幾個(gè)問題：用矩陣已知的秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；用線性空間的方法證明矩陣秩的等式和不等式問題；用向量組秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；用矩陣分塊法證明秩的等式和不等式問題.-i

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第一章 緒論

矩陣的秩是矩陣的一個(gè)重要特征，是矩陣?yán)碚撝醒芯康囊粋€(gè)重要內(nèi)容，它具有許多的重要性質(zhì).研究矩陣的秩對(duì)于解決矩陣的很多問題具有重要意義.矩陣的秩的等式及不等式的證明對(duì)于學(xué)習(xí)矩陣也是重點(diǎn)和難點(diǎn)，初學(xué)者在做這方面的題目往往不知如何下手.筆者歸納了矩陣的秩的常見等式和不等式以及與之相關(guān)的一些結(jié)論，并從向量組、線性方程組、矩陣分塊、矩陣初等變換等角度探索了多種證明方法，它有助于學(xué)習(xí)者加深對(duì)秩的理解和知識(shí)的運(yùn)用，也方便教師教學(xué).目前對(duì)矩陣秩的研究已經(jīng)比較成熟了，但是由于秩是矩陣論里的一個(gè)基本而重要的概念，它仍然有著重要的研究?jī)r(jià)值，有關(guān)它的論文時(shí)見報(bào)端.很多國(guó)內(nèi)外的有關(guān)數(shù)學(xué)書籍雜志對(duì)矩陣的秩都有講述，如蘇育才、姜翠波、張躍輝在《矩陣論》（科學(xué)出版社、2006年5月出版）中較完整地給出了矩陣秩的理論.北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編寫的《高等代數(shù)》（高等教育出版社,2003年7月出版）也介紹了秩的一些性質(zhì).但是對(duì)秩的等式及不等式的介紹都比較分散，不全面也沒有系統(tǒng)化，不方便初學(xué)者全面掌握秩的性質(zhì).因此有必要對(duì)矩陣的秩的等式和不等式進(jìn)行一個(gè)歸總，便于學(xué)習(xí)和掌握.本文通過查閱文獻(xiàn)資料，總結(jié)歸納出有關(guān)矩陣的秩的等式和不等式命題，以及證明這些命題常用的證明方法，從向量組、線性方程組、線性空間同構(gòu)、矩陣分塊、矩陣初等變換等角度給出多種證明方法.主要內(nèi)容有：（1）用矩陣已知的秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；（2）用線性空間的方法證明矩陣秩的等式和不等式問題；（3）用向量組秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；（4）用矩陣分塊法證明秩的等式和不等式問題.-

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第二章 預(yù)備知識(shí)

定義1矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩；

矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩； 矩陣的行秩和列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩.定義2如果兩個(gè)向量組互相可以線性表出，它們就稱為等價(jià).定義3 數(shù)域P上的矩陣的初等行（列）變換是指下列三種變換：

（1）以數(shù)域P中的一個(gè)非零數(shù)乘以矩陣的某一行（列）；（2）把矩陣的某一行（列）的c倍加到另一行（列）；（3）互換矩陣中兩行（列）的位置.定義4在一個(gè)s?n矩陣A中任意選定k行和k列，位于這些選定的行列交叉點(diǎn)上的k2個(gè)元素按原來的次序組成的k級(jí)行列式稱為A的一個(gè)k級(jí)子式.定義5設(shè)A為m?n矩陣,稱線性方程組Ax?0的解空間為A的零空間(即核空間)，記作N?A?,即N?A???xAx?0?.引理1[1] 矩陣的行秩等于列秩.引理2[1] 任意兩個(gè)等價(jià)的向量組必有相同的秩.引理3 n階方陣A可逆?A?0.111證明:充分性:當(dāng)d?A?0,由A(A*)?(A*)A?E知A可逆，且A?1?A*.ddd必要性:如果A可逆，那么有A?1使AA?1?E.兩邊取列式，得AA?1?E?1，因而A?0.引理4[1] 矩陣的秩是r的充要條件為矩陣中有一個(gè)r級(jí)子式不為0，同時(shí)所有的r?1級(jí)子式全為0.引理5[1] 如果向量組???可以由向量組????線性表出，那么???的秩不超過????的秩.證明：根據(jù)已知可知向量組???極大線性無關(guān)組可由????的極大線性無關(guān)組線性表出，根據(jù)向量組的基本性質(zhì)(見參考文獻(xiàn)[1])可得，向量組???極大線性無關(guān)組的向量個(gè)數(shù)不超過????的極大線性無關(guān)組的向量個(gè)數(shù)，即???的秩不超過????的秩.引理6[1] 在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系所含解的個(gè)數(shù)為n?r，這里r表示系數(shù)矩陣的秩，n?r也是自由未知量的個(gè)數(shù).-

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第三章 用矩陣的秩的理論證明秩的等式和不等式

本章主要是利用矩陣已知的秩的理論證明秩的等式和不等式問題，例如行秩等于列秩，秩為r的充要條件，常見的秩的不等式等等.要掌握并且靈活運(yùn)用這些知識(shí)才能證明下面的命題.這些命題都是一些基本的命題.命題3.1 r?A??r?AT?．

證明：由矩陣轉(zhuǎn)置的定義,A的行向量組就是AT的列向量組，因此A的行秩就是AT的列秩，又由引理1知r?A??r?AT?，命題證畢.命題3.2 r?kA??r?A?（其中k?0）.證明：kA的行向量組可由A的行向量組線性表出，A的行向量組也可由kA的行向量組線性表出，因此kA的行向量組與A的行向量組等價(jià).由引理2它們的秩相等，再由秩的定義知kA與A的秩相等,命題證畢.命題3.3 A是一個(gè)s?n矩陣，如果P是s?s可逆矩陣，Q是n?n可逆矩陣，那么r?A??r?PA??r?AQ?.證明：令B?PA,由矩陣乘積的秩不超過各因子的秩可知r?B??r?A?,但是由A?P?1A，又有r?A??r?B?．

所以r?A??r?B??r?PA?.另一個(gè)等式可以同樣地證明,命題證畢.?n,如r?A??n?命題3.4[2] 設(shè)A是一個(gè)n階方陣，則r?A*???1,如r?A??n?1

?0,如r?A??n?2?.證明：若r?A??n，由引理3，A?0，知A可逆，A*?AA?1可逆，故r?A???n． 若r?A??n?1，由引理4，A存在n?1階子式不為0，因此A*?0,r?A???1，又因?yàn)锳A*?AE?0，有r?A??r?A*??n，即r?A*??n?r?A??1，從而r?A*??1．

若r?A??n?2，則由引理4，A存在n?1階子式全為0，于是A*=0，即r?A*??0．命題證畢.從這個(gè)命題可以得出r?A*??r?A?的結(jié)論.-

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命題3.5［３］ 設(shè)A是一個(gè)m?n矩陣，任取A的s行t列,交叉處的s?t個(gè)元素按原來的相對(duì)位置構(gòu)成s?t子矩陣C，則r?C??m?n?r?A??s?t．

證明:設(shè)D為A的s行所構(gòu)成的s?t子矩陣，它由C所在的s行確定.設(shè)r?D??d.則A的任意一個(gè)大于d?m?s階的子式M必須至少有d?1行出現(xiàn)在D中.根據(jù)行列式的性質(zhì)，對(duì)這個(gè)子式M按出現(xiàn)在D中的那些行進(jìn)行拉普拉斯展開，則可以看出，這個(gè)M可以表示成D的一些階子式的線性組合，其中k為某個(gè)大于d的數(shù).由引理3這些子式全為零.因此任意一個(gè)大于d?m?s階子式M必須等于零.由秩的定義,r?A??r?D??m?s.由行與列的對(duì)稱性類似地可推出r?D??r?C??n?t,兩式相加即可得到

r?C??m?n?r?A??s?t，命題證畢.命題3.6［４］ 設(shè)A,B都是n階矩陣,證明:r?AB?A?B??r?A??r?B?.證明:r?AB?A?B??r?A?B?E??B??r?A?B?E??B??r?A??r?B?，命題證畢.例3.1 設(shè)A為n階方陣，求證必存在正整數(shù)m使得r?Am??r?Am?1?.證明:由于A為n階方陣，則n?r?A??r?A2???r?Ai????0,其中i為正整數(shù),而n是有限數(shù)，上面的不等式不可能無限不等下去，因而必存在正整數(shù)m使得r?Am??r?Am?1?.例3.2設(shè)A，B都是n階方陣，E是n階單位矩陣，證明

r?AB?E??r?A?E??r?B?E?.證明:因?yàn)锳B?E??A?E??A?B?E?,所以

r?AB?E??r??A?E??A?B?E???r?A?E??r?A?B?E???r?A?E??r?B?E?.命題3.7設(shè)A為n階矩陣，證明:如果A2?E,那么r?A?E??r?A?E??n.證明： 因?yàn)?A?E??A?E??A2?A?A?E?E?E?0,由命題5.3知

r?A?E??r?A?E??n.①

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又 r?A?E??r?A?E??r?A?E?A?E??r?2A??r?A?

而A2?E，所以A2?1,即A?0，r?A??n.因此

r?A?E??r?A?E??n.②

由①，② 可得r?A?E??r?A?E??n.例3.3[5] 設(shè)A,B為n階方陣,且ABA=B?1,則r?E?AB??r?E?AB??n.證明:因?yàn)锳BA?B?1,所以?AB?2?E.由命題3.7知

r?AB?E??r?AB?E??n(1)由 r?E?AB??r?AB?E?，r?E?AB??r?AB?E?(2)由(1),(2)知有r?E?AB??r?E?AB??n成立.例3.4設(shè)A為n階矩陣,且A2?A,證明r?A??r?A?E??n.證明：由A2?A，可得 A?A?E??0.r?A??r?A?E??n ①

又因?yàn)镋?A和A?E 有相同的秩,所以

n?r?E??r?A?E?A??r?A??r?E?A? ②

由①，② 可得r?A??r?A?E??n.-

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第四章 用線性空間的理論證明秩的等式和不等式

本章主要是利用線性空間的維數(shù)公式，同構(gòu)，直和分解，核與值域的一些性質(zhì)和定理來證明矩陣的一些秩的等式和不等式命題.線性空間和線性變換的知識(shí)本來就比較抽象，還要和矩陣的聯(lián)系起來，是有一定的難度的.這其中要構(gòu)造一些映射．

命題4.1 A設(shè)為n階方陣，如果A的列向量所生成的Rn的子空間R?A?與A的零空間（即核空間）N?A?的直和為Rn，則r?A??r?A2?.證明:根據(jù)引理6，要證r?A??r?A2?，只要證AX?0與A2X?0同解．

AX?0的解顯然為方程組A2X?0的解.下面我們用反證法證明A2X?0的任一解Y同時(shí)也是A2X?0的解.若AY?0，因A?AY??0,故AY?N?A?.另一方面，AY??yi?i?R?A?，其中

i?1nA???1,?2,?,?n?，Y??y1,y2,?,yn?, 從而 0?AY?R?A??N?A?, 這與Rn?R?A??N?A?矛盾,所以A2X?0的任一解同時(shí)也是AX?0的解,于是它們同解,故r?A??r?A2?.命題4.2 設(shè)A為m?n矩陣，B為n?1矩陣，證明Sylrester公式：

Tr?A?+r?B?-n?r?AB?.證明:設(shè)A為m?n矩陣，B為n?1矩陣, ?x1??y1??ABX?0(1)?????考慮X????，Y????, 方程組?BX?0(2), ?x??y??(3)?AY?0?n??n?設(shè)（1）（2）（3）的解空間分別為VAB，VB，VA，則dimVA?n?r?A?，將三者聯(lián)系起來，作?BXx?VAB?，則它為VA的子空間，從而

dim?BXx?VAB??dimVA?n?r?A?，-

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又VB為VAB的子空間，作：

VAB?VB?W

一方面dimW?dimVAB?dimVB?1?r?AB???1?r?B???r?B??r?AB? 下證W??BXX?VAB?

定義 f:W??BXX?VAB?

f????B?

易知這個(gè)映射是單滿的，并且滿足線性運(yùn)算條件，所以它是同構(gòu)映射.dimW?dim?BXX?VAB??r?B??r?AB?

但上面：

dim?BXX?VAB??dimVA?n?r?A?.因此 n?r?A??r?B??r?AB?，即 r?A??r?B??n?r?AB?．

命題4.3 設(shè)A為m?n，B為n?m矩陣，AB?BA．證r?A?B??r?A??r?B??r?AB?． 證明:設(shè)w1,w2,w3,w4分別為A,B,A?B,AB行空間,那么

dimw1?r?A?, dimw2?r?B? dimw3?r?A?B?, dimw4?r?AB?

由于w3?w1?w2,并由維數(shù)公式得: dimw3?dim?w1?w2??dimw1?dimw2?dim?w1?w2?即得: r?A?B??r?A??r?B??dim?w1?w2?(1)由于AB的行向量是B的行向量的線性組合,所以有w4?w2,又AB?BA,所以有w4?w1,因此有w4?w1?w2,所以有

r?AB??dim?w1?w2?(2).-

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將(2)代入(1)即得: r?A?B??r?A??r?B??r?AB?.命題4.4 若r?AB??r?B?，證明r?ABC??r?BC?.證明：設(shè)方程組ABX?0與BX?0的解空間分別為VAB，VB.若r?AB??r?B?，則根據(jù)引理6知dim?VAB??dim?VB?

① 又因?yàn)闈M足BX?0解向量也滿足ABX?0,所以VAB?VB

② 由① ②可推出VAB?VB.要證r?ABC??r?BC?，只要證ABCX?0與BCX?0同解.設(shè)方程組ABCX?0與BCX?0的解空間分別為VABC，VBC.顯然VABC?VBC,只要證VABC?VBC.由ABCX?0知CX?VAB?VB,即BCX?0，因此VABC?VBC，命題得證.此例是一個(gè)有價(jià)值的結(jié)論.例4.1 n階矩陣A滿足A2?A當(dāng)且僅當(dāng)r?A??r?A?E??n.?1??????2??A0 1證明：先證明必要性.由A?A知A相似于形如???0???????的對(duì)角陣，其中1的個(gè)數(shù)為r?A?,又E?A與E?A0相似，從而有相同的秩，而

?1???????，E?A0??1??0???????其中0的個(gè)數(shù)為A的秩，1的個(gè)數(shù)n?r?A?.所以

r?A??r?E?A??r?A??r?E?A0??r?A??n?r?A??0.充分性.只要證明對(duì)任意X均有A2X?AX即可.由r?A??r?E?A??n說

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明,AX1?0的解空間V1與?E?A?X2?0的解空間V2滿足V1?V2?Rn,從而對(duì)任意X存在唯一分解

X?X1?X2其中X1?V1X2?V2,所以

A2X?A2?X1?X2??A?AX1??A?AX2??0A?AX2?0?X2?AX1?AX2?A?X1?X2?

?AX

綜上即證A2?A.命題4.5設(shè)A,B分別是m?m,m?n矩陣，其中A為可逆矩陣,證明r(AB)?r(B).證明：設(shè)AB?Q,A?(?1,?2,...,?m),B?(?1,?2,...,?n),Q?(?1,?2,...,?n)，則(?1,?2,...,?m)?1??1,(?1,?2,...,?m)?2??2,...,(?1,?2,...,?m)?n??n 因?yàn)锳為可逆矩陣，秩為m，故可將(?1,?2,...,?m)看做m維線性空間的一組基，則向量?1,?2,...,?n在這組基下的坐標(biāo)向量分別為?1,?2,...,?n.作

l(?1,?2,...,?n),l(?1,?2,...,?n)，在這兩個(gè)線性空間中構(gòu)造映射，將l(?1,?2,...,?n)中的每個(gè)向量映射到在基(?1,?2,...,?m)下的坐標(biāo)向量，這個(gè)映射是一個(gè)同構(gòu)映射，因此l(?1,?2,...,?n),l(?1,?2,...,?n)這兩個(gè)線性空間同構(gòu)，所以

dim(l(?1,?2,...,?n))?dim(l(?1,?2,...,?n))，而dim(l(?1,?2,...,?n))?r(B),dim(l(?1,?2,...,?n))?r(AB).所以r(AB)?r(B).同理可證明當(dāng)B為可逆矩陣時(shí),r(AB)?r(A).這章主要是利用線性空間和線性變換的一些知識(shí)來證明矩陣的秩的等式和不等式命題，難點(diǎn)在于要好好理解線性空間和線性變換的一些知識(shí)，重要定理和性質(zhì)，再把握它們同矩陣的聯(lián)系.-

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第五章 用向量組秩的理論證明秩的等式和不等式

本章主要利用向量組的秩和極大線性無關(guān)組的一些知識(shí)，以及線性方程組的解空間的維數(shù)和系數(shù)矩陣的秩的關(guān)系來證明秩的等式和不等式.B是m?p矩陣,則r?A?或r?B??r?A?B??r?A??r?B?.命題5.1設(shè)A是m?n矩陣，證明：?A?B?列向量組向量的個(gè)數(shù)比A和B多，所以r?A?或r?B??r?A?B?． 下面證明r?A?B??r?A??r?B?.不妨設(shè)Ai1,Ai2?,Air1與Bj1,Bj2?,Bjr2分別是A與B的列向量組的極大線性無關(guān)組,則?A?B?的每個(gè)列向量均可用向量組

Ai1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2

線性表出,根據(jù)引理5可知

r?A?B??rAi1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2?r1?r2?r?A??r?B?.??命題證畢.命題5.2設(shè)A,B是m?n矩陣，r?A??r?B??r?A?B??r?A??r?B?.證明：先證明r?A?B??r?A??r?B?.設(shè)

A??A1,A2?,An?B??B1,B2?,Bn? ，則

A?B??A1?B1,A2?B2?,An?Bn?.不妨設(shè)Ai1,Ai2?,Air1與Bj1,Bj2?,Bjr2分別是A與B的列向量組的極大線性無關(guān)組，則有

As?k1Ai1?k2Ai2???kr1Air1?s?1,2,?,n?

Bs?l1Bi1?l2Bi2???lr2Bir2

As?Bs??k1Ai1?k2Ai2???kr1Air1?l1Bi1?l2Bi2???lr2Bir2

即A?B的列向量可以由Ai1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2線性表出，由引理5知

r?A?B??rAi1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2?r1?r2?r?A??r?B?.0

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再證明r?A??r?B??r?A?B?.由剛證明的結(jié)論r?A?B??r?A??r?B?可知

r?A??r??A?B????B???r?A?B??r??B??r?A?B??r?B?, 移項(xiàng)得到

r?A??r?B??r?A?B?, 同理可得r?B??r?A??r?A?B?,因此r?A??r?B??r?A?B?.綜上所述我們證明了r?A??r?B??r?A?B??r?A??r?B?，對(duì)于r?A??r?B??r?A?B??r?A??r?B?，只要把以上證明過程的B改成?B即可得證，命題證畢.由命題3.1r?A??r?AT?,命題3.2r?kA??r?A?（其中k?0）和本命題可推知

r?kA?lB??r?A??r?B?（其中kl?0）.例5.1設(shè)A,B是m?n矩陣,證明:r?A?B??r?A?B?.證明:先證明r?A?B??r?A?B?.設(shè)A??A1,A2?,An? B??B1,B2?,Bn?, 則A?B??A1?B1,A2?B2?,An?Bn? ?A?B???A1,A2?,An,B1,B2?,Bn?.不妨設(shè)Ai1,Ai2?,Air1與Bj1,Bj2?,Bjr2分別是A與B的列向量組的極大線性無關(guān)組，則有

As?k1Ai1?k2Ai2???kr1Air1?s?1,2,?,n?

Bs?l1Bi1?l2Bi2???lr2Bir2

As?Bs??k1Ai1?k2Ai2???kr1Air1?l1Bi1?l2Bi2???lr2Bir2

即A?B的列向量可以由Ai1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2線性表出,由于

Ai1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2

也是來自于?A?B?的列向量組的向量,所以A?B的列向量也可以由?A?B?的列向量組線性表出,根據(jù)引理5可知r?A?B??r?A?B?.對(duì)于r?A?B??r?A?B?, 只要把以上證

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明過程的B改成?B即可得證，命題證畢.命題5.3設(shè)A是m?n矩陣，B是n?p矩陣，如果AB?0，則r?A??r?B??n.證明：設(shè) B??B1,B2,?,Bp?，則AB??AB1,AB2,?,ABp??0.故有AB1?AB2???ABp?0,即齊次方程組AX?0有p個(gè)解B1,B2,?,Bp.若r?A??r，則根據(jù)引理6,B1,B2,?,Bp可由n?r個(gè)解向量組成的基礎(chǔ)解系線性表出.根據(jù)引理5有r?B??n?r,r?A??r?B??r??n?r??n,命題證畢.例5.2 A是m?n矩陣，則r?ATA??r?AAT??r?A??r?AT?.證明：由命題3.1知r?A??r?AT?.下面我們先證明r?ATA??r?A?.只要證明ATAX?0與AX?0同解便可得到r?ATA??r?A?.一方面，滿足AX?0解向量也滿足ATAX?0；

另一方面，由ATAX?0兩邊同時(shí)左乘XT得到XTATAX?0，即?AX?T?AX??0，?k1?T??2?0,所以ki?0?i?1,2,?,n?，AX?0，設(shè)AX????,那么?AX??AX??k12??kn?k??n?滿足ATAX?0的解也滿足AX?0．

綜上所述ATAX?0與AX?0同解,解空間的維數(shù)相等，由系數(shù)矩陣的秩與線性方程解空間的維數(shù)之間的關(guān)系可知

n?r?ATA??n?r?A?，r?ATA??r?A?.對(duì)r?AAT??r?AT?證明過程與此類似，所以r?ATA??r?AAT??r?A??r?AT?，命題證畢.例5.3 證明：若線性方程組AX?0的解均為BX?0的解，則r?A??r?B?.證明：設(shè)方程組AX?0與BX?0的解空間分別為VA,VB，若線性方程組AX?0的解均為BX?0的解，則

VA?VB,dim?VA??dim?VB?-12

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根據(jù)引理6有n?r?A??n?r?B?,即r?A??r?B?，命題得證.例5.4設(shè)A為m?n矩陣，B為n?1矩陣，證明ABX?0與BX?0同解的充分必要條件為r?AB??r?B?.證明：設(shè)方程組ABX?0,BX?0解空間分別為VAB,VB.必要性：若VAB?VB，dim?VAB??dim?VB?,根據(jù)引理6可知

n?r?AB??n?r?B?, 可以推出r?AB??r?B?.充分性：若r?AB??r?B?，則根據(jù)引理6知

dim?VAB??dim?VB? ①

又因?yàn)闈M足BX?0解向量也滿足ABX?0,所以

VAB?VB ②

由① ②可推出VAB?VB.命題證畢.命題5.4設(shè)A是數(shù)域P上n?m矩陣，B是數(shù)域P上m?s矩陣，證明r?AB??min?r?A?,r?B??即矩陣乘積的秩不超過各因子的秩.證明: 構(gòu)造齊次線性方程組ABX?0與BX?0,設(shè)方程組ABX?0與BX?0的解空間分別為VAB,VB.顯然，滿足BX?0解向量也滿足ABX?0,所以VAB?VB,dim?VAB??dim?VB?, 根據(jù)引理6知r?AB??r?B?.再構(gòu)造齊次線性方程組BTATX?0與ATX?0，同理可得r?BTAT??r?AT?,即r?AB??r?A?.綜上所述r?AB??min?r?A?,r?B??.此命題用歸納法可以推廣為：如果A?A1A2?Am那么秩(A)?min秩(Aj).1?j?m例5.4 如果m?n方程組AX?0的解為方程b1x1?b2x2???bnxn?0的解，其中

A??'X??x1,x2,?,xn?，求證r???r?A?.b,b,?,bn??12-13

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A??證明：由已知可知AX?0與??X?0同解，根據(jù)引理6它們的系數(shù)矩陣

?b1,b2,?,bn?A??的秩相等,所以 r???r?A?.b,b,?,bn??12-14

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第六章 用矩陣分塊法證明秩的等式和不等式

本章主要是利用矩陣分塊的方法來證明矩陣的秩的等式和不等式，也包括矩陣分解的方法證明秩的等式和不等式，涉及到了矩陣的廣義初等變換和廣義初等矩陣.例6.1[4] 設(shè)A是數(shù)域P上n?m矩陣，B是數(shù)域P上m?s矩陣，求證r?AB??min?r?A?,r?B??,即矩陣乘積的秩不超過各因子的秩．

?a11a12?aa證明：設(shè)A??2122????a?n1an2?a1m??b11?b?a2m??，B??21??????b?anm???m1

b12?b1s?b22?b2s??

????bm2?bms??令B1,B2,?,Bm表示B的行向量，C1,C2,?,Cn表示C?AB的行向量。由于Ci的第j個(gè)分量和ai1B1?ai2B2???aimBm的第j個(gè)分量都等于?aikbkj，因而

k?1mCi?ai1B1?ai2B2???aimBm(i?1,2,?,n)，即矩陣AB的行向量組C1,C2,?,Cn可經(jīng)B的行向量組線性表出,所以AB的秩不超過B的秩，即r?AB??r?B?.同樣，令A(yù)1,A2,?,Am表示A的列向量，D1,D2,?,Ds表示C?AB的列向量，則有

Di?b1iA1?b2iA2???bmiAm(i?1,2,?,s).AB的列向量組可經(jīng)矩陣A的列向量組線性表出，所以r?AB??r?A?，也就是

r?AB??min?r?A?,r?B??.例6.2設(shè)A，B都是n階方陣，E是n階單位矩陣，求證

r?AB?E??r?A?E??r?B?E?.?A?E證明:因?yàn)??0B?E??B?E??B0??AB?E0??????, E0B?E0????B?E???r(A?E)?r(B?E).B?E??AB?E0??A?E?故r(AB?E)?r??r?B?E0???0因此r?AB?E??r?A?E??r?B?E?.5

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命題6.1設(shè)A，B是m?n矩陣，則r?A?B??r?A??r?B?.?A0?證明：構(gòu)造分塊矩陣??，對(duì)其施行用廣義初等變換可得

?0B??A0??AB??AA?B?????????.0B0B0B??????根據(jù)初等變換不改變矩陣的秩可以推出

?A0??AA?B??A?B?r??r?r??????r?A?B?

①

B??0B??0?B??A0?又由于 r???r?A?B?

②

0B??由①,②即得

r?A?B??r?A??r?B?.命題6.2[2]

設(shè)A，B分別為s?n,n?m矩陣,則r?A??r?B??n?r?AB?.0??En?E證明:由?n????AEs??A可推出

B??En??0??0?B??En???Em??00??En0??En，且??，???AB???AEs??0?B??可逆Em??Er?n?A?En但r??AB??En?r??0??00???r?En??r??AB??n?r?AB?.?AB?B???r?A??r?B?,即 0?n?r?AB??r?A??r?B?.所以r?A??r?B??n?r?AB?.這個(gè)公式代數(shù)里稱為Sylverster(薛爾佛斯特)公式.命題6.3設(shè)A，B分別為s?n,n?m矩陣,則r?A??r?B??n?r?AB?的充要條件為

?A0??A0?r???r??.EB0B?????E?A??A0??E?B??0?AB??E?B??0?AB?證明:由??????????????，B??0E??E0??0E??EB??0E??E-16

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根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)，可以得到等式

?A0??0?AB?r???r???r?AB??n ① EBEB?????A0?而 r???r?A??r?B?

②

?0B??A0??A0?充分性：若r???r??，由① ②可知r?AB??n?r?A??r?B?，即

EB0B????r?A??r?B??n?r?AB?.必要性：若r?A??r?B??n?r?AB?則r?AB??n?r?A??r?B?, 由① ②可知

?A0??A0?r???r??.EB0B????綜上所述,命題得證.例6.3 設(shè)A，B分別為s?n,n?m矩陣,則r?A??r?B??n?r?AB?的充分必要條件為存在矩陣X，Y，使得XA?BY?En.證明：由上一個(gè)命題可知r?A??r?B??n?r?AB?的充要條件為

?A0??A0??A0??A0?r???r??，那么我們只要證明r???r??的充要條件為存在矩陣EB0BEB0B????????X，Y，使得XA?BY?En，即可完成本命題的證明.下面就此進(jìn)行證明.充分性.?E由?m?-X0??A??En??En0??En??B??-Y0??A???Em??-AX0??En??B??-Y0??A???Em??En-XA-BY0?? B??A0??A0?可知當(dāng)XA?BY?En時(shí)，r???r??.EB0B????再根據(jù)命題6.3可推出等式

r?A??r?B??n?r?AB?.必要性.?Er設(shè) P1AQ1???00??ES?,P2BQ2??0??0-17

0??, 0?湖南科技大學(xué)2011屆本科生畢業(yè)論文

其中P1,P均為可逆矩陣.2,Q1,Q2?P則 ?1?0?Er?0???0??00??A0??Q10??P0??Q10??P1A1AQ1?????0Q??0PB??0Q??0P2??0B???2??2??2??00000ES000??0?0??0???P2BQ2?

0?1?

??P2BQ2? 00??A0??Q10??P0??Q10??P?P11A1AQ1???????0Q??PPB??0Q??PQ0PEB???2??2??22??2??21?Er?0???C1??C300C2C400ES00??0?0??0??2?

對(duì)式（2）右端的方陣作行初等變換，可消去C1，C2，C3.若

r?A??r?B??n?r?AB?，?A0??A0?根據(jù)命題6.3有r?，式（2）右端方陣秩相等，故?r???，因此式（1）?EB??0B??F1為在消去C1，C2，C3時(shí)也消去了C4，對(duì)式（2）右端分塊記??C0?? 其中 F2??ErF1???00??ES?，F(xiàn)2??0??00??C1C2?C??? ?，CC0?4??3.于是上述消去C1的行變換相當(dāng)于

??C10??Er????00??00??C1C2??0??????0??C3C4??C3C2?? C4?,消去其余C2,C3,C4有類似的結(jié)果，這樣初等變換就相當(dāng)于存在矩陣S，T，使

SF1+F2T+C=0,即SPAQ11?P2BQ2T?PQ21?0，進(jìn)行變形整理,從而有

?P?12?1SP1?A?B??Q2TQ1??En.?1?1令X?P,，便得到XA?BY?En，命題得證.2SP1Y??Q2TQ1-18

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命題6.4設(shè)A1,A2,?,Ap都是n階矩陣，A1A2?Ap?0.證明:這p個(gè)矩陣秩之和不大于?p?1?n.這p個(gè)矩陣秩之和不大于?p?1?n.證明：由命題6.2的Sylverster(薛爾佛斯特)公式可得

0?r?A1A2?Ap??r?A1??r?A2?Ap??n?r?A1??r?A2??r?A3?Ap??2n???r?A1??r?A2????r?Ap???p?1?n，移項(xiàng)即得

r?A1??r?A2????r?Ap???p?1?n.例6.4設(shè)A,B，C依次為s?n，n?m，m?t的矩陣,證明

r?ABC??r?AB??r?BC??r?B?.證明:設(shè)r?B??r,那么存在n階可逆矩陣P，m階可逆矩陣Q，使得

?EB?P?r?0把P，Q適當(dāng)分塊P??M0??Q ① 0??N?S?,Q???，其中M為n?r矩陣,N為r?m矩陣．

?T?0??N?????MN.0??T?由①式有B??M?ES??r?0所以r?ABC??r?AMNC?,再由命題6.2的Sylverster(薛爾佛斯特)公式可得

r?ABC??r?AMNC??r?AM??r?NC??r?r?AMN??r?MNC??r?B?

?r?AB??r?BC??r?B?, 從而r?ABC??r?AB??r?BC??r?B?,命題得證.這個(gè)公式也稱為Frobenius(佛羅扁尼斯)公式.例6.5 設(shè)B為r?s矩陣，A為秩為r的m?r的列滿秩矩陣?m?r?,C為秩為s的s?t的行滿秩矩陣?s?t?,證明:r?AB??r?BC??r?B?．證明:先證明r?AB??r?B?.9

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?E?因?yàn)閞?A??r,所以存在m階可逆矩陣P和r階可逆矩陣Q，使得PAQ??r?,即

?0??Er??1?Q?1?PA???Q???，00????再根據(jù)矩陣乘以可逆矩陣不改變秩的大小可得

??Q?1????Q?1B??r?AB??r?PAB??r??B??r???r?Q?1B??r?B?.????0??0?????????同理可證r?BC??r?B?.因此有r?AB??r?BC??r?B?,命題得證.命題6.5設(shè)A,B，C分別為s?n，n?m，m?t矩陣,r?B??r,而B的一個(gè)滿秩分解m?r是B?HL，即H是列滿秩矩陣,L是行滿秩矩陣,則

r?ABC??r?AB??r?BC??r?B?的充要條件是存在矩陣X,Y,使得

XAH?LCY?Er.證明：因?yàn)锽?HL是滿秩分解,H是列滿秩矩陣,L 是行滿秩矩陣,所以根據(jù)例題6.5有

r?AB??r?AHL??r?BC?和r?BC??r?HLC??r?LC?, 則

r?ABC??r?AB??r?BC??r?B??r?AHLC??r?AB?H?r?LC??r.又由例題6.3得

r?AHLC??r?AB?H?r?LC??r?矩陣X,Y使得 XAH?LCY?Er, 命題得證.這是例題6.4 Frobenius(佛羅扁尼斯)公式等號(hào)成立的充要條件.例6.6證明:r?A3??r?A??2r?A2?.證明:由例題6.4的Sylverster(薛爾佛斯特)公式可知

r?A3??r?AAA??r?A2??r?A2??r?A?.移項(xiàng)即r?A3??r?A??2r?A2?得,命題得證.例6.7設(shè)A，C均為m?n矩陣B，D均為n?s矩陣，證明

r?AB?CD??r?A?C??r?B?D?.0

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證明：根據(jù)分塊矩陣的乘法可知

?Em??0C??A?C0??En???En??B?D??0?0B??A?C??Es???0AB?CD??

B?D??A?C由此易知r?A?C??r?B?D????0AB?CD???r(AB?CD)，B?D?從而得到r?AB?CD??r?A?C??r?B?D?,命題得證.例6.8設(shè)A,B都是n?n矩陣，如果AB?0，則r?A??r?B??n.?BE?證明:構(gòu)造分塊矩陣??，對(duì)其做初等變換

?0A?E??BE??0E??BE??B??????????? 0A?AB00000?????????BE??0E??BE?可推出r?,但?r?nr??????r?A??r?B?,所以r?A??r?B??n.?0A??00??0A?這個(gè)命題的一般形式為：設(shè)A是m?n矩陣，B是n?p矩陣，如果AB?0，則r?A??r?B??n,已經(jīng)在命題5.3中用線性方程組的解空間的維數(shù)與系數(shù)矩陣的秩的關(guān)系方法證明了.本命題只是它的特殊形式.例6.9設(shè)Q為k階方陣，m，n為非負(fù)整數(shù)，則（1）rQn?rQm?2n?rQm?n?rQ2n（2）rQm?rQm?2n?2rQm?n

證明：（1）設(shè)A?Qm,B?Qn,C?Qn由佛羅扁尼斯（Frobenius）不等式，????????????????rQm?2n?rQm?n?rQ2n?rQn，即得：

rQn?rQm?2n?rQm?n?rQ2n

（2）設(shè)A?Qn,B?Qm,C?Qn由佛羅扁尼斯（Frobenius）不等式，??????????????rQm?2n?r?AB??r?BC??r?B?，即得：

rQm?rQm?2n?2rQm?n.????????-21

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命題6.6設(shè)A為ss?n矩陣，則r?En?A?A??r?Es?AA???n?s.?Es 證明:??0??A??EsA??Es0??Es?AA?0??????? ???????????En??AEn???AEn??0En??EsA? 由命題3.3，則r??r?Es?AA???n.??A?En??E同理r?s?A?A???r?En?A?A??s.所以 r?En?A?A??r?Es?AA???n?s.En?矩陣的分塊是種有效的解決矩陣有關(guān)問題的方法，值得好好體會(huì).尤其是有些難題，矩陣分塊是簡(jiǎn)便分方法.本章利用矩陣分塊的方法證明了一些典型的矩陣等式和不等式命題，很有借鑒意義.2

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第七章 小結(jié)

矩陣的秩的等式、不等式的證明及它應(yīng)用非常廣泛。在本文中，主要討論了矩陣的秩，以及它的等式及不等式命題的證明方法，較之前的研究，更加全面。文中討論了利用線性空間同構(gòu)、向量組維數(shù)理論及矩陣分塊等一些理論來證明了矩陣的秩的等式、不等式的相關(guān)命題。運(yùn)用這些方法，我們可以更加快捷的判斷矩陣的秩是否相等，或者證明不同矩陣的秩之間的聯(lián)系，有了這些方法和結(jié)論，就可以將矩陣的秩的等式及不等式的命題更好的應(yīng)用到實(shí)際中來。當(dāng)然，對(duì)于矩陣秩的研究，雖然本人已經(jīng)進(jìn)行了充分的搜集、總結(jié)及研究，但是，仍會(huì)有不足之處，對(duì)于它的研究以及應(yīng)用仍然不夠，這一點(diǎn)將是我們以后必須致力研究的工作。

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參考文獻(xiàn)

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致

謝

從論文選題到搜集資料，從提綱的完成到正文的反復(fù)修改，我經(jīng)歷了喜悅、聒噪、痛苦和彷徨，在寫作論文的過程中，心情是如此復(fù)雜。如今，伴隨著這篇畢業(yè)論文的最終成稿，復(fù)雜的心情煙消云散，自己甚至還有一點(diǎn)成就感。

我要感謝我的導(dǎo)師李世群老師。她為人隨和熱情，治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)心。從選題、定題、撰寫提綱，到論文的反復(fù)修改、潤(rùn)色直至定稿，李老師始終認(rèn)真負(fù)責(zé)地給予我深刻而細(xì)致地指導(dǎo)。在論文寫作期間，李老師多次對(duì)我作一對(duì)一的指導(dǎo)，對(duì)我的論文寫作的方向提出了寶貴的建議。正是有了李老師的無私幫助與熱忱鼓勵(lì)，我的畢業(yè)論文才得以順利完成。

在此，我還要感謝大學(xué)四年中我的任課教師，是他們讓我學(xué)到了許多豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，才使我今天有能力來完成這項(xiàng)艱巨的任務(wù)。

最后還要感謝四年里陪伴我的同學(xué)、朋友們，有了他們我的人生才豐富，有了他們我在奮斗的路上才不孤獨(dú)。感謝他們?cè)谡撐呐虐婧驮O(shè)計(jì)上都給我很多寶貴意見和建議，讓我能夠做的更好，謝謝他們。

第二篇：不等式證明

不等式證明

不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競(jìng)賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>

2.分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

6.構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式。

證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法。

7.數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究。

8.幾何法：用數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效。

9.函數(shù)法：引入一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到證明不等式的目的。

10.判別式法：利用二次函數(shù)的判別式的特點(diǎn)來證明一些不等式的方法。當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當(dāng)a<0時(shí)，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱蔽為外顯的積極效果。

注意：在不等式的證明中運(yùn)用換元法，能把高次變?yōu)榈痛?，分式變?yōu)檎剑瑹o理式變?yōu)橛欣硎?，能?jiǎn)化證明過程。尤其對(duì)含有若干個(gè)變?cè)凝R次輪換式或輪換對(duì)稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，可收到事半功倍之效。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過大或縮得過小，就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識(shí)，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。

3.幾何法

數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效。

第三篇：不等式證明

不等式的證明

比較法證明不等式

a2?b2a?b?1.設(shè)a?b?0，求證：2.a?b2a?b

2.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講

（1）已知x、y都是正實(shí)數(shù)，求證：x3?y3?x2y?xy2；

（2?對(duì)滿足x?y?z?1的一切正實(shí)數(shù) x,y,z恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

.??,1?綜合法證明不等式（利用均值不等式）3.已知a?b?c, 求證：??1??? ??114??.a?bb?ca?c

4.設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：

1（Ⅰ）ab+bc+ac?3；

a2b2c2

???1ca（Ⅱ）b

5.（1）求不等式x?3?2x???1的解集;

121225（a?)?(b?)??a,b?R,a?b?1ab2.（2）已知，求證：

6.若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：

分析法證明不等式

7.某同學(xué)在證明命題“7??要證明7?3??2”時(shí)作了如下分析，請(qǐng)你補(bǔ)充完整.6?2，只需證明________________,只需證明___________,＋2?9?2，展開得9即?,只需證明14?18,________________,所以原不等式:??6?2成立.22?2?6?3,(7?2)?(6?3)，因?yàn)?4?18成立。

a?b?c8.已知a,b,c?R。?3?

9.(本題滿分10分)已知函數(shù)f(x)?|x?1|。

(Ⅰ)解不等式f(x)?f(x?4)?8；{x|x≤－5，或x≥3}(Ⅱ)若|a|?1,|b|?1，且a?0，求證：f(ab)?|a|f().10.（本小題滿分10分）當(dāng)a,b?M??x|?2?x?2?時(shí),證明:2|a+b|＜|4+ab|.反證法證明不等式

11.已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a=x?2y+2baπππ22，b=y?2z+，c=z?2x+，236

求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0.12.（12分）若x,y?R,x?0,y?0,且x?y?2。求證：1?x和1?y中至少有一個(gè)小于2.yx

放縮法證明不等式

13.證明不等式：?111??11?21?2?3?1

1?2?3??n?2

214.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，滿足4Sn?ann?N?,且

?1?4n?1,a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列．

(1)證明：a2?

(2)求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；an?2n?1

(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有11??a1a2a2a3?11?． anan?12

15.設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1?1,2Sn12?an?1?n2?n?,n?N*.n33

(Ⅰ)求a2的值；a2?4(Ⅱ)求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；an?n2(Ⅲ)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

16.(本小題滿分12分)若不等式11??

n?1n?2?1a對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正?3n?12411??a1a2?17?.an4

整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論．25

17.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：

．

第四篇：不等式證明經(jīng)典

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【例1】 設(shè)a，b∈R，求證：a2+b2≥ab+a+b-1。

【例2】 已知0

【例3】 設(shè)A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，試比較A與B的大小。

因A、B的表達(dá)形式比較簡(jiǎn)單，故作差后如何對(duì)因式進(jìn)行變形是本題難點(diǎn)之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一個(gè)字母。關(guān)鍵是消去哪個(gè)字母，因條件中已知a的不等關(guān)系：a>b，a>c，a>d，故保留a，消b，c，d中任一個(gè)均可。

由ad=bc得：d?bca1?ab?bc?caa?b?c?abc≥1。

bca??b?c?a?b?(a?b)(a?c)a?0bc?acaA-B=a+d-(b+c)=a? =a?b? c(a?b)a

【例4】 a，b，c∈R，求證：a4+b4+c4≥(a+b+c)。

不等號(hào)兩邊均是和的形式，利用一次基本不等式顯然不行。不等號(hào)右邊為三項(xiàng)和，根據(jù)不等號(hào)方向，應(yīng)自左向右運(yùn)用基本不等式后再同向相加。因不等式左邊只有三項(xiàng)，故把三項(xiàng)變化六項(xiàng)后再利用二元基本不等式，這就是“化奇為偶”的技巧。

左=12(2a4?2b224?2c)?22412[(a24?b)?(b22244?c)?(c2244?a)]24

≥12(2ab?2bc?2ca)?ab?bc?ca

2發(fā)現(xiàn)縮小后沒有達(dá)到題目要求，此時(shí)應(yīng)再利用不等式傳遞性繼續(xù)縮小，處理的方法與剛才類似。

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ab?1212

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22?bc2222?ca2222?212(2ab2222?2bc2222?2ca)22

?ca)?(ca2[(ab?bc)?(bc22?ab)]22≥(2abc?2abc2?2abc)?ab(a?b?c)1a

?1c?【例5】（1）a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：?（2）a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：

a21bb2≥

c21ab?1bc?1ac；

b?c?a?ca?b≥

a?b?c2。

（1）不等式的結(jié)構(gòu)與例4完全相同，處理方法也完全一樣。

（2）同學(xué)們可試一試，再用剛才的方法處理該題是行不通的。注意到從左向右，分式變成了整式，可考慮在左邊每一個(gè)分式后配上該分式的分母，利用二元基本不等式后約去分母，再利用不等式可加性即可達(dá)到目的。試一試行嗎？

a2b?cb2?(b?c)≥2a2b?cb2?(b?c)?2a

a?cc2?(a?c)≥2a?c?(a?c)?2ba?b?(a?b)≥2c2a?b?(a?b)?2c

相加后發(fā)現(xiàn)不行，a，b，c的整式項(xiàng)全消去了。為了達(dá)到目的，應(yīng)在系數(shù)上作調(diào)整。

a2b?c?b?c4≥a，b2a?c?a?c4≥b，c2a?b?a?b4≥a 相向相加后即可。

【例6】 x，y為正實(shí)數(shù)，x+y=a，求證：x+y≥

2a22。

思路一；根據(jù)x+y和x2+y2的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想到算術(shù)平均數(shù)與平方平均數(shù)之間的不等關(guān)系?！?x?y22≤2x2?y22

2∴ x?y≥(x?y)2?a22

思路二：因所求不等式右邊為常數(shù)，故可從求函數(shù)最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，這里采用消元思想轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再用單調(diào)性求解。換元有下列三種途徑：

途徑1：用均值換元法消元： 令 x?2a2?m，y?aa22?m

22則 x?y?(?m)?(?m)?2m?222aa22≥

a22

途徑2：代入消元法： y=a-x，0

a2)2?a22≥

a22

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途徑3：三角換元法消元：

令 x=acos2θ，y=asin2θ，θ∈(0，]

2?2013年數(shù)學(xué)VIP講義

則 x2+y2=a2(cos4θ+sin4θ)=a2[(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ]

=a[1-2(sin2θ)]=a(1-22122

12sin2θ)≥

a22

注：為了達(dá)到消元的目的，途徑1和途徑3引入了適當(dāng)?shù)膮?shù)，也就是找到一個(gè)中間變量表示x，y。這種引參的思想是高中數(shù)學(xué)常用的重要方法?！纠?】 已知a>b>0，求證：(a?b)8a2?a?b2?ab?(a?b)8b2。

12所證不等式的形式較復(fù)雜（如從次數(shù)看，有二次，一次，次等），難以從某個(gè)角度著手。故考慮用分析法證明，即執(zhí)果索因，尋找使不等式成立的必要條件。實(shí)際上就是對(duì)所證不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)、變形，實(shí)際上這種變形在相當(dāng)多的題目里都是充要的。

a?b2?ab?a?b?2ab2b)(a?(a??(a?2b)2

a?b?(a?b)b)(a?8a2所證不等式可化為∵ a>b>0 ∴ a?b ∴ a?b?0

b)2?(a?2b)2?(a?b)(a?8b2b)2

∴ 不等式可化為：(a?4ab)2?1?(a?4bb)2

2??(a?b)?4a即要證?

2??4b?(a?b)??a?b?2a只需證?

?2b?a?b?在a>b>0條件下，不等式組顯然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=24xx?3?8，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，恒有f(a)

112.不等號(hào)兩邊字母不統(tǒng)一，采用常規(guī)方法難以著手。根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)，借助于函數(shù)思想，可分別求f(a)及g(b)=b2-4b+f(a)?112的最值，看能否通過最值之間的大小關(guān)系進(jìn)行比較。

?8?2(2)a2a24aa?3?8?8?2a8?82a≤

2?82?a?82a842?2

令 g(b)=b2-4b+11232 ≥32 g(b)=(b-2)2+

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∵ 32?22013年數(shù)學(xué)VIP講義

∴ g(b)>f(a)注：本題實(shí)際上利用了不等式的傳遞性，只不過中間量為常數(shù)而已，這種思路在兩數(shù)大小比較時(shí)曾講過。由此也說明，實(shí)數(shù)大小理論是不等式大小理論的基礎(chǔ)。

【例9】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax2+bx+c，當(dāng)|x|≤1時(shí)，有|f(x)|≤1，求證：

（1）|c|≤1，|b|≤1；

（2）當(dāng)|x|≤1時(shí)，|ax+b|≤2。

這是一個(gè)與絕對(duì)值有關(guān)的不等式證明題，除運(yùn)用前面已介紹的不等式性質(zhì)和基本不等式以外，還涉及到與絕對(duì)值有關(guān)的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥-a，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±?±an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。就本題來說，還有一個(gè)如何充分利用條件“當(dāng)|x|≤1時(shí)，|f(x)|≤1”的解題意識(shí)。

從特殊化的思想出發(fā)得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 當(dāng)x=1時(shí)，|f(1)|≤1；當(dāng)x=-1時(shí)，|f(-1)|≤1 下面問題的解決試圖利用這三個(gè)不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量?！?f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c ∴ b?12[f(1)?f(?1)] 12|f(1)?f(?1)|≤12[|f(1)|?|f(?1)|]≤

12(1?1)≤1 ∴ |b|?（2）思路一：利用函數(shù)思想，借助于單調(diào)性求g(x)=ax+b的值域。

當(dāng)a>0時(shí)，g(x)在[-1，1]上單調(diào)遞增 ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)]

≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2 ∴-2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 當(dāng)a<0時(shí)，同理可證。

思路二：直接利用絕對(duì)值不等式

為了能將|ax+b|中的絕對(duì)值符號(hào)分配到a，b，可考慮a，b的符號(hào)進(jìn)行討論。當(dāng)a>0時(shí)

|ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面對(duì)b討論

① b≥0時(shí)，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b<0時(shí)，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2。∴ |ax+b|≤2 當(dāng)a<0時(shí)，同理可證。

評(píng)注：本題證明過程中，還應(yīng)根據(jù)不等號(hào)的方向，合理選擇不等式，例如：既有|a-b|≥|a|-|b|，又有|a-b|≥|b|-|a|，若不適當(dāng)選擇，則不能滿足題目要求。

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1、設(shè)a，b為正數(shù)，且a+b≤4，則下列各式一定成立的是 A、C、1a12?1b1a≤?141b B、≤1 D、141a≤

?1a?1b≤

≤

1b≥1

2、已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，則下列各式中一定正確的是 A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c

5、已知a，b，c>0，且a+b>c，設(shè)M=

a4?a?bb?cc4?c，N=，則MN的大小關(guān)系是

A、M>N B、M=N C、M

6、已知函數(shù)f(x)=-x-x3，x1，x2，x3∈R，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，則f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正負(fù)都有可能

7、若a>0，b>0，x?111(?)2ab1a?b1ab，y?，z?，則

A、x≥y>z B、x≥z>y C、y≥x>z D、y>z≥x

8、設(shè)a，b∈R，下面的不等式成立的是 A、a+3ab>b B、ab-a>b+ab C、（二）填空題

9、設(shè)a>0，b>0，a≠b，則aabb與abba的大小關(guān)系是__________。

10、若a，b，c是不全相等的正數(shù)，則(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等號(hào)填空）。

12、當(dāng)00且t≠1時(shí)，logat與log21t?1a2

2ab?a?1b?1 D、a+b≥2(a-b-1)

22的大小關(guān)系是__________。

n13、若a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，則an+bn與c（其中n∈N，n>2）的大小關(guān)系是________________。

（三）解答題

14、已知a>0，b>0，a≠b，求證：a?

15、已知a，b，c是三角形三邊的長(zhǎng)，求 證：1?

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ab?c?ba?c?ca?b?2。

b?ab?ba。金牌師資，笑傲高考

16、已知a≥0，b≥0，求證：

18、若a，b，c為正數(shù)，求證：

19、設(shè)a>0，b>0，且a+b=1，求證：(a?

20、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a，b，c全為正數(shù)。

1a)(b?1b)2541a?1b?1ca82013年數(shù)學(xué)VIP講義

12(a?b)2?14(a?b)≥aa?ba。

≤

?b383?c38。

abc≥。

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第五篇：不等式證明

§14不等式的證明

不等式在數(shù)學(xué)中占有重要地位，由于其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競(jìng)賽和高考的熱門題型.證明不等式就是對(duì)不等式的左右兩邊或條件與結(jié)論進(jìn)行代數(shù)變形和化歸，而變形的依據(jù)是不等式的性質(zhì)，不等式的性分類羅列如下： 不等式的性質(zhì)：a?b?a?b?0,a?b?a?b?0.這是不等式的定義，也是比較法的依據(jù).對(duì)一個(gè)不等式進(jìn)行變形的性質(zhì)：

（1）a?b?b?a（對(duì)稱性）

（2）a?b?a?c?b?c（加法保序性）

（3）a?b,c?0?ac?bc;a?b,c?0?ac?bc.（4）a?b?0?an?bn,na?nb(n?N*).對(duì)兩個(gè)以上不等式進(jìn)行運(yùn)算的性質(zhì).（1）a?b,b?c?a?c（傳遞性）.這是放縮法的依據(jù).（2）a?b,c?d?a?c?b?d.（3）a?b,c?d?a?c?b?d.（4）a?b?0,d?c?0,?含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：

（1）|x|?a(a?0)?x2?a2??a?x?a.（2）|x|?a(a?0)?x2?a2?x?a或x??a.（3）||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|（三角不等式）.（4）|a1?a2???an|?|a1|?|a2|???|an|.ab?,ad?bc.cd 證明不等式的常用方法有：比較法、放縮法、變量代換法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造函數(shù)方法等.當(dāng)然在證題過程中，常可“由因?qū)Ч被颉皥?zhí)果索因”.前者我們稱之為綜合法；后者稱為分析法.綜合法和分析法是解決一切數(shù)學(xué)問題的常用策略，分析問題時(shí)，我們往往用分析法，而整理結(jié)果時(shí)多用綜合法，這兩者并非證明不等式的特有方法，只是在不等式證明中使用得更為突出而已.此外，具體地證明一個(gè)不等式時(shí)，可能交替使用多種方法.例題講解 1．a(chǎn),b,c?0,求證：ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc.a?b?c32．a(chǎn),b,c?0，求證：abc?(abc)

abc.a2?b2b2?c2c2?a2a3b3c3?????.3．：a,b,c?R,求證a?b?c?2c2a2bbccaab?

4．設(shè)a1,a2,?,an?N*，且各不相同，求證：1?????

12131aa3an?a1?2????..n2232n25．利用基本不等式證明a2?b2?c2?ab?bc?ca.446．已知a?b?1,a,b?0,求證：a?b?1.8

7．利用排序不等式證明Gn?An

8．證明：對(duì)于任意正整數(shù)R，有(1?

1n1n?1)?(1?).nn?11119．n為正整數(shù)，證明：n[(1?n)?1]?1??????n?(n?1)nn?1.23n

1n? 課后練習(xí)

1.選擇題

(1)方程x-y=105的正整數(shù)解有().（A）一組（B）二組

（C）三組

（D）四組

(2)在0,1,2,?，50這51個(gè)整數(shù)中，能同時(shí)被2，3，4整除的有（）.（A）3個(gè)（B）4個(gè)

（C）5個(gè)

（D）6個(gè) 2．填空題

（1）的個(gè)位數(shù)分別為_________及_________.4

5422(2)滿足不________.等式10?A?10的整數(shù)A的個(gè)數(shù)是x×10+1，則x的值(3)已知整數(shù)y被7除余數(shù)為5,那么y被7除時(shí)余數(shù)為________.(4)求出任何一組滿足方程x-51y=1的自然數(shù)解x和y_________.3.求三個(gè)正整數(shù)x、y、z滿足

23.4．在數(shù)列4，8，17，77，97，106，125，238中相鄰若干個(gè)數(shù)之和是3的倍數(shù)，而不是9的倍數(shù)的數(shù)組共有多少組？

5．求的整數(shù)解.6．求證可被37整除.7．求滿足條件的整數(shù)x，y的所有可能的值.8．已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為l厘米、m厘米，斜邊長(zhǎng)為n厘米，且l，m，n均為正整數(shù)，l為質(zhì)數(shù).證明：2（l+m+n）是完全平方數(shù).9.如果p、q、、都是整數(shù)，并且p＞1，q＞1，試求p+q的值.課后練習(xí)答案

1.D.C.2.(1)9及1.(2)9.(3)4.(4)原方程可變形為x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50.223.不妨設(shè)x?y?z,則,故x?3.又有故x?2.若x=2,則,故y?6.又有,故y?4.若y=4,則z=20.若y=5,則z=10.若y=6,則z無整數(shù)解.若x=3,類似可以確定3?y?4,y=3或4,z都不能是整數(shù).4.可仿例2解.5.分析：左邊三項(xiàng)直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對(duì)稱性，可用輪換的方法.．．

略解：a2?b2?2ab,同理b2?c3?2bc,c2?a2?2ca；三式相加再除以2即得證.評(píng)述：（1）利用基本不等式時(shí)，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項(xiàng)、連用等技巧.22xnx12x2如?????x1?x2???xn，可在不等式兩邊同時(shí)加上x2x3x1x2?x3???xn?x1.再如證(a?1)(b?1)(a?c)3(b?c)3?256a2b2c3(a,b,c?0)時(shí)，可連續(xù)使用基本不等式.a?b2a2?b2)?（2）基本不等式有各種變式

如(等.但其本質(zhì)特征不等式兩邊的次22數(shù)及系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2，系數(shù)和為1.6.8888≡8(mod37),∴8888333

3222

2≡8(mod37).2222

27777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888238+7=407,37|407,∴37|N.22

3+7777

3333

≡(8+7)(mod37),而

237.簡(jiǎn)解:原方程變形為3x-(3y+7)x+3y-7y=0由關(guān)于x的二次方程有解的條件△?0及y為整數(shù)可得0?y?5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程僅有兩組解(4,5)、(5,4).8.∵l+m=n,∴l(xiāng)=(n+m)(n-m).∵l為質(zhì)數(shù),且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l,n-m=1.于是2222l=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)是完全平方數(shù).222

229.易知p≠q,不妨設(shè)p＞q.令(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.=n,則m＞n由此可得不定方程

例題答案：

1.證明：?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc

?a(b2?c2?2bc)?b(a2?c2?2ac)?c(a2?b2?2ab)

?a(b?c)2?b(c?a)2?c(a?b)2

?0

?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6ab.c

評(píng)述：（1）本題所證不等式為對(duì)稱式（任意互換兩個(gè)字母，不等式不變），在因式分解或配方時(shí)，往往采用輪換技巧.再如證明a2?b2?c2?ab?bc?ca時(shí)，可將a2?b2

1?(ab?bc?ca)配方為[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]，亦可利用a2?b2?2ab，2b2?c2?2bc,c2?a2?2ca，3式相加證明.（2）本題亦可連用兩次基本不等式獲證.2.分析：顯然不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，故嘗試用商較法.不等式關(guān)于a,b,c對(duì)稱，不妨a?b?c,則a?b,b?c,a?c?R?，且

ab,，bca都大于等于1.caabbcc(abc)a?b?c3?a2a?b?c3b2b?a?c3c2c?a?b3?aa?b3?aa?c3?bb?a3?bb?c3?cc?a3?cc?b3

a?b3a?()bb?()cb?c3a?()ca?c3?1.評(píng)述：（1）證明對(duì)稱不等式時(shí)，不妨假定n個(gè)字母的大小順序，可方便解題.（2）本題可作如下推廣：若ai?0(i?1,2,?,n),則a11a22?anaaan?(a1a2?an)a1?a2???ann.（3）本題還可用其他方法得證。因aabb?abba，同理bbcc?bccb,ccaa?caac，另aabbcc?aabbcc，4式相乘即得證.（4）設(shè)a?b?c?0,則lga?lgb?lgc.例3等價(jià)于alga?blgb?algb?blga,類似例4可證alga?blgb?clgc?algb?blgc?clga?algc?blgb?clga.事實(shí)上，一般地有排序不等式（排序原理）： 設(shè)有兩個(gè)有序數(shù)組a1?a2???an,b1?b2???bn，則a1b1?a2b2???anbn（順序和）

?a1bj1?a2bj2???anbjn（亂序和）?a1bn?a1bn?1???anb1（逆序和）

其中j1,j2,?,jn是1,2,?,n的任一排列.當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an或b1?b2???bn時(shí)等號(hào)成立.排序不等式應(yīng)用較為廣泛（其證明略），它的應(yīng)用技巧是將不等式兩邊轉(zhuǎn)化為兩個(gè)有序數(shù)組的積的形式.如a,b,c?R?時(shí),a3?b3?c3?a2b?b2c?c2a?a2?a?b2?b?c2?c

a2b2c2111111?a?b?b?c?c?a;???a?b?c?a2??b2??c2??a2??b2??c2?bcabcaabc222.3.思路分析：中間式子中每項(xiàng)均為兩個(gè)式子的和，將它們拆開，再用排序不等式證明.111111??，則a2??b2??c2?（亂序和）cbacab111111?a2??b2??c2?（逆序和），同理a2??b2??c2?（亂序和）abccab111?a2??b2??c2?（逆序和）兩式相加再除以2，即得原式中第一個(gè)不等式.再考慮數(shù)abc111333??組a?b?c及，仿上可證第二個(gè)不等式.bcacab

222不妨設(shè)a?b?c,則a?b?c,4.分析：不等式右邊各項(xiàng)

ai1?a?；可理解為兩數(shù)之積，嘗試用排序不等式.i22ii設(shè)b1,b2,?,bn是a1,a2,?,an的重新排列，滿足b1?b2???bn，又1?111????.22223nanbna2a3b2b3.由于b1,b2,?bn是互不相同的正整數(shù)，?????b?????122222n2323nb3bnb11故b1?1,b2?2,?,bn?n.從而b1?2，原式得證.?????1????2222n23n所以a1?評(píng)述：排序不等式應(yīng)用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，a2?b2?a?b?b?a，a3?b3?c3?a2?b?b2?c?c2?a?a?ab?b?bc?c?ca?a?bc?b?ac?c?ab?3abc.5.思路分析：左邊三項(xiàng)直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對(duì)稱性，可用輪換的方．．法.a2?b2?2ab,同理b2?c3?2bc,c2?a2?2ca；三式相加再除以2即得證.評(píng)述：（1）利用基本不等式時(shí)，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項(xiàng)、連用等技巧.22xnx12x2如?????x1?x2???xn，可在不等式兩邊同時(shí)加上x2x3x1x2?x3???xn?x1.再如證(a?1)(b?1)(a?c)3(b?c)3?256a2b2c3(a,b,c?0)時(shí)，可連續(xù)使用基本不等式.a?b2a2?b2)?（2）基本不等式有各種變式

如(等.但其本質(zhì)特征不等式兩邊的次數(shù)及22系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2，系數(shù)和為1.6.思路分析：不等式左邊是a、b的4次式，右邊為常數(shù)式呢.44要證a?b?1，如何也轉(zhuǎn)化為a、b的4次811,即證a4?b4?(a?b)4.8833評(píng)述：（1）本題方法具有一定的普遍性.如已知x1?x2?x3?1,xi?0,求證：x1 ?x211133求證：x1x2?x2x3 ?x3?.右側(cè)的可理解為(x1?x2?x3).再如已知x1?x2?x3?0，3332+x3x1?0，此處可以把0理解為(x1?x2?x3)，當(dāng)然本題另有簡(jiǎn)使證法.38（2）基本不等式實(shí)際上是均值不等式的特例.（一般地，對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1,a2,?an)

調(diào)和平均Hn?n111????a1a2an 幾何平均Gn?na1?a2?an 算術(shù)平均An?a1?a2???an

n22a12?a2???an平方平均Qn?

2這四個(gè)平均值有以下關(guān)系：Hn?Gn?An?Qn，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an時(shí)成立.7.證明: 令bi?ai,(i?1,2,?,n)則b1b2?bn?1，故可取x1,x2,?xn?0，使得 Gnb1?

xxx1x,b2?2,?,bn?1?n?1,bn?n由排序不等式有： x2x3xnx1b1?b2???bn

=xx1x2????n（亂序和）x2x3x1111?x2????xn?（逆序和）x1x2xn ?x1?

=n，?aa?a2???ana1a2????n?n,即1?Gn.GnGnGnn111，?,各數(shù)利用算術(shù)平均大于等于幾何平均即可得，Gn?An.a1a2an 評(píng)述:對(duì)8.分析:原不等式等價(jià)于n?1(1?)?1?平均，而右邊為其算術(shù)平均.n?11nn1，故可設(shè)法使其左邊轉(zhuǎn)化為n個(gè)數(shù)的幾何n?111111n?21(1?)n?(1?)?(1?)?1?(1?)?(1?)?1??1?.n?1nnnnnn?1n?1??????????????n個(gè)n?1 評(píng)述:（1）利用均值不等式證明不等式的關(guān)鍵是通過分拆和轉(zhuǎn)化，使其兩邊與均值不等式形式相近.類似可證(1?1n?11n?2)?(1?).nn?1（2）本題亦可通過逐項(xiàng)展開并比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)的大小而獲證，但較繁.9.證明:先證左邊不等式

111?????(1?n)?1?23n1111??????n123n ?(1?n)n?

n111(1?1)?(?1)?(?1)???(?1)123n ?(1?n)n?n34n?12?????23n?n1?n?(*)

nn[(1?n)?1]?1?2?1n1n1?111????23n

n 34n?1????23n?n2?3?4???n?1?nn?1.n23n ?（*）式成立，故原左邊不等式成立.其次證右邊不等式

?1111??????n?(n?1)?nn?1

23n1 ?n1?n?1n?(1??111111????)(1?)?(1?)???(1?)23n?n?11?23n n?1nn?112n?1????123n

（**）? n?1?nn?1

（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號(hào)成立.