第一篇：高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入51數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入重疑難點易錯簡析素材北師大版2-2.

5.1 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的概念重疑難點易錯簡析

一、知識導(dǎo)學(xué)

1.復(fù)數(shù)：形如a?bi的數(shù)（a,b?R），復(fù)數(shù)通常用小寫字母z表示，即z?a?bi,其中a叫做復(fù)數(shù)的實部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部，i稱做虛數(shù)單位.2.分類：復(fù)數(shù)a?bi(a,b?R)中，當b?0時，就是實數(shù)；除了實數(shù)以外的數(shù)，即當b?0時，a?bi叫做虛數(shù)；當a?0,b?0時，叫做純虛數(shù).3.復(fù)數(shù)集：全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合.4.復(fù)數(shù)相等：如果兩個復(fù)數(shù)a?bi與c?di的實部與虛部分別相等，記作：a?bi=c?di.5.復(fù)平面、實軸、虛軸：建立直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面.在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實軸，y 軸叫做虛軸.6.復(fù)數(shù)的模：設(shè)oz=a?bi,則向量oz的長度叫做復(fù)數(shù)a?bi的模（或絕對值），記作a?bi.(1)z?a?bi?a2?b2；

(2)z1?z2=z2?z1；(3)z1z1?； z2z27．共軛復(fù)數(shù)：如果兩個復(fù)數(shù)的實部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù).二、疑難知識導(dǎo)析

1．兩個實數(shù)可以比較大小，而不全是實數(shù)的兩個復(fù)數(shù)不能比較大小

2222．z?R,則z?0，而z?C，則z?0不一定成立，如z?i時i??1?0；

23．z?R,z?z2，而z?C則z?z2不一定成立；

2224．若z1,z2,z3?C,(z1?z2)?(z2?z3)?0不一定能推出z1?z2?z3；

25．若z1,z2?R，則z1?z2=(z1?z2)?4z1z2，但若z1,z2?C,則上式不一定成 1 立.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講

[例1]兩個共軛復(fù)數(shù)的差是（）

A.實數(shù) B.純虛數(shù) C.零 D.零或純虛數(shù)

錯解:當?shù)玫絲?z?2bi時就錯誤的選B，忽略了b可以為零的條件.正解：設(shè)互為共軛的兩復(fù)數(shù)分別為z?a?bi及z?a?bi(a,b?R)則z?z?2bi 或z?z?2bi

當b?0時，z?z，z?z為純虛數(shù)

當b?0時，z?z?0，z?z?0，因此應(yīng)選D.注：要認真審題，看清題設(shè)條件，結(jié)論.學(xué)會全面辯證的思考問題，準確記 憶有關(guān)概念性質(zhì).[例2]判斷下列命題是否正確(1)若z?C, 則z?0

(2)若z1,z2?C,且z1?z2?0，則z1?z2(3)若a?b，則a?i?b?i

錯解：(1)認為任何一個實數(shù)的平方大于零可推廣到復(fù)數(shù)中，從而(1)是正 確的

(2)認為兩實數(shù)之差大于零等價于前一個大于后一個實數(shù)，也可推到復(fù)數(shù)中來.認為兩復(fù)數(shù)差為實數(shù)則這兩個復(fù)數(shù)也為實數(shù).而認為命題(2)是正確的.(3)把不等式性質(zhì)錯誤的推廣到復(fù)數(shù)中，忽略不等式是在實數(shù)中成立的前提條件.正解：(1)錯，反例設(shè)z?i則z?i??1?0 2(2)錯，反例設(shè)z1?2?i，z2?1?i，滿足z1?z2?1?0，但z1z2 不能比較大小.(3)錯，?a?b，?a,b?R，故a?i，b?i都是虛數(shù)，不能比較大小.a2?a?6?(a2?2a?15)i是(1)實數(shù)； [例3]實數(shù)a分別取什么值時，復(fù)數(shù)z?a?3 2(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù).a2?a?6(a?2)(a?3)? 解：實部，虛部a2?2a?15?(a?3)(a?5).a?3a?3（1）當（2）當（3）當 時，z是實數(shù)；，且 或

時，z是虛數(shù)；

時是純虛數(shù)．

[例4] 設(shè)z1?(m2?2m?3)?(m2?4m?3)i(m?R),z2?5?3i，當m取何值時，(1)z1?z2;(2)z1?0.分析：復(fù)數(shù)相等的充要條件，提供了將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的依據(jù)，這是解復(fù)數(shù)問題常用的思想方法，這個題就可利用復(fù)數(shù)相等的充要條件來列出關(guān)于實數(shù) 的值．

2??m?2m?3?5解：(1)由可得：?2解之得m?4，??m?4m?3?3 的方程，求出即：當(2)當 時 可得：

或

，即

時z1?0.[例5]z1,z2是兩個不為零的復(fù)數(shù)，它們在復(fù)平面上分別對應(yīng)點P和Q，且224z1?2z1z2?z2?0，證明△OPQ為直角三角形（O是坐標原點），并求兩銳角的度數(shù)．

22分析

本題起步的關(guān)鍵在于對條件4z1?2z1z2?z2?0的處理．等式左邊是關(guān)于z1,z2的二次齊次式，可以看作二次方程求解，也可配方．

22解：由4z1?2z1z2?z2?0（，不為零），得

z1?2?23i1?3iz2?z284 ?z11?????????cos????isin????z22??3??3??即向量OP與向量OQ的夾角為在圖中，?POQ??，31|z2|，設(shè)|z1|?r,|z2|?2r，2?3，又|z1|?在△OPQ中，由余弦定理

△OPQ為直角三角形，．

四、典型習(xí)題導(dǎo)練

1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系z?|z|?2?i，那么z等于（）．

A． B． C． D．

2.復(fù)數(shù)系方程(1?i)x2?(1?i)x?2?6i?0有實數(shù)根，則這個實數(shù)是_________.3.實數(shù)m取何值時，復(fù)數(shù)面上的對應(yīng)點位于第二象限．

4.已知f(z)?1?z?z且f(?z)?10?3i,求復(fù)數(shù)z

5.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z?5且(3?4i)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限、四象限的角平分線上，是(1)純虛數(shù)；(2)在復(fù)平2z?m?52(m?R),求z和m的值

第二篇：《數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入》教學(xué)反思

《數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入》教學(xué)反思

數(shù)學(xué)組：謝瑞萍

《數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入》這一部分是在高二下學(xué)期學(xué)習(xí)的, 新課標的基本要求是：在問題情境中了解數(shù)系的擴充過程，理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件。了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義，能進行代數(shù)形式的四則運算和幾何意義。

本著面向全體學(xué)生，鞏固基本知識，強化基本技巧為出法點，而且復(fù)數(shù)這一部分在高考中的難度相對比較低，在教學(xué)設(shè)計時，我選擇了常見的三種題型，進一步讓學(xué)生學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念及有關(guān)定義、復(fù)數(shù)的運算和利用復(fù)數(shù)的幾何意義。為了提高課堂的教學(xué)效率，通過制作了PPT演示文稿，展示數(shù)的發(fā)展歷史，把例題事先制作好，然后再黑板上進行演算。然后還是由于時間有限沒有給學(xué)生們足夠的時間讓他們先進行思考，使部分學(xué)生有拖著走的感覺。

在教學(xué)中，我的問題是重復(fù)太多，怕學(xué)生聽不懂，記不住，但過多的反復(fù)很容易適得起反，有的時候自己感覺不到，但是聽別人的課，就有很明顯的發(fā)現(xiàn)，過多的“然后”“也就是說”“那么”“接下來”甚至語氣詞啊什么的，不但不能起到上下語句的承接作用，反而使語言拖沓沉冗。數(shù)學(xué)語言，尤其要注重準確嚴密，一針見血，要么不說，要么就說在點子上，這需要斟酌課堂上的每一句教學(xué)語言，需要長期堅持不懈。

第三篇：《數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的引入》教學(xué)設(shè)計

教材分析：

《數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的引入》是北師大版普通高中課程標準實驗教科書選修2-2的第五章第一節(jié)的內(nèi)容，主要包括數(shù)的概念的擴充，復(fù)數(shù)的相關(guān)概念。復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴充，引入復(fù)數(shù)以后，不僅可以使學(xué)生對于數(shù)的概念有一個更為完整的認識，也為進一步學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生了解熟悉擴充的過程以及引入復(fù)數(shù)的必要性，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的一些基本知識，體會人類理性思維在數(shù)系擴充中的作用。

教學(xué)目標：

1.知識與技能：使學(xué)生體會數(shù)的概念是逐步發(fā)展的；了解引進復(fù)數(shù)的必要性；理解復(fù)數(shù)的基本概念。

2.過程與方法：經(jīng)歷數(shù)的概念的發(fā)展和數(shù)系擴充的過程，體會數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，以及數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的客觀需求；

3.情感、態(tài)度與價值觀：通過對復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)，體會實際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾在數(shù)系擴充中的作用；通過數(shù)系的擴充歷程，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)博大精深的文化魅力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；培養(yǎng)學(xué)生勇于知疑問難,善于探索的'學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維品質(zhì)

教學(xué)重點：

復(fù)數(shù)的概念。

教學(xué)難點：

虛數(shù)單位i的引入及復(fù)數(shù)的概念

教學(xué)過程：

【情景導(dǎo)入】

通過人類生產(chǎn)生活的需要及數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾的解決需要這兩條線索，回顧數(shù)的擴充脈絡(luò)，引入新的問題：在實數(shù)集中求方程x2+1=0 的解？啟發(fā)學(xué)生類比前三次數(shù)系擴充的問題的解決，得到要解決這個問題可以引入一個新的數(shù)。

設(shè)計意圖：采用觀看視頻的方式進行情景導(dǎo)入，緊扣主題，通過梳理數(shù)系的擴充歷程，使學(xué)生體會熟悉擴充的必要性，了解熟悉擴充前后的聯(lián)系，為后面的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

【概念形成】

1、我們引入新數(shù)i，叫做“虛數(shù)單位”，并規(guī)定：

（1）i2=-1;

（2）實數(shù)可以與i進行四則運算，進行四則運算時，原有的加法運算律、乘法運算律仍然成立.2、復(fù)數(shù)的定義

形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，通常表示為Z= a+bi(a,b∈R)其中a叫做復(fù)數(shù)的實部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部.i稱為虛數(shù)單位。

全體復(fù)數(shù)組成的集合叫復(fù)數(shù)集，通常用C表示。

設(shè)計意圖：通過問題的提出、發(fā)展、解決的過程，讓學(xué)生感受由實數(shù)系擴充到復(fù)數(shù)系的歷程，體會數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神和實踐能力，讓學(xué)生參與其中，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

【自主學(xué)習(xí)】

閱讀教材第99頁倒數(shù)三段內(nèi)容，完成下面的問題：

問題1：復(fù)數(shù)是怎樣分類的？

對于復(fù)數(shù)，當且僅當b=0時，復(fù)數(shù)a+bi(a、b∈R)是實數(shù)a；當b≠0時，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數(shù)；當且僅當a=b=0時，z就是實數(shù)0.問題2：復(fù)數(shù)集與數(shù)集N、Z、Q、R之間有什么關(guān)系？你能否用韋恩圖表示？

復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：

設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過閱讀、思考的方式獲得知識，培養(yǎng)學(xué)生積極參與的意識和自主探索的能力。

【合作探究】

例1：完成下列表格（分類一欄填實數(shù)、虛數(shù)或純虛數(shù)）

2-3i

6i

實部

虛部

分類

例2：實數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)z=(m-2)+(m+1)i 是

（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)。

變式練習(xí)：實數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)z(m-2)(m-1)+(m-1)(m-3)i 是純虛數(shù)？

設(shè)計意圖：通過例題，強化學(xué)生對復(fù)數(shù)概念的理解，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，規(guī)范做題步驟。

【課堂練習(xí)】

1、以 3i-2 的虛部為實部，以-3+3i 的實部為虛部的復(fù)數(shù)是

2、若復(fù)數(shù)(m-1)+(m+2)(m-1)i 是純虛數(shù)，則實數(shù)m 的值為。

設(shè)計意圖：及時反饋，學(xué)以致用，加深學(xué)生對知識的理解，提高學(xué)生的解題能力。

【課時小結(jié)】

這節(jié)課你都學(xué)到了什么？有哪些收獲？

設(shè)計意圖：通過學(xué)生總結(jié)，教師歸納，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括的能力，回顧本節(jié)課內(nèi)容，為后面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

【課后作業(yè)】

1、書面作業(yè)：習(xí)題5-1 A組12、預(yù)習(xí)《 1.2復(fù)數(shù)的有關(guān)概念》

3、課后探究：請你查閱、收集一些關(guān)于實數(shù)集擴充到復(fù)數(shù)集的數(shù)學(xué)史料，并根據(jù)自己的理解對數(shù)系的擴充進行整理，寫成一篇關(guān)于數(shù)系擴充歷程的文章。

設(shè)計意圖：鞏固本節(jié)課所學(xué)知識，同時帶著新的問題走出課堂，擴大學(xué)生的視野，感受數(shù)學(xué)文化的魅力，體會數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活。

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第四篇：《數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計

《數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計

安陽市第三十八中學(xué) 付娟

本節(jié)為人教A版選修1-2，第二章第一節(jié)第一課時

一、《課程標準》對本節(jié)課的學(xué)習(xí)要求：

（1）在問題情境中了解數(shù)系的擴充過程，體會實際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運算規(guī)則、方程求根）在數(shù)系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。（2）理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件。（3）了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義。

（4）能進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義。

二、教材內(nèi)容和學(xué)生情況分析：

在學(xué)習(xí)本節(jié)之前，學(xué)生對數(shù)的概念已經(jīng)擴充到實數(shù)，也已清楚各種數(shù)集之間的包含關(guān)系等內(nèi)容，但知識是零碎、分散的，對數(shù)的生成發(fā)展的歷史和規(guī)律缺乏整體認識與理性思考，知識體系還未形成。另一方面學(xué)生對方程解的問題會默認為在實數(shù)集中進行，缺乏嚴謹?shù)乃季S習(xí)慣。

三、教學(xué)目標：

根據(jù)《課程標準》，依據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生情況，確定本課時的教學(xué)目標為：

1、通過回憶數(shù)系的擴充過程，觀察所列舉的復(fù)數(shù)能簡述復(fù)數(shù)的定義，并能說出復(fù)數(shù)的實部與虛部。

2、通過小組討論能將復(fù)數(shù)歸類，并能用語言或圖形表達復(fù)數(shù)的分類，會解決含有字母的復(fù)數(shù)的分類問題。

3、通過比較給出的兩個復(fù)數(shù)能歸納出復(fù)數(shù)相等的充要條件，并能解決與例題相似的題目。

四、教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計

第五篇：數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的概念教案說明

海南省瓊海市嘉積中學(xué)海桂學(xué)校

粟建軍

《數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的概念》教案說明

《數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的概念》是人教版普通高中數(shù)學(xué)實驗教材選修2-2第三章第一節(jié)的內(nèi)容，課時安排約一課時。

復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴充，引入復(fù)數(shù)以后，這不僅可以使學(xué)生對于數(shù)的概念有一個初步的、完整的認識，也為進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下了基礎(chǔ)。通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，要使學(xué)生在問題情境中了解數(shù)系擴充的過程以及引入復(fù)數(shù)的必要性，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的一些基本知識，體會人類理性思維在數(shù)系擴充中的作用。

學(xué)習(xí)目標為（1）在問題情境中了解數(shù)系的擴充過程，體會實際需求在數(shù)系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系；（2）理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件。

復(fù)數(shù)的概念是整個復(fù)數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ)，復(fù)數(shù)的有關(guān)概念都是圍繞復(fù)數(shù)的代數(shù)表示形式展開的。虛數(shù)單位、實部、虛部的命名，復(fù)數(shù)想等的充要條件，以及虛數(shù)、純虛數(shù)等概念的理解，都應(yīng)促進對復(fù)數(shù)實質(zhì)的理解，即復(fù)數(shù)實際上是一有序?qū)崝?shù)對。類比實數(shù)可以用數(shù)軸表示，把復(fù)數(shù)在直角坐標系中表示出來，就得到了復(fù)數(shù)的幾何表示，這就把數(shù)和形有機的結(jié)合了起來。另外復(fù)數(shù)與向量、平面解析幾何、三角函數(shù)等都有密切的聯(lián)系，運用復(fù)數(shù)法可以解決函數(shù)最值、三角恒等式、組合問題、不等式問題、數(shù)列問題等。而復(fù)數(shù)在電力、熱力學(xué)、流體力學(xué)、固體力學(xué)、系統(tǒng)分析、信號分析、反常積分等方面都有應(yīng)用。

在學(xué)習(xí)本節(jié)課的過程中，復(fù)數(shù)的概念如果單純地講解或介紹會顯得較為枯燥無味，學(xué)生不易接受，教學(xué)時，采用講解已學(xué)過的數(shù)集的擴充的歷史，讓學(xué)生體會到數(shù)系的擴充是生產(chǎn)實踐的需要，也是數(shù)學(xué)學(xué)科自身發(fā)展的需要；介紹數(shù)的概念的發(fā)展過程，使學(xué)生對數(shù)的形成、發(fā)展的歷史和規(guī)律，各種數(shù)集中之間的關(guān)系有著比較清晰、完整的認識.從而讓學(xué)生積極主動地建構(gòu)虛數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的分類。由于學(xué)生對數(shù)系擴充的知識不熟悉，對了解實數(shù)系擴充到復(fù)數(shù)系的過程有困難，也就是對虛數(shù)單位i的引入難以理解。另外虛數(shù)單位i和實數(shù)進行四則運算也不容易接受。復(fù)數(shù)的相等和復(fù)數(shù)的相關(guān)概念（比如實部、虛部、虛數(shù)、純虛數(shù)等）這些學(xué)生很容易理解。

本節(jié)課我采用數(shù)學(xué)典故吸引學(xué)生，讓學(xué)生知道數(shù)系的擴充過程，從而為虛數(shù)單位的引入打下基礎(chǔ)，在講解例題后用游戲的方式鞏固教學(xué)效果。另外我還充分

海南省瓊海市嘉積中學(xué)海桂學(xué)校

粟建軍

利用多媒體，提高教學(xué)效果，在設(shè)疑、提示、觀察、類比、練習(xí)、游戲等活動中啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生動手、動口、動腦，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

在學(xué)習(xí)了這節(jié)課以后，學(xué)生首先能知道數(shù)系是怎么擴充的，并且這種擴充是必要的，虛數(shù)單位i在數(shù)系擴充過程中的作用，而復(fù)數(shù)就是一個實數(shù)加上一個實數(shù)乘以i。學(xué)生能清楚的知道一個復(fù)數(shù)什么時候是虛數(shù)，什么時候是純虛數(shù)，兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是什么。讓學(xué)生在經(jīng)歷一系列的活動后，完成對知識的探索，變被動地“接受問題”為主動地“發(fā)現(xiàn)問題”，加強學(xué)生對知識應(yīng)用的靈活性，深化學(xué)生對復(fù)數(shù)的認識，從而提高分析問題和解決問題的能力。

教學(xué)中應(yīng)注意幾個問題，注意與以前所學(xué)過的數(shù)的內(nèi)容的銜接，在以前，學(xué)生學(xué)過整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)的概念和運算，在本節(jié)課，則要系統(tǒng)地學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的概念的發(fā)展過程，復(fù)習(xí)實數(shù)的有關(guān)概念等，從而為學(xué)好本節(jié)的內(nèi)容打好基礎(chǔ)。注意與初中、高中數(shù)學(xué)其他內(nèi)容的聯(lián)系，要把握好教學(xué)要求，教學(xué)時，只要求掌握基本內(nèi)容，基本思想和解題的基本方法即可。還要注意把類比、分類、歸納、概括、分析等方法貫穿到課堂中去。教學(xué)時，應(yīng)充分挖掘這些數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的能力。