第一篇：高中數(shù)學(xué)經(jīng)典錯(cuò)題解析：第十一章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)

數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)

§11.1 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念

一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)

1.復(fù)數(shù)：形如a?bi的數(shù)（a,b?R），復(fù)數(shù)通常有小寫字母z表示，即z?a?bi,其中a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部、b叫做復(fù)數(shù)的虛部，i稱做虛數(shù)單位.2.分類：復(fù)數(shù)a?bi(a,b?R)中，當(dāng)b?0時(shí)，就是實(shí)數(shù)；除了實(shí)數(shù)以外的數(shù)，即當(dāng)b?0時(shí)，a?bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a?0,b?0時(shí)，叫做純虛數(shù).3.復(fù)數(shù)集：全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合.4.復(fù)數(shù)相等：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)a?bi與c?di的實(shí)部與虛部分別相等，記作：a?bi=c?di.5.復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面.在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y 軸叫做虛軸.6.復(fù)數(shù)的模：設(shè)oz=a?bi,則向量oz的長度叫做復(fù)數(shù)a?bi的模（或絕對值），記作a?bi.(1)z?a?bi?

(3)z1z1； ?z2z2a2?b2；(2)z1?z2=z2?z1； 7．共扼復(fù)數(shù)：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共扼復(fù)數(shù).二、疑難知識(shí)

1．兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，而不全是實(shí)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小

2222．z?R,則z?0，而z?C，則z?0不一定成立，如z?i時(shí)i??1?0；

23．z?R,z?z2，而z?C則z?z2不一定成立；

24．若z1,z2,z3?C,(z1?z2)2?(z2?z3)2?0不一定能推出z1?z2?z3；

25．若z1,z2?R，則z1?z2=(z1?z2)?4z1z2，但若z1,z2?C,則上式不一定成立.三、經(jīng)典例題

[例1]兩個(gè)共扼復(fù)數(shù)的差是（）

A.實(shí)數(shù)B.純虛數(shù)C.零D.零或純虛數(shù)

錯(cuò)解:當(dāng)?shù)玫絲?z?2bi時(shí)就錯(cuò)誤的選B，忽略了b可以為零的條件.正解：設(shè)互為共扼的兩復(fù)數(shù)分別為z?a?bi及z?a?bi(a,b?R)則z?z?2bi 或z?z?2bi

當(dāng)b?0時(shí)，z?z，z?z為純虛數(shù)

當(dāng)b?0時(shí)，z?z?0，z?z?0，因此應(yīng)選D.注：要認(rèn)真審題，看清題設(shè)條件，結(jié)論.學(xué)會(huì)全面辯證的思考問題，準(zhǔn)確記

憶有關(guān)概念性質(zhì).[例2]判斷下列命題是否正確

(1)若z?C, 則z?0(2)若z1,z2?C,且z1?z2?0，則z1?z

2(3)若a?b，則a?i?b?i

錯(cuò)解：(1)認(rèn)為任何一個(gè)實(shí)數(shù)的平方大于零可推廣到復(fù)數(shù)中，從而(1)是正

確的(2)認(rèn)為兩實(shí)數(shù)之差大于零等價(jià)于前一個(gè)大于后一個(gè)實(shí)數(shù)，也可推到復(fù)

數(shù)中來.認(rèn)為兩復(fù)數(shù)差為實(shí)數(shù)則這兩個(gè)復(fù)數(shù)也為實(shí)數(shù).而認(rèn)為命題(2)是正確的.(3)把不等式性質(zhì)錯(cuò)誤的推廣到復(fù)數(shù)中，忽略不等式是在實(shí)數(shù)中成立的前提條件.22正解：(1)錯(cuò)，反例設(shè)z?i則z?i??1?0 2

(2)錯(cuò)，反例設(shè)z1?2?i，z2?1?i，滿足z1?z2?1?0，但z1z2

不能比較大小.(3)錯(cuò)，?a?b，?a,b?R，故a?i，b?i都是虛數(shù)，不能比較大小.a2?a?6?(a2?2a?15)i是(1)實(shí)數(shù)； [例3]實(shí)數(shù)a分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z?a?

3(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù).a2?a?6(a?2)(a?3)?解：實(shí)部，虛部a2?2a?15?(a?3)(a?5).a?3a?3

（1）當(dāng)

（3）當(dāng) 時(shí)，z是實(shí)數(shù)；（2）當(dāng) 或 時(shí)是純虛數(shù)．，且 時(shí)，z是虛數(shù)；

[例4] 設(shè)z1?(m2?2m?3)?(m2?4m?3)i(m?R),z2?5?3i，當(dāng)m取何值時(shí)，(1)z1?z2;(2)z1?0.分析：復(fù)數(shù)相等的充要條件，提供了將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的依據(jù)，這是解復(fù)數(shù)問題常用的思想方法，這個(gè)題就可利用復(fù)數(shù)相等的充要條件來列出關(guān)于實(shí)數(shù) 的方程，求出 的值．

2??m?2m?3?5解：(1)由可得：?2解之得m?4，??m?4m?3?3

即：當(dāng)

(2)當(dāng) 時(shí) 可得：

或，即 時(shí)z1?0.22[例5]z1,z2是兩個(gè)不為零的復(fù)數(shù)，它們在復(fù)平面上分別對應(yīng)點(diǎn)P和Q，且4z1?2z1z2?z2?0，證明△OPQ

為直角三角形（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），并求兩銳角的度數(shù)．

22分析本題起步的關(guān)鍵在于對條件4z1?2z1z2?z2?0的處理．等式左邊是關(guān)于z1,z2的二次齊次式，可以

看作二次方程求解，也可配方．

22解：由4z1?2z1z2?z2?0（，不為零），得

z1?

2?2i1?iz2?z284 z11??????????cos????isin????z22??3??3??

即向量OP與向量OQ的夾角為?，3

1|z2|，設(shè)|z1|?r,|z2|?2r，2在圖中，?POQ??

3，又|z1|?

在△OPQ中，由余弦定理

△OPQ為直角三角形，．

四、典型習(xí)題

1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系z?|z|?2?i，那么z等于（）．

A．B．

2C．D． 2.復(fù)數(shù)系方程(1?i)x?(1?i)x?2?6i?0有實(shí)數(shù)根，則這個(gè)實(shí)數(shù)是_________.3.實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，復(fù)數(shù)

二象限．

4.已知f(z)??z?z且f(?z)?10?3i,求復(fù)數(shù)z

5.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z?5且(3?4i)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限、四象限的角平分線上，是(1)純虛數(shù)；(2)在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)位于第2z?m?52(m?R),求z和m的值

§11.2復(fù)數(shù)的運(yùn)算

一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)

1.復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義

(1)加法的幾何意義

復(fù)數(shù)z1?z2是以oz1、oz2為兩鄰邊的平行四邊形對角線oz所對應(yīng)的復(fù)數(shù).(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義

復(fù)數(shù)z1?z2是連接向量OZ1、OZ2的終點(diǎn)，并指向被減數(shù)的向量z1z2所對應(yīng)的復(fù)數(shù).2.重要結(jié)論

（1）對復(fù)數(shù)z、z1、z2和自然數(shù)m、n，有 ???

zm?zn?zm?n，(zm)n?zmn，(z1?z2)n?z1n?z2n

(2)i?i，i??1，i??i，i?1；

i4n?11234?1，i4n?2??1，i4n?3??i，i4n?1.1?i1?i??i，?i.1?i1?i(3)(1?i)2??2i，(4)設(shè)???1?i22nn?123n3n??n?2?0，???，???，1?????0，???，???

2二、疑難知識(shí)

1.對于z?z?z2?z，是復(fù)數(shù)運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算相互轉(zhuǎn)化的主要依據(jù)，也是把復(fù)數(shù)看作整體進(jìn)行

2運(yùn)算的主要依據(jù)，在解題中加以認(rèn)識(shí)并逐漸體會(huì).2.在進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，不能把實(shí)數(shù)的某些法則和性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來，如下面的結(jié)論.當(dāng)z?C時(shí)，不總是成立的.(1)(zm)n?zmn(m,n為分?jǐn)?shù)時(shí)不成立)；(2)zm?zn?m?n(z?1時(shí)不成立)；

(3)z1?z2?0?z1?z2?0(z1,z2是虛數(shù)時(shí)不成立)；(4)z222?z2(z為虛數(shù)時(shí)不成立)；(5)z?a??a?z?a(z為虛數(shù)時(shí)不成立)

三、經(jīng)典例題

[例1] 滿足條件z?2i?z?1?5的點(diǎn)的軌跡是（）

A.橢圓B.直線C.線段D.圓

錯(cuò)解：選A或B.錯(cuò)因：如果把z?2i看作動(dòng)點(diǎn)Z到定點(diǎn)（0，2）的距離，由上式表示到兩個(gè)定點(diǎn)（0，2）與（-1，0）的距離之和為常數(shù)

?動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合橢圓的定義，但是，有一定的前提的就是兩點(diǎn)間的距離小于定常數(shù).正解：?點(diǎn)（0，2）與（-1，0）間的距離為5，?動(dòng)點(diǎn)在兩定點(diǎn)（0，-2）與（-1，0）之間，選C

評注：加強(qiáng)對概念的理解加深，認(rèn)真審題.[例2] 求值：(1?i)n?(1?i)6?n.錯(cuò)解：原式=(1?i)(61?in)?(?2i)3?in?8in?1 1?i

當(dāng)n?2時(shí)，原式??8當(dāng)n?3時(shí)，原式?8

錯(cuò)因：上面的解答錯(cuò)在沒有真正理解n?Z的含義，只是用了三個(gè)特殊整數(shù)代替了所有整數(shù)，犯了用特殊代替一般的錯(cuò)誤.另外還可以看出對虛數(shù)單位i的整數(shù)冪的運(yùn)算不熟悉，沒有掌握虛數(shù)單位i整數(shù)冪的運(yùn)算結(jié)果的周期性.正解：原式=(1?i)(61?in)=(?2i)3?in?8in?1 1?i

(n?4k?1),??8?(n?4k?2),(k為非負(fù)整數(shù))??8i=? 8（n?4k?3）,??(n?4k).?8i

評注：虛數(shù)單位i整數(shù)冪的值具有以4為周期的特點(diǎn)，根據(jù)n求in時(shí)，必須按被4整除余數(shù)為0、1、2、3四種情況進(jìn)行分類討論.[例3]已知z??

21?i，求1?z?z??z22000的值.a1(1?qn)分析：結(jié)論是等比數(shù)列的求和問題，所以應(yīng)聯(lián)想到求和公式Sn?，若直接將條件代入求1?q

和公式，則顯得較為麻煩，不妨先將條件化簡.1?z20011??3*6671?12(1?3i)13???0z???????i??原式=1?z1??1??4221?i2

評注：由于數(shù)列中的數(shù)可以是復(fù)數(shù)，所以數(shù)列的諸性質(zhì)在復(fù)數(shù)集中仍成立.[例4] 已知復(fù)數(shù)w滿足w?4?(3?2w)i(i為虛數(shù)單位），z?

元二次方程.解法一： ?w(1?2i)?4?3i,?w?

?z?5?|w?2|，求一個(gè)以z為根的實(shí)系數(shù)一w4?3i?2?i，1?2i5?|?i|?3?i.2?i

若實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根z?3?i，則必有共軛虛根?3?i.?z??6,z??10，? 所求的一個(gè)一元二次方程可以是x2?6x?10?0.解法二：設(shè)w?a?bi(a、b?R)

a?bi?4?3i?2ai?2b，?a?4?2b,?a?2,得 ?? ? b?3?2a,b??1,??

?w?2?i，以下解法同解法一.[例5]設(shè)z是虛數(shù)，??z?

解析?z是虛數(shù)?可設(shè)??z?1是實(shí)數(shù)，且?1???2.zz的實(shí)部的取值范圍.z11 ?(x?yi)?zx?yi

?x?yi?x?yixy?(x?)?(y?)i 222222x?yx?yx?y

122?0,即x?y?1 22x?y??是實(shí)數(shù)，且y?0,?1?

?z?1, 此時(shí)??2x

11?x?1,即z的實(shí)部的范圍是(?,1)22 由?1???2得?1?2x?2??

四、典型習(xí)題

1．非空集合G關(guān)于運(yùn)算?滿足：（1）對任意a,b?G，都有a?b?G；

（2）存在e?G，使得對一切a?G，都有a?e?e?a?a，則稱G關(guān)于運(yùn)算?為“融洽集”；現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：

①G??非負(fù)整數(shù)?,?為整數(shù)的加法②G??偶數(shù)?,?為整數(shù)的乘法

③G??平面向量?,?為平面向量的加法④G??二次三項(xiàng)式?,?為多項(xiàng)式的加法 ⑤G??虛數(shù)?,?為復(fù)數(shù)的乘法

其中G關(guān)于運(yùn)算?為“融洽集”__________;（寫出所有“融洽集”的序號）2.(1?i1993)?______1?i

3．計(jì)算

4.計(jì)算

5．解下列方程：

(1)；

(2).

第二篇：《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)

《數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)

安陽市第三十八中學(xué) 付娟

本節(jié)為人教A版選修1-2，第二章第一節(jié)第一課時(shí)

一、《課程標(biāo)準(zhǔn)》對本節(jié)課的學(xué)習(xí)要求：

（1）在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過程，體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程求根）在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。（2）理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件。（3）了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義。

（4）能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義。

二、教材內(nèi)容和學(xué)生情況分析：

在學(xué)習(xí)本節(jié)之前，學(xué)生對數(shù)的概念已經(jīng)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，也已清楚各種數(shù)集之間的包含關(guān)系等內(nèi)容，但知識(shí)是零碎、分散的，對數(shù)的生成發(fā)展的歷史和規(guī)律缺乏整體認(rèn)識(shí)與理性思考，知識(shí)體系還未形成。另一方面學(xué)生對方程解的問題會(huì)默認(rèn)為在實(shí)數(shù)集中進(jìn)行，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。

三、教學(xué)目標(biāo)：

根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》，依據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生情況，確定本課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)為：

1、通過回憶數(shù)系的擴(kuò)充過程，觀察所列舉的復(fù)數(shù)能簡述復(fù)數(shù)的定義，并能說出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部。

2、通過小組討論能將復(fù)數(shù)歸類，并能用語言或圖形表達(dá)復(fù)數(shù)的分類，會(huì)解決含有字母的復(fù)數(shù)的分類問題。

3、通過比較給出的兩個(gè)復(fù)數(shù)能歸納出復(fù)數(shù)相等的充要條件，并能解決與例題相似的題目。

四、教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

第三篇：數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念教案說明

海南省瓊海市嘉積中學(xué)海桂學(xué)校

粟建軍

《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念》教案說明

《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念》是人教版普通高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材選修2-2第三章第一節(jié)的內(nèi)容，課時(shí)安排約一課時(shí)。

復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充，引入復(fù)數(shù)以后，這不僅可以使學(xué)生對于數(shù)的概念有一個(gè)初步的、完整的認(rèn)識(shí)，也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下了基礎(chǔ)。通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，要使學(xué)生在問題情境中了解數(shù)系擴(kuò)充的過程以及引入復(fù)數(shù)的必要性，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的一些基本知識(shí)，體會(huì)人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用。

學(xué)習(xí)目標(biāo)為（1）在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過程，體會(huì)實(shí)際需求在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系；（2）理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件。

復(fù)數(shù)的概念是整個(gè)復(fù)數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ)，復(fù)數(shù)的有關(guān)概念都是圍繞復(fù)數(shù)的代數(shù)表示形式展開的。虛數(shù)單位、實(shí)部、虛部的命名，復(fù)數(shù)想等的充要條件，以及虛數(shù)、純虛數(shù)等概念的理解，都應(yīng)促進(jìn)對復(fù)數(shù)實(shí)質(zhì)的理解，即復(fù)數(shù)實(shí)際上是一有序?qū)崝?shù)對。類比實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸表示，把復(fù)數(shù)在直角坐標(biāo)系中表示出來，就得到了復(fù)數(shù)的幾何表示，這就把數(shù)和形有機(jī)的結(jié)合了起來。另外復(fù)數(shù)與向量、平面解析幾何、三角函數(shù)等都有密切的聯(lián)系，運(yùn)用復(fù)數(shù)法可以解決函數(shù)最值、三角恒等式、組合問題、不等式問題、數(shù)列問題等。而復(fù)數(shù)在電力、熱力學(xué)、流體力學(xué)、固體力學(xué)、系統(tǒng)分析、信號分析、反常積分等方面都有應(yīng)用。

在學(xué)習(xí)本節(jié)課的過程中，復(fù)數(shù)的概念如果單純地講解或介紹會(huì)顯得較為枯燥無味，學(xué)生不易接受，教學(xué)時(shí)，采用講解已學(xué)過的數(shù)集的擴(kuò)充的歷史，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)系的擴(kuò)充是生產(chǎn)實(shí)踐的需要，也是數(shù)學(xué)學(xué)科自身發(fā)展的需要；介紹數(shù)的概念的發(fā)展過程，使學(xué)生對數(shù)的形成、發(fā)展的歷史和規(guī)律，各種數(shù)集中之間的關(guān)系有著比較清晰、完整的認(rèn)識(shí).從而讓學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)虛數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的分類。由于學(xué)生對數(shù)系擴(kuò)充的知識(shí)不熟悉，對了解實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過程有困難，也就是對虛數(shù)單位i的引入難以理解。另外虛數(shù)單位i和實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算也不容易接受。復(fù)數(shù)的相等和復(fù)數(shù)的相關(guān)概念（比如實(shí)部、虛部、虛數(shù)、純虛數(shù)等）這些學(xué)生很容易理解。

本節(jié)課我采用數(shù)學(xué)典故吸引學(xué)生，讓學(xué)生知道數(shù)系的擴(kuò)充過程，從而為虛數(shù)單位的引入打下基礎(chǔ)，在講解例題后用游戲的方式鞏固教學(xué)效果。另外我還充分

海南省瓊海市嘉積中學(xué)海桂學(xué)校

粟建軍

利用多媒體，提高教學(xué)效果，在設(shè)疑、提示、觀察、類比、練習(xí)、游戲等活動(dòng)中啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

在學(xué)習(xí)了這節(jié)課以后，學(xué)生首先能知道數(shù)系是怎么擴(kuò)充的，并且這種擴(kuò)充是必要的，虛數(shù)單位i在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，而復(fù)數(shù)就是一個(gè)實(shí)數(shù)加上一個(gè)實(shí)數(shù)乘以i。學(xué)生能清楚的知道一個(gè)復(fù)數(shù)什么時(shí)候是虛數(shù)，什么時(shí)候是純虛數(shù)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是什么。讓學(xué)生在經(jīng)歷一系列的活動(dòng)后，完成對知識(shí)的探索，變被動(dòng)地“接受問題”為主動(dòng)地“發(fā)現(xiàn)問題”，加強(qiáng)學(xué)生對知識(shí)應(yīng)用的靈活性，深化學(xué)生對復(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)，從而提高分析問題和解決問題的能力。

教學(xué)中應(yīng)注意幾個(gè)問題，注意與以前所學(xué)過的數(shù)的內(nèi)容的銜接，在以前，學(xué)生學(xué)過整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)的概念和運(yùn)算，在本節(jié)課，則要系統(tǒng)地學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的概念的發(fā)展過程，復(fù)習(xí)實(shí)數(shù)的有關(guān)概念等，從而為學(xué)好本節(jié)的內(nèi)容打好基礎(chǔ)。注意與初中、高中數(shù)學(xué)其他內(nèi)容的聯(lián)系，要把握好教學(xué)要求，教學(xué)時(shí)，只要求掌握基本內(nèi)容，基本思想和解題的基本方法即可。還要注意把類比、分類、歸納、概括、分析等方法貫穿到課堂中去。教學(xué)時(shí)，應(yīng)充分挖掘這些數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的能力。

第四篇：《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入》教學(xué)反思

《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入》教學(xué)反思

數(shù)學(xué)組：謝瑞萍

《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入》這一部分是在高二下學(xué)期學(xué)習(xí)的, 新課標(biāo)的基本要求是：在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過程，理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件。了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義，能進(jìn)行代數(shù)形式的四則運(yùn)算和幾何意義。

本著面向全體學(xué)生，鞏固基本知識(shí)，強(qiáng)化基本技巧為出法點(diǎn)，而且復(fù)數(shù)這一部分在高考中的難度相對比較低，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，我選擇了常見的三種題型，進(jìn)一步讓學(xué)生學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念及有關(guān)定義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算和利用復(fù)數(shù)的幾何意義。為了提高課堂的教學(xué)效率，通過制作了PPT演示文稿，展示數(shù)的發(fā)展歷史，把例題事先制作好，然后再黑板上進(jìn)行演算。然后還是由于時(shí)間有限沒有給學(xué)生們足夠的時(shí)間讓他們先進(jìn)行思考，使部分學(xué)生有拖著走的感覺。

在教學(xué)中，我的問題是重復(fù)太多，怕學(xué)生聽不懂，記不住，但過多的反復(fù)很容易適得起反，有的時(shí)候自己感覺不到，但是聽別人的課，就有很明顯的發(fā)現(xiàn)，過多的“然后”“也就是說”“那么”“接下來”甚至語氣詞啊什么的，不但不能起到上下語句的承接作用，反而使語言拖沓沉冗。數(shù)學(xué)語言，尤其要注重準(zhǔn)確嚴(yán)密，一針見血，要么不說，要么就說在點(diǎn)子上，這需要斟酌課堂上的每一句教學(xué)語言，需要長期堅(jiān)持不懈。

第五篇：《數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的引入》教學(xué)設(shè)計(jì)

教材分析：

《數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的引入》是北師大版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書選修2-2的第五章第一節(jié)的內(nèi)容，主要包括數(shù)的概念的擴(kuò)充，復(fù)數(shù)的相關(guān)概念。復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充，引入復(fù)數(shù)以后，不僅可以使學(xué)生對于數(shù)的概念有一個(gè)更為完整的認(rèn)識(shí)，也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生了解熟悉擴(kuò)充的過程以及引入復(fù)數(shù)的必要性，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的一些基本知識(shí)，體會(huì)人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用。

教學(xué)目標(biāo)：

1.知識(shí)與技能：使學(xué)生體會(huì)數(shù)的概念是逐步發(fā)展的；了解引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性；理解復(fù)數(shù)的基本概念。

2.過程與方法：經(jīng)歷數(shù)的概念的發(fā)展和數(shù)系擴(kuò)充的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，以及數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的客觀需求；

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過對復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)，體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾在數(shù)系擴(kuò)充中的作用；通過數(shù)系的擴(kuò)充歷程，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)博大精深的文化魅力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；培養(yǎng)學(xué)生勇于知疑問難,善于探索的'學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維品質(zhì)

教學(xué)重點(diǎn)：

復(fù)數(shù)的概念。

教學(xué)難點(diǎn)：

虛數(shù)單位i的引入及復(fù)數(shù)的概念

教學(xué)過程：

【情景導(dǎo)入】

通過人類生產(chǎn)生活的需要及數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾的解決需要這兩條線索，回顧數(shù)的擴(kuò)充脈絡(luò)，引入新的問題：在實(shí)數(shù)集中求方程x2+1=0 的解？啟發(fā)學(xué)生類比前三次數(shù)系擴(kuò)充的問題的解決，得到要解決這個(gè)問題可以引入一個(gè)新的數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：采用觀看視頻的方式進(jìn)行情景導(dǎo)入，緊扣主題，通過梳理數(shù)系的擴(kuò)充歷程，使學(xué)生體會(huì)熟悉擴(kuò)充的必要性，了解熟悉擴(kuò)充前后的聯(lián)系，為后面的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

【概念形成】

1、我們引入新數(shù)i，叫做“虛數(shù)單位”，并規(guī)定：

（1）i2=-1;

（2）實(shí)數(shù)可以與i進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加法運(yùn)算律、乘法運(yùn)算律仍然成立.2、復(fù)數(shù)的定義

形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，通常表示為Z= a+bi(a,b∈R)其中a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部.i稱為虛數(shù)單位。

全體復(fù)數(shù)組成的集合叫復(fù)數(shù)集，通常用C表示。

設(shè)計(jì)意圖：通過問題的提出、發(fā)展、解決的過程，讓學(xué)生感受由實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的歷程，體會(huì)數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，讓學(xué)生參與其中，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

【自主學(xué)習(xí)】

閱讀教材第99頁倒數(shù)三段內(nèi)容，完成下面的問題：

問題1：復(fù)數(shù)是怎樣分類的？

對于復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，復(fù)數(shù)a+bi(a、b∈R)是實(shí)數(shù)a；當(dāng)b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，z=bi叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，z就是實(shí)數(shù)0.問題2：復(fù)數(shù)集與數(shù)集N、Z、Q、R之間有什么關(guān)系？你能否用韋恩圖表示？

復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過閱讀、思考的方式獲得知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生積極參與的意識(shí)和自主探索的能力。

【合作探究】

例1：完成下列表格（分類一欄填實(shí)數(shù)、虛數(shù)或純虛數(shù)）

2-3i

6i

實(shí)部

虛部

分類

例2：實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z=(m-2)+(m+1)i 是

（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)。

變式練習(xí)：實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z(m-2)(m-1)+(m-1)(m-3)i 是純虛數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖：通過例題，強(qiáng)化學(xué)生對復(fù)數(shù)概念的理解，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，規(guī)范做題步驟。

【課堂練習(xí)】

1、以 3i-2 的虛部為實(shí)部，以-3+3i 的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是

2、若復(fù)數(shù)(m-1)+(m+2)(m-1)i 是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m 的值為。

設(shè)計(jì)意圖：及時(shí)反饋，學(xué)以致用，加深學(xué)生對知識(shí)的理解，提高學(xué)生的解題能力。

【課時(shí)小結(jié)】

這節(jié)課你都學(xué)到了什么？有哪些收獲？

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生總結(jié)，教師歸納，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括的能力，回顧本節(jié)課內(nèi)容，為后面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

【課后作業(yè)】

1、書面作業(yè)：習(xí)題5-1 A組12、預(yù)習(xí)《 1.2復(fù)數(shù)的有關(guān)概念》

3、課后探究：請你查閱、收集一些關(guān)于實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集的數(shù)學(xué)史料，并根據(jù)自己的理解對數(shù)系的擴(kuò)充進(jìn)行整理，寫成一篇關(guān)于數(shù)系擴(kuò)充歷程的文章。

設(shè)計(jì)意圖：鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，同時(shí)帶著新的問題走出課堂，擴(kuò)大學(xué)生的視野，感受數(shù)學(xué)文化的魅力，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活。

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