證明數(shù)列求和不等式的兩種放縮技巧

第一篇：證明數(shù)列求和不等式的兩種放縮技巧

江蘇省包場高級中學(xué)張巧鳳2261

51數(shù)列求和不等式的證明，歷來是高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)與重點(diǎn)，并且往往出現(xiàn)在壓軸題的位置上，扮演著調(diào)整試卷區(qū)分度的角色。筆者發(fā)現(xiàn)對這類問題的處理方法中，以放縮法較為常用，而學(xué)生在運(yùn)用放縮法時普遍感到難以駕馭，本文重點(diǎn)談?wù)勍?xiàng)放縮與舍項(xiàng)放縮兩種放縮技巧在證明數(shù)列求和不等式中的應(yīng)用。

1、通項(xiàng)放縮，轉(zhuǎn)化為可以求和的數(shù)列 1、1放縮通項(xiàng)，利用等差數(shù)列求和

例

1、已知n?N,求證：????

（n+1）

2????

n+（n+1）2n?

352n?1

??????

222

n?2n2

＜

n?2n?1

(n?1)2

n+12n1、2放縮通項(xiàng)，利用等比數(shù)列求和例

2、數(shù)列?an?中，a1=2,an+1=(1)求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=

22an(n?N+)

16n-an，若數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)的和為Tn，求證：Tn＜

12。

（1）用迭代累乘或者構(gòu)造新的等比數(shù)列?（2）證明：bn?

an1n-11n-2?an?

?a()即a?n()可以求得，?1nn22?n?

16n-an

14?

當(dāng)n=1時，T1=＜2；

3當(dāng)n?2時，∵4n?1?(3?1)n-1=(3n?Cn13n-1?????1)?1?3n,∴bn?

1?1n?

1?()

1111n?113?3???1?

??1?()?＜∴Tn=+b2+???+bn＜?2?????n?

133332?3?21?

3∴對一切正整數(shù)n，都有Tn＜

14?1

.注：本題將數(shù)列從第二項(xiàng)起開始放縮，放縮成以b1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。

事實(shí)上，也可以利用

14?1

14?

n-1

13?4

n-1，將數(shù)列放縮成以為首項(xiàng)，3

114

為公比的1?1n?1?()

4?1n?413?4???

等比數(shù)列，易得Tn???1?()?＜＜

19?4?921?，放縮的關(guān)鍵在于合理與適度。

1、3放縮通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消求和對于例2，也可以這樣證明：bn?

216n-an

14?

(2?1)(2?1)

當(dāng)n=1，2時，2n?2n，當(dāng)n?3時，2n?(1?1)n=Cn0?Cn1?????Cnn?1?Cnn?2(n?1)＞2n ∴對一切正整數(shù)n，都有bn?∴Tn?

12(1?

13?13?15?????

12n?1

(2?1)(2?1)

12n?1)

(2n?1)(2n?1)

12n?1)＜

12n?1

=(1?。

注：此法將通項(xiàng)放縮成兩項(xiàng)之差，轉(zhuǎn)化為用裂項(xiàng)相消求和。1、4放縮通項(xiàng)，利用疊加求和例

3、已知數(shù)列?an?中，a1=1，an=an-1?

n=2,3,4???), an-1

1求證：

an2004年重慶卷改編）證明：由遞推關(guān)系式得：an2=an-12?

1an-1

+2＞an-1+2，即an-an-1＞2，于是有a22-a12＞2，a32-a22＞2，…an2-an-12＞2，這n-1個不等式兩邊相加可得

an?a1＞2（n-1），即an＞2n-1，又an＞0,故an。

1、5放縮通項(xiàng)，利用各項(xiàng)重新組合求和例

4、數(shù)列?an?滿足a1=1且an+1=(1+

1n+n)an+

n?1).n

2（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明an?2(n?2)

n?1），（2）已知不等式ln(1+x)＜x對x＞0,成立,證明an＜e（其中無理數(shù)e=2.71828…

(2005年重慶卷)

證明:(1)略.(2)由遞推關(guān)系式及(1)的結(jié)論有an+1=(1+兩邊取對數(shù)，且由ln(1+x)＜x得

+lnan

2nn+n21111+n?（-）+n 故lnan+1-lnan＜

n（n+1）2nn+12

n+n

1n+n)an+

?(1+

1n+n

n)an，lnan+1?ln(1+

n)+lnan＜

上式中n分別取1，2，…，n-1求和可得

11111?111?

lnan-lna1＜（1-）（??）?????（-）+（??????)2n-1??223n-1n222??

（1-）+（1?=

112

n-1)＜2

n?1）即lnan＜2，故an＜e（.2、寫出和式，舍項(xiàng)放縮2、1裂項(xiàng)相消，各項(xiàng)重新組合，舍項(xiàng)放縮對于例2，還可以這樣證明：bn?當(dāng)n=1時，T1=＜2；

3114?1

(2?1)(2?1)

22?1

（n

12?1

當(dāng)n?2時，∴Tn=（1?

22?1

12?1

?????

12?1

=?1 ?(1?2）（??3)????(n-1?n)?n

2?2?12?12?12?12?12?12?12?1??∵

2n-1

111111?

12?1

2?42(2

n-1

?1)(2?1)

?0，∴Tn?

22?1

（?

12?1

n)?

∴對一切正整數(shù)n，都有Tn＜

n+1n2、2錯位相減，各項(xiàng)重新組合，舍項(xiàng)放縮例

5、數(shù)列?an?中，a1=2,an+1=2((1)求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=

nan

n)an(n?N+)，求證：?bi＜

1172

4。，即an?n2?2n

an?an?n

?2是以2為公比的等比數(shù)列，可以求得?

2n?n?

（2）證明：bn? ?n

ann?2

（1）易知?

i=1

bi?

11?2

12?2

13?2

????

1n?2

i=1

bi?

12?

11?2

????

32?2n(?

12?3?213?4?2

?1)2n?

1n(n?1)?2

n+1

∴

ni=1

bi?

i=1

1?2?2124

??????

1n?21n?2

n+1n+1)

∴?bi?1?=

1724?（14

??(?????

3?4?2

?????

1n(n?1)?2

1n?2)＜n+117242、3迭代相加，各項(xiàng)重新組合，舍項(xiàng)放縮對于例

3、也可以這樣證明：由已知得：an2=an-12?于是有a22-a12?

11an-1

+2,即an-an-1?1an-11an-

222

1an-1

+2，+2，a3-a2?

1a2

+2，…，an2-an-12?

1an-1

+2，1a1

這n-1個等式兩邊相加可得an2?a12=2（n-1）+（即an2=2n-1+（1an-1

+?????），+

1an-2

?????

1a1）＞2n-1，又an＞0,故an20、（本題滿分16分）

在數(shù)列?an?中，已知a1?p?0，且，n?N（1）若數(shù)列?an?為等差數(shù)列，求p的值。（2）求數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn

當(dāng)n?2時，求證：?

i?1

n?1n?1

第二篇：放縮法證明數(shù)列不等式

放縮法證明數(shù)列不等式

基礎(chǔ)知識回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：

① 等差數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）

② 等比數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯位相減：通項(xiàng)公式為“等差錯誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)

（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：

① 在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手

② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項(xiàng)公式是放大還是縮小（應(yīng)與所證的不等號同方向）

③ 在放縮時，對通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。

④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動，其余項(xiàng)放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。

（3）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：

① 裂項(xiàng)相消：在放縮時，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)（或等距離間隔項(xiàng)）

② 等比數(shù)列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再與原通項(xiàng)公式進(jìn)行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數(shù)列的首項(xiàng)為錯誤！未找到引用源。，公比為錯誤！未找到引用源。，即通項(xiàng)公式為錯誤！未找到引用源。

注：此方法會存在風(fēng)險，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)影響

（4）與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問題：

① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進(jìn)行變形

② 在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源?；蝈e誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明應(yīng)用舉例:

類型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。）．

（1）求錯誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)錯誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯誤！未找到引用源。，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍．

例2.記錯誤！未找到引用源。.對數(shù)列錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.類型

二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式例3.設(shè)函數(shù)錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）．

例4.已知錯誤！未找到引用源。是數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項(xiàng)和，且對任意錯誤！未找到引用源。，有錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。為實(shí)數(shù)，且錯誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項(xiàng)；

②是否存在這樣的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，設(shè)錯誤！未找到引用源。，① 判定錯誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；

②設(shè)錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。的取值范圍.方法、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形：

（1）錯誤！未找到引用源。，（2）錯誤！未找到引用源。

注：對于錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。可推廣為：錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。實(shí)戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。記數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。

（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)錯誤！未找到引用源。；

（2）求錯誤！未找到引用源。；

（3）問是否存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立？說明理由.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；

⑵ 設(shè)錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯誤！未找到引用源。，若當(dāng)錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項(xiàng)的和為錯誤！未找到引用源。，試求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，．?dāng)?shù)列

滿足（1）求數(shù)列（2）若和，且．的通項(xiàng)公式；，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意的，（，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使，請說明理由．）成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，4．已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。，其中，錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。．

（1）求數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在自然數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得對于任意錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。，求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯誤！未找到引用源。．

5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯誤！未找到引用源。，且滿足錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。為常數(shù)．

（1）是否存在數(shù)列錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數(shù)列；若不存在，說明理由．（2）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，求證：錯誤！未找到引用源。．

（3）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，求證：當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開學(xué)考試】已知兩個無窮數(shù)列

分別滿足，其中（1）若數(shù)列（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和分別為的通項(xiàng)公式；，使得，稱數(shù)列

.都為遞增數(shù)列，求數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點(diǎn)數(shù)列”，求為“墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列

為“墜點(diǎn)數(shù)列”.為“墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，并說明理由；

（2）求證：錯誤！未找到引用源。；

（2）若錯誤！未找到引用源。，求錯誤！未找到引用源。的最小值.8．記等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；

（2）若錯誤！未找到引用源。，對任意錯誤！未找到引用源。，均有錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯誤！未找到引用源。，求證：錯誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；

（2）若存在實(shí)數(shù)λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

10．已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。．

（1）若錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

②在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數(shù)，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯誤！未找到引用源。的最大值．

放縮法證明數(shù)列不等式

基礎(chǔ)知識回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：

① 等差數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）

（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：

① 在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手

② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項(xiàng)公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號同方向）

（3）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：

（4）與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問題：

① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進(jìn)行變形

（1）求錯誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。

（2）由（1）知，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，則有錯誤！未找到引用源。，而錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。，解得錯誤！未找到引用源。，再將錯誤！未找到引用源。代入錯誤！未找到引用源。，得錯誤！未找到引用源。，例2.記錯誤！未找到引用源。.對數(shù)列錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）詳見解析（3）詳見解析【解析】

試題分析：（1）根據(jù)及時定義，列出等量關(guān)系，解出首項(xiàng)，寫出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)子集關(guān)系，進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；（3）利用等比數(shù)列和與項(xiàng)的大小關(guān)系，確定所定義和的大小關(guān)系：設(shè)錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。因此由錯誤！未找到引用源。，因此錯誤！未找到引用源。中最大項(xiàng)必在A中，由（2）得錯誤！未找到引用源。.試題解析：（1）由已知得錯誤！未找到引用源。.于是當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.又錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。.所以數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式為錯誤！未找到引用源。.（2）因?yàn)殄e誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。.因此，錯誤！未找到引用源。.綜合①②③得，錯誤！未找到引用源。.類型

故錯誤！未找到引用源。，則有：錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。例4.已知錯誤！未找到引用源。是數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項(xiàng)和，且對任意錯誤！未找到引用源。，有錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。為實(shí)數(shù)，且錯誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項(xiàng)；

②設(shè)錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。的取值范圍.【答案】（1）①錯誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當(dāng)錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。時，數(shù)列錯誤！未找到引用源。是以錯誤！未找到引用源。為首項(xiàng)，錯誤！未找到引用源。為公比的等比數(shù)列，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，不是等比數(shù)列；②錯誤！未找到引用源。．

方法、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形：

（1）錯誤！未找到引用源。，（2）錯誤！未找到引用源。

注：對于錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源?？赏茝V為：錯誤！未找到引用源。

（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)錯誤！未找到引用源。；

（2）求錯誤！未找到引用源。；

（3）問是否存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立？說明理由.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）當(dāng)錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見解析

（3）假設(shè)存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立，因?yàn)殄e誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，所以只要錯誤！未找到引用源。

即只要滿足 ①：錯誤！未找到引用源。，和②：錯誤！未找到引用源。，對于①只要錯誤！未找到引用源。就可以；對于②，當(dāng)錯誤！未找到引用源。為奇數(shù)時，滿足錯誤！未找到引用源。，不成立，當(dāng)錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，滿足錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。令錯誤！未找到引用源。，因?yàn)殄e誤！未找到引用源。

即錯誤！未找到引用源。，且當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，所以當(dāng)錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，②式成立，即當(dāng)錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。成立.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；

要使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，只要使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，即使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。為正偶數(shù)恒成立，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，故實(shí)數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍是錯誤！未找到引用源。； ⑶由⑴得錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，設(shè)錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，因此數(shù)列錯誤！未找到引用源。的最大值為錯誤！未找到引用源。．

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的判定與證明，其中證明（1）的關(guān)鍵是分析得到錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。的關(guān)系式．

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列滿足，且

．的前項(xiàng)和為，滿足，．?dāng)?shù)列（1）求數(shù)列（2）若和的通項(xiàng)公式；，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意的，（，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使，請說明理由．

【答案】（1）（2））成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，（3）不存在

（2）由（1）得于是所以，兩式相減得所以由（1）得因?yàn)閷?即所以恒成立，都有，，恒成立，記所以因?yàn)閺亩鴶?shù)列于是，為遞增數(shù)列，所以當(dāng)．

（），使

成等差數(shù)列，則，時取最小值，（3）假設(shè)存在正整數(shù)即，若為偶數(shù)，則若為奇數(shù)，設(shè)于是當(dāng)時，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，上式不成立.，則，與

矛盾；，即，此時

4．已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。，其中，錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。．

（1）求數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。；（2）存在，錯誤！未找到引用源。；（3）錯誤！未找到引用源。．【解析】試題分析：

（1）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{bn}的通項(xiàng)公式．（2）bn=2n．假設(shè)存在自然數(shù)m，滿足條件，先求出錯誤！未找到引用源。，將問題轉(zhuǎn)化成錯誤！未找到引用源?？汕蟮缅e誤！未找到引用源。的取值范圍；（3）分n是奇數(shù)、n是偶數(shù)兩種情況求出Tn，然后寫成分段函數(shù)的形式。

試題解析：（1）由錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。．又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，上式成立，因?yàn)殄e誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故錯誤！未找到引用源。.（3）當(dāng)錯誤！未找到引用源。為奇數(shù)時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。；當(dāng)錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.因此錯誤！未找到引用源。．

點(diǎn)睛：數(shù)列求和時，要根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的特點(diǎn)選擇不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂項(xiàng)相消法、錯位相減法、分組求和等。

（1）是否存在數(shù)列錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數(shù)列；若不存在，說明理由．

（2）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，求證：錯誤！未找到引用源。．

（3）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，求證：當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。．【答案】（1）不存在，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析

當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，兩式相減得錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，綜上，錯誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開學(xué)考試】已知兩個無窮數(shù)列的前項(xiàng)和分別為（1）若數(shù)列.分別滿足，其中，設(shè)數(shù)列都為遞增數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點(diǎn)數(shù)列”，求為“墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列，使得，稱數(shù)列為“墜點(diǎn)數(shù)列”.為“墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.【答案】（1）

.（2）①，② 6.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，并說明理由；

（2）求證：錯誤！未找到引用源。；

（2）若錯誤！未找到引用源。，求錯誤！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）見解析（3）錯誤！未找到引用源。.（2）因?yàn)榧襄e誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，所以對錯誤！未找到引用源。而言，存在錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。，又因?yàn)殄e誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，同理可得錯誤！未找到引用源。，將上述不等式相加得：錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。.（3）由（2）可知錯誤！未找到引用源。，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，構(gòu)成數(shù)集錯誤！未找到引用源。，經(jīng)檢驗(yàn)錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。.點(diǎn)睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。求解第一問時，直接運(yùn)用題設(shè)條件中所提供的條件信息進(jìn)行驗(yàn)證即可；解答第二問時，先運(yùn)用題設(shè)條件中定義的信息可得錯誤！未找到引用源。，同理可得錯誤！未找到引用源。，再將上述不等式相加得：錯誤！未找到引用源。即可獲證錯誤！未找到引用源。；證明第三問時，充分借助（2）的結(jié)論可知錯誤！未找到引用源。，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源?？傻缅e誤！未找到引用源。，因此構(gòu)成數(shù)集錯誤！未找到引用源。，經(jīng)檢驗(yàn)錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，進(jìn)而求出錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。.8．記等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；

（3）記錯誤！未找到引用源。，求證：錯誤！未找到引用源。.【答案】（1）見解析（2）錯誤！未找到引用源。（3）見解析

解：（1）設(shè)等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。，從而錯誤！未找到引用源。，所以當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即數(shù)列錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列.（2）因?yàn)榈娜我獾腻e誤！未找到引用源。都是公差為錯誤！未找到引用源。，的等差數(shù)列，所以錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。，的等差數(shù)列，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，顯然，錯誤！未找到引用源。滿足條件，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，因?yàn)殄e誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。不是整數(shù)，綜上所述，正整數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值集合為錯誤！未找到引用源。.（3）設(shè)等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，即數(shù)列錯誤！未找到引用源。是公比大于錯誤！未找到引用源。，首項(xiàng)大于錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，記公比為錯誤！未找到引用源。.以下證明：錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。為正整數(shù)，且錯誤！未找到引用源。，因?yàn)殄e誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，因?yàn)殄e誤！未找到引用源。為減函數(shù)，錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，綜上，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；

（2）若存在實(shí)數(shù)λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．【答案】（1）cn＝1．（2）見解析.10．已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。．

（1）若錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式； ②在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數(shù)，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯誤！未找到引用源。的最大值．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。

（3）錯誤！未找到引用源。，在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數(shù)，組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，故有錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，

第三篇：放縮法證明數(shù)列不等式

放縮法證明不等式

1、設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)的和Sn?

43an?

13?

3(n?1,2,3,?)

（Ⅰ）求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an；（Ⅱ）設(shè)Tn?

an?4?2

2Sn

(n?1,2,3,?)，證明：?Ti?

i?1

解：易求

Sn?Tn?

（其中n為正整數(shù)）

432

an??

13?

n?1

?23

n?1

?1??2?1?

n?1

?1??2?1?

1?1?

??n?n?1

2?2?12?1?

所以：

i?1

Ti?

313?1?

??1?n?1??2?2?12?1?22、求證：（1）

1?1?法1：數(shù)歸（兩邊都可以）

法2：放縮裂項(xiàng) 法3：定積分放縮（2）

22??

?n?N)

???

1n1n

31n?

11n

法1：放縮一：

n(n?1)

(n?2)

Sn?

??1n

?(1336

52)?（15

1653

???

1n?1

1n)

＝1?

1336

121400?

??1??1

121400

?1?

23893600(1

?1?

24003600

.放縮二：

1n?1

(n?1)(n?1)

2n?1

n?1),(n?2)

Sn??54

?（11

2)?

111111111(?????????)22435n?2nn?1n?1

1111151115

(???)??(?)?.223nn?142233

放縮三：

1n?

?(n?

112)(n?

12)

?（1n?

1n?

12)?2（12n?1

12n?1),(n?1)

Sn?

?1?2（13

???

12n?1

12n?1)?1?2（13

12n?1)?

法2：數(shù)歸——加強(qiáng)命題：常用的放縮公式：

1n(n?1)

2n?

n?1?

???

1n(n?1)1n

；n?

n?1?2n?n?

n?1；

???n

2n?1；

a?mb?m

(b?a?0,m?0)

k(k?1)(k?1)?

1n?11k(k?1)

?1?11*

?(k?2,k?N)??

2?k(k?1)k(k?1)?

1n?k?

n?kn1k!?

1n?2

?...?

kn?11

(k?3)

(k?2)

；2?12

n?1n

k!k(k?1)(k?2)

an?

例3：已知：

(n?N

?)，求證：?ai?

i?1

法1：均值不等式：即證

715n2

?...?

2?12

n?1

也即：

715

?...?

2?12

n?1

而

715

?...?

2?12

n?1

???

法2：放縮后裂項(xiàng)求和

an?

2?1212

n?1n

?1?（?

2?12(2?1

n)1

n?1

2?1(2

n?1

?1)(2?1)

2?1

n?1

?1)

法3：數(shù)歸，但是直接去證是不行的，要轉(zhuǎn)化為一個加強(qiáng)命題

4．定義數(shù)列如下：a1?2,an?1?an?an?1,n?N

證明：（1）對于n?N恒有an?1?an成立。

（2）當(dāng)n?2且n?N，有an?1?anan?1?a2a1?1成立。

（3）1?

2006

1a1

1a2

???

1a2006

?1。

解：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。

（2）由an?1?an?an?1得：an?1?1?an(an?1)?an?1?an?1(an?1?1)……

a2?1?a1(a1?1)以上各式兩邊分別相乘得：

an?1?1?anan?1?a2a1(a1?1)，又a1?2?an?1?anan?1?a2a1?1（3）要證不等式1?

2006

1a1

1a2

???

1a2006

?1，可先設(shè)法求和：

1a1

1a2

???

a2006，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。

?an?1?1?an(an?1)

1an?1?11an1a1

1an?1

1an

1an?11a2

1an?1?11a2006

?????

?（1a1?11

1a2?11)?（1a2?1

1a3?1)???（1a2006?1

1a2007?1)

a1?1

a2007?11

?1?

a1a2?a2006

又a1a2?a2006?a1

2006

?1?

1a1a2?a2006

?1?

2006

?原不等式得證。

5．已知數(shù)列?an?中an?

2?1，求證：?ai(ai?1)?3.i?1

方法一：ai(ai?1)?

2?12?1

(2?1)(2?2)

i?1

(2?1)(2?1)

i?1

12?1

i?1

ai(ai?1)?

(2?1)

?（12?1

12?1)?（12?1

12?1)???（12

n?1

12?1

n)?3?

12?1

?3.方法二：

ai(ai?1)?

(2?1)

12?2?

12?2

122?

2?2

i?1

.(i?2)

i?1

ai(ai?1)?2?

???

n?1

?2?(1?

12)?3?n?1

n?1

?3.n

法3：數(shù)歸證?

i?1

ai(ai?1)?3?

12?1

?3.（即轉(zhuǎn)化為證明加強(qiáng)命題）

6、已知函數(shù)f?x??ln?1?x??x，數(shù)列?an?滿足：

a1?

2,ln2?lnan?1?an?1an?f

?an?1an?．

（1）求證：ln?1?x??x；（2）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

（3）求證不等式：a1?a2???an?n?ln2?ln?n?2?．解：（1）f?x??ln?1?x??x，f'?x??

11?x

?1??

x1?x，當(dāng)?1?x?0時，f'?x??0，即y?f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x?0時，f'?x??0，即y?f(x)是單

調(diào)遞減函數(shù)．

所以f'?0??0，即x?0是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)

f?x??ln?1?x??x?f?0??0?ln?1?x??x，當(dāng)x?0時取到等號．（2）法1：數(shù)學(xué)歸納法（先猜想，再證明）

法2：由ln2?lnan?1?an?1an?f?an?1an?得2an?1?an?1an?1，an?1?

12?an，an?1?1?

12?an

?1?

an?12?an，1an?1?

1an?1

?1，即數(shù)列?

??2，公差為?1，是等差數(shù)列，首項(xiàng)為?

a?11?an?1?

nn?1

∴

an?1

??n?1?an?

．

（3）法1：

a1?a2???an?1?

11?1

?1?

12?1

???1?

11??1

?n???????

23n?1n?1??

又∵x?0時，有x?ln?1?x?，令x?

1n?1?1?2

?0，則

1?n?2?

?ln?1??ln ?n?1n?1?n?1?1

∴n??

3???

345n?1n?2???

?n?ln?ln?ln???ln?ln??? n?1?234nn?1??n?

2?n?2

?n?l?n??

n?1?2

?n??ln?

?343

???ln?2

n? ?nl?

∴a1?a2???an?n?ln2?ln?n?2? ．法2：積分法要證原命題，即證：?

?1?2

??ln(n?2)?ln2 n?1?1

????

11??1???????3n?1??2

?1?2

n?2

dx?lnx

n?22

法3：數(shù)歸證明：?7.1、（1）求證：2

???

??ln(n?2)?ln2 n?1?

?2n?1(n?2,n?N)

nn?1n01

法1：2?Cn?Cn?...?Cn?Cn；

法2：數(shù)學(xué)歸納法法3：函數(shù)法（求導(dǎo)）

8.若n?N，證明：()+()+…+（n

n?1n)+（n

nn)?

ee?1

提示:借助e?1?x證明

第四篇：用放縮法證明數(shù)列求和中的不等式

用放縮法證明數(shù)列求和中的不等式

近幾年，高考試題常把數(shù)列與不等式的綜合題作為壓軸題，而壓軸題的最后一問又重點(diǎn)考查用放縮法證明不等式，這類試題技巧性強(qiáng)，難度大，做題時要把握放縮度，并能自我調(diào)整，因此應(yīng)加強(qiáng)此類題目的訓(xùn)練。

高考題展示：

（2006年全國卷I）設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)的和

Sn?412an??2n?1?，n?1,2,3,??? 333

n32n

??，證明：?Ti?（Ⅰ）求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an；（Ⅱ）設(shè)Tn?，n?1,2,3,?2Sni?1

nn解：易求an?4?2（其中n為正整數(shù)）

4124122Sn?an??2n?1???4n?2n???2n?1???2n?1?1??2n?1?3333333

nn2323?11?Tn???n?1?????Sn22?12n?12?2n?12n?1?1?

所以：

?T?2???2ii?1n3?11?3???1?12n?1?1?2（2006年福建卷）已知數(shù)列?an?滿足a1?1,an?1?2an?1(n?N*).（I）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（II）證明：an1a1a2n????...?n?(n?N*).23a2a3an?12解：（I）易求an?22?1(n?N*).ak2k?12k?11?k?1??,k?1,2,...,n,（II）證明：?ak?12?12(2k?1)22aaan?1?2?...?n?.a2a3an?12ak2k?11111111??k?1??????.,k?1,2,...,n, ak?12?122(2k?1?1)23.2k?2k?2232kaaan1111n11n1?1?2?...?n??(?2?...?n)??(1?n)??, a2a3an?12322223223an1aan???1?2?...?n?(n?N*).23a2a3an?12

111115S??????，證明：nn2122232n23點(diǎn)評：兩個高考題向我們說明了數(shù)列求和中不等關(guān)系證明的兩種方法：1.每一項(xiàng)轉(zhuǎn)化為兩項(xiàng)差，求和后消去中間項(xiàng)（裂項(xiàng)法）與放縮法的結(jié)合；2.用放縮法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。題1.已知數(shù)列?an?中an?

放縮一：1111(n?2)???2nn(n?1)n?1n

***?????(????)?(???????)222222222123n123455667n?1n***238924005???1???1??1??.＝1?36400n36400360036003Sn?

點(diǎn)評：此種放縮為常規(guī)法，學(xué)生很容易想到，但需要保留前5項(xiàng)，從第6項(xiàng)開始放大，才能達(dá)到證題目的，這一點(diǎn)學(xué)生往往又想不到，或因意志力不堅(jiān)強(qiáng)而放棄。需要保留前5項(xiàng)，說明放大的程度過大，能不能作一下調(diào)節(jié)？放縮二：111111???(?),(n?2)n2n2?1(n?1)(n?1)2n?1n?1

***?????(?)?(?????????)122232n2122222435n?2nn?1n?***5??(???)??(?)?.4223nn?142233Sn?

點(diǎn)評：此種方法放大幅度較

（一）小，更接近于原式，只需保留前2項(xiàng)，從第3項(xiàng)開始放大，能較容易想到，還能再進(jìn)一步逼近原式？放縮三：1111111???(?)?2(?),(n?1)211111n2n?12n?1n2?(n?)(n?)n?n?42222

Sn?1111111111115?????1?2(???????)?1?2(?)?122232n235572n?12n?132n?13本題點(diǎn)評：隨著放縮程度的不同，前面需保留不動的項(xiàng)數(shù)也隨著發(fā)生變化，放縮程度越小，精確度越高，保留不動的項(xiàng)數(shù)就越少，運(yùn)算越簡單，因此，用放縮法解題時，放縮后的式子要盡可能地接近原式，減小放縮度，以避免運(yùn)算上的麻煩。

n2n

題2.已知數(shù)列?an?中an?n，求證：?ai(ai?1)?3.2?1i?1

2i12i2i?111方法一：ai(ai?1)?i????.iiiii?1i?1i2?12?1(2?1)(2?2)(2?1)(2?1)2?12?1

??ai(ai?1)?

i?1n

211111111?(?)?(?)???(?)?3??3.121223n?1nn(2?1)2?12?12?12?12?12?12?1

方法二：

2i1111ai(ai?1)?i????.(i?2)(2?1)22i?2?2i?22i?2i?22i?1

2i22

11111??ai(ai?1)?2??2???n?1?2?(1?n?1)?3?n?1?3.22222i?1

點(diǎn)評：方法一用的是放縮法后用裂項(xiàng)法求和；方法二是通過放縮轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，從數(shù)值上看方法二較方法一最后結(jié)果的精確度高(?3?

明的結(jié)果3。

同類題訓(xùn)練：

1.已知數(shù)列?a

n?中an?，Sn是數(shù)列的前n

項(xiàng)和，證明：1)?Sn? n11?3?)，但都沒超過要證nn?12?122.點(diǎn)列P(2n,23n)到直線系ln:22nx?y?2n?0中相應(yīng)直線的距離為dn,求證：d1?d2???dn?1.

第五篇：裂項(xiàng)放縮證明數(shù)列不等式

策略

一、裂項(xiàng)放縮證明數(shù)列不等式

若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來解題。例1-

1、（全國I理-22壓軸題）設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)的和Sn?項(xiàng)an；（Ⅱ）設(shè)Tn?

43an?

2n?

23，n?1,2,3,???（Ⅰ）求首項(xiàng)a1與通

Sn，n?1,2,3,???，證明：?Ti?

i?1

例1-

2、（湖北理-17）已知二次函數(shù)y?f(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)?6x?2，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)

和為Sn，點(diǎn)(n,Sn)(n?N)均在函數(shù)y?f(x)的圖像上。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn?

3anan?

1，Tn是

數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn?

m20

對所有n?N?都成立的最小正整數(shù)m；

例1-

3、（重慶理-22壓軸題）設(shè)數(shù)列{a}滿足a1?2,an?1?an?

1an

(n?1,2,?).（Ⅰ）證明a?

2n?1對一切正整數(shù)n

成立；（Ⅱ）令bn?

ann

(n?1,2,?)，判定b與b

1的大小，并說明理由

例1-

4、已知n?N*，求1?

例1-

5、設(shè)an?1?

3???

＜2n

???

a,a?2.求證：an?2.策略

二、均值不等式放縮證明不等式例2-

1、設(shè)Sn?

例3-

2、已知函數(shù)f(x)?

例3-

3、已知a,b為正數(shù)，且a?b

1?2?2?3???n(n?1).求證

n(n?1)

2?Sn?

(n?1)

.4x

4求證：f(1)?f(2)???f(n)?n?

n?1

.，試證：對每一個n?N?，(a?b)n

?a?b?2

nn2n

n?1

.策略

三、調(diào)整分式值放縮證明數(shù)列不等式（尾式或局部放縮）

一個分式若分母不變分子變大則分式值變大，若分子不變分母變大則分式值變小；一個真分式，分子、分母同時加上同一個正數(shù)則分式值變大（“加糖不等式”）---姐妹不等式:

ba?b?ma?m

(b?a?0,m?0)和

ba?b?ma?m

(a?b?0,m?0)

例3-

1、（福建理-22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,an?1=2an+1(n∈N?)（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足4b1明:

例3-

2、證明：(1?1)(1?3)(1?5)?(1?2n?1)?

即證：1?3?5???(2n?1)?

例3-

3、證明:(1?1)(1?)(1?)?(1?

713n?

2)?

－1 b2－2

4bn－

1=(a

+1)bn(n∈N*),證明:{bn}是等差數(shù)列;（Ⅲ）證

3＜

a1a2

a2a3

???

anan?1

＜

(n∈N).*

2n?1和(1?

12)(1?1

14)(1?

16)?(1?

12n)?

12n?1

2?4?6??2n

2n?1

和

1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n

2n?1

3n?1.例3-

4、已知a、b、c為三角形的三邊，求證：1＜

例3-

5、求證:

13?

13?2?1

???

13?

2n?1

abc

＋＋＜2。b?ca?ca?b

策略

四、單調(diào)性放縮證明不等式

例4-

1、（湖南理-19）已知函數(shù)f(x)?x?sinx,數(shù)列{an}滿足:0?a1?1,an?1?f(an),n?1,2,3,?.證明:（I）．0?an?1?an?1;（II）．a(chǎn)n?1?

例4-2（遼寧理-21）已知函數(shù)f(x)?ax?

0?a1?

2,an?1?f(an),n?N

an.32

x的最大值不大于

.16，又當(dāng)x?[

11,]42

時

f(x)?

.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）設(shè)，證明an?

1n?

1x1例4-

3、（北京理-19）數(shù)列?xn?由下列條件確定：

xn?1??a?0，1?a?

?xn??,n?N．（I）證明：對n?2總有xn???2?xn?

a；

(II)證明：對n?2總有xn?xn?

1例4-

4、設(shè)Sn??2?

例4-

5、求證：(1?1)(1?)(1?)?(1?

12n?

1)?

2n?1.2?3???n(n?1).求證

n(n?1)

2?Sn?

(n?1)2

.策略五：二項(xiàng)式放縮證明不等式

nn01nn01

2?(1?1)?Cn?Cn???Cn,2?Cn?Cn?n?1,2?C?C?C?例5-

1、已知a1?1,an?1?(1?

例5-

2、證明2?(1?

例5-

3、設(shè)n?1,n?N，求證(3)

0n1n2n

?n?2

212

.證明a

?n(n?1)(n?2)

1n?n)an?

1n)?3.n

8(n?1)(n?2)

策略六：遞推放縮證明數(shù)列不等式

例6-

1、（全國高考）設(shè)數(shù)列?a?滿足an?1?an?nan?1?n?N??，當(dāng)a1?3時證明對所有n?1, 有(i)an?n?2；

(ii)

11?a

2???

11?an

例6-

2、(重慶理-22壓軸題)數(shù)列{an}滿足a1?1且an?1?(1?

1n?n)an?

(n?1).（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：

an?2(n?2)；（Ⅱ）已知不等式ln(1?x)?x對x?0成立,證明:an?e(n?1)，其中無理數(shù)e?2.71828?

例6-

3、（湖北理-22壓軸題）已知不等式

12?13???

1n?12[log

n],n?N,n?2.[log

2n]表示不超過log2b,n?3.n 的最大

整數(shù)。設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a1?b(b?0),an?

nan?1n?an?

1,n?2,n?N?，證明：an?

2?b[log

例6-

4、（浙江理-20壓軸題）已知函數(shù)f（x）=x3+x2，數(shù)列{xn}（xn＞0）的第一項(xiàng)x1=1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：

曲線y=f（x）在（xn+！，f（xn+?。┨幍那芯€與經(jīng)過（0，0）和（xn，f（xn））兩點(diǎn)直線平行（如圖）。求證：當(dāng)n∈N時

2（Ⅰ）xn?xn?3xn?1?2xn?1（Ⅱ）()

11n?2

?xn?()

策略七：分項(xiàng)討論放縮證明數(shù)列不等式

例

7、（2004年全國3理-22壓軸題）（14分）已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn?2an?(?1)n,n?1.（1）寫出數(shù)列?an?的前三項(xiàng)a1,a2,a3；（2）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（3）證明：對任意的整數(shù)m?4，有

策略八：數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式

例8-

1、（江西理-21倒二題）（12分）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)（1）證明an?an?1?2,n?N;（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an.例8-

2、（江西理-22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝

1a4

1a5

???

1am

.,且滿足:a0?1,an?1?

an,(4?an),n?N.，且an＝

n?2，n?N）（1）求數(shù)列｛an｝

2an－1＋n－1

3nan－1

?的通項(xiàng)公式；（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1?a2???an?2?n！

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證明數(shù)列求和不等式的兩種放縮技巧

第一篇：證明數(shù)列求和不等式的兩種放縮技巧

第二篇：放縮法證明數(shù)列不等式

第三篇：放縮法證明數(shù)列不等式

第四篇：用放縮法證明數(shù)列求和中的不等式

第五篇：裂項(xiàng)放縮證明數(shù)列不等式

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