第一篇：數(shù)列不等式結(jié)合的題的放縮方法

數(shù)列不等式結(jié)合的題的放縮方法

2011-4-6 11:51 提問者：makewest | 懸賞分：20 | 瀏覽次數(shù)：559次

2011-4-6 11:53 最佳答案

放縮法一般來說是高考的難點 要求又比較強(qiáng)的觀察力計算能力分析能力等 個人感覺高考壓軸題出個放縮法再結(jié)合構(gòu)造函數(shù)估計就是難倒一片了

放縮法的規(guī)律性說有也有 比如說常見的數(shù)列的裂項相消可以說是一種放縮

需要掌握一些比較簡單的放縮 具體的我在下面會為你提供一個百度文庫的資料 專門講放縮的

其實個人感覺放縮難點一是是否能夠正確地尋求提供放縮的不等式 基本不等式應(yīng)用要熟練 二是要放得合適 放縮范圍大了小了就都得不出答案 三是觀察能力 通過合并拆項 舍棄部分項（這個二項式定理用的多 不過近幾年二項式定理證明的比較少 我們這邊的模擬題倒是有幾份出了）等等 再就是由過硬的計算了

這些在這個文檔中都有提到 你參考下http://wenku.baidu.com/view/c42786eb6294dd88d0d26bf1.html

下面就這這個題我給你講下我的思路

第一問沒問題吧 一個簡單的配湊

第二問的關(guān)于b(k+1)-根2 大于0的證明也好辦 關(guān)鍵是右邊的小于的那個證明

b(k+1)-根2>(3-2根2)(bk-根2）/（2bk+3)分母上盡量不要有bk 因為你證明的b(k+1)-根2>a(4k+1)-根2 所以右邊就必須去分母 而且要把bk換成與ak有關(guān)的

注意到數(shù)學(xué)歸納法要用上歸納假設(shè) 我們已經(jīng)假設(shè) bk>根2 你最好看著這個題答案同時再看我的說明

bk>根2 那么分母中2bk+3就大于2根2+3 所以b(k+1)-根2就小于

(3-2根2）^2（bk-根2）而bk-根2 又可以換成n=k時我們假設(shè)的 bk<=a(4k-3)原式化為(3-2根2）^2【a(4k-3)-根2】 這兩個式子的積

下面要求一定的觀察能力 注意到(3-2根2）^2=（根2-1）^4

你會問了 怎么會想到它呢？

因為你看 題目中要證明的與ak有關(guān) 而它的通項公式與根2-1有關(guān)系 而且后面出了【a(4k-3)-根2】這個因式 因此必定要尋求要證明的式子與數(shù)列通項的關(guān)系 觀察出這一點了(3-2根2）^2=（根2-1）^4 那么把它再換上 要證明的就是 b(k+1)-根2<=（根2-1）^4【a(4k-3)-根2】

到了這一步 接下來的事就好辦多了 你把a(4k-3)換成數(shù)列an的通項表示出來 就會發(fā)現(xiàn)(根2-1）^4【a(4k-3)-根2】=根2乘以（根2-1）的4k+1次冪 結(jié)合an的通項 你可以看出這個就是a(4k+1)-根2 所以原式b(k+1)-根2<=a(4k+1)-根2就得到了證明 即n=k+1 時 也成立 綜上 要證明的就成立

不知道我這樣你看明白沒有 沒法編輯公式講起來只能用語言加數(shù)字?jǐn)⑹霰热纾ǜ?-1）^4 看起來怪費勁的總之這個題要比單純的放縮法還稍要來得簡單 因為有數(shù)學(xué)歸納法幫助你尋求解題的突破口 因為你必定要用上歸納假設(shè) 否則就不是數(shù)學(xué)歸納法了 這樣一來它還是給你提供了一定的思路的本題的難點可能在觀察不出來(3-2根2）^2=（根2-1）^4 卡住

本人做這個題用了30分鐘做出來

后來對照答案看的差不多 但是估計在考場上就做不出來了 因為最后很可能沒有這么多時間 加上緊張啊等等可能思路就得受限制

放縮法這個東西 的確很難 剛開始講的時候我做相關(guān)的大題基本上都沒有做出來的但是時間長了 做過的題多了 感覺就要好點了 關(guān)鍵是注意自己分析總結(jié) 相信你一定會越來越有思路的！參考資料：部分百度文庫資料

第二篇：放縮法證明數(shù)列不等式

放縮法證明數(shù)列不等式

基礎(chǔ)知識回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見的數(shù)列求和方法和通項公式特點：

① 等差數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）

② 等比數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數(shù)列的每一項裂項之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項

（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：

① 在數(shù)列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項公式入手

② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號同方向）

③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數(shù)列的通項公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。

④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項不動，其余項放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。

（3）放縮構(gòu)造裂項相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：

① 裂項相消：在放縮時，所構(gòu)造的通項公式要具備“依項同構(gòu)”的特點，即作差的兩項可視為同一數(shù)列的相鄰兩項（或等距離間隔項）

② 等比數(shù)列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項公式，再與原通項公式進(jìn)行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數(shù)列的首項為錯誤！未找到引用源。，公比為錯誤！未找到引用源。，即通項公式為錯誤！未找到引用源。

注：此方法會存在風(fēng)險，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項公式的結(jié)構(gòu)影響

（4）與數(shù)列中的項相關(guān)的不等式問題：

① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進(jìn)行變形

② 在有些關(guān)于項的不等式證明中，可向求和問題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源。或錯誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:

類型一：與前n項和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。）．

（1）求錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）設(shè)錯誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍．

例2.記錯誤！未找到引用源。.對數(shù)列錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。

（1）求數(shù)列的通項公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.類型

二、與通項運算相關(guān)的不等式 例3.設(shè)函數(shù)錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）．

例4.已知錯誤！未找到引用源。是數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。，有錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。為實數(shù)，且錯誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項；

②是否存在這樣的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，設(shè)錯誤！未找到引用源。，① 判定錯誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；

②設(shè)錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。的取值范圍.方法、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形：

（1）錯誤！未找到引用源。，（2）錯誤！未找到引用源。

注：對于錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。可推廣為：錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。實戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。記數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。

（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項錯誤！未找到引用源。；

（2）求錯誤！未找到引用源。；

（3）問是否存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立？說明理由.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；

⑵ 設(shè)錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若當(dāng)錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項的和為錯誤！未找到引用源。，試求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列的前項和為，滿足，．?dāng)?shù)列

滿足（1）求數(shù)列（2）若和，且． 的通項公式；，數(shù)列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使，請說明理由．）成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，4．已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。，其中，錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。．

（1）求數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）是否存在自然數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得對于任意錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。，求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。．

5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且滿足錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。為常數(shù)．

（1）是否存在數(shù)列錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數(shù)列；若不存在，說明理由．（2）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。．

（3）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，求證：當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開學(xué)考試】已知兩個無窮數(shù)列

分別滿足，其中（1）若數(shù)列（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項和分別為的通項公式；，使得，稱數(shù)列

.都為遞增數(shù)列，求數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點數(shù)列”，求 為“墜點數(shù)列”，數(shù)列

為“墜點數(shù)列”.為“墜點數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，并說明理由；

（2）求證： 錯誤！未找到引用源。；

（2）若錯誤！未找到引用源。，求錯誤！未找到引用源。的最小值.8．記等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；

（2）若 錯誤！未找到引用源。，對任意錯誤！未找到引用源。，均有錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯誤！未找到引用源。，求證： 錯誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項公式；

（2）若存在實數(shù)λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

10．已知各項不為零的數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。．

（1）若錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項公式；

②在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數(shù)，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的最大值．

放縮法證明數(shù)列不等式

基礎(chǔ)知識回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見的數(shù)列求和方法和通項公式特點：

① 等差數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）

② 等比數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數(shù)列的每一項裂項之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項

（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：

① 在數(shù)列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項公式入手

② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號同方向）

③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數(shù)列的通項公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。

④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項不動，其余項放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。

（3）放縮構(gòu)造裂項相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：

① 裂項相消：在放縮時，所構(gòu)造的通項公式要具備“依項同構(gòu)”的特點，即作差的兩項可視為同一數(shù)列的相鄰兩項（或等距離間隔項）

② 等比數(shù)列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項公式，再與原通項公式進(jìn)行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數(shù)列的首項為錯誤！未找到引用源。，公比為錯誤！未找到引用源。，即通項公式為錯誤！未找到引用源。注：此方法會存在風(fēng)險，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項公式的結(jié)構(gòu)影響

（4）與數(shù)列中的項相關(guān)的不等式問題：

① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進(jìn)行變形

② 在有些關(guān)于項的不等式證明中，可向求和問題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源?；蝈e誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:

類型一：與前n項和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。）．

（1）求錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）設(shè)錯誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。

（2）由（1）知，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，則有錯誤！未找到引用源。，而錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。，解得錯誤！未找到引用源。，再將錯誤！未找到引用源。代入錯誤！未找到引用源。，得錯誤！未找到引用源。，例2.記錯誤！未找到引用源。.對數(shù)列錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。

（1）求數(shù)列的通項公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）詳見解析（3）詳見解析 【解析】

試題分析：（1）根據(jù)及時定義，列出等量關(guān)系，解出首項，寫出通項公式；（2）根據(jù)子集關(guān)系，進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；（3）利用等比數(shù)列和與項的大小關(guān)系，確定所定義和的大小關(guān)系：設(shè)錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。因此由錯誤！未找到引用源。，因此錯誤！未找到引用源。中最大項必在A中，由（2）得錯誤！未找到引用源。.試題解析：（1）由已知得錯誤！未找到引用源。.于是當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.又錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。.所以數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項公式為錯誤！未找到引用源。.（2）因為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。.因此，錯誤！未找到引用源。.綜合①②③得，錯誤！未找到引用源。.類型

二、與通項運算相關(guān)的不等式 例3.設(shè)函數(shù)錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）． 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．

故錯誤！未找到引用源。，則有：錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。例4.已知錯誤！未找到引用源。是數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。，有錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。為實數(shù)，且錯誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項；

②是否存在這樣的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，設(shè)錯誤！未找到引用源。，① 判定錯誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；

②設(shè)錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。的取值范圍.【答案】（1）①錯誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當(dāng)錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。時，數(shù)列錯誤！未找到引用源。是以錯誤！未找到引用源。為首項，錯誤！未找到引用源。為公比的等比數(shù)列，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，不是等比數(shù)列；②錯誤！未找到引用源。．

方法、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形：

（1）錯誤！未找到引用源。，（2）錯誤！未找到引用源。

注：對于錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源?？赏茝V為：錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。實戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。記數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。

（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項錯誤！未找到引用源。；

（2）求錯誤！未找到引用源。；

（3）問是否存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立？說明理由.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）當(dāng)錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見解析

（3）假設(shè)存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立，因為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，所以只要錯誤！未找到引用源。

即只要滿足 ①：錯誤！未找到引用源。，和②：錯誤！未找到引用源。，對于①只要錯誤！未找到引用源。就可以； 對于②，當(dāng)錯誤！未找到引用源。為奇數(shù)時，滿足錯誤！未找到引用源。，不成立，當(dāng)錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，滿足錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。令錯誤！未找到引用源。，因為錯誤！未找到引用源。

即錯誤！未找到引用源。，且當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，所以當(dāng)錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，②式成立，即當(dāng)錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。成立.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；

⑵ 設(shè)錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若當(dāng)錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項的和為錯誤！未找到引用源。，試求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。

要使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，只要使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，即使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。為正偶數(shù)恒成立，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，故實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍是錯誤！未找到引用源。； ⑶由⑴得錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，設(shè)錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，因此數(shù)列錯誤！未找到引用源。的最大值為錯誤！未找到引用源。．

【點睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的判定與證明，其中證明（1）的關(guān)鍵是分析得到錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。的關(guān)系式．

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列滿足，且

． 的前項和為，滿足，．?dāng)?shù)列（1）求數(shù)列（2）若和的通項公式；，數(shù)列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使，請說明理由．

【答案】（1）（2））成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，（3）不存在

（2）由（1）得于是所以，兩式相減得所以由（1）得因為對 即所以恒成立，都有，，恒成立，記所以因為從而數(shù)列于是，為遞增數(shù)列，所以當(dāng)．

（），使

成等差數(shù)列，則，時取最小值，（3）假設(shè)存在正整數(shù)即，若為偶數(shù)，則若為奇數(shù)，設(shè)于是當(dāng)時，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，上式不成立.，則，與

矛盾；，即，此時

4．已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。，其中，錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。．

（1）求數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）是否存在自然數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得對于任意錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。，求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。；（2）存在，錯誤！未找到引用源。；（3）錯誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：

（1）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{an}的通項公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{bn}的通項公式．（2）bn=2n．假設(shè)存在自然數(shù)m，滿足條件，先求出錯誤！未找到引用源。，將問題轉(zhuǎn)化成錯誤！未找到引用源?？汕蟮缅e誤！未找到引用源。的取值范圍；（3）分n是奇數(shù)、n是偶數(shù)兩種情況求出Tn，然后寫成分段函數(shù)的形式。

試題解析：（1）由錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。． 又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，上式成立，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故錯誤！未找到引用源。.（3）當(dāng)錯誤！未找到引用源。為奇數(shù)時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。； 當(dāng)錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.因此錯誤！未找到引用源。．

點睛：數(shù)列求和時，要根據(jù)數(shù)列項的特點選擇不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組求和等。

5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且滿足錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。為常數(shù)．

（1）是否存在數(shù)列錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數(shù)列；若不存在，說明理由．

（2）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。．

（3）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，求證：當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。． 【答案】（1）不存在，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析

當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，兩式相減得錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，綜上，錯誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開學(xué)考試】已知兩個無窮數(shù)列的前項和分別為（1）若數(shù)列.分別滿足，其中，設(shè)數(shù)列都為遞增數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點數(shù)列”，求 為“墜點數(shù)列”，數(shù)列，使得，稱數(shù)列為“墜點數(shù)列”.為“墜點數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.【答案】（1）

.（2）①，② 6.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，并說明理由；

（2）求證： 錯誤！未找到引用源。；

（2）若錯誤！未找到引用源。，求錯誤！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）見解析（3）錯誤！未找到引用源。.（2）因為集合錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，所以對錯誤！未找到引用源。而言，存在錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。，又因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，同理可得錯誤！未找到引用源。，將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。.（3）由（2）可知錯誤！未找到引用源。，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，構(gòu)成數(shù)集錯誤！未找到引用源。，經(jīng)檢驗錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。.點睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。求解第一問時，直接運用題設(shè)條件中所提供的條件信息進(jìn)行驗證即可；解答第二問時，先運用題設(shè)條件中定義的信息可得錯誤！未找到引用源。，同理可得錯誤！未找到引用源。，再將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。即可獲證錯誤！未找到引用源。；證明第三問時，充分借助（2）的結(jié)論可知錯誤！未找到引用源。，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源?？傻缅e誤！未找到引用源。，因此構(gòu)成數(shù)集錯誤！未找到引用源。，經(jīng)檢驗錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，進(jìn)而求出錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。.8．記等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；

（2）若 錯誤！未找到引用源。，對任意錯誤！未找到引用源。，均有錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯誤！未找到引用源。，求證： 錯誤！未找到引用源。.【答案】（1）見解析（2）錯誤！未找到引用源。（3）見解析

解：（1）設(shè)等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。，從而錯誤！未找到引用源。，所以當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即數(shù)列錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列.（2）因為的任意的錯誤！未找到引用源。都是公差為錯誤！未找到引用源。，的等差數(shù)列，所以錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。，的等差數(shù)列，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，顯然，錯誤！未找到引用源。滿足條件，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。不是整數(shù)，綜上所述，正整數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值集合為錯誤！未找到引用源。.（3）設(shè)等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，即數(shù)列錯誤！未找到引用源。是公比大于錯誤！未找到引用源。，首項大于錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，記公比為錯誤！未找到引用源。.以下證明： 錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。為正整數(shù)，且錯誤！未找到引用源。，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。為減函數(shù)，錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，綜上，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項公式；

（2）若存在實數(shù)λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 【答案】（1）cn＝1．（2）見解析.10．已知各項不為零的數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。．

（1）若錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項公式； ②在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數(shù)，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的最大值．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。

（3）錯誤！未找到引用源。，在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數(shù)，組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，故有錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，

第三篇：放縮法證明數(shù)列不等式

放縮法證明不等式

1、設(shè)數(shù)列?an?的前n項的和Sn?

43an?

13?

2n

n?

1?

3(n?1,2,3,?)

n

（Ⅰ）求首項a1與通項an；（Ⅱ）設(shè)Tn?

an?4?2

n

n

2Sn

(n?1,2,3,?)，證明：?Ti?

i?1

解：易求

Sn?Tn?

（其中n為正整數(shù)）

n

n

432

n

an??

n

13?

?2

n?1

??

?

4n

?23

n

??

?2

n?1

?

?

?2

n?1

?1??2?1?

n

Sn

?2

n?1

?1??2?1?

?

1?1?

??n?n?1

?

2?2?12?1?

所以：

?

i?1

Ti?

313?1?

??1?n?1??2?2?12?1?22、求證：（1）

1?1?法1：數(shù)歸（兩邊都可以）

法2：放縮裂項 法3：定積分放縮（2）

22??

?n?N)

?

???

1n1n

?

31n?

11n

法1：放縮一：

?

n(n?1)

??

(n?2)

Sn?

??

?

??1n

1n

?(1336

?

?

?

?

52)?（15

??

1653

?

?

???

1n?1

?

1n)

＝1?

1336

121400?

??1??1

121400

?1?

23893600(1

?1?

24003600

.放縮二：

1n

1n?1

?

(n?1)(n?1)

?

2n?1

?

n?1),(n?2)

Sn??54

?

?

??

1n

?（11

?

2)?

111111111(?????????)22435n?2nn?1n?1

?

1111151115

(???)??(?)?.223nn?142233

放縮三：

1n

?

1n?

?(n?

112)(n?

12)

?（1n?

?

1n?

12)?2（12n?1

?

12n?1),(n?1)

Sn?

?

?

??

1n

?1?2（13

?

?

?

???

12n?1

?

12n?1)?1?2（13

?

12n?1)?

法2：數(shù)歸——加強(qiáng)命題：常用的放縮公式：

1n(n?1)

2n?

n?1?

1n

???

1n

?

?

1n

?

1n(n?1)1n

；n?

n?1?2n?n?

n?1；

???n

n?

2n?1；

ab

?

a?mb?m

(b?a?0,m?0)

1k

?

k(k?1)(k?1)?

1n?11k(k?1)

?

?1?11*

?(k?2,k?N)??

2?k(k?1)k(k?1)?

1n?k?

n?kn1k!?

?

1n?2

?...?

?

kn?11

(k?3)

(k?2)

；2?12

n?1n

k!k(k?1)(k?2)

n

an?

例3：已知：

?1

(n?N

?)，求證：?ai?

i?1

n2

?

法1：均值不等式：即證

?

?

715n2

?...?

2?12

n?1

n

?1

?

?

n2

也即：

?

?

715

?...?

2?12

n

n?1

n

?1

?

而

:

?

?

715

?...?

2?12

n?1

?1

?n

???

法2：放縮后裂項求和

an?

2?1212

n?1n

?1?（?

2?12(2?1

?

n

n)1

?

?

?

n?1

=

?1

?

?

2?1(2

n?1

n

?1)(2?1)

n

=

?

2?1

n

n?1

?1)

法3：數(shù)歸，但是直接去證是不行的，要轉(zhuǎn)化為一個加強(qiáng)命題

4．定義數(shù)列如下：a1?2,an?1?an?an?1,n?N

?

證明：（1）對于n?N恒有an?1?an成立。

2?

?

（2）當(dāng)n?2且n?N，有an?1?anan?1?a2a1?1成立。

（3）1?

2006

?

1a1

?

1a2

???

1a2006

?1。

解：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。

（2）由an?1?an?an?1得：an?1?1?an(an?1)?an?1?an?1(an?1?1)……

a2?1?a1(a1?1)以上各式兩邊分別相乘得：

an?1?1?anan?1?a2a1(a1?1)，又a1?2?an?1?anan?1?a2a1?1（3）要證不等式1?

2006

?

1a1

?

1a2

???

1a2006

?1，可先設(shè)法求和：

1a1

?

1a2

???

a2006，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。

?an?1?1?an(an?1)

?

1an?1?11an1a1

?

1an?1

?

1an

??

1an?11a2

?

1an?1?11a2006

?????

?（1a1?11

?

1a2?11)?（1a2?1

?

1a3?1)???（1a2006?1

?

1a2007?1)

?

a1?1

?

a2007?11

?1?

a1a2?a2006

?1

又a1a2?a2006?a1

2006

?2

2006

?1?

1a1a2?a2006

?1?

2006

?原不等式得證。

5．已知數(shù)列?an?中an?

i

i

n

nn

2?1，求證：?ai(ai?1)?3.i?1

方法一：ai(ai?1)?

n

i

2?12?1

?

i

i

i

(2?1)(2?2)

?

i

i?1

i?1

(2?1)(2?1)

?

i?1

?1

?

12?1

i

.?

?

i?1

ai(ai?1)?

(2?1)

?（12?1

?

12?1)?（12?1

?

12?1)???（12

n?1

?1

?

12?1

n)?3?

12?1

n

?3.方法二：

ai(ai?1)?

i

i

(2?1)

?

i

12?2?

i

?

12?2

i

?

122?

i

?

2?2

i

i?1

.(i?2)

n

?

?

i?1

ai(ai?1)?2?

?

???

n?1

?2?(1?

12)?3?n?1

n?1

?3.n

法3：數(shù)歸證?

?

i?1

ai(ai?1)?3?

12?1

n

?3.（即轉(zhuǎn)化為證明加強(qiáng)命題）

6、已知函數(shù)f?x??ln?1?x??x，數(shù)列?an?滿足：

a1?

2,ln2?lnan?1?an?1an?f

?an?1an?．

（1）求證：ln?1?x??x；（2）求數(shù)列?an?的通項公式；

（3）求證不等式：a1?a2???an?n?ln2?ln?n?2?． 解：（1）f?x??ln?1?x??x，f'?x??

11?x

?1??

x1?x，當(dāng)?1?x?0時，f'?x??0，即y?f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x?0時，f'?x??0，即y?f(x)是單

調(diào)遞減函數(shù)．

所以f'?0??0，即x?0是極大值點，也是最大值點

f?x??ln?1?x??x?f?0??0?ln?1?x??x，當(dāng)x?0時取到等號．（2）法1：數(shù)學(xué)歸納法（先猜想，再證明）

法2：由ln2?lnan?1?an?1an?f?an?1an?得2an?1?an?1an?1，an?1?

12?an，an?1?1?

12?an

?1?

an?12?an，1an?1?

1?

1an?1

?1，即數(shù)列?

?

?1

??2，公差為?1，是等差數(shù)列，首項為?

a?11?an?1?

nn?1

∴

an?1

??n?1?an?

．

（3）法1：

a1?a2???an?1?

11?1

?1?

12?1

???1?

11??1

?n???????

23n?1n?1??

又∵x?0時，有x?ln?1?x?，令x?

1n?1?1?2

?0，則

1?n?2?

?ln?1??ln ?n?1n?1?n?1?1

∴n??

?

3???

345n?1n?2???

?n?ln?ln?ln???ln?ln??? n?1?234nn?1??n?

2?n?2

?n?l?n??

n?1?2

?n??ln?

?

?343

???ln?2

n? ?nl?

∴a1?a2???an?n?ln2?ln?n?2? ． 法2：積分法要證原命題，即證：?

?1?2

?

??ln(n?2)?ln2 n?1?1

????

11??1???????3n?1??2

?1?2

n?2

?

1x

dx?lnx

n?22

法3：數(shù)歸證明：?7.1、（1）求證：2

n

?

???

?

??ln(n?2)?ln2 n?1?

?

?2n?1(n?2,n?N)

nn?1n01

法1：2?Cn?Cn?...?Cn?Cn；

法2：數(shù)學(xué)歸納法 法3：函數(shù)法（求導(dǎo)）

8.若n?N，證明：()+()+…+（n

n

*

n

n

n?1n)+（n

nn)?

n

ee?1

提示:借助e?1?x證明

x

第四篇：放縮法(不等式、數(shù)列綜合應(yīng)用)

“放縮法”證明不等式的基本策略

近年來在高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，而不等式的證明是高中數(shù)學(xué)中的一個難點，它可以考察學(xué)生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。特別值得一提的是，高考中可以用“放縮法”證明不等式的頻率很高，它是思考不等關(guān)系的樸素思想和基本出發(fā)點, 有極大的遷移性, 對它的運用往往能體現(xiàn)出創(chuàng)造性。“放縮法”它可以和很多知識內(nèi)容結(jié)合，對應(yīng)變能力有較高的要求。因為放縮必須有目標(biāo)，而且要恰到好處，目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論考察，放縮時要注意適度，否則就不能同向傳遞。下面結(jié)合一些高考試題，例談“放縮”的基本策略。

1、添加或舍棄一些正項（或負(fù)項）

例

1、已知an?2n?1(n?N*).求證：an1a1a2????...?n(n?N*).23a2a3an?

1ak2k?11111111證明： ??k?1??????.,k?1,2,...,n, ak?12?122(2k?1?1)23.2k?2k?2232k

?aa1a2n1111n11n1??...?n??(?2?...?n)??(1?n)??, a2a3an?1232222322

3an1aan???1?2?...?n?(n?N*).23a2a3an?1

2若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負(fù)的值，多項式的值變小。由于證明不等式的需要，有時需要舍去或添加一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達(dá)到.2、先放縮再求和（或先求和再放縮）

例

2、函數(shù)f（x）=4x

1?4xk，求證：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+

12n?11?(n?N*).2證明：由f(n)= 4n1?4n=1-11?1? 1?4n2?2n

2?2

11得f（1）+f（2）+…+f（n）>1??1?12?22???1?12?2n 11111?n?(1?????n?1)?n?n?1?(n?N*).424222

此題不等式左邊不易求和,此時根據(jù)不等式右邊特征, 先將分子變?yōu)槌?shù)，再對分母進(jìn)行放縮，從而對左邊可以進(jìn)行求和.若分子, 分母如果同時存在變量時, 要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ浚质降姆趴s對于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。

3、先放縮，后裂項（或先裂項再放縮）

k

例

3、已知an=n，求證：∑＜3．

k=1ak

n

證明：∑

k=

1n

n

2ak

∑

k=

1n

＜1＋∑

k=

2n

(k－1)k(k＋1)

=1?k?2n

＜１＋∑

k=2

(k－1)(k＋1)（k＋1 ＋k

－1)=1＋ ∑（k=2

n

－)

(k－1)

(k＋1)

=1＋1＋＜2＋＜3．

(n＋1)2

2本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項，最后又放縮，有的放矢，直達(dá)目標(biāo).4、放大或縮小“因式”；

n

1例

4、已知數(shù)列{an}滿足an?1?a,0?a1?,求證：?(ak?ak?1)ak?2?.232k?

1n

證明 ?0?a1?

n

11112,an?1?an,?a2?a12?,a3??.?當(dāng)k?1時,0?ak?2?a3?, 241616

??(ak?ak?1)ak?

2k?1

1n11??(ak?ak?1)?(a1?an?1)?.16k?11632

本題通過對因式ak?2放大，而得到一個容易求和的式子

5、逐項放大或縮小

?(a

k?

1n

k

?ak?1)，最終得出證明.n(n?1)(n?1)

2?an?例

5、設(shè)an??2?2?3?3?4???n(n?1)求證： 22122n?1

2證明：∵ n(n?1)?n?nn(n?1)?(n?)?

2n?

1∴ n?n(n?1)?

1?3???(2n?1)n(n?1)(n?1)2

?an?∴ 1?2?3???n?an?，∴

222

2n?1

本題利用n??，對an中每項都進(jìn)行了放縮，從而得到可以求和的數(shù)列，達(dá)到化簡的目的。

6、固定一部分項，放縮另外的項；

例

6、求證：

11117?????? 122232n2

4證明：?

1???

n2n(n?1)n?1n

?

1111111115117??????1??(?????)??(?)?.122232n22223n?1n42n4

此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據(jù)具體題型分

別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。

7、利用基本不等式放縮

例

7、已知an?5n?

41對任何正整數(shù)m，n都成立.?1，只要證

5amn?1?aman?.因為 amn?5mn?4，aman?(5m?4)(5n?4)?25mn?20(m?n)?16，故只要證

5(5mn?4)?1?25mn?20(m?n)?16? 即只要證

20m?20n?37?

因為am?an?5m?5n?8?5m?5n?8?(15m?15n?29)?20m?20n?37，所以命題得證.本題通過化簡整理之后，再利用基本不等式由am?an放大即可.8、先適當(dāng)組合, 排序, 再逐項比較或放縮 例

8、.已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.(1)證明：nAim＜mAin；(2)證明：(1+m)＞(1+n)

i

i

n

m

證明：(1)對于1＜i≤m，且Aim =m·…·(m－i+1)，Aimmm?1Aimnn?1m?i?1n?i?

1?????,同理?????，mmmnnnmini

由于m＜n，對于整數(shù)k=1，2，…，i－1，有

n?km?k，?

nm

AinAim

所以i?i,即miAin?niAim

nm

(2)由二項式定理有：

22nn

(1+m)n=1+C1nm+Cnm+…+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+…+Cmn，由(1)知

mAin

i

＞nAim

i

(1＜i≤m＜n)，而

Cim

AimiAin,Cn?= i!i!

∴miCin＞niCim(1＜m＜n)

00222211

∴m0C0n=nCn=1，mCn=nCm=m·n，mCn＞nCm，…，mmm+1m?1mmCmCn＞0，…，mnCnn＞nCm，mn＞0，2222nn1mm∴1+C1nm+Cnm+…+Cnm＞1+Cmn+Cmn+…+Cmn，即(1+m)n＞(1+n)m成立.以上介紹了用“放縮法”證明不等式的幾種常用策略，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)問題的特征選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，有時還需要幾種方法融為一體。在證明過程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以化繁為簡、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮后得不出結(jié)論或得到相反的現(xiàn)象。因此，使用放縮法時，如何確定放縮目標(biāo)尤為重要。要想正確確定放縮目標(biāo)，就必須根據(jù)欲證結(jié)論，抓住題目的特點。掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據(jù)不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。希望大家能夠進(jìn)一步的了解放縮法的作用，掌握基本的放縮方法和放縮調(diào)整手段.

第五篇：裂項放縮證明數(shù)列不等式

策略

一、裂項放縮證明數(shù)列不等式

若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項和，可采用數(shù)列中裂項求和等方法來解題。例1-

1、（全國I理-22壓軸題）設(shè)數(shù)列?an?的前n項的和Sn?項an；（Ⅱ）設(shè)Tn?

2n

43an?

?

2n?

1?

23，n?1,2,3,???（Ⅰ）求首項a1與通

n

Sn，n?1,2,3,???，證明：?Ti?

i?1

例1-

2、（湖北理-17）已知二次函數(shù)y?f(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)?6x?2，數(shù)列{an}的前n項

?

和為Sn，點(n,Sn)(n?N)均在函數(shù)y?f(x)的圖像上。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)bn?

3anan?

1，Tn是

數(shù)列{bn}的前n項和，求使得Tn?

m20

對所有n?N?都成立的最小正整數(shù)m；

例1-

3、（重慶理-22壓軸題）設(shè)數(shù)列{a}滿足a1?2,an?1?an?

n

1an

(n?1,2,?).（Ⅰ）證明a?

n

2n?1對一切正整數(shù)n

成立；（Ⅱ）令bn?

ann

(n?1,2,?)，判定b與b

n

n?

1的大小，并說明理由

例1-

4、已知n?N*，求1?

例1-

5、設(shè)an?1?

2a

?

3???

1n

＜2n

?

a

???

1n

a,a?2.求證：an?2.策略

二、均值不等式放縮證明不等式 例2-

1、設(shè)Sn?

例3-

2、已知函數(shù)f(x)?

例3-

3、已知a,b為正數(shù)，且a?b

1?

1?2?2?3???n(n?1).求證

n(n?1)

2?Sn?

(n?1)

.4x

x

1?

4求證：f(1)?f(2)???f(n)?n?

n?1

?

.，試證：對每一個n?N?，(a?b)n

?a?b?2

nn2n

?2

n?1

.策略

三、調(diào)整分式值放縮證明數(shù)列不等式（尾式或局部放縮）

一個分式若分母不變分子變大則分式值變大，若分子不變分母變大則分式值變??；一個真分式，分子、分母同時加上同一個正數(shù)則分式值變大（“加糖不等式”）---姐妹不等式:

ba?b?ma?m

(b?a?0,m?0)和

ba?b?ma?m

(a?b?0,m?0)

例3-

1、（福建理-22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,an?1=2an+1(n∈N?)（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足4b1明:

例3-

2、證明：(1?1)(1?3)(1?5)?(1?2n?1)?

即證：1?3?5???(2n?1)?

例3-

3、證明:(1?1)(1?)(1?)?(1?

713n?

2)?

－1 b2－2

4?

4bn－

1=(a

n

+1)bn(n∈N*),證明:{bn}是等差數(shù)列;（Ⅲ）證

n2

?

3＜

a1a2

?

a2a3

???

anan?1

＜

n2

(n∈N).*

2n?1和(1?

?

12)(1?1

14)(1?

16)?(1?

12n)?

12n?1

2?4?6??2n

2n?1

和

1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n

2n?1

3n?1.例3-

4、已知a、b、c為三角形的三邊，求證：1＜

例3-

5、求證:

13?

1?

13?2?1

???

13?

2n?1

abc

＋＋＜2。b?ca?ca?b

?1

?

策略

四、單調(diào)性放縮證明不等式

例4-

1、（湖南理-19）已知函數(shù)f(x)?x?sinx,數(shù)列{an}滿足:0?a1?1,an?1?f(an),n?1,2,3,?.證明:（I）．0?an?1?an?1;（II）．a(chǎn)n?1?

例4-2（遼寧理-21）已知函數(shù)f(x)?ax?

0?a1?

2,an?1?f(an),n?N

?

an.32

x的最大值不大于

.16，又當(dāng)x?[

11,]42

時

f(x)?

.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）設(shè)，證明an?

1n?

1x1例4-

3、（北京理-19）數(shù)列?xn?由下列條件確定：

xn?1??a?0，1?a?

?xn??,n?N．（I）證明：對n?2總有xn???2?xn?

a；

(II)證明：對n?2總有xn?xn?

1例4-

4、設(shè)Sn??2?

例4-

5、求證：(1?1)(1?)(1?)?(1?

12n?

1)?

2n?1.2?3???n(n?1).求證

n(n?1)

2?Sn?

(n?1)2

.策略五：二項式放縮證明不等式

nn01nn01

2?(1?1)?Cn?Cn???Cn,2?Cn?Cn?n?1,2?C?C?C?例5-

1、已知a1?1,an?1?(1?

例5-

2、證明2?(1?

n

例5-

3、設(shè)n?1,n?N，求證(3)

n

0n1n2n

n

?n?2

212

n

.證明a

n

?n(n?1)(n?2)

?e

1n?n)an?

n

1n)?3.n

?

8(n?1)(n?2)

策略六：遞推放縮證明數(shù)列不等式

例6-

1、（全國高考）設(shè)數(shù)列?a?滿足an?1?an?nan?1?n?N??，當(dāng)a1?3時證明對所有n?1, 有(i)an?n?2；

n

(ii)

11?a

1?

11?a

2???

11?an

?

例6-

2、(重慶理-22壓軸題)數(shù)列{an}滿足a1?1且an?1?(1?

1n?n)an?

2n

(n?1).（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：

an?2(n?2)；（Ⅱ）已知不等式ln(1?x)?x對x?0成立,證明:an?e(n?1)，其中無理數(shù)e?2.71828?

例6-

3、（湖北理-22壓軸題）已知不等式

12?13???

1n?12[log

n],n?N,n?2.[log

?

2n]表示不超過log2b,n?3.n 的最大

整數(shù)。設(shè)正項數(shù)列{an}滿足：a1?b(b?0),an?

nan?1n?an?

1,n?2,n?N?，證明：an?

2?b[log

n]

例6-

4、（浙江理-20壓軸題）已知函數(shù)f（x）=x3+x2，數(shù)列{xn}（xn＞0）的第一項x1=1，以后各項按如下方式取定：

*

曲線y=f（x）在（xn+！，f（xn+?。┨幍那芯€與經(jīng)過（0，0）和（xn，f（xn））兩點直線平行（如圖）。求證：當(dāng)n∈N時

2（Ⅰ）xn?xn?3xn?1?2xn?1（Ⅱ）()

n?

11n?2

?xn?()

策略七：分項討論放縮證明數(shù)列不等式

例

7、（2004年全國3理-22壓軸題）（14分）已知數(shù)列?an?的前n項和Sn滿足Sn?2an?(?1)n,n?1.（1）寫出數(shù)列?an?的前三項a1,a2,a3；（2）求數(shù)列?an?的通項公式；（3）證明：對任意的整數(shù)m?4，有

策略八： 數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式

例8-

1、（江西理-21倒二題）（12分）已知數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)（1）證明an?an?1?2,n?N;（2）求數(shù)列{an}的通項公式an.例8-

2、（江西理-22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝

1a4

?

1a5

???

1am

?

.,且滿足:a0?1,an?1?

an,(4?an),n?N.，且an＝

n?2，n?N）（1）求數(shù)列｛an｝

2an－1＋n－1

3nan－1

?的通項公式；（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1?a2???an?2?n！