第一篇：《 數(shù)列和式不等式的放縮策略》讀書筆記

數(shù)學(xué)通訊（2008年第18期）

數(shù)列和式不等式的放縮策略

季強(qiáng)

（江蘇省常州高級中學(xué)數(shù)學(xué)組，213003）

數(shù)列一直以來也是高考的重點，試卷的壓軸題的最后一問出現(xiàn)，在思維能力和方法上要求很高，往往讓人束手無策。其實，這類不等式的證明，是有章可循的？遵循什么章呢？

為此，我就收集了一些別人的方法，并把它們摘抄記錄了下來。

這類不等式的證明就是要把和求出來，求出后再放縮。更多的情況下是不能直接求和的，這時就需要先把通項放大或縮小，使得每一項按照相同的規(guī)律放大或縮小后，把和求出來，求和后再放縮。下面簡述幾個用來證明數(shù)列和式不等式的一般性策略：

策略1：放縮等比求和

當(dāng)可以直接利用等比數(shù)列求和時，求和后放縮。否則，先將通項放縮，從某一項開始放縮后，和式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的和，求和后再放縮。當(dāng)然，以通項公式為著手點，觀察分析，放大或縮小，從而每一項按照相同的規(guī)律放大或縮小，求和后再放縮，證得要證的不等式。

策略2：放縮裂相求和

有的數(shù)列和式不等式，不能直接求和時，可以先把數(shù)列的通項公式分裂成兩項之差，求和后在放縮。當(dāng)通項公式不能分裂成兩項之差時，先把通項公式放縮后裂相（即分裂成兩項之差），每一項都按照相同的規(guī)律放大或縮小后裂相，求和后在放縮。

策略3：單調(diào)性求和

有點數(shù)列和式不等式的證明，可以利用單調(diào)性放縮，當(dāng)然，也可能是在和式的某一個環(huán)節(jié)，利用一個相關(guān)的數(shù)列或函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行放縮。

策略4：奇偶相鄰相捆綁求和放縮

當(dāng)要證的和式是正負(fù)相間時，僅用通項an是不好放縮的，因為項數(shù)為奇數(shù)或偶數(shù)時，an的符號是變化的，此時可以把奇偶相鄰相捆綁求和進(jìn)行放縮。

策略5：延后放縮求和

和式放得太大或縮得過小，原因是每一項都放得太大或縮得過小，可以用延后放縮法：即不從第一個可以放縮的項開始放縮，而是保留前面若干項的準(zhǔn)確值，減小放大的量或減小縮小的量。在不斷的調(diào)節(jié)嘗試后，從某一項開始放縮，就能證得要證的結(jié)果。

總之，數(shù)列和式不等式的證明，關(guān)鍵是要把和求出來。

第二篇：放縮法證明數(shù)列不等式

放縮法證明數(shù)列不等式

基礎(chǔ)知識回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見的數(shù)列求和方法和通項公式特點：

① 等差數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）

② 等比數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數(shù)列的每一項裂項之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項

（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：

① 在數(shù)列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項公式入手

② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號同方向）

③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數(shù)列的通項公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。

④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項不動，其余項放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。

（3）放縮構(gòu)造裂項相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：

① 裂項相消：在放縮時，所構(gòu)造的通項公式要具備“依項同構(gòu)”的特點，即作差的兩項可視為同一數(shù)列的相鄰兩項（或等距離間隔項）

② 等比數(shù)列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項公式，再與原通項公式進(jìn)行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數(shù)列的首項為錯誤！未找到引用源。，公比為錯誤！未找到引用源。，即通項公式為錯誤！未找到引用源。

注：此方法會存在風(fēng)險，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項公式的結(jié)構(gòu)影響

（4）與數(shù)列中的項相關(guān)的不等式問題：

① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進(jìn)行變形

② 在有些關(guān)于項的不等式證明中，可向求和問題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源?；蝈e誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:

類型一：與前n項和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。）．

（1）求錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）設(shè)錯誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍．

例2.記錯誤！未找到引用源。.對數(shù)列錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。

（1）求數(shù)列的通項公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.類型

二、與通項運(yùn)算相關(guān)的不等式 例3.設(shè)函數(shù)錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）．

例4.已知錯誤！未找到引用源。是數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。，有錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。為實數(shù)，且錯誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項；

②是否存在這樣的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，設(shè)錯誤！未找到引用源。，① 判定錯誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；

②設(shè)錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。的取值范圍.方法、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形：

（1）錯誤！未找到引用源。，（2）錯誤！未找到引用源。

注：對于錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源?？赏茝V為：錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。實戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。記數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。

（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項錯誤！未找到引用源。；

（2）求錯誤！未找到引用源。；

（3）問是否存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立？說明理由.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；

⑵ 設(shè)錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若當(dāng)錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項的和為錯誤！未找到引用源。，試求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列的前項和為，滿足，．?dāng)?shù)列

滿足（1）求數(shù)列（2）若和，且． 的通項公式；，數(shù)列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使，請說明理由．）成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，4．已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。，其中，錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。．

（1）求數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）是否存在自然數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得對于任意錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。，求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。．

5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且滿足錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。為常數(shù)．

（1）是否存在數(shù)列錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數(shù)列；若不存在，說明理由．（2）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。．

（3）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，求證：當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開學(xué)考試】已知兩個無窮數(shù)列

分別滿足，其中（1）若數(shù)列（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項和分別為的通項公式；，使得，稱數(shù)列

.都為遞增數(shù)列，求數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點數(shù)列”，求 為“墜點數(shù)列”，數(shù)列

為“墜點數(shù)列”.為“墜點數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，并說明理由；

（2）求證： 錯誤！未找到引用源。；

（2）若錯誤！未找到引用源。，求錯誤！未找到引用源。的最小值.8．記等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；

（2）若 錯誤！未找到引用源。，對任意錯誤！未找到引用源。，均有錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯誤！未找到引用源。，求證： 錯誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項公式；

（2）若存在實數(shù)λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

10．已知各項不為零的數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。．

（1）若錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項公式；

②在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數(shù)，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的最大值．

放縮法證明數(shù)列不等式

基礎(chǔ)知識回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見的數(shù)列求和方法和通項公式特點：

① 等差數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）

② 等比數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數(shù)列的每一項裂項之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項

（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：

① 在數(shù)列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項公式入手

② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號同方向）

③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數(shù)列的通項公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。

④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項不動，其余項放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。

（3）放縮構(gòu)造裂項相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：

① 裂項相消：在放縮時，所構(gòu)造的通項公式要具備“依項同構(gòu)”的特點，即作差的兩項可視為同一數(shù)列的相鄰兩項（或等距離間隔項）

② 等比數(shù)列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項公式，再與原通項公式進(jìn)行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數(shù)列的首項為錯誤！未找到引用源。，公比為錯誤！未找到引用源。，即通項公式為錯誤！未找到引用源。注：此方法會存在風(fēng)險，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項公式的結(jié)構(gòu)影響

（4）與數(shù)列中的項相關(guān)的不等式問題：

① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進(jìn)行變形

② 在有些關(guān)于項的不等式證明中，可向求和問題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源?；蝈e誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:

類型一：與前n項和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。）．

（1）求錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）設(shè)錯誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。

（2）由（1）知，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，則有錯誤！未找到引用源。，而錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。，解得錯誤！未找到引用源。，再將錯誤！未找到引用源。代入錯誤！未找到引用源。，得錯誤！未找到引用源。，例2.記錯誤！未找到引用源。.對數(shù)列錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。

（1）求數(shù)列的通項公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）詳見解析（3）詳見解析 【解析】

試題分析：（1）根據(jù)及時定義，列出等量關(guān)系，解出首項，寫出通項公式；（2）根據(jù)子集關(guān)系，進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；（3）利用等比數(shù)列和與項的大小關(guān)系，確定所定義和的大小關(guān)系：設(shè)錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。因此由錯誤！未找到引用源。，因此錯誤！未找到引用源。中最大項必在A中，由（2）得錯誤！未找到引用源。.試題解析：（1）由已知得錯誤！未找到引用源。.于是當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.又錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。.所以數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項公式為錯誤！未找到引用源。.（2）因為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。.因此，錯誤！未找到引用源。.綜合①②③得，錯誤！未找到引用源。.類型

二、與通項運(yùn)算相關(guān)的不等式 例3.設(shè)函數(shù)錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）． 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．

故錯誤！未找到引用源。，則有：錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。例4.已知錯誤！未找到引用源。是數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。，有錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。為實數(shù)，且錯誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項；

②是否存在這樣的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，設(shè)錯誤！未找到引用源。，① 判定錯誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；

②設(shè)錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。的取值范圍.【答案】（1）①錯誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當(dāng)錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。時，數(shù)列錯誤！未找到引用源。是以錯誤！未找到引用源。為首項，錯誤！未找到引用源。為公比的等比數(shù)列，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，不是等比數(shù)列；②錯誤！未找到引用源。．

方法、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形：

（1）錯誤！未找到引用源。，（2）錯誤！未找到引用源。

注：對于錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。可推廣為：錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。實戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。記數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。

（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項錯誤！未找到引用源。；

（2）求錯誤！未找到引用源。；

（3）問是否存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立？說明理由.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）當(dāng)錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見解析

（3）假設(shè)存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立，因為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，所以只要錯誤！未找到引用源。

即只要滿足 ①：錯誤！未找到引用源。，和②：錯誤！未找到引用源。，對于①只要錯誤！未找到引用源。就可以； 對于②，當(dāng)錯誤！未找到引用源。為奇數(shù)時，滿足錯誤！未找到引用源。，不成立，當(dāng)錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，滿足錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。令錯誤！未找到引用源。，因為錯誤！未找到引用源。

即錯誤！未找到引用源。，且當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，所以當(dāng)錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，②式成立，即當(dāng)錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。成立.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；

⑵ 設(shè)錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若當(dāng)錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項的和為錯誤！未找到引用源。，試求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。

要使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，只要使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，即使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。為正偶數(shù)恒成立，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，故實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍是錯誤！未找到引用源。； ⑶由⑴得錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，設(shè)錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，因此數(shù)列錯誤！未找到引用源。的最大值為錯誤！未找到引用源。．

【點睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的判定與證明，其中證明（1）的關(guān)鍵是分析得到錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。的關(guān)系式．

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列滿足，且

． 的前項和為，滿足，．?dāng)?shù)列（1）求數(shù)列（2）若和的通項公式；，數(shù)列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使，請說明理由．

【答案】（1）（2））成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，（3）不存在

（2）由（1）得于是所以，兩式相減得所以由（1）得因為對 即所以恒成立，都有，，恒成立，記所以因為從而數(shù)列于是，為遞增數(shù)列，所以當(dāng)．

（），使

成等差數(shù)列，則，時取最小值，（3）假設(shè)存在正整數(shù)即，若為偶數(shù)，則若為奇數(shù)，設(shè)于是當(dāng)時，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，上式不成立.，則，與

矛盾；，即，此時

4．已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。，其中，錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。．

（1）求數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）是否存在自然數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得對于任意錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。，求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。；（2）存在，錯誤！未找到引用源。；（3）錯誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：

（1）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{an}的通項公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{bn}的通項公式．（2）bn=2n．假設(shè)存在自然數(shù)m，滿足條件，先求出錯誤！未找到引用源。，將問題轉(zhuǎn)化成錯誤！未找到引用源。可求得錯誤！未找到引用源。的取值范圍；（3）分n是奇數(shù)、n是偶數(shù)兩種情況求出Tn，然后寫成分段函數(shù)的形式。

試題解析：（1）由錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。． 又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，上式成立，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故錯誤！未找到引用源。.（3）當(dāng)錯誤！未找到引用源。為奇數(shù)時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。； 當(dāng)錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.因此錯誤！未找到引用源。．

點睛：數(shù)列求和時，要根據(jù)數(shù)列項的特點選擇不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組求和等。

5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且滿足錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。為常數(shù)．

（1）是否存在數(shù)列錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數(shù)列；若不存在，說明理由．

（2）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。．

（3）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，求證：當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。． 【答案】（1）不存在，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析

當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，兩式相減得錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，綜上，錯誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開學(xué)考試】已知兩個無窮數(shù)列的前項和分別為（1）若數(shù)列.分別滿足，其中，設(shè)數(shù)列都為遞增數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點數(shù)列”，求 為“墜點數(shù)列”，數(shù)列，使得，稱數(shù)列為“墜點數(shù)列”.為“墜點數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.【答案】（1）

.（2）①，② 6.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，并說明理由；

（2）求證： 錯誤！未找到引用源。；

（2）若錯誤！未找到引用源。，求錯誤！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）見解析（3）錯誤！未找到引用源。.（2）因為集合錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，所以對錯誤！未找到引用源。而言，存在錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。，又因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，同理可得錯誤！未找到引用源。，將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。.（3）由（2）可知錯誤！未找到引用源。，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，構(gòu)成數(shù)集錯誤！未找到引用源。，經(jīng)檢驗錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。.點睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。求解第一問時，直接運(yùn)用題設(shè)條件中所提供的條件信息進(jìn)行驗證即可；解答第二問時，先運(yùn)用題設(shè)條件中定義的信息可得錯誤！未找到引用源。，同理可得錯誤！未找到引用源。，再將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。即可獲證錯誤！未找到引用源。；證明第三問時，充分借助（2）的結(jié)論可知錯誤！未找到引用源。，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源?？傻缅e誤！未找到引用源。，因此構(gòu)成數(shù)集錯誤！未找到引用源。，經(jīng)檢驗錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，進(jìn)而求出錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。.8．記等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；

（2）若 錯誤！未找到引用源。，對任意錯誤！未找到引用源。，均有錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯誤！未找到引用源。，求證： 錯誤！未找到引用源。.【答案】（1）見解析（2）錯誤！未找到引用源。（3）見解析

解：（1）設(shè)等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。，從而錯誤！未找到引用源。，所以當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即數(shù)列錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列.（2）因為的任意的錯誤！未找到引用源。都是公差為錯誤！未找到引用源。，的等差數(shù)列，所以錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。，的等差數(shù)列，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，顯然，錯誤！未找到引用源。滿足條件，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。不是整數(shù)，綜上所述，正整數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值集合為錯誤！未找到引用源。.（3）設(shè)等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，即數(shù)列錯誤！未找到引用源。是公比大于錯誤！未找到引用源。，首項大于錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，記公比為錯誤！未找到引用源。.以下證明： 錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。為正整數(shù)，且錯誤！未找到引用源。，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。為減函數(shù)，錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，綜上，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項公式；

（2）若存在實數(shù)λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 【答案】（1）cn＝1．（2）見解析.10．已知各項不為零的數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。．

（1）若錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項公式； ②在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數(shù)，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的最大值．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。

（3）錯誤！未找到引用源。，在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數(shù)，組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，故有錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，

第三篇：放縮法證明數(shù)列不等式

放縮法證明不等式

1、設(shè)數(shù)列?an?的前n項的和Sn?

43an?

13?

2n

n?

1?

3(n?1,2,3,?)

n

（Ⅰ）求首項a1與通項an；（Ⅱ）設(shè)Tn?

an?4?2

n

n

2Sn

(n?1,2,3,?)，證明：?Ti?

i?1

解：易求

Sn?Tn?

（其中n為正整數(shù)）

n

n

432

n

an??

n

13?

?2

n?1

??

?

4n

?23

n

??

?2

n?1

?

?

?2

n?1

?1??2?1?

n

Sn

?2

n?1

?1??2?1?

?

1?1?

??n?n?1

?

2?2?12?1?

所以：

?

i?1

Ti?

313?1?

??1?n?1??2?2?12?1?22、求證：（1）

1?1?法1：數(shù)歸（兩邊都可以）

法2：放縮裂項 法3：定積分放縮（2）

22??

?n?N)

?

???

1n1n

?

31n?

11n

法1：放縮一：

?

n(n?1)

??

(n?2)

Sn?

??

?

??1n

1n

?(1336

?

?

?

?

52)?（15

??

1653

?

?

???

1n?1

?

1n)

＝1?

1336

121400?

??1??1

121400

?1?

23893600(1

?1?

24003600

.放縮二：

1n

1n?1

?

(n?1)(n?1)

?

2n?1

?

n?1),(n?2)

Sn??54

?

?

??

1n

?（11

?

2)?

111111111(?????????)22435n?2nn?1n?1

?

1111151115

(???)??(?)?.223nn?142233

放縮三：

1n

?

1n?

?(n?

112)(n?

12)

?（1n?

?

1n?

12)?2（12n?1

?

12n?1),(n?1)

Sn?

?

?

??

1n

?1?2（13

?

?

?

???

12n?1

?

12n?1)?1?2（13

?

12n?1)?

法2：數(shù)歸——加強(qiáng)命題：常用的放縮公式：

1n(n?1)

2n?

n?1?

1n

???

1n

?

?

1n

?

1n(n?1)1n

；n?

n?1?2n?n?

n?1；

???n

n?

2n?1；

ab

?

a?mb?m

(b?a?0,m?0)

1k

?

k(k?1)(k?1)?

1n?11k(k?1)

?

?1?11*

?(k?2,k?N)??

2?k(k?1)k(k?1)?

1n?k?

n?kn1k!?

?

1n?2

?...?

?

kn?11

(k?3)

(k?2)

；2?12

n?1n

k!k(k?1)(k?2)

n

an?

例3：已知：

?1

(n?N

?)，求證：?ai?

i?1

n2

?

法1：均值不等式：即證

?

?

715n2

?...?

2?12

n?1

n

?1

?

?

n2

也即：

?

?

715

?...?

2?12

n

n?1

n

?1

?

而

:

?

?

715

?...?

2?12

n?1

?1

?n

???

法2：放縮后裂項求和

an?

2?1212

n?1n

?1?（?

2?12(2?1

?

n

n)1

?

?

?

n?1

=

?1

?

?

2?1(2

n?1

n

?1)(2?1)

n

=

?

2?1

n

n?1

?1)

法3：數(shù)歸，但是直接去證是不行的，要轉(zhuǎn)化為一個加強(qiáng)命題

4．定義數(shù)列如下：a1?2,an?1?an?an?1,n?N

?

證明：（1）對于n?N恒有an?1?an成立。

2?

?

（2）當(dāng)n?2且n?N，有an?1?anan?1?a2a1?1成立。

（3）1?

2006

?

1a1

?

1a2

???

1a2006

?1。

解：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。

（2）由an?1?an?an?1得：an?1?1?an(an?1)?an?1?an?1(an?1?1)……

a2?1?a1(a1?1)以上各式兩邊分別相乘得：

an?1?1?anan?1?a2a1(a1?1)，又a1?2?an?1?anan?1?a2a1?1（3）要證不等式1?

2006

?

1a1

?

1a2

???

1a2006

?1，可先設(shè)法求和：

1a1

?

1a2

???

a2006，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。

?an?1?1?an(an?1)

?

1an?1?11an1a1

?

1an?1

?

1an

??

1an?11a2

?

1an?1?11a2006

?????

?（1a1?11

?

1a2?11)?（1a2?1

?

1a3?1)???（1a2006?1

?

1a2007?1)

?

a1?1

?

a2007?11

?1?

a1a2?a2006

?1

又a1a2?a2006?a1

2006

?2

2006

?1?

1a1a2?a2006

?1?

2006

?原不等式得證。

5．已知數(shù)列?an?中an?

i

i

n

nn

2?1，求證：?ai(ai?1)?3.i?1

方法一：ai(ai?1)?

n

i

2?12?1

?

i

i

i

(2?1)(2?2)

?

i

i?1

i?1

(2?1)(2?1)

?

i?1

?1

?

12?1

i

.?

?

i?1

ai(ai?1)?

(2?1)

?（12?1

?

12?1)?（12?1

?

12?1)???（12

n?1

?1

?

12?1

n)?3?

12?1

n

?3.方法二：

ai(ai?1)?

i

i

(2?1)

?

i

12?2?

i

?

12?2

i

?

122?

i

?

2?2

i

i?1

.(i?2)

n

?

?

i?1

ai(ai?1)?2?

?

???

n?1

?2?(1?

12)?3?n?1

n?1

?3.n

法3：數(shù)歸證?

?

i?1

ai(ai?1)?3?

12?1

n

?3.（即轉(zhuǎn)化為證明加強(qiáng)命題）

6、已知函數(shù)f?x??ln?1?x??x，數(shù)列?an?滿足：

a1?

2,ln2?lnan?1?an?1an?f

?an?1an?．

（1）求證：ln?1?x??x；（2）求數(shù)列?an?的通項公式；

（3）求證不等式：a1?a2???an?n?ln2?ln?n?2?． 解：（1）f?x??ln?1?x??x，f'?x??

11?x

?1??

x1?x，當(dāng)?1?x?0時，f'?x??0，即y?f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x?0時，f'?x??0，即y?f(x)是單

調(diào)遞減函數(shù)．

所以f'?0??0，即x?0是極大值點，也是最大值點

f?x??ln?1?x??x?f?0??0?ln?1?x??x，當(dāng)x?0時取到等號．（2）法1：數(shù)學(xué)歸納法（先猜想，再證明）

法2：由ln2?lnan?1?an?1an?f?an?1an?得2an?1?an?1an?1，an?1?

12?an，an?1?1?

12?an

?1?

an?12?an，1an?1?

1?

1an?1

?1，即數(shù)列?

?

?1

??2，公差為?1，是等差數(shù)列，首項為?

a?11?an?1?

nn?1

∴

an?1

??n?1?an?

．

（3）法1：

a1?a2???an?1?

11?1

?1?

12?1

???1?

11??1

?n???????

23n?1n?1??

又∵x?0時，有x?ln?1?x?，令x?

1n?1?1?2

?0，則

1?n?2?

?ln?1??ln ?n?1n?1?n?1?1

∴n??

?

3???

345n?1n?2???

?n?ln?ln?ln???ln?ln??? n?1?234nn?1??n?

2?n?2

?n?l?n??

n?1?2

?n??ln?

?

?343

???ln?2

n? ?nl?

∴a1?a2???an?n?ln2?ln?n?2? ． 法2：積分法要證原命題，即證：?

?1?2

?

??ln(n?2)?ln2 n?1?1

????

11??1???????3n?1??2

?1?2

n?2

?

1x

dx?lnx

n?22

法3：數(shù)歸證明：?7.1、（1）求證：2

n

?

???

?

??ln(n?2)?ln2 n?1?

?

?2n?1(n?2,n?N)

nn?1n01

法1：2?Cn?Cn?...?Cn?Cn；

法2：數(shù)學(xué)歸納法 法3：函數(shù)法（求導(dǎo)）

8.若n?N，證明：()+()+…+（n

n

*

n

n

n?1n)+（n

nn)?

n

ee?1

提示:借助e?1?x證明

x

第四篇：關(guān)于和式的數(shù)列不等式證明方法

關(guān)于“和式”的數(shù)列不等式證明方法

方法：先求和，再放縮

例

1、設(shè)數(shù)列?an?滿足a1?0且an

?n,2an?1?1?an?1?an，n

?N*，記Sn??bk,證明：Sn?1.k?1n

（Ⅰ）求?an?的通項公式；（Ⅱ）設(shè)bn?

【解析】：（Ⅰ）由

?1?1

1??1.得??為等差數(shù)列，1?a1?an?11?ann??

前項為

1111

?1,d?1,于是?1?(n?1)?1?n，?1?an?,an

?1?

1?a11?annn

（Ⅱ）bn?

n

?

?

?

?

Sn??bk?k

?1

?????1??1 練習(xí)：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，an為正整數(shù)，其前n項和為Sn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且

a1?3,b1?1，數(shù)列{ban}是公比為64的等比數(shù)列，b2S2?64.（1）求an,bn；（2）求證

1113?????.S1S2Sn

4解：（1）設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則d為正整數(shù)，an?3?(n?1)d，bn?qn?1

?ban?1q3?ndd6

??q?64?2?

q3?(n?1)d依題意有?ban①

?

S2b2?(6?d)q?64?

由(6?d)q?64知q為正有理數(shù)，故d為6的因子1,2,3,6之一，解①得d?2,q?8

故an?3?2(n?1)?2n?1,bn?8

n?1

（2）Sn?3?5???(2n?1)?n(n?2)∴

1111111

??????????

S1S2Sn1?32?43?5n(n?2)

11111111?(1?????????)232435nn?211113?(1???)? 22n?1n?24

方法：先放縮，再求和 例

1、（放縮之后裂項求和）（遼寧卷21）．

在數(shù)列|an|，|bn|中，a1=2，b1=4，且an，bn，an?1成等差數(shù)列，bn，an?1，bn?1成等比數(shù)列（n?N）

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測|an|，|bn|的通項公式，并證明你的結(jié)論；（Ⅱ）證明：

*

5??…??． a1?b1a2?b2an?bn1

2本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列，數(shù)學(xué)歸納法，不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行歸納、總結(jié)、推理、論證等能力．滿分12分． 解：（Ⅰ）由條件得2bn?an?an?1，an?1?bnbn?1 由此可得

a2?6，b2?9，a3?12，b3?16，a4?20，b4?25． ···················································· 2分

猜測an?n(n?1)，bn?(n?1)． ······················································································· 4分 用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=1時，由上可得結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n=k時，結(jié)論成立，即

ak?k(k?1)，bk?(k?1)2，那么當(dāng)n=k+1時，2ak

ak?1?2bk?ak?2(k?1)?k(k?1)?(k?1)(k?2)，bk?1??2?(k?2)2．

bk

所以當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立．

由①②，可知an?n(n?1)，bn(n?1)對一切正整數(shù)都成立． ·········································· 7分（Ⅱ）

5??．

a1?b161

2n≥2時，由（Ⅰ）知an?bn?(n?1)(2n?1)?2(n?1)n． ·············································· 9分 故

11111?111?

??…??????…?? a1?b1a2?b2an?bn62?2?33?4n(n?1)?

?

11?111111???????…??? 62?2334nn?1?11?11?115??????? 62?2n?1?6412

?

綜上，原不等式成立．··································································································· 12分（例

2、（放縮之后等比求和）

（06福建）已知數(shù)列?an?滿足a1?1,an?1?2an?1(n?N).*

（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項公式；（Ⅱ）證明：

an1a1a2n

????...?n?(n?N*)23a2a3an?1

22n

（III）.設(shè)bn?an(an?1)，數(shù)列?bn?的前n項和為sn，令Tn?，sn

（i）求證：T1?T2?T3??Tn?n；

（ii）求證：T1?T2?T3??Tn?；

本小題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法，考查綜合解題能力。滿分14分。

（I）解：?an?1?2an?1(n?N),*

?an?1?1?2(an?1),??an?1?是以a1?1?2為首項，2為公比的等比數(shù)列。?an?1?2n.即 an?2?1(n?N).*

（II）證法一：?41

4k?1k2?

1...4kn?1?(an?1)kn.?4(k1?k2?...?kn)?n?2nkn.?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn,①

2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1.② ②－①，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn, 即(n?1)bn?1?nbn?2?0,nbn?2?(n?1)bn?1?2?0.③－④，得 nbn?2?2nbn?1?nbn?0,即 bn?2?2bn?1?bn?0,?bn?2?bn?1?bn?1?bn(n?N*),??bn?是等差數(shù)列。

證法二：同證法一，得(n?1)bn?1?nbn?2?0 令n?1,得b1?2.設(shè)b2?2?d(d?R),下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 bn?2?(n?1)d.（1）當(dāng)n?1,2時，等式成立。

（2）假設(shè)當(dāng)n?k(k?2)時，bk?2?(k?1)d,那么

k2k2bk??[2?(k?1)d]??2?[(k?1)?1]d.k?1k?1k?1k?1這就是說，當(dāng)n?k?1時，等式也成立。bk?1?

根據(jù)（1）和（2），可知bn?2?(n?1)d對任何n?N都成立。

*

?bn?1?bn?d,??bn?是等差數(shù)列。

ak2k?12k?11

?k?1??,k?1,2,...,n,（III）證明：?

ak?12?12(2k?1)

2?

aa1a2n

??...?n?.a2a3an?12

ak2k?11111111??k?1??????.,k?1,2,...,n, ak?12?122(2k?1?1)23.2k?2k?2232k

?

aa1a2n1111n11n1

??...?n??(?2?...?n)??(1?n)??, a2a3an?1232222322

3an1aan

???1?2?...?n?(n?N*).23a2a3an?12

方法：先放縮，再化類等差等比

例1（有界性放縮，迭加）、各項為正數(shù)的等比數(shù)列?an?中，a1?a3?10，a3?a5?40,n?N*；

（1）求數(shù)列?an?的通項公式；（2）設(shè)b1?1，bn?1nn?

1?1?，求證：bn?1?bn?3?n?1 bnan

2an?2；分析；（1）（2）證明：因為an?1?(1?

所以an?0，n

n

所以an?1與an同號，又因為a1?1?0，)an，2n

n

an?0，即an?1?an．所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，所以an?a1?1，n2nn12n?1

即an?1?an?nan?n，累加得：an?a1??2???n?1．

22222

12n?1112n?1

令Sn??2???n?1，所以Sn?2?3???n，兩式相減得：

2222222

11111n?1n?1n?1Sn??2?3???n?1?n，所以Sn?2?n?1，所以an?3?n?1，22222222

n?1

故得an?1?an?3?n?1．

即an?1?an?

例2（利用有界性化為類等比）、（安徽卷21）．（本小題滿分13分）

設(shè)數(shù)列?an?滿足a0?0,an?1?can?1?c,c?N,其中c為實數(shù)

*

（Ⅰ）證明：an?[0,1]對任意n?N成立的充分必要條件是c?[0,1]；

*

1n?1*，證明：an?1?(3c),n?N;312222

（Ⅲ）設(shè)0?c?，證明：a1?a2??an?n?1?,n?N*

31?3c

（Ⅱ）設(shè)0?c?

解(1)必要性 ：∵a1?0,∴a2?1?c，又 ∵a2?[0,1],∴0?1?c?1，即c?[0,1]

充分性 ：設(shè) c?[0,1]，對n?N用數(shù)學(xué)歸納法證明an?[0,1]當(dāng)n?1時，a1?0?[0,1].假設(shè)ak?[0,1](k?1)

則ak?1?cak?1?c?c?1?c?1，且ak?1?cak?1?c?1?c??0

*

∴ak?1?[0,1]，由數(shù)學(xué)歸納法知an?[0,1]對所有n?N*成立

(2)設(shè) 0?c?，當(dāng)n?1時，a1?0，結(jié)論成立 3

當(dāng)n?2 時，∵an?can?1?1?c,∴1?an?c(1?an?1)(1?an?1?an?1)∵0?C?

12,由（1）知an?1?[0,1]，所以 1?an?1?an?1?3 且 1?an?1?03

∴1?an?3c(1?an?1)

∴1?an?3c(1?an?1)?(3c)(1?an?2)???(3c)∴an?1?(3c)

(3)設(shè) 0?c?

n?1

n?1

(1?a1)?(3c)n?1

(n?N*)

122，當(dāng)n?1時，a1?0?2?，結(jié)論成立 31?3c

n?1

當(dāng)n?2時，由（2）知an?1?(3c)

?0

∴an?(1?(3c)n?1)2?1?2(3c)n?1?(3c)2(n?1)?1?2(3c)n?1 22222n?1∴a2]1?a2???an?a2???an?n?1?2[3c?(3c)???(3c)

2(1?(3c)n)2

?n?1??n?1?

1?3c1?3c

第五篇：論文-放縮法證明數(shù)列不等式的基本策略

放縮法證明數(shù)列不等式的基本策略

廣外外校姜海濤

放縮法證明數(shù)列不等式是高考數(shù)學(xué)命題的熱點和難點。所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對不等式的局部進(jìn)行合理的放大和縮小從而向結(jié)論轉(zhuǎn)化，其難度在于放縮的合理和適度。證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧從而充滿思考性和挑戰(zhàn)性。為了幫助更多的學(xué)生突破這一難點，我們從以下幾個方面對放縮法證明數(shù)列不等式的基本策略進(jìn)行分析。

一、常見的放縮方法

常見的放縮方法法有：

1.“添舍”放縮：對不等式一邊添項或舍項以達(dá)到放大和縮小的效果；

2.分式放縮：分別放縮分子、分母或者同時放縮分子分母以達(dá)到放縮的效果；

3.利用重要的不等式或結(jié)論放縮：把欲證不等式變形構(gòu)造，然后利用已知的公式或恒不等式進(jìn)行放縮，例如均值不等式、柯西不等式、絕對值不等式、二項式定理、貝努力公式、真分?jǐn)?shù)性質(zhì)等。

4.單調(diào)性放縮：挖掘不等式的結(jié)構(gòu)特征和函數(shù)內(nèi)涵來構(gòu)造單調(diào)數(shù)列或單調(diào)函數(shù)，利用單調(diào)性、值域產(chǎn)生的不等關(guān)系進(jìn)行放縮。

二、常見的放縮控制

當(dāng)我們選擇了正確的放縮方法后，卻往往會在放縮的過程中不知不覺間失控，導(dǎo)致放縮的過大或過小，達(dá)不到欲證的目標(biāo)。那么如何控制好放縮的尺度呢？

例1．求證：11117?????? 122232n2

4分析1：不等式左邊不能直接求和，我們希望通過合適的放縮后可以求和。1111 ???(n?2)”的方法向右端放大，n2n(n?1)(n?1)n

11111117111?1?(?)?(?)???(?)?2??2? 則左邊?1????1223n?1nn41?22?3(n?1)?n若采取“

很明顯，放得有點大了，導(dǎo)致傳遞性失敗，不等式鏈中斷，放縮失敗。那怎么辦呢？

1．調(diào)整放縮的“量”的大小

分析2：分析1中“放”的有點過大，因為1?1，放大了11?11，?所以可以2221?2432?318

通過調(diào)整放大的“量”來控制放縮的效果。在減少1，即11分母減少了n，我們可以把分母只?n2n(n?1)11111??(?)n?2），這樣放的量就少了。22nn?12n?1n?

***17?)?=1+(1???)?<1+(1?)= 證明：左邊<1??(?)?(?)?(?)+??(2132435n?1n?122nn?1224

2．調(diào)整放縮的“項”的起點

分析3：分析1中從第二項開始放縮，放的最終有點大?？梢哉{(diào)整放縮的項數(shù)，從第三項開始放縮。證明：左邊?1??11111717111?1??(?)???(?)???? ??423n?1n4n442?3(n?1)?n

由此可見，調(diào)整成功。顯然從第三項開始放縮所得的結(jié)果比從第二項開始放縮所得的結(jié)果又更小些。以此類推，當(dāng)放縮的項數(shù)越少，放縮后的結(jié)果就會越來越精細(xì)，越來越逼近目標(biāo)。

除此之外，還可以調(diào)整放縮的次數(shù)，通過多次放縮的調(diào)整來達(dá)到效果；有時也可以根據(jù)欲證式子的結(jié)構(gòu)特點，把相鄰的項分組捆綁后進(jìn)行放縮，也可以達(dá)到控制放縮合理和尺度的效果。

三、常見的問題類型

數(shù)列型不等式的一邊常與求和有關(guān)，所以可以通過放縮后求和(或求和后放縮)來達(dá)到欲證的目標(biāo)。一.放縮與“公式法求和”

選擇恰當(dāng)?shù)姆趴s方法，通過“通項”的適度放縮使之轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，從而利用求和達(dá)到簡化．．．．證題的目的。

n(n?1)(n?1)

2?sn?例2

．設(shè)Sn? 22

分析：此數(shù)列通項為ak?因為k?k?

n

k(k?1),k?1,2,?n.k?(k?1)

1，?k?k(k?1)?k? 22

k(k?1)?

n

n(n?1)(n?1)21

?sn???k?Sn??(k?)，即 222k?1k?1

例3．求證：

1111

??????2 1!2!3!n!

?k?1,k?1,2,?,n.k!2

分析：通項k!?k(k?1)??2?1?2?2?2?1?2k?1,?

11?()n

11111111?2?(1)n?1?2???????0?1?2???k?1?

11!2!3!n!22222

1?2

例4．已知an?2n?1，證明：

an1a1a2n

?????n? 23a2a3an?12

n

aakn2k?12k?11

分析：通項?k?1?k?1?，?k?，不等式右邊得證。

ak?12?12?22k?1ak?12

akak?1

n

11?

2?11111111?1? ?k?1???????kkkk

11223?2?(2?2)23?2?023?22?1

2(2k?)4(2k?)

k

2k?

n

ak11n1111n11n1

????(?)??(???)??(1?)??，不等式左邊得證。k12nn

a22323233?22222k?1k?1k?1

二.放縮與“裂項法求和”

在例1中，不等式的左邊無法求和，但通過放縮產(chǎn)生裂項相消的求和效果后，使問題解決。例2的右

邊也是利用放縮產(chǎn)生了裂項的效果，然后求和。下面我們再通過幾道例題的證明體會裂項求和效果的運(yùn)用。例5.求證：2(n?1?1)?

1?

?

3???

1n

?2n

分析：?

n

1k

?

2k?k

?

2k?k?1

?2(k?k?1),(k?2)

??

k?1

1k?

?1?2[(2?)?(3?2)??(n?n?1)]?1?2(?1?n)?2n?1?2n 2k?k

?

2k?k?1

?2(k?1?k)

?

1k

n

??

k?1

1k

?2[(2?)?(?2)??(n?1?n)]?2(?1?n?1)?2(n?1?1)

n

1n111

例6.已知an?(),bn??,證明：?bk?2n?

31?an1?an?13k?1

分析：bn?

111?n

?1?

3n3n?13n?1?13n?1?1?111?n?n?1?n?n?1?2?n?n?1 13?13?13?13?13?13?1

3n?1

11?3n3n?1

n

111111111

??bk?2n?[(?1?2)?(?2?3)???(?n?n?1)]?2n?(??n?1)?2n?

333333333k?1?bn?2?

例7.已知f(1)?2,f(n?1)?f(n)?f(n),求證：

?

k?1

n

?

f(k)?12

分析：?f(n?1)?f(n)[f(n)?1],?

1111

???,f(n?1)f(n)[f(n)?1]f(n)f(n)?1

?

111，??

f(n)?1f(n)f(n?1)

n

??

k?1

111111111

?[?]?[?]??[?]??

f(k)?1f(1)f(2)f(2)f(3)f(n)f(n?1)f(1)f(n?1)

由已知可得f(n)?0, ?

三.放縮與“并項法求和” 例8.已知an?

?

k?1

n

??

f(k)?1f(1)2

2n?21117[2?(?1)n?1],n?1,證明：對任意整數(shù)m?4,有????? 3a4a5am8

n?1

分析：通項中含有(?1)，把

?整體捆綁同時結(jié)合奇偶性進(jìn)行適度放縮。anan?1

1131132n?1?2n?232n?1?2n?2

證明：當(dāng)n為奇數(shù)時，??[?]??

anan?122n?2?12n?1?1222n?3?2n?1?2n?2?1222n?3

即當(dāng)n為奇數(shù)時，當(dāng)m為偶數(shù)且m>4時：

11311??(n?2?n?1)，且a4?2, anan?1222

11111111131111??????(?)??(?)??(3?4???m?3?m?2)a4a5ama4a5a6am?1am222222

=

13111317

?(1?m?4)??? 22422482

當(dāng)m為奇數(shù)且m>4時：?m?1為偶數(shù)，11111117

??????????? a4a5ama4a5amam?18

綜上可知，對于任意整數(shù)m>4，都有

1117

????? a4a5am8

例9.求證1?

11111n

?????n?n?1?(n?2,n?N)23422?12

分析：尋求合適的處理手法，可以通過分組“捆綁”進(jìn)行放縮。左邊=1?

11111111111111?(?)?(???)?(????)???(n?1??n?n)***?12?12

?1?

=1?

11111111111111?(?)?(???)?(????)???(n??n?n)***222

11111n?????(共n個)?1? 222222

四．利用遞推關(guān)系式放縮

利用遞推關(guān)系式產(chǎn)生的不等關(guān)系，在很多題目中可以起到很好的放縮效果。例10.已知a1?3,ak?2ak?1?1(k?2),求證：

1111

????? 1?a11?a21?an2

分析：根據(jù)欲證不等式的結(jié)構(gòu)特點，通過遞推關(guān)系式構(gòu)造關(guān)于1?ak的不等式

?ak?2ak?1?1,?ak?1?2(ak?1?1)且a1?1?4?ak?1?

ak?1ak-1?1a?111k?1

?（）???2（?a1?1）?2?2??2?4?2k?1?

ak?12ak-1?1ak-2?1a1?1

12131n?1111

?左邊?（）?（）???（）?1-n)?

222222

例11.已知an?2n?1，證明：

1112

????? a2a3an?13

分析：?an?2n?1?2n?2?2(2n?1?1)?2an?1，?

an

?2(n?2)且a1?1,a2?3, an?1

?n?3時，an?

左邊?

anan?1a11???3?a2?2n?2?3，??3?()n?2

an2an?1an?2a2

1111212

[1??()2???()n?1]?(1?n)? 3222332

五．構(gòu)造和數(shù)列后進(jìn)行放縮

如果數(shù)列不等式?jīng)]有直接的求和的形式，很多時候可以間接的構(gòu)造和數(shù)列，然后進(jìn)行放縮處理。例12.已知

nan?11111

?????[log2n]，正數(shù)列?an?滿足a1?b?0,an?(n?2)23n2n?an?1

2b

(n?2)

2?b[log2n]的遞推關(guān)系式，然后利用“累加法”把欲證的不等式轉(zhuǎn)化為和數(shù)列的形式 an

證明：an?

分析：根據(jù)已知構(gòu)造關(guān)于

?0?an?

nan?1111111，???，???(n?2)

anan?1nanan?1nn?an?1

111111111111

?n?2?(?)?(?)???(?)???????

ananan?1an?1an?2a2a1a1nn?12b

?

2b1112?b[log2n]

?[log2n]???0，?an?

2?b[lo2gn]an2b2b

1*

n?N，定義數(shù)列:，，{x}x?0x?f(x)n1n?1n2

x?2

例13.已知函數(shù)f(x)?

若0?xk?

11(k?2,3,4,?)，證明:對任意m?N*都有:xm?k?xk?.k?123?

4分析：利用遞推式構(gòu)造關(guān)于xk?1?xk的不等式，利用“絕對值不等式”把xm?k?xk放縮為和數(shù)列的形式

由x1?0得x2?

114, x3?，當(dāng)k?2時,?0?xk?,229

xk?xk?1xk?xk?1xk?xk?1xk2?xk2?111

???2?2∴xk?1?xk?2 2

44xk?2xk?1?2(xk?2)(xk?1?2)

∴xk?1?xk?

*

xk?1?xk

xk?xk?1xk?1?xk?2

?

xk?xk?1

???

?x3?x2?()k?2x3?x2?()k?2?

x3?x24418

x4?x3

對?m?N,xm?k?xk?(xm?k?xm?k?1)?(xm?k?1?xm?k?2)???(xk?1?xk)

?xm?k?xm?k?1?xm?k?1?xm?k?2???xk?1?xk ?

1?111?

?????m?k?3m?k?4k?2?18?444?

()k?2(1?m)1?8?(1)k?1??1?1??8?(1)k?1?1?(1)k?1?1???m?k?1

***3?4??1?4

上面介紹的數(shù)列不等式主要與“求和”的形式有關(guān)。如果不等式的一邊與求和沒有直接的關(guān)系，也可以辨析題目的結(jié)構(gòu)特征選擇合適的方法進(jìn)行處理，譬如“構(gòu)造單調(diào)數(shù)列”放縮；構(gòu)造“二項展開式”放縮；

對不等式的局部換元，然后再謀求放縮等。限于篇幅所限，本文就不做闡述了。

總之，運(yùn)用放縮法進(jìn)行數(shù)列不等式的證明，要認(rèn)真分析條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，明確方向，防止盲目放縮。同時還要多總結(jié)、多思考，多掌握一些常用的放縮技巧，以提高分析問題和解決問題的能力。