第一篇：考點(diǎn)17 推理與證明

考點(diǎn)17 推理與證明

1.（2010·山東高考文科·Ｔ１０）觀察(x2)'?2x，(x4)'?4x3，(cosx)'??sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(?x)?f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(?x)=（）（A）f(x)(B)?f(x)(C)g(x)(D)?g(x)

【命題立意】本題考查歸納推理的有關(guān)知識(shí)，考查了考生的觀察問題，分析問題解決問題的能力.【思路點(diǎn)撥】觀察所給的結(jié)論，通過歸納類比聯(lián)想，得出結(jié)論.【規(guī)范解答】選D．通過觀察所給的結(jié)論可知，若f(x)是偶函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，故選D．

1?2?3,1?2?3?6,1?2?3?4?10,……，2.（2010·陜西高考理科·Ｔ１２）觀察下列等式：根據(jù)上述規(guī)律，.其中Tn=__________________.【命題立意】本題考查合情推理與演繹推理的相關(guān)知識(shí)，熟練掌握相關(guān)的推理規(guī)則是關(guān)鍵． 【思路點(diǎn)撥】觀察Tn的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的特點(diǎn)．

【規(guī)范解答】觀察Tn表達(dá)式的特點(diǎn)可以看出T2?0,T4?0，Tn?0；?當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，……，T3?11?3323，T5?1111?T??n2535，……，?當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2n3n． ,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)?0?Tn??11?n,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)?n?23【答案】．

5.（2010·北京高考文科·Ｔ20）

已知集合Sn?{XX?(x1,x2,?,xn),xi?{0,1},i?1,2,?,n}(n?2)對于A?(a1,a2,...,an)，B?(b1,b2,…bn,)?Sn，定義A與B的差為A?B?(|a1?b1|,|a2?b2|,…|an?bn|);

A與B之間的距離為d(A,B)??ai?1ni?bi

（Ⅰ）當(dāng)n=5時(shí)，設(shè)A?(0,1,0,0,1),B?(1,1,1,0,0)，求A?B，d(A,B)；（Ⅱ）證明：?A,B,C?Sn,有A?B?Sn，且d(A?C,B?C)?d(A,B);(Ⅲ)證明：?A,B,C?Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)

【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題，考查了學(xué)生運(yùn)用新知識(shí)的能力。本題情景是全新的，對學(xué)生的“學(xué)習(xí)能力”提出了較高要求。要求教師真正的重視學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)，更加注重學(xué)生“學(xué)習(xí)能力”、“創(chuàng)新能力”的培養(yǎng)．

【思路點(diǎn)撥】（I）（Ⅱ）直接按定義證明即可；(Ⅲ)“至少”問題可采用反證法證明． 【規(guī)范解答】（Ⅰ）(Ⅱ)設(shè)A?B?(0?1,1?1,0?1,0?0,1?0)＝（1,0,1,0,1）

d(A,B)?0?1?1?1?0?1?0?0?1?0＝3 A?(a1,a2,???,an),B?(b1,b2,???,bn),C?(c1,c2,???,cn)?Sn

a1,b1?{0,1}，所以a1?b1?{0,1}(i?1,2,???,n)

因?yàn)閺亩鳤?B?(a1?b1,a2?b2,???an?bn)?Sn

.由題意知當(dāng)當(dāng)ai,bi,ci?{0,1}(i?1,2,???,n)

ci?0時(shí)，ai?ci?bi?ci?ai?bi

ci?1時(shí)，ai?ci?bi?ci?(1?ai)?(1?bi)?ai?bi

d(A?C,B?C)??ai?bi?d(A,B)i?1n所以

(Ⅲ)證明：設(shè)A?(a1,a2,???,an),B?(b1,b2,???,bn),C?(c1,c2,???,cn)?Sn

d(A,B)?k,d(A,C)?l,d(B,C)?h

記0?(0,0,???0)?Sn由（Ⅱ）可知

d(A,B)?d(A?A,B?A)?d(0,B?A)?kd(A,C)?d(A?A,C?A)?d(0,C?A)?ld(B,C)?d(B?A,C?A)?h

所以bi?ai(i?1,2,???,n)中1的個(gè)數(shù)為k,ci?ai(i?1,2,???,n)中1的個(gè)數(shù)為l

設(shè)t是使bi?ai?ci?ai?1成立的i的個(gè)數(shù)。則h?l?k?2t

由此可知，k,l,h三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)，即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)．

6.（2010·北京高考理科·Ｔ20）已知集合Sn?{XX?(x1,x2,?,xn),xi?{0,1},i?1,2,?,n}(n?2)對于A?(a1,a2,...,an)，B?(b1,b2,…bn,)?Sn，定義A與B的差為A?B?(|a1?b1|,|a2?b2|,…|an?bn|);A與B之間的距離為d(A,B)??ai?bi；

i?1（Ⅰ）證明：?A,B,C?Sn,有A?B?Sn，且d(A?C,B?C)?d(A,B);（Ⅱ）證明：?A,B,C?Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)(Ⅲ)設(shè)P?Sn，P中有m(m≥2)個(gè)元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為d(P).證明：d（P）≤

nmn.2(m?1)【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題，考查了學(xué)生運(yùn)用新知識(shí)的能力，考查了反證法、不等式證明等知識(shí)．本題

.情景是全新的，對學(xué)生的“學(xué)習(xí)能力”提出了較高要求．要求教師真正的重視學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)，更加注重學(xué)生“學(xué)習(xí)能力”、“創(chuàng)新能力”的培養(yǎng)．

【思路點(diǎn)撥】（I）直接按定義證明即可；（Ⅱ）“至少”問題可采用反證法證明；(Ⅲ)把出來，再利用均值不等式證明． 【規(guī)范解答】（I）設(shè) 因?yàn)?從而

A,B?P?d(A,B)表示A?(a1,a2,...,an)，B?(b1,b2,...,bn)，C?(c1,c2,...,cn)?Sn

ai，bi??0,1?，所以|ai?bi|??0,1?,(i?1,2,...,n)A?B?(|a1?b1|,|a2?b2|,...,|an?bn|)?Sn

n 又d(A?C,B?C)??||ai?ci|?|bi?ci||i?1

由題意知當(dāng)ai，bi，ci??0,1?(i?1,2,...,n).ci?0時(shí)，||ai?ci|?|bi?ci||?|ai?bi|;ci?1時(shí)，||ai?ci|?|bi?ci||?|(1?ai)?(1?bi)|?|ai?bi|

n 當(dāng)所以d(A?C,B?C)??|ai?bi|?d(A,B)i?1

(II)設(shè)A?(a1,a2,...,an)，B?(b1,b2,...,bn)，C?(c1,c2,...,cn)?Sn

d(A,B)?k，d(A,C)?l，d(B,C)?h.記O?(0,0,...,0)?Sn，由（I）可知

d(A,B)?d(O,B?A)?k，d(A,C)?d(O,C?A)?l

d(B,C)?d(B?A,C?A)?h

所以|bi?ai|(i?1,2,...,n)中1的個(gè)數(shù)為k，|ci?ai|(i?1,2,...,n)中1的

個(gè)數(shù)為l．

設(shè)t是使|bi?ai|?|ci?ai|?1成立的i的個(gè)數(shù)，則h?l?k?2t

由此可知，k,l,h三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)，即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)．

.d(P)?（III）12CmA,B?P?d(A,B),其中A,B?P?d(A,B)t表示P中所有兩個(gè)元素間距離的總和，設(shè)P中所有元素的

.11cos(k?1)A?coskAcosA?cos(k?1)A?cos(k?1)A，22解得：cos(k?1)A?2coskAcosA?cos(k?1)A

∵cosA，coskA，cos(k?1)A均是有理數(shù)，∴2coskAcosA?cos(k?1)A是有理數(shù)，∴cos(k?1)A是有理數(shù)。即當(dāng)n?k?1時(shí)，結(jié)論成立。

綜上所述，對于任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。方法二：（1）由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知

AB2?AC2?BC2cosA?是有理數(shù)。

2AB?AC（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和sinA?sinnA都是有理數(shù)。

①當(dāng)n?1時(shí)，由（1）知cosA是有理數(shù)，從而有sinA?sinA?1?cosA也是有理數(shù)。②假設(shè)當(dāng)n?k(k?1)時(shí)，coskA和sinA?sinkA都是有理數(shù)。當(dāng)n?k?1時(shí)，由cos(k?1)A?cosA?coskA?sinA?sinkA，2sinA?sin(k?1)A?sinA?(sinA?coskA?cosA?sinkA)?(sinA?sinA)?coskA?(sinA?sinkA)?cosA，及①和歸納假設(shè)，知cos(k?1)A和sinA?sin(k?1)A都是有理數(shù)。即當(dāng)n?k?1時(shí)，結(jié)論成立。

綜合①、②可知，對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。

.

第二篇：考點(diǎn)21、推理與證明

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【考點(diǎn)21】推理與證明

1.(2010金華模擬)已知p是q的充分不必要條件，則?q是?p的（）（Ａ）充分不必要條件（Ｂ）必要不充分條件（Ｃ）充要條件（Ｄ）既不充分也不必要條件

【解析】選Ａ.反證法的原理：“原命題”與“逆否命題”同真假，即：若p?q則?q?2.(2010江南模擬)設(shè)a、b、c都是正數(shù)，則a?

1b

?

p.,b?

1c,c?

1a

三個(gè)數(shù)（）

A、都大于2B、至少有一個(gè)大于2C、至少有一個(gè)不大于2D、至少有一個(gè)不小于2 【解析】選D.3.(2010蕪湖模擬)在△ABC中，A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且（）

（Ａ）等腰三角形（Ｂ）直角三角形（Ｃ）等邊三角形（Ｄ）等腰直角三角形 【解析】選A.?

acosA

?

bcosB

acosA

?

bcosB，則△ABC一定是，?

sinAcosA

?

sinBcosB，?tanA?tanB，又因?yàn)锳,B??0,??，?A?B；

4.(2010福州模擬)5.已知函數(shù)y?f(x)的定義域?yàn)镈，若對于任意的x1,x2?D(x1?x2)，都有

x1?x

22f(x1)?f(x2)

f()?，則稱y?f(x)為D上的凹函數(shù).由此可得下列函數(shù)中的凹函數(shù)為（）

（Ａ）y?log2x（B）

y?

（C）y?x（D）y?x

3【解析】選C.可以根據(jù)圖像直觀觀察；對于（C）證明如下：欲證f（2

x1?x2

2)?

f(x1)?f(x2)

2，即證

22x1?x2?x1?x2?22

x?x?2x?2xx?x?0，顯然，這個(gè)不等式是成立，即證，即證?????121212??

22??

22的，且每一步可逆，故原不等式得證；

5.(2010深圳模擬)對于任意實(shí)數(shù)a,b定義運(yùn)算a*b=（a+1）(b+1)-1,給出以下結(jié)論： ①對于任意實(shí)數(shù)a,b,c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);

②對于任意實(shí)數(shù)a,b,c，有a*(b*c)=(a*b)*c;

③對于任意實(shí)數(shù)a,有a*0=a,則以上結(jié)論正確的是.（寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論的所有序號(hào)）答案：②③

6.(2010南通模擬)對于等差數(shù)列?an?有如下命題：“若?an?是等差數(shù)列，a1?0，s、t是互不相等的正整數(shù)，則有（s?1）at?（t?1）as?0”。類比此命題，給出等比數(shù)列?bn?相應(yīng)的一個(gè)正確命題是：“___________________________________________________”。

【解析】這是一個(gè)從等差數(shù)列到等比數(shù)列的平行類比，等差數(shù)列中?、?、?、?類比到等比數(shù)列經(jīng)常

n是?、?、（）()，類比方法的關(guān)鍵在于善于發(fā)現(xiàn)不同對象之間的“相似”，“相似”是類比的基礎(chǔ)。

?

btbs

s?1t?

1?b

??b

?q1

t?1

?q

s?1

??

s?1

t?1

?1.答案：若?bn?是等比數(shù)列，b1?1，s、t是互不相等的正整數(shù)，則有

btbs

s?1t?

1?1。

7.(2010麗水模擬)如果△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則△A1B1C1

是三角形，△A2B2C2是三角形.（用“銳角”、“鈍角”或“直角”填空）答案：銳角鈍角

8.(2010東直模擬)設(shè)直角三角形的兩直角邊的長分別為a,b，斜邊長為c，斜邊上的高為h，則有

a?b?c?h 成立，某同學(xué)通過類比得到如下四個(gè)結(jié)論：①a2?b2?c2?h2；②a3?b3?c3?h3；

③ a?b?c?h；④a?b?c?h.其中正確結(jié)論的序號(hào)是__；進(jìn)一步類比得到的一般結(jié)論是：__

【解析】可以證明②③正確；觀察②a?b?c?h；③ a?b?c?h的項(xiàng)與系數(shù)的關(guān)系，還有不等號(hào)的方向可得：a?b?c?h(n?N)。答案：② ③，a?b?c?h(n?N)

9.(2010漢沽模擬)在直角三角形ABC中，兩直角邊分別為a、b，設(shè)h為斜邊上的高，則

1h

4444555

53333444

4nnnn?

nnnn?

?

1a

?

1b，由此類比：三棱錐S?ABC的三個(gè)側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，且長分別為a、b、c，設(shè)棱錐底面ABC上的高為h，則.答案：

1h

?

1a

?

1b

?

1c

10.(2010長沙模擬)已知三棱錐S—ABC的三視圖如圖所示：在原三棱錐中給出下列命題： ①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中正確命題的序號(hào)是

.答案：①

11.(2010莆田模擬)在平面幾何中，△ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比

AEEB

=

ACBC，把這個(gè)結(jié)論

類比到空間：在三棱錐A—BCD中（如圖所示），而DEC平分二面角A—CD—B且與AB相交于E，則得到的類比的結(jié)論是.【解析】本題是平面幾何與立體幾何的類比，是一個(gè)從二維到三維遞進(jìn)維數(shù)的類比，從圖形上有點(diǎn)與線、線與面、三角形與三棱錐的類比，所以我們可以先來觀察三角形的性質(zhì)及其證明過程。經(jīng)常地，二維中的點(diǎn)類比到三維中經(jīng)常變成線，二維中的線類比到三維中經(jīng)常變成面。平面與空間的類比主要著眼于兩個(gè)對象之間在形式與數(shù)量關(guān)系上的相似。答案：

AEEB

=

S?ACDS?BCD

12.(2010南寧模擬)現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖所示，同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長都是a的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為

a

.類比到空間，有兩個(gè)棱長

均為a的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為.a?a??a?

【解析】平面內(nèi)??類比到空間???。

8?2??2?

3答案：

a

813.(2010北京模擬)點(diǎn)P為斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱BB1上一點(diǎn)，PM⊥BB1交AA1于點(diǎn)M，PN⊥BB1交CC1于點(diǎn)N.（1）求證：CC1⊥MN；

（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明.【證明】：（1）∵PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM?PN?P ∴BB1⊥平面PMN.∴BB1⊥MN.又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.（2）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有 S

2ABB

1A

1=S2

BCC

1B1

+S2

ACC

1A1

-2SBCC

1B1

SACC

1A1

cos?.其中?為平面CC1B1B與平面CC1A1A所成的二面角.∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角的平面角為∠MNP.在△PMN中，∵PM2=PN2+MN2-2PN·MNcos∠MNP

222∴PM2·CC1=PN2·CC1+MN2·CC1-2（PN·CC1）·（MN·CC1）cos∠MNP，由于SBCC1B1=PN·CC1，SACC1A1=MN·CC1，SABB1A1=PM·BB1=PM·CC1，∴S2

ABB

1A1

=S2

BCC

1B1

+S2

ACC

1A1

-2SBCC

1B1

·SCCA

1A1

·cos?.1、s3?6，14.(2010泉州模擬)已知等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為s

n，且b1?（1）求數(shù)列{bn}通項(xiàng)公式，（2）證明數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列?！窘馕觥浚?）?

b1?

1、s3?

6，?bn?n?

（2）假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp，bq，br（p，q，r互不相等）成等比數(shù)列，則bq?bpbr。

即(q?

?(p?

r?。

?(q?pr)?(2q?p?r?0

?

?p，q，r?N，?q2?pr?0，??

?2q?p?r?0，?p?r?2??(p?r)?0，?p?r． ??pr，?2?

與p?r矛盾。

所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列．

a?xb?x

?ab

15.(2010上海模擬)(1)已知：a,b,x均是正數(shù)，且a?b，求證：1?

ab；

(2)當(dāng)a,b,x均是正數(shù)，且a?b，對真分?jǐn)?shù)

sinAsinB?sinC，給出類似上小題的結(jié)論，并予以證明；

sinCsinA?sinB

(3)證明：△ABC中，論)

?

sinBsinC?sinA

??2(可直接應(yīng)用第(1)、(2)小題結(jié)

(4)自己設(shè)計(jì)一道可直接應(yīng)用第(1)、(2)小題結(jié)論的不等式證明題，不要求寫出證明過程.【解析】(1)?a?x?b?x?0,?1?

a?xb?x

ab

x(b?a)b(b?x)

a?xb?x,又??

ba

?0,?1?

a?xb?x

?

ab

.b?x

b

ba

b?xa?x

(2)?a?b,?

a?xaabc

???2.(3)由正弦定理，原題?△ABC中，求證：

b?cc?aa?b

?1,應(yīng)用第(1)小題結(jié)論，得1??,取倒數(shù)，得??1.證明：由(2)的結(jié)論得，a,b,c?0,且

a

b?cc?aa?b

a2ab2bc2c

?,?,??，b?ca?b?cc?aa?b?ca?ba?b?c,b,c

均小于1，ab?c

?

bc?a

?

ca?b

?

2aa?b?c

?

2ba?b?ca

?

?

2ca?b?cb

?

?2.ca?b?d

?

da?b?c

?2.(4)如得出：四邊形ABCD中，求證：

b?c?dc?d?a

如得出：凸n邊形A1A2A3┅An中，邊長依次為a1,a2,?,an,求證：

a1

a2?a3???an

?

a2

a1?a3???an

???

an

a1?a2???an?1

?2.如得出：{an}為各項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，(d?0),求證：

a1a2

?aa

???

a2n?a

n2

?

aa

?

aa

???5

aa

n2n?2.

第三篇：推理與證明

第3講 推理與證明

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理

2．類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。3．類比推理的一般步驟：

①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。

②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）【典型例題】

1、（2011?江西）觀察下列各式：7=49，7=343，7=2401，?，則7

34201

1的末兩位數(shù)字為（）

A、01 B、43 C、07 D、49

2、（2011?江西）觀察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，?，則5A、3125 B、5625 C、0625 D、8125

3、（2010?臨潁縣）平面內(nèi)平行于同一條直線的兩條直線平行，由此類比思維，我們可以得到（）A、空間中平行于同一平面的兩個(gè)平面平行 B、空間中平行于同一條直線的兩條直線平行 C、空間中平行于同一條平面的兩條直線平行 D、空間中平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行

4、（2007?廣東）設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合，在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”（即對任意的a，b∈S，對于有序元素對（a，b），在S中有唯一確定的元素與之對應(yīng)）有a*（b*a）=b，則對任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）

A、（a*b）*a=a B、[a*（b*a）]*（a*b）=a C、b*（b*b）=b D、（a*b）*[b*（a*b）]=b

5、（2007?廣東）如圖是某汽車維修公司的維修點(diǎn)環(huán)形分布圖．公司在年初分配給A，B，C，D四個(gè)維修點(diǎn)某種配件各50件．在使用前發(fā)現(xiàn)需將A，B，C，D四個(gè)維修點(diǎn)的這批配件分別調(diào)整為40，45，54，61件，但調(diào)整只能在相鄰維修點(diǎn)之間進(jìn)行，那么要完成上述調(diào)整，最少的調(diào)動(dòng)件次（n件配件從一個(gè)維修點(diǎn)調(diào)整到相鄰維修點(diǎn)的調(diào)動(dòng)件次為n）為（）

A、15 B、16 C、17 D、18

6、（2006?陜西）為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文a，b，c，d對應(yīng)密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4對應(yīng)密文5，7，18，16．當(dāng)接收方收到密文14，9，23，28時(shí)，則解密得到的明文為（）A、4，6，1，7 B、7，6，1，4 C、6，4，1，7 D、1，6，4，7

7、（2006?山東）定義集合運(yùn)算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，設(shè)集合A={0，1}，B={2，3}，則集合A⊙B的所有元素之和為（）

A、0 B、6 C、12 D、18

7201

1的末四位數(shù)字為（）

8、（2006?遼寧）設(shè)⊕是R上的一個(gè)運(yùn)算，A是V的非空子集，若對任意a，b∈A，有a⊕b∈A，則稱A對運(yùn)算⊕封閉．下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運(yùn)算都封閉的是（）A、自然數(shù)集 B、整數(shù)集 C、有理數(shù)集 D、無理數(shù)集

9、（2006?廣東）對于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對（a，b）和（c，d），規(guī)定：（a，b）=（c，d），當(dāng)且僅當(dāng)a=c，b=d；運(yùn)算“?”為：（a，b）?（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；運(yùn)算“⊕”為：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），設(shè)p，q∈R，若（1，2）?（p，q）=（5，0），則（1，2）⊕（p，q）=（）A、（4，0）B、（2，0）C、（0，2）D、（0，-4）

10、（2005?湖南）設(shè)f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），?，fn+1（x）=fn′（x），n∈N，則f2005（x）=（）

A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx

11、（2004?安徽）已知數(shù)列{an}滿足a0=1，an=a0+a1+?+an-1，n≥

1、，則當(dāng)n≥1時(shí)，an=（）A、2 B、n

C、2 D、2-

1n-1n

12、若數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an=（n≥3且n∈N*），則a17=（）

A、1 B、2 C、D、2-987

13、如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，有，則運(yùn)用歸納推理得到第11 行第2個(gè)數(shù)（從左往右數(shù)）為（）A、B、C、D、14、根據(jù)給出的數(shù)塔猜測1 234 567×9+8=（）

1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111．

A、11111110 B、11111111 C、11111112 D、11111113

15、將n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成右表，根據(jù)規(guī)律，從2008到2010，箭頭方向依次是（）

A、B、C、D、16、下列推理過程利用的推理方法分別是（）（1）通過大量試驗(yàn)得出拋硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5；（2）函數(shù)f（x）=x2-|x|為偶函數(shù)；

（3）科學(xué)家通過研究老鷹的眼睛發(fā)明了電子鷹眼． A、演繹推理，歸納推理，類比推理 B、類比推理，演繹推理，類比推理 C、歸納推理，合情推理，類比推理 D、歸納推理，演繹推理，類比推理

17、下列表述正確的是（）①歸納推理是由部分到整體的推理； ②歸納推理是由一般到一般的推理； ③演繹推理是由一般到特殊的推理； ④類比推理是由特殊到一般的推理； ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理． A、①②③ B、②③④ C、②④⑤ D、①③⑤

18、在古希臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，15，21，28，?這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形，則第n個(gè)三角形數(shù)為（）A、n B、1、（2011?陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此規(guī)律，第五個(gè)等式應(yīng)為 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．

2、（2011?陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?

照此規(guī)律，第n個(gè)等式為 n+（n+1）+（n+2）+?+（3n-2）=（2n-1）2 ．

C、n-1 D、2

第四篇：推理與證明

推理與證明

學(xué)生推理與證明的建立，是一個(gè)漫長的過程，這個(gè)過程的開始可以追溯到小孩牙牙學(xué)語時(shí)候起，小孩在爸爸媽媽跟前不停的問為什么，可以看做推理的雛形。接著到幼兒園、小學(xué)，教材里也有簡單的說理，小學(xué)教材里有簡單地說理題，意在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維。

初中新教材對推理與證明的滲透，也是從說理開始的，但內(nèi)容比較少，也就是教材中的直觀幾何內(nèi)容。很快便轉(zhuǎn)向推理，也就是證明。剛開始推理的步驟，是簡單的兩三步，接著到四五步，后面還一定要求學(xué)生寫清楚為什么。在學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容的時(shí)候，好多學(xué)生在后面的括號(hào)里不寫為什么，我便給他們舉例小孩子學(xué)走路的過程，一個(gè)小孩剛開始學(xué)走路的時(shí)候，需要大人或其他可依附的東西，漸漸地，她會(huì)脫離工具自己走。學(xué)習(xí)證明的過程亦如此，起先在括號(hào)里寫清為什么，并且只是簡單的幾步，然后證明比較難一點(diǎn)的，步驟比較多的。

隨著社會(huì)的進(jìn)步，中學(xué)教材加強(qiáng)了解析幾何、向量幾何，傳統(tǒng)的歐式幾何受到?jīng)_擊，并且教材對這一部分的編排分散在初中各個(gè)年級(jí)，直觀幾何分量多了還加入了變換如平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、對稱變換，投影等內(nèi)容。老師們對內(nèi)容的編排不太理解，看了專家的講座，漸漸明白了：這樣編排不是降低了推理能力，而是加強(qiáng)了推理能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了逐步發(fā)展的過程，把變換放到中學(xué)，加強(qiáng)了中學(xué)和大學(xué)教材的統(tǒng)一，但一個(gè)不爭的事實(shí)是，對演繹推理確實(shí)弱了。

關(guān)于開展課題學(xué)習(xí)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)

新課程教材編排了課題學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容，對授課的老師，還是學(xué)生的學(xué)習(xí)都是一個(gè)全新的內(nèi)容，怎樣上好這部分內(nèi)容，對老師、對學(xué)生而言，都是一個(gè)創(chuàng)新的機(jī)會(huì)。至于課題學(xué)習(xí)的評價(jià)方式，到現(xiàn)在為止，大多數(shù)省份還是一個(gè)空白，考不考?怎樣考?學(xué)習(xí)它吧，學(xué)習(xí)的東西不能在試卷上體現(xiàn)出來，于是，好多老師對這部分采取漠視的處理方法;不學(xué)習(xí)吧，課本上安排了這部分內(nèi)容。還有一部分老師覺得，課題學(xué)習(xí)是對某一個(gè)問題專門研究，很深!老師不知講到什么程度才合理，學(xué)生不知掌握到什么程度。

經(jīng)過幾年的實(shí)踐與這次培訓(xùn)的認(rèn)識(shí)，我覺得課題學(xué)習(xí)是“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”在新課課程中的主要呈現(xiàn)形式，是一種區(qū)別于傳統(tǒng)的、全新的，具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)，課本的編寫者安排的主要目的是：

1.希望為學(xué)生提供更多的實(shí)踐與探索的機(jī)會(huì)。

2.讓學(xué)生通過對有挑戰(zhàn)性和綜合性問題的解決，經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程。

3.讓學(xué)生獲得研究問題地方法和經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生的思維能力、自主探索與合作交流的意識(shí)和能力得到發(fā)展。

4.讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，以及解決問題的成功喜悅，增進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

5.使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)成為生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程。

課題學(xué)習(xí)首先提出一個(gè)主問題(問題是一個(gè)載體)，然后給出資料，利用資料挖掘知識(shí)。在這個(gè)過程中，多關(guān)注知識(shí)的價(jià)值，淡化數(shù)學(xué)術(shù)語，讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，激發(fā)學(xué)生參與的熱情，使其體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，始終以學(xué)生為主體，明白課題學(xué)習(xí)是為學(xué)習(xí)服務(wù)的。

第五篇：推理與證明

推理與證明

1． 蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)

圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)

表示第n幅圖的蜂巢總數(shù).則f(4)=___37

__;f(n)=_3n2?3n?

1__________.2．下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖：

設(shè)第n個(gè)圖有an個(gè)樹枝，則an?1與an(n≥2)之間的關(guān)系是．

答案：an?1?2an?

2若平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,且任何三條不共點(diǎn)(即不相交于一點(diǎn)),則這n條直線將平面分成了幾部分。

3．類比平面向量基本定理:“如果e1,e2是平面?內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對于平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)?1,?2，使得a??1e1??2e2”，寫出空間向量基本定理是．

如果e1,e2,e3是空間三個(gè)不共面的向量，那么對于空間內(nèi)任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)

????????

?1,?2,?3，使得a??1e1??2e2??3e

34．寫出用三段論證明f(x)?x3?sinx(x?R)為奇函數(shù)的步驟是： 大前提． 小前提結(jié)論

滿足f(?x)??f(x)的函數(shù)是奇函數(shù)，大前提

f(?x)?(?x)?sin(?x)??x?sinx??(x?sinx)??f(x)，小前提

所以f(x)?x3?sinx是奇函數(shù)．結(jié)論5． 已知f(n)?1? 答案：

12?

1k

?

???

1n

(n?N)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2)?

?

n

n2

時(shí)，f(2k?1)?f(2k)

等于．

?

12?2

k

???

k?1

6lg1

.5?3a?

b?clg12?1?a?2b

7．用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+?

+n2=

n

?

n2，則當(dāng)n=k+1時(shí)左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加

上.(k+1)+(k+2)+(k+3)+?+(k+1)

8?

?m，n成立的條件不

等式．

當(dāng)m?n?20

9．在數(shù)列?an?中，a1?2，an?1?

答案：an?10．

26n?

5an3an?1

(n?N)，可以猜測數(shù)列通項(xiàng)an的表達(dá)式為?

．

若三角形內(nèi)切圓的半徑為r，三邊長為a，b，c，則三角形的面積等于S?

r(a?b?c)，根據(jù)類比推理的方法，若一個(gè)四面體的內(nèi)切球的半徑為R，四個(gè)面的面積分別是

V?． S1，S2，S，S，則四面體的體積3

4答案：R(S1?S2?S3?S4)

11．已知f(x)?ax?

x?2x?1

(a?1)，證明方程f(x)?0沒有負(fù)數(shù)根.假設(shè)x0是f(x)?0的負(fù)數(shù)根，則x0?0且x0??1且ax??

?0?a

x0

x0?2x0?1，?1?0??

x0?2x0?1

解得?1，12

這與x0?0矛盾，故方程f(x)?0?x0?2，沒有負(fù)數(shù)根.12．已知命題：“若數(shù)列?an?是等比數(shù)列，且an?

0，則數(shù)列bn?

n?N)

?

也是等

比數(shù)列”．類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論．

解：類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)是：若數(shù)列?an?是等差數(shù)列，則數(shù)列bn?

a1?a2???an

n

也是等差數(shù)列．

n(n?1)d

2n

?a1?

d2(n?1)

證明如下：

設(shè)等差數(shù)列?an?的公差為d，則bn?所以數(shù)列?bn?是以a1為首項(xiàng)，13．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1(n2?12)?2(n2?22)???n(n2?n2)?都成立．

（1）當(dāng)n?1時(shí)，由以上可知等式成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n?k時(shí)，等式成立，即1(k2?12)?2(k2?22)???k(k2?k2)?則當(dāng)n?k?1時(shí)，1[(k?1)?1]?2[(k?1)?2]???k[(k?1)?k]?(k?1)[(k?1)?(k?1)] ?1(k?1)?2(k?2)???k(k?k)?(2k?1)?2(2k?1)???k(2k?1)?14k?

a1?a2???an

n

na1??，d2

為公差的等差數(shù)列．

n?

n

對一切正整數(shù)n

k?

k，22222222

222222

k?(2k?1)·

k(k?1)

?

(k?1)?

(k?1)

．

由（1）（2）知，等式結(jié)一切正整數(shù) 都成立．

14．用數(shù)學(xué)歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.2×1+11+2

(1)當(dāng)n=1時(shí)，4+3=91能被13整除.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，42k+1+3k+2能被13整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2).∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除, ∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.由（1）（2）知，當(dāng)n∈N*時(shí)，42n+1+3n+2能被13整除.15．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式（1+

2n?12

13）（1+）?（1+

112n?1）＞

均成立.43

（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1+=；右邊=

.∵左邊＞右邊，∴不等式成立.（2）假設(shè)n=k(k≥2,且k∈N*)時(shí)不等式成立，即（1+）（1+）?（1+

12k?1）＞

2k?12

12k?1

.12(k?1)?1

]

則當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+）（1+）?（1+＞

2k?12）＞[1?

4k

2k?1

·

2k?22k?1

=

2k?222k?1

=

4k

?8k?4

＞

?8k?3

=

2k?3

=

2(k?1)?1

.22k?122k?122k?1

∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.由（1）（2）知，對于一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立.16。試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相

等時(shí)，均有：an+cn＞2bn.設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=∴a+c=

n

n

bq,c=bq(q＞0且q≠1),bq

nn

+bnqn=bn（1q

n

+qn)＞2bn.a

n

(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=2時(shí)，由2(a+c)＞(a+c)，∴②設(shè)n=k時(shí)成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)，＞

?c

2n

＞（a?c2)n(n≥2且n∈N*)

a

?c2

?（a?c2)

a

k

?c2

k?

1k

?(?1

4a?c2),k

a

k?1

?c2

(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)

a?c2

(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=

(ak+ck)(a+c)＞()k·（a?c2)=（a?c2)k+1

17．平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓把平面分成n?n?2個(gè)部分。

證明：（1）當(dāng)n?1時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩個(gè)區(qū)域，而12?1?2?2，命題成立．

（2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，命題成立，即k個(gè)圓把平面分成k?k?2個(gè)區(qū)域．

當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1個(gè)圓與原有的k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)把第k+1個(gè)圓分成了2k段弧，而其中的每一段弧都把它所在的區(qū)域分成了兩部分，因此增加了2k個(gè)區(qū)域，共有k2?k?2?2k?(k?1)2?(k?1)?2個(gè)區(qū)域． ∴n=k+1時(shí)，命題也成立．

由（1）、（2）知，對任意的n∈N*，命題都成立．

18．如圖（1），在三角形ABC中，AB?AC，若AD?BC，則AB2?BD·BC；若類比該命題，如圖（2），三棱錐A?BCD中，AD?面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有什么結(jié)論？命題是否是真命題．

解：命題是：三棱錐A?BCD中，AD?面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影

為M，則有S△?S△BCM·S△BCD是一個(gè)真命題． ABC證明如下：

在圖（2）中，連結(jié)DM，并延長交BC于E，連結(jié)AE，則有DE?BC． 因?yàn)锳D?面ABC，所以AD?AE． 又AM?DE，所以AE2?EM·ED． 于是S

△ABC

?1??1??1???BC·AE???BC·EM?·?BC·ED??S△BCM·S△BCD． ?2??2??2?

19． 已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，?），a1=1.（1）設(shè)bn=an+1-2an(n=1,2,?)，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）設(shè)cn=

an2

n

(n=1,2,?),求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列.（1）∵ Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+2.兩式相減，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,?), 即an+2=4an+1-4an,變形得an+2-2an+1=2(an+1-2an).∵ bn=an+1-2an(n=1,2,?), ∴ bn+1=2bn.由此可知，數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列.（2）由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1.得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=3·2n-1.∵ cn=

an2

n

(n=1,2,?),∴ cn+1-cn=

an?12

n?1

an2

n

=

an?1?2an

n?1

=

bn2

n?1

.34

將bn=3·2n-1代入得cn+1-cn=(n=1,2,?),由此可知，數(shù)列{cn}是公差為的等差數(shù)列，它的首項(xiàng)c1=

a12

=，故cn=n-(n=1,2,?).131