第一篇：2010年高考試題分類考點17推理與證明

考點17推理與證明

1.（2010·山東高考文科·Ｔ１０）觀察(x2)'?2x，(x4)'?4x3，(cosx)'??sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(?x)?f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(?x)=（）

（A）f(x)(B)?f(x)(C)g(x)(D)?g(x)

【命題立意】本題考查歸納推理的有關(guān)知識，考查了考生的觀察問題，分析問題，解決問題的能力.【思路點撥】觀察所給的結(jié)論，通過歸納類比聯(lián)想，得出結(jié)論.【規(guī)范解答】選D．通過觀察所給的結(jié)論可知，若f(x)是偶函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，故選D．

2.（2010·陜西高考理科·Ｔ１２）觀察下列等式：1?2?3,1?2?3?6,1?2?3?4?10,??根據(jù)上述規(guī)律，第五個等式為 ____________.【命題立意】本題考查歸納推理，屬送分題．

【思路點撥】找出等式兩邊底數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

【規(guī)范解答】由所給等式可得：等式兩邊的冪式指數(shù)規(guī)律明顯，底數(shù)關(guān)系如下： 3323332333

321?2?3,1?2?3?6,1?2?3?4?10,即左邊底數(shù)的和等于右邊的底數(shù)，故第五個等式為：

213?23?33?43?53?63?(1?2?3?4?5?6)2?21.33333321?2?3?4?5?6?21.【答案】

3.（2010·福建高考文科·Ｔ１６）觀察下列等式：

可以推測，m – n + p =.【命題立意】本題主要考查利用合情推理的方法對系數(shù)進行猜測求解．

【思路點撥】根據(jù)歸納推理可得．

?m?1280?1120?n?p?1?1，?m?n?p?162，【規(guī)范解答】觀察得：式子中所有項的系數(shù)和為1，9p?10?5?50,m?2?512，?n??400，?m?n?p?962．又

【答案】962

nn4.（2010·浙江高考理科·Ｔ14）設(shè)n?2,n?N,(2x?)?(3x?)?a0?a1x?a2x?????anx，12132n

將ak(0?k?n)的最小值記為Tn，則T2?0,T3?

其中Tn=__________________.1111?,T?0,T??,???,Tn,???4523332535-1-

【命題立意】本題考查合情推理與演繹推理的相關(guān)知識，熟練掌握相關(guān)的推理規(guī)則是關(guān)鍵． 【思路點撥】觀察Tn的奇數(shù)項與偶數(shù)項的特點．

11T??333TT?0,T?0T?0n24nn23，【規(guī)范解答】觀察表達式的特點可以看出，???當為偶數(shù)時，；

T5?

1111

?T??nn55n23，???當n為奇數(shù)時，23．

【答案】

5.（2010·北京高考文科·Ｔ20）

已知集合Sn?{XX?(x1,x2,?,xn),xi?{0,1},i?1,2,?,n}(n?2)，對于A?

(a1,a2,...,an)，定義A與B的差為A?，AB?B?a(|??|,…?b?(|?b|,||,|a2a?b|,…|a|na?nbn|);1a1b2bn|);

A與B之間的距離為d(A,B)?

?a

i?1

n

i

?bi.（1）當n=5時，設(shè)A?(0,1,0,0,1),B?(1,1,1,0,0)，求A?B，d(A,B).（2）證明：?A,B,C?Sn,有A?B?Sn，且d(A?C,B?C)?d(A,B).（3）證明：?A,B,C?Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù).【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題，考查了學(xué)生運用新知識的能力.本題情景是全新的，對學(xué)生的“學(xué)習(xí)能力”提出了較高要求.要求教師真正重視學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)，更加注重學(xué)生“學(xué)習(xí)能力”“創(chuàng)新能力”的培養(yǎng)． 【思路點撥】（1）（2）直接按定義求解證明即可.(3)“至少”問題可采用反證法證明． 【規(guī)范解答】（1）

A?B?(0?1,?1,0?1,0?0,?0)

＝3.＝（1,0,1,0,1），d(A,B)?0?1??1?0?1?0?0??0

(2)設(shè)

A?(a1,a2,???,an),B?(b1,b2,???,bn),C?(c1,c2,???,cn)?Sn，所以

bi?ai(i?1,2,???,n)

中1的個數(shù)為k,ci?ai(i?1,2,???,n)

中1的個數(shù)為l，設(shè)t是使

bi?ai?ci?ai?1

成立的i的個數(shù)，則h?l?k?2t，由此可知，k,l,h三個數(shù)不可能都是奇數(shù)，即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)．

6.（2010·北京高考理科·Ｔ20）已知集合Sn?{XX?(x1,x2,?,xn),xi?{0,1},i?1,2,?,n}(n?2)，對于A?(a1,a2,...,an)，A與B之間的距離為d(A,B)?

定義A與B的差為

?a

i?1

n

i

?bi.（1）證明：?A,B,C?Sn,有A?B?Sn，且d(A?C,B?C)?d(A,B).（2）證明：?A,B,C?Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù).(3)設(shè)P?Sn，P中有m(m≥2)個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為d(P).證明：（P）≤

mn

.2(m?1)

【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題，考查了學(xué)生運用新知識的能力，考查了反證法、不等式證明等知識．本題情景是全新的，對學(xué)生的“學(xué)習(xí)能力”提出了較高要求．要求教師真正重視學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)，更加注重學(xué)生“學(xué)習(xí)能力”“創(chuàng)新能力”的培養(yǎng)．

【思路點撥】（1）直接按定義證明即可．（2）“至少”問題可采用反證法證明．(3)把來，再利用基本不等式證明． 【規(guī)范解答】（1）設(shè)因為從而

A,B?P

?d(A,B)表示出

A?(a1,a2,...,an)，B?(b1,b2,...,bn)，C?(c1,c2,...,cn)?Sn，所以

ai，bi??0,1?|ai?bi|??0,1?(i?1,2,...,n)，A?B?(|a1?b1|,|a2?b2|,...,|an?bn|)?Sn

n

又

d(A?C,B?C)??||ai?ci|?|bi?ci||

i?

1,由題意知當當

ai，bi，ci??0,1?(i?1,2,...,n)

.;,ci?0ci?1

時，||ai?ci|?|bi?ci||?|ai?bi|

時，||ai?ci|?|bi?ci||?|(1?ai)?(1?bi)|?|ai?bi|

n

所以(2)設(shè)

d(A?C,B?C)??|ai?bi|?d(A,B)

i?1

.,A?(a1,a2,...,an)，B?(b1,b2,...,bn)，C?(c1,c2,...,cn)?Sn

d(A,B)?k，d(A,C)?l，d(B,C)?h.記

O?(0,0,...,0)?Sn，由（1）可知,d(A,B)?d(O,B?A)?k，d(A,C)?d(O,C?A)?l,d(B,C)?d(B?A,C?A)?h,所以

|bi?ai|(i?1,2,...,n)

中1的個數(shù)為k，|ci?ai|(i?1,2,...,n)

中1的個數(shù)為l．

設(shè)t是使

|bi?ai|?|ci?ai|?1

成立的i的個數(shù)，則h?l?k?2t,由此可知，k,l,h三個數(shù)不可能都是奇數(shù)，即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)．

d(P)?

（3）

12Cm

A,B?P

?

d(A,B),其中A,B?P

?d(A,B)

t

表示P中所有兩個元素間距離的總和，設(shè)P中所有元素的第i個位置的數(shù)字中共有i個1，m?ti個0,則

A,B?P

?d(A,B)?t(m?t)

i

i

n

＝

i?1,m2?(i?1,2,...,n)t(m?t)ii4由于,nmd(A,B)??

4, 所以A,B?P

d(P)?

2Cm

從而nmmn

d(A,B)???2

4Cm2(m?1).A,B?P

【方法技巧】（1）證明“至少有一個??”時，一般采用反證法．

（2）證明不等式時要多觀察形式，適當變形轉(zhuǎn)化為基本不等式．

7.（2010·江蘇高考·Ｔ23）已知△ABC的三邊長都是有理數(shù)，（1）求證：cosA是有理數(shù).（2）求證：對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù).【命題立意】本題主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力.【思路點撥】（1）利用余弦定理表示cosA，由三邊a,b,c是有理數(shù)，求得結(jié)論.（2）可利用數(shù)學(xué)歸納法證明.b2?c2?a

2【規(guī)范解答】方法一：（1）設(shè)三邊長分別為a,b,c，cosA?，∵a,b,c是有理數(shù)，2bcb2?c2?a2是有理數(shù)，分母2bc為有理數(shù)，又有理數(shù)集對于除法具有封閉性，b2?c2?a2∴必為有理數(shù)，∴cosA是有理數(shù).2bc

（2）①當n?1時，顯然cosA是有理數(shù)；

當n?2時，∵cos2A?2cos2A?1，因為cosA是有理數(shù)，∴cos2A也是有理數(shù).②假設(shè)當n?k(k?2)時，結(jié)論成立，即coskA、cos(k?1)A均是有理數(shù)，當n?k?1時，cos(k?1)A?coskAcosA?sinkAsinA，cos(k?1)A?coskAcosA?[cos(kA?A)?cos(kA?A)]，21

1cos(k?1)A?coskAcosA?cos(k?1)A?cos(k?1)A，2

2解得：cos(k?1)A?2coskAcosA?cos(k?1)A，∵cosA，coskA，cos(k?1)A均是有理數(shù)，∴2coskAcosA?cos(k?1)A是有理數(shù)，∴cos(k?1)A是有理數(shù)，即當n?k?1時，結(jié)論成立.綜上所述，對于任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù).方法二：（1）由AB，BC，AC為有理數(shù)及余弦定理知，AB2?AC2?BC2

是有理數(shù).cosA?

2AB?AC

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和sinA?sinnA都是有理數(shù)，①當n?1時，由（1）知cosA是有理數(shù)，從而有sinA?sinA?1?cos2A也是有理數(shù).②假設(shè)當n?k(k?1)時，coskA和sinA?sinkA都是有理數(shù).當n?k?1時，由cos(k?1)A?cosA?coskA?sinA?sinkA，sinA?sin(k?1)A?sinA?(sinA?coskA?cosA?sinkA)?(sinA?sinA)?coskA?(sinA?sinkA)?cosA，由①和歸納假設(shè)，知cos(k?1)A和sinA?sin(k?1)A都是有理數(shù)，即當n?k?1時，結(jié)論成立.綜合①、②可知，對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù).

第二篇：2012高考試題分類：推理和證明

推理和證明

1.【2011江西高考理】觀察下列各式：55＝3 125,56＝15 625，57＝78 125，…，則52 011的末四位數(shù)字為

()

A．3125B．5625C．0625D．8125 2.【2012高考上海文】若Sn?sin

個數(shù)是（）

A、16B、72C、86D、100【答案】C 3.【2011陜西高考理】觀察下列等式

1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

……

照此規(guī)律，第n個等式為__________．

4.【2010陜西高考理】觀察下列等式：1＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝10，…，根據(jù)上述規(guī)

律，第五個等式為__________． ．．．．．5.【2012高考陜西文】觀察下列不等式

1?

?

?sin

2?7

?...?sin

n?7

（n?N?），則在S1,S2,...,S100中，正數(shù)的332,3332,33332

?

1?

?

?

53，1?

?

??

1413

??

5314

……

?15

照此規(guī)律，第五個不等式為【答案】1?．．．

222

?

?

116

.6.【2102高考福建文20】某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°（Ⅰ）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣位三角恒等式，并證明你的結(jié)論。

|x|?|y|?2的不同7.【2012高考江西文】觀察下列事實|x|?|y|?1的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為4，整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為8，|x|?|y|?3的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為12 ….則|x|?|y|?20的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為

A.76B.80C.86D.92【答案】B

8.【2012高考湖北】傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù)．他們研

究過如圖所示的三角形數(shù)：

將三角形數(shù)1,3,6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}．可以推測：

(1)b2 012是數(shù)列{an}中的第______項；(2)b2k－1＝______.(用k表示)

9.【2012高考湖北文】傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點或用小石子表示數(shù)。他

們研究過如圖所示的三角形數(shù)：

將三角形數(shù)1,3，6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}，可以推測：

（1）b2012是數(shù)列{an}中的第______項；

（2）b2k-1=______。（用k表示）【答案】（1）5030；（2）

xx?2

5k?5k?1?

10.【2011年高考山東卷理科】設(shè)函數(shù)f(x)?

xx?2, x3x?4

x7x?8

x15x?16, , ,(x?0),觀察:

f1(x)?f(x)?

f2(x)?f(f1(x))?f3(x)?f(f2(x))?f4(x)?f(f3(x))?

??

根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：

?

當n?N且n?2時，fn(x)?f(fn?1(x))?11.【2011年高考安徽卷理科】在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(x,y)為整點，下列

命題中正確的是_____________（寫出所有正確命題的編號）.①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點 ②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y?kx?b不經(jīng)過任何整點 ③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當且僅當l經(jīng)過兩個不同的整點

④直線y?kx?b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù) ⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線

12.【2011年高考湖北卷理科】給n個自上而下相連的正方形著黑色或白色．當n≤4時，在所有不同的著

色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：

．．．．

由此推斷，當n＝6時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有__________種，至少有兩個黑色正方形．．．．相鄰的著色方案共有__________種．(結(jié)果用數(shù)值表示)．．

13.觀察下列數(shù)字

照此規(guī)律，2013在第______行第________列 14.觀察下列數(shù)字

照此規(guī)律，2013在第______行第________列 15.觀察下列數(shù)字

照此規(guī)律，第2013個數(shù)字是______

第5題第6題

16.【2012高考全國文12】正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AE?BF?

13。

動點P從E出發(fā)沿直線向F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為

（A）8（B）6（C）4（D）3 【答案】B

17.【2012高考湖南文16】對于n?N?，將n表示為n?ak?2k?ak?1?2k?1???a1?21?a0?20,當i?k

時ai?1，當0?i?k?1時ai為0或1，定義bn如下：在n的上述表示中，當a0,a1，a2，…，ak中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時，bn=1；否則bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）記cm為數(shù)列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數(shù)，則cm的最大值是___.【答案】（1）3；（2）2.18.【2011高考湖南理】對于n∈N，將n表示為n?a0?2k?a1?2k?1?a2?2k?2???ak?1?21?ak?20，當i＝0時，ai＝1，當1?i?k時，ai為0或1.記I(n)為上述表示中ai為0的個數(shù)(例如：1＝1×20，4＝1×22＋0×2＋0×2，故I(1)＝0，I(4)＝2)，則

127

*

(1)I(12)＝______；(2)

?2

n?1

I(n)

?______.19.【2102高考北京文】設(shè)A是如下形式的2行3列的數(shù)表，滿足性質(zhì)P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0.記ri（A）為A的第i行各數(shù)之和（i=1,2），Cj（A）為第j列各數(shù)之和（j=1，2，3）；

記k（A）為|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。

對如下數(shù)表A，求k（A）的值

設(shè)數(shù)表A形如

其中-1≤d≤0，求k（A）的最大值；

（Ⅲ）對所有滿足性質(zhì)P的2行3列的數(shù)表A，求k(A)的最大值。

第三篇：2013年全國高考試題分類：推理與證明

第十三章推理與證明

考點一 合情推理與演繹推理

1.(2013湖南,15,5分)對于E={a1,a2,?,a100}的子集X={，?,},定義X的“特征數(shù)列”為x1,x2,?,x100,其中==?==1,其余項均為0.例如:子集{a2,a3}的“特征數(shù)列”為0,1,1,0,0,?,0.(1)子集{a1,a3,a5}的“特征數(shù)列”的前3項和等于;

(2)若E的子集P的“特征數(shù)列”p1,p2,?,p100滿足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征數(shù)列”q1,q2,?,q100滿足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,則P∩Q的元素個數(shù)為

.答案(1)2(2)17

2.(2013陜西,13,5分)觀察下列等式

(1+1)=2×

12(2+1)(2+2)=2×1×

3(3+1)(3+2)(3+3)=2×1×3×

5??

照此規(guī)律,第n個等式可為

.答案(n+1)(n+2)?(n+n)=2×1×3×?×(2n-1)

3.(2013湖北,17,5分)在平面直角坐標系中,若點P(x,y)的坐標x,y均為整數(shù),則稱點P為格點.若一個多邊形的頂點全是格點,則稱該多邊形為格點多邊形.格點多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的格點數(shù)記為N,邊界上的格點數(shù)記為L.例如圖中△ABC是格點三角形,對應(yīng)的S=1,N=0,L=4.n3

(1)圖中格點四邊形DEFG對應(yīng)的S,N,L分別是;

(2)已知格點多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c,其中a,b,c為常數(shù).若某格點多邊形對應(yīng)的N=71,L=18,則S=(用數(shù)值作答).答案(1)3,1,6(2)79

4.(2013江西,21,14分)設(shè)函數(shù)f(x)=a為常數(shù)且a∈(0,1).(1)當a=時,求f;

(2)若x0滿足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,則稱x0為f(x)的二階周期點.證明函數(shù)f(x)有且僅有兩個二階周期點,并求二階周期點x1,x2;

(3)對于(2)中的x1,x2,設(shè)A(x1, f(f(x1))),B(x2, f(f(x2))),C(a,0),記△ABC的面積為S(a),求S(a)在區(qū)間上的最大值和最小值

.解析(1)當a=時, f=,f=f=2=.(2)f(f(x))=

當0≤x≤a時,由x=x解得x=0, 因為f(0)=0,故x=0不是f(x)的二階周期點;

當a

=≠, 222

2故x=為f(x)的二階周期點;

當a

當a-a+1≤x≤1時,由(1-x)=x解得x=∈(a-a+1,1),因f

=·

=≠,故x=為f(x)的二階周期點.因此,函數(shù)f(x)有且僅有兩個二階周期點,x1=,x2=.(3)由(2)得

A,B,則S(a)=·,S'(a)=·,因為a∈,a+a<1,所以S'(a)=· =·>0.或令g(a)=a-2a-2a+2,g'(a)=3a-4a-2 =3,因a∈(0,1),g'(a)<0,則g(a)在區(qū)間上的最小值為g=>0,故對于任意a∈,g(a)=a-2a-2a+2>0, S'(a)=·>0

則S(a)在區(qū)間上單調(diào)遞增,故S(a)在區(qū)間上的最小值為S=,最大值為S=.考點二 直接證明與間接證明

5.(2013四川,10,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=(a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,則a的取值范圍是()

A.[1,e] B.[1,1+e] C.[e,1+e]

D.[0,1]

答案 A 22 22232232

x6.(2013陜西,21,14分)已知函數(shù)f(x)=e,x∈R.(1)求f(x)的反函數(shù)的圖象上點(1,0)處的切線方程;

(2)證明:曲線y=f(x)與曲線y=x+x+1有唯一公共點;

(3)設(shè)a

.解析(1)f(x)的反函數(shù)為g(x)=ln x,設(shè)所求切線的斜率為k,∵g'(x)=,∴k=g'(1)=1,于是在點(1,0)處切線方程為y=x-1.(2)解法一:曲線y=e與y=x+x+1公共點的個數(shù)等于函數(shù)φ(x)=e-x-x-1零點的個數(shù).∵φ(0)=1-1=0,∴φ(x)存在零點x=0.xxx又φ'(x)=e-x-1,令h(x)=φ'(x)=e-x-1,則h'(x)=e-1,當x<0時,h'(x)<0,∴φ'(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減.當x>0時,h'(x)>0,∴φ'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.∴φ'(x)在x=0處有唯一的極小值φ'(0)=0,x2x22

即φ'(x)在R上的最小值為φ'(0)=0.∴φ'(x)≥0(僅當x=0時等號成立),∴φ(x)在R上是單調(diào)遞增的,∴φ(x)在R上有唯一的零點,故曲線y=f(x)與y=x+x+1有唯一的公共點.解法二:∵e>0,x+x+1>0,∴曲線y=e與y=x+x+1公共點的個數(shù)等于曲線y=與y=1公共點的個數(shù),設(shè)φ(x)=,則φ(0)=1,即x=0時,兩曲線有公共點.又φ'(x)==≤0(僅當x=0時等號成立),∴φ(x)在R上單調(diào)遞減,∴φ(x)與y=1有唯一的公共點,故曲線y=f(x)與y= x+x+1有唯一的公共點.(3)-f

=-==[--(b-a)].設(shè)函數(shù)u(x)=e--2x(x≥0),則u'(x)=e+-2≥2-2=0,∴u'(x)≥0(僅當x=0時等號成立),∴u(x)單調(diào)遞增.當x>0時,u(x)>u(0)=0.令x=,則得--(b-a)>0,∴>f.7.(2013湖北,20,13分)如圖,某地質(zhì)隊自水平地面A,B,C三處垂直向地下鉆探,自A點向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏,再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無礦,從而得到在A處正下方的礦層厚度為A1A2=d1.同樣可得在B,C處正下方的礦層厚度分別為B1B2=d2,C1C2=d3,且d1

(2)在△ABC中,記BC=a,BC邊上的高為h,面積為S.在估測三角形ABC區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲量(即多面體A1B1C1-A2B2C2的體積V)時,可用近似公式V估=S中·h來估算.已知V=(d1+d2+d3)S,試判斷V估與V的大小關(guān)系,并加以證明.2x2x22xx

解析(1)依題意A1A2⊥平面ABC,B1B2⊥平面ABC,C1C2⊥平面ABC,所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1

由A1A2⊥平面ABC,MN?平面ABC,可得A1A2⊥MN.而EM∥A1A2,所以EM⊥MN,同理可得FN⊥MN.由MN是△ABC的中位線,可得MN=

BC=a,即為梯形DEFG的高,因此S中=S梯形DEFG

=·=(2d1+d2+d3),即V估=S中·h=(2d1+d2+d3).又S=ah,所以V=(d1+d2+d3)S=(d1+d2+d3).于是V-V估=(d1+d2+d3)-(2d1+d2+d3)=[(d2-d1)+(d3-d1)].由d10,d3-d1>0,故V估

(2)證明:當f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時,x1+x2

<0.解析(1)函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,+∞).f '(x)='e+e=e

=e.當x<0時, f '(x)>0;

當x>0時, f '(x)<0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞).(2)當x<1時,由于>0,e>0,故f(x)>0;

同理,當x>1時, f(x)<0.當f(x1)=f(x2)(x1 ≠x2)時,不妨設(shè)x1

第四篇：高考文科數(shù)學(xué)試題分類—推理與證明

高中數(shù)學(xué)

高考文科試題解析分類匯編：推理和證明

1.【高考全國文12】正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，1AE?BF?。動點P從E出發(fā)沿直線向F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反3

射角等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為

（A）8（B）6（C）4（D）3

1151?2?3?，233

11151?2?2?2? 2343……

照此規(guī)律，第五個不等式為.．．．

高中數(shù)學(xué)

【答案】1?

1111111?????.22324252626

1，【解析】觀察不等式的左邊發(fā)現(xiàn)，第n個不等式的左邊=1?1?1???

2232?n?1?

右邊=

11111112?n?1??1，所以第五個不等式為1?2?2?2?2?2?．

234566n?1

?

5.【高考湖南文16】對于n?N，將n表示為n?ak?2k?ak?1?2k?1???a1?21a0?20,當i?k時ai?1，當0?i?k?1時ai為0或1，定義bn如下：在n0,a1，a2，…，ak中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時，bn=1；否則bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）記cm為數(shù)列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0cm是___.【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）觀察知1?a0?20,a0?1,b1?1；2?121?00,1?b2?1； 一次類推3?1?21?1?20,b3?0；4?1?2?0,5?1?22?0?21?1?20,b5?0；2?2106?0，b7?1,b8?1，b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm..6.【高考湖北文17】，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成{an}中的第______項；（Ⅱ）b2k-1。（用k表示）【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）

5k?5k?1?

n(n?1)，寫出其若2

【解析】由以上規(guī)律可知三角形數(shù)1,3,6,10,…,的一個通項公式為an?

干項有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,發(fā)現(xiàn)其中能被5整除的為10,15,45,55,105,110,故b1?a4,b2?a5,b3?a9,b4?a10,b5?a14,b6?a15.從而由上述規(guī)律可猜想：b2k?a5k?

5k(5k?1)

（k為正整數(shù)），2

(5k?1)(5k?1?1)5k(5k?1)

b2k?1?a5k?1??，22

故b2012?a2?1006?a5?1006?a5030,即b2012是數(shù)列{an}中的第5030項.【點評】本題考查歸納推理，猜想的能力.歸納推理題型重在猜想，不一定要證明，但猜想

需要有一定的經(jīng)驗與能力，不能憑空猜想.來年需注意類比推理以及創(chuàng)新性問題的考查.質(zhì)，并且，因此，不妨設(shè)112，由的定義，(A從)c而k(?1A)r(?1A),k?(A)k3k?1(A)?r1(A?2)c?(A ?)c?(A?)a(?b?(a?b?c?d?e?f)?(a?b?f)?a?b?f?3

因此k(A)?1，由（2）知，存在滿足性質(zhì)P的數(shù)表A，使k(A)?1，故k(A)的最大值為知，1。

8.【高考福建文20】20.（本小題滿分13分）

某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)。（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

第五篇：2009年高考數(shù)學(xué)試題分類——推理與證明

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2009年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編

推理與證明

1、(湖北卷理)10.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)。比如：

他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù)。下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是

A.289B.1024C.1225D.1378

10.【答案】C

【解析】【解析】由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項a?nn(n?1)，同理可得正方形數(shù)構(gòu)

2n成的數(shù)列通項bn?n2，則由bn?n2(n?N?)可排除A、D，又由a?

數(shù)，故選C.n(n?1)知an必為奇

22、（江蘇卷）8.在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內(nèi)，若兩個正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為.【解析】 考查類比的方法。體積比為1：83、（北京卷理）14．已知數(shù)列{an}滿足：a4n?3?1,a4n?1?0,a2n?

a2009?________； ?則an,n?N,版權(quán)所有@高考資源網(wǎng)

a2014=_________.【答案】1，0

【解析】本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識.屬于創(chuàng)新題型.依題意，得a2009?a4?503?3?1，a2014?a2?1007?a1007?a4?252?1?0.∴應(yīng)填1，0.4、(湖南卷)

15、將正⊿ABC分割成n2（n≥2，n∈N）個全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個三角形的頂點各放置一個數(shù)，使位于⊿ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當數(shù)的個數(shù)不少于3時）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點A ,B ,C處的三個數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)= 10，…，f(n)=

31(n+1)(n+2)6

15.【答案】：101,(n?1)(n?2)36

【解析】當n=3時，如圖所示分別設(shè)各頂點的數(shù)用小寫字母表示，即由條件知a?b?c?1,x1?x2?a?b,y1?y2?b?c,z1?z2?c?a

x1?x2?y1?y2?z1?z2?2(a?b?c)?2,2g?x1?y2?x2?z1?y1?z

26g?x1?x2?y1?y2?z1?z2?2(a?b?c)?2 即g?11110而f(3)?a?b?c?x1?x2?y1?y2?z1?z2?g?1??? 3233

進一步可求得f(4)?5。由上知f(1)中有三個數(shù)，f(2)中 有6個數(shù)，f(3)中共有10個數(shù)相加，f(4)中有15個數(shù)相加….，若f(n?1)中有an?1(n?1)個數(shù)相加，可得f(n)中有(an?1?n?1)個數(shù)相加，且由

363?331045f(1)?1?,f(2)???f(1)?,f(3)??f(2)?,f(4)?5?f(3)?,...3333333

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n?1,所以 3

n?1n?1nn?1nn?13f(n)?f(n?1)??f(n?2)???...?????f(1)3333333

n?1nn?13211??????(n?1)(n?2)=3333336可得f(n)?f(n?1)?

5、(浙江卷)15．觀察下列等式：

1C5?C55?23?2，159C9?C9?C9?27?23，15913C13?C13?C13?C13?211?25，159C1C1?3C7?C1?7C?17171715?217?2，………

由以上等式推測到一個一般的結(jié)論：

1594n?1對于n?N，C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?． *

答案：24n?1???1?22n?1

nn【解析】這是一種需類比推理方法破解的問題，結(jié)論由二項構(gòu)成，第二項前有??1?，二項指

數(shù)分別為24n?n1?,，2

n因此對于n?N*，1594n?124n?1???1?22n?1 C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?

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