第一篇：2015年考研數(shù)學(xué)微積分真題復(fù)習(xí)法

http://004km.cn/ 2015年考研數(shù)學(xué)微積分真題復(fù)習(xí)法

歷年真題利用的好，能為你節(jié)省時(shí)間，同時(shí)讓你保持清晰的復(fù)習(xí)思路。所以對(duì)歷年真題的學(xué)習(xí)和研究應(yīng)該貫穿整個(gè)復(fù)習(xí)過(guò)程。下面，我們就如何有效利用歷年真題把握考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn)的問(wèn)題，與大家展開(kāi)探討。

一、歷年微積分考試命題特點(diǎn)

微積分復(fù)習(xí)的重點(diǎn)根據(jù)考試的趨勢(shì)來(lái)看，難度特別是怪題不多，就是綜合性串題。以往考試選擇填空題比較少，而2013年變大了。微積分一共74分，填空、選擇占32分。第一是要把基本概念、基本內(nèi)容有一個(gè)系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，選擇填空題很重要。幾大運(yùn)算，一個(gè)是求極限運(yùn)算，還有就是求導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算占了很大的比重，這是一個(gè)很重要的內(nèi)容。當(dāng)然，還有積分，基礎(chǔ)還是要把基本積分類型基礎(chǔ)搞清楚，定積分就是對(duì)稱性應(yīng)用。二重積分就是要分成兩個(gè)累次積分。三大運(yùn)算這是我們的基礎(chǔ)，應(yīng)該會(huì)算，算的概念比如說(shuō)極限概念、導(dǎo)數(shù)概念、積分概念。

二、微積分中三大主要函數(shù)

微積分處理的對(duì)象有三大主要函數(shù)，第一是初等函數(shù)，這是最基礎(chǔ)的東西。在初等函數(shù)的基礎(chǔ)上對(duì)分段函數(shù)，在微積分的概念里都有分段函數(shù)，處理的一般方法應(yīng)該掌握。還有就是研究生考試最常見(jiàn)的是變限積分函數(shù)。這是我們經(jīng)常遇到的三大基本函數(shù)。

三、微積分復(fù)習(xí)方法

微積分復(fù)習(xí)內(nèi)容很多，題型也多，靈活度也大。怎么辦呢?這其中有一個(gè)調(diào)理辦法，首先要看看輔導(dǎo)書(shū)、聽(tīng)輔導(dǎo)課，老師給你提供幫助，會(huì)給你一個(gè)比較系統(tǒng)的總結(jié)。老師總結(jié)的東西，比如說(shuō)我在考研教育網(wǎng)輔導(dǎo)課程中總結(jié)了很多的點(diǎn)，每一個(gè)點(diǎn)要掌握重點(diǎn)，要舉一反三搞清楚。從具體大的題目來(lái)講，基本運(yùn)算是考試的重要內(nèi)容。應(yīng)用方面，無(wú)非是在工科強(qiáng)調(diào)物理應(yīng)用，比如說(shuō)旋轉(zhuǎn)體的面積、體積等等。在經(jīng)濟(jì)里面的經(jīng)濟(jì)運(yùn)用，彈性概念、邊際是經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要概念，包括經(jīng)濟(jì)的函數(shù)。還有一個(gè)更應(yīng)該掌握的，比如集合、旋轉(zhuǎn)體積應(yīng)用面等等，大的題目都是在經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)上延伸出的問(wèn)題，只有數(shù)學(xué)化了之后，才能處理數(shù)學(xué)模型。

還有中值定理，還有微分學(xué)的應(yīng)用，比如說(shuō)單調(diào)性、凹凸性的討論、不等式證明等等。應(yīng)用部分包括證明推斷的內(nèi)容。

簡(jiǎn)單概括一下就是三個(gè)基本函數(shù)要搞清楚，三大運(yùn)算的基礎(chǔ)要搞熟，概念點(diǎn)要看看參考書(shū)地都有系統(tǒng)的總結(jié)，哪些點(diǎn)在此就不一一列了。計(jì)算題、應(yīng)用題、函數(shù)微分學(xué)延伸出的證明題都要搞熟。

以上內(nèi)容希望能對(duì)2015年的同學(xué)們有所幫助，預(yù)祝同學(xué)們考研順利!

第二篇：2018考研數(shù)學(xué)：微積分如何復(fù)習(xí)？

凱程考研輔導(dǎo)班，中國(guó)最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)

2018考研數(shù)學(xué)：微積分如何復(fù)習(xí)？

微積分的基本內(nèi)容可以分為三大塊：一元函數(shù)微積分，多元函數(shù)微積分(主要是二元函數(shù))，無(wú)窮級(jí)數(shù)和常微分方程與差分方程。一元函數(shù)微積分學(xué)的凱程是考研數(shù)學(xué)三微積分部分出題的重點(diǎn)，應(yīng)引起重視。多元函數(shù)微積分學(xué)的出題焦點(diǎn)是二元函數(shù)的微分及二重積分的計(jì)算。無(wú)窮級(jí)數(shù)和常微分方程與差分方程考查主要集中在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)、收斂區(qū)間及收斂域、解簡(jiǎn)單的常微分方程等。下面從三個(gè)方面來(lái)談微積分復(fù)習(xí)方法。

一、基本內(nèi)容扎實(shí)過(guò)一遍

事實(shí)上，數(shù)學(xué)三考微積分相關(guān)內(nèi)容的題目都不是太難，但是出題老師似乎對(duì)基本計(jì)算及應(yīng)用情有獨(dú)鐘，所以對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)扎扎實(shí)實(shí)地復(fù)習(xí)一遍是最好的應(yīng)對(duì)方法。閱讀教材雖然是奠定基礎(chǔ)的一種良方，但參考一下一些輔導(dǎo)資料，如《微積分過(guò)關(guān)與提高》等，能夠有效幫助同學(xué)們從不同角度理解基本概念、基本原理，加深對(duì)定理、公式的印象，增加基本方法及技巧的攝入量。對(duì)基本內(nèi)容的復(fù)習(xí)不能只注重速度而忽視質(zhì)量。在看書(shū)時(shí)帶著思考，并不時(shí)提出問(wèn)題，這才是好的讀懂知識(shí)的方法。

二、讀書(shū)抓重點(diǎn)

在看教材及輔導(dǎo)資料時(shí)要依三大塊分清重點(diǎn)、次重點(diǎn)、非重點(diǎn)。閱讀數(shù)學(xué)圖書(shū)與其他文藝社科類圖書(shū)有個(gè)區(qū)別，就是內(nèi)容沒(méi)有那么強(qiáng)的故事性，同時(shí)所述理論有一定抽象性，所以在此再一次提醒同學(xué)們讀書(shū)需要不斷思考其邏輯結(jié)構(gòu)。比如在看函數(shù)極限的性質(zhì)中的局部有界性時(shí)，能夠聯(lián)系其在幾何上的表現(xiàn)來(lái)理解，并思考其實(shí)質(zhì)含義及應(yīng)用。三大塊內(nèi)容中，一元函數(shù)的微積分是基礎(chǔ)，定義一元函數(shù)微積分的極限及微積分的主要研究對(duì)象——函數(shù)及連續(xù)是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)。這個(gè)部分也是每年必定會(huì)出題考查的，必須引起注意。多元函數(shù)微積分，主要是二元函數(shù)微積分，這個(gè)部分大家需要記很多公式及解題捷徑。無(wú)窮級(jí)數(shù)和常微分方程與差分方程部分的重點(diǎn)很容易把握，考點(diǎn)就那幾個(gè)，需要注意的是其與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合出題的情況。

三、做題檢測(cè)學(xué)習(xí)效果

大量做題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)區(qū)別與其他文科類科目的最大區(qū)別。在大學(xué)里，我們常常會(huì)看到，平時(shí)不斷輾轉(zhuǎn)于各自習(xí)室占坐埋頭苦干的多數(shù)是學(xué)數(shù)學(xué)的，而那些平時(shí)總抱著小說(shuō)看，還時(shí)不時(shí)花前月下的同學(xué)多半是文科院系的。并不是對(duì)兩個(gè)院系的同學(xué)有什么詬病，這種狀況只是所學(xué)專業(yè)特點(diǎn)使然。在備考研究生考試數(shù)學(xué)的時(shí)候，如果充分了解其特點(diǎn)，就能對(duì)癥下藥。微積分的選擇及填空題考查的是基本知識(shí)的掌握程度及技巧的靈活運(yùn)用大家可以找一本相關(guān)習(xí)題多練練。微積分的解答題注重計(jì)算及綜合應(yīng)用能力，平時(shí)多做這方面的題目既可以練習(xí)做題速度及提高質(zhì)量，也能檢測(cè)復(fù)習(xí)效果。

其實(shí)看看凱程考研怎么樣，最簡(jiǎn)單的一個(gè)辦法，看看他們有沒(méi)有成功的學(xué)生，最直觀的辦法是到凱程網(wǎng)站，上面有大量學(xué)員經(jīng)驗(yàn)談視頻，這些都是凱程扎扎實(shí)實(shí)的輔導(dǎo)案例，其他機(jī)構(gòu)網(wǎng)站幾乎沒(méi)有考上學(xué)生的視頻，這就是凱程和其他機(jī)構(gòu)的優(yōu)勢(shì)，凱程是扎實(shí)輔導(dǎo)、嚴(yán)格管理、規(guī)范教學(xué)取得如此優(yōu)秀的成績(jī)。

辨別凱程和其他機(jī)構(gòu)誰(shuí)靠譜的辦法。

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凱程考研輔導(dǎo)班，中國(guó)最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)

第三篇：微積分II真題含答案

微積分II真題含答案

一、填空題（每題3分，共30分）

1、函數(shù)的定義域是____________.2、設(shè)，則________________.3、廣義積分的斂散性為_(kāi)____________.4、____________

.5、若

.6、微分方程的通解是

____.7、級(jí)數(shù)的斂散性為

.8、已知邊際收益R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,則總收益函數(shù)R(x)=____________.9、交換的積分次序=

.10、微分方程的階數(shù)為

_____階.二、單選題（每題3分，共15分）

1、下列級(jí)數(shù)收斂的是（）

A，B，C，D，2、，微分方程的通解為（）

A，B，C，D，3、設(shè)D為：，二重積分=（）

A,B,C,D，04、若

A,B,C,D,5、=（）

A,0

B,1

C,2

D,三、計(jì)算下列各題（本題共4小題，每小題8分，共32分）

1．已知

2.求，其中D是由，x=1和x軸圍成的區(qū)域。

3.已知z=f(x,y)由方程確定，求

4.判定級(jí)數(shù)的斂散性.四、應(yīng)用題（本題共2小題，每小題9分，共18分）：

1.求由

和x軸圍成的圖形的面積及該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

2.已知x表示勞動(dòng)力，y表示資本，某生產(chǎn)商的生產(chǎn)函數(shù)為，勞動(dòng)力的單位成本為200元，每單位資本的成本為400元，總預(yù)算為100000元，問(wèn)生產(chǎn)商應(yīng)如何確定x和y，使產(chǎn)量達(dá)到最大？。

五、證明題（5分）

一、填空題（每小題3分，共30分）

1,2，3，發(fā)散

4，0

5，6，y=cx

7，收斂

8，R(x)=x3+1000x

9，10，2

二、單選題（每小題3分，共15分）

1，B

2，B

3，C

4，C

5，D

三、計(jì)算題（每小題8分，共32分）

1、解：

令2、3、整理方程得：

4、先用比值判別法判別的斂散性，（2分）

收斂，所以絕對(duì)收斂。(交錯(cuò)法不行就用比較法)

（8分）

四、應(yīng)用題（每小題9分，共18分）

1、解：

2、解：約束條件為200x+400y-100000=0

（2分）

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，（4分）,求一階偏導(dǎo)數(shù)，（6分）

得唯一解為：，（8分）

根據(jù)實(shí)際意義，唯一的駐點(diǎn)就是最大值點(diǎn)，該廠獲得最大產(chǎn)量時(shí)的x為40，y為230.（9分）

五、證明題（5分）

證明：設(shè)對(duì)等式兩邊積分，得：

（2分）

（4分）

解得：

題設(shè)結(jié)論得證。

（5分）

一、填空題（每題2分，共20分）

1、函數(shù)的定義域是_______

2、__________

3、_______

4、若___________

5、設(shè)可微，則

6.已知滿足方程則

_______

7、交換的積分次序=__________________

8、級(jí)數(shù)__________

9、若級(jí)數(shù)的收斂，則k的取值范圍是

10、微分方程的通解是

____

二、單選題（每題2分，共10分）

1、若廣義積分，則k=（）

A，B，C，D，2、若滿足方程，則

（）

A，0

B，1

C，D，3、設(shè)D為：，二重積分=____________

A,B,C,D，4、下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是（）

A,B，C

D5、微分方程的階數(shù)為

（）

A,1

B，2

C

D

三、計(jì)算下列各題（本題共4小題，每小題8分，共48分）

1．計(jì)算

2.已知，求

3.計(jì)算二重積分，其中D由，及所圍成。

4.求一階線性微分方程的通解.5．

判別級(jí)數(shù)的收斂性，若收斂，是條件收斂還是絕對(duì)收斂？

6．計(jì)算定積分。

四、應(yīng)用題（本題共2小題，每小題9分，共18分）：

1.求由曲線與所圍成的圖形的面積及該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

2.某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x和y，總成本函數(shù)，需求函數(shù)分別為（p1，p2分別為兩種產(chǎn)品的價(jià)格），產(chǎn)量受的限制，求該廠獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量x和y。

五、證明題（4分）

證明：

一、填空題（每題2分，共20分）

1、，2、，3、0，4、，5、0，6.7、，8、29、，10、（c為任意常數(shù)）

二、單選題（每題2分，共10分）

1、D2、D，3、C,4、B，5、C

三、計(jì)算下列各題（本題共4小題，每小題8分，共48分）

1．計(jì)算

解：

--------

4分

-----------8分

2.已知，求

解：兩邊去自然對(duì)數(shù)，兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)數(shù)，---------

4分

整理得

所以

------------

8分

3.計(jì)算二重積分，其中D由，及所圍成。

解：畫(huà)圖（2分），Y-型，-----------

分

-------------

8分

4.求一階線性微分方程的通解.解：方法1：

直接算，，方法2：原方程可以化為，直接代入公式，------------

分

（c為任意常數(shù)）

--------------

8分

5．這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，一般項(xiàng)為。

先判斷是否收斂，是一個(gè)P-級(jí)數(shù)，且P=，發(fā)散。

----------------2’

----------------------------------4’

----------------------------------6’

根據(jù)萊布尼茨定理，級(jí)數(shù)收斂，而且是條件收斂。

-----------------------------8’

6．積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又為偶函數(shù)，則

=2

----------------------------------2’

=

--------------------------------4’

=

--------------------------------6’

==

--------------------------------8’

四、應(yīng)用題（本題共2小題，每小題9分，共18分）：

1.求由曲線與所圍成的圖形的面積及該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

解：畫(huà)圖（2分）

-----------------

5分

=

----------------

9分

2.某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x和y，總成本函數(shù)，需求函數(shù)分別為（p1，p2分別為兩種產(chǎn)品的價(jià)格），產(chǎn)量受的限制，求該廠獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量x和y。

解：由題意知，收入函數(shù)為

利潤(rùn)函數(shù)

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，-------------

5分，解得

----------------

9分

五、證明題（4分）

利用級(jí)數(shù)的斂散性，證明：

證明：先證明級(jí)數(shù)收斂，用比值判別法，所以級(jí)數(shù)收斂

由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知道，即

一、填空題（每小題3分，共15分）

1．設(shè),則=

.2．

當(dāng)

時(shí),收斂.3．

交換積分次序

.4．

已知級(jí)數(shù)收斂,則=

.5．

若，其中具有二階偏導(dǎo)數(shù)，則=

.二、單選題（每小題3分，共15分）

1．（）.(A)

;

(B)

;

(C)

;

(D).2.函數(shù)在上可積的必要條件是在上（）

（A）連續(xù)

;

（B）有界;

（C）

無(wú)間斷點(diǎn);

(D)有原函數(shù).3．下列反常積分收斂的是（）

(A);

(B)

;

(C)

;

(D)

.4．下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是（）.(A)

;

(B)

;(C)

;(D)

.5．

微分方程的通解是（）

(A)

;

(B)

;

(C)

;

(D).三、計(jì)算題I（每題6分，共24分）

1.求.2.設(shè),求.3.求，其中D由圍成.4.判別級(jí)數(shù)的斂散性.四、計(jì)算題II（每題8分，共24分）

5.求.6.設(shè)由方程確定,其中可微,求.7.求微分方程的特解.五、應(yīng)用題（每小題8分，共16分）

1.求由與所圍成的平面圖形的面積,并求此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積.2．設(shè)某工廠生產(chǎn)甲和乙兩種產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為x和y(千件),利潤(rùn)函數(shù)為(萬(wàn)元)

已知生產(chǎn)每千件甲或乙產(chǎn)品均需要消耗某原料2噸,現(xiàn)有該原料12噸,問(wèn)兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時(shí),總

利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?

六、證明題（6分）

證明：若收斂，則發(fā)散.一、1.;

2.;

3.;

4.;

5..二、BBACD

三、1.解:原式=

(3分)

.(6分)

2.解:

(2分)

(4分)

(6分)

3.解：原式=

（2分）

（4分）

.（6分）

4.解:記,取

(4分)

又

收斂

故原級(jí)數(shù)收斂.(6分)

四、5．解：令，即，則

當(dāng)時(shí)，（2分）

故原式

（4分）

（6分）

.（8分）

6．解：記

（4分）

（8分）

7．解：原方程可化為------一階線性微分方程

此時(shí)，（2分）

故原方程的通解為

（4分）

（6分）

由,得

從而，所求原方程的特解為

.（8分）

五、1.解：1>

故所求圖形的面積為

（4分）

2>所求旋轉(zhuǎn)體的體積為

（5分）

.（8分）

2.解:顯然,有條件成立,作輔助函數(shù)

(3分)

令

解之得唯一駐點(diǎn)

(6分)

故當(dāng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品3.8千件,乙產(chǎn)品2.2千件時(shí),利潤(rùn)最大,且最大利潤(rùn)為

(萬(wàn)元).(8分)

六、證明：證明：由于

（3分），又因?yàn)?/p>

收斂，故收斂，從而，絕對(duì)收斂.（6分）

1．函數(shù)的定義域是

.2．

.3．

若___________.4．

設(shè)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，則

.5．

=

.6．

廣義積分收斂，則

.7．

交換積分次序=

.8．

設(shè)D為所圍區(qū)域，則

.9．

=

.10.方程是

階微分方程

.三、單選題（每小題3分，共15分）

1．廣義積分收斂于（）.A.0

;

B.;

C.;

D..2.設(shè)積分區(qū)域D是（）.A.;

B.;

C.;

D..3．下列級(jí)數(shù)中條件收斂的是（）.A.;

B.;

C.;

D..4．設(shè)，其中可微，則（）

A.;

B.C.D.5．微分方程的通解是（）。

A.;

B.;

C.;

D..三、計(jì)算題（每題8分，共32分）

1.求.2.設(shè)D由曲線圍成,求

3.已知，求.4.判別級(jí)數(shù)的斂散性.四、應(yīng)用題（每小題9分，共18分）

1.設(shè)D由與所圍成，求：（1）平面圖形的面積；（2）此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。

2.某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，當(dāng)產(chǎn)量分別為時(shí)，成本函數(shù),需求函數(shù)分別為,分別為兩種產(chǎn)品的價(jià)格，產(chǎn)品受的限制，求工廠獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量和價(jià)格。

五、證明題（5分）

設(shè)，其中F可微。證明：

一.1.;

2.0

;

3.;

4.；5.0

;

6.;

7.;

8.2(2ln2-1);

9.1；

10.2.二.C

A

D

C

B

三.1.解:原式=

(3分)

(6分)

(8分)

2．解:畫(huà)積分區(qū)域草圖，聯(lián)立方程求交點(diǎn)得：，（2分）

原式=.(4分)

（5分）

（8分）

3.解:

令，則

(3分)

(5分)

(8分)

4.解:用比值判別法

(2分)

(4分)

(6分)

原級(jí)數(shù)收斂.(8分)

四.1.解：(1)，（2分）

故所求圖形的面積為

（5分）

(2)所求旋轉(zhuǎn)體的體積為

.（9分）

2.解:由需求函數(shù)x,y得：，利潤(rùn)函數(shù)

=

=

(2分)

作輔助函數(shù)

=

(4分)

令

解之得唯一駐點(diǎn)

(6分)

故當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)量分別為及時(shí)工廠獲得的利潤(rùn)最大,此時(shí)兩種產(chǎn)品的價(jià)格分別為

(9分)

五．證明：

（3分），.（5分）

故等式成立。

一、填空題（每小題3分，共30分）

1.函數(shù)的定義域是

.2.設(shè)域是，則

.3.交換積分次序

.4.設(shè)資本投入為，勞動(dòng)投入為時(shí)，某產(chǎn)品的產(chǎn)出量為，且為常數(shù)，則對(duì)資本的偏彈性，對(duì)資本的偏彈性

.5.設(shè)

.6.若則

.7.當(dāng)滿足條件

時(shí)收斂。

8.微分方程的通解為

.9.設(shè)，其中可微，則

.10..二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）

1.=（）.A.;

B.;

C.;

D..2.已知，則（）.A.B.C.D..3.若，則（）.A.B.C.D.4.下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是（）

A.;

B.;

C

.;

D

..5.微分方程的階數(shù)為（）.A

.3

;

B.4

;

C

.2

;

D.6.三．

計(jì)算題（每小題8分，共32分）

1.設(shè),求.2.若D是由所圍成的區(qū)域,求之值。

3.判別級(jí)數(shù)的收斂性。

4.求方程的通解。

四．應(yīng)用題（每小題9分，共18分）

1.設(shè)平面區(qū)域D由拋物線與直線

圍成,求:（1）D的面積；（2）D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積。

2.設(shè)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量是勞動(dòng)力和原料的函數(shù)，若勞動(dòng)力單價(jià)為100元，原料單價(jià)為200元，則在投入3萬(wàn)元資金用于生產(chǎn)的情況下，如何安排勞動(dòng)力和原料，可使產(chǎn)量最多。

五．證明題（5分）：

證明：.一.1.;

2.;

3.;

4.;

5.；6.5

;

7.;

8.y=;

9..10.tanx

二.D

B

A

D

A

三.1.解:

令，(2分)

則

(4分)

(8分)

.2.解:

聯(lián)立

解得兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)

（2分）

（4分）

（8分）

3.解:

（4分）

(4分)

又是幾何級(jí)數(shù)，公比收斂

故由比較判別法知原級(jí)數(shù)收斂.(8分)

(或者用比較判別法的極限形式)

4.解：，代入原方程得

（2分）

分離變量

（4分）

兩邊積分

將

回代得方程的解

（8分）

四．1.解：（1），故所求圖形的面積為

（4分）

（2），所求旋轉(zhuǎn)體的體積為

（9分）

2.解:顯然,有條件成立,作輔助函數(shù)

(3分)

令

（5分）

解之得唯一駐點(diǎn)

(7分)

由問(wèn)題實(shí)際意義知最大產(chǎn)量存在，故當(dāng)勞動(dòng)力為單位，原料為單位時(shí)產(chǎn)量最大。

(9分)

五．證明：交換積分次序：

等式左邊==右邊.故等式成立。

一、填空題（每題3分，共30分）

1.函數(shù)的定義域是

.2.=

.3.=_

___

__

.4.=

.5.=

.6.=??????????????．

7.設(shè)，其中

在D上連續(xù)，則

=

.8.方程是

階微分方程

.9.設(shè),則

=

.10.交換積分次序=

.二、單選題（每題3分，共15分）

1.=（）．

A.．??????B.2．???????C.0．????D.1．

2.設(shè)，其中可微，則

=（）.A.B.C.D.1

3.設(shè)，則=（）.A.B.C.D.4.設(shè)D由圓周，及直線所圍的第一象限部分，二重積分的值=（）．

A．．????????B．．???????C．.D．．

5.下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是（）

.A．

B.C.D.三、計(jì)算題（每題8分，共32分）

.求。

2.設(shè)由方程確定，求。

3.求。

4.求微分方程的通解。

四、應(yīng)用題（每題9分，共18分）

1.設(shè)平面區(qū)域D由曲線圍成，求D的面積及D繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

2．設(shè)某工廠生產(chǎn)甲和乙兩種產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為x和y(千件),利潤(rùn)函數(shù)為(萬(wàn)元)，已知生產(chǎn)每千件甲或乙產(chǎn)品均需要消耗某原料2噸,現(xiàn)有原料10噸剛好用完,問(wèn)兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時(shí),總利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?

五、證明題（5分）

證明

一、填空題（每小題3分，共30分）

1.;

2.;

3.0;

4.1；

5.1

;

6.2

;

7.2;

8.二;

9.；

10..二、單選題（每小題3分，共15分）

1.A

.B

3.A

4.B

5.C

三、計(jì)算題（每小題8分，共32分）

.解：

令

則

原式

（5分）

.（8分）

2.解設(shè)

則

(5分)

(8分)

3.解：

（4分）

（6分）

（8分）

4.解：

代入原方程得

分離變量

（4分）

兩邊積分

（6分）

得

故原方程的通解為

（C

為任意常數(shù))

（8分）

四、應(yīng)用題（每小題9分，共18分）

1.先求的交點(diǎn)（0，0），（1，1）

(4分)

(9分)

2.解:顯然,有條件成立,作輔助函數(shù)

(3分)

令

解之得唯一駐點(diǎn)

(7分)

故當(dāng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品3千件,乙產(chǎn)品2千件時(shí),利潤(rùn)最大,且最大利潤(rùn)為

(9分)

五、證明題（5分）

證明：考察級(jí)數(shù)，由于

（3分）

所以此級(jí)數(shù)收斂，故

（5分）

一、填空題（每題3分，共30分）

1.函數(shù)的定義域是

.2.=

.3.設(shè)，則=??????????????．

4.=_

___

__

.5.=

.6.=

.7.設(shè)，其中

在D上連續(xù)，則

=

.8.方程是

階微分方程

.9.設(shè),則

=

.10.交換積分次序=

.二、單選題（每題3分，共15分）

1.在上的平均值是（）.A.B.C.D.2.=（）．

A.．??????B.．???????C.．????D.．

3.設(shè)D由圓周，及直線所圍的第一象限部分，二重積分的值=（）．

A．．????????B．．???????C．.D．．

4.設(shè)，其中可微，則

=（）.A.B.C.D.5.下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是（）

.A．

B.C.D.三、計(jì)算題（每題8分，共32分）

.求。

2.設(shè)由方程確定，求。

3.求。

4.求微分方程的通解。

四、應(yīng)用題（每題9分，共18分）

1．設(shè)某工廠生產(chǎn)甲和乙兩種產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為x和y(千件),利潤(rùn)函數(shù)為(萬(wàn)元)，已知生產(chǎn)每千件甲或乙產(chǎn)品均需要消耗某原料1噸,現(xiàn)有原料5噸剛好用完,問(wèn)兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時(shí),總利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?

2.設(shè)平面區(qū)域D由曲線圍成，求D的面積及D繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

五、證明題（5分）

證明

一，填空題（每小題3分，共30分）

1.;

2.;

3.0;

4.0；

5.3

;

6.6

;

7.7;

8.二;

9.；

10..二，單選題（每小題3分，共15分）

1.B

.A

3.B

4.A

5.D

三，計(jì)算題（每小題8分，共32分）

.解：

（4分）

（8分）

2.解設(shè)

則

（3分）

(6分)

（8分）

3.解：

（4分）

（6分）

（8分）

5.解：

分離變量

（3分）

兩邊積分

（5分）

得

故原方程的通解為

（C

為任意常數(shù))

（8分）

四，應(yīng)用題（每小題9分，共18分）

1.解:顯然,有條件成立,作輔助函數(shù)

(3分)

令

解之得唯一駐點(diǎn)

(7分)

故當(dāng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品3千件,乙產(chǎn)品2千件時(shí),利潤(rùn)最大,且最大利潤(rùn)為

(9分)

2.(4分)

(9分)

五，證明題（5分）

證明：考察級(jí)數(shù)，由于

（3分）

所以此級(jí)數(shù)收斂，故

（5分）

四、填空題（每題3分，共30分）

1.函數(shù)的定義域是

.2.=

.3.=_

___

__

.4.=

.5.=

.6.廣義積分收斂，則

.7.設(shè)，其中

在D上連續(xù)，則

=

.8.方程是

階微分方程

.9.設(shè),則

=

.10.交換積分次序=

.五、單選題（每題3分，共15分）

1.=（）．

A.．??????B.2．???????C.0．????D.1．

2.函數(shù)，由方程所確定，則

=（）.A.2

B.-1

C.1

D.-2

3.設(shè)，則=（）.A.B.C.D.4.可偏導(dǎo)的函數(shù)取得極值點(diǎn)必為（）．

A．零點(diǎn)．????????B．駐點(diǎn)．???????C．不可導(dǎo)點(diǎn).D．駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)．

5.下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是（）

.A．

B.C.D.六、計(jì)算題（每題8分，共32分）

.求。

2.設(shè)由方程確定，求。

3.計(jì)算D由和圍成的區(qū)域

4.求微分方程的通解。

四、應(yīng)用題（每題9分，共18分）

1.設(shè)平面區(qū)域D由曲線圍成，求D的面積及D繞x軸

旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

2．銷售收入Q與用兩種廣告手段的費(fèi)用x和y之間的函數(shù)關(guān)系為，凈利潤(rùn)是銷售收入的減去廣告成本，而廣告預(yù)算是25，試確定如何分配兩種手段的廣告成本，以使利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?

五、證明題（5分）

證明

一、填空題（每小題3分，共30分）

1.;

2.;

3.0;

4.1；

5.2

;

6.>3

;

7.1;

8.二;

9.；

10..二、單選題（每小題3分，共15分）

1.A

.B

3.A

4.B

5.C

三、計(jì)算題（每小題8分，共32分）

.解：

令

則

原式

（5分）

.（8分）

2.解設(shè)

則

(5分)

(8分)

3.解：原式

（4分）

（6分）

（8分）

5.解：由于，由公式得其通解

（4分）

=

=

（6分）

故原方程的通解為

（C

為任意常數(shù))

（8分）

四、應(yīng)用題（每小題9分，共18分）

1.先求的交點(diǎn)（0，0），（1，1）

(4分)

(9分)

2.解:顯然,有條件成立,所求利潤(rùn)函數(shù)

3.作拉格朗日函數(shù)

(3分)

令

解之得唯一駐點(diǎn)

(7分)

故當(dāng)兩種廣告費(fèi)用分別為15,10時(shí),利潤(rùn)最大,且最大利潤(rùn)為

(9分)

五、證明題（5分）

證明：令，則

于是=

（3分）

所以原式成立

（5分）

第四篇：中國(guó)人民大學(xué)2011數(shù)學(xué)考研真題

2011年數(shù)學(xué)分析

一、（2012年，好像有一致連續(xù)和一致收斂的證明，沒(méi)有區(qū)間套定理）

1、上確界的定義

2、閉區(qū)間套定理

3、利用單調(diào)定理證明閉區(qū)間套定理

4、利用區(qū)間套定理證明一個(gè)有上界的數(shù)集上確界的存在二、f x ,g(x)在、[a,b]上可導(dǎo)，g′(x)≠0,limx→a+g x 證明：g x 在[a,b]上一致收斂 f(x)在[a,b]上一致收斂.三、f x 在、[0,1]上連續(xù)，（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，f 0 =f(1), f′(x)≤1,其中x∈(0,1),求對(duì)?x1,x2∈[0,1]都有 f x1 ?f(x2)<21f(x)

五、分段函數(shù)、冪級(jí)數(shù)

六、運(yùn)用拉格朗日中值定理

x2+ y2+z2 ?1=02在，z=x2+y2+z2的最大、最小值.x+y+z=0

七、已知p0=(x0,y0,z0), r=(x0?x,y0?y,z0?z),Σ為任一封閉曲面，n取外方向?yàn)檎?計(jì)算 Σ

cos（r,n）r1（2012年最后一題類似）

第五篇：由 2018 年真題看 2019 考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略

由 2018 年真題看2019考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略

2018 年的考研考試已經(jīng)結(jié)束，相信很多同學(xué)，尤其是即將參加 2019 考研的同學(xué)，對(duì)今年的題目尤其關(guān)注，下面我們就從考題特點(diǎn)角度出發(fā)，為大家明年的考研提出一些復(fù)習(xí)建議。

一、考題特點(diǎn)

2018 年的數(shù)學(xué)試題具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

（一）難度增加：2018 年的試題在整體難度上相較 2017 年有所明顯增加，無(wú)論是數(shù)學(xué)一、二，還是數(shù)學(xué)三，無(wú)論是選擇、填空，還是解答題，這一點(diǎn)都有明顯的體現(xiàn)。

（二）注重三基：和往年一樣，今年題目仍然注重基礎(chǔ)知識(shí)，基本概念及基本運(yùn)算的考查，但是相比去年，考查的難度更大，角度更新。如：數(shù)學(xué)一第 1 題，考查絕對(duì)值函數(shù)可導(dǎo) 的概念，這是三張?jiān)嚲砉灿械囊坏李}，但這道題并不是簡(jiǎn)單知道導(dǎo)數(shù)定義就能做對(duì)的，還考 察了絕對(duì)值方面一些細(xì)節(jié)的知識(shí)點(diǎn)。又比如數(shù)學(xué)一第 14 題，考查基本事件概率的運(yùn)算，把 獨(dú)立，不相容，條件概率等知識(shí)點(diǎn)融為一體，是一道非常綜合的好題。

（三）考點(diǎn)新穎：今年的題目有很多新穎的考點(diǎn)，雖然在大綱范圍內(nèi)，但卻是多年沒(méi)考 或者是從未考過(guò)的點(diǎn)。比如數(shù)學(xué)一第 8 題，是一道假設(shè)檢驗(yàn)的選擇題，這個(gè)點(diǎn)，只在 1995 年和 1998 年考過(guò)，自此之后 20 年再未出現(xiàn)。又比如數(shù)學(xué)三第 11 題是一道二階差分方程的 題目，雖然差分方程在歷年曾經(jīng)考過(guò)三次，但是二階的差分方程還是第一次考查，并且大綱 中并沒(méi)有明確要求，再比如今年的線性代數(shù)二次型大題，打破傳統(tǒng)的應(yīng)用特征值化標(biāo)準(zhǔn)型的 方法，考查了配方法化二次型標(biāo)準(zhǔn)型。這些考題，讓今年很多同學(xué)有措手不及的感覺(jué)。

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（四）計(jì)算量大。這一點(diǎn)是最近幾年考題的一貫特點(diǎn)。通過(guò)復(fù)雜的計(jì)算考查大家的數(shù)學(xué) 運(yùn)算能力。比如數(shù)學(xué)一、二共有的第 15 題不定積分，數(shù)學(xué)二的 17 題二重積分等。

二、復(fù)習(xí)建議

（一）總體原則：綜合以上特點(diǎn)，對(duì) 2019 年的考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，我們給出大家以下建議：

（1）重視基礎(chǔ)知識(shí)

今年的考題對(duì)于大綱基礎(chǔ)考查不但深入，而且還很全面，考了很多往年沒(méi)考的死角，所以在今年的復(fù)習(xí)中，我們一定要對(duì)大綱要求的全部知識(shí)點(diǎn)做全面、系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，那么我們要 對(duì)大綱要求的知識(shí)不但要加深理解，并且要熟練記憶。很多同學(xué)都在這方面吃虧，比如不能 熟練、準(zhǔn)確記憶泰勒公式、斯密特正交化變換及概率中各種統(tǒng)計(jì)量等，造成考場(chǎng)上出現(xiàn)知道 怎么做，但就是做不出來(lái)的現(xiàn)象。

（2）重視真題，歸納題型

結(jié)合歷年真題，歸納總結(jié)歷年考試中?？嫉念}型和解題方法，并進(jìn)行相應(yīng)地訓(xùn)練，對(duì)于提高成績(jī)有著巨大的作用。

（二）全年復(fù)習(xí)策略：綜合以上分析，我們給大家提出以下復(fù)習(xí)策略：（1）基礎(chǔ)階段，全面復(fù)習(xí)（1 月～6 月）

這一階段主要任務(wù)是結(jié)合教材對(duì)應(yīng)章節(jié)系統(tǒng)復(fù)習(xí)，打好基礎(chǔ)，特別是對(duì)大綱中要求的基本概念、基本理論、基本方法要系統(tǒng)理解和掌握。完成從大學(xué)學(xué)習(xí)到考研備戰(zhàn)的基礎(chǔ)準(zhǔn)備。這一階段主要的焦點(diǎn)要集中精力把教材好好地梳理，要至始至終不留死角和空白，按大綱要求結(jié)合教材對(duì)應(yīng)章節(jié)全面復(fù)習(xí)，另外按章節(jié)天任啟航考研http://004km.cn/

順序完成教材及相應(yīng)的配套練習(xí)題，通過(guò)練習(xí)檢驗(yàn)?zāi)闶欠裾嬲匕呀滩牡膬?nèi)容掌握了。由于教材的編寫(xiě)是環(huán)環(huán)相扣，易難遞進(jìn)的，所以 建議每天學(xué)習(xí)新內(nèi)容前要復(fù)習(xí)前面的內(nèi)容，按照規(guī)律來(lái)復(fù)習(xí)，經(jīng)過(guò)必要的重復(fù)會(huì)起到事半功 倍的效果。也就是重視基礎(chǔ)，長(zhǎng)期積累;基礎(chǔ)階段重視縱向?qū)W習(xí)，夯實(shí)知識(shí)點(diǎn)。

（2）強(qiáng)化階段，熟悉題型（7 月～10 月）

這一階段是考研復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，對(duì)成敗起決定性作用。在這一階段，我們要熟悉考研題型，加強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)的前后聯(lián)系，分清重難點(diǎn)，把握整體的知識(shí)體系，熟練掌握定理公式和解題技巧并通過(guò)真題講解和訓(xùn)練，進(jìn)一步提高解題能力和技巧，達(dá)到實(shí)際考試的要求。

（3）沖刺階段，查缺補(bǔ)漏（1 月～12 月）

這一階段的目標(biāo)是通過(guò)對(duì)以往學(xué)習(xí)筆記的復(fù)習(xí)全面掌握考試要求并進(jìn)行高強(qiáng)度(高于考試強(qiáng)度)的沖刺題訓(xùn)練，進(jìn)入考試狀態(tài)，達(dá)到考試要求。建議大家通過(guò)做題進(jìn)行總結(jié)和梳理。另外，復(fù)習(xí)教材和筆記，對(duì)基本概念、基本公式、基本定理進(jìn)行記憶，尤其是平時(shí)不常用的、記憶模糊的公式，經(jīng)常出錯(cuò)的要重點(diǎn)記憶。在此基礎(chǔ)之上開(kāi)始進(jìn)行模擬試題或者真題的實(shí)戰(zhàn)演練，在這個(gè)過(guò)程中，注意答卷時(shí)間的分配，重視考場(chǎng)心態(tài)的調(diào)整。

以上是我們對(duì)大家 2019 考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的一些建議，相信通過(guò)這一過(guò)程，大家一定能在2019 的數(shù)學(xué)考試中取得優(yōu)異的成績(jī)。

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