第一篇：微積分復(fù)習(xí)教案

第一講 極限理論

一 基本初等函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性和圖象，其中函數(shù)圖像是重中之重，由函數(shù)圖像可以輕易的得到函數(shù)的其它要素（P17-20）二 求極限的各種方法

⑴當(dāng)f(x)為連續(xù)函數(shù)時(shí),x0?Df,則有l(wèi)imf(x)?f(x0)

x?x0例1 計(jì)算極限limxarcsinx

x?22 ⑵設(shè)m,n為非負(fù)整數(shù),a0?0,b0?0則

?0,當(dāng)n?ma0xm?a1xm?1???am?1x?am??a0lim??,當(dāng)n?m x??bxn?bxn?1???b01n?1x?an?b0???,當(dāng)n?m 例2 計(jì)算極限：⑴ lim973x?1 ⑵ ?3x?2??2x?3?

limx??2x?4?4x?1?16x???⑶用兩個(gè)重要極限求

①limsinx?1（limsinx?0，limsinf(x)?1）

x?0x??f(x)?0xxf(x)x2 結(jié)論：當(dāng)x?0時(shí)，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx，1?cosx~。②lim(1?1)x?e（lim(1?x)x?e，lim(1?1)f(x)?e）

x?0x??f(x)??xf(x)實(shí)質(zhì)：外大內(nèi)小，內(nèi)外互倒

例4 計(jì)算極限：⑴ lim(1?2x)⑵ lim(1?sinx)

x?0x?013x1x1 ⑷未定式的極限（?000，???，0??，0，?）?0 ①羅必達(dá)法則

例5 計(jì)算極限：

x?0?limsinxlnx lim(sinx)x lim(x?0?x?011?)sinxx②設(shè)法消去零因子（分子有理化，分母有理化，分子分母同時(shí)有理化等方法）例6 計(jì)算極限：⑴ lim1?x?1 ⑵ lim3?x?2

x?0x?1xx?1 ③用等價(jià)無窮小量代換（切記：被代換的部分和其他部分必須是相乘關(guān)系?。├? 計(jì)算極限limsinxtanx

x?0x2(1?cosx)⑸無窮小量乘有界變量仍是無窮小量。

例8 計(jì)算極限：⑴ limx2sin1 ⑵ limxcosx

x?0x???1?x2x三 連續(xù)和間斷 1.連續(xù)的定義

2.間斷點(diǎn)的定義和分類

四 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（這里有一些證明題值得注意）。

第二講 微分學(xué)

一 導(dǎo)數(shù)概念

導(dǎo)數(shù)：f?(x)?limf(x0??x)?f(x0)?limf(x)?f(x0)

?x?0x?x0?xx?x0左導(dǎo)數(shù)：f??(x)?limf(x0??x)?f(x0)?limf(x)?f(x0)?x?0?x?x0??xx?x0右導(dǎo)數(shù)：f??(x)?limf(x0??x)?f(x0)?limf(x)?f(x0)?x?0?x?x0??xx?x0 實(shí)質(zhì)：差商的極限。

例1 計(jì)算極限：⑴ limh?0f(x0?h)?f(x0)f(x0)?f(x0??x)⑵ lim

?x?0h?x二 各種求導(dǎo)法

⑴導(dǎo)數(shù)公式表（P94）和四則運(yùn)算法則（P85）

例2設(shè)f(x)?4x?3x?x4?5logax?sin2，求f?(x)；

例3設(shè)f(x)?1sinx?arctanx?cscx，求f?(x)，f?()；

4x ⑵復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)（P90）

例4 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

①f(x)?arctane2x ②f(x)?etanx ⑶隱函數(shù)求導(dǎo)（方法：把y當(dāng)作x的函數(shù)，兩邊對(duì)x求導(dǎo)）

例5 求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

①xy?e?y?0 ②2y?3x?5lny ⑷對(duì)數(shù)求導(dǎo)法（多用于冪指函數(shù)和由多因子相乘構(gòu)成的函數(shù)的求導(dǎo)）

例6 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

① y?xsinxx? ②y?2x?1(x?1)(3?2x)⑸由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)

?x??(t)重點(diǎn)：由參數(shù)方程?確定的函數(shù)y?f(x)的導(dǎo)數(shù)為dy???(t)；

dx??(t)?y??(t)?x?ln(1?t)例7 設(shè)?，求dy；

dx?y?t?arctant三 高階導(dǎo)數(shù)

例8 設(shè)y?2arctanx，求y??； 例9 設(shè)y?ex?xn，求y(n)； 四 微分

重點(diǎn)：函數(shù)y?f(x)的微分是dy?f?(x)dx

例10 設(shè)y?3x2?e2x，求dy； 例11設(shè)y?2x?ey，求dy； 五 單調(diào)性和極值

重點(diǎn)：⑴由f?(x)的符號(hào)可以判斷出f(x)的單調(diào)性；

⑵求f(x)的極值方法：①求出f?(x)，令其為零，得到駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，姑且統(tǒng)稱為可疑點(diǎn)；②判斷在可疑點(diǎn)兩側(cè)附近f?(x)的符號(hào)，若左正右負(fù)，則取得極大值；若左負(fù)右正，則取得極小值；若同號(hào)，則不取得極值。

例12 求函數(shù)y?x?ln(x?1)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)。

例13 證明：當(dāng)0?x?六 最值問題

求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最值之步驟：①求出f?(x)，令其為零，得到可疑點(diǎn)（駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)），并求出函數(shù)在這些點(diǎn)處的取值；②求出函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)取值f(a)，f(b)；

③比較函數(shù)在可疑點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)上的取值，最大者即為最大值，最小者即為最小值。

例14 求下列函數(shù)在指定區(qū)間上的最值。

⑴f(x)?x4?2x2?5，[?2,3] ⑵y?x?1，[0,4]

x?1七 凹凸性和拐點(diǎn)

重點(diǎn)：

⑴凹凸性概念：設(shè)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，若對(duì)?x1,x2?(a,b)（x1?x2），有

?2時(shí)，恒有x?sinx。

f(x1?x2f(x1)?f(x2)x?x2f(x1)?f(x2))?)?（f(1）

2222則稱f(x)在(a,b)內(nèi)是凹函數(shù)（凸函數(shù)）。（用此定義可以證明一些不等式，見下例）。⑵由f??(x)的符號(hào)可以判斷出f(x)的凹凸性。f??(x)為正號(hào)則f(x)是凹函數(shù)，f??(x)為負(fù)號(hào)則f(x)是凸函數(shù)。

⑵判斷f(x)的拐點(diǎn)之方法：①求出f??(x)，令其為零，得到f??(x)等于0的點(diǎn)和f??(x)不存在的點(diǎn)；②判斷在這些點(diǎn)兩側(cè)附近f??(x)的符號(hào)，若為異號(hào)，則該點(diǎn)是拐點(diǎn)；若同號(hào)，則該點(diǎn)不是拐點(diǎn)。

例15 求下列函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。

⑴y?x?2x?1 ⑵y?3x

例16 證明：當(dāng)x1?x2時(shí)，必有ax1?x2243ax1?ax2?（a?0）。

2第三講 積分學(xué)

一 不定積分與原函數(shù)的概念與性質(zhì)

⑴原函數(shù)：若F?(x)?f(x)，則稱F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)。

⑵不定積分：f(x)的全體原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，即

?f(x)dx?F(x)?c，這里F?(x)?f(x)

⑶不定積分的性質(zhì)（P174,共2個(gè)）

特別強(qiáng)調(diào)：?F?(x)dx?F(x)?c；?dF(x)?F(x)?c（切記常數(shù)c不可丟）二 定積分的概念與性質(zhì)

⑴定積分概念：

n?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi

??0i?1 ⑵定積分和不定積分的區(qū)別：定積分是和式的極限，計(jì)算結(jié)果是個(gè)常數(shù)；不定積分是由一族函數(shù)（被積函數(shù)的原函數(shù)）構(gòu)成的集合。

⑶f(x)在[a,b]上可積的必要條件：f(x)在[a,b]上有界； 充分條件：f(x)在[a,b]上連續(xù)；

⑷定積分的幾何意義：設(shè)f(x)?0，x?[a,b]，則?f(x)dx表示由x?a，x?b，y?0ab及y?f(x)圍成的曲邊梯形的面積。

⑸定積分的性質(zhì)（P210,共7個(gè)）注意結(jié)合定積分的幾何意義理解之。

例：⑥若對(duì)?x?[a,b]，有m?f(x)?M，則有m(b?a)? ⑦若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則存在??[a,b]，使得滿足 另：若f(x)是奇函數(shù)，則三 由變上限積分確定的函數(shù)

⑴定義：設(shè)f(t)在[a,b]上連續(xù)，則稱函數(shù)

b??abf(x)dx?M(b?a)。f(x)dx?f(?)(b?a)。

a?a?af(x)dx?0。

?(x)??f(t)dt，a?x?b

ax 為變上限積分確定的函數(shù)。

⑵求導(dǎo)問題：??(x)?dx[?f(t)dt]?f(x)dxax2 例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f?(x)。

①f(x)??xln4tedt ②f(x)??x4?2t01?t2dt

⑶與羅必達(dá)法則結(jié)合的綜合題

例2 求下列極限： ①

t?lim0x?02sintdtx4sin3tdt? ②lim

?tedt0x?0x3?t0x2四 求積分的各種方法

⑴直接積分法（兩個(gè)積分表P174和P185）

cos2x1?x?x2 例3 計(jì)算積分：①? ②dx dx?2sinx?cosxx(1?x)⑵第一換元法（湊微分法）

重點(diǎn)：?f(x)dx?????g[?(x)]??(x)dx??g[?(x)]d?(x)

令u??(x)整理f(x)????g(u)du???G(u)?c????G[?(x)]?c

常用湊微分公式：xndx?1d(xn?1)，1dx?2d(x)，1dx?d(lnx)，sinxdx??d(cosx)

n?1x?積分變量還原xcosxdx?d(sinx)，sec2xdx?d(tanx)，csc2xdx??d(cotx)，secxtanxdx?d(secx)，cscxcotxdx??d(cscx)。

注意：在定積分的換元法中，要相應(yīng)調(diào)整積分上下限。

例4 計(jì)算積分：

?①tanxdx ② ⑶第二換元法

重點(diǎn)：??20sin?cos2?d? ③?2x?41?lnxdx ④?(1?xlnx)4dx x2?4x?8?f(x)dx?????f[?(t)]??(t)dx ?dx??(t)dt令x??(t)???????g(t)du???G(t)?c????G[??1(x)]?c 整理f[?(t)]??(t)?積分變量還原 常用換元方法：

①被積函數(shù)中若有nax?b，令t?nax?b；若有kx和lx，令x?t，這里m是k，ml的最小公倍數(shù)。

②被積函數(shù)中若有a2?x2，令x?asint； ③被積函數(shù)中若有a2?x2，令x?atant； ④被積函數(shù)中若有x2?a2，令x?asect；

注意：在定積分的換元法中，要相應(yīng)調(diào)整積分上下限。

例5 計(jì)算積分：⑴ ?a0a?xdx ⑵ ?2241dx

1?x例6 設(shè)f(x)是定義于實(shí)數(shù)集上的連續(xù)函數(shù)，證明 ⑴?baf(x)dx??b?ca?cf(x?c)dx，⑵ ?baf(x)dx???ba?2bf(a?b?x)dx

⑷分部積分法 u?vdx?uv?uv?dx

關(guān)鍵：適當(dāng)選擇u?，v。選擇的技巧有①若被積函數(shù)是冪函數(shù)乘易積函數(shù)，令u?為易積函數(shù)，v為冪函數(shù)。②若被積函數(shù)是冪函數(shù)乘不易積函數(shù)，令u?為冪函數(shù)，v為不易積函數(shù)。

例7 計(jì)算積分：arctanxdx

⑸有理分式函數(shù)的積分

步驟：①若是假分式，先用分式除法把假分式化為多項(xiàng)式與真分式的和，多項(xiàng)式積分非常容易，下面重點(diǎn)考慮真分式P(x)的積分。

Q(x)②把Q(x)分解成如下形式 ???Q(x)?b0(x?a)??(x?b)?(x2?px?q)??(x2?rx?s)?

這里p2?4q?0，……，r?4s?0。③把P(x)化為如下形式

Q(x)A? A1A2P(x)?????Q(x)(x?a)?(x?a)??1(x?a)2 ??????

B?B2 ?B1? ??????1(x?b)(x?b)(x?b)?M?x?N?M1x?N1M2x?N2???? 2?2??12(x?px?q)(x?px?q)(x?px?q)?????? ?R?x?S?R1x?S1R2x?S2 ????2?2u?12(x?rx?s)(x?rx?s)(x?rx?s)這里Ai,Bi,Mi,Ni,Ri,Si為待定系數(shù)，通過對(duì)上式進(jìn)行通分，令等式兩邊的分子相等，即可解得這些待定系數(shù)。

④于是對(duì)P(x)的積分就轉(zhuǎn)化成對(duì)上面等式的右端積分了，然后再對(duì)上式右端積分。

Q(x)x3?2x2dx

⑵ 例8 計(jì)算積分：⑴ ?2x?2x?10五 定積分的分段積分問題

例9 計(jì)算積分：⑴4x?3?x2?5x?6dx

?0x?3dx。⑵?sin2xdx

0?六 定積分的應(yīng)用：重點(diǎn)是再直角坐標(biāo)系下求平面圖形的面積。

⑴由曲線y?f(x)，y?g(x)[f(x)?g(x)]及直線x?a，x?b[a?b]圍成的圖形的面積為：S??[f(x)?g(x)]dx。

ab⑵由曲線x??(y)，x??(y)[?(y)??(y)]及直線y?a，y?b[a?b]圍成的圖形的面積為：S??[?(y)??(y)]dy。

ab例10 求由下列曲線圍成的圖形的面積。⑴y?lnx，y?1?x，y?2； ⑵x?0，x??2，y?sinx，y?cosx；

七 廣義積分

沿著定積分的概念的兩個(gè)限制條件（積分區(qū)間有限和被積函數(shù)在積分區(qū)間上有界）進(jìn)行推廣，就得到兩種類型的廣義積分。

⑴第一類廣義積分

①定義：? ???abf(x)dx?lim?f(x)dx

b??ab????f(x)dx?lim?f(x)dx

a???a0b ???f(x)dx????f(x)dx????0f(x)dx?lim?f(x)dx?lim?f(x)dx

a???ab???00b ②計(jì)算方法：先計(jì)算定積分，在取極限。

⑵第二類廣義積分（暇積分）

①定義：?f(x)dx?lim?ababb??0?a??b??f(x)dx（a是暇點(diǎn)）f(x)dx（b是暇點(diǎn)）

bc?? ?f(x)dx?lim?bcaa??0?a ?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?lim?c??0?af(x)dx?lim?b??0?c?? f(x)dx（c是暇點(diǎn)）②計(jì)算方法：先計(jì)算定積分，在取極限。

例11 判斷下列廣義積分的斂散性，若收斂，收斂于何值。

①? ??1`1dx ②5x?211dx 5(x?1)

第二篇：微積分教案

微積分?jǐn)?shù)學(xué)模型的應(yīng)用

微分模型

一、光纖收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)模型

某地有多家有線電視公司。有線電視公司A的光纖收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為14元/（月。戶），目前它擁有5萬個(gè)用戶。某位投資顧問預(yù)測(cè)，若公司每月降低1元的光纖收費(fèi)，則可以增加5000個(gè)新用戶。1）請(qǐng)根據(jù)這一預(yù)測(cè)，為公司制定收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，以獲得最大收益

2）如果公司每月每戶降低一元的光纖收費(fèi)，只增加1000個(gè)新用戶，問該如何制定收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)？

一、模型假設(shè)與符號(hào)說明

1、假設(shè)該地的用戶數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于5萬

2、假設(shè)只考慮公司降價(jià)而不考慮提價(jià)的情況

3、若公司每月每戶降低1元的光纖收費(fèi)，可增加a個(gè)新用戶，公司每月每戶降低x的光纖收費(fèi)，公司的月收益為P(x)。

二、模型建立

P(x)?每月每戶交納的費(fèi)用?總用戶數(shù)，即

P(x)=(14-x)(50000+ax)=700000+(14a-50000)x-ax

三、模型求解

（1）當(dāng)a?5000時(shí)，P(x)=700000+20000x-5000x，求導(dǎo)得

P'(x)=20000-10000x

令P(x)?0，得駐點(diǎn)x?2。

根據(jù)實(shí)際問題的分析知道：當(dāng)公司定價(jià)為12元時(shí)，公司擁有60000用戶，此時(shí)公司每月的最大收益為72萬元。

（2）1）當(dāng)a?1000時(shí)，p(x)?700000?36000x?1000x，求導(dǎo)得

2'P'(x)=-36000-2000x

令P(x)?0，得駐點(diǎn)x??18。

根據(jù)實(shí)際問題知：x?0，故與實(shí)際情況不吻合

二、存貯模型

（一）不允許缺貨的存貯模型 1.問題的提出 存貯問題廣泛存在于工廠的原材料貯備，商店的商品貯備、水庫蓄水等現(xiàn)實(shí)問題'中．這里的關(guān)鍵是存貯量的大小，存貯量過大則需付出過高的存貯費(fèi)用；存貯量不足又可能導(dǎo)致不能滿足需求從而造成損失．因此，確定一個(gè)最優(yōu)的貯存策略是具有重要意義的． 2.模型的構(gòu)建

下面假定需求量是確定的，并且不允許缺貨現(xiàn)象出現(xiàn)，如鋼廠訂購廢鋼供煉鋼就是這種情況，因?yàn)殇撋a(chǎn)對(duì)原料的需求是一定的，而一旦缺少了原料將造成巨大的損失． 在不允許缺貨的情況下我們可以考慮兩種費(fèi)用：訂貨時(shí)需付的一次性訂貨費(fèi)，貨物的貯存費(fèi)．建立模型的目的是在單位時(shí)間的需求量為常數(shù)的情況下制定最優(yōu)存貯策略，即多長時(shí)間訂一次貨，每次訂多少貨，使總費(fèi)用最小．

模型假設(shè)：（1）每天貨物需求量為r噸．

（2）每隔T天訂一次貨（稱T為訂貨周期），訂貨量是Q噸，當(dāng)貯存量降到零時(shí)新一批訂貨恰好到達(dá)．（3）每次訂貨費(fèi)為C1（與訂貨量無關(guān)，也與貨物本身的價(jià)格無關(guān)），每天每噸貨物貯存費(fèi)為C2． 模型建立：訂貨周期T、訂貨量Q與每天需求量r之間應(yīng)滿足關(guān)系 Q?rT ．

訂貨后貯存量由Q均勻地下降，設(shè)任意時(shí)刻的貯存量為q(t)，則q(t)是t的線性遞減函數(shù)，其變化規(guī)律如圖10－1． 考慮一個(gè)訂貨周期的總費(fèi)用C(T)：訂貨費(fèi)C1與貯存費(fèi)．

__貯存費(fèi)＝每天每噸貨物的貯存費(fèi)?平均每天的存貯噸數(shù)?天數(shù) ＝C2?Q?0?T 2

圖10－1

＝于是得

1C2QT．

21C(T)＝C1?C2QT，2__1C(T)＝C1?C2rT2．

2__

（2）

顯然，不能以一個(gè)周期內(nèi)的費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù)，這樣會(huì)導(dǎo)致訂貨周期越短越省錢的錯(cuò)誤結(jié)論，而應(yīng)以每天的平均費(fèi)用（記作C(T))為目標(biāo)函數(shù)，于是

C(T)? C(T)C11＝?C2rT． TT2__

（3）

制定最優(yōu)存貯策略歸結(jié)為求訂貨周期T使C(T)最?。? 3.模型求解 利用微分法，令

?C1dC(T)?0，得21?C2r?0，2dTT解得 最佳進(jìn)貨周期

T?2C1． rC（4）

將Q?rT代入上式得最佳進(jìn)貨量

Q?2C1r．

C2

（5）

式（8）就是經(jīng)濟(jì)理論中著名的經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式． 4.模型應(yīng)用

訂貨批量公式（5）表明，訂貨費(fèi)C1越高，需求量越大，則訂貨批量Q應(yīng)越大；貯存費(fèi)C2越高，則訂貨批量Q應(yīng)越?。@些結(jié)論都可以由常識(shí)得到，不過公式在定量上表明的平方根關(guān)系卻是憑常識(shí)無法得到的．

例 1 一鞋店平均每天賣出110雙鞋，批發(fā)手續(xù)為每次200元，每雙鞋每?jī)?chǔ)存一天的費(fèi)用為0.01元，該商店多少天進(jìn)一次貨最好，進(jìn)貨量為多少？

解 本題中r=110，C1?200,C2?0.01.于是得最佳進(jìn)貨量 Q?最佳進(jìn)貨天數(shù) 2C1r?C22?200?110?2098?雙?，0.01T= Q2098??20?天?r110即20天進(jìn)貨2098雙最好?

（二）允許缺貨的存貯模型.問題的提出 考察一個(gè)商店經(jīng)理制定最優(yōu)訂貨周期和最優(yōu)訂貨批量時(shí)碰到的問題．設(shè)市場(chǎng)對(duì)某種商品的需求是確定的和已知的，市場(chǎng)對(duì)某種商品的需求仍為每天r噸，但允許缺貨．缺貨時(shí)因失去銷售機(jī)會(huì)而使利潤減少，減少的利潤可以視為因缺貨而付出的費(fèi)用，稱缺貨損失費(fèi)．于是這個(gè)模型的第（1）、第（3）條假設(shè)與不允許缺貨時(shí)相同，而第（2）條改為(2)?每隔T天訂貨Q噸，允許缺貨，每天每噸貨物的缺貨損失費(fèi)為C3．

2.模型的構(gòu)建

缺貨時(shí)貯存量q(t)視作負(fù)值，則q(t)的圖形

如圖10－2．貨物在t?T1時(shí)售完，但每天需求量仍為r，在?T1,T?這段時(shí)間內(nèi)缺貨，可視存貯量q(t)為負(fù)值，于

是在t?T時(shí)下一次訂貨量Q一次到達(dá)，且Q?rT1．

圖10－2 一個(gè)訂貨周期內(nèi)總費(fèi)用C：訂貨費(fèi)C1，貯存費(fèi)C2__?T10q(t)dt，缺貨損失費(fèi)．

貯存費(fèi)?每天每噸貨物的存貯費(fèi)?從第一天到第T1天總共存貯的貨物噸數(shù)的和

＝C2?T10q(t)dt?C2?Q(1?0T1t1)dt?C2QT1． T12tdt(T1?T)T1 缺貨損失費(fèi)＝C3 ＝C3＝?TT1q(t)dt＝C3?Q(1?T1T ?TT1(rT1?rtdt(Q?rT1)

1C3r(T?T1)2． 2于是一個(gè)周期內(nèi)的總費(fèi)用為： 11C?C1?C2QT1?C3r(T?T1)2．

22__ 3 模型的求解

模型的目標(biāo)函數(shù)仍為每天的平均費(fèi)用C(T,Q)，將T1?__Q代入上式，得 r

C(T,Q)＝

CC11??C1?C2Q2?3(rT?Q)2TT2r2r?，求T、Q使得C(T,Q)最小．

先求出二元函數(shù)C(T,Q)關(guān)于T、Q的偏導(dǎo)數(shù)

?C?C． ,?T?Q 然后令?C?C?0,?0，?T?Q最后解出最優(yōu)值T與Q，即得 最佳進(jìn)貨周期 **T*?2C1(C2?C3)，rC2C（6）

最佳進(jìn)貨批量

Q*? 4.模型的應(yīng)用 2rC1C3

C2(C2?C3)

（7）

式（6）、（7）表明，缺貨損失費(fèi)C3越大，訂貨周期應(yīng)越短，訂貨批量越大．當(dāng)C3很大（即缺貨損失變得很大）時(shí)，C3??，有

C2?C3C?1?2?1，則允許缺貨的最佳周期和最佳批量與不允C3C3許缺貨的最佳定貨周期和最佳批量有如下關(guān)系 T*?2C1(C2?C3)?rC2C32C1*，Q?rC22rC1C32rC1． ?C2(C2?C3)C2允許缺貨的情形又回到了不允許缺貨的情形，顯然這是符合實(shí)際的．

例2 有一酒類批發(fā)商，以每天150瓶的速度供應(yīng)零售商，存儲(chǔ)費(fèi)用為每天每瓶0.05元，根據(jù)合同如缺貨，每瓶每天必須向零售商賠償0.2元。若批發(fā)商一次的費(fèi)用為300元，試確定批發(fā)商的最佳批發(fā)周期、進(jìn)貨量。

解 因 r?150,C2?0.05,C3?0.2,C1?300,于是得最佳批發(fā)周期為

T?最佳進(jìn)貨量

Q?

三、生豬的出售時(shí)機(jī) 1．問題

飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計(jì)可使80千克重的生豬體重增加2公斤。市場(chǎng)價(jià)格目前為每千克8元，但是預(yù)測(cè)每天會(huì)降低 0.1元，問生豬應(yīng)何時(shí)出售。如果估計(jì)和預(yù)測(cè)有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響。

??2C1?C2?C3?rC2C3?2?300?(0.05?0.2)?10?天?，150?0.05?0.22rC1C32?150?300?0.2??1200?瓶?，C2?C2?C3?0.05?(0.05?0.2)2．分析

投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加，出售單價(jià)隨時(shí)間減少，故存在最佳出售時(shí)機(jī)，使利潤最大建模及求解

估計(jì)r=2 g=0.1若當(dāng)前出售，利潤為80×8=640（元），t 天出售，生豬體重 w=80+rt 銷售收入 R=pw 出售價(jià)格 p=8-gt 資金投入 C=4t 利潤 Q=R-C=pw –C Q(t)?(8?gt)(80?rt)?4t

求 t 使Q(t)最大 t?4r?40g?2=10 rgQ(10)=660 > 640 10天后出售，可多得利潤20元

四、森林救火

當(dāng)森林失火時(shí)，消防站應(yīng)派多少消防隊(duì)員去滅火呢？派的隊(duì)員越多，火災(zāi)損失越小，但救援開支越大.如何確定滅火隊(duì)員的人數(shù)，才能使總費(fèi)用（火災(zāi)損失+救援開支）最?。?/p>

解 1．問題分析

（1）火災(zāi)損失與森林被燒面積有關(guān)，而被燒面積又與從起火到火滅的時(shí)間有關(guān)，而這時(shí)間又與消防隊(duì)員人數(shù)有關(guān).（2）救援開支由兩部分構(gòu)成：①滅火劑的消耗與消防隊(duì)員酬金（與人數(shù)和時(shí)間有關(guān)）；②運(yùn)輸費(fèi)（與人數(shù)有關(guān)）.（3）在無風(fēng)的情況下，可認(rèn)為火勢(shì)以失火點(diǎn)為圓心，均勻向四周蔓延.半徑與時(shí)間成正比，從而被燒面積應(yīng)與時(shí)間的平方成正比.2．模型假設(shè)

（1）火災(zāi)損失與森林被燒面積成正比

記開始失火的時(shí)刻為t?0，開始滅火的時(shí)刻為t?t1，火被完全撲滅的時(shí)刻為t?t2.設(shè)在時(shí)刻t森林被燒面積為B?t?，C1表示單位面積被燒的損失，則總損失為C1B(t2).（2）被燒面積與時(shí)間關(guān)系

dBdBdB表示單位時(shí)間被燒面積(燃燒速度：m2/min),當(dāng)t＝0與t?t2時(shí)為零，當(dāng)t?t1時(shí)最dtdtdtdBdB|t?t1?b.由前面分析，B?t?與t2成正比,故不妨設(shè)在區(qū)間[0,t1]與[t1,t2]上，大，記 都是t的dtdt線性函數(shù).在[0,t1]上，斜率為??0，?稱為火勢(shì)蔓延速度,在[t1,t2] 上,斜率為???x?0,其中x為消防隊(duì)員人數(shù).?為隊(duì)員的平均滅火速度.（3）救援開支

設(shè)x為消防隊(duì)員人數(shù)，滅火劑消耗與消防隊(duì)員酬金每單位時(shí)間的費(fèi)用為C2, 運(yùn)輸費(fèi)平均每人費(fèi)用為C3, 則救援開支為C3x?C2x(t2?t1).3．模型建立與求解

圖14-3 由假設(shè)2，dBdt與t的關(guān)系如圖14-3所示.利用定積分的牛頓-萊布尼茲公式，大面積為

B(tt2dB2)?B(tdt＝?OMN面積＝bt22)?B(0)??0dt2 ∴總費(fèi)用 C?12C1bt2?C2x(t2?t1)?C3x.此式中t2與x是變量，其余為常數(shù).但t2與x是密切相關(guān)的，由圖可知

b??tb1,t??x??, t?b2?t1?x?? 2?t1從而，總費(fèi)用可化為一元函數(shù)：

??C2Cx?12C1bt1?1b2??x????C2bx?x???C3x dC2令 ?0，解得唯一駐點(diǎn) x?1C1?b?2C2?bdx?2C??.3?駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).4．模型評(píng)價(jià)

森林被被燒的最 從結(jié)果看，x>??，這表示為了能把火撲滅，派出的消防隊(duì)員人數(shù)要大，這保證?-?x?0，使??1燃燒速度趨于零.而x的第一項(xiàng) ?C1?b2?2C2?b是綜合考慮了各種因素,使總費(fèi)用最低.2C3積分模型

一、捕魚成本模型 1.問題的提出

在魚塘中捕魚時(shí)，魚越少捕魚越困難，捕撈的成本也就越高，一般可以假設(shè)每公斤魚的捕撈成本與當(dāng)時(shí)池塘中的魚量成反比。

假設(shè)當(dāng)魚塘中有x公斤魚時(shí)，每公斤的捕撈成本是從魚塘中捕撈6000公斤魚需花費(fèi)多少成本？

2.模型的構(gòu)成與求解

根據(jù)題意，當(dāng)塘中魚量為x公斤時(shí)，捕撈成本函數(shù)為 C(x)?2000元。已知魚塘中現(xiàn)有魚10000公斤，問

10?x2000(x?0).10?x假設(shè)塘中現(xiàn)有魚量為A公斤，需要捕撈的魚量為T公斤。當(dāng)我們已經(jīng)捕撈了x公斤魚之后，塘中所剩的魚量為A?x公斤，此時(shí)再捕撈?x公斤魚所需的成本為

?C?C(A?x)?x?因此，捕撈T公斤魚所需成本為

2000?x.10?(A?x)C??T0200010?A?Tdx??2000ln[10?(A?x)]x?2000ln(元)x?010?(A?x)10?(A?T)將已知數(shù)據(jù)A?10000kg,T?6000kg代入，可計(jì)算出總捕撈成本為 C?2000ln10010?1829.59(元)4010順便可以計(jì)算出每公斤魚的平均捕撈成本 C?

二、投資決策模型

某公司投資1860萬元建成一條生產(chǎn)線．投產(chǎn)后，其追加成本和追加收入（分別是成本函數(shù)和收入?1829.59?0.30元

6000函數(shù)對(duì)時(shí)間t的變化率，類似于邊際函數(shù)概念）分別為G(t)?5?2t（百萬元/年），?(t)?17?t（百萬元/年）．試確定該生產(chǎn)線使用多長時(shí)間停產(chǎn)則可使公司獲得最大利潤？最大利潤是多少？

解

容易看出，追加成本G(t)是單調(diào)增加函數(shù)而追加收入?(t)是單調(diào)遞減函數(shù)，這說明生產(chǎn)費(fèi)用在逐年增加，而生產(chǎn)收入在逐年減少，二者之差即為生產(chǎn)利潤隨時(shí)間的變化率：

2323?(t)?G(t)?(17?t)?(5?2t)?12?3t．

232323與邊際成本和邊際收入的關(guān)系相同，生產(chǎn)利潤最大值存在的必要條件是?(t)?G(t)．解方程得t?8，由于生產(chǎn)利潤對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

??(t)?G(t)?8???2t?13?0，23所以，t?8是生產(chǎn)利潤的最大值點(diǎn)．這樣，生產(chǎn)利潤的最大值為

???(t)?G(t)?dt?18.6??(12?3t008)dt?18.6?38.4?18.6?19.8(百萬元)．

第三篇：G微積分復(fù)習(xí)大綱

公辦《微積分》復(fù)習(xí)大綱

第一章：函數(shù)

要求：理解函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義域、值域。了解復(fù)合函數(shù)的概念。

第二章：極限與連續(xù)要求：了解函數(shù)極限的概念。理解無窮小量的概念以及無窮小量的性質(zhì)，掌握無窮小量的比

較。熟練掌握極限的運(yùn)算法則。熟練掌握運(yùn)用兩個(gè)重要極限求極限。會(huì)用等價(jià)無窮小替換求

極限。了解函數(shù)連續(xù)性概念。了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念，會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。會(huì)判斷分段函數(shù)

在分段點(diǎn)處的連續(xù)性。

第三章：導(dǎo)數(shù)與微分

要求：理解導(dǎo)數(shù)概念，會(huì)利用定義求導(dǎo)數(shù)。理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上一點(diǎn)的切線方

程和法線方程。會(huì)判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性。理解可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。熟記導(dǎo)數(shù)的基本公式。熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合運(yùn)算法則和隱函數(shù)求導(dǎo)方法。了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的求法。理解微分的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的微分。

第四章：中值定理導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

要求：熟練掌握洛比達(dá)法則求極限的方法。理解函數(shù)的極值概念，熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性的判斷，函數(shù)的極值的求法，函數(shù)的凹凸性和拐點(diǎn)的判別。

第五章：不定積分

要求：理解原函數(shù)與不定積分的概念，會(huì)不定積分的基本性質(zhì)，熟練掌握不定積分的基本公

式。熟練掌握直接積分法，換元積分法和分部積分法。

第六章：定積分

要求：熟練掌握積分上限函數(shù)的求導(dǎo)方法。熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法，會(huì)

利用定積分的奇偶性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算。了解兩類反常積分及其收斂性的概念，會(huì)簡(jiǎn)單的廣義積分

計(jì)算。熟悉用定積分求平面圖形的面積。

考試題型：

1。填空題2。單項(xiàng)選擇題3。解答題

第四篇：微積分電子教案

第七章

第七章

無窮級(jí)數(shù)

§7.1 無窮級(jí)數(shù)的概念 7.2 無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

主要教學(xué)內(nèi)容

(1)無窮級(jí)數(shù)的概念;(2)無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì).教學(xué)目的及要求: 掌握級(jí)數(shù)的基本概念及基本性質(zhì)，會(huì)利用定義判別數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂情況.重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施: 重點(diǎn): 利用定義和性質(zhì)判別典型題型的斂散性.難點(diǎn): 部分和的求解.解決措施: 注重啟發(fā)與分析.教學(xué)方法及段設(shè)計(jì): 講授法.課時(shí)：2課時(shí)

一、引入課題

1、在初等數(shù)學(xué)里，我們學(xué)過有限項(xiàng)的和

例如

1+2+3+4+5+….+100=100?(100?1)=5050

2234n2?2?2?2?...?2?1?(1?2)1?2n?2?1

n以及特殊的無窮遞縮等比數(shù)列的和 例如

11111????...??2

12481?2但當(dāng)一般的 1+2+3+4+5+6+…

2+4+8+16+…就不會(huì)了。

從今天開始我們就系統(tǒng)的介紹一些無窮項(xiàng)之和的理論。這就是第七章的內(nèi)容-------無窮級(jí)數(shù)。什么是無窮級(jí)數(shù)呢？

二、新課設(shè)計(jì)

1．定義：設(shè)給定數(shù)列?un?： u1，u2，?，un，? 式子u1?u2???un??

（1）

叫做無窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱為級(jí)數(shù)（1）式簡(jiǎn)記為?un即：?un?u1?u2???un??

n?1n?1??

第七章

其中第n項(xiàng)un叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或者通項(xiàng)。?是求和號(hào) 例如：

1+2+3+4+5+6+…+n+…=

?n

n?1???234n2?2?2?2?...?2?...??2n

n?1n?1n??12?1?122?132??142?...?1n2?...?xn?1n?x?x?x?...x?...23n若一般項(xiàng)un是常數(shù)，則?un是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。

n?1若一般項(xiàng)un是（與n有關(guān)的）函數(shù)，則?un是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，前4節(jié)里我們討論的一般都是數(shù)項(xiàng)級(jí)

n?1?數(shù)。2．說明

我們把一個(gè)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的和sn稱為第n次部分和，所有部分和構(gòu)成數(shù)列?sn?：s1,s2,s3,?sn,?，若數(shù)列?sn?極限存在，即limsn?s，則稱無窮級(jí)數(shù)?un收斂，且收斂于s，n??n?1?亦即無窮級(jí)數(shù)的和為s，記為s=?un；否則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散，此時(shí)無窮級(jí)數(shù)的和不存在。要判斷

n?1?一個(gè)級(jí)數(shù)有無和，亦即級(jí)數(shù)是收斂還是發(fā)散，其步驟為：

1）先求出級(jí)數(shù)?un的前n項(xiàng)和Sn?u1?u2???un??uk

n?1k?1?n2）取極限limsn

n??若極限存在且極限值為s，則級(jí)數(shù)?un收斂，s為級(jí)數(shù)的和；

n?1?若極限不存在，則級(jí)數(shù)?un發(fā)散。

n?1?3．舉例

例1 討論幾何級(jí)數(shù)（等比級(jí)數(shù)）

n?1?aqn?1?a?aq?aq2?aq3?...?aqn?1?...?(其中a≠0，q稱為級(jí)數(shù)的公比。并規(guī)定q=0時(shí)，級(jí)數(shù)等于a.)的斂散性。解：當(dāng)|q|≠1時(shí)，由于

第七章

nn??a1???qaq23n?1a???? sn?a?aq?aq?aq?...aq?

1?q1?q1?q 當(dāng)|q|<1時(shí)，limn??sn?a

1?q，級(jí)數(shù)收斂。當(dāng)|q|>1時(shí)，limsn??，級(jí)數(shù)發(fā)散。

n??當(dāng)q=1時(shí)，sn?a?aq?aq2?aq3?...aqn?1?a?a?a?a?...?a?na

則limsn??

n??0當(dāng)q=-1時(shí)，sn?a?aq?aq2?aq3?...aqn?1?a?a?a?a?a?...???n為偶數(shù) ?1n為奇數(shù) 則limsn??

n??綜上所述，當(dāng)|q|<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，其和為

當(dāng)|q|≥1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。

a。1?q今后我們可以直接使用結(jié)論。比如???，?5?n?1?3?n?1???6?n??2?n?14n都是收斂級(jí)數(shù)

而

n?1?en ? ? ?都是發(fā)散級(jí)數(shù)

n?1?5?這章中，除了等比級(jí)數(shù)之外，還有調(diào)和級(jí)數(shù)?

p –級(jí)數(shù)??1是發(fā)散的 n?1n?1pn?1n------??p?1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂

?p?1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散這些結(jié)論要記住。例

2、判定級(jí)數(shù)?例

3、判別級(jí)數(shù)

?lnn?1?1的斂散性。??nn?1n?1?n?123n?1?ln?ln?...?ln?...的斂散性 n12n22222????...??...的斂散性。

????????2n?12n?11?33?55?72n?12n?1n?1??4．練習(xí)：(1)判定級(jí)數(shù)1?(2)判定級(jí)數(shù)?n????的斂散性。

?2?n〔由于211?n?1,2,...?

所以 ???2n?1??2n?1?2n?12n?

1第七章

sn?22221?1 ?1??11??1???...???1???????...????1??2n?1??2n?1??3??35??2n?12n?1?1?33?55?72n?11??故limsn?lim?1???1，因此所給級(jí)數(shù)收斂，其和為1。n??n???2n?1?即

?2?1

n?1?2n?1??2n?1???????5．級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

性質(zhì)

1、如果級(jí)數(shù)?un和?vn收斂，n?1n?1?un?S1,?vn?S2，則?(un?vn)也收斂，且其和

n?1n?1n?1為S1?S2.即

?(un?vn)??un??vn?S1?S2

n?1n?1n?1???性質(zhì)

2、如果級(jí)數(shù)?un收斂，且其和為S，則它的每一項(xiàng)都乘以一個(gè)不為零的常數(shù)c后，所得n?1?到的級(jí)數(shù)?cun也收斂，且其和為cS.即

n?1?

?cun? c?un?cS.n?1n?1??性質(zhì)

3、在一個(gè)級(jí)數(shù)的前面刪去或添加有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)

4、如果一個(gè)級(jí)數(shù)收斂，加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)也收斂，且與原級(jí)數(shù)有相同的和。

注意：逆命題不一定成立 性質(zhì)

5、如果?un收斂，則limun?0.n?1n???注意：這是級(jí)數(shù)收斂的必要條件，經(jīng)常用來判別級(jí)數(shù)發(fā)散 6．舉例

例

3、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性 1）1+2+…+100+???n?1

22）?nP

（p>0）n?1n?11?????1?n1?3）????

4）?n?1?n

nn?1n?1?6n??5???解：1）由于??1n?12n?1是等比級(jí)數(shù)且公比q=1/2,則是收斂的由性質(zhì)3知，原級(jí)數(shù)是收斂的。

?

2）?limun?limnp???

??np發(fā)散

n??n??n?

1第七章

?????1?n(?1)n11?

3）由于?n與?n都是收斂的等比級(jí)數(shù)，由性質(zhì)1知????是收斂的

?nn?1?56n?n?16n?15??

4）

?sn???n?1?n? nn?1?1 ?limsn?lim?n?1?1??lim??n??n??n??n?1?12?1?3?2?4?3?...???????即原級(jí)數(shù)發(fā)散。

三、小結(jié)

1、級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散定義。

2、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

3、等比級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)，p-級(jí)數(shù)在不同情況下的收斂與發(fā)散情況。

四、作業(yè)：P309 1

第七章

§7.3 正項(xiàng)級(jí)數(shù)

主要教學(xué)內(nèi)容

(1)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念;(2)比較判別法；(3)比值判別法

教學(xué)目的及要求: 掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念，會(huì)用比較判別法和比值判別法判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性

重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施: 重點(diǎn): 兩個(gè)判別法的應(yīng)用 難點(diǎn): 比較判別法

解決措施: 注重啟發(fā)與分析.教學(xué)方法及段設(shè)計(jì): 講授法.課時(shí)：2課時(shí)

一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

1、定義：如果數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un?u1?u2?...?un?...滿足條件un?0（n=1,2,..），則此級(jí)數(shù)稱為n?1?正項(xiàng)級(jí)數(shù)。

二、收斂性的判別

對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)來說，其s1,s2,s3,?sn,?為單調(diào)增加的，如果它是有界的，則必有極限。為此我們有判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)特別的方法。

正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法 1）比較判別法：

2）如果兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)?un?u1?u2?...?un?...（1）

n?1??v?v?vn?1n1?2?...?vn?...（2）

滿足關(guān)系式un?kvn（n=1,2…k>0的常數(shù)）

則，當(dāng)級(jí)數(shù)（2）收斂時(shí)，級(jí)數(shù)（1）也收斂

當(dāng)級(jí)數(shù)（1）發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)（2）也發(fā)散

（俗話稱大收小收，小發(fā)大發(fā)）證明見P28利用此判別法可證明調(diào)和級(jí)數(shù)、P－級(jí)數(shù)的斂散性。P282 注意：上面定理中，關(guān)系式中n從1開始，其實(shí)n從任意項(xiàng)m開始都可以。例

1、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性

1[1] ?

[2] n?0n!?

1[3] ?n?1?n?1??n?4??1 ?n?1ln(n?1)?

第七章

解：[1]?11111????2?(n?2,3,...)n!1?2?3...n1?2?2?...?22n?12n?

而?n?112n是q=1/2的等比級(jí)數(shù)，收斂

故原級(jí)數(shù)收斂。

?111 [2]??2 而?2是p=2的p-級(jí)數(shù)，收斂 ?n?1??n?4?nn?1n

故原級(jí)數(shù)收斂

?y??[3]令y?ln(x?1)?x 1?x?1? x?1x?1

當(dāng)x?1時(shí)，y??0

∴函數(shù)y 是減函數(shù)

故當(dāng)n>0時(shí)，ln(n+1)-n

ln(n+1)

1而?是調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散，因此原級(jí)數(shù)發(fā)散。n?1n?11?

ln(n?1)n對(duì)于比較判別法，我們還有個(gè)極限形式： 對(duì)于兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)

?un?u1?u2?...?un?...?n?1?v.n?...?vn?v1?v2?..n?1?若limun?k不等于0，則它們有相同的斂散性。

n??vn2）達(dá)朗貝爾比值判別法：如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)?un?u1?u2?...?un?...滿足條件limun?1?l

?n?1n??un則（1）當(dāng)l?1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂

（2）當(dāng)l?1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散

（3）當(dāng)l?1時(shí)，此方法失效 例

2、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性

?5n2221232n?11????...??...[1] ?

[2] ?[3]

33?53?5?73?5?7?...??2n?1?n?1(n?1)!n?1n?〔4〕P285例

4例5 11u解：[1]?limn?1?limn!?lim?0?∴級(jí)數(shù)收斂

1n??unn??n??n?n?1?!

第七章

5n?155n5n?1[2] ?lim?lim?lim?5?1

∴級(jí)數(shù)發(fā)散 n5n??unn??5n???n?1?un?1n52n[3] ?limun?1n??un?lim3?5?...??2n?1??2n?1?3?5?..??2n?1?2n?1n???lim2?0?1

∴級(jí)數(shù)收斂 2n?1n??

三、小結(jié)

1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法

3、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法

4、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的根值審斂法

四、作業(yè) p309 2、3、§7.4 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，絕對(duì)收斂

主要教學(xué)內(nèi)容

(1)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的概念；(2)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理；(3)絕對(duì)收斂，條件收斂

教學(xué)目的及要求: 掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理以及絕對(duì)收斂，條件收斂的概念

重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施: 重點(diǎn):萊布尼茲定理

難點(diǎn): 絕對(duì)收斂、條件收斂 解決措施: 注重啟發(fā)與分析.教學(xué)方法及段設(shè)計(jì): 講授法.課時(shí)：2課時(shí)

一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)

1．交錯(cuò)級(jí)數(shù)的概念

第七章

交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般形式：?n?1???1?n?1u?u?u?u?un1234?...?u2k?1?u2k?...關(guān)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性有如下判別法.2．萊布尼茲定理：如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)（1）滿足條件

[1]un?un?1(n?1,2,...)

[2]limun?0

n??則級(jí)數(shù)收斂，且和s?u1，余項(xiàng)Rn的絕對(duì)值Rn?un?1。

例

1、判別下列交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性 [1]???1?n?1

n?1?1n [2] ?n?1???1?n?11n

[3]

n?1???1?n?1??n?1?n?

111?limun?lim?0且un???n??n解：[1]n??nn?1un?1

?原級(jí)數(shù)收斂[2]?limun?limn??1nn???0且un?1n?1n?1?un?1

由萊布尼茲定理知原級(jí)數(shù)收斂。

1[3] ?limun?limn???n??n?1?n?lim?1n?1?nn???limn?0

n??11??1n而un?n?1?n?1n?1?n?1n?1?n?2?n?1?n?2?n?2?n?1?un?1

?n?1???n?2?故原級(jí)數(shù)收斂 注意：利用萊布尼茲收斂法不能解決所有交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法問題，萊布尼茲判別法只是充分條件，如果條件不滿足，不能說級(jí)數(shù)發(fā)散，只能說不能判定其斂散性。

二、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂

1、絕對(duì)收斂和條件收斂的定義：如果級(jí)數(shù)的各項(xiàng)的絕對(duì)值所組成的級(jí)數(shù)收斂，則稱此級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，如果級(jí)數(shù)收斂，而由它的各項(xiàng)的絕對(duì)值組成的級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱此級(jí)數(shù)條件收斂

2、由P287的定理知，絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂。

3、即不管是條件收斂還是絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)都是收斂的。（為什么要引進(jìn)絕對(duì)值，出現(xiàn)絕對(duì)收斂，條件收斂的問題呢？）為此我們有

定理、如果任意項(xiàng)級(jí)數(shù)?un?u1?u2?...?un?...滿足條件

n?1?n??unulimn?1?l

則當(dāng)l?1時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)l?1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)l?1 時(shí)，級(jí)數(shù)的斂散性不能確定。證明見P289 例

4、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性（如果收斂，是絕對(duì)收斂，還是條件收斂）

第七章

n?sin????n!5n5n?1n?1[1] ?

[3]

[4](p?1)

[2] ???1????1?n?1???1?nn?1npn?1nn?1n5n?1

1[5]

ln?n?1?P289例〔6〕P290例4 例5 n?sin解：[1]un?np5?1?1，而

npnp1是 p >1的p-級(jí)數(shù)，收斂 ?pnn?1?因此級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。[2] ??n?1|??1?n?1n!nn|??n!nn

?n?1?!(n?1)n?1u?1??limn?1?lim?lim?1??n!n??unn??n???n?nn?n?e?1?1

所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。[3] ??|??1?n?1n?1?5nn5|??5nn55n?1

且

n??un5 ?n?1?5u?n?limn?1?lim?lim5???5?1n??5nn???n?1?n5故原級(jí)數(shù)發(fā)散 [4] 11 |???|??1?n?1ln?n?1?ln?n?1?n?1? 而 ln?n?1?ln?n?2?un?1lim?lim?lim?limn?1?11n??unn??n??ln?n?2?n??1ln?n?1?n?2??1111但發(fā)散 ? 且?發(fā)散?ln?n?1?nn?0nn?0ln?n?1??可???1?n?1n?11滿足萊布尼茲定理收斂，因此原級(jí)數(shù)條件收斂。ln?n?1?

三、小結(jié)

1、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)和交錯(cuò)級(jí)數(shù)的概念

2、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法

3、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的條件收斂與絕對(duì)收斂

四、作業(yè)：P310 4、5

§7.5 冪級(jí)數(shù)

第七章

主要教學(xué)內(nèi)容

(1)冪級(jí)數(shù)的相關(guān)概念；(2)冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)；(3)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)

教學(xué)目的及要求: 掌握冪級(jí)數(shù)的相關(guān)概念，會(huì)求收斂半徑及收斂區(qū)間

重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施: 重點(diǎn):求收斂半徑和收斂區(qū)間 難點(diǎn):收斂區(qū)間的求解

解決措施: 注重啟發(fā)與分析.教學(xué)方法及段設(shè)計(jì): 講授法.課時(shí)：2課時(shí)

一、冪級(jí)數(shù)

1、冪級(jí)數(shù)的相關(guān)概念

1）、定義：形如a?a?x?x??a?x?x0??...?a?x?x0??...（1）

2n0102n的級(jí)數(shù)稱為?x?x0?的冪級(jí)數(shù)，其中a0，a1，?叫做冪級(jí)數(shù)的系數(shù) 我們規(guī)定當(dāng)x=x0時(shí)，（1）總收斂于a0

(1)式可簡(jiǎn)記為?an?x?x0?n

n?1?2）當(dāng)x0?0時(shí)

（1）式變?yōu)?anxn?a0?a1x?a2x2?...?anxn?...（2）

n?1?

稱為x的冪級(jí)數(shù)

3）由于做變換X?x?x0

（1）式可以轉(zhuǎn)化為（2）式的形式，所以今后我們主要研究的是形如（2）時(shí)的級(jí)數(shù)

4）分析冪級(jí)數(shù)收斂與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的關(guān)系

對(duì)于冪級(jí)數(shù)來說，我們?nèi)匀魂P(guān)注的是它的斂散性問題。即變量x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取哪些值時(shí)，級(jí)數(shù)（2）是收斂的

當(dāng)x=0時(shí)，任何一個(gè)冪級(jí)數(shù)都收斂于

a0。

當(dāng)x?0時(shí)，給定一個(gè)x的值，冪級(jí)數(shù)成為一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。隨著x取不同的值，冪級(jí)數(shù)就成為一族數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。為此，我們可以用前面介紹的判別定理來探討冪級(jí)數(shù)的斂散性。

uu由定理6知，當(dāng)limn?1?1時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，limn?1?1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散

n??unn??un如果liman?1n??anuaxn?1?l則limn?1?limn?1?lx

n??unn??anxn

第七章

11?R時(shí)，（2）發(fā)散

lllx?1即x??R，x??R時(shí)，（2）可能收斂可能發(fā)散

l(2)絕對(duì)收斂，lx?1即x?當(dāng)l?0時(shí)，lx?1即x? ?R 時(shí)，當(dāng)l?0時(shí)，lx?0?1，則級(jí)數(shù)（2）對(duì)任何x都收斂

從上面的討論知，冪級(jí)數(shù)收斂的范圍是實(shí)數(shù)軸上一個(gè)以原點(diǎn)為中心，從-R到R的區(qū)間，這個(gè)區(qū)間叫做冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，其中R=1/l叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。在收斂區(qū)間以外，冪級(jí)數(shù)（2）發(fā)散。

在收斂區(qū)間上，對(duì)于每一個(gè)點(diǎn)，級(jí)數(shù)都收斂于一個(gè)確定的和s，對(duì)于不同的x值，其和s也不同，因而和s是x的函數(shù)，稱為和函數(shù)，記為s(x)。

2、求收斂半徑、收斂區(qū)間的步驟

1）定理7 如果級(jí)數(shù)（2）的系數(shù)滿足條件liman?1n??an?l

則當(dāng)0?l???時(shí)，R?1/l，當(dāng)l???時(shí)，R?0；當(dāng)l?0時(shí)，R??? 2)求收斂區(qū)間的步驟

首先求出收斂半徑R，如果0?R???，再判斷x??R時(shí)級(jí)數(shù)(2)的斂散性，最后寫出收斂區(qū)間。例

1、求下列級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間

?xnn?1n

[1]?

[3] x

[2] ???1?nn!2n?1n?1?nx?x22?x33?x44?...???xnn?1n

n?1n?11?1?1a解：[1]l?limn?1?lim2?lim?1???

則R=2

n?2n??ann??nn??2?2n當(dāng)x=2時(shí)，冪級(jí)數(shù)成為?n

這是發(fā)散的

n?1?當(dāng)x=-2時(shí)，冪級(jí)數(shù)成為???1?n

也發(fā)散 ?nn?1故級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為（-2，2）。

??1?n?n?1?!?lima[2] l?limn?1?limn??ann????1?nn!1?0

則R=+∞ n?1n??收斂區(qū)間為（-∞，+∞）

1na?則R=1 [3] l?limn?1?limn?1?lim1n??ann??n??n?1n

第七章

當(dāng)x=1時(shí)，級(jí)數(shù)變?yōu)檎{(diào)和級(jí)數(shù)

?n，發(fā)散。

n?1?1(?1)n當(dāng)x=-1時(shí)，級(jí)數(shù)變?yōu)榻诲e(cuò)級(jí)數(shù)?，收斂

nn?1?故原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為??1,1? 例

2、[1]求級(jí)數(shù) ?2n 的收斂半徑

x2n?0?n!???2n?![2]求級(jí)數(shù)?n?0??x?1?n4n的收斂區(qū)間

2?n?1?!解；[1]分析：n??limun?1un?lim??n?1?!??n!?122n?1x2??n???2n?!2nx2?4x2

1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散 21當(dāng)4x2?1時(shí)，x2?即x?時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)4x2?1即x?故級(jí)數(shù)的收斂半徑R=1/2 ?14[2]分析 令X=x+1則?n?0?x?1?n4n??Xna ?limn?1?n??ann?04nn?11?lim4?

4n??14n?n所以R=4,當(dāng)x=4時(shí)，級(jí)數(shù)變?yōu)?/p>

?1發(fā)散；當(dāng)x=-4時(shí)，級(jí)數(shù)變?yōu)???1?發(fā)散

?n?1n?1?Xn 的收斂區(qū)間為（-4，4）故?，即-4

二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)

1、?anxn??bnxn???an?bn?xn

n?0n?0n?0???性質(zhì)

2、如果冪級(jí)數(shù)f(x)?續(xù)函數(shù)。

性質(zhì)

3、在冪級(jí)數(shù)f(x)?a??n0?nxn的收斂半徑為R?0，則在收斂區(qū)間(?R,R)內(nèi)，它的和函數(shù)為s(x)是連a??n0?n的收斂區(qū)間(?R,R)內(nèi)任意一點(diǎn)x，有 xn

第七章

?x0f(x)dx??(?ant)dt???0n?0n?0x?n?x0atnndt??xn?0n?1n?an?1

即冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，并且積分后級(jí)數(shù)的收斂半徑也是R。性質(zhì)

4、在冪級(jí)數(shù)f(x)?a??n0?nxn的收斂區(qū)間(?R,R)內(nèi)任意一點(diǎn)x，有

/??n??f?(x)???anx????n?0?n?0?an?/n?1n?nx?anx

n?1?即冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)微分，并且微分后級(jí)數(shù)的收斂半徑也是R。

??nn?1n例3 求冪級(jí)數(shù)?x的收斂區(qū)間和和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)?的和。（見書P296）

n?1n?12n1?2?n例

4、求冪級(jí)數(shù)?的和函數(shù)并利用所得結(jié)果求級(jí)數(shù)??? 的值.nn?1n?1n?3??xn?x解：令s(x)???n?1nn則s?(x)?(?x)???x??n?1nn?1nn?1?1?x?x?x?...=

x2

1?x（|x|<1時(shí)），因此 s(x)?s(x)?s(0)??s0x/(t)dt??1dt??ln?1?x?

01?t1?2?n22????s()??ln(1?)?ln3

33n?1n?3??例5 求冪級(jí)數(shù) f(x)?x?x33?x55?...?(?1)n?1n?1x2n?12n?1?...的和函數(shù)，而 解：因f/(x)?1?x?x?...?(?1)24x2n?2?...?x11?x22?x0f?(t)dt?f(x)?f(0)，所以 f(x)?f(0)??dt1?t0?0?arctanx?arctanx

它的收斂半徑R＝1?？梢则?yàn)證，當(dāng)x=1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)x=-1時(shí)，級(jí)數(shù)也收斂，因此，所給級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋郏?，１?/p>

三、小結(jié)

1、冪級(jí)數(shù)的相關(guān)概念

2、冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間、和函數(shù)的求法

四、作業(yè)：P311 6

第七章

§7.6 泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)

主要教學(xué)內(nèi)容

(1)泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)；(2)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開

教學(xué)目的及要求: 理解泰勒、馬克勞林級(jí)數(shù)的概念，了解函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開的間接法

重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施: 重點(diǎn): 馬克勞林級(jí)數(shù) 難點(diǎn): 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開

解決措施: 注重啟發(fā)與分析.教學(xué)方法及段設(shè)計(jì): 講授法.課時(shí)：2課時(shí)

一、泰勒級(jí)數(shù)

1、我們已經(jīng)知道，函數(shù)

n?1n123?1?x?x?x?...?(?1)x?...，那么一般的函數(shù)f(x)是否也可以展1?x開成冪級(jí)數(shù)的形式呢？

即f(x)??anxn?a0?a1x?a2x2?...?anxn?...（1）

n?1?這里a0,a1,a2,...為待定系數(shù)。

如果能，那么系數(shù)怎么確定，按照一定方法確定出的系數(shù)決定的冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間上是否收斂于f(x)? 我們先看第一個(gè)問題

設(shè)f(x)具有任意階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，故可對(duì)（1）兩邊逐次求一階到n階導(dǎo)數(shù)。令x?0則有

f(0)?a0，f?(0)?a1，f??(0)?2!?a2，?，f(n)(0)?n!?an

f??(0)2f(n)(0)nx???x?? 于是（1）式為 f(x)?f(0)?f?(0)x?2!n!?n??我們稱級(jí)數(shù)?f?0?xn為函數(shù)f(x)在x?0的馬克勞林級(jí)數(shù)。

n?0n!關(guān)于馬克勞林級(jí)數(shù)是否收斂于f(x)的問題，看書P320。

第七章

另外我們還可以證明，如果函數(shù)f(x)能夠表達(dá)為x的冪級(jí)數(shù)?anxn，則這個(gè)冪級(jí)數(shù)與f(x)的馬克勞林級(jí)

n?0?數(shù)是一樣的。

2、因此我們通常用馬克勞林級(jí)數(shù)來將一個(gè)初等函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。例1 將f(x)?ex展開成冪級(jí)數(shù)。解：f(n)(x)?ex，即 f(n)(0)?1

?n???所以 f(x)?ex的馬克勞林級(jí)數(shù)為

?f?0?xn??1xn，收斂區(qū)間為(??,??)。

n!n?0n!n?03．兩個(gè)重要函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式

(1)ex??(2)?n?01xn，收斂區(qū)間為n!(??,??)；

?1??xn，收斂區(qū)間為(?1,1)1?xn?04．一般函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式的間接法 例

2、（1）將函數(shù)f?x??2 展開成x的冪級(jí)數(shù)

x（2）將lnx展開成(x?2)的冪級(jí)數(shù) 解：（1）xx2(n)xn???? x?ln2，f(x)?2(ln2)，?f(x)?2(ln2)f2/

2即f?(0)?ln2，f??(0)?(ln2)，?，f(n)(0)?(ln2)n

則有?n?0?f?n?(0)n!xn?ln2????n?0nn!xn

?ln2?n?1a顯然limn?1?limn??an?n?1?!?ln2?nn!n???limln2?0其收斂半徑R???

n??n?1??)即收斂區(qū)間為(??，n?12?x?ln2??0???1?

又因?yàn)閷?duì)任何x，余項(xiàng) Rn?x??xn?1 ?n?1?!n?1?ln2?n?1n?12?x?ln2?n?1?x?0（級(jí)數(shù)收斂，一般項(xiàng)趨于0）因此級(jí)數(shù)

而limRn?x??limx ?2limxn??n???n?1?!n???n?1?!?n?0??ln2?nn!xn在(??，??)內(nèi)收斂于2

x

第七章

??ln2?nxxn 即2??n?0n!(今后可以省略判斷收斂區(qū)間和余項(xiàng)趨于0的步驟)（2）令f(x)?lnx，則f?(x)?112(n?1)!，f??(x)??2，f???(x)?3，?，f(n)(x)?(?1)n?

1nxxxx112(n?1)!(n)n?1從而在x?2處，f?(2)?2，f??(2)??4，f???(2)?23，?，f(2)?(?1)nn?1?1故??f???x0?n???n?1?!n?nnnn?0n!?x?x0?????1n?0n!n?x?2?????1?n?0n2?x?2? 2即lnx展成(x?2)的冪級(jí)數(shù)為????1?n?1n?0n?2n?x?2?n

二、小結(jié)

1、泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)

2、函數(shù)用間接法展開成冪級(jí)數(shù)

三、作業(yè)：P312 7、8、9、10

2n

第五篇：微積分基本定理(教案)

1.6微積分基本定理

一：教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)

通過實(shí)例，直觀了解微積分基本定理的內(nèi)容，會(huì)用牛頓-萊布尼茲公式求簡(jiǎn)單的定積分

過程與方法

通過實(shí)例探求微分與定積分間的關(guān)系，體會(huì)微積分基本定理的重要意義

情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過微積分基本定理的學(xué)習(xí)，體會(huì)事物間的相互轉(zhuǎn)化、對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點(diǎn)，提高理性思維能力。

二：教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：通過探究變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度與位移的關(guān)系，使學(xué)生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運(yùn)用基本定理計(jì)算簡(jiǎn)單的定積分。難點(diǎn)：了解微積分基本定理的含義

三：教學(xué)過程：

1、知識(shí)鏈接： 定積分的概念： 用定義計(jì)算的步驟：

2、合作探究：

⑴導(dǎo)數(shù)與積分的關(guān)系;

我們講過用定積分定義計(jì)算定積分,但其計(jì)算過程比較復(fù)雜，所以不是求定積分的一般方法。有沒有計(jì)算定積分的更直接方法，也是比較一般的方法呢？

下面以變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系為例：

設(shè)一物體沿直線作變速運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t時(shí)物體所在位置為S(t),速度為v(t)（v(t)?o），則物體在時(shí)間間隔[T1,T2]內(nèi)經(jīng)過的路程可用速度函數(shù)表示為達(dá)，即

?T2T1v(t)dt。

另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù)S（t）在[T1,T2]上的增量S(T1)?S(T2)來表?T2T1v(t)dt=S(T1)?S(T2)

而S?(t)?v(t)。

說出你的發(fā)現(xiàn)

⑵ 微積分基本定理

對(duì)于一般函數(shù)f(x)，設(shè)F?(x)?f(x)，是否也有

?baf(x)dx?F(?b)F(？a)

若上式成立，我們就找到了用f(x)的原函數(shù)（即滿足F?(x)?f(x)）的數(shù)值差F(b)?F(a)來計(jì)算f(x)在[a,b]上的定積分的方法。

設(shè)F?(x)?f(x)則在[a,b]上，⊿y=F(b)?F(a)

將[a,b]分成n 等份，在第i個(gè)區(qū)間[xi-1,xi]上，記⊿yi=F(xi)-F(xi-1),則

⊿y=∑⊿yi 如下圖，因?yàn)楱Shi=f(xi-1)⊿x 而⊿yi≈⊿hi 所以 ⊿y≈∑⊿hi=∑f(xi-1)⊿x 故

⊿y=lim∑⊿hi=∑f(xi-1)⊿x= 即

?baf(x)dx

?baf(x)dx=F(b)?F(a)

所以有微積分基本定理：

如果函數(shù)F(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)，則

??bbaf(x)dx?F(b)?F(a)?bbaf(x)dx

（此處并不要求學(xué)生理解證明的過程）

為了方便起見，還常用F(x)|a表示F(b)?F(a)，即

af(x)dx?F(x)|ba?F(b)?F(a)

該式稱之為微積分基本公式或牛頓—萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問題，是微分學(xué)與積分學(xué)之間聯(lián)系的橋梁。

它不僅揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)也提供計(jì)算定積分的一種有效方法，為后面的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學(xué)的發(fā)展帶來了深遠(yuǎn)的影響，是微積分學(xué)中最重要最輝煌的成果。

⑶應(yīng)用舉例

例1．計(jì)算下列定積分：

311（1）?dx；

（2）?(2x?2)dx。

1x1x1解：（1）因?yàn)?lnx)'?，x212所以?dx?lnx|1?ln2?ln1?ln2。

1x11（2））因?yàn)?x2)'?2x,()'??2，xx33311所以?(2x?2)dx??2xdx??2dx

111xx131223。?x2|1?|1?(9?1)?(?1)?x332練習(xí)：計(jì)算解：由于?xdx

01213x是x2的一個(gè)原函數(shù)，所以根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式有 31131131

31?x2dx=x|0=?1??0=

03333例2．計(jì)算下列定積分：

??0sinxdx,?sinxdx,?sinxdx。

?0'2?2?由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。解：因?yàn)??cosx)?sinx，所以

???sinxdx?(?cosx)|?(?cos2?)?(?cos?)??2，?????sinxdx?(?cosx)|?(?cos2?)?(?cos0)?0.?0222020?sinxdx?(?cosx)|?0?(?cos?)?(?cos0)?2，可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值，還可能是0:

(l）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸上方時(shí)（圖1.6一3)，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；

圖1.6 一 3(2）

（2）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸下方時(shí)（圖 1.6 一 4)，定積分的值取負(fù)值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)；

(3）當(dāng)位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時(shí)，定積分的值為0（圖 1.6 一 5)，且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方的曲邊梯形面積．

例3．汽車以每小時(shí)32公里速度行駛，到某處需要減速停車。設(shè)汽車以等減速度a=1.8米/秒2剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？

解:首先要求出從剎車開始到停車經(jīng)過了多少時(shí)間。當(dāng)t=0時(shí)，汽車速度v0=32公里/小時(shí)32?1000米/秒?8.88米/秒,剎車后汽車減速行駛,其速度為v(t)=v0?at=8.88-1.8t當(dāng)汽車36008.88停住時(shí),速度v(t)=0,故從v(t)=8.88-1.8t=0解得t=?4.93秒

1.8=于是在這段時(shí)間內(nèi),汽車所走過的距離是

s??4.930v(t)dt??4.9301(8.88?1.8t)dt=(8.88?1.8?t2)204.93?21.90米,即在剎車后,汽車需走過21.90米才能停住.微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)它也提供了計(jì)算定積分的一種有效方法．微積分基本定理是微積分學(xué)中最重要的定理，它使微積分學(xué)蓬勃發(fā)展起來，成為一門影響深遠(yuǎn)的學(xué)科，可以毫不夸張地說，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果．

⑷課堂練習(xí)

課本p55練習(xí)⑴----⑻

四：課堂小結(jié)：

本節(jié)課借助于變速運(yùn)動(dòng)物體的速度與路程的關(guān)系以及圖形得出了特殊情況下的牛頓-萊布尼茲公式.成立，進(jìn)而推廣到了一般的函數(shù)，得出了微積分基本定理，得到了一種求定積分的簡(jiǎn)便方法，運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，這就要求大家前面的求導(dǎo)數(shù)的知識(shí)比較熟練，希望，不明白的同學(xué)，回頭來多復(fù)習(xí)！

五：教學(xué)后記：

從教以來，一直困惑于一個(gè)問題：課堂上如何突出重點(diǎn)并突破難點(diǎn)。當(dāng)然，理論方面自己早已爛熟于心，關(guān)鍵是缺乏實(shí)踐方面的體驗(yàn)及感悟。在今天的課堂上，本來一個(gè)相當(dāng)簡(jiǎn)單的問題，可在課堂上卻花費(fèi)了大量時(shí)間，更嚴(yán)重的是學(xué)生卻聽得更為糊涂。一個(gè)主要原因在于，對(duì)相關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)理解不到位，眉毛胡子一把抓，而難點(diǎn)又無法解決。