第一篇：教案-6.3不等式的證明2

6．3 不等式的證明（第二課時）

教學(xué)目標(biāo)

1.進(jìn)一步熟練掌握比較法證明不等式； 2.了解作商比較法證明不等式； 3.提高學(xué)生解題時應(yīng)變能力.教學(xué)重點

比較法的應(yīng)用 教學(xué)難點

常見解題技巧 教學(xué)方法

啟發(fā)引導(dǎo)式 教學(xué)活動

（一）導(dǎo)入新課

（教師活動）教師打出字幕（復(fù)習(xí)提問），請三位同學(xué)回答問題，教師點評．

（學(xué)生活動）思考問題，回答．

［字幕］1．比較法證明不等式的步驟是怎樣的？

2．比較法證明不等式的步驟中，依據(jù)、手段、目的各是什么？

3．用比較法證明不等式的步驟中，最關(guān)鍵的是哪一步？學(xué)了哪些常用的變形方法？對式子的變形還有其它方法嗎？

[點評]用比較法證明不等式步驟中，關(guān)鍵是對差式的變形．在我們所學(xué)的知識中，對式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解．這節(jié)課我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)比較法證明不等式，積累對差式變形的常用方法和比較法思想的應(yīng)用．（板書課題）

設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)鞏固已學(xué)知識，銜接新知識，引入本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容．

（二）新課講授

【嘗試探索，建立新知】

（教師活動）提出問題，引導(dǎo)學(xué)生研究解決問題，并點評．

（學(xué)生活動）嘗試解決問題．

[問題]

1．化簡a?b?ab?ab.2．比較35322311與（a?b?0）的大?。?a?ba

（學(xué)生解答問題）

［點評］

①問題1，我們采用了因式分解的方法進(jìn)行簡化．

②通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，我們不難發(fā)現(xiàn)，比較法的思想方法還可用來比較兩個式子的大小．

設(shè)計意圖：啟發(fā)學(xué)生研究問題，建立新知，形成新的知識體系．

【例題示范，學(xué)會應(yīng)用】

（教師活動）教師打出字幕（例題），引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生研究問題，井點評解題過程．

（學(xué)生活動）分析，研究問題．

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［字幕］例題3 已知a，b是正數(shù)，且a?b，求證

a5?b5?a3b2?a2b3.［分析］依題目特點，作差后重新組項，采用因式分解來變形．

證明：（見課本）

［點評］因式分解也是對差式變形的一種常用方法．此例將差式變形為幾個因式的積的形式，在確定符號中，表達(dá)過程較復(fù)雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個好的示范．

a2?b2a?b

[字幕]例4試問：2與（a,b?0）的大小關(guān)系．并說明理由． 2a?ba?b

［分析］作差通分，對分子、分母因式分解，然后分類討論確定符號．

a2?b2a?b(a2?b2)(a?b)?(a?b)(a2?b2)2ab(a?b)解：2 ???22222a?ba?b(a?b)(a?b)(a?b)(a?b)

因為a,b?0，所以2ab?0,a?b?0,a2?b2?0，(a2?b2)(a?b)?0.若a?b?0，則a?b?0,2ab(a?b)?0

所以

2ab?0． 22(a?b)(a?b)a2?b2a?b?.即2a?b2a?b若b?a?0，則a?b?0,2ab(a?b)?0 所以

2ab(a?b)?0． 22(a?b)(a?b)a2?b2a?b?即2

a?b2a?b若a?b?0，則a?b?0,2ab(a?b)?0 所以

2ab(a?b)?0． 22(a?b)(a?b)a2?b2a?b?即2

a?b2a?ba2?b2a?b?.綜上所述：

a?b?0時，22a?ba?b

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a2?b2a?b?

b?a?0時，2 2a?ba?ba2?b2a?b?

a?b?0時，2

a?b2a?b

［點評］解這道題在判斷符號時用了分類討論，分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法．要理解為什么分類，怎樣分類．分類時要不重不漏．

［字幕］例5甲、乙兩人同時同地沿同一條路線走到同一地點．甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m?n，問甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點．

[分析]設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程為s，甲、乙兩人走完這段路程用的時間分別為t1，t2，要回答題目中的問題，只要比較t1、t2的大小就可以了．

解：（見課本）

［點評］此題是一個實際問題，學(xué)習(xí)了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關(guān)實際問題．要培養(yǎng)自己學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的良好品質(zhì)．

設(shè)計意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號的方法．培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識解決實際問題的能力．

【課堂練習(xí)】

（教師活動）教師打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨立思考，完成練習(xí)；請甲、乙兩位學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對正確的給予肯定，對偏差及時糾正；點評練習(xí)中存在的問題．

（學(xué)生活動）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演．

44223

3［字幕］練習(xí)：1．設(shè)a?b，比較(a?b)(a?b)與(a?b)的大?。?/p>

?

2．已知a,b?0，n?N，求證(a?b)(a?b)?2(annn?1?bn?1).設(shè)計意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應(yīng)用．靈活掌握因式分解法對差式的變形和分類討論確定符號．反饋信息，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)．

【分析歸納、小結(jié)解法】

（教師活動）分析歸納例題的解題過程，小結(jié)對差式變形、確定符號的常用方法和利用不等式解決實際問題的解題步驟．

（學(xué)生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上．

1．比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個式子大小的一種重要方法．

2．對差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．

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3．會用分類討論的方法確定差式的符號．

4．利用不等式解決實際問題的解題步驟：①類比列方程解應(yīng)用題的步驟．②分析題意，設(shè)未知數(shù)，找出數(shù)量關(guān)系（函數(shù)關(guān)系，相等關(guān)系或不等關(guān)系），③列出函數(shù)關(guān)系、等式或不等式，④求解，作答．

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識體系．

（三）小結(jié)

（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識及數(shù)學(xué)思想與方法．

（學(xué)生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記．

本節(jié)課學(xué)習(xí)了對差式變形的一種常用方法——因式分解法；對符號確定的分類討論法；應(yīng)用比較法的思想解決實際問題．

通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據(jù)，理解轉(zhuǎn)化，使問題簡化是比較法證明不等式中所蘊含的重要數(shù)學(xué)思想，掌握求差后對差式變形以及判斷符號的重要方法，并在以后的學(xué)習(xí)中繼續(xù)積累方法，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力．

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生對所學(xué)的知識進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)的知識，領(lǐng)會化歸、類比、分類討論的重要數(shù)學(xué)思想方法．

（四）布置作業(yè)

1．課本作業(yè)：P17 7、8。

2，思考題：已知a,b?0，求證ab?ab.3．研究性題：對于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時間和船在靜水中來回行駛一次的時間是否相等？（假設(shè)船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）

設(shè)計意圖：思考題讓學(xué)生了解商值比較法，掌握分類討論的思想．研究性題是使學(xué)生理論聯(lián)系實際，用數(shù)學(xué)解決實際問題，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力．

（五）課后點評

1．教學(xué)評價、反饋調(diào)節(jié)措施的構(gòu)想：本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，通過啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，解決問題，反饋學(xué)習(xí)信息，調(diào)節(jié)教學(xué)活動．

2．教學(xué)措施的設(shè)計：由于對差式變形，確定符號是掌握比較法證明不等式的關(guān)鍵，本節(jié)課在上節(jié)課的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)差式變形的方法和符號的確定，例3和例4分別使學(xué)生掌握因式分解變形和分類討論確定符號，例5使學(xué)生對所學(xué)的知識會應(yīng)用．例題設(shè)計目的在于突出重點，突破難點，學(xué)會應(yīng)用．

作業(yè)答案

abbaaabbaa?bb?a?()a?b.思考題：證明：ba?a?babbaaa?baabb?1，故ba?1.因為a,b?0，所以當(dāng)a?b?0時，?1,a?b?0()bbab

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又因為ab?0，所以ab?ab.baabbaaaa?baabb?1，即ba?1，所以aabb?abba.當(dāng)b?a?0時，0??1,a?b?0，故()bbabaaa?baabb?1，即ba?1，所以aabb?abba.當(dāng)a?b?0時，?1,a?b?0.故()bbab

綜上所述，ab?ab.研究性題：設(shè)兩地距離為s，船在靜水中的速度為u，水流速度為v（u?v?0），則 abbass2s2v2st流?t靜?(?)???0 22u?vu?vuu(u?v)所以船在流水中來回行駛一次的時間比在靜水中來回行駛一次的時間長．

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第二篇：不等式的證明2

●教學(xué)目標(biāo)

1.進(jìn)一步熟練掌握比較法證明不等式； 2.了解作商比較法證明不等式； 3.提高學(xué)生解題時應(yīng)變能力.●教學(xué)重點比較法的應(yīng)用 ●教學(xué)難點常見解題技巧 ●教學(xué)方法啟發(fā)引導(dǎo)式 ●教具準(zhǔn)備幻燈片 ●教學(xué)過程 Ⅰ復(fù)習(xí)回顧：

師：上一節(jié)，我們一起學(xué)習(xí)了證明不等式的最基本、最重要的方法：比較法，總結(jié)了比較法證明不等式的步驟：作差、變形、判斷符號，這一節(jié)，我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)比較法證明不等式.Ⅱ.講授新課：

例4甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走，；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m≠n,問甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點.分析：設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程是S，甲、乙二人走完這段路程所用的時間分別為t1，t2，要回答題目中的問題，只要比較t1，t2的大小就可以了.解：設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程是S，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為t1，t2，依題意有：

t12m?

t12n?S,S2m

?S2n

?t

22Sm?n

S(m?n)2mn

∴t1?

2Sm?n,t2?

S(m?n)2mn，t1?t2?

?=

S[4mn?(m?n)]

2(m?n)mn

2其中S，m、n都是正數(shù)，且m≠n，于是 t1?t2?0，即t1?t

2從而知甲比乙首先到達(dá)指定地點.說明：此題體現(xiàn)了比較法證明不等式在實際中的應(yīng)用，要求學(xué)生注意實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化.例5證明函數(shù)f(x)?x?

1x

在x?[1,??]上是增函數(shù).分析：證明函數(shù)增減性的基本步驟：假設(shè)、作差、變形、判斷，主要應(yīng)用的就是比較法.證明：設(shè)x1?x2≥1，則 f(x1)?f(x2)?x1?

1x1

?(x2?

1x2)?(x1?x2)?

x1?x2x1x2

=(x1?x2)(1?

1x1x2)?(x1?x2)

(x1x2?1)x1x2

∵x1?1?0,x2≥1＞0，x1?x2

∴x1x2?1,x1?x2?0,x1x2?0 ∴(x1?x2)(x1x1?1)x1x2?0

即f(x1)?f(x2)所以f(x)?x?1

x

x在[1??)上是增函數(shù) 說明：此例題一方面讓學(xué)生熟悉比較法的應(yīng)用，另一方面讓學(xué)生了解利用函數(shù)單調(diào)性求最值，例如y?x?

y?x?1

x(x≥2），若利用基本不等式求最值，則“=”成立條件不存在；而在x≥2時是增函數(shù)，故x=2時，函數(shù)有最小值.Ⅲ.課堂練習(xí)

(1)課本P14練習(xí)4，5

(2)證明函數(shù)f(x)?x?

●課堂小結(jié)

師：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家進(jìn)一步掌握比較法證明不等式，并了解比較法證明不等式在證明函數(shù)單調(diào)性及實際問題中的應(yīng)用.●課后作業(yè)

習(xí)題6.33，6

●板書設(shè)計

●教學(xué)后記

1x,(x?(0,1]為減函數(shù)

第三篇：【優(yōu)秀教案】高中數(shù)學(xué)第二冊上 第六章 不等式：6.3不等式的證明(二)

第七教時

教材：不等式證明二（綜合法，分析法，反證法，變換法）

目的：加強不等式證明的訓(xùn)練，以期達(dá)到熟練技巧，同時要求學(xué)生初步掌握用綜

合法證明不等式。

過程：1綜合法

有時我們可以利用某些已經(jīng)證明過的不等式(例如均值不等式)和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立,這種方法通常叫做綜合法,也叫做公式法.例1.已知 a, b , c是不全相等的正數(shù),求證:

ab2?c2?bc2?a2?ca2?b2?6abc

證明:

同理 ???

22????b2?c2?2bc,a?0?ab2?c2?2abc22?b?ac?a??c??2abc?b??2abc

因為, c 不全相等,所以三式不能全取等號 a , b

?ab2?c2?bc2?a2?ca2?b2?6abc

??????

2分析法

證明不等式時,有時可以從求證的不等式出發(fā),分析使這個不等式成立的充分條件,把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題,如果能夠肯定這些充分條件都已具備,那么就可以斷定原不等式成立,這種證明方法通常叫做分析法.例2求證?7?2

52都是正數(shù),所以為了證明 證明:因為3?和

只需證明

展開得 3?7?253?7???2?2210?221?20

221?10

21?5

21?25

21?25成立,所以3因為? 7 ? 2 成立

證明某些含有根式的不等式時,用綜合法比較困難,例如這道題,我們很難想到從21<25下手,因此,我們常用分析法探索證明的途徑,然后用綜合法的形式寫出證明過程,這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要方法

例3證明:當(dāng)周長相等時,圓的面積比正方形的面積大

?L??L??????證明:設(shè)周長為,正方形面積為L依題意,圓的面積為4???2??22

所以本題只需證明 ?L??L????????2???4?

?L2L2

為了證明上式成立,只需證明2?4?16411兩邊同時乘以正數(shù)得?2L?

4因此只需證明: 4??

L??L?上式是成立的,所以: ????????2???4?

2222這就證明了,如果周長相等,那么圓的面積比正方形的面積大.3反證法 反證法是一種間接證明方法,我們?nèi)绻C明“若A則B”,可以通過否定B來達(dá)到肯定B的效果,步驟一般分為三步:1.反設(shè)結(jié)論不成立;2.歸謬,由假設(shè)作為條件推出矛盾;3.結(jié)論,肯定欲證結(jié)論的正確

a,b,c都是小于1的正數(shù),求證: 已知

?1?a?b,?1?b?c,?1?c?

41a中至少有一個不大于444111??????證明:假設(shè) 1?ab?,1?bc?,1?ca?

?a,b,c都是小于1的正數(shù)

111?1?ab?,1?bc?,1?ca?222

3?1?ab?1?bc?1?ca?2

但是 1?ab?1?bc?1?ca

?1?a??b??1?b??c??1?c??a?222?

3所以，矛盾！

4變換法 變換法就是利用拆項或者插項,換元(三角換元,增量換元,等價轉(zhuǎn)化)等變換達(dá)到證明不等式的目的,其中,最為常用的就是三角換元法,把多個變量換成同一個角的三角函數(shù)值,再用三角公式進(jìn)行證明.?222a,b,c?Ra?b?c求證: 已知:,且

an?bn?cn(n?N,n?2)

:由已知,可設(shè) a?cos?,b?sin?

?0?sin??1,0?cos??

1?0?sinn??sin2?,0?cosn??cos2?

?an?bn?cnsinn??cosn??cnsin2??cos2??cn

????

三、小結(jié)：各種證明方法

四、作業(yè)： P15—16練習(xí)1，2P18習(xí)題6.31，2，3

第四篇：不等式的證明教案

不等式的證明

教學(xué)目標(biāo)：

（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；

（2）掌握用比較法、綜合法和分析法證明簡單的不等式；

（3）能根據(jù)實際題目靈活地選擇適當(dāng)?shù)刈C明方法；

（4）通過不等式證明，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力.教學(xué)建議：

1．知識結(jié)構(gòu):（不等式證明三種方法的理解）==〉（簡單應(yīng)用）==〉（綜合應(yīng)用）

2．重點、難點分析

重點：不等式證明的主要方法的意義和應(yīng)用；

難點：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；

②綜合性問題證明方法的選擇．

（1）不等式證明的意義

不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數(shù)都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數(shù)

值去驗證式子是否成立．

（2）比較法證明不等式的分析

①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法．

②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑．

由于a>b<==>a-b>0，因此，證明a>b，可轉(zhuǎn)化為證明與之等價的a-b>0．這種證法就是求差比較法．由于當(dāng)b>0時,a>b<==>(a／b)>1，因此，證明a>b(b>0),可以轉(zhuǎn)化為證明與之等價的(a／b)>1(b>0)．這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明一定要注意(b>0)這一前提條件．

③求差比較法的基本步驟是：“作差?變形?斷號”．

其中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號才是目的．

變形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，變成能夠判斷出差的符號是正或負(fù)的數(shù)(或式子)即可.④作商比較法的基本步驟是：“作商?變形?判斷商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于證明不等號兩側(cè)的式子同號的不等式．

（3）綜合法證明不等式的分析

①利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法．

②綜合法的思路是“由因?qū)Ч保簭囊阎牟坏仁匠霭l(fā)，通過一系列已知條件推導(dǎo)變換，推導(dǎo)出求證的不等式．

③綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要條件）==〉（結(jié)論）

（4）分析法證明不等式的分析

①從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法．

有時，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立的不等式，只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立．這也是用分析法，注意應(yīng)強調(diào)“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據(jù)．

②分析法的思路是“執(zhí)果導(dǎo)因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件直至已成立的不等式．它與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法．

③用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

（已知）<==（逐步推演不等式成立的必要條件）<==（結(jié)論）

④分析法是證明不等式時一種常用的基本方法．當(dāng)證明不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決．特別對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更實用.（5）關(guān)于分析法與綜合法關(guān)系

①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法．

②在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，逐步地推導(dǎo)，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件．即推理方向是：結(jié)論已知.綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題．即：已知 結(jié)論．

③分析法的特點是：從“結(jié)論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實際上是要尋找結(jié)論的充分條件．

綜合法的特點是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是要尋找已知的必要條件．

④一般來說，對于較復(fù)雜的不等式，直接運用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫比較麻煩．因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的．

第一課時不等式的證明（比較法）

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握證明不等式的方法——比較法；

2．熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟．

教學(xué)重點:比較法的意義和基本步驟.教學(xué)難點:常見的變形技巧.教學(xué)方法； 啟發(fā)引導(dǎo)法.教學(xué)過程：

（－）導(dǎo)入新課

教師提問：根據(jù)前一節(jié)學(xué)過（不等式的性質(zhì)）的知識，我們?nèi)绾斡脤崝?shù)運算來比較兩個實數(shù)與的大??？

找學(xué)生回答問題．

（學(xué)生回答：，，）

［點評］要比較兩個實數(shù) 與的大小，只要考察 與的差值的符號就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法．現(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí)：用比較法證明不等式．

目的：通過教師設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識，引出用比較法證明不等式，導(dǎo)入本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識．

（二）新課講授

【嘗試探索，建立新知】

教師寫出一道（證明不等式）例題的題目

[問題] 求證

教師引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，研究不等式的證明．

學(xué)生研究證明不等式，嘗試完成問題．

［本問點評］

①通過確定差的符號，證明不等式的成立．這一方法，在前面比較兩個實數(shù)的大小、比較式子的大小、證明不等式性質(zhì)就已經(jīng)用過．

②通過求差將不等問題轉(zhuǎn)化為恒等問題，將兩個一般式子大小比較轉(zhuǎn)化為一個一般式子與0的大小比較，使問題簡化．

③理論依據(jù)是：

④由，知：要證明

只需證

；需證明

這種證明不等式的方法通常叫做比較法．

目的：幫助學(xué)生構(gòu)建用比較法證明不等式的知識體系，培養(yǎng)學(xué)生化歸的數(shù)學(xué)思想．

【例題示范，學(xué)會應(yīng)用】

教師板書例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會解題過程中的一些常用技巧，并點評．

例1． 求證

［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得

關(guān)于的二次函數(shù)，由配方法易知函數(shù)的最小值大干零，從而使問題獲證．，將此式看作證明：∵

＝

＝，∴

［本例點評］ ．

①作差后是通過配方法對差式進(jìn)行恒等變形，確定差的符號;

②作差后，式子符號不易確定，配方后變形為一個完全平方式子與一個常數(shù)和的形式，使差式的符號易于確定;

③不等式兩邊的差的符號是正是負(fù)，一般需要利用不等式的性質(zhì)經(jīng)過變形后，才能判斷;

④例1介紹了變形的一種常用方法——配方法．

例2.已知都是正數(shù)，并且，求證：

［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號，應(yīng)通分，由分子、分母的值的符號推出差值的符合，從而得證．

證明：

＝

＝

．

因為

都是正數(shù)，且，所以

．

∴

．

即：

[本例點評]

①作差后是通過通分法對差式進(jìn)行恒等變形，由分子、分母的值的符號推出差的符號;

②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——通分法;

③例2的結(jié)論反映了分式的一個性質(zhì)（若都是正數(shù)

1．當(dāng)

時，2．當(dāng)

時，．）

目的：鞏固用比較法證明不等式的知識，學(xué)會用比較法證明不等式時，對差式變形的常用方法——配方法、通分法．

【課堂練習(xí)】

教師指定練習(xí)題，要求學(xué)生獨立思考．完成練習(xí)；請甲、乙兩學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對正確的證法給予肯定和鼓勵，對偏差點撥和糾正；點評練習(xí)中存在的問題．

練習(xí)：1．求證

2．已知，，d都是正數(shù)，且，求證

目的:掌握用比較法證明不等式，并會靈活運用配方法和通分法變形差式，確定差式符號．反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)．

【分析歸納、小結(jié)解法】

學(xué)生和老師一起分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小結(jié)用比較法證明不等式的解題方法，并讓學(xué)生記錄筆記．比較法是證明不等式的一種最基本、重要的方法．用比較法證明不等式的步驟（作差、變形、判斷符號）．靈活掌握配方法和通分法對差式進(jìn)行恒等變形．

（三）小結(jié)（培養(yǎng)學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識）

學(xué)生和老師一起小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識，并讓學(xué)生記錄筆記．

本節(jié)課學(xué)習(xí)的用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號才是目的．掌握求差后對差式變形的常用方法（配方法和通分法）．并在下節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)對差式變形的常用方法．

（四）布置作業(yè)

1．課本作業(yè)：P14．1，2，3．（供學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識）

2．思考題：已知，求證：

（培養(yǎng)其靈活掌握用比較法證明不等式的能力）

3．研究性題：設(shè)，都是正數(shù)，且

（為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識）

作業(yè)答實:

思考題：，求證：，又，從而得證．

研究性題：．所以，

第五篇：均值不等式教案2

課題：§3.2.2均值不等式 課時:第2課時 授課時間: 授課類型：新授課

【教學(xué)目標(biāo)】

1．知識與技能：利用均值定理求極值與證明。

2．過程與方法：培養(yǎng)學(xué)生的探究能力以及分析問題、解決問題的能力。

3．情態(tài)與價值：激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)善于思考、勤于動手的學(xué)習(xí)品質(zhì)。【教學(xué)重點】利用均值定理求極值與證明?！窘虒W(xué)難點】利用均值定理求極值與證明。

【教學(xué)過程】

1、復(fù)習(xí)：

定理：如果a,b是正數(shù)，那么

a?b?ab(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“?”號).22、利用均值定理求最值應(yīng)注意：“正”，“定”，“等”，靈活的配湊是解題的關(guān)鍵

3、例子：

1)已知x≠0，當(dāng)x取什么值時，x2+2）已知x>1,求y=x+

81的值最小，最小值是多少？ 2x1的最小值 x?13）已知x∈R，求y=x2?2x?12的最小值

4）已知x>1,求y=x+116x+2的最小值 xx?15）已知0

8）要建一個底面積為12m2，深為3m的長方體無蓋水池，如果底面造價每平方米600元，側(cè)面造價每平方米400元，問怎樣設(shè)計使總造價最低，最低總造價是多少元？

9）一段長為Lm的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？ 小結(jié)：利用均值定理求極值

課堂練習(xí)：第73頁習(xí)題3-2B:1,2 課后作業(yè)：第72頁習(xí)題3-2A:3,4,5 2

板書設(shè)計：

教學(xué)反思：