第一篇：換底公式的兩種證明方法

換底公式的幾種證明

1、定義法

令 logcb?q,logca?p，則cq?b,cp?a

logab?logcpcq?

2、恒等式法 qqlogcb logcc??pplogca∵logab?logca?logca∴l(xiāng)ogab?logab?logcb

logcb logca

第二篇：換底公式的說課稿

3.4.2 “換底公式”說課稿

瀛湖中學(xué) 李善斌

教材分析

本課是在學(xué)習(xí)了對數(shù)的概念和運算性質(zhì)的基礎(chǔ)上來研究換底公式，利用換底公式統(tǒng)一對數(shù)底數(shù)，即“化異為同”是解決有關(guān)對數(shù)問題的基本思想方法，一般利用它將對數(shù)轉(zhuǎn)化為常用對數(shù)或自然對數(shù)來計算；在具體解題過程中，不僅要能正用換底公式，還要能熟練地逆用換底公式.另外還安排了兩個對數(shù)的應(yīng)用問題，使學(xué)生進一步認識到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活、生產(chǎn)中的重要作用.教材通過實例研究引出換底公式，既明確學(xué)習(xí)換底公式的必要性，同時也在公式推導(dǎo)中應(yīng)用對數(shù)的概念和對數(shù)的運算性質(zhì)，在教學(xué)中可以根據(jù)學(xué)生的不同基礎(chǔ)適當?shù)卦黾泳唧w實例，便于學(xué)生理解換底公式的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生從具體的實例中抽象出一般公式的能力.學(xué)情分析： 對數(shù)是一個全新的概念，對數(shù)運算是一種類似于但又不同于實數(shù)的加減乘除運算及指數(shù)運算的全新運算.要探究并證明對數(shù)換底公式，學(xué)生是有相當難度的，但是通過前兩節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠利用對數(shù)定義及對數(shù)的運算性質(zhì)進行對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化、對數(shù)計算，之前學(xué)生還熟知指數(shù)的運算性質(zhì).有這些已有知識作為基礎(chǔ)，教師再設(shè)計合理的導(dǎo)學(xué)案，是能讓學(xué)生主動參與課堂的，并能自主完成對數(shù)換底公式其性質(zhì)的探究、發(fā)現(xiàn)、證明、應(yīng)用的全過程的.教學(xué)目標

一、知識與技能 1.掌握換底公式，會用換底公式將一般的對數(shù)化為常用對數(shù)或自然對數(shù)，并能進行一些簡單的化簡和證明.2.能將一些生活實際問題轉(zhuǎn)化為對數(shù)問題并加以解答.二、過程與方法

1.結(jié)合實例引導(dǎo)學(xué)生探究換底公式，并通過換底公式的應(yīng)用，使學(xué)生體會化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.2.通過師生之間、學(xué)生與學(xué)生之間互相交流探討，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會共同學(xué)習(xí)的能力.3.通過應(yīng)用對數(shù)知識解決實際問題，幫助學(xué)生確立科學(xué)思想，進一步認識數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活、生產(chǎn)中的重要作用.三、情感態(tài)度與價值觀

1.通過探究換底公式的概念，使學(xué)生體會知識之間的有機聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)目茖W(xué)精神.2.在教學(xué)過程中，通過學(xué)生的相互交流，培養(yǎng)學(xué)生靈活運用換底公式的能力，增強學(xué)生數(shù)學(xué)交流能力，同時培養(yǎng)學(xué)生傾聽并接受別人意見的優(yōu)良品質(zhì).教學(xué)重點

1換底公式得出的過程及其應(yīng)用.教學(xué)難點

推導(dǎo)換底公式過程中的“指、對轉(zhuǎn)化”意識和對指數(shù)冪的換底想法。換底公式的靈活應(yīng)用.教具準備

多媒體課件、投影儀、教學(xué)過程

一、引入新課

1、復(fù)習(xí)回顧：

（1）對數(shù)式與指數(shù)式的互化（2）對數(shù)的基本性質(zhì)

（3）積、商、冪的對數(shù)運算法則: 設(shè)計意圖：對數(shù)的恒等式和對數(shù)的運算性質(zhì)是學(xué)習(xí)本節(jié)課的基礎(chǔ)。通過對舊知識的回顧為新知識的學(xué)習(xí)做好認知鋪墊。

2求新 問題：

（1）你能使用科學(xué)計算器計算：log215??計算器可以計算底數(shù)為多少的對數(shù)？

（2）對數(shù)的運算性質(zhì)只能對同底數(shù)冪進行運算，那么對于不同底數(shù)的對數(shù)集中一起如何運算呢？如：

設(shè)計意圖：通過一實例引入讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，然后大膽探索、分析、歸納。

師：我們學(xué)習(xí)了對數(shù)運算法則，可以看到對數(shù)的運算法則僅適用于對數(shù)的底數(shù)相同的情形，若在解題過程中，遇到對數(shù)的底數(shù)不相同時怎么辦？（產(chǎn)生認知沖突，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望）

二、講解新課 問題（1）、通過計算器的計算，問題（1）可看成 已知 lg2=0.3010, lg3=0.4771, 求log215?？

設(shè)計意圖：進一步體現(xiàn)“解指數(shù)方程常用的方法是兩邊取對數(shù)的方法”

（一）探求換底公式，明確換底公式的意義和作用，提問（2）、由上述計算你可得出什么結(jié)論？合作探究換底公式及證明 方法引導(dǎo)：關(guān)于對數(shù)換底公式的證明方法有很多，證明的基本思路就是借助指數(shù)式.設(shè)計意圖：通過證明換底公式，①使學(xué)生掌握證明換底公式的基本思路就是借助指數(shù)式。②培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、分析、歸納的能力。

合作探究1：常用推論及變形 logab?logba?? logab?logbc?logca??

nlogab（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1，N＞0.m合作探究：換底公式有什么重大作用？ 合作探究2：證明logambn?結(jié)論：是把一個對數(shù)式的底數(shù)改變，可將不同底問題化為同底問題，為使用運算法則創(chuàng)設(shè)條件，如換底公式可以解決如下問題：

（二）換底公式的應(yīng)用（多媒體顯示如下例題，）

例1(1)log927(2)log89?log2732 方法引導(dǎo)：在利用換底公式進行化簡求值時，一般情況是根據(jù)題中所給的對數(shù)式的具體特點選擇恰當?shù)牡讛?shù)進行換底，如果所給的對數(shù)式中的底數(shù)和真數(shù)互不相同，我們可以選擇以10為底數(shù)進行換底.設(shè)計意圖：進一步熟練應(yīng)用換底公式進行計算。充分體現(xiàn)換底公式的作用，提高學(xué)生靈活解題能力。

知識拓展：

例2 已知 log189?a,18b?5 求log3645的值（用a, b表示）考察學(xué)生對本節(jié)課的掌握情況

（三）對數(shù)的實際應(yīng)用問題

合作探究：現(xiàn)在我們來用已學(xué)過的對數(shù)知識解決實際問題.（四）小結(jié)提升

設(shè)計意圖：①培養(yǎng)學(xué)生善于全面總結(jié),自覺歸納的好習(xí)慣。②使知識更加系統(tǒng),有利于學(xué)生掌握。

課堂練習(xí)與作業(yè) 練習(xí):P86 2、3、4 作業(yè)：課本 P88 B組3，4

設(shè)計意圖：通過分層作業(yè)使學(xué)生進一步鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并為學(xué)有余力和學(xué)習(xí)興趣濃厚的學(xué)生提供進一步學(xué)習(xí)的機會。

(五)教學(xué)反思

對于課本中的“兩邊取對數(shù)”方法，我認真反思了很久，有些個人的感受。課本這樣做的理由是此前課本中有這樣的說法：“對任何正數(shù)N，log a N是存在的，并且由于指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以log a N也是唯一的?！边@就保證了“對兩個相等的正數(shù)，兩邊取相同底數(shù)的對數(shù)后仍相等”是站得住腳的，也就保證了“兩邊取對數(shù)”的方法是有據(jù)可依的。

個人認為，課本這樣做也是合理的。但這種做法不太適宜學(xué)生的接受，因為它的思維跨度較大，多數(shù)學(xué)生不宜想到這樣做的理由，所以效果不一定會好。如果能過渡一下就好了。我想改變一下做法，讓它仍然能夠解決問題，同時學(xué)生也容易接受。大家知道，在“指、對互化”中，指數(shù)冪的底數(shù)就是對數(shù)的底數(shù)，所以我們可以把對數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)，而后對指數(shù)冪進行換底，再把指數(shù)冪換回到對數(shù)，就達到了目的。這樣做，也可以引出指數(shù)冪的換底公式，為學(xué)生的思考與拓展作了鋪墊。

再者，課本的引入較為簡單，突然出現(xiàn)一個對數(shù)讓學(xué)生去計算，沒有來龍，也不好確定去脈。個人在同行們的建議下，把引入變成了一個實際問題，從實際問題中提出關(guān)于一個對數(shù)的計算，從而引出問題，導(dǎo)入主題。當然，還有很多不成熟的地方，有待同行批評指正。

課后反思：

上課后，出乎我的意料，學(xué)生在最困難的“換底”處理上，還是首先想到的“兩邊取對數(shù)”的思想方法?？磥?，教材編排是有科學(xué)根據(jù)的，對“兩邊取對數(shù)”的思想方法實現(xiàn)作鋪墊是很有必要的。

其實，關(guān)于變換指數(shù)冪的底數(shù)，教材在此之前也有鋪墊，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了公式。但從學(xué)生的實際出發(fā)，學(xué)生更愿意接受“兩邊取對數(shù)”的方法。

（六）板書設(shè)計

3.4.2 換底公式

一、換底公式 1.換底公式

2.換底公式的推導(dǎo)過程

3.使用換底公式應(yīng)注意的地方

二、對數(shù)的應(yīng)用問題 例1 例2

三、鞏固練習(xí)

四、課堂小結(jié)與布置作業(yè)

第三篇：對數(shù)的換底公式教案

對數(shù)的換底公式

一、教學(xué)目標：

1.知識與技能

推導(dǎo)對數(shù)的換底公式，培養(yǎng)學(xué)生分析、綜合解決問題的能力，以及科學(xué)分析問題的精神和態(tài)度

2.過程與方法

讓學(xué)生經(jīng)歷推導(dǎo)對數(shù)的換底公式的過程，并應(yīng)用換底公式簡便運算 3.情感、態(tài)度與價值觀

通過對數(shù)的運算法則、對數(shù)換底公式的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)

二、重點、難點

重點：對數(shù)的運算性質(zhì)、換底公式及應(yīng)用

難點：正確使用對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式

三、教學(xué)設(shè)計

1、課題引入

在前兩節(jié)課，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了對數(shù)的定義及性質(zhì)，從對數(shù)的定義可以知道，任意不等于1的正數(shù)都可以作為對數(shù)的底。并且科學(xué)計算器通常只能對常用對數(shù)或自然對數(shù)進行計算，這樣我們求任何對數(shù)都只需將它們的底數(shù)轉(zhuǎn)換為以10或e為底的對數(shù)就行了?？墒菓?yīng)該怎樣轉(zhuǎn)換呢，這就需要一個換底公式，也就是我們今天所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容————對數(shù)的換底公式。

2、探究

現(xiàn)在就來看一個具體的對數(shù)㏒215，如何使用科學(xué)計算器計算出它的值？如何對它進行轉(zhuǎn)換？

設(shè)㏒215=x，寫成指數(shù)式得 2x=15 兩邊取常用對數(shù)得 Xlg2=lg15 所以x=lg15 lg2lg15≈3.9068906.lg2ln15≈3.9068906.ln2這樣就可以使用科學(xué)計算器計算㏒鍵算出㏒215=同理也可以使用科學(xué)計算器計算ln鍵算出㏒215=大家觀察一下㏒215=x =

lg15 lg這個等式有什么特點

特點：① ㏒215是用 lg15與lg2 的商來表示的② ㏒215 轉(zhuǎn)換為以10為底的對數(shù) 好了，這是一些特殊的情況，那一般的情況呢？如果是任意的對數(shù)b呢？它是否可以轉(zhuǎn)換為以10為底的對數(shù)呢，或者更一般的情況，它是否可以轉(zhuǎn)換為任意不等于1的正數(shù)為底對數(shù)呢？比如我們設(shè)任意的對數(shù)為㏒b N，它又是否可以轉(zhuǎn)換為以a為底的對數(shù)呢？

3、對數(shù)的換底公式

我們可以先猜想㏒b N=

logaN(a,b>0,a,b≠1,N>0).logab下面就來具體的證明一下

證明：設(shè)㏒b N=x,根據(jù)對數(shù)定義，有

x N=b兩邊取以a為底的對數(shù)，得

x㏒aN=㏒ab

故 x㏒ab =㏒aN，由于b≠1則㏒ab≠0，解得

x=logaN

logablogaN

logab1

logba故㏒b N=由換底公式易知㏒ab=

這樣就證明了我們的猜想是正確的，而這就是對數(shù)的換底公式

大家要注意它是將 ㏒b N轉(zhuǎn)換為以a為底數(shù)N為真數(shù)的對數(shù)與以a為底數(shù)b為真數(shù)的對數(shù)的商

這樣我們就把一個數(shù)的對數(shù)變換成了與原來對數(shù)的底數(shù)不同的兩個對數(shù)的商

4、例題

例1：㏒89㏒2732

分析：大家觀察，在這一個問題中，兩對數(shù)底數(shù)不同，要計算它，就要利用對數(shù)的換底公式統(tǒng)一底數(shù)的問題，先換為以10為底，再換以e為底，再換其它，總結(jié)

lg3221g351g210lg9解：原式=·=·=.lg2731g231g39lg8

下面我們來看這個對數(shù)式具體有什么特點？（8和32,9和27，分別可以寫為以2為底，以3為底的對數(shù)，這樣的話底數(shù)任意選?。├?.一種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩留的質(zhì)量是原來的

84℅，估計約經(jīng)過多少年，該物質(zhì)的剩留量是原來的一半（結(jié)果保留1個有效數(shù)字）。

四、課堂小結(jié)

在這一節(jié)課中，我們主要學(xué)習(xí)了換底公式，學(xué)習(xí)了它的推導(dǎo)過程，它的意義在于把對數(shù)的底數(shù)改變，把不同底的問題轉(zhuǎn)換為同底問題，對于換底公式，大家重在它的運用掌握，關(guān)鍵在找準底數(shù)，從而為簡便我們的運算創(chuàng)造條件。

五、作業(yè)：

本節(jié)練習(xí)題2 B組4題

第四篇：基于高中數(shù)學(xué)的單擺周期公式的兩種證明

龍源期刊網(wǎng) http://.cn

基于高中數(shù)學(xué)的單擺周期公式的兩種證明 作者：顧愛芬 許忠艷 陳曉斌

來源：《中學(xué)物理·高中》2014年第02期

單擺的周期公式是高中物理的重要公式，是教學(xué)的重點.課標對單擺實驗的要求有兩條：一是要求“通過實驗探究單擺的周期與擺長的關(guān)系”，二是“會用單擺測定重力加速度”，通過這兩個實驗從數(shù)據(jù)處理、減少實驗誤差來全面提高學(xué)生的實驗素養(yǎng).學(xué)生經(jīng)過實驗探究后能得到單擺的周期與擺長的二次方根成正比，而與振幅、擺球的質(zhì)量無關(guān).對于周期公式的得出，教材一帶而過：“荷蘭物理學(xué)家惠更斯曾經(jīng)詳盡地研究過單擺的振動...確定了計算單擺的周期的公式.”這個公式到底是怎么推導(dǎo)得來的，教材中沒說，而求知欲強的學(xué)生卻對此問題饒有興趣，會追問是如何推導(dǎo)的.教學(xué)實踐表明有必要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有的知識和經(jīng)驗主動建構(gòu)物理知識，以滿足學(xué)生的需求，因為學(xué)生獲取知識的過程比獲取知識的結(jié)果更為重要.上面的推導(dǎo)，一個是從運動學(xué)的角度，另一個是從動力學(xué)的角度，表面看是不同，結(jié)果殊途同歸，正體現(xiàn)了物理當中力和運動的聯(lián)系與統(tǒng)一.學(xué)習(xí)推導(dǎo)的過程不僅促進了知識的生成、滿足了他們的求知欲和好奇心，更讓學(xué)生感受到看似不同的各種現(xiàn)象之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會到物理世界以至自然界的一種統(tǒng)一的整體美！

第五篇：高一數(shù)學(xué)教案：3.4.2 換底公式(北師大版必修1)

對數(shù)換底公式

一、新課引入：

已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求log56=?

像log56這樣的對數(shù)值是不能直接從常用對數(shù)表中查出的。能不能將以5為底的對數(shù)，換成以10為底的對數(shù)呢？這就要學(xué)習(xí)對數(shù)換底公式。什么是對數(shù)換底公式？怎樣用我們所掌握的知識來

二、新課講解： *logaNlogbN?logab 公式：x證明：設(shè)x?logbN，則b?N

xlogab?logaN?x?logaNlogaNlogbN?logab,即logab。

1、成立前提：b>0且b≠且a≠

12、公式應(yīng)用：“換底”，這是對數(shù)恒等

10為底。

3eNe=2.71828

例11：logab?logba?

1nlogab?logabm2：n

m

例

2、求下列各式的值。X k b 1.c o m

（1）、log98?log3227

（2）、（log43+log83）?(log32+log92)

(3)、log49?log

32(4)、log48?log39

(5)、（log2125+log425+log85）?(log52+log254+log1258)

例

3、若log1227=a,試用a表示log616.解：法

一、換成以2為底的對數(shù)。

法

二、換成以3為底的對數(shù)。

法

三、換成以10為底的對數(shù)。

練習(xí)：已知log189=a,18b=5,求log3645。

例

4、已知12x=3,12y=2,求81?2x

1?x?y的值。

22loga?logb?5,logb?loga?b的8484練習(xí)：已知

值；

例

5、有一片樹林，現(xiàn)有木材220002.5%，求1

5解：設(shè)15年后約有木材 A=22000（×1.02515

∴答：15年后約有木材131840方。

練習(xí)：

1、某種細菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次（一個分裂為兩個），經(jīng)過3小時，這種細菌由1個可繁殖成（）個。

2、在一個容積為a升的容器里滿盛著酒精。先向外倒出x升，再用水注滿；第二次又倒出x升溶液，再用水注滿；如此操作t次后，容器里剩余的純酒精為b升，試用含有a、b、t的式子表示x。logaNlogbN?

三、小結(jié)：對數(shù)換底公式：

logab