第一篇：離散數(shù)學(xué)試題及解答

離散數(shù)學(xué)

2^m*n

一、選擇題（2*10）

1．令P：今天下雨了，Q：我沒帶傘，則命題“雖然今天下雨了，但是我沒帶傘”可符號(hào)化為（（A）P→?Q（C）P∧Q）。

（B）P∨?Q（D）P∧?Q

2．下列命題公式為永真蘊(yùn)含式的是（）。

（A）Q→（P∧Q）（B）P→（P∧Q）（C）（P∧Q）→P（D）（P∨Q）→Q

3、命題“存在一些人是大學(xué)生”的否定是(A)，而命題“所有的人都是要死的”的否定是（）。

（A）所有人都不是大學(xué)生，有些人不會(huì)死（B）所有人不都是大學(xué)生，所有人都不會(huì)死（C）存在一些人不是大學(xué)生，有些人不會(huì)死（D）所有人都不是大學(xué)生，所有人都不會(huì)死

4、永真式的否定是（）。

（A）永真式（B）永假式

（C）可滿足式（D）以上均有可能

5、以下選項(xiàng)中正確的是（）。

（A）0= ?

（B）0 ? ?

（C）0∈?

（D）0??

6、以下哪個(gè)不是集合A上的等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)？（）

（A）自反性

（B）有限性

（C）對(duì)稱性

（D）傳遞性

7、集合A={1,2,…,10}上的關(guān)系R={|x+y=10,x,y∈A}，則R的性質(zhì)為（）。

（A）自反的

（B）對(duì)稱的

（C）傳遞的，對(duì)稱的（D）傳遞的

8．設(shè)D=為有向圖，V={a, b, c, d, e, f}, E={, , , , }是（）。

（A）強(qiáng)連通圖（B）單向連通圖（C）弱連通圖（D）不連通圖

9、具有6個(gè)頂點(diǎn)，12條邊的連通簡(jiǎn)單平面圖中，每個(gè)面都是由（）條邊圍成？

（A）

2（B）4

（C）（D）5 10．連通圖G是一棵樹，當(dāng)且僅當(dāng)G中（）。

（A）有些邊不是割邊（B）每條邊都是割邊（C）無(wú)割邊集

（D）每條邊都不是割邊

二、填空題（2*10）

1、命題“2是偶數(shù)或-3是負(fù)數(shù)”的否定是________。

2、設(shè)全體域D是正整數(shù)集合，則命題?x?y(xy=y)的真值是______。

3、令R(x):x是實(shí)數(shù)，Q(x):x是有理數(shù)。則命題“并非每個(gè)實(shí)數(shù)都是有理數(shù)”的符號(hào)化表示為________。

4、公式(?P?Q)?(?P??Q)化簡(jiǎn)為________。

5、設(shè)A∩B=A∩C，A∩B=A∩C，則B________C。

6、設(shè)A={2,4,6}，A上的二元運(yùn)算*定義為：a*b=max{a,b}，則在獨(dú)異點(diǎn)中，單位元是________，零元是________。

7、任一有向圖中，度數(shù)為奇數(shù)的結(jié)點(diǎn)有________(奇數(shù)/偶數(shù))個(gè)。8．如下無(wú)向圖割點(diǎn)是________，割邊是________。

三、（10分）設(shè)A、B和C是三個(gè)集合，則A?B??(B?A)。

四、（15分）某項(xiàng)工作需要派A、B、C和D 4個(gè)人中的2個(gè)人去完成，按下面3個(gè)條件，有幾種派法？如何派？(1)若A去，則C和D中要去1個(gè)人；(2)B和C不能都去；(3)若C去，則D留下

五、（15分）設(shè)A={1,2,3},寫出下列圖示關(guān)系的關(guān)系矩陣，并討論它們的性質(zhì)：

六、（20分）畫一個(gè)圖使它分別滿足：（1）有歐拉回路和哈密爾頓回路；（2）有歐拉回路，但無(wú)條哈密爾頓回路；（3）無(wú)歐拉回路，但有哈密爾頓回路；（4）既無(wú)歐拉回路，又無(wú)哈密爾頓回路。

A C

B A C

B A C B 答案：

一、選擇題：

2、C

7、B

3、A

8、C

4、B

9、C

5、D

10、B

1、D

6、B

二、填空： 1、2不是偶數(shù)且-3不是負(fù)數(shù)

2、F

3、??x(R(x)?Q(x))

4、?P

5、等于 6、2，6

7、偶數(shù)

8、d，e5

三、證明：

A?B??x(x∈A→x∈B)∧?x(x∈B∧x?A)??x(x?A∨x∈B)∧?x(x∈B∧x?A)???x(x∈A∧x?B)∧??x(x?B∨x∈A)???x(x∈A∧x?B)∨??x(x∈A∨x?B)??(?x(x∈A∧x?B)∧?x(x∈A∨x?B))??(?x(x∈A∧x?B)∧?x(x∈B→x∈A))??(B?A)。

四、解

設(shè)A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。則根據(jù)題意應(yīng)有：A?C?D，?(B∧C)，C??D必須同時(shí)成立。因此(A?C?D)∧?(B∧C)∧(C??D)?(?A∨(C∧? D)∨(?C∧D))∧(?B∨?C)∧(?C∨?D)?(?A∨(C∧? D)∨(?C∧D))∧((?B∧?C)∨(?B∧?D)∨?C∨(?C∧?D))?(?A∧?B∧?C)∨(?A∧?B∧?D)∨(?A∧?C)∨(?A∧?C∧?D)∨(C∧? D∧?B∧?C)∨(C∧? D∧?B∧?D)∨(C∧? D∧?C)∨(C∧? D∧?C∧?D)∨(?C∧D∧?B∧?C)∨(?C∧D∧?B∧?D)∨(?C∧D∧?C)∨(?C∧D∧?C∧?D)?F∨F∨(?A∧?C)∨F∨F∨(C∧? D∧?B)∨F∨F∨(?C∧D∧?B)∨F∨(?C∧D)∨F ?(?A∧?C)∨(?B∧C∧? D)∨(?C∧D∧?B)∨(?C∧D)?(?A∧?C)∨(?B∧C∧? D)∨(?C∧D)?T 故有三種派法：B∧D，A∧C，A∧D。

五、?000???（1）R={<2,1>,<3,1>,<2,3>};MR=?101?;它是反自反的、反對(duì)稱的、傳遞的；

?100????011???（2）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>};MR=?101?;它是反自反的、?110???對(duì)稱的；

?011???（3）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,3>};MR=?100?;它既不是自反的、反自反的、?001???也不是對(duì)稱的、反對(duì)稱的、傳遞的。

六、

第二篇：離散數(shù)學(xué)試題

中央電大離散數(shù)學(xué)試題

月

一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）

1．若集合A={1，{2}，{1，2}}，則下列表述正確的是()．

A．2?AB．{1}?A

C．1?AD．2 ? A

2．已知一棵無(wú)向樹T中有8個(gè)頂點(diǎn)，4度、3度、2度的分支點(diǎn)各一個(gè)，T的樹葉數(shù)為

()．

A．6B．4C．3D．

53．設(shè)無(wú)向圖G的鄰接矩陣為

?01111??10011????10000???11001????11010??

則G的邊數(shù)為()．

A．1B．7C．6D．14 4．設(shè)集合A={a}，則A的冪集為()．

A．{{a}}B．{a，{a}}

C．{?，{a}}D．{?，a}

5．下列公式中()為永真式．

A．?A??B ? ?A??BB．?A??B ? ?(A?B)

C．?A??B ? A?BD．?A??B ? ?(A?B)

二、填空題（每小題3分，本題共15分）

6．命題公式P??P的真值是

7．若無(wú)向樹T有5個(gè)結(jié)點(diǎn)，則T的邊數(shù)為．

8．設(shè)正則m叉樹的樹葉數(shù)為t，分支數(shù)為i，則(m-1)i

9．設(shè)集合A={1，2}上的關(guān)系R＝{<1, 1>,<1, 2>}，則在R中僅需加一個(gè)元素，就可使新得到的關(guān)系為對(duì)稱的．

10．(?x)(A(x)→B(x，z)∨C(y))中的自由變?cè)校?/p>

三、邏輯公式翻譯（每小題6分，本題共12分）

11．將語(yǔ)句“今天上課．”翻譯成命題公式．

12．將語(yǔ)句“他去操場(chǎng)鍛煉，僅當(dāng)他有時(shí)間．”翻譯成命題公式．

四、判斷說(shuō)明題（每小題7分，本題共14分）

判斷下列各題正誤，并說(shuō)明理由．

13．設(shè)集合A={1，2}，B={3，4}，從A到B的關(guān)系為f={<1, 3>}，則f是A到B的函數(shù)．

14．設(shè)G是一個(gè)有4個(gè)結(jié)點(diǎn)10條邊的連通圖，則G為平面圖．

五．計(jì)算題（每小題12分，本題共36分）

15．試求出（P∨Q）→（R∨Q）的析取范式．

16．設(shè)A={{1}, 1, 2}，B={ 1, {2}}，試計(jì)算

（1）（A∩B）（2）（A∪B）（3）A ?（A∩B）．

17．圖G=，其中V={ a, b, c, d }，E={(a, b),(a, c),(a, d),(b, c),(b, d),(c, d)}，對(duì)應(yīng)邊的權(quán)值依次為1、2、3、1、4及5，試

（1）畫出G的圖形；

（2）寫出G的鄰接矩陣；

（3）求出G權(quán)最小的生成樹及其權(quán)值．

六、證明題（本題共8分）

18．試證明：若R與S是集合A上的自反關(guān)系，則R∩S也是集合A上的自反關(guān)系．

中央電大2010年7月離散數(shù)學(xué)

試題解答

(供參考)

一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）

1．B2．D3．B4．C5．B

二、填空題（每小題3分，本題共15分）

6．假（或F，或0）

7．48．t-

19． <2, 1>

10．z，y

三、邏輯公式翻譯（每小題6分，本題共12分）

11．設(shè)P：今天上課，（2分）則命題公式為：P．（6分）

12．設(shè) P：他去操場(chǎng)鍛煉，Q：他有時(shí)間，（2分）則命題公式為：P ?Q．（6分）

四、判斷說(shuō)明題（每小題7分，本題共14分）

13．錯(cuò)誤．（3分）因?yàn)锳中元素2沒有B中元素與之對(duì)應(yīng)，故f不是A到B的函數(shù)．（7分）

14．錯(cuò)誤．（3分）不滿足“設(shè)G是一個(gè)有v個(gè)結(jié)點(diǎn)e條邊的連通簡(jiǎn)單平面圖，若v≥3，則e≤3v-6．”（7分）

五．計(jì)算題（每小題12分，本題共36分）

15．（P∨Q）→（R∨Q）? ┐(P∨Q)∨（R∨Q）（4分）

?(┐P∧┐Q)∨（R∨Q）（8分）

?(┐P∧┐Q)∨R∨Q（析取范式）（12分）

16．（1）（A∩B）={1}（4分）

（2）（A∪B）={1, 2, {1}, {2}}（8分）

（3）A?（A∩B）={{1}, 1, 2}（12分）

17．（1）G的圖形表示如圖一所示：ad1

5b c（3分）圖一

（2）鄰接矩陣：

?0?1?10111?1??（6分）??1101?

?1110??

（3）最小的生成樹如圖二中的粗線所示：

a 3d5

b圖二1c

權(quán)為：1+1+3=5

六、證明題（本題共8分）

18．證明：設(shè)?x?A，因?yàn)镽自反，所以x R x，即< x, x>?R；

又因?yàn)镾自反，所以x R x，即< x, x >?S．即< x, x>?R∩S故R∩S自反．

10分）12分）（4分）（6分）（8分）（（

第三篇：離散數(shù)學(xué)試題+答案

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一、單項(xiàng)選擇題(本大題共15小題，每小題1分，共15分)在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。1.一個(gè)連通的無(wú)向圖G，如果它的所有結(jié)點(diǎn)的度數(shù)都是偶數(shù)，那么它具有一條（）A.漢密爾頓回路

B.歐拉回路 C.漢密爾頓通路

D.初級(jí)回路

2.設(shè)G是連通簡(jiǎn)單平面圖，G中有11個(gè)頂點(diǎn)5個(gè)面，則G中的邊是（）A.10

B.12

C.16

D.14 3.在布爾代數(shù)L中，表達(dá)式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等價(jià)式是（）A.b∧(a∨c)B.(a∧b)∨(a’∧b)C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)D.(b∨c)∧(a∨c)4.設(shè)i是虛數(shù)，·是復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，則G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是（）A.<{1},·>

B.〈{-1},·〉

C.〈{i},·〉

D.〈{-i},·〉

5.設(shè)Z為整數(shù)集，A為集合，A的冪集為P(A),+、-、/為數(shù)的加、減、除運(yùn)算，∩為集合的交運(yùn)算，下列系統(tǒng)中是代數(shù)系統(tǒng)的有（）A.〈Z，+，/〉

B.〈Z，/〉 C.〈Z，-，/〉

D.〈P(A)，∩〉 6.下列各代數(shù)系統(tǒng)中不含有零元素的是（）A.〈Q，*〉Q是全體有理數(shù)集，*是數(shù)的乘法運(yùn)算

B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全體n階實(shí)矩陣集合，*是矩陣乘法運(yùn)算 C.〈Z，?〉，Z是整數(shù)集，?定義為x?xy=xy,?x,y∈Z D.〈Z，+〉，Z是整數(shù)集，+是數(shù)的加法運(yùn)算

7.設(shè)A={1,2,3}，A上二元關(guān)系R的關(guān)系圖如下： R具有的性質(zhì)是 A.自反性 B.對(duì)稱性 C.傳遞性 D.反自反性

8.設(shè)A={a,b,c}，A上二元關(guān)系R={〈a,a〉，〈b,b〉〈,a,c〉}，則關(guān)系R的對(duì)稱閉包S(R)是（）A.R∪IA

B.R

C.R∪{〈c,a〉}

D.R∩IA 9.設(shè)X={a,b,c},Ix是X上恒等關(guān)系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R為X上的等價(jià)關(guān)系，R應(yīng)?。ǎ〢.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝

B.{〈c,b〉，〈b,a〉} C.{〈c,a〉，〈b,a〉}

D.{〈a,c〉，〈c,b〉} 10.下列式子正確的是（）A.?∈?

B.???

C.{?}??

D.{?}∈?

11.設(shè)解釋R如下：論域D為實(shí)數(shù)集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x

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D.(?x)(?y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))12.設(shè)B是不含變?cè)獂的公式，謂詞公式(?x)(A(x)→B)等價(jià)于（）A.(?x)A(x)→B

B.(?x)A(x)→B C.A(x)→B

D.(?x)A(x)→(?x)B 13.謂詞公式(?x)(P(x,y))→(?z)Q(x,z)∧(?y)R(x,y)中變?cè)獂（）A.是自由變?cè)皇羌s束變?cè)?B.既不是自由變?cè)植皇羌s束變?cè)?C.既是自由變?cè)质羌s束變?cè)?D.是約束變?cè)皇亲杂勺冊(cè)?/p>

14.若P：他聰明；Q：他用功；則“他雖聰明，但不用功”，可符號(hào)化為（）A.P∨Q

B.P∧┐Q

C.P→┐Q

D.P∨┐Q 15.以下命題公式中，為永假式的是（）A.p→(p∨q∨r)

B.(p→┐p)→┐p C.┐(q→q)∧p

D.┐(q∨┐p)→(p∧┐p)

二、填空題(每空1分，共20分)16.在一棵根樹中，僅有一個(gè)結(jié)點(diǎn)的入度為______，稱為樹根，其余結(jié)點(diǎn)的入度均為______。17.A={1,2,3,4}上二元關(guān)系R={〈2，4〉，〈3，3〉，〈4，2〉}，R的關(guān)系矩陣MR中m24=______,m34=______。18.設(shè)〈s,*〉是群，則那么s中除______外，不可能有別的冪等元；若〈s,*〉有零元，則|s|=______。19.設(shè)A為集合，P(A)為A的冪集，則〈P(A)，是格，若x,y∈P(A),則x,y最大下界是______，?〉最小上界是______。

20.設(shè)函數(shù)f:X→Y,如果對(duì)X中的任意兩個(gè)不同的x1和x2，它們的象y1和y2也不同，我們說(shuō)f是______函數(shù)，如果ranf=Y，則稱f是______函數(shù)。

21.設(shè)R為非空集合A上的等價(jià)關(guān)系，其等價(jià)類記為〔x〕R。?x,y∈A，若〈x,y〉∈R，則 〔x〕R與〔y〕R的關(guān)系是______，而若〈x,y〉?R，則〔x〕R∩〔y〕R=______。

22.使公式(?x)(?y)(A(x)∧B(y))?(?x)A(x)∧(?y)B(y)成立的條件是______不含有y，______不含有x。23.設(shè)M(x):x是人，D(s):x是要死的，則命題“所有的人都是要死的”可符號(hào)化為(?x)______,其中量詞(?x)的轄域是______。24.若H1∧H2∧?∧Hn是______，則稱H1,H2,?Hn是相容的，若H1∧H2∧?∧Hn是______，則稱H1,H2,?Hn是不相容的。

25.判斷一個(gè)語(yǔ)句是否為命題，首先要看它是否為，然后再看它是否具有唯一的。

三、計(jì)算題(共30分)26.(4分)設(shè)有向圖G=(V,E)如下圖所示，試用鄰接矩陣方法求長(zhǎng)度為2的路的總數(shù)和回路總數(shù)。

27.(5)設(shè)A={a,b},P(A)是A的冪集，?是對(duì)稱差運(yùn)算，可以驗(yàn)證

是群。設(shè)n是正整數(shù)，求({a}-1{a})n?{a}-nn{a}n 28.(6分)設(shè)A={1,2,3,4,5},A上偏序關(guān)系

R={〈1，2〉，〈3，2〉，〈4，1〉，〈4，2〉，〈4，3〉，〈3，5〉，〈4，5〉}∪IA;

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(1)作出偏序關(guān)系R的哈斯圖

(2)令B={1,2,3,5}，求B的最大，最小元，極大、極小元，上界，下確界，下界，下確界。29.(6分)求┐(P→Q)?(P→┐Q)的主合取范式并給出所有使命題為真的賦值。

30.(5分)設(shè)帶權(quán)無(wú)向圖G如下，求G的最小生成樹T及T的權(quán)總和，要求寫出解的過(guò)程。

31.(4分)求公式┐((?x)F(x,y)→(?y)G(x,y))∨(?x)H(x)的前束范式。

四、證明題(共20分)32.(6分)設(shè)T是非平凡的無(wú)向樹，T中度數(shù)最大的頂點(diǎn)有2個(gè)，它們的度數(shù)為k(k≥2),證明T中至少有2k-2片樹葉。

33.(8分)設(shè)A是非空集合，F(xiàn)是所有從A到A的雙射函數(shù)的集合，?是函數(shù)復(fù)合運(yùn)算。

證明：〈F, ?〉是群。

34.(6分)在個(gè)體域D={a1,a2,?，an}中證明等價(jià)式：

(?x)(A(x)→B(x))?(?x)A(x)→(?x)B(x)

五、應(yīng)用題(共15分)35.(9分)如果他是計(jì)算機(jī)系本科生或者是計(jì)算機(jī)系研究生，那么他一定學(xué)過(guò)DELPHI語(yǔ)言而且學(xué)過(guò)C++語(yǔ)言。只要他學(xué)過(guò)DELPHI語(yǔ)言或者C++語(yǔ)言，那么他就會(huì)編程序。因此如果他是計(jì)算機(jī)系本科生，那么他就會(huì)編程序。請(qǐng)用命題邏輯推理方法，證明該推理的有效結(jié)論。

36.(6分)一次學(xué)術(shù)會(huì)議的理事會(huì)共有20個(gè)人參加，他們之間有的相互認(rèn)識(shí)但有的相互不認(rèn)識(shí)。但對(duì)任意兩個(gè)人，他們各自認(rèn)識(shí)的人的數(shù)目之和不小于20。問(wèn)能否把這20個(gè)人排在圓桌旁，使得任意一個(gè)人認(rèn)識(shí)其旁邊的兩個(gè)人?根據(jù)是什么?

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共15小題，每小題1分，共15分)

1.B

2.D

3.A

4.A

5.D

6.D

7.D

8.C

9.D

10.B

11.A

12.A

13.C

14.B

15.C

二、填空題 16.0 17.1

0 18.單位元

19.x∩y

x∪y 20.入射

滿射

21.［x］R=［y］R

 22.A(x)

B(y)23.(M(x)→D(x))

M(x)→D(x)

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24.可滿足式

永假式(或矛盾式)25.陳述句

真值

三、計(jì)算題

?1100??1010???26.M=??

1011????0011???2?2?M=??2??1110?111???

121?011??M2ij?18,ij?6 ?M2i?1??i?1j?144

G中長(zhǎng)度為2的路總數(shù)為18，長(zhǎng)度為2的回路總數(shù)為6。

27.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，?x∈P(A),xn=?

當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，?x∈P(A),xn=x

于是：當(dāng)n是偶數(shù)，(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n?｛a｝-n｛b｝n｛a｝n

=??(｛a｝-1)n｛b｝n｛a｝n=?????

當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n?｛a｝-n｛b｝n｛a｝n

=｛a｝-1｛b｝｛a｝?(｛a｝-1)n｛b｝n｛a｝n

=｛a｝-1｛b｝｛a｝?｛a｝-1｛b｝｛a｝=? 28.(1)偏序關(guān)系R的哈斯圖為

(2)B的最大元：無(wú)，最小元：無(wú)；

極大元：2，5，極小元：1，3

下界：4，下確界4；

上界：無(wú)，上確界：無(wú)

29.原式?(┐(P→Q)→(P→┐Q))∧((P→┐Q)→┐(P→Q))

((P→Q)∨(P→┐Q))∧(┐(P→┐Q)∨┐(P→Q))

(┐P∨Q∨┐P∨┐Q)∧(┐(┐P∨┐Q)∨(P∧┐Q))

(┐(P∧┐Q)∨(P∧┐Q))

(P∧Q)∨(P∧┐Q)

P∧(Q∨┐Q)

P∨(Q∧┐Q)

(P∨Q)∧(P∨┐Q)

命題為真的賦值是P=1,Q=0和P=1,Q=1

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30.令e1=(v1,v3)，e2=(v4,v6)

e3=(v2,v5)，e4=(v3,v6)

e5=(v2,v3)，e6=(v1,v2)

e7=(v1,v4)，e8=(v4,v3)

e9=(v3,v5)，e10=(v5,v6)

令ai為ei上的權(quán)，則

a1

取a1的e1∈T,a2的e2∈T,a3的e3∈T,a4的e4∈T,a5的e5∈T,即，T的總權(quán)和=1+2+3+4+5=15 31.原式?┐(?x1F(x1,y)→?y1G(x,y1))∨?x2H(x2)

(換名)

?┐?x1?y1(F(x1,y)→G(x,y1))∨?x2H(x2)

??x1?y1┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨?x2H(x2)

??x1?y1?x2(┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨H(x2)

四、證明題

32.設(shè)T中有x片樹葉，y個(gè)分支點(diǎn)。于是T中有x+y個(gè)頂點(diǎn)，有x+y-1 條邊，由握手定理知T中所有頂點(diǎn)的度數(shù)之的

x?y

?d(vi)=2(x+y-1)。

i?又樹葉的度為1，任一分支點(diǎn)的度大于等于2

且度最大的頂點(diǎn)必是分支點(diǎn)，于是

x?y

?d(vi)≥x·1+2(y-2)+k+k=x+2y+2K-4 i?1

從而2(x+y-1)≥x+2y+2k-4

x≥2k-2 33.從定義出發(fā)證明：由于集合A是非空的，故顯然從A到A的雙射函數(shù)總是存在的，如A上恒等函數(shù)，因此F非空

(1)?f,g∈F,因?yàn)閒和g都是A到A的雙射函數(shù)，故f?g也是A到A的雙射函數(shù)，從而集合F關(guān)于運(yùn)算?是封閉的。

(2)?f,g,h∈F,由函數(shù)復(fù)合運(yùn)算的結(jié)合律有f?(g?h)=(f?g)?h故運(yùn)算?是可結(jié)合的。

(3)A上的恒等函數(shù)IA也是A到A的雙射函數(shù)即IA∈F,且?f∈F有IA?f=f?IA=f,故IA是〈F，?〉中的幺元

(4)?f∈F,因?yàn)閒是雙射函數(shù)，故其逆函數(shù)是存在的，也是A到A的雙射函數(shù)，且有f?f-1=f-1?f=IA,因此f-1是f的逆元

由此上知〈F，?〉是群

34.證明(?x)(A(x)→B(x))? ?x(┐A(x)∨B(x))

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?(┐A(a1)∨B(a1))∨(┐A(a2)∨B(a2))∨?∨(┐A(an)∨B(an)))

?(┐A(a1)∨A(a2)∨?∨┐A(an)∨(B(a1)∨B(a2)∨?∨(B(an))

?┐(A(a1)∧A(a2)∧?∧A(an))∨(┐B(a1)∨B(a2)∨?∨(B(an))

?┐(?x)A(x)∨(?x)B(x)?(?x)A(x)→(?x)B(x)

五、應(yīng)用題

35.令p：他是計(jì)算機(jī)系本科生

q：他是計(jì)算機(jī)系研究生

r：他學(xué)過(guò)DELPHI語(yǔ)言

s:他學(xué)過(guò)C++語(yǔ)言

t:他會(huì)編程序

前提：(p∨q)→(r∧s),(r∨s)→t

結(jié)論：p→t

證①p

P(附加前提)

②p∨q

T①I

③(p∨q)→(r∧s)

P(前提引入)

④r∧s

T②③I

⑤r

T④I

⑥r(nóng)∨s

T⑤I

⑦(r∨s)→t

P(前提引入)

⑧t

T⑤⑥I 36.可以把這20個(gè)人排在圓桌旁，使得任一人認(rèn)識(shí)其旁邊的兩個(gè)人。

根據(jù)：構(gòu)造無(wú)向簡(jiǎn)單圖G=,其中V={v1,v2,?，V20}是以20個(gè)人為頂點(diǎn)的集合，E中的邊是若任兩個(gè)人vi和vj相互認(rèn)識(shí)則在vi與vj之間連一條邊。

?Vi∈V,d(vi)是與vi相互認(rèn)識(shí)的人的數(shù)目，由題意知?vi,vj∈V有d(vi)+d(vj)?20,于是G中存在漢密爾頓回路。

設(shè)C=Vi1Vi2?Vi20Vi1是G中一條漢密爾頓回路，按這條回路的順序按其排座位即符合要求。

第四篇：08離散數(shù)學(xué)試題

離散數(shù)學(xué)試題

一、填空（共36分）

1、命題公式P?Q的真值為假，當(dāng)且僅當(dāng)。

2、設(shè)F(x)：x是整數(shù)，G(x):x是自然數(shù)，則命題“并不是每個(gè)整數(shù)都是自然數(shù)”符號(hào)化為。

3、設(shè)10階平面圖G有5個(gè)面，則G中有條邊。

4．設(shè)A={1，2，3，4，5，6，7}，R是A上的模4同余關(guān)系，則關(guān)系R＝。

5．六階循環(huán)群的所有生成元為，所有子群為。

6．設(shè)集合S??a,b,c?，S上所有互不相同的等價(jià)關(guān)系的數(shù)目為。

7．R是非空集合上的偏序關(guān)系，當(dāng)且僅當(dāng)R具有

8．僅用聯(lián)結(jié)詞?來(lái)表示P?Q為。

二、解答題（共24分）。

1． 求等價(jià)于下面公式的前束合取范式與前束析取范式。（10分）??x??P?x????y????z?Q?x,y???(?z)R(y,x)??

2． 整數(shù)集合Z上的二元運(yùn)算*定義為x*y判斷?Z,*?是不?x?y?2，是群？如果是，求出它的單位元以及每個(gè)元素的逆元。（8分）

3． 設(shè)A,B,C是三個(gè)集合，函數(shù)f:A?B，函數(shù)g:B?C。若函數(shù)

g?f:A?C是雙射，則f和g一定都是雙射函數(shù)嗎？若是，請(qǐng)給出證明；若否，請(qǐng)舉例說(shuō)明。（6分）

三、證明題（共40分）

1．（10分）構(gòu)造下面推理的證明（個(gè)體域取學(xué)生的集合）：

每個(gè)一年級(jí)學(xué)生至少有一個(gè)高年級(jí)學(xué)生作他的輔導(dǎo)員。凡理科學(xué)生的輔導(dǎo)員皆是理科學(xué)生。小王是理科一年級(jí)學(xué)生。因此，至少有一個(gè)理科高年級(jí)學(xué)生。

2．（8分）證明在至少含有3個(gè)節(jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)單連通平面圖中，至少有一個(gè)節(jié)點(diǎn)的度數(shù)小于等于5。

3．4． 證明命題的等價(jià)關(guān)系：證明在無(wú)向完全圖Kn

頓圖。（6分）

5． 設(shè)G為群，?P?Q????P?Q????P?Q?（8分）?n?3?中任意刪去3條邊后，所得到的圖是哈密f:G?G，?x?G有f?x??x?1。證明當(dāng)且僅當(dāng)G是

交換群，f是G的自同構(gòu)。（8分）

第五篇：離散數(shù)學(xué)試題與答案

《離散數(shù)學(xué)》試題及答案

一、選擇題：本題共5小題，每小題3分，共15分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.命題公式(P?Q)?Q為()

(A)矛盾式(B)可滿足式(C)重言式(D)合取范式

2．設(shè)P表示“天下大雨”，Q表示“他在室內(nèi)運(yùn)動(dòng)”，則命題“除非天下大雨，否則他不在室內(nèi)運(yùn)動(dòng)”符號(hào)化為（）。

(A)． P?Q；(B)．P?Q；(C)．?P??Q；(D)．?P?Q．

3.設(shè)集合A={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}}，則下式為真的是()

(A)1?A(B){1,2, 3}?A

(C){{4,5}}?A(D)??A

4.設(shè)A＝{1,2},B={a,b,c},C={c,d}, 則A×(B?C)=()

(A){<1,c>,<2,c>}(B){,<2,c>}(C){,}(D){<1,c>,}

5.設(shè)G如右圖：那么G不是().(A)哈密頓圖；(B)完全圖；

(C)歐拉圖；(D)平面圖.二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20

6.設(shè)集合A={?,{a}}，則A的冪集P(A7.設(shè)集合A={1,2,3,4 }, B={6,8,12}, A到B的關(guān)系R＝{?x,y?y?2x,x?A,y?B},那么R1＝－

8.在“同學(xué)，老鄉(xiāng)，親戚，朋友”四個(gè)關(guān)系中_______是等價(jià)關(guān)系.9.寫出一個(gè)不含“?”的邏輯聯(lián)結(jié)詞的完備集.10.設(shè)X＝{a,b,c}，R是X上的二元關(guān)系，其關(guān)系矩陣為

?101??，那么R的關(guān)系圖為 MR＝?100????100??

三、證明題（共30分）

11.（10分）已知A、B、C是三個(gè)集合，證明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

12.（10分）構(gòu)造證明：(P?(Q?S))∧(?R∨P)∧Q?R?S

（0,1）13.（10分）證明與[0,1)，[0,1)與[0,1]等勢(shì)。

四、解答題(共35分)

14.（7分）構(gòu)造三階幻方（以1為首項(xiàng)的9個(gè)連續(xù)自然數(shù)正好布滿一個(gè)3?3方陣，且方陣中的每一行, 每一列及主、副對(duì)角線上的各數(shù)之和都相等.）

15.（8分）求命題公式(P?Q)?(?P??Q)的真值表.16.（10分）設(shè)R1是A1＝{1,2}到A2＝(a,b,c)的二元關(guān)系，R2是A2到A3＝{?,?}的二元關(guān)系，R1= {<1,a>,<1,b>,<2,c>}, R2={,}

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求R1?R2的集合表達(dá)式.17.（10分）某項(xiàng)工作需要派A、B、C和D 4個(gè)人中的2個(gè)人去完成，按下面3個(gè)條件，有幾種派法？如何派？

三個(gè)條件：(1)若A去，則C和D中要去1個(gè)人；(2)B和C不能都去；

(3)若C去，則D留下。

一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共15分)

1.B2.C3.C4.A5.B

二、填空題(每小題4分，共20分)

6.{?,{?},{{a}},{?,{a}}}

7.{<6,3>,<8,4> }8.老鄉(xiāng)

9.{?,?}或{?,?} 或 {?}或 {?}

10.見

f(0)?0??111?························································································ 10分 ,n?1,?A ·?f()?n?1n?n

??f(x)?x,x?[0,1)?A

14.85 1 2 7 6

填對(duì)每個(gè)格得1分。

15.表中最后一列的數(shù)中，每對(duì)1個(gè)數(shù)得2分.?110?16.MR1???,(2分)001??

MR2?01??(4分)??01????00??

?01??01???01?(6分)???00?????00???110? MR1?R2????001?

R1?R2?{?1,??}(10分)

17.解設(shè)A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。則根據(jù)題意應(yīng)有：A?C?D，?(B∧C)，C??D必須同時(shí)成立?！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ?2分 因此(A?C?D)∧?(B∧C)∧(C??D)

?(?A∨(C∧? D)∨(?C∧D))∧(?B∨?C)∧(?C∨?D)

?(?A∨(C∧? D)∨(?C∧D))∧((?B∧?C)∨(?B∧?D)∨?C∨(?C∧?D))

?(?A∧?B∧?C)∨(?A∧?B∧?D)∨(?A∧?C)∨(?A∧?C∧?D)

∨(C∧? D∧?B∧?C)∨(C∧? D∧?B∧?D)∨(C∧? D∧?C)∨(C∧? D∧?C∧?D)

∨(?C∧D∧?B∧?C)∨(?C∧D∧?B∧?D)∨(?C∧D∧?C)∨(?C∧D∧?C∧?D)

?F∨F∨(?A∧?C)∨F∨F∨(C∧? D∧?B)∨F∨F∨(?C∧D∧?B)∨F∨(?C∧D)∨F

?(?A∧?C)∨(?B∧C∧? D)∨(?C∧D∧?B)∨(?C∧D)

?(?A∧?C)∨(?B∧C∧? D)∨(?C∧D)

?T ··································································································································· 8分

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故有三種派法：B∧D，A∧C，A∧D。······································································· 10分

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