第一篇：高中數(shù)學(xué)必修五《海倫公式探究》
海倫公式探究
背景：海倫公式在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中使用非常廣泛，它方便了日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中三角形的面積計(jì)算，使我們只需知道任意三角形的三邊長(zhǎng)度，就可以用公式求得三角形的面積大小。但是你知道海倫公式的證明方法嗎？本次探究，著手海倫公式的證明方法、推廣，使同學(xué)們能更深刻地記住海倫公式、容易證明，并且合理使用。
過(guò)程：海倫公式 證明 三斜求積術(shù) 推廣 運(yùn)用 余弦定理
海倫公式又譯作希倫公式、海龍公式、希羅公式、海倫－秦九韶公式，傳說(shuō)是古代的敘拉古國(guó)王 希倫（Heron,也稱海龍）二世發(fā)現(xiàn)的公式，利用三角形的三條邊長(zhǎng)來(lái)求取三角形面積。但根據(jù)Morris Kline在1908年出版的著作考證，這條公式其實(shí)是阿基米得所發(fā)現(xiàn)，以托希倫二世的名發(fā)表（未查證）。我國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”，它與海倫公式基本一樣。
如右圖，假設(shè)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為a、b、c，三角形的面積S可由圖下公式求得。
證明Ⅰ：
與海倫在他的著作“Metrica”(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變
a2?b2?c2形來(lái)證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對(duì)角分別為A、B、C，則余弦定理為：cosC?
2abS?1ab?sinC① 21?ab?1?cos2C② 21(a2?b2?c2)2③ ?ab?1?2224a?b141?41?41?4?4a2b2?(a2?b2?c2)④
(2ab?a2?b2?c2)(2ab?a2?b2?c2)⑤ [(a?b)2?c2][c2?(a?b)2]⑥
(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)(?a?b?b)⑦
a?b?b 2?a?b?ca?b?ca?b?c,p?b?,p?c?, 則p?a?222設(shè)p?上式?(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)(?a?b?c)
16?p(p?a)(p?b)(p?c)
所以，S△ABC?
p(p?a)(p?b)(p?c)
證明Ⅱ：我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家九韶在《數(shù)書(shū)九章》提出了“三斜求積術(shù)”。
秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜?！靶g(shù)”即方法。三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個(gè)數(shù)小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個(gè)。相減后余數(shù)被4除馮所得的數(shù)作為“實(shí)”，作1作為“隅”，開(kāi)平方后即得面積。
所謂“實(shí)”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p為“隅”，Q為“實(shí)”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜。
定理:若三角形的三條邊分別是:大斜、中斜、小斜，則三角形面積為：
原文見(jiàn)<數(shù)書(shū)九章>卷五第二題: 以小斜冪并大斜冪，減中斜冪，余，半之．同乘于上，以小斜冪并大斜冪，減上．余，四約之為實(shí)，開(kāi)平方，得積．
證明：如 圖，a=u+v，b2=h2+u2，c2=h2+v2 所以，u2-v2=b2-c2
(u+v)(u-v)=(b+c)(b-c)a(u-v)=(b+c)(b-c)(u-v)=(b+c)(b-c)/a 因(u+v)=a，所以22又 h=b-u，三角形面積=a．h/2
此即：，其中c>b>a.將根號(hào)下的多項(xiàng)式分解因式，便成為可見(jiàn)，三斜求積術(shù)與古希臘海倫公式是等價(jià)的 所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。
關(guān)于三角形的面積計(jì)算公式在解題中主要應(yīng)用的有：
設(shè)△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，ha為a邊上的高，R、r分別為△ABC外接圓、內(nèi)切圓的半徑，p =
1(a+b+c),則 211S△ABC =aha=ab×sinC = r p 22abc 4R = 2R----2sinAsinBsinC =
=p(p?a)(p?b)(p?c)
p(p?a)(p?b)(p?c)就是著名的海倫公式，在希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測(cè)地術(shù)》中有記其中，S△ABC =載。
海倫公式在解題中有十分重要的應(yīng)用。
一、海倫公式的變形
S=p(p?a)(p?b)(p?c)
(a?b?c)(a?b?c)(a?c?b)(b?c?a)
① [(a?b)2?c2][c2?(a?b)2] ②(a2?b2?c2?2ab)[?(a2?b2?c2?2ab)] ③ 4a2b2?(a2?b2?c2)④ 2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4 ⑤ 141 =41 =41 =41 =4 =
證一：根據(jù)勾股定理證明。分析：先從三角形最基本的計(jì)算公式S△ABC =導(dǎo)出海倫公式。
1aha入手，運(yùn)用勾股定理推2
證二：根據(jù)斯氏定理證明。
根據(jù)海倫公式，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運(yùn)算。如下題：
｛已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積｝
這里用海倫公式的推廣
S圓內(nèi)接四邊形?(p?a)(p?b)(p?c)(p?d)（其中p為周長(zhǎng)一半，a,b,c,d,為4邊）
代入解得s?83
海倫公式在解題中有十分重要的應(yīng)用。
二、海倫公式的推廣
由于在實(shí)際應(yīng)用中，往往需計(jì)算四邊形的面積，所以需要對(duì)海倫公式進(jìn)行推廣。由于三角形內(nèi)接于圓，所以猜想海倫公式的推廣為：在任意內(nèi)接與圓的四邊形ABCD中，設(shè)p==(p?a)(p?b)(p?c)(p?d)
現(xiàn)根據(jù)猜想進(jìn)行證明。
證明：如圖，延長(zhǎng)DA，CB交于點(diǎn)E。
設(shè)EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○ ∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD
a?b?c?d,則S
2四邊形
S?EABfbb2e∴== = a?ef?cdS四邊形ABCDd2?b2解得： e =b(ab?cd)b(ad?bc)① f = ②
d2?b2d2?b2d2?b2由于S四邊形ABCD =S△EAB
b2b(d2?b2)將①，②跟b =代入公式變形④，得：22d?b
所以，海倫公式的推廣得證。
三、海倫公式的推廣的應(yīng)用
海倫公式的推廣在實(shí)際解題中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在有關(guān)圓內(nèi)接四邊形的各種綜合題中，直接運(yùn)用海倫公式的推廣往往事半功倍。
例題：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O中，SABCD =求：四邊形可能為等腰梯形。解：設(shè)BC = x 由海倫公式的推廣，得：
33,AD = 1,AB = 1, CD = 2.4133(1?1?2?x)(1?1?x?2)(2?x?1?1)(2?x?1?1)= 44(4－x)(2＋x)2 =27 x4－12x2－16x＋27 = 0 x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)= 0(x－1)(x3＋x2－11x－27)= 0 x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0 當(dāng)x = 1時(shí)，AD = BC = 1 ∴ 四邊形可能為等腰梯形。
第二篇：海倫公式
海倫公式
與海倫在他的著作“Metrica”(《度量論》）中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來(lái)證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對(duì)角分別為A、B、C，則余弦定理為下述推導(dǎo)[1]
cosC =(a^2+b^2-c^2）/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√（1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]
=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
設(shè)p=(a+b+c)/2
則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
證明⑵
中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年也提出了“三斜求積術(shù)”。它與海倫公式基本一樣，其實(shí)在《九章算術(shù)》中，已經(jīng)有求三角形公式“底乘高的一半”，在實(shí)際丈量土地面積時(shí)，由于土地的面積并不是三角形，要找出它來(lái)并非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據(jù)三邊的長(zhǎng)度來(lái)求三角形的面積？直到南宋，中國(guó)著名的數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”。
秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜?！靶g(shù)”即方法。三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個(gè)數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個(gè)。相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為“實(shí)”，作1作為“隅”，開(kāi)平方后即得面積。
所謂“實(shí)”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p為“隅”，q為“實(shí)”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}
當(dāng)P=1時(shí)，△ 2=q,△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}
因式分解得
△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2）^2]
=1/4[(c+a)^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]
=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=1/4[2p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c)]
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。
S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}.其中c>b>a.根據(jù)海倫公式，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運(yùn)算。如下題：
已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積
這里用海倫公式的推廣
S圓內(nèi)接四邊形= 根號(hào)下（p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p為周長(zhǎng)一半，a,b,c,d，為4邊）
代入解得s=8√ 3
證明⑶
在△ABC中∠A、∠B、∠C對(duì)應(yīng)邊a、b、c
O為其內(nèi)切圓圓心，r為其內(nèi)切圓半徑，p為其半周長(zhǎng)
有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1
r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）=r
∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2
∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）
=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2
=ptanA/2tanB/2tanC/2
=r
∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3
∴S^2=p^2r^2=(pr^3）/(tanA/2tanB/2tanC/2）
=p(p-a)(p-b)(p-c)
∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
第三篇：海倫公式的證明
與海倫在他的著作“Metrica”(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來(lái)證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對(duì)角分別為A、B、C，則余弦定理為cosC =(a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]設(shè)p=(a+b+c)/2則p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
第四篇：海倫公式原理簡(jiǎn)介
原理簡(jiǎn)介
我國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”，它與海倫公式基本一樣。
假設(shè)在平面內(nèi)，有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p為半周長(zhǎng)：
p=(a+b+c)/2
——————————————————————————————————————————————
注1：“Metrica”(《度量論》)手抄本中用s作為半周長(zhǎng)，所以
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]兩種寫(xiě)法都是可以的，但多用p作為半周長(zhǎng)。
——————————————————————————————————————————————
由于任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個(gè)三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說(shuō)測(cè)量土地的面積的時(shí)候，不用測(cè)三角形的高，只需測(cè)兩點(diǎn)間的距離，就可以方便地導(dǎo)出答案。編輯本段證明過(guò)程 證明（1）
與海倫在他的著作“Metrica”(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來(lái)證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對(duì)角分別為A、B、C，則余弦定理為
cosC =(a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 設(shè)p=(a+b+c)/2 則p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2，上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 證明（2）
我國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”。它與海倫公式基本一樣，其實(shí)在《九章算術(shù)》中，已經(jīng)有求三角形公式“底乘高的一半”，在實(shí)際丈量土地面積時(shí)，由于土地的面積并不是的三角形，要找出它來(lái)并非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據(jù)三邊的長(zhǎng)度來(lái)求三角形的面積？直到南宋，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”。
秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜?！靶g(shù)”即方法。三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個(gè)數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個(gè)。相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為“實(shí)”，作1作為“隅”，開(kāi)平方后即得面積。
所謂“實(shí)”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p為“隅”，q為“實(shí)”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}
當(dāng)P＝1時(shí)，△ 2＝q，△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 因式分解得
△ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/16[(c+a)^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。
S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}.其中c>b>a.根據(jù)海倫公式，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運(yùn)算。如下題：
已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積
這里用海倫公式的推廣
S圓內(nèi)接四邊形= 根號(hào)下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p為周長(zhǎng)一半，a,b,c,d,為4邊）
代入解得s=8√ 3 證明（3）
在△ABC中∠A、∠B、∠C對(duì)應(yīng)邊a、b、c O為其內(nèi)切圓圓心，r為其內(nèi)切圓半徑，p為其半周長(zhǎng) 有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1 r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r ∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 ∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2 =ptanA/2tanB/2tanC/2 =r ∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3
∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)=p(p-a)(p-b)(p-c)∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)證明(4)通過(guò)正弦定理:和余弦定理的結(jié)合證明(具體可以參考證明方法1)編輯本段推廣
關(guān)于三角形的面積計(jì)算公式在解題中主要應(yīng)用的有：
設(shè)△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，ha為a邊上的高，R、r分別為△ABC外接圓、內(nèi)切圓的半徑，p =(a+b+c)/2,則
S△ABC
=1/2 aha
=1/2 ab×sinC
= r p
= 2R^2sinAsinBsinC
= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海倫公式，在希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測(cè)地術(shù)》中有記載。編輯本段海倫公式在解題中有十分重要的應(yīng)用。
一、海倫公式的證明
證一 勾股定理
如右圖
勾股定理證明海倫公式。
證二：斯氏定理
如右圖。
斯氏定理證明海倫公式
證三：余弦定理
分析：由變形② S = 可知，運(yùn)用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 對(duì)其進(jìn)行證明。
證明：要證明S =
則要證S =
=
= ab×sinC
此時(shí)S = ab×sinC/2為三角形計(jì)算公式，故得證。
證四：恒等式
恒等式證明(1)
恒等式證明(2)證五：半角定理
∵由證一，x = = －c = p－c
y = = －a = p－a
z = = －b = p－b
∴ r3 = ∴ r =
∴S△ABC = r·p = 故得證。
二、海倫公式的推廣
由于在實(shí)際應(yīng)用中，往往需計(jì)算四邊形的面積，所以需要對(duì)海倫公式進(jìn)行推廣。由于三角形內(nèi)接于圓，所以猜想海倫公式的推廣為：在任意內(nèi)接與圓的四邊形ABCD中，設(shè)p= ,則S四邊形=
現(xiàn)根據(jù)猜想進(jìn)行證明。
證明：如圖，延長(zhǎng)DA，CB交于點(diǎn)E。
設(shè)EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180° ∠2+∠3 =180° ∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD ∴ = = =
解得： e = ① f = ②
由于S四邊形ABCD = S△EAB
將①，②跟b = 代入公式變形④，得到： ∴S四邊形ABCD = 所以，海倫公式的推廣得證。
編輯本段例題：
C語(yǔ)言版：
如圖四邊形ABCD內(nèi)接于圓O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求：四邊形可能為等腰梯形。解：設(shè)BC = x 由海倫公式的推廣，得：(4－x)(2＋x)2 =27
x4－12x2－16x＋27 = 0
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)= 0(x－1)(x3＋x2－11x－27)= 0 x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0 當(dāng)x = 1時(shí)，AD = BC = 1 ∴ 四邊形可能為等腰梯形。在程序中實(shí)現(xiàn)(VBS): dim a,b,c,p,q,s a=inputbox(“請(qǐng)輸入三角形第一邊的長(zhǎng)度”)b=inputbox(“請(qǐng)輸入三角形第二邊的長(zhǎng)度”)c=inputbox(“請(qǐng)輸入三角形第三邊的長(zhǎng)度”)a=1*a b=1*b c=1*c p=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)q=sqr(p)s=(1/4)*q msgbox(“三角形面積為”&s), ,“三角形面積” 在VC中實(shí)現(xiàn)
#include
using System;using System.Collections.Generic;using System.Text;namespace CST09078 class Program static void Main(string[] args)
double a, b, c, p, s;
Console.WriteLine(“輸入第一條邊的長(zhǎng)度：n”);a = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());Console.WriteLine(“輸入第二條邊的長(zhǎng)度：n”);b = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());Console.WriteLine(“輸入第三條邊的長(zhǎng)度：n”);c = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());p =(a+b+c)/2;s = Math.Sqrt(p*(pb)*(p-c));Console.WriteLine(“我算出來(lái)的面積是{0}”, s);Console.Read();
第五篇：高中數(shù)學(xué)必修五1.1.2余弦定理
1．1．2余弦定理蘄春三中劉芳
1.1.2余弦定理
蘄春三中劉芳
（一）教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題。
2.過(guò)程與方法:利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過(guò)實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題，3．情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；通過(guò)三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來(lái)理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。
（二）教學(xué)重、難點(diǎn)
重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程及其基本應(yīng)用；
難點(diǎn)：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程中的作用。
（三）學(xué)法與教學(xué)用具
學(xué)法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進(jìn)行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問(wèn)題，利用向量的數(shù)量積比較容易地證明了余弦定理。從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角 教學(xué)用具：投影儀、計(jì)算器
（四）教學(xué)設(shè)想
[復(fù)習(xí)回顧]
1、正弦定理；abc???2RsinAsinBsinC2、可以解決兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題：
（1）已知兩角和任一邊。
（2）已知兩邊和一邊的對(duì)角。
[提出問(wèn)題]
聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法，可用什么途徑來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？
用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。
由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。A ?????????????????如圖1．1-5，設(shè)CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，則bc
???????c?c?a?ba?b???????ab?b??2a??bCa??2a??2?a?b?2a?b?2????
從而c2?a2?b2?2abcosC(圖1．1-5)
同理可證a2?b2?c2?2bccosA
b2?a2?c2?2accosB
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角
7的余弦的積的兩倍。即a2?b2?c2?2bccosA
b2?a2?c2?2accosB
c2?a2?b2?2abcosC
思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？
（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：
b2?c2?a
2cosA?2bca2?c2?b2
cosB?b2?a2?c2
cosC?[理解定理]
從而知余弦定理及其推論的基本作用為：
①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；
②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？
（由學(xué)生總結(jié)）若?ABC中，C=900，則cosC?0，這時(shí)c2?a2?b2
由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。
[例題分析]
題型一 已知兩邊及夾角解三角形
例1．在?ABC
中，已知a
?cB?600，求b及A
⑴解：∵b2?a2?c2?2accosB
=2?2?2?cos450
=12?2?1)
=8
∴b?
求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b2?c2?a22221⑵解法一：∵
cosA?,∴A?600.asin450,解法二：∵
sinA?sinB2.4?1.4?
3.8,2?1.8?3.6,∴a＜c，即00＜A＜900,∴A?600.評(píng)述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。
題型二 已知三邊解三角形
例2．在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形
（見(jiàn)課本第8頁(yè)例4，可由學(xué)生通過(guò)閱讀進(jìn)行理解）
解：由余弦定理的推論得： b2?c2?a2
cosA?
87.82?161.72?134.62 ??0.5543,A?56020?； c2?a2?b2
cosB?
134.62?161.72?87.82 ?2?134.6?161.7?0.8398,B?32053?；
? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053)
??90047.題型三 正、余弦定理的應(yīng)用比較
例3.在△ABC中，已知 b=3，3。B=300，求角A，角C和邊a。
思考：求某角時(shí)，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理，兩種方法 有什么利弊呢？
[補(bǔ)充練習(xí)]
1、在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A（答案：A=1200）
2、在△ABC中，已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,求△ABC的最大內(nèi)角。（答案：A=1200）
[課堂小結(jié)]
（1）利用余弦定理解三角形
①．已知三邊求三角；
②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。
（2）余弦定理與三角形的形狀
（五）作業(yè)設(shè)計(jì)
①課后閱讀：課本第9頁(yè)[探究與發(fā)現(xiàn)]
②課時(shí)作業(yè)：第10頁(yè)[習(xí)題1.1]A組第3，4題。
③《名師一號(hào)》相關(guān)題目。
點(diǎn)擊咨詢 