第一篇：用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式

【例1】（2012全國大綱卷理22）函數(shù)f(x)?x2?2x?3，定義數(shù)列?xn?如下：x1?2，xn?1是過兩點P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直線PQn與x軸交點的橫坐標.（1）證明:2?xn?xn?1?3；（2）求數(shù)列?xn?的通項公式.【證】（1）證：直線PQn的方程為y?5?f(xn)?5(x?4)，即y?5?(xn?2)(x?4)，xn?44x?35令y?0，解得xn?1?4?.?nxn?2xn?2下用數(shù)學(xué)歸納法證明2?xn?3：

① 當n?1時，x1?2，所以2?x1?3.② 假設(shè)當n?k時結(jié)論成立，即2?xk?3，則當n?k?1時，由xk?1?4?11555?xk?1?3，故?xk?1?4?，得4?，即42?23?2xk?2*2?xk?1?3.由①②知，對一切n?N都有2?xn?3.4xn?3?xn2?2xn?3(3?xn)(xn?1)從而xn?1?xn??xn???0，故xn?1?xn.xn?2xn?2xn?2綜上，2?xn?xn?1?3.4x?3x?35(xn?1)（2）解：由（1）知，xn?1?n，則 xn?1?3?n ①，xn?1?1? ②，xn?2xn?2xn?

2①?②，得

?x?3?11xn?1?31xn?3???，故數(shù)列?n是首項為，公比為的等比數(shù)列.?53xn?1?15xn?1x?1?n?n?19?5n?1?1xn?31?1?*

因此，(n?N).?????，解得：xn?n?13?5?1xn?13?5?【例2】已知函數(shù)f(x)?ln(2?x)?ax在開區(qū)間(0，1)內(nèi)是增函數(shù)．

(Ⅰ)求實數(shù)a的取值范圍；

(Ⅱ)若數(shù)列?an?滿a1?(0,1),an?1?ln(2?an)?an(n?N*)，證明：0?an?an?1?1．(Ⅰ)解：f?(x)??1?a，由于f(x)在(0，1)內(nèi)是增函數(shù)，2?x1?a?0在x∈∴ f?(x)?0，即 ?(0，1)時恒成立． 2?x1∴ a?? 恒成立，x?2而

－2＜x－2＜－1，11??，x?2211?1，即 ??2x?2∴

a?1即為所求． ∴ ?1?(Ⅱ)證明：① 當n=1時，由題設(shè)知a1∈(0，1)． ② 假設(shè)當n=k時，不等式成立，即ak∈(0，1)，則 當n=k+1時，由(Ⅰ)知，f(x)=ln(2－x)+x在(0，1)上是增函數(shù)

∴0?f(0)?ln(2?0)?0?ak?1?ln(2?ak)?ak?f(ak)?f(1)?ln(2?1)?1?1，即ak+1∈(0，1)，故n=k+1時命題成立.根據(jù)① ② 知0＜an＜1，n∈N*． 又 ∵ an?1?an?ln(2?an)?ln(2?1)?0，∴ 0?an?an?1?1．

【例3】已知函數(shù)f(x)?x?sinx,數(shù)列{an}滿足：0?a1?1,an?1?f(an),n?1,2,3,證明：，13an.6證明：(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明0?an?1,n?1,2,3,?(Ⅰ)0?an?1?an?1；(Ⅱ)an?1?① 當n=1時，由已知，結(jié)論成立.② 假設(shè)當n=k時結(jié)論成立，即0?ak?1，因為0?x?1時，f?(x)?1?cosx?0，所以f(x)在(0，1)上是增函數(shù)，又f(x)在[0，1]上連續(xù)，從而f(0)?f(ak)?f(1)，即0?ak?1?1?sin1?1，故當n=k+1時，結(jié)論成立.由①②可知，0?an?1對一切正整數(shù)都成立.又因為0?an?1時，an?1?an?an?sinan?an??sinan?0，所以an?1?an，綜上所述0?an?1?an?1.(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)?sinx?x?13x,0?x?1，6由(Ⅰ)可知，當0?x?1時，sinx?x.x2x2x2x22x??2sin???2()??0, 從而g?(x)?cosx?1?22222所以g(x)在（0，1）上是增函數(shù).又g(0)?0，所以當0?x?1時，g(x)>0成立.13于是g(an)?0，即sinan?an?an?0，613故an?1?an．

【例4】已知函數(shù)f(x)?x?ln?1?x?,數(shù)列?an?滿足0?a1?1, an?1?f?an?;數(shù)列?bn?滿足b1?11,bn?1?(n?1)bn, n?N*.求證: 22（Ⅰ）0?an?1?an?1;

an2;（Ⅱ）an?1?22,則當n≥2時,bn?an?n!.(n!?n?(n?1)?（Ⅲ）若a1?2*解:(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明0?an?1,n?N.（1）當n=1時,由已知得結(jié)論成立;

?2?1)（2）假設(shè)當n=k時,結(jié)論成立,即0?ak?1.則當n=k+1時,因為0g(0)=0.由g?(x)?1?xan2an2?f?an?>0,從而an?1?.因為0?an?1,所以g?an??0,即2211n?1b(Ⅲ)因為 b1?,bn?1?(n?1)bn,所以bn?0,n?1? ，222bnbbb21 所以bn?n?n?1 ?b1?n?n!

————①bn?1bn?2b12 an2aaaaa,知:n?1?n, 所以n=2?3由(Ⅱ)an?1?2a1a1a2an2因為a1?anaa?12an?122an?1 , 22, n≥2, 0?an?1?an?1.2a1a2an?1a1n2?a121?a1

所以 an?.222222 由①② 兩式可知: bn?an?n!.【例5】

設(shè)函數(shù)f(x)與數(shù)列?an?滿足以下關(guān)系：

① a1??，其中?是方程f(x)?x的實根； ② an?1?f(an)；

1).③ f(x)的導(dǎo)數(shù)f?(x)?(0，(Ⅰ)求證：an??；

(Ⅱ)判斷an與an?1的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(Ⅰ)證：① 當n?1時，a1??，不等式成立.② 假設(shè)當n?k時不等式成立，即ak??，則n?k?1時，∵f?(x)?0，則f(x)遞增.∴ak?1?f(ak)?f(?)??，即n?k?1時不等式也成立.由①、②知，an??對一切n?N都成立.(Ⅱ)解：an?1?an?f(an)?an，設(shè)F(x)?f(x)?x，則F?(x)?f?(x)?1?0，∴F(x)遞減，而an??，∴F(an)?F(?)?f(?)???0，即f(an)?an?0，亦即an?1?an?0，*∴an?1?an.【例6】（2005江西）已知數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),且滿足:

1an(4?an),n?N.2（1）證明an?an?1?2,n?N;a0?1,an?1?（2）求數(shù)列{an}的通項公式an.解：（1）方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明：

13a0(4?a0)?,∴a0?a1?2，命題正確.222°假設(shè)n=k時有ak?1?ak?2.1則n?k?1時,ak?ak?1?ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak)

221?2(ak?1?ak)?(ak?1?ak)(ak?1?ak)

21?(ak?1?ak)(4?ak?1?ak).2而ak?1?ak?0.4?ak?1?ak?0,?ak?ak?1?0.112又ak?1?ak(4?ak)?[4?(ak?2)]?2.22∴n?k?1時命題正確.由1°、2°知，對一切n∈N時有an?an?1?2.1°當n=1時，a0?1,a1?方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1°當n=1時，a0?1,a1?

2°假設(shè)n=k時有ak?令f(x)?13a0(4?a0)?,∴0?a0?a1?2； 22?ak?2成立，1x(4?x)，f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，所以由假設(shè) 2111有：f(ak?1)?f(ak)?f(2),即ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak)??2?(4?2)，222也即當n=k+1時

ak?ak?1?2成立，所以由1°、2°知，對一切n?N,有ak?ak?1?

2（2）下面來求數(shù)列的通項：an?1?11an(4?an)?[?(an?2)2?4],所以 222(an?1?2)??(an?2)2

1211221122211?2???2n?12n令bn?an?2,則bn??bn??(?b)???()b????()bn?1n?2n?1222222，2又bn=－1，所以bn??()12n?11n,即an?2?bn?2?()2?1

【拓展題】

【例】、數(shù)列?an?滿足an?12a?3an??，且a1?1.（1）當??1時，求數(shù)列?an?的?nan?12通項公式；

（2）若不等式an?1?an對一切n?N恒成立，求?的取值范圍；

（3）當?3???1時，證明：

*1111?????1?n.1?a11?a21?an2解：（1）當??1時，an?1?2an?1?an?1?1?2(an?1)???an?2n?1.(an?1)2???1*（2）an?1?an?①，要使an?1?an對一切n?N恒成立，an?1(a1?1)2???1??3至少需使a2?a1???0成立????3.a1?12下面先用數(shù)歸法證明：當???3時，an?1(略)，再由①知an?1?an恒成立.所以??[?3,??)為所求.（3）當?3???1時，由(2)知an?1，則由

2a(a?1)?(an?1)???1??1an?1?nn?2an?1??2an?1

an?1an?1?an?1?1?2(an?1)?22(an?1?1)???2n(a1?1)?2n?111?0?an?1?2n??n，1?an21111111從而??????2???n?1?n，等號當且僅當n?11?a11?a21?an2222時成立.（2009安徽理21）首項為正數(shù)的數(shù)列?an?滿足an?1?為奇數(shù)，則對一切n?2,an都是奇數(shù)；（2）若對一切n?N都有an?1?an，求a1的取值范圍.略解：（1）已知a1是奇數(shù)，假設(shè)ak?2m?1是奇數(shù)，其中m為正整數(shù)，*12(an?3),n?N*.（1）證明：若a14ak2?3?m(m?1)?1是奇數(shù).（因為m(m?1)是偶數(shù)）則由遞推關(guān)系得ak?1?4*根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對任何n?N，an都是奇數(shù).1（2）（方法一）由an?1?an?(an?1)(an?3)知，an?1?an當且僅當an?1或an?3.41?332?3?1；若ak?3，則ak?1??3.另一方面，若0?ak?1,則0?ak?1?44根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，0?a1?1,?0?an?1,?n?N*;a1?3?an?3,?n?N*.綜合所述，對一切n?N都有an?1?an的充要條件是0?a1?1或a1?3.*a12?3?a1,得a12?4a1?3?0,于是0?a1?1或a1?3.（方法二）由a2?4an2?3an2?3an?12?3(an?an?1)(an?an?1), an?1?an???，因為a1?0,an?1?4444所以所有的an均大于0，因此an?1?an與an?an?1同號.根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，?n?N，an?1?an與a2?a1同號.*因此，對一切n?N都有an?1?an的充要條件是0?a1?1或a1?3.*

第二篇：數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法·用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法·用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式·教案

證明：（1）當n=1時，左=2，右=2，則等式成立．（2）假設(shè)n=k時（k∈N，k≥1），等式成立，即 2+4+6+…+2k=k（k+1）． 當n=k+1時，2+4+6+…+2k+（k+1）

所以n=k+1時，等式也成立．

根據(jù)（1）（2）可知，對于任意自然數(shù)n，原等式都能成立． 生甲：證明過程正確．

生乙：證明方法不是數(shù)學(xué)歸納法，因為第二步證明時，沒有應(yīng)用歸納假設(shè)．

師：從形式上看此種證明方法是數(shù)學(xué)歸納法，但實質(zhì)在要證明n=k+1正確時，未用到歸納假設(shè)，直接采用等差數(shù)列求和公式，違背了數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)特點遞推性，所以不能稱之為數(shù)學(xué)歸納法．因此告誡我們在運用數(shù)學(xué)歸納法證明時，不能機械套用兩個步驟，在證明n=k+1命題成立時，一定要利用歸納假設(shè)．

（課堂上講評作業(yè)，指出學(xué)生作業(yè)中不妥之處，有利于鞏固舊知識，為新知識的學(xué)習(xí)掃清障礙，使學(xué)生引以為戒，所謂溫故而知新）

（二）講授新課

師：在明確數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)的基礎(chǔ)上，我們來共同研究它在不等式證明中的應(yīng)用．（板書）例1已知x＞-1，且x≠0，n∈N，n≥2．求證：（1+x）n＞1+nx． 師：首先驗證n=2時的情況．

（板書）證：（1）當n=2時，左邊=（1+x）2=1+2x+x2，右邊=1+2x，因x2＞0，則原不等式成立．

（在這里，一定要強調(diào)之所以左邊＞右邊，關(guān)鍵在于x2＞0是由已知條件x≠0獲得，為下面證明做鋪墊）

第三篇：數(shù)列不等式的證明

數(shù)列和式不等式的證明策略

羅紅波洪湖二中高三

（九）班周二第三節(jié)（11月13日）

數(shù)列和式不等式的證明經(jīng)常在試卷壓軸題中出現(xiàn)，在思維能力和方法上要求很高，難度很大，往往讓人束手無策，其實，這類不等式的證明，是有一定的規(guī)律的，利用S1

n?

a1?q

來證明也能事半功倍，下面用幾個例子來簡述數(shù)列和式不等式的證明

S1

n?

a1?q

常用策略。

一、基礎(chǔ)演練：

1、等比數(shù)列{an}，公比為q，則{an}的前n項和Sn為（）

?na1(q?1A．?)

?an

a?1(1?q)1(1?qn)a?

1?q(q?1)B.na1C.1?qD.11?q2、正項等比數(shù)列{an}，公比為q，0?q?1，{an}的前n項和Sn，以下說法正確的是（）A．S1n?

a11?qB.S?a11?qC.Saa

nn?1?qD.Sn?11?q3、正項數(shù)列{a}，{a的前n項和Sa

nn}n，要證明S1n?1?q，其中0?q?1，可以去證明（）A．

an?1?qB.an?1a?qC.an?1?qD.a

n?1a?q nnanan

二、典例精講：

例

1、等比數(shù)列{a1

n}，a1?1,q?2，{an}的前n項和Sn，求證：Sn?2

變式

1、正項等比數(shù)列{an}，{a1n}的前n項和Sn，a1?1,Sn?2恒成立，求證：0?q?

2例

2、已知數(shù)列{an}，an?1

2n

?1，{an}的前n項和S5n，求證：Sn?2(Sn?3?)

aann變式

2、數(shù)列{n?1n}，a?3?23?2n?1，a1?1，{a3

n?1n}的前n項和Sn，求證：Sn? n

2例

3、（09四川理22）數(shù)列{an}的前n項和Sn，對任意正整數(shù)n，都有a4?an

n?5Sn?1成立，記bn?1?a(n?N?).n

(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；

(2)記c?

n?b2n?b2n?1(n?N)，{c3

n}的前n項和Tn，求證：Tn?

2變式

3、已知a1n?

?2，求證Sn?(?1)a1?(?1)2a2????????(?1)nan?1

(?2)n?

3三、小結(jié)

四、課后作業(yè)：

1、等比數(shù)列{a1

n}，a1?2,q?

3，{an}的前n項和Sn，求證：Sn?3

2、已知數(shù)列{an}，an?

14n?2，{an}的前n項和Sn，求證：S2

n

?3

第四篇：數(shù)列通項及用歸納法證明不等式

數(shù)列通項及用歸納法證明不等式

例

一、在1與2間插入n個正數(shù)a1,a2,a3,?,an，使這n+2個數(shù)成等比數(shù)列；又在1、2間插入n個正數(shù)b1,b2,b3,?,bn，使這n+2個數(shù)成等差數(shù)列．記An?a1a2a3?an,Bn?b1?b2???bn.．求：

（1）數(shù)列{An}和{Bn}的通項；

（2）當n?7時，比較An與Bn的大小，并證明你的結(jié)論．

分析：考查等差數(shù)列，等比數(shù)列的知識，以及觀察、分析、歸納的能力和數(shù)學(xué)歸納法． 解：（1）?1,a1,a2,a3,?,an,2成等比數(shù)列，?a1an?a2an?1?a3an?2???akan?k?1???1?2?2，2?An?(a1an)(a2an?1)(a3an?2)?(an?1a2)(ana1)?(1?2)n?2n,?An?2n.2

?1,b1,b2,b3,?,bn,2成等差數(shù)列，?b1?bn?1?2?3，?Bn?(b1?bn)n3?n.22n2所以數(shù)列{An}的通項An?2，數(shù)列{Bn}的通項Bn?n23n.2（2）?An?2,Bn?較當n?7時，2與n392222的大小，也就是比n,?An?2n,Bn?n2,要比較An與Bn的大小，只需比較An與Bn2492n的大?。?4929192nn當n=7時，2?128,n??49?110，知2?n.44449292nn經(jīng)驗證，n=8,n=9時，均有2?n成立，猜想，當n?7時有2?n,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

4492n（?。﹏=7時已證2?n

492k（ⅱ）假設(shè)n?k(k?7)時不等式成立，即2?k，好么

49992k?1?2?2k?2?k2?[(k?1)2?k2?2k?1]?[(k?1)2?k(k?2)?1].444999?k?7,?k(k?2)?35,k(k?2)?1?0,?[(k?1)2?k(k?2)?1]?(k?1)2,故2k?1?,(k?1)2．即

444n?k?1時不等式也成立．

92n22根據(jù)（?。┖停áⅲ┊攏?7時，2?n成立，即An?Bn,?An?Bn.4說明：開放題求解要注意觀察題目的特點，可以先通過特殊數(shù)嘗試可能的結(jié)果，然后總結(jié)歸納出一般規(guī)律，利用歸納法證明結(jié)論． 猜想數(shù)列通項、利用歸納法證明不等式

2例

一、設(shè)數(shù)列{an}滿足an?1?an?nan?1,n?1,2,3,?，（1）當a1?2時，求a2,a3,a4，并由此猜想出an的一個通項公式；（2）當a1?3時，證明對所有的n?1，有（ⅰ）an?n?2;

（ⅱ）1111?????.1?a11?a21?an2分析：本小題主要考查數(shù)列和不等式等知識，考查猜想、歸納、推理以及分析問題和解決問題的能力．

2解：（1）由a1?2得a2?a1?a1?1?3，2由a2?3,得a3?a2?2a2?1?4, 2由a3?4，得a4?a3?3a3?1?5.由此猜想an的一個通項公式：an?n?1(n?1).（2）（?。┯脭?shù)學(xué)歸納法證明： ①當n?1,a1?3?1?2，不等式成立．

②假設(shè)當n=k時不等式成立，即ak?k?2，那么，ak?1?ak(ak?k)?1?(k?2)(k?2?k)?1?k?3,也就是說，當n?k?1時，ak?1?(k?1)?2.根據(jù)①和②，對于所有n?1，有an?n?2.（ⅱ）由an?1?an(an?n)?1及（ⅰ），對

k?2，有kk?ak?1(ak?1?k?1)?1?ak?1(k?1?2?k?1)?1?2ak?1?1,……

?ak?2k?1a1?2k?2???2?1?2k?1(a1?1)?1.于是111??k?1,k?2, 1?ak1?a12 111 ???1?a1?a1?ak?1k1111 ??k?11?a1k?22nnn

1221???.?k?11?a11?32k?12說明：證明不等式的題型多種多樣，所以不等式證明是一個難點，在由n=k成立，推導(dǎo)n=k+1不等式也成立時，過去講的證明不等式的方法再次都可以使用，如比較法、放縮法、分析法、反證法等，有時還要考證與原不等式的等價的命題．

數(shù)列與歸納法的綜合題

例

一、設(shè)a0為常數(shù)，且an?3n?1?2an?1(n?N?)（Ⅰ）證明對任意n?1,an?[3?(?1)15nn?1?2n]?(?1)n?2na0;

（Ⅱ）假設(shè)對任意n?1有an?an?1，求a0的取值范圍．

分析：

本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列的概念，考查數(shù)學(xué)歸納法，考考靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力．

證明：（Ⅰ）證法一：（1）當n?1時，由已知a1?1?2a0，等式成立．（ⅱ）假設(shè)當n?k(k?1)等式成立，即ak?那么ak?1?3?2ak?3?kk1k[3?(?1)k?12k?(?1)kaka0].52k[3?(?1)k?12k]?(?1)k2k?1a.51?[3k?1?(?1)k2k?1?(?1)k?1a0].5也就是說，當n?k?1時，等式也成立．

根據(jù)（?。┖停áⅲ┛芍?/p>

證法二：如果設(shè)an??3n??2(an?1??3n?1).用an?3n?1?2an?1代入，可解出a?1.533n所以{an?}是公比的－2，首項為a1?的等比數(shù)列．

553n3?an??(1?2a0?)(?2)n?1(n?N?).553n?(?1)n?22n?(?1)n2na0.即an?5（Ⅱ）解法一：由an通項公式

2?3n?1?(?1)n?13?2n?1an?an?1??(?1)n3?2n?1a0.5?an?an?1(n?N?)

①

（ⅰ）當n?2k?1,k?1,2,?時，①式即為(?1)即為a0?2k?23(5a0?1)?()2k?3.2132k?31()?.② 52513?111②式對k?1,2,?都成立，有a0??()??.5253（ⅱ）當n?2k,K?1,2,?時，(?1)即為a0???()2k?13(5a0?1)?()2k?2.21?.③ 5132?1?21??0.③式對k?1,2,?都成立，有a0???()5251綜上，①式對任意n?N?成立，有0?a0?.31故a0的取值范圍為(0,)

32k?21532解法二：如果an?an?1(n?N?)成立，特別取n?1,2有a1?a0?1?3a0?0.a2?a1?6a0?0.因此 0?a0?1.31時，對任意n?N?，有an?an?1?0.3下面證明當0?a0?由an通項公式

5(an?an?1)?2k?1,k?1,2,?，時

5(an?an?1)?2?3n?1?3?2n?1?5?3?2n?1a0?2?2n?1?3?2n?1?5?2n?1?0.（2）當n?2k,k?1,2,?時，5(an?an?1)?2?3n?1?3?2n?1?5?2n?1an?2?3n?1?3?2n?1?0.故a0的取值范圍為(0,).13

第五篇：放縮法證明數(shù)列不等式

放縮法證明數(shù)列不等式

基礎(chǔ)知識回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見的數(shù)列求和方法和通項公式特點：

① 等差數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）

② 等比數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數(shù)列的每一項裂項之后正負能夠相消，進而在求和后式子中僅剩有限項

（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：

① 在數(shù)列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項公式入手

② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮小（應(yīng)與所證的不等號同方向）

③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數(shù)列的通項公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項相消的數(shù)列進行靠攏。

④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項不動，其余項放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進行設(shè)計，選擇放縮程度更小的方式再進行嘗試。

（3）放縮構(gòu)造裂項相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：

① 裂項相消：在放縮時，所構(gòu)造的通項公式要具備“依項同構(gòu)”的特點，即作差的兩項可視為同一數(shù)列的相鄰兩項（或等距離間隔項）

② 等比數(shù)列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項與公比，進而得出等比數(shù)列的通項公式，再與原通項公式進行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數(shù)列的首項為錯誤！未找到引用源。，公比為錯誤！未找到引用源。，即通項公式為錯誤！未找到引用源。

注：此方法會存在風(fēng)險，所猜出的等比數(shù)列未必能達到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進行放縮，受數(shù)列通項公式的結(jié)構(gòu)影響

（4）與數(shù)列中的項相關(guān)的不等式問題：

① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進行變形

② 在有些關(guān)于項的不等式證明中，可向求和問題進行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源?；蝈e誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達到一側(cè)為錯誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進而完成證明 應(yīng)用舉例:

類型一：與前n項和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。）．

（1）求錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）設(shè)錯誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍．

例2.記錯誤！未找到引用源。.對數(shù)列錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。

（1）求數(shù)列的通項公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.類型

二、與通項運算相關(guān)的不等式 例3.設(shè)函數(shù)錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）．

例4.已知錯誤！未找到引用源。是數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。，有錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。為實數(shù)，且錯誤！未找到引用源。.（1）當錯誤！未找到引用源。時，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項；

②是否存在這樣的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當錯誤！未找到引用源。時，設(shè)錯誤！未找到引用源。，① 判定錯誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；

②設(shè)錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。的取值范圍.方法、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形：

（1）錯誤！未找到引用源。，（2）錯誤！未找到引用源。

注：對于錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源?？赏茝V為：錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。實戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。記數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。

（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項錯誤！未找到引用源。；

（2）求錯誤！未找到引用源。；

（3）問是否存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立？說明理由.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；

⑵ 設(shè)錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若當錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項的和為錯誤！未找到引用源。，試求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列的前項和為，滿足，．數(shù)列

滿足（1）求數(shù)列（2）若和，且． 的通項公式；，數(shù)列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使，請說明理由．）成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，4．已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。，其中，錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。．

（1）求數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）是否存在自然數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得對于任意錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。，求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。．

5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且滿足錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。為常數(shù)．

（1）是否存在數(shù)列錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數(shù)列；若不存在，說明理由．（2）當錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。．

（3）當錯誤！未找到引用源。時，求證：當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開學(xué)考試】已知兩個無窮數(shù)列

分別滿足，其中（1）若數(shù)列（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項和分別為的通項公式；，使得，稱數(shù)列

.都為遞增數(shù)列，求數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點數(shù)列”，求 為“墜點數(shù)列”，數(shù)列

為“墜點數(shù)列”.為“墜點數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，并說明理由；

（2）求證： 錯誤！未找到引用源。；

（2）若錯誤！未找到引用源。，求錯誤！未找到引用源。的最小值.8．記等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；

（2）若 錯誤！未找到引用源。，對任意錯誤！未找到引用源。，均有錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯誤！未找到引用源。，求證： 錯誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項公式；

（2）若存在實數(shù)λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

10．已知各項不為零的數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。．

（1）若錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項公式；

②在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數(shù)，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的最大值．

放縮法證明數(shù)列不等式

基礎(chǔ)知識回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見的數(shù)列求和方法和通項公式特點：

① 等差數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）

② 等比數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數(shù)列的每一項裂項之后正負能夠相消，進而在求和后式子中僅剩有限項

（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：

① 在數(shù)列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項公式入手

② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號同方向）

③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數(shù)列的通項公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項相消的數(shù)列進行靠攏。

④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項不動，其余項放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進行設(shè)計，選擇放縮程度更小的方式再進行嘗試。

（3）放縮構(gòu)造裂項相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：

① 裂項相消：在放縮時，所構(gòu)造的通項公式要具備“依項同構(gòu)”的特點，即作差的兩項可視為同一數(shù)列的相鄰兩項（或等距離間隔項）

② 等比數(shù)列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項與公比，進而得出等比數(shù)列的通項公式，再與原通項公式進行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數(shù)列的首項為錯誤！未找到引用源。，公比為錯誤！未找到引用源。，即通項公式為錯誤！未找到引用源。注：此方法會存在風(fēng)險，所猜出的等比數(shù)列未必能達到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進行放縮，受數(shù)列通項公式的結(jié)構(gòu)影響

（4）與數(shù)列中的項相關(guān)的不等式問題：

① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進行變形

② 在有些關(guān)于項的不等式證明中，可向求和問題進行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源?；蝈e誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達到一側(cè)為錯誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進而完成證明 應(yīng)用舉例:

類型一：與前n項和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。）．

（1）求錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）設(shè)錯誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。

（2）由（1）知，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，則有錯誤！未找到引用源。，而錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。，解得錯誤！未找到引用源。，再將錯誤！未找到引用源。代入錯誤！未找到引用源。，得錯誤！未找到引用源。，例2.記錯誤！未找到引用源。.對數(shù)列錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。

（1）求數(shù)列的通項公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）詳見解析（3）詳見解析 【解析】

試題分析：（1）根據(jù)及時定義，列出等量關(guān)系，解出首項，寫出通項公式；（2）根據(jù)子集關(guān)系，進行放縮，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；（3）利用等比數(shù)列和與項的大小關(guān)系，確定所定義和的大小關(guān)系：設(shè)錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。因此由錯誤！未找到引用源。，因此錯誤！未找到引用源。中最大項必在A中，由（2）得錯誤！未找到引用源。.試題解析：（1）由已知得錯誤！未找到引用源。.于是當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.又錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。.所以數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項公式為錯誤！未找到引用源。.（2）因為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。.因此，錯誤！未找到引用源。.綜合①②③得，錯誤！未找到引用源。.類型

二、與通項運算相關(guān)的不等式 例3.設(shè)函數(shù)錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）． 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．

故錯誤！未找到引用源。，則有：錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。例4.已知錯誤！未找到引用源。是數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。，有錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。為實數(shù)，且錯誤！未找到引用源。.（1）當錯誤！未找到引用源。時，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項；

②是否存在這樣的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當錯誤！未找到引用源。時，設(shè)錯誤！未找到引用源。，① 判定錯誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；

②設(shè)錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。的取值范圍.【答案】（1）①錯誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。時，數(shù)列錯誤！未找到引用源。是以錯誤！未找到引用源。為首項，錯誤！未找到引用源。為公比的等比數(shù)列，當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，不是等比數(shù)列；②錯誤！未找到引用源。．

方法、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形：

（1）錯誤！未找到引用源。，（2）錯誤！未找到引用源。

注：對于錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源?？赏茝V為：錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。實戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。記數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。

（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項錯誤！未找到引用源。；

（2）求錯誤！未找到引用源。；

（3）問是否存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立？說明理由.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）當錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見解析

（3）假設(shè)存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立，因為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，所以只要錯誤！未找到引用源。

即只要滿足 ①：錯誤！未找到引用源。，和②：錯誤！未找到引用源。，對于①只要錯誤！未找到引用源。就可以； 對于②，當錯誤！未找到引用源。為奇數(shù)時，滿足錯誤！未找到引用源。，不成立，當錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，滿足錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。令錯誤！未找到引用源。，因為錯誤！未找到引用源。

即錯誤！未找到引用源。，且當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，所以當錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，②式成立，即當錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。成立.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；

⑵ 設(shè)錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若當錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項的和為錯誤！未找到引用源。，試求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。

要使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，只要使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，即使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。為正偶數(shù)恒成立，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，故實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍是錯誤！未找到引用源。； ⑶由⑴得錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，設(shè)錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，因此數(shù)列錯誤！未找到引用源。的最大值為錯誤！未找到引用源。．

【點睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的判定與證明，其中證明（1）的關(guān)鍵是分析得到錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。的關(guān)系式．

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列滿足，且

． 的前項和為，滿足，．數(shù)列（1）求數(shù)列（2）若和的通項公式；，數(shù)列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使，請說明理由．

【答案】（1）（2））成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，（3）不存在

（2）由（1）得于是所以，兩式相減得所以由（1）得因為對 即所以恒成立，都有，，恒成立，記所以因為從而數(shù)列于是，為遞增數(shù)列，所以當．

（），使

成等差數(shù)列，則，時取最小值，（3）假設(shè)存在正整數(shù)即，若為偶數(shù)，則若為奇數(shù)，設(shè)于是當時，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，上式不成立.，則，與

矛盾；，即，此時

4．已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。，其中，錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。．

（1）求數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）是否存在自然數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得對于任意錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。，求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。；（2）存在，錯誤！未找到引用源。；（3）錯誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：

（1）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{an}的通項公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{bn}的通項公式．（2）bn=2n．假設(shè)存在自然數(shù)m，滿足條件，先求出錯誤！未找到引用源。，將問題轉(zhuǎn)化成錯誤！未找到引用源?？汕蟮缅e誤！未找到引用源。的取值范圍；（3）分n是奇數(shù)、n是偶數(shù)兩種情況求出Tn，然后寫成分段函數(shù)的形式。

試題解析：（1）由錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。． 又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.當錯誤！未找到引用源。時，上式成立，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故錯誤！未找到引用源。.（3）當錯誤！未找到引用源。為奇數(shù)時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。； 當錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.因此錯誤！未找到引用源。．

點睛：數(shù)列求和時，要根據(jù)數(shù)列項的特點選擇不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組求和等。

5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且滿足錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。為常數(shù)．

（1）是否存在數(shù)列錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數(shù)列；若不存在，說明理由．

（2）當錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。．

（3）當錯誤！未找到引用源。時，求證：當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。． 【答案】（1）不存在，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析

當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，兩式相減得錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，綜上，錯誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開學(xué)考試】已知兩個無窮數(shù)列的前項和分別為（1）若數(shù)列.分別滿足，其中，設(shè)數(shù)列都為遞增數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點數(shù)列”，求 為“墜點數(shù)列”，數(shù)列，使得，稱數(shù)列為“墜點數(shù)列”.為“墜點數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.【答案】（1）

.（2）①，② 6.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，并說明理由；

（2）求證： 錯誤！未找到引用源。；

（2）若錯誤！未找到引用源。，求錯誤！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）見解析（3）錯誤！未找到引用源。.（2）因為集合錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，所以對錯誤！未找到引用源。而言，存在錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。，又因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，同理可得錯誤！未找到引用源。，將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。.（3）由（2）可知錯誤！未找到引用源。，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，構(gòu)成數(shù)集錯誤！未找到引用源。，經(jīng)檢驗錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。.點睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。求解第一問時，直接運用題設(shè)條件中所提供的條件信息進行驗證即可；解答第二問時，先運用題設(shè)條件中定義的信息可得錯誤！未找到引用源。，同理可得錯誤！未找到引用源。，再將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。即可獲證錯誤！未找到引用源。；證明第三問時，充分借助（2）的結(jié)論可知錯誤！未找到引用源。，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源?？傻缅e誤！未找到引用源。，因此構(gòu)成數(shù)集錯誤！未找到引用源。，經(jīng)檢驗錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，進而求出錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。.8．記等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；

（2）若 錯誤！未找到引用源。，對任意錯誤！未找到引用源。，均有錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯誤！未找到引用源。，求證： 錯誤！未找到引用源。.【答案】（1）見解析（2）錯誤！未找到引用源。（3）見解析

解：（1）設(shè)等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。，從而錯誤！未找到引用源。，所以當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即數(shù)列錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列.（2）因為的任意的錯誤！未找到引用源。都是公差為錯誤！未找到引用源。，的等差數(shù)列，所以錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。，的等差數(shù)列，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，顯然，錯誤！未找到引用源。滿足條件，當錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。不是整數(shù)，綜上所述，正整數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值集合為錯誤！未找到引用源。.（3）設(shè)等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，即數(shù)列錯誤！未找到引用源。是公比大于錯誤！未找到引用源。，首項大于錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，記公比為錯誤！未找到引用源。.以下證明： 錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。為正整數(shù)，且錯誤！未找到引用源。，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，當錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。為減函數(shù)，錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，綜上，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項公式；

（2）若存在實數(shù)λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 【答案】（1）cn＝1．（2）見解析.10．已知各項不為零的數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。．

（1）若錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項公式； ②在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數(shù)，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的最大值．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。

（3）錯誤！未找到引用源。，在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數(shù)，組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，故有錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，