第一篇：1.初中證明直線垂直、平行的方法

證明兩條直線垂直（直角）的常用方法

（一）相交線與平行線

1.定義法：兩條直線相交成直角則兩直線垂直。

2.兩條平行線中有一條垂直第三直線，則另一條也垂直第三直線。即：若a‖b，a⊥c，則b⊥c。

3.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。

4.到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。

（二）三角形

5.證直角三角形：直角三角形的兩直角邊互相垂直。①三角形的兩內(nèi)角互余，則第三個(gè)內(nèi)角為直角。

②三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則這邊所對(duì)的內(nèi)角為直角。

③勾股定理的逆定理：三角形一邊的平方等于其他兩邊的平方和，則這邊所對(duì)的內(nèi)角為直角。

6.三線合一法：等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。7.三角形相似法：證一個(gè)三角形與直角三角形相似。8.三角形全等法：證一個(gè)三角形與直角三角形全等。

（三）四邊形

9.矩形的兩鄰邊互相垂直。

10.菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，且平分每一組對(duì)角。

（四）圓

12.半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角。13.圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。

（五）圖形變換法

14.軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的連線。15.同一法或反證法（不要求掌握）

證明直線平行的常用方法

（一）平行線與相交線：

1.在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線互相平行。

2.在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行。3.平行于同一直線的兩直線互相平行。4.平行線的判定方法：

（1）同位角相等，兩直線平行；（2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

（二）三角形

5.三角形中位線定理：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半。

6.一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，則這條直線平行于三角形的第三邊。

（三）四邊形 7.平行四邊形的兩組對(duì)邊互相平行。8.梯形的兩底邊平行。

9.梯形的中位線平行于兩底。

（四）同一法或反證法（不要求掌握）

證明兩線段相等的常用方法

（一）三角形

1.等角對(duì)等邊：兩線段在同一三角形中，證明等腰或等邊三角形。2.證明三角形全等：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等。

3.三線合一：等腰三角形頂角的平分線或底邊上的高平分底邊。

4.線段中垂線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端的距離相等。5.角平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等。6.過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)平行于另一邊的直線必平分第三邊。

（二）特殊四邊形

7.平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角線互相平分。8.矩形的對(duì)角線相等，菱形的四條邊都相等。9.等腰梯形兩腰相等，兩條對(duì)角線相等。

（三）圓

10.同圓或等圓的半徑相等。

11.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦。

12.圓的旋轉(zhuǎn)不變性：同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弦或兩條弧中有一組量相等，那么對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等。

13.切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等。

（四）其他

14.等量代換：若a=b，b=c，則a=c。

15.等式性質(zhì)：若a=b，則a-c=b-c；若?，則a=b。

16..等量的一半相等。

17.計(jì)算長(zhǎng)度：證明兩線段相等。

18.面積相等法：面積相等的三角形（或平行四邊形），若底（高）相等，則高（底）相等。

19.平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。20.圖形變換法

（1）軸對(duì)稱圖形（或成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形）的對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。（2）平移、軸反射、旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀與大小。（3）位似變換不改變圖形的形狀。22.同一法或反證法（不要求掌握）

acbc證明兩角相等的常用方法

（一）平行線與相交線

1.同角（或等角）的余角相等、補(bǔ)角相等。2.兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等。

3.證角平分線：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在角的平分線上。

（二）三角形

5.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

6.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。7.同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角。

8.三線合一：等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線與頂角平分線互相重合。

（三）特殊四邊形

9.平行四邊形的對(duì)角相等。

10.菱形的對(duì)角線互相垂直平分，且平分每一組對(duì)角。

（四）圓

11.同圓等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角、圓心角相等。

12.切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分這兩條切線的夾角。

13.圓的內(nèi)接四邊形的每一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角。14.補(bǔ)充：圓的弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。

（五）15.計(jì)算角度，證明兩角相等。

16.等量代換：若a=b，b=c，則a=c。17.等式性質(zhì)。

18.等量的一半相等。

19.等量加等量，其和相等；等量減等量，其差相等。20.若?，則a=b.21.若a+c=b+c，則a=b.22.圖形變換法

（1）軸對(duì)稱圖形(或成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形)的對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。（2）平移、軸反射、旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀與大小。（3）位似變換不改變圖形的形狀。23.同一法或反證法（不要求掌握）acbc證明線段的和差倍分

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。3.延長(zhǎng)短線段為其二倍，再證明它與較長(zhǎng)的線段相等。4.取長(zhǎng)線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。

5.三角形中位線定理：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半。6.直角三角形中30度銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。7.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。8.利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊比例的性質(zhì)。9.利用銳角的三角函數(shù)值。

證明角的和差倍分

1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。2.利用角平分線的定義。

3.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

證明比例式或等積式

1.利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例。2.平行線分線段成比例：兩條直線被一組平行線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例。3.直角三角形射影定理：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。4.利用比利式或等積式化得。

5.與圓有關(guān)的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。

第二篇：初中幾何證明兩直線平行和垂直的方法

初中幾何證明兩直線平行和垂直的方法大全

三、證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行。

2.同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。

3.平行四邊形的對(duì)邊平行。

4.三角形的中位線平行于第三邊。

5.梯形的中位線平行于兩底。

6.平行于同一直線的兩直線平行。

7.一條直線截三角形的兩邊（或延長(zhǎng)線）所得的線段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。

四、證明兩直線互相垂直

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對(duì)的角是直角。

3.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。

4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。

7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的對(duì)角線互相垂直。

10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦。

11.利用半圓上的圓周角是直角。

第三篇：證明直線平行

證明直線平行

證明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c證明:假使b、c不平行則b、c交于一點(diǎn)O又因?yàn)閍‖b,a‖c所以過(guò)O有b、c兩條直線平行于a這就與平行公理矛盾所以假使不成立所以b‖c由同位角相等，兩直線平行，可推出：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。因?yàn)閍‖b,a‖c,所以b‖c(平行公理的推論)

2“兩直線平行，同位角相等.”是公理，是無(wú)法證明的，書(shū)上給的也只是說(shuō)明而已，并沒(méi)有給出嚴(yán)格證明，而“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等“則是由上面的公理推導(dǎo)出來(lái)的，利用了對(duì)等角相等做了一個(gè)替換，上面兩位給出的都不是嚴(yán)格的證明。

一、怎樣證明兩直線平行證明兩直線平行的常用定理(性質(zhì))有:1.兩直線平行的判定定理:①同位角相等,兩直線平行;②內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行;③同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行;④平行(或垂直)于同一直線的兩直線平行.2、三角形或梯形的中位線定理.3、如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.4、平行四邊形的性質(zhì)定理.5、若一直線上有兩點(diǎn)在另一直線的同旁).(A)藝l=匕3(B)/2=藝3(C)匕4二藝5(D)匕2+/4=18)分析:利用平行線判定定理可判斷答案選C認(rèn)六一值!小人﹃夕叱的一試勺洲洲川JLZE一B/（一、圖月一飛/匕一|求且它們到該直線的距離相等,則兩直線平行.例1(2003年南通市)已知:如圖l,下列條件中,不能判斷直線l,//l:的是(B).例2(2003年泉州市)如圖2,△注Bc中,匕BAC的平分線AD交BC于D,④O過(guò)點(diǎn)A,且和BC切于D,和AB、Ac分別交B于E、F,設(shè)EF交AD于C,連結(jié)DF.(l)求證:EF//Bc

(1)根據(jù)定義。證明兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)。

由于兩個(gè)平面平行的定義是否定形式，所以直接判定兩個(gè)平面平行較困難，因此通常用反證法證明。

(2)根據(jù)判定定理。證明一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都與另一個(gè)平面平行。

(3)根據(jù)“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”，證明兩個(gè)平面都與同一條直線垂直。

2.兩個(gè)平行平面的判定定理與性質(zhì)定理不僅都與直線和平面的平行有邏輯關(guān)系，而且也和直線與直線的平行有密切聯(lián)系。就是說(shuō)，一方面，平面與平面的平行要用線面、線線的平行來(lái)判定;另一方面，平面

與平面平行的性質(zhì)定理又可看作平行線的判定定理。這樣，在一定條件下，線線平行、線面平行、面面平行就可以互相轉(zhuǎn)化。

3.兩個(gè)平行平面有無(wú)數(shù)條公垂線，它們都是互相平行的直線。夾在兩個(gè)平行平面之間的公垂線段相等。

因此公垂線段的長(zhǎng)度是唯一的，把這公垂線段的長(zhǎng)度叫作兩個(gè)平行平面間的距離。顯然這個(gè)距離也等于其中一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的垂線段的長(zhǎng)度。

兩條異面直線的距離、平行于平面的直線和平面的距離、兩個(gè)平行平面間的距離，都?xì)w結(jié)為兩點(diǎn)之間的距離。

1.兩個(gè)平面的位置關(guān)系，同平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系相類似，可以從有無(wú)公共點(diǎn)來(lái)區(qū)分。因此，空間不重合的兩個(gè)平面的位置關(guān)系有：

(1)平行—沒(méi)有公共點(diǎn);

(2)相交—有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，且這些公共點(diǎn)的集合是一條直線。

注意：在作圖中，要表示兩個(gè)平面平行時(shí)，應(yīng)把表示這兩個(gè)平面的平行四邊形畫成對(duì)應(yīng)邊平行。

2.兩個(gè)平面平行的判定定理表述為：

4.兩個(gè)平面平行具有如下性質(zhì)：

(1)兩個(gè)平行平面中,一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。

簡(jiǎn)述為：“若面面平行,則線面平行”。

(2)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

簡(jiǎn)述為：“若面面平行,則線線平行”。

(3)如果兩個(gè)平行平面中一個(gè)垂直于一條直線，那么另一個(gè)也與這條直線垂直。

(4)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等

用反證法

A平面垂直與一條直線，設(shè)平面和直線的交點(diǎn)為p

B平面垂直與一條直線，設(shè)平面和直線的交點(diǎn)為Q

假設(shè)A和B不平行，那么一定有交點(diǎn)。

設(shè)有交點(diǎn)R，那么

做三角形pQR

pR垂直pQQR垂直pQ

沒(méi)有這樣的三角形。因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180

所以A一定平行于B

第四篇：Z證明直線垂直的方法

證明直線垂直的方法

（一）相交線與平行線：

①兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角，則這兩條直線互相垂直。②兩平行線中有一條垂直第三直線，則另一條也垂直第三直線。

（二）三角形：

①直角三角形的兩直角邊互相垂直。

②三角形的兩內(nèi)角互余，則第三個(gè)內(nèi)角為直角。

③三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則這邊所對(duì)的內(nèi)角為直角（圖1）。

④三角形一邊的平方等于其他兩邊的平方和，則這邊所對(duì)的內(nèi)角為直角。⑤三角形（或多邊形）一邊上的高垂直于這條邊。

⑥等腰三角形頂角的平分線、或底邊上的中線垂直于底邊。

（三）四邊形：

①矩形的兩鄰邊互相垂直。

②菱形的兩對(duì)角線互相幫助垂直。

（四）圓：

①平分弦（非直徑）的直徑垂直于這條弦，平分弦所對(duì)的弧的直徑垂直于這條弦。②半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角（圖2）。

③圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。

④相交現(xiàn)圓的連心線垂直于兩圓的公共弦。

證明直線平行的方法

（一）平行線與相交線：

①在同一平面內(nèi)兩條不相交的直線平行。

②同平行、或同垂直于第三直線 的兩條直線平行。

③同位角相等、或內(nèi)錯(cuò)角相等、或外錯(cuò)角相等、或同旁內(nèi)角互補(bǔ)、或同旁外角互補(bǔ)的兩條直線平行。

（二）三角形：

①三角形的中位線平行于第三邊。

②一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，則這條直線平行于三角形的第三邊（圖3、4）。

（三）四邊形：

①平行四邊形的對(duì)邊平行。

②梯形的兩底邊平行。

③梯形的中位線平行于兩底。

（四）圓：

①夾兩等弧且在圓內(nèi)不相交的二弦平行（圖5）。

②二等圓的兩條外公切線平行。

第五篇：證明兩直線垂直的方法

證明兩直線垂直的方法

1.矩形四個(gè)內(nèi)角

2.三角形中的兩角之和為90°，則另一角必為直角

3.證明兩直線中的一條是等腰三角形的底邊，另一邊是頂角平分線或底邊上的中線

4.勾股定理逆定理

5.圓直徑所對(duì)的圓周角

6.垂徑定理的判定

7.利用菱形的對(duì)角線互相垂直

8.利用正方形的對(duì)角線互相垂直

9.圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑

10.證這兩直線中的一直線與第三直線平行，另一直線與第三直線垂直；或證明這兩直線各與已知的兩垂線平行

11.相交兩圓的連心線垂直平分公共弦

12.軸對(duì)稱那類的圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)垂直于軸

13.到線段兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)線段的中垂線上

14.如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形

15.與直角三角形相似的三角形 對(duì)應(yīng)角是直角

16.與直角三角形全等的三角形 對(duì)應(yīng)角是直角

17.利用鄰角相等：兩直線相交所成的兩個(gè)鄰角相等，可確定兩直線垂直

18.點(diǎn)到直線最短的線段

19.45圓周角所對(duì)的圓心角

20.等邊三角形中，任一頂點(diǎn)與內(nèi)心所在直線垂直于底邊

21.利用已知的直角或其余角：證兩直線的夾角等于已知的直角，或證明兩直線的夾角是兩銳角互余的三角形的第三角

22.矩形中位線垂直他所在的兩邊

23.利用反證法、同一法

24.平面直角坐標(biāo)系x、y軸垂直